VS Vektor értékű üggvények
VS A korábbi ejezetekben tanulmányoztuk azokat a üggvényeket, amelyek értékkészlete a valós számok halmazának egy részhalmaza. Ezek egyrészt az R R típusú egyváltozós, valós értékű üggvények, másrészt az R n R típusú n változós, valós értékű üggvények voltak. Ebben a részben olyan üggvényekkel oglalkozunk, amelyek értékkészlete az R m halmaz egy részhalmaza (m>, egész szám. Mivel R m m dimenziós lineáris tér, úgy is ogalmazhatunk, hogy az értékkészletben m dimenziós vektorok vannak.
VS A vektor értékű üggvényen általában az R n R m alakú üggvényeket értjük, és bizonyos alapvető ogalmakat ezekre adunk meg, de a geometriai és a izikai alkalmazások szempontjából az alábbi üggvénytípusok a legontosabbak: R R (síkgörbék R R (térgörbék R R R R (vektormezők
VS 4 Deiníció: koordinátaüggvények Az R n R m típusú (x,x,,x n ( (x,x,,x n, (x,x,,x n,, m (x,x,,x n üggvény koordinátaüggvényei az,,, m : R n R n változós, valós értékű üggvények.
VS 5 Az R R típusú t ( (t, (t, (t üggvény (térgörbe koordinátaüggvényei speciálisan az,, : R R egyváltozós, valós értékű üggvények. A koordinátaüggvények értékei adják a üggvényértékek koordinátáit.
VS 6 Az R R típusú (x, x, x ( (x, x, x, (x, x, x, (x, x, x üggvény (vektormező koordinátaüggvényei speciálisan az,, : R R háromváltozós, valós értékű üggvények. A koordinátaüggvények értékei adják a üggvényértékek koordinátáit.
Vektoralgebra Egyenes előállítása R R üggvénnyel VE 7 Az r helyzetvektor által meghatározott ponton átmenő, v irányvektorú egyenest állítja elő a következő üggvény: Megjegyzés: r(t r + t v, t R A t paraméterértékek és az egyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megeleltetést jelent a enti üggvénykapcsolat.
Vektoralgebra VE 8 Legyen r ( x, y, z, r ( x, y, z, v ( v, v, v. Ekkor a enti vektorüggvény koordinátákra bontva (az egyenes paraméteres egyenletrendszere: x(t x + v t y(t y + v t, t R z(t z + v t r v
Vektoralgebra VE 9 Példa: r (,5,, v ( 4,-,. Ekkor az egyenes: x(t + 4 t y(t 5 t, t R z(t + t Az egyenes néhány pontja és a hozzá tartozó paraméterérték: t P (,5, t P (,-,5 t - P (-,8,
Vektoralgebra Sík előállítása R R üggvénnyel VE Az r helyzetvektor által meghatározott ponton átmenő, az u és a v vektorokkal párhuzamos síkot állítja elő a következő üggvény: r(t,s r + t u + s v, (t,s R
Vektoralgebra VE Legyen r (x,y,z, r (x,y,z, u (u,u,u, v (v,v,v. Ekkor a enti vektorüggvény koordinátákra bontva: x(t,s x + u t + v s y(t,s y + u t + v s, t,s R z(t,s z + u t + v s r u v
Vektoralgebra VE Példa: r (,5,, u (4,-,, v (,,7. Ekkor a sík: x(t,s + 4 t + s y(t,s 5 t + s, t,s R z(t,s + t + 7 s A sík néhány pontja és a hozzá tartozó paraméterérték: (t,s (, P (,5, (t,s (, P (8,6,8 (t,s (-, P (-,,9
Vektoralgebra VE Sík normálvektoros előállítása Az r helyzetvektor által meghatározott ponton átmenő, az n normálvektorú sík egyenlete: r -r, n (A < > jel skaláris szorzást jelöl.
Vektoralgebra VE 4 Legyen r (x,y,z, r (x,y,z, n (A,B,C Ekkor a enti egyenlet: r -r, n (x,y,z - (x, y, z, (A,B,C (x-x, y-y, z-z, (A,B,C A (x-x + B (y-y + C (z-z A x + B y + C z + (-A x -B y -C z A x+ B y + C z+ D
VE 5 Vektoralgebra A (x-x + B (y-y + C (z-z ormula a sík általános egyenlete. A változók együtthatói a sík egy normálvektorának koordinátái. Az általános egyenletet elosztva a n(a,b,c normálvektor hosszával a sík normál egyenletét kapjuk: a (x-x + b (y-y + c (z-z ahol C B A A a + + C B A B b + + C B A C c + + C B A D d + +
Vektoralgebra VE 6 Megjegyzés: A normál egyenlet különlegessége: a P ( p, p, p pont távolsága az a (x-x + b (y-y + c (z-z normál egyenletű síktól: d,e a ( p -x + b ( p -y + c ( p -z
Vektoralgebra Megjegyzés: VE 7 Kapcsolat egy sík adatai (és így közvetve a kétéle egyenlete között: Ha u és v egy síkkal párhuzamos vektorok (de egymással nem párhuzamosak, akkor u v a sík normálvektora.
Vektoralgebra VE 8 Szögeladatok Egyenesek szöge egyenlő az irányvektoraik szögével. Síkok szöge egyenlő a normálvektoraik szögével.
Vektoralgebra VE 9 Egyenes és sík szöge az egyenes irányvektorának és a sík normálvektorának szögéből számítható.
Vektoralgebra VE Távolságeladatok A d,e távolság kiszámítható a következőképpen: T ABP d(a, B d, e d, e T ABP d(a, B
Vektoralgebra VE A d,s távolság kiszámítható a következőképpen: V ABCP T ABC d,s d,s V T ABCP ABC
Az R n R m típusú üggvények dierenciálása VS Deiníció: R n R m típusú lineáris üggvények Az (x, x,..., x n A x x M x n alakú üggvényeket, ahol A egy (m n típusú mátrix, R n R m típusú lineáris üggvényeknek nevezzük. Az A mátrix az üggvény mátrixa.
VS Deiníció: dierenciálhányados Az :D( R n R m üggvény dierenciálható a D értelmezési tartomány P belső pontjában, ha van olyan A:R n R m lineáris üggvény, melyre lim P P A P P P Ekkor az A üggvényt az üggvény P dierenciálhányadosának nevezzük. helyen vett
VS 4 Tétel A dierenciálhányados mátrixa a koordinátaüggvények parciális deriváltjaiból áll: m M K K n n M m
A dierenciálhányados mátrixa speciális esetekben: VS 5 R R típusú üggvények (vektormezők R n R típusú üggvények (n változós üggvények ' grad (,,..., n R R n típusú üggvények (görbék m ' ' M ' m M
VS 6 Deiníció: dierenciál Ha az :D( R n R m üggvény dierenciálható a P pontban, akkor az P pontbeli, P ponthoz tartozó dierenciálja: ( P-P P. Deiníció: lineáris közelítés Ha az :D( R n R m üggvény dierenciálható a P pontban, akkor az P pontbeli lineáris közelítése: + ( P-P + P, avagy: - P.
VS 7 Az R R típusú üggvények dierenciálása Deiníció Az (x, x, x a a a a a a a a a x x x alakú üggvények az R R típusú lineáris üggvények.
VS 8 Az (x, x, x ( (x, x, x, (x, x, x, (x, x, x üggvény (vektormező koordinátaüggvényei az,, : R R háromváltozós, valós értékű üggvények. A dierenciálhányados speciálisan:
VS 9 Példa (x, x, x (x x 4 + x x, x -x, 6 x határozzuk meg az üggvény dierenciálhányadosát; írjuk el a lineárist közelítést a P (,4, helyen; számoljuk ki az üggvény közelítő értékét a P (.,.8,. helyen!
VS (x, x, x (x x 4 + x x, x -x, 6 x, P (,4, + 6 x x x x 4x x x x, x, (x 4 6 (,4,
VS A lineáris közelítés ormulája: + ( P-P (x, x, x (x x 4 + x x, x -x, 6 x (,4, ( 6, 6, 4 6 (,4, + x 4 x x 6 4 6 6 x, x, (x
VS + x 4 x x 6 4 6 6 x, x, (x P (.,.8,. + + +.8 6.6 9.5..6.5 4 6 6... 6 4 6 6. 4.8. 6 4 6 6 (.,.8,.
VS Megjegyzés Adott vektormező (pl. sebességtér az áramló olyadékban, térerőség az elektromos erőtérben esetén a dierenciálhányados mátrixának elemei üggenek a koordinátarendszer megválasztásától. Az alábbiakban két olyan jellemzőt adunk meg, melyek a dierenciálhányados mátrix elemeiből számíthatók, de invariánsak a koordinátarendszer megváltoztatásával szemben, és közvetlen izikai tartalommal bírnak.
Deiníció: vektormező divergenciája VS 4 div + + Megjegyzés A divergencia egyenlő a dierenciálhányados mátrix őátlójában lévő elemek összegével. A divergencia a orrásossággával ügg ügg össze: egy vektormező orrásmentes, ha a divergenciája.
Példa VS 5 (x,x,x (x x 4 +x, x -5x, 6x x, P (-,, (x, x, x x x x 4 x 6x 4x 6x x div (x,x,x x x 4 x + 6x (,, 6 4 div (-,, - - + -
VS 6 Deiníció: vektormező rotációja rot ( +,, Könnyebben megjegyezhető az alábbi ormula: rot i det j k A determináns ormális kiejtésével a rotáció enti képletét kapjuk. A rotáció az örvényességgel ügg össze: egy vektormező örvénymentes, ha a rotációja (vektor.
VS 7 Példa: Határozzuk meg az (x,x,x (x x 4 +x, x -5x, 6x x vektormező rotációját! A parciális derivált üggvényekből képzett derivált üggvény: (x, x, x x x x 4 x 6x 4x 6x x Ennek elemeiből összeállítható a rotáció üggvény: rot i det rot (x,x,x ( 6x, 4x x, x - j k
VS 8 Példa: Határozzuk meg az (x,x,x (x x 4 +x, x -5x, 6x x vektormező rotációját a P (-,, helyen! (x, x, x x x x 4 x 6x 4x 6x x (,, 6 4 A parciális derivált üggvények pontbeli értékeiből kiszámítható a rotáció pontbeli értéke: rot i det rot (-,, ( 6-, -+4, - ( 6, 4, j k
VS 9 Jelölés: nabla operátor (,, A nabla operátor segítségével röviden elírhatók a dierenciál operátorok: div + + rot (, +,
VS 4 Megjegyzések A divergencia és a rotáció megjelenik az elektromágneses tér jellemzői közti összeüggéseket megadó Maxwell egyenletek dierenciális alakjában: E: elektromos térerősség D: elektromos eltolódás H: mágneses térerősség J: áramsűrűség ρ: elektromos töltéssűrűség D rot H J + t B rot E t div D ρ div B
VS 4 Az R R típusú üggvények (térgörbék dierenciálása Deiníció: koordinátaüggvények Az t ( (t, (t, (t üggvény koordinátaüggvényei az,, : R R egyváltozós, valós értékű üggvények. A térgörbék vizsgálatához általában elegendő a koordinátaüggvényekkel való számolás.
VS 4 Tétel Az (,, :[a,b] R üggvény dierenciálható a t [a,b] helyen, ha az,, : [a,b] R koordinátaüggvényei dierenciálhatók a t helyen. Ha az (,, : [a,b] R dierenciálható a t helyen, akkor a dierenciálhányadosa: ' ' '
VS 4 Megjegyzés Az R R típusú üggvényeket szokás r-rel, a dierenciálást pedig vessző helyett ponttal jelölni: r (t r(t & x& x& x& (t (t (t A izikában előorduló R R üggvényeknél a t paraméter (változó általában az idő, így a pont az idő szerinti deriválásra utal.
VS 44 Példa Határozzuk meg az r(t ( t 4, 5t -7t, 6t-t üggvény dierenciálhányadosát a t helyen! r&(t t t 7 6 t r&( 96 4 6
VS 45 Deiníció: érintő vektor Az r&(t vektort érintő vektornak, az egységnyi hosszúságúra normált e r(t & r(t & vektort érintő egységvektornak nevezzük.
VS 46 Deiníció: érintő egyenes Dierenciálható térgörbe érintő egyenese (lineáris közelítése: r(t e(t r(t + r(t & (t t
VS 47 Példa Határozzuk meg az r(t ( t 4, 5t -7t, 6t-t üggvény érintő egyenesét a t helyen! r(t e(t r(t + r(t & (t t r( 48 6 4 r& ( 96 4 6 e(t 48 96 6 + 4 (t 4 6 44 + 96t + 4t 6 6t
VS 48 Megjegyzés: R R üggvények dierenciálása Az R R üggvények dierenciálásáról leírtak egyszerűen átvihetők az R R üggvényekre. Minden ogalom és ormula érvényes, a különbség csupán annyi, hogy három helyett két koordinátaüggvénnyel kell dolgozni. Míg az R R üggvények a térgörbék (térbeli pályák, addig az R R üggvények a síkgörbék (síkbeli pályák vizsgálatában játszanak ontos szerepet.
VS 49 A dierenciálhányados izikai jelentése Ha a t r(t üggvény egy mozgó pont hely-idő üggvénye, akkor a dierenciálhányados vektor adott időpontban érvényes pillanatnyi sebesség: v (t r(t &
VS 5 Példa: Tekintsünk a következő síkbeli mozgást, melynek hely-idő üggvénye: r(t ( cost, sint (a síkbeliség miatt ez egy R R üggvény Mivel r(t, a mozgás pályája az origó középpontú, egység sugarú.
VS 5 A hely-idő üggvény: A sebesség üggvény: A sebesség nagysága: r(t ( cost, sint v(t ( - sint, cost v 9 cos x + 9 sin x azaz itt egy egyenletes körmozgásról van szó, egység nagyságú sebességgel.
VS 5 v(t ( - sint, cost A pillanatnyi sebesség a tπ/6 időpontban: π v 6 cos π 6, sin π 6,
VS 5 Deiníció: binormális egységvektor A b r(t & && r(t r(t & && r(t vektort binormális egységvektornak nevezzük, ha r& (t & r(t Deiníció: őnormális egységvektor Az érintő vektor és a binormális egységvektor vektori szorzatát őnormális egységvektornak nevezzük: n e b
VS 54
VS 55 Deiníció: kísérő triéder Az érintő, a őnormális és a binormális egységvektorok a görbe bármely pontjában (ahol nem tűnnek el ortonormált vektorrendszert alkotnak. Az (e,n,b hármast a görbe kísérő triéderének nevezzük. A görbék vizsgálatában a kísérő triéder által meghatározott koordinátarendszer alapvető ontosságú.
VS 56 Deiníció: simulósík Az e és az n vektorok által kieszített sík a görbe simulósíkja. Deiníció: normális sík Az n és a b vektorok által kieszített sík a görbe normális síkja. Deiníció: rektiikáló sík Az e és a b vektorok által kieszített sík a görbe rektiikáló síkja.
VS 57 Deiníció: görbület Azt, hogy egy görbe egy adott helyen mennyire tér el az egyenestől a görbülettel mérjük. A görbület az érintő vektor irányának megváltozásával ügg össze. Ha a görbe kétszer dierenciálható és az első deriváltja nem tűnik el, akkor a görbület: κ(t r(t & && r(t r(t & Megjegyzések Egyenes görbülete nulla. Kör görbülete a sugár reciproka.
VS 58 Deiníció: torzió Azt, hogy egy görbe mennyire csavarodik a torzióval mérjük. A torzió a binormális vektor irányának változásával ügg össze: a görbe mennyire tér el a simulósíkjától. Ha a görbe háromszor dierenciálható és a első és a második deriváltak vektori szorzata nem tűnik el, akkor a torzió: τ(t r(tr(t & && &&& r (t r(t & && r(t
VS 59 Megjegyzés Síkgörbe a saját simulósíkjában van, így a torziója nulla. Az állítás megordítása is igaz, így a torzió eltűnése a síkgörbék jellemzője: Egy háromszor dierenciálható görbe pontosan akkor síkgörbe, ha a torziója nulla.
VS 6 Síkgörbék dierenciálásával kapcsolatos megjegyzések Egy t (x(t,y(t síkgörbe vizsgálatakor szükség lehet az x és az y kapcsolatát leíró jellemzőkre: y '(x dy dx y "(x d y dx mivel a síkgörbék jellemzőit megadó számos ormula (pl. érintő egyenlete, érintési paraméterek, simulókör, görbület ezeket az értékeket tartartalmazza. Ezek a dierenciálhányadosok kiszámíthatók a t x(t és a t y(t üggvények deriváltjaival a következők szerint:
VS 6 Ha t x(t deriváltja nem tűnik el egy adott helyen, akkor ott y'(x y"(x dy dx d y dx y(t & x(t & & y(tx(t & && x(ty(t & ( x(t & x & (t y &(t && x (t && y (t dx dt dy dt d x dt d y dt