Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2016. ősz
Gyűrűk Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 2. Definíció Legyen (R;, ) algebrai struktúra, ahol és binér műveletek. Azt mondjuk, hogy teljesül a -nek a -ra vonatkozó bal oldali disztributivitása, illetve jobb oldali disztributivitása, ha k, l, m R-re: k (l m) = (k l) (k m), illetve k, l, m R-re: (k l) m = (k m) (l m). (Z; +, ) esetén teljesül a szorzás összeadásra vonatkozó mindkét oldali disztributivitása. Elnevezés (R;, ) két binér műveletes algebrai struktúra esetén a -ra vonatkozó semleges elemet nullelemnek, a -re vonatkozó semleges elemet egységelemnek nevezzük. A nullelem szokásos jelölése 0, az egységelemé 1, esetleg e.
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 3. Gyűrűk Definíció Az (R;, ) két binér műveletes algebrai struktúra gyűrű, ha (R; ) Abel-csoport; (R; ) félcsoport; teljesül a -nek a -ra vonatkozó mindkét oldali disztributivitása. Az (R;, ) gyűrű egységelemes gyűrű, ha R-en a műveletre nézve van egységelem. Az (R;, ) gyűrű kommutatív gyűrű, ha a művelet (is) kommutatív. (Z; +, ) egységelemes kommutatív gyűrű. (2Z; +, ) gyűrű, de nem egységelemes. Q, R, C a szokásos műveletekkel egységelemes kommutatív gyűrűk. C k k a szokásos műveletekkel egységelemes gyűrű, de nem kommutatív, ha k > 1.
Nullosztómentes gyűrűk Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz. Definíció Ha egy (R,, ) gyűrűben r, s R, r, s 0 esetén r s 0, akkor R nullosztómentes gyűrű. Nem nullosztómentes gyűrű ( ) ( 0 0 1 0 R 2 2 : 0 1 0 0 ) = ( 0 0 0 0 )
Nullosztómentes gyűrűk Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz. Definíció Ha egy (R,, ) gyűrűben r, s R, r, s 0 esetén r s 0, akkor R nullosztómentes gyűrű. Nem nullosztómentes gyűrű ( ) ( 0 0 1 0 R 2 2 : 0 1 0 0 ) = ( 0 0 0 0 A gyűrűkben nem mindig lehet elvégezni az osztást: Z-ben nem oldható meg a 2x = 1 egyenlet. R 2 2 -ben nem oldható meg az alábbi egyenlet ( ) ( ) 1 0 1 0 X = 0 0 0 1 )
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz. Testek Szeretnénk Z-ben az osztást elvégezni. Mivel az osztás nem,,szép művelet (nem asszociatív), ezért azt a reciprokkal (inverzzel) való szorzással helyettesítenénk. Definíció Az (R;, ) gyűrű ferdetest, ha (R \ {0}; ) csoport. A kommutatív ferdetestet testnek nevezzük. Álĺıtás Q az N-et tartalmazó legszűkebb test. Megjegyzés Q megkonstruálható Z segítségével: az (r, s) (p, q) (s, q 0), ha r q = p s ekvivalenciareláció osztályai a racionális számok.
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 6. Testek R, C {r + s 2 : r, s Q}: 1 r + s 2 = 1 r + s 2 r s 2 r s 2 = = r s 2 r 2 2s 2 = r r 2 2s 2 + s r 2 2s 2 2 Kvaterniók H = {a + bi + cj + dk : a, b, c, d R}, továbbá i 2 = j 2 = k 2 = 1, ij = k, ji = k,... Nemkommutatív ferdetest! j k i
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 7. Számok és rendezés Z-n a természetes módon definiálhatjuk a rendezést: Adott n N, n 0 esetén legyen 0 < n. Legyen továbbá n < m, ha 0 < m n. Ekkor a rendezés kompatibilis a műveletekkel: Álĺıtás Ha k, m, n Z, akkor k < m k + n < m + n, m, n > 0 m n > 0. Definíció Egy R gyűrű rendezett gyűrű, ha van az R-en definiálva egy rendezés, mely kielégíti a fenti tulajdonságokat.
Rendezett testek Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 8. p A Z-n definiált rendezés kiterjeszthető Q-ra: q < r (0 < q, s), ha s ps < rq. A kiterjesztés azonban nem lesz,,teljes, Q nem lesz felső határ tulajdonságú. Emlékeztető Egy X halmaz felső határ tulajdonságú, ha minden Y X felülről korlátos részhalmaznak van supremuma. Álĺıtás 2 Q. Speciálisan Q nem felső határ tulajdonságú: {r Q : r 2} felülről korlátos, de nincs supremuma (sup = 2 Q). Bizonyítás Indirekt tfh n, m N + : (m/n) 2 = 2. Válasszuk úgy az m, n párt, hogy (m, n) = 1. Most m 2 = 2n 2 2 m. Legyen m = 2k m 2 = k 2 = 2n 2 2 n (m, n) 2.
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 9. Valós számok Valós számok halmazának definíciója Legyen R az N-et tartalmazó legszűkebb felső határ tulajdonsággal rendelkező rendezett test. Megjegyzés A valós számok halmaza lényegében egyértelmű. R megkonstruálható: legyen R a Q kezdőszeletei: Egy A Q kezdőszelet, ha A Q, és r A, s < r s A; például 2 {r Q : r 2}. N, Z, Q definiálható R segítségével is: N: a 0, 1 R elemeket tartalmazó legszűkebb félcsoport; Z = N ( N); Q = {r/s R : r, s Z, s 0}.
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 10. Összefoglaló Műveletek halmazokon Struktúra Peano axiómák N félcsoport: van asszociatív művelet (N, +), (Z, ) csoport: van inverz (Z, +), (Q, ), (Z m, +), (Z p, ) gyűrű: két művelet, (Z, +, ), (Z m, +, ), -ra kommutatív csoport, (R k k, +, ) -re félcsoport, disztributivitás ferdetest: két művelet, Q, R, C, H, Z p -ra kommutatív csoport, -re a 0 kivételével csoport, disztributivitás
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 11. Összefoglaló Műveletek és rendezés Struktúra félcsoport: van asszociatív művelet rendezett gyűrű rendezett test felsőhatár tulajdonságú test Z Q, R R
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 12. Kombinatorika Kombinatorika fő célja: Példák: véges halmazok elemeinek elrendezése; elrendezések különböző lehetőségeinek megszámlálása. Nyolc ember közül van legalább kettő, aki a hét ugyanazon napján született. Minimálisan hány ember esetén lesz legalább két embernek ugyanazon a napon a születésnapja? Mennyi a lehetséges rendszámok / telefonszámok / IP címek száma? Legalább hány szelvényt kell kitölteni, hogy biztosan nyerjünk a lottón / totón?
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 13. Elemi leszámlálások Adott két véges, diszjunkt halmaz: A = {a 1, a 2,..., a n }, B = {b 1, b 2,..., b m }. Hányféleképpen tudunk választani egy elemet A-ból vagy B-ből? Lehetséges választások: a 1, a 2,..., a n, b 1, b 2,..., b m. Számuk: n + m. Egy cukrászdában 3-féle édes sütemény (isler, zserbó, kókuszkocka) és 2-féle sós sütemény (pogácsa, perec) van. Hányféleképpen tudunk egy édes vagy egy sós sütemény enni? Megoldás: 3 + 2 =.
Elemi leszámlálások Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Adott két véges, diszjunkt halmaz: A = {a 1, a 2,..., a n }, B = {b 1, b 2,..., b m }. Hányféleképpen tudunk választani elemet A-ból és B-ből? Lehetséges választások: Számuk: n m. b 1 b 2... b m a 1 (a 1, b 1 ) (a 1, b 2 )... (a 1, b m ) a 2 (a 2, b 1 ) (a 2, b 2 )... (a 2, b m )....... a n (a n, b 1 ) (a n, b 2 )... (a n, b m ) Egy cukrászdában 3-féle édes sütemény (isler, zserbó, kókuszkocka) és 2-féle sós sütemény (pogácsa, perec) van. Hányféleképpen tudunk egy édes és egy sós sütemény enni? Megoldás: 3 2 = 6.
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Permutáció Tétel Legyen A egy n elemű halmaz. Ekkor az A elemeinek lehetséges sorrendje: P n = n! = n(n 1)(n 2)... 2 1 (n faktoriális). Itt 0! = 1. Reggelire a 2 különböző szendvicset 2! = 2 1 = 2 -féle sorrendben lehet megenni. 3 különböző szendvicset 3! = 3 2 1 = 6-féle sorrendben lehet megenni. különböző szendvicset! = 3 2 1 = 2-féle sorrendben lehet megenni. A 200 fős évfolyam 200! = 200 199 198... 2 1 7, 89 10 37 -féle sorrendben írhatja alá a jelenléti ívet. Bizonyítás Az n elemből az első helyre n-féleképpen választhatunk, a második helyre n 1-féleképpen választhatunk,... Így az összes lehetőségek száma n(n 1)... 2 1.
Ismétléses permutáció Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 16. Egy vizsgán hallgató vett részt, 2 darab -es, 3 darab -ös született. Hány sorrendben írhatjuk le az eredményeket? Megoldás Ha figyelembe vesszük a hallgatókat is: (2 + 3)! =! lehetséges sorrend van. Ha a hallgatókat nem tüntetjük fel, egy lehetséges sorrendet többször is figyelembe vettünk: Az -ösöket 3! = 6-féleképpen cserélhetjük, ennyiszer vettünk figyelembe minden sorrendet. Hasonlóan a -eseket 2! = 2-féleképpen cserélhetjük, ennyiszer vettünk figyelembe minden sorrendet. Összes lehetőség:! 2! 3! = 120 2 6 = 10....
Ismétléses permutáció Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 17. Tétel k 1 darab első típusú, k 2 második típusú,..., k m m-edik típusú elem lehetséges sorrendjét az elemek ismétléses permutációinak nevezzük, és számuk n = k 1 + k 2 +... + k m esetén Bizonyítás i n! Pn k1,k2,...,km = k 1! k 2!... k m!. Ha minden elem között különbséget teszünk: (k 1 + k 2 +... + k m )! lehetséges sorrend létezik. Ha az i-edik típusú elemek között nem teszünk különbséget, akkor az előbb megkapott lehetséges sorrendek között k i! egyforma van. Ha az azonos típusú elemek között nem teszünk különbséget, akkor az előbb megkapott lehetséges sorrendek között k 1! k 2!... k m! egyforma van. Így ekkor a lehetséges sorrendek száma: (k 1 + k 2 +... + k m )!. k 1! k 2!... k m!
Variáció Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 18. Az egyetemen 10 tárgyunk van, ezek közül 3-at szeretnénk hétfőre tenni. Hányféleképpen tehetjük meg ezt, ha az órák sorrendje is számít? Megoldás Hétfőn az első óránk 10-féle lehet. A második 9-féle, a harmadik 8-féle lehet. Így összesen 10 9 8-féleképpen tehetjük meg. Tétel Adott egy n elemű A halmaz. Ekkor k elemet Vn k = n (n 1)... (n k + 1) = n!/(n k)!-féleképpen választhatunk ki, ha számít a sorrend. Bizonyítás Az A halmazból először n-féleképpen választhatunk, második esetben (n 1),..., k-adik esetben n k + 1-féleképpen választhatunk.
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 19. Ismétléses variáció A 0, 1, 2 számjegyekből hány legfeljebb kétjegyű szám képezhető? Megoldás Az első helyiértékre 3-féleképpen írhatunk számjegyet: A második helyiértékre szintén 3-féleképpen írhatunk számjegyet: 0 1 2 00 01 02 10 11 12 20 21 22 Összesen: 3 3 = 9
Ismétléses variáció Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 20. Tétel Egy n elemű A halmaz elemeiből i Vn k készíthető. = n k darab k hosszú sorozat Bizonyítás A sorozat első elemét n-féleképpen választhatjuk, a második elemét n-féleképpen választhatjuk,... Egy totószelvényt (13 + 1 helyre 1, 2 vagy x kerülhet) 3 1 = 782 969-féleképpen lehet kitölteni. Mennyi egy n elemű halmaz összes részhalmazainak száma? Legyen A = {a 1, a 2,..., a n }. Ekkor minden részhalmaz megfelel egy n hosszú 0 1 sorozatnak: ha a sorozat i-edik eleme 1, akkor a i benne van a részhalmazban. (0, 0,..., 0), {a 1, a 3 } (1, 0, 1, 0,..., 0),..., A (1, 1,..., 1) Hány n hosszú 0 1 sorozat van: 2 n.