Matematika A4 V gyakorlat megoldása Folytonos egyenletes eloszlás Ha egy véges intervallumra úgy dobunk egy pontot, hogy a pont az intervallum bármely részintervallumára annak hosszával arányos valószínűséggel esik, akkor a pont koordinátája egyenletes eloszlású az adott intervallumon Jelölje a és b ennek a véges intervallumunk két végpontját Annak a valószínűsége, hogy egy ilyen eloszlású véletlen szám egy d hosszúságú részintervallumba essen (a fentiek alapján): valószínűség = d b a ; az eseménynek megfelelő halmaz hossza az egész eseménytér hossza Hasonló elgondolás alapján ha egy pont egy véges területű síktartomány bármely részére a kiválasztott rész területével arányos valószínűséggel esik, akkor a pont helyének eloszlása egyenletes eloszlású az adott síktartományon: valószínűség = az eseménynek megfelelő halmaz területe az egész eseménytér területe Véges térfogatú térrészen értelmezett egyenletes eloszlás esetén: valószínűség = Feladatok: az eseménynek megfelelő halmaz térfogata az egész eseménytér térfogata Egy szabályos háromszögbe kört rajzolunk, mely érinti a háromszög oldalait A háromszög belsejében egyeneletes eloszlás szerint választunk egy pontot Mi a valószínűsége, hogy a pont a kör belsejébe esik? A háromszög magassága m = a 3, így a háromszög területe T = a 3 4 A beírható kör sugara a magasság egyharmada: r = a 3 6 Ebből a kör területe T = ( a 3 6 ) π Így a keresett valószínűség: T T = π 3 3 Mi a valószínűsége, hogy a (0, 0), (0, ), (, 0), (, ) pontok által meghatározott négyzetben egyenletesen választott pont koordinátái közül a) az első koordináta legfeljebb kétszerese a másiknak? A feltételek szerint y Így a kedvező síkrész a négyzet y = egyenes feletti része Ennek területe 3 4 Mivel a négyzet egységnyi, ezért a kérdezett valószínűség is 3 4 b) az első koordináta négyzete kisebb a második koordinátánál? A feltételek szerint < y Így a kedvező síkrész a négyzet y = parabola feletti része Ennek területe 0 d = 3 Mivel a négyzet egységnyi, ezért a kérdezett valószínűség is 3 3 Egy véletlen téglalapot úgy szerkesztünk meg, hogy mindkét oldalának hosszát egymástól függetlenül 0 és között egyenletes eloszlás szerint választjuk Mi a valószínűsége annak, hogy a téglalap kerülete nagyobb hosszegységnél, és a területe kisebb /4 területegységnél?
A két oldalhossz mint pontpár az egységnégyzeten egyenletes eloszlású A gyakorlaton ecel szimuláció segített a kedvező síkrész megtalálásában és az azzal való számolásban A feltételek szerint K = + y > és T = y < 4 Így a kedvező síkrész a négyzet y = egyenes feletti és az y = 4 hiperbola alatti része (a két rész metszete) A hiperbola alatti terület 4 d = 4ln(4) A kedvező területet ebből úgy kapjuk, hogy 4 kivonjuk belőle az alsó 3 4 hosszú befogókkal rendelkező derékszögű háromszög területét és hozzáadjuk a felső 4 hosszú befogókkal rendelkező derékszögű háromszög területét: 4 ln(4) ( 3 4 ) + ( 4 ), ami 4 ln(4) 4 Mivel a négyzet egységnyi, ezért a kérdezett valószínűség is 4 ln(4) 4 4 Buffon-féle tűprobléma avagy hogyan közelítsük meg a π-t tű és papír segítségével - híres probléma, érdemes utánanézni: Egy nagy papírlapra 4 cm-enként párhuzamos egyeneseket húzunk, majd egy cm hosszú tűt magasról a papírra ejtünk Mi a valószínűsége, hogy a tű metszi valamelyik egyenest? Vetier András angol nyelvű elektronikus jegyzetében az első fejezet 0- oldalán megtalálható a megoldás ecel szimulációk társaságában Mi a valószínűsége, hogy 3 független (0, )-en választott pont közül pontosan - essen a (0, 3 ), ( 3, 3 ), és, ) intervallumba? ( 3 Érdemes a pontokat színesnek képzelni Ha lerögzítjük, hogy melyik színű pont melyek intervallumba esik akkor ennek a valószínűsége ( 3 )3 Ezt meg kell szorozni a lehetséges sorrendekkel(permutáció), így a megoldás 3!( 3 )3 = 6 7 6 0 és között két számot választunk egymástól függetlenül, egyenletes eloszlás szerint a) Mi a valószínűsége annak, hogy a két szám különbségének abszolút értéke kisebb, mint a kisebbik szám? Az egységnégyzeten van egyenletes eloszlásunk Itt a kedvező síkrészt érdemes külön keresni az y > és az y < esetekben Előbb tegyük föl, hogy y > Ez azt jelenti, hogy most az y = egyenes felett keressük meg a kedvező pontpárokat Ekkor a feltétel y < -re egyszerűsödik, ami ekvivalens az y < feltétellel Így ebben az esetben az egységnégyzet y = és y = egyenesek közti pontjai kedvezőek Tegyük most fel, hogy y < Ekkor a feltétel y < y-re egyszerűsödik, ami ekvivalens az y > feltétellel, így ebben az esetben az egységnégyzet y = és y = egyenesek közti pontjai kedvezőek Összességében az y = és y = egyenesek határolta síkrész a kedvező Ennek a területét megkapjuk ha a négyzet egységnyi területéből levonjuk a két oldalsó háromszög területét Így kedvező síkrész területe, ami tekinvte, hogy egységnégyzettel dolgozunk megegyezik a kérdezett valószínűséggel Megjegyzem, hogy az y = egyenesre esés valószínűsége 0, ezért nem foglalkoztunk ezzel a lehetőséggel b) A két szám három darabra vágja a [0, ] intervallumot Mi valószínűsége annak, hogy a három részintervallumból háromszöget lehet szerkeszteni? Itt is a kedvező síkrészt érdemes külön keresni az y > és az y < esetekben Előbb tegyük föl, hogy y > Ekkor a szakaszok hosszai, y, y Ilyen hosszokkal pontosan akkor szerkeszthető háromszög ha bármely kettőnek az összege nagyobb, mint a harmadik, vagyis ha +y > y, y + y >, + y > y, vagy ekvivalensen ha y >, <, y < + Ez egy 8 területű háromszög az y = egyenes feletti részen Ha az y = egyenes alatti részen vizsgálódunk, vagyis feltesszük, hogy y <, akkor szimmetria miatt itt is egy 8 területű háromszög lesz a kedvező síkrész Figyelembe véve, hogy az egységnégyzet területe, a kérdezett valószínűség 8 = 4 7 Mi a valószínűsége, hogy független, (0, )-en egyenletes eloszlás szerinti két véletlen szám közül az egyik n-edik gyöke kisebb a másik m-edik gyökénél, azaz P ( n RND < m RND )? Az egységnégyzeten van egyenletes eloszlásunk, a vízszintes tengely adja az RND -t a függőleges pedig az RND -t P ( n RND < m RND ) = P ((RND ) m n < RND ) Így a kedvező síkrész az y = m n függvény feletti terület, ami 0 m n d = m n + Így a kérdezett valószínűség m n + = n n+m = m n+m 8 Egy piros, egy fehér és egy zöld pontot teszünk a [0, ] intervallumra egymástól függetlenül, külön-külön egyenletes eloszlás szerint Mi a valószínűsége annak, hogy a piros és a zöld pont közötti távolság legfeljebb 3, és a fehér pont a piros és a zöld közé kerül?
Itt az egységkockán belül a kedvező térrészt kellene megtalálni Ez nem egyszerű feladat Van egy másik, ennél egyszerűbb megoldás, de ti még a szükséges eszközöket nem ismeritek Viszont ecel segítségével numerikusan könnyen közelíthető a valószínűség Egy sorba egymás után felvesztek három Rand()-ot, majd ellenőrzitek IF, AND, OR függvények segítségével, hogy teljesülnek-e a feladatban előírt feltételek, majd ezt a sort megsokszorozva, relatív gyakorisággal közelíthető a kérdezett valószínűség 9 Bertrand-paradoon - híres probléma, érdemes utánanézni: Egyezzünk meg abban, hogy a kör egy húrját "hosszúnak" nevezzük, ha a húrhoz tartozó középponti szög 0 foknál nagyobb, vagyis a húr hosszabb, mint a körbe rajzolható egyenlőoldalú háromszög oldalának a hossza Egységsugarú kör esetén ez annyit jelent, hogy a húr hosszabb, mint 3 egység Mi a valószínűsége annak, hogy a kör húrjai közül véletlenszerűen választva hosszú húr adódik, ha a véletlenszerű választás az alábbi módszerek egyikét jelenti? a) A kör egyik átmérőjét véletlenszerűen kiválasztjuk úgy, hogy az átmérő irányát kijelölő szög egyenletes eloszlású legyen 0 és π között, majd pedig a kiválasztott átmérőn egyenletes eloszlás szerint választunk egy pontot Azt a húrt tekintjük, mely átmegy ezen a ponton, és merőleges az átmérőre b) A kör kerületén egymástól függetlenül két pontot választunk egyenletes eloszlás szerint, és tekintjük a két pont által meghatározott húrt c) A körlapon egyenletes eloszlás szerint választunk egy pontot, és tekintjük azt a húrt, aminek ez a pont a felezőpontja Ez a feladat alkalmas arra, hogy összezavarjon titeket Aki bizonytalannak érzi a tudását az inkább hagyja ki ezt a feladatot Az angol nyelvű wikipédián (http://enwikipediaorg/wiki/bertrand_parado_(probability)) mindhárom hozzáállásból adódó megoldást megtaláljátok A három hozzáállás különböző eredményre vezet Ez csak látszólag paradoon A lényeg ott van, hogy a "kör húrjai közül véletlenszerűen választva" kifejezés nem határozza meg pontosan a véletlen választás módját A három megoldás három különböző pontosabb meghatározáson alapul A gyakorlatban ha hasonló problémával szembesülünk, akkor ki kellene kísérletezni, hogy a három lehetőség közül most éppen melyikkel is van dolgunk Eloszlás- és sűrűségfüggvény Az eloszlásfüggvény pontban felvett értéke megadja, hogy az X valószínűségi változó mekkora valószínűséggel vesz fel az valós számnál kisebb értéket: F () = P(X < ), R Az eloszlásfüggvény jellemzői: a ()-ben 0-hoz, a -ben -hez tart, monoton növekvő (nem feltétlenül szigorúan!) vagyis ha <, akkor F ( ) F ( ), 3 mindenhol balról folytonos Amikor F () eloszlásfüggvény folytonos: ekkor X eloszlását folytonosnak nevezzük Ebben az esetben azt is feltesszük, hogy van olyan f sűrűségfüggvény, amellyel F () = f(t)dt, R Minden olyan pontban, ahol f folytonos, fennáll, hogy f() = F () Tetszőleges (a, b) vagy [a, b] intervallumba esés valószínűsége a folytonos esetben: P(a < X < b) = P(a X b) = F (b) F (a) = b a f(t)dt A sűrűségfüggvény tulajdonságai: f() 0 minden -re, Feladatok: f()d = 3
0 Legyen X egy egyenletes eloszlású valószínűségi változó az (a, b) intervallumon Mi X eloszlás- és sűrűségfüggvénye? Eloszlásfüggvény felírást érdemes úgy kezdeni, hogy megvizsgáljuk a triviális eseteket Itt ha kisebb a-nál, akkor 0 annak a valószínűsége, hogy X kisebb, mint Ha pedig nagyobb, mint b, akkor valószínűséggel kisebb X a -nél Ha a és b között van, akkor pedig kedvező intervallum hossza osztva a teljes intervallum hosszával kiszámolhatjuk a kérdéses valószínűséget (az a és b közötti intervallumon van egy egyenletes eloszlású valószínűségi változónk) Így az eloszlásfüggvény és deriváltja a sűrűségfüggvény a következőképpen írható: F () = 0 ha < a a b a ha [a, b] ha > b, f() = 0 ha < a b a ha [a, b] 0 ha > b Az alábbi függvények melyike lehet eloszlásfüggvény? (Ahol a függvény nincs megadva, ott automatikusan 0) a) b) c) d) F () = + e + ha < Mindegyik feladatnál a fent leírt feltételeket kell ellenőrizni Ez nem eloszlásfüggvény, ugyanis nem igaz, hogy monton nőne Megjegyzés: A definícióból látszik, hogy az eloszlásfüggvény mindig 0 és között van, ez sem teljesül G() = + ha 0 -ben -höz tart, tehát nem lehet eloszlásfüggvény H() = e ha 0 Minden teljesül (mindenhol folytonos, ()-ben 0-hoz, -ben -hez tart, monoton növekvő, és mindenhol folytonos), ezért ez eloszlásfüggvény I() = (4 ) ha 0 < és ha > 4 A folytonosság szempontjából lehetséges gyenge pont a 0 és a, de ha megnézzük ott is folytonos Egyszerű deriválással kijön, hogy monoton növekvő A +/ -ben jól viselkedik, mivel mindkét helyen egy idő után a kívánt konstans lesz, így ez eloszlásfüggvény Az alábbi függvények melyike sűrűségfüggvény? (Amelyik tartomány nincs megadva, ott a függvény 0) a) f() = ha > Két feltételnek kell teljesülnie f-re nézve: mindenhol nemnegatívnak kell lennie, és a teljes számegyenesen vett integrálja pedig legyen Mivel a függvény -nél kisebb helyeken 0, ezért az integrált a következő képpen számolhatjuk: f(t)dt = t dt = (Az t primitívfüggvénye ln(t), amely végtelenhez tartva végtelenhez tart) Így a függvény nem sűrűségfüggvény 4
b) g() = sin() ha 0 < < g() mindenhol nemnegatív, de az integrálja a teljes számegyenesen nem lesz, így nem sűrűségfüggvény g(t)dt = 0 sin(t) dt = [ cos() ] 0 0708073 c) h() = 3 sin( ) ha 0 < < π és 3 ln(3) ha 0 A nemnegativitást elég gyorsan lehet látni A teljes integrál pedig lesz, tehát ez egy sűrűségfüggvény π 0 sin(t/) 0 dt + 3 t ln(3)dt = 3 3 + 3 = d) i() = e ha > 0 A függvény nemnegatív, a teljes intervallumon vett integrálja pedig, így sűrűségfüggvény i(t)dt = 0 e t dt = 3 Egy tüzérségi lövedék a célterületet egy r sugarú körön belül éri el A körön bármely területre érkezés valószínűsége arányos az adott terület mérőszámávalaz X valószínűségi változó jelentse a becsapódás pontjának távolságát a célterület középpontjától Határozzuk meg X eloszlásfüggvényét és sűrűségfüggvényét! Mennyi annak a valószínűsége, hogy a lövedék az r/ ill 3r/4 sugarakkal határolt körgyűrű belsejébe esik? Számoljunk ki egy konkrét értéket! Mi a valószínűsége, hogy a lövedék egy r/ sugarú körbe esik? Ez egyeneletes eloszlás az r sugarú körlapon, így a válasz az r/ és az r sugarú kör aránya (a két területet elosztjuk egymással): (r/) π r π = 4 Szeretnénk kiszámolni az eloszlásfüggvényt X-szel jelölve a távolságot a kör közepétől és F ()-szel az eloszlásfüggvényt Ha [0, r] akkor: F () = P (X < ) = Az F () függvény így fog kinézni: F () = r ha [0, r] ha > r sugarú kör területe a teljes körlap = π r π = r A sűrűségfüggvény az eloszlásfüggvény deriváltja Így a sűrűségfüggvény: { } f() = r ha [0, r] 0 egyébként
Mennyi annak a valószínűsége, hogy a lövedék az r/ ill 3r/4 sugarakkal határolt körgyűrű belsejébe esik? A következő számolások ekvivalensek, mindegyik jó: F ( 3r 4 ) F ( r ) = 3r/4 r/ f(t)dt = 6 4 Egy l hosszúsági ropit találomra választott pontban kettétörünk Mi az így keletkezett darabok közül a rövidebbik eloszlásfüggvénye? Nézzünk először egy konkrét példát! Mi a valószínűsége, hogy l 4-nél rövidebb lesz a rövidebbik ropi hossza? Könnyen látható, hogy az l hosszúságú ropin ha a bal l 4 részén vagy ha a jobb l 4 részén lesz a törés, akkor a rövidebbik rész hossza kisebb lesz l 4 -nél Az is könnyen látszódik, hogy ha a törés mindkét oldaltól legalább l 4 távol van, akkor a rövidebbik ropi hossza nagyobb lesz l 4-nél X-szel jelölve a rövidebb ropi hosszát: P (X < l 4 ) = l 4 l = Általánosan, rögzített [ 0, l ] -re pontosan akkor lesz a rövidebbik darab hossza kisebb -nél, ha a törés helye az l hosszúságú ropin vagy 0 és között van, vagy l és l között Ez két hosszú szakasz, így: F () = P (X < ) = l Tetszőleges -re: F () = l ha [ 0, l ha > l ] A [0, ] intervallumon egyenletes eloszlással és egymástól függetlenül kijelölünk 4 pontot Mi a nagyság szerinti 3 pont eloszlásfüggvénye? És a sűrűségfüggvénye? És ha 0 pontot választunk, mi a 6 eloszlásfüggvénye? A [0,] intervallumon egyenletes eloszlással és egymástól függetlenül kijelölünk 4 pontot Mi a nagyság szerinti 3 pont eloszlásfüggvénye? És a sűrűségfüggvénye? F () = P (nagyság szerint 3 pont < ) = P (mind a négy pont < ) + P (pontosan 3 pont < és egy pont nagyobb -nél) = ( ) 4 4 + 3 ( ) = 4 4 3 ( ), 3 ha [0, ], egyébként, ha > és 0, ha < 0 A sűrűségfüggvény az eloszlásfüggvény deriváltja: f() = + 0 3 ha [0, ], egyébként 0 És ha 0 pontot választunk, mi a 6 eloszlásfüggvénye? Az előzőek alapján ha < 0, akkor 0, ha >, akkor, ha pedig [0, ] akkor: F () = P (nagyság szerinti 6 pont < ) = P (pontosan k pont < ) = k=0 k=0 ( ) 0 k ( ) 0 k k 6
6 Válasszunk az egységnégyzetben egyenletesen egy pontot Jelölje X e pontnak a négyzet legközelebbi oldalától vett távolságát Határozzuk meg az X eloszlását! Mi annak a valószínűsége, hogy a pontunk távolabb van az oldalaktól, mint /4? Rögzítsünk egy számot, és jelöljük be azon pontok halmazát, amelyek -nél közelebb vannak valamelyik oldalhoz Ezt elég könnyű megtenni, csak távolságra párhuzamost kell húznunk minden egyes oldallal A kérdéses síkidom egy keret lesz úgy, hogy egy ( )( ) nagyságú négyzet fog a közepéből hiányozni Így: F () = P (X < ) = ( )( ) = 4( ) ha [ 0, ], egyébként, ha > és 0, ha < 0 Annak a valószínűsége, hogy a pontunk távolabb van az oldalaktól, mint 4 : P (X > 4 ) = P (X < 4 ) = F ( 4 ) = 4 7 Egy távolsági busz egyenletes eloszlás szerint érkezik a megállóba, munkanapokon 3:00 és 3: között, hétvégén 3:00 és 3:0 között Utazásaim /3-a hétvégére, /3-a hétköznapra esik Mindig 3:00-ra érkezünk a buszmegállóba Határozzuk meg a buszra várakozás eloszlását Mi annak a valószínűsége, hogy kevesebb mint percet kell várakoznunk? Csak a percekkel számolunk, hiszen mindig 3 órával számolunk A hétköznapi és hétvégi eloszlás is egyenletes lesz, csak más paraméterekkel F hétköznap () = ha [0, ] ha > F hétvége () = l0 ha [0, 0] ha > 0 F () = P (X < ) (teljes valószínűség tétele) = P (hétköznap)p (X < hétköznap)+ P (hétvége)p (X < hétvége) = 3 F hétköznap() + 3 F hétvége() = F () = 3 + 3 3 0 ha [0, 0) ha [0, ] ha > A sűrűségfüggvényhez csak deriválnunk kell: 7 90 ha [0, 0) f() = 4 ha [0, ] 0 egyébként Mi a valószínűsége, hogy kevesebb, mint percet várunk? P (X < ) = F () = 3 + 3 0 = 7 8 8 Egyenletesen választunk egy félköríven egy pontot, vagyis egy adott ívhosszba esés valószínűsége arányos az ívhosszal Az így kapott pontot a középpontból kivetítjük a félkör átmérőjével párhuzamos érintőre, amely 7
egy számegyenes, ahol az érintési pont a 0, és a skálázása megegyezik a félkörével Mi a kivetített pont sűrűségfüggvénye? Mi annak a valószínűsége, hogy a kivetített pont a (, ) intervallumba esik? És annak a valószínűsége, hogy a (, ) intervallumba esik? (Az így kapott eloszlás a Cauchy-eloszlás) Az alábbi ábra mutatja, hogy miről van szó A félköríven egyenletes eloszlás szerint választunk egy pontot (ezek a kis kék pontok), majd a kör középpontjából levetítjük őket (ezek a zöld egyenesek), majd megnézzük a metszéspontot a számegyenessel (ezek lesznek a nagy piros négyzetek) A levetített pontok (piros négyzetek) eloszlását hívjuk Cauchy eloszlásnak Választunk egy pontot az egyenletesen a félköríven A kör középpontjából ábra Cauchy eloszlás nézve szöget rendelhetünk ezekhez a pontokhoz Jelöljük Y -nal a ezt a szöget úgy, ahogyan az ábrán látható (figyelem, ez a szög itt lehet negatív is) Így Y egyenletes eloszlású lesz ( π, π )-n X-szel jelölve a levetített pontot igaz lesz, hogy X = tan(y ) (a számegyenes origója az érintkezési pont) A kérdéses eloszlásfüggvény: F () = P (X < ) = P (tan(y ) < ) (mivel arctan mon nő) = P (Y < arctan()) Ez igaz, hiszen ha van két számom, pl: és 3, és igaz, hogy < 3, akkor egy szigorúan monoton növekvő függvényt alkalmazva mindkét oldalon, például 3+0-et, akkor továbbra is igaz lesz, hogy 3 +0 < 3 3+0 Ezt csináltuk most is, az arctangenst alkalmaztuk mindkét oldalon Y eloszlásfüggvényét ismerjük, így: P (Y < arctan()) = A sűrűségfüggvényhez deriválnunk kell: f() = π( + ) arctan() ( π/) π = + arctan() π Megjegyzem, hogy a felső képletek tetszőleges valós -re érvényesek, vagyis most nincsenek triviális esetek, más szóhasználattal a valószínűségi változónk nem korlátos 9 Egyenletesen választunk egy pontot a egységsugarú félköríven, majd az így kapott pontot levetítjük az átmérőre Mi az így kapott pont eloszlás- és sűrűségfüggvénye? Mi annak a valószínűsége, hogy az így kapott pont a ( 0, 0) intervallumba esik? Mi annak a valószínűsége, hogy kisebb, mint 0? És, hogy kisebb, mint 3? (Az így kapott eloszlás az árkuszszinusz-eloszlás) A piros négyzetek eloszlásást kell meghatározni Y szög legyen az ábra szerint (itt is lehet Y negatív is) Az Y eloszlása egyenletes lesz a ( π, π )-n X-szel jelölve a levetített pont képét X = sin(y ) Mivel az eloszlásunk a [, ]-ra koncentrált, ezért ha < akkor F () = 0, ha >, akkor F () =, [, ] esetén pedig az előző feladathoz hasonlóan: F () = P (X < ) = P (sin(y ) < ) (mivel arcsin mon nő ( π/,π/)-n) = P (Y < arcsin()) = arcsin() ( π ) π = + arcsin() π 8
ábra Arcsinusz eloszlása Így a sűrűségfüggvény (, ) esetén (egyébként 0): π A kérdésekre a válasz: P (a pont a (-0,0) intervallumba esik) = P (X < 0) P (X < 0) = F (0) F ( 0) = 3 P (X < 0) = F (0) = 3 3 P (X < ) = F ( ) = 3 0 Egyenletesen választunk egy pontot a [, ] intervallumban, jelöljük ezt X-szel Mi annak a valószínűsége, hogy X 3 < 0? És ha a pontunkat a [0, ]-ben választjuk egyenletesen? Mi lesz X 3 eloszlásfüggvénye? És a sűrűségfüggvénye? Legyen először X egyenletes a [, ]-n Ekkor X eloszlásfüggvénye F () = 0 ha < + ha [, ] ha > Most kiszámoljuk X 3 G() eloszlásfüggvényét és g() sűrűségfüggvényét Legyen [, ] (ez az érdekes eset) Ekkor használva a harmadikra emelés szigorú monotonságát és azt, hogy 3 a és az közé esik ha [, ] G() = P (X 3 < ) = P (X < 3 ) = F ( 3 ) = 3 + Így a kérdéses függvények: G() = 0 ha < 3 + ha [, ] ha >, g() = 0 ha < 6 3 ha [, ] 0 ha > Végezetül P (X 3 < 0) = G(0) = 3 0+ Ha X egyenletes a [0, ]-n, akkor ehhez hasonlóan kell a feladatot megoldani, -es feladat is szorosan kötődik Határozd meg az eloszlás- és sűrűségfüggvényét az alábbi valószínűségi változóknak, továbbá gondolkodjunk el azon, hogy ha csak a sűrűségfüggvényt ismernénk, hogyan tudnánk megmondani az eloszlásfüggvényt: 9
A megoldásban F () jelöli RND eloszlásfüggvényét: F () = ha [0, ] ha > G() és g() pedig mindig a kiszámolandó eloszlás- illetve sűrűségfüggvényt jelöli Jó tudni azt is, hogy ha egy folytonos valószínűségi változó eloszlás- vagy sűrűségfüggvényét különböző tartományokon különböző képlettel kell megadnunk, akkor annak nincs jelentősége, hogy melyik ágon engedjük meg az egyenlőséget Megjegyezzük azt is, hogy érdemes azzal kezdeni, hogy meghatározzuk a kérdéses valószínűségi változó lehetséges értékeit, ezzel meghatározva a triviális eseteket a) X = RND Meg lehet oldani a korábbi módszerekkel is, de úgy is, hogy ráérzünk RN D egyenletes eloszlású a [0, ]- n, így az eloszlás- és sűrségfüggvénye G() = ha [0, ] ha >, g() = ha [0, ] 0 ha > b) X = + RND Most [, 7]-n van egyenletes eloszlásunk, így 0 ha < G() = ha [, 7] ha > 7, g() = c) X = + RND Most [, 3]-n van egyenletes eloszlásunk, így 0 ha < + G() = ha [, 3] ha > 3 d) X = RND, g() = Speciális esete az f alfeladatnak, előadáson szerepelt e) X = RND Speciális esete a g alfeladatnak 0 ha < ha [, 7] 0 ha > 7 0 ha < ha [, 3] 0 ha > 3 f) X = RND c ahol c egy pozitív konstans Legyen [0, ] (ez az érdekes eset) Ekkor használva a c pozitív hatványra emelés szigorú monotonságát a [0, ]-n és azt, hogy c 0 és közé esik (innen tudjuk, hogy az F () középső ágát kell használni) G() = P (RND c < ) = P (RND < c ) = F ( c ) = c Így a kérdéses függvények: G() = 0 ha 0 c ha (0, ) ha, g() = 0 ha 0 c c ha (0, ) 0 ha 0
g) X = RND c ahol c egy negatív konstans Legyen > (ez az érdekes eset) Ekkor használva a c negatív hatványra emelés szigorú monotonságát G() = P (RND c < ) = P (RND > c ) = F ( c ) = c Így a kérdéses függvények: { } 0 ha G() = c ha > {, g() = 0 ha c c ha > } h) X = ln RND Legyen < 0 (ez az érdekes eset) Későbbi hivatkozás miatt most kivételesen H() és h() jelöli a kiszámolandó eloszlás- illetve sűrűségfüggvényt H() = P (ln RND < ) = P (RND < e ) = F (e ) = e Így a kérdéses függvények: { } e ha < 0 H() = ha 0, h() = { e ha < 0 0 ha 0 } i) X = ln RN D A változatosság kedvéért most az előző pontban kiszámolt eloszlásfüggvényre fogunk támaszkodni Legyen 0 (ez az érdekes eset) G() = P ( ln RND < ) = P (ln RND > ) = H( ) = e Így a kérdéses függvények: { } G() = e ha 0, g() = { e ha 0 } j) X = RND Az eddigiekhez hasonlóan dolgozhatunk A kérdéses függvények: G() = ha [0, ], g() = ha > ha [0, ] 0 ha > k) X = t(rnd) ahol y = t() egy szigorúan monoton növekvő folytonosan differenciálható függvény Az eddigiekhez hasonlóan dolgozhatunk itt is G() = P (t(rnd) < ) = P (RND < t ()) = F (t ()) Szándékosan nincs behelyettesítve az F () függvény a fenti képletbe, mert a t ()-en múlik, hogy melyik ágát kellene használni g() = f(t ())(t ()), ahol f az RND sűrűségfüggvényét jelöli A képlet egyszerűen a deriválás láncszabályának a következménye
l) X = t(rnd) ahol y = t() egy szigorúan monoton csökkenő folytonosan differenciálható függvény Az előzőhöz hasonlóan G() = P (t(rnd) < ) = P (RND > t ()) = F (t ()) Szándékosan nincs behelyettesítve az F () függvény a fenti képletbe, mert a t ()-en múlik, hogy melyik ágát kellene használni g() = f(t ())(t ()), ahol f az RND sűrűségfüggvényét jelöli A képlet egyszerűen a deriválás láncszabályának a következménye A feladat utal arra, hogy nem árt tudni, hogy egy g() sűrűségfüggvényből, a G() = g(t)dt képlettel lehet eloszlásfüggvényt számolni De a g() határozatlan integráljával is dolgozhatunk ha a belépő konstanst az eloszlásfüggvény valamelyik tulajdonságából kitaláljuk Legyen az X egy tetszőleges folytonos valószínűségi változó F () eloszlásfüggvénnyel, U pedig egyenletes eloszlású a [0, ] intervallumon Tegyük fel, hogy F () egy [A, B] intervallumon (A lehet, B lehet ) szigorúan növekvő, és F (A) = 0, F (B) = Határozzuk meg F (U) eloszlását! (Általánosított inverz eloszlásfüggvény használatával nincs szükség a feltevésekre, de ezzel részletesebben nem foglalkozunk) Jelöljük G()-el F (U) valószínűségi változó eloszlásfüggvényét Használva a szigorú monotonságot és azt, hogy U eloszlásfüggvénye ha [0, ] adódik: G() = P (F (U) < ) = P (U < F ()) = F () Vagyis F (U) eloszlásfüggvénye épp F () Ebből látszik, hogy ha adott egy F () eloszlásfüggvény a megfelelő feltételekkel, akkor ha az inverzébe Rand()-ot helyettesítünk ecelben akkor pont egy F () eloszlásfüggvényű valószínűségi változót szimulálunk