FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33 Halmazo, leépezése és reláció 1 Adju meg elemeivel a P (P (P ( halmazt 2 Igazolju, hogy tetszőleges A, B, C halmazora feálla az alábbi egyelősége: (a A (B \ C (A \ C (B \ C (A B \ (A C (A B \ C, (b A \ (B \ C (A \ B (A C, (c (A \ B \ C A \ (B C (A \ B (A \ C, (d A (A B B, (e A (B C (A B (A C, (f A (B C (A B C, ha A C 3 Az A, B, C halmazo elemeire való hivatozás élül bizoyítsu be, hogy (a A B A \ C B \ C, (b A B C A B C, (c A (A B A (A B A 4 Igazolju, hogy ha az A, X, Y halmazora A X A Y és A X A Y teljesül, aor X Y 5 Határozzu meg az α 1, αα 1, α 1 α megfeleltetéseet, ha α az alábbi megfeleltetése valamelyie: (a {(a, b: a b} R R, (b {(a, b: b si(a} R R, (c {(a, b: a és b relatív príme} Z Z 6 Határozzu meg az alábbi megfeleltetése értelmezési tartomáyát és értéészletét Melye leépezése özülü? (a {(x, y: y 3 x} R R, (b {(x, y: y 2 x} R R, (c {(x, y: y x 2 } R R 7 Vizsgálju meg, hogy ijetív-e, illetve szürjetív-e a övetező ϕ leépezés, és adju meg a ϕ 2 ( ϕϕ leépezést: { 6 + 1, ha páros, (a ϕ: N N, ϕ 6 1, ha páratla; 1
{ 10, ha > 10, (b ϕ: N N, ϕ 1, ha 10 8 Vizsgálju meg, hogy az alábbi reláció özül meyi reflexív, szimmetrius, atiszimmetrius, trazitív, dichotom Ee alapjá állapítsu meg, melyi reláció evivalecia, részberedezés vagy redezés Adju meg az evivaleciarelációhoz tartozó osztályozást is (Az utolsó 6 relációba E az összes embere halmaza (a {(a, b: a/b b/a} az R \ {0} halmazo, (b {(a, b: a b } az R halmazo, (c {(a, b: a 2 + b 2 1} az R halmazo, (d {((a, b, (c, d: a + d b + c} az R R halmazo, (e {((a, b, (c, d: ad bc} a Z (Z \ {0} halmazo, (f {(a, b: a b} az N halmazo, (g α {(a, b: b az a apja} az E halmazo, (h σ {(a, b: b az a apja vagy ayja} az E halmazo, (i τ {(a, b: a b vagy b az a testvére, azaz a és b apja és ayja özös} az E halmazo, (j ϕ {(a, b: a b vagy b az a féltestvére, azaz a és b legalább egyi szülője özös} az E halmazo, ( λ {(a, b: b az a egyeesági leszármazottja, azaz b az a gyermee vagy uoája vagy déduoája vagy } az E halmazo, (l ρ {(a, b: b az a egyeesági rooa, azaz b az a egyeesági leszármazottja, vagy a a b egyeesági leszármazottja } az E halmazo Kombiatoria 9 Háy szótárt ell iadu, hogy özvetleül tudju fordítai 10 ülöböző yelv özül bármelyiről bármelyi másra? 10 A 30 tagú atlétiai szaosztály csapatoat állít i a mezei futóverseyre (a Háyféleéppe állíthata i egy égytagú csapatot? (b Háyféleéppe jelölhete i égy verseyzőt egy svéd típusú váltóra, melybe a csapattago 100, 200, 400, illetve 800 méteres távot futa? 11 Egy postahivatalba tízféle épeslapot árula Háyféleéppe vásárolhatu (a 8 ülöböző épeslapot? (b 8 épeslapot? (c 12 épeslapot? 12 Öt ocá egyeét az alábbi betű szerepele: A, B, C, D, E Háy sorredbe rahatju egymás mellé az öt ocát, ha (a az A betű özvetleül a B betű előtt áll? (b a B betű em állhat az A betű mellett? 2
13 Háyféleéppe helyezedhet el 12 ember három szobába, ha az elsőbe ette, a másodiba hata, a harmadiba égye fére el? 14 Háy 0-ra végződi a 11 100 1 szám? 15 Határozzu meg az x 8 hatváy együtthatóját az (1 + x 2 x 3 9 ifejezésbe 16 Háy (a sem 5-tel, sem 7-tel (b sem 2-vel, sem 3-mal, sem 5-tel, sem 7-tel em osztható, 1000-él isebb emegatív egész szám va? 17 Hét férfi és égy ő özül úgy ell iválasztai hat embert, hogy legalább ét ő legye özöttü Háyféleéppe tehetjü ezt meg? 18 Egy csomag fracia ártya 52 lapból áll, amelye özül 13-13 azoos szíű (a Háyféleéppe választhatu i özülü égy, pároét ülöböző szíű lapot? (b Háyféleéppe választhatu i özülü égy ülöböző szíű lapot, ha még azt is megöveteljü, hogy e legye öztü ét azoos értéű (pl ét yolcas vagy ét irály? (c Háyféleéppe választhatu i a ártyacsomagból égy lapot úgy, hogy legye öztü legalább ét ász? 19 Az 1, 2,, számo permutációi özött háy olya va, (a amelybe az 1 és 2 számo em álla egymás mellett? (b amelybe az 1, 2 és 3 számo semmilye sorredbe sem álla egymás mellet (számhármasét? (c amelybe az 1, 2 és 3 számo özül semelyi ettő sem áll egymás mellett? 20 Háy ülöböző lieáris redezése va egy -elemű halmaza? 21 Hat golyó özül három feete, egy-egy pedig piros, fehér, illetve zöld Háyféleéppe állíthatu össze eze felhaszálásával egy égy golyóból álló sorozatot? 22 Négy férfit és égy őt le aaru ülteti egy ere asztal öré Két ülésredet aor teitü azoosa, ha mideie ugyaaz a bal, illetve jobb szomszédja (a Háyféleéppe ülhet le a yolc ember? (b Háy olya ülésred va, amelyél ét előre ijelölt személy egymás mellé erül? (c Háyféle ültetés va, ha ő em ülhete egymás mellett? 23 Határozzu meg az alábbiaba megadott számjegye permutálásával apható összes égyjegyű szám összegét (0 em állhat a égyjegyű szám elejé!: (a 1, 2, 3, 4; (b 1, 3, 3, 3; (c 1, 1, 4, 4; (d 0, 1, 2, 3 24 18 (egyforma tízforitost osztu szét öt gyere özött (a Háyféle módo végezhetjü el a szétosztást? (b Háy eset va aor, ha iötjü, hogy mide gyere ap legalább egyet a tízforitoso özül? 3
(c S ha midegyi legalább ettőt ap? 25 Háyféleéppe húzhatu fel egyi ezüre öt ülöböző gyűrűt, ha a hüvelyujjura em erülhet gyűrű? 26 A öyvespolco 12 öyv áll Háyféleéppe lehet özülü iválasztai ötöt úgy, hogy eze özött e legye ét egymás melletti? 27 Háyféleéppe ültethetü le egy sorba három agolt, három fraciát és három törööt úgy, hogy három azoos emzetiségű ember e erüljö egymás mellé? 28 Artúr irály ere asztala örül 12 lovag ül Midegyiü hadilábo áll a ét szomszédjával (és csa velü A irálya a hercegő iszabadítására úgy ell iválasztaia öt lovagot, hogy eze midegyie béébe legye a mási éggyel Háyféleéppe választhat Artúr irály? 29 Egy 10 házaspárból álló társaság csóairádulásra idul Öt, egyeét égyszemélyes csóaba szála (a Háyféleéppe teheti ezt meg úgy, hogy midegyi csóaba ét férfi és ét ő erül? (b eze özül háy esetbe erül (b1 egy előre ijelölt férj egy csóaba a feleségével? (b2 ét előre ijelölt férj 30 Háyféleéppe lehet az 1999 számot (a öt emegatív egész szám (b öt pozitív egész szám összegére botai, ha ét felbotást aor is ülöbözőe teitü, ha csa a tago sorredjébe tére el egymástól? 31 Öt házaspár háyféleéppe támcolhat úgy, hogy egyi férj sem a saját feleségével tácol? 32 Háyféleéppe oszthatu szét egy csomag fracia ártyát 13 játéos özött, ha (a midegyiü égy-égy lapot ap? (b midegyi játéos égy ülöböző szíű lapot ap? (c egy játéos égy ülöböző szíű lapot, a többi pedig égy-égy azoos szíű lapot ap? 33 Háyféleéppe húzhatu i egy csomag fracia ártyából égy olya lapot, (a amelye özül ét lap szíe megegyezi? (b amelye özött potosa ét szí fordul elő? 34 Három ember özött hat egyforma almát, egy aracsot, egy szilvát, egy citromot, egy örtét, egy baát és egy baracot osztu el (a Háyféleéppe tehető ez meg? (b Háy olya elosztás va eze özött, amior midei égy-égy gyümölcsöt ap? 35 Háyféleéppe helyezhetü el 40 ülöböző díszhalat ét egyforma agy és égy egyforma icsi aváriumba úgy, hogy a agy aváriumoba 10 10, a icsibe pedig 5 5 hal erüljö? 36 Háyféleéppe választható i a 32 lapos magyar ártyából 10 lap úgy, hogy özöttü mid a égy szí előforduljo? 37 10 egyforma szegfűt, 6 egyforma rózsát és 9 egyforma tulipát háyféleéppe oszthatu szét 25 láy özött úgy, hogy midei potosa egy szál virágot apjo? 4
38 Háyféleéppe ültethet le Hófehére a hét törpe özül ötöt egy hosszú asztal mellé úgy, hogy Tudor és Morgó e üljö egymás mellett? 39 Háyféleéppe választhatu i tárgy özül páratla számú tárgyat 40 Bizoyítsu be ombiatorius úto, hogy: ( ( 1 + 6 ( 2 + 3 3 3 41 Igazolju az alábbi azoosságoat: (a ( (b ( ( 1 1 ( 1 +1 (c ( m ( m ( (d 0 ( (e (f ( r ( s ( m 2 1 ( r+s ( 2 ( 2 42 Az origóból midig jobbra illetve felfelé szomszédos rácspotora egységyit lépve háyféleéppe juthatu el (7, 11-be, ha sose léphetü olya helyre, ahol y x 3? 43 15 fiú és 12 láy háyféle sorredbe mehet be a tácterembe, ha sosem lehet több láy odabet, mit fiú? 44 Egy mozi péztáráál 2 gyere áll sorba 10 foritos jegyeért Közülü -e tizese, a mási -e huszasa va A asszába ics váltó péz Háy olya sorredje va a gyereee, amior a sor em aad el, a péztáros midig tud visszaadi? 5