KIDOLGOZÁSA - INFORMATIKAI MATEMATIKA SZAK -

ANALITIKUS MÉRTANBÓL KITŰZÖTT ÁLLAMVIZSGA TÉTELEK KIDOLGOZÁSA - INFORMATIKAI MATEMATIKA SZAK - Trtlomjegyzék 1. Anlitikus mértn síkbn 1.1. Síkbeli egyenesek egyenletei Descrtes-féle koordinát rendszerhez viszonyítv......... 1.1.1. Egy pont és egy vektor áltl meghtározott egyenes egyenlete.............. 1.1.. Két különböző pont áltl meghtározott egyenes egyenlete................ 3 1.1.3. Egyenes tengelymetszetes lkj.............................. 3 1.. Két síkbeli egyenes szöge....................................... 3 1.3. Párhuzmos és merőleges egyenesek................................ 4 1.3.1. Párhuzmos egyenesek.................................... 4 1.3.. Merőleges egyenesek..................................... 4 1.4. Pont távolság egyenestől (síkbn)................................. 4 1.5. Kúpszeletek.............................................. 5 1.5.1. Kör.............................................. 5 1.5.. Ellipszis............................................ 6 1.5.3. Hiperbol........................................... 9 1.5.4. Prbol........................................... 1. Kitűzött feldtok 15

1. Anlitikus mértn síkbn 1.1. Síkbeli egyenesek egyenletei Descrtes-féle koordinát rendszerhez viszonyítv Legyen R = {O, e 1, e } egy ffin koordinát-rendszer síkbn. 1.1.1. Egy pont és egy vektor áltl meghtározott egyenes egyenlete Legyen A( 0, y 0 ) egy rögzített pont síkbn és d(p, q) pedig egy rögzített vektor. Ekkor levezethetjük z A ponton áthldó d irányvektorú e egyenes vektoriális egyenletét teljesen hsonlón, mint térbeli egyenes esetén és itt is kpjuk z egyenes egyenletének, hogy e : r M = r A + λ d, λ R, (1) hol M(, y) egy tetszőleges pont z e egyenesen. Behelyettesítve z r M, r A, d vektorok koordinátáit, kpjuk z e (síkbeli) egyenes prméteres egyenleteit: { = 0 + λp () y = y 0 + λq λ R. Kifejezzük fenti egyenletrendszer mindkét egyenletéből λ-t és egyenlővé tésszük egymássl. z e (síkbeli) egyenes knonikus egyenletéhez: Így jutunk 0 p = y y 0 q (3) 1.1. Megjegyzés. Konvenció szerint, h z egyik tört nevezője null, kkor számláló is null. 1 Péld. H z e egyenes egyenlete: = y 3, kkor ez ekvivlens zzl, hogy e : y 3 = 0, vgyis 0 z e párhuzmos z O tengellyel. H z e egyenes nem párhuzmos z Oy tengellyel (vgyis p 0), kkor z e bármely irányvektor esetén q = m rány állndó. Ezt z rányt z e egyenes iránytényezőjének nevezzük. p H z R Descrtes-féle koordinát-rendszer (vgyis derékszögű), kkor hol α z e egyenesnek z O tengellyel bezárt szöge. m = tg α, (4) y O d(p, q) } q α }{{} p e 1. ábr. H (3) összefüggést beszorozzuk q-vl, kpjuk, hogy y y 0 = q p ( 0). (5) Tehát, z dott A( 0, y 0 ) ponton áthldó és dott m iránytényezőjű egyenes egyenlete y y 0 = m( 0 ). (6)

1.1.. Két különböző pont áltl meghtározott egyenes egyenlete Legyen M 1 ( 1, y 1 ) és M (, y ) két rögzített pont síkbn. Ekkor z M 1 és M pontokon áthldó egyenes irányvektor M 1 M ( 1, y y 1 ), tehát z M 1 M egyenes knonikus egyenlete: 1 1 = y y 1 y y 1, (7) melyet még átírhtunk következő könnyebben megjegyezhető lkb: y 1 1 y 1 1 = 0. (8) y 1 1.1.3. Egyenes tengelymetszetes lkj H z egyenes koordinát-tengelyeket z A(, 0) és B(0, b) pontokbn metszi, kkor egyenlete: + y b = 1. 1.. Megjegyzés. Az M 1 M nem függőleges egyenes iránytényezője: 1.. Két síkbeli egyenes szöge I. módszer. Legyen m M1 M = y y 1 1. d 1 : 1 + b 1 y + c 1 = 0, d : + b y + c = 0 két áltlános egyenlettel megdott egyenes z Oy síkbn. Ezt z két egyenletet átírv knonikus lkr: d 1 : = y + c1 b 1, d : = y + c b kpjuk két egyenes irányvektorát: d1 ( b 1, 1 ) illetve d b 1 1 b ( b, ). Felhsználv (??) összefüggést, kpjuk, hogy cos( d 1, d ) = 1 + b 1 b 1 + b 1 + b (9) II. módszer. Legyen d 1 : y = m 1 + n 1, d : y = m + n két eplicit egyenlettel megdott egyenes z Oy síkbn. Ekkor m 1 = tgα 1 és m = tgα, hol α 1 és α két egyenesnek z O tengellyel bezárt hjlásszögét jelölik (lásd ábr). y d 1 d O α φ α1. ábr. Két egyenes szöge Beláthtó, hogy h φ-vel jelöljük d 1 és d egyenesek szögét, kkor φ = α 1 α. Tehát tgφ = tg(α 1 α ) = tgα 1 tgα 1 + tgα 1 tgα = m 1 m 1 + m 1 m. (10)

H felcseréljük z m 1 és m sorrendjét, kkor kiegészítő szög mértékét fogjuk megkpni. Mivel két egyenes szögén mindig hegyesszöget értjük és tudjuk, hogy ennek tngense pozitív, két síkbeli egyenes szögére levezetett összefüggést következő lkbn hsználjuk: 1.3. Párhuzmos és merőleges egyenesek 1.3.1. Párhuzmos egyenesek tg( d 1, d ) = m 1 m 1 + m 1 m. (11) Két párhuzmos egyenes irány megegyezik és ezáltl iránytényezőjük is egyenlő, vgyis: d 1 d m 1 = m. (1) 1.3. Megjegyzés. A fenti összefüggés onnn is következik, hogy Két egyenes kkor és cskis kkor párhuzmos, h bezárt szögük 0, mi ekvivlens zzl (11) összefüggés lpján, hogy iránytényezőik megegyeznek. 1.3.. Merőleges egyenesek 1.4. Megjegyzés. Legyen d 1, d két egymásr merőleges egyenes. Ekkor irányvektorik d 1 (p 1, q 1 ) és d (p, q ) szintén merőlegesek egymásr, ezért skláris szorztuk null. Tehát p 1 p + q 1 q = 0. Feltételezve, hogy egyik egyenes sem párhuzmos z Oy tengellyel, végigoszthjtuk ezt z egyenletet p 1 p -vel és felhsználv z iránytényező értelmezését, kpjuk, hogy d 1 d m 1 m = 1. (13) 1.5. Megjegyzés. 1. A (13) összefüggés másként is levezethető. Ay (11) összefüggés jobboldlánk nincs értelme bbn z esetben, h m 1 m = 1. Ez zt jelenti, hogy értelmetlen tg( d 1, d ), vgyis d 1 és d egyenesek szöge 90. 1.4. Pont távolság egyenestől (síkbn) Legyen e : + by + c = 0 egy egyenes z Oy síkbn és M 0 ( 0, y 0 ) egy pont síkbn. Az M 0 pont távolságán z e egyenestől z [M 0 M 1 ] szksz hosszát értjük, hol M 1 z M 0 pont e egyenesre eső vetülete. M 0 e M 1 3. ábr. Az M 0 pont távolság z e egyenestől: M 0 M 1. Felírjuk z M 0 ponton áthldó és z e egyenesre merőleges M 0 M 1 egyenes egyenletét: M 0 M 1 : y y 0 = 1 m e ( 0 ), hol m e = b z e egyenes iránytényezője. Az M 1 pont ( 1, y 1 ) koordinátáit megkpjuk z e és M 0 M 1 egyenesek egyenleteiből lkotott { b( 0 ) = (y y 0 ) + by + cz = 0 egyenletrendszer megoldásként: 1 = 0 0 + by 0 + c + b y 1 = y 0 b 0 + by 0 + c + b.

Kiszámítv [M 0 M 1 ] szksz hosszát, kpjuk, z M 0 pont távolságát z e egyenestől: d(m 0, e) = 0 + by 0 + c + b. (14) Alklmzás. Szögfelezők egyenletei (síkbn). Legyen d 1 : 1 + b 1 y + c 1 z = 0, d : + b y + c z = 0 két metsző egyenes síkbn. Célunk meghtározni két egyenes áltl lkotott szög (belső és külső) szögfelezőinek egyenleteit. Tudjuk, hogy szögfelező zon pontok mértni helye, melyeknek távolság szög két szárától megegyezik. Legyen M(, y) egy tetszőleges pont síkbn. Ez pont kkor és cskis kkor lesz d 1 és d egyenesek szögfelezőjén, h d(m, d 1 ) = d(m, d ), vgyis 1 + b 1 y + c 1 1 + b 1 = + b y + c. + b Így két szögfelező egyenlete: 1 + b 1 y + c 1 1 + b 1 = ± + b y + c. (15) + b 1.5. Kúpszeletek 1.5.1. Kör Legyen M 0 egy rögzített pont P síkbn és legyen r > 0 egy rögzített szám. 1.1. Értelmezés. Az M 0 középpontú és r sugrú C kör zon M pontok mértni helye síkból, melyeknek z M 0 ponttól vett távolság állndó és egyenlő r-rel, vgyis Legyen Oy egy Descrtes-féle koordinát-rendszer. C(M 0, r) = {M P : MM 0 = r.} (16) 1.1. Tétel. Az M(, y) pont kkor és cskis kkor vn z M 0 ( 0, y 0 ) középpontú, r sugrú körön, h ( 0 ) + (y y 0 ) = r. (17) Bizonyítás. Az M pont kkor és cskis kkor vn z M 0 középpontú r sugrú körön, h MM 0 = r, vgyis ( 0 ) + (y y 0 ) = r ( 0 ) + (y y 0 ) = r. Tehát z M 0 ( 0, y 0 ) középpontú, r sugrú kör implicit egyenlete: C : ( 0 ) + (y y 0 ) = r. 1.. Tétel. Az ( 0 ) +(y y 0 ) = r egyenletű kör M 1 ( 1, y 1 ) pontjábn szerkesztett érintő egyenlete: ( 0 )( 1 0 ) + (y y 0 )(y 1 y 0 ) = r, (18) melyet még kör duplázott egyenletének is nevezünk z M 1 ( 1, y 1 ) pontbn. Bizonyítás. Tudjuk, hogy kör M 1 pontjáb szerkesztett érintő merőleges z M 1 ponton áthldó átmérőre. Felírjuk először z átmérő egyenletét: M 1 M 0 : 1 0 1 = y y 1 y 0 y 1 mjd z erre merőleges (érintő) egyenletét, felhsználv, hogy mérintő = 1 m M1 M 0 = 0 1 y 0 y 1. Tehát z érintő egyenlete: y y 1 = 0 1 y 0 y 1 ( 1 ).

T M 1 ( 1, y 1 ) M 0 4. ábr. Kör érintője és normális. ( 0 + 1 )( 1 ) (y 0 y 1 )(y y 1 ) = 0 (19) Mivel z M 1 pont rjt vn C körön, kielégíti nnk egyenletét: Összedv (19) és (0) egyenleteket kpjuk, hogy ( 1 0 ) + (y 1 y 0 ) = r. (0) (y y 0 )(y 1 y 0 ) + ( 0 )( 1 0 ) = r. (1) 1.. Értelmezés. A kör M 1 pontjáb szerkesztett normálisán zt z egyenest értjük, mely áthld z M 1 ponton és merőleges z M 1 pontb szerkesztett körérintőre. Kör esetén egy M 1 pontb szerkesztett normális megegyezik z M 1 ponton áthldó átmérővel. Tehát egyenlete: 1 M 1 M 0 : = y y 1 0 1 y 0 y 1 1.6. Megjegyzés. Kör érintőjének egyenletét meghtározhtjuk felhsználv z nlízisből jólismert eredményt is: Legyen f : I R egy deriválhtó függvény, I R nyílt intervllum. A függvény grfikus képéhez z M( 1, f( 1 ) = y 1 ) pontbn szerkesztett érintő egyenlete: y y 1 = f ( 1 )( 1 ). Kör esetén: y = f() = y 0 ± r ( 0 ), hol z előjelet pozitívnk válsztjuk, h M pont kör felső körívén tlálhtó és negtívnk ellenkező esetben. 1.5.. Ellipszis 1.3. Értelmezés. Azon pontok mértni helyét síkból, melyeknek két rögzített ponttól mért távolságuk összege állndó, ellipszisnek nevezzük. Legyen c > 0 és F, F két rögzített pont síkbn úgy, hogy F F = c és legyen > c. A sík zon M pontjink mértni helyét, melyre MF + MF =, ellipszisnek nevezzük: E = {M P : MF + MF = }. További elnevezések: 1. F, F : z ellipszis fókuszi. F F egyenes: fokális tengely 3. F F = c : fókusztávolság 4. [MF ] és [MF ] szkszok: M ponthoz trtozó vezérsugrk. 1.7. Megjegyzés. H c = 0, kkor z ellipszis egy sugrú kör lesz. Legyen E egy dott ellipszis. Válsztunk egy Oy Descrtes-féle koordinát-rendszert úgy, hogy z O pont legyen z [F F ] szksz felezőpontj, z O tengely legyen fokális tengely. Ekkor F ( c, 0) és F (0, c).

y B b M... F... F c O c B b 5. ábr. Ellipszis. 1.3. Tétel. Az M(, y) pont kkor és cskis kkor vn z E ellipszisen, h + y b = 1, hol b = c. Bizonyítás. Az M pont rjt vn z E ellipszisen, h MF + MF =. Ekkor ( + c) + y + ( c) + y =. ( + c) + y = ( c) + y + 4 ( c) + y 4c 4 = 4 ( c) + y c c + 4 = c + c + y ( c ) + y = ( c ). Bevezetjük z c = b jelölést és végigosztv z előbbi egyenletet b -tel kpjuk z ellipszis knonikus egyenletét: E : + y = 1. () b 1.8. Megjegyzés. A B(0, b = c ) és B (0, b = c ) pontok rjt vnnk z ellipszisen, mégpedig z ellipszis metszéspontját jelölik z Oy tengely-lyel. Vlóbn, BOF és BOF kongruens háromszögekben lklmzv Pithgorász tételét kpjuk, hogy + b = c. 1.9. Megjegyzés. H jelöljük A, A és B, B -tel () egyenlettel megdott ellipszis metszeteit z O illetve Oy tengelyekkel és > b, kkor még hsználjuk következő kifejezéseket: 1. z [AA ] szksz z ellipszis ngytengelye;. [BB ] szksz z ellipszis kistengelye; 3. z A(, 0), A (, 0), B(0, b), B ( b, 0) pontok: z ellipszis csúcsi. 1.10. Megjegyzés. Az ellipszis knonikus egyenletében z és y változók második htványon szerepelnek, ezért egy M(, y) ponttl együtt z ellipszisen vnnk z M 1 (, y), M (, y), M 3 (, y) pontok is. Tehát z O és Oy tengelyek szimmetritengelyei z ellipszisnek, z O pont pedig szimmetriközéppontj. 1.4. Tétel. Az E : + y b = 1 egyenletű ellipszis M 0( 0, y 0 ) pontjáb szerkesztett érintő egyenlete: 0 + yy 0 b = 1, melyet még z ellipszis duplázott egyenletének is nevezünk z M 0 pontbn. Bizonyítás.Az ellipszis érintőjének meghtározásár 1.6 Megjegyzést hsználjuk fel. Az f függvény felírás érdekében z ellipszis egyenletéből kifejezzük z y-t: y = ±b 1 = ± b.

Tételezzük fel, hogy z M 0 pont z ellipszis felső ívén vn, vgyis y 0 0 (ellenkező esetben teljesen hsonlón járunk el). Ekkor z f függvényt is ennek megfelelően válsztjuk: y = f() = b. Az érintő egyenlete: y y 0 = f ( 0 )( 0 ) y y 0 = b 0 0 ( 0 ). (3) Mivel z M 0 ( 0, y 0 ) E, következik, hogy 0 + y 0 b = 1, vgyis y 0 = b ( 0). Feltételeztük, hogy y 0 0, tehát 0 = b y 0. Visszhelyettesítve ezt (3) összefüggésbe írhtjuk, hogy Beszorozv ezt z egyenletet y 0 -tel, kpjuk, hogy b y y 0 = b 0 y 0 ( 0 ). 0 + yy 0 b = y 0 b + 0 = 1. Tehát z érintő egyenlete: 0 + yy 0 b = 1. 1.4. Értelmezés. Az ellipszis M 0 pontb szerkesztett normális z z egyenes, melyik áthld z M 0 ponton és merőleges z ellipszis M 0 pontjábn szerkesztett érintőre. 1.5. Tétel. (Az ellipszis optiki tuljdonság) Az ellipszis M 0 pontjáb szerkesztett érintő és normális felezik z F M 0 és F M 0 vezéregyenesek áltl meghtározott szögeket. érintő y normális M 0 F O F 6. ábr. Ellipszis optiki tuljdonság. Bizonyítás. Úgy szerkesztjük meg koordinát-rendszert, hogy z ellipszis egyenlete legyen E : + y b = 1, hol b = c és fókuszok F ( c, 0); F (c, 0). Legyen M 0 ( 0, y 0 ) E egy tetszőleges pont. Felírjuk z F M 0 és F M 0 vezéregyenesek egyenleteit: F M 0 : 0 c 0 = y y 0 y 0 F M 0 : y 0 + ( 0 c)y + cy 0 = 0; (4) F M 0 : 0 c 0 = y y 0 y 0 F M 0 : y 0 ( 0 + c)y + cy 0 = 0. (5) F M és F M egyenesek áltl bezárt szögek szögfelezői ( 15 egyenlet lpján): y 0 + ( 0 c)y + cy 0 y 0 + ( 0 c) = ± y 0 ( 0 + c)y + cy 0 y 0 + ( 0 + c) (6)

Kiszámítjuk gyökjel ltti kifejezéseket: y 0 + ( 0 c) = b ( 0) + ( 0 c) = = c ( 0) + 0 0 c + c = ( c 0 ). Mivel 0 [, ] és 0 < c <, következik, hogy c 0 0. Tehát Hsonló számítások után kpjuk, hogy Ekkor (6), (7), (8) összefüggések lpján z y0 + ( 0 c) = c 0. (7) y0 + ( 0 + c) = + c 0. (8) F M 0 F szög szögfelezőinek egyenletei: y 0 + ( 0 c)y + cy 0 c 0 = ± y 0 ( 0 + c)y + cy 0 + c 0. Két esetünk vn, szerint, hogy z egyenlőség jobboldlán melyik előjelet válsztjuk. Válsszuk például + előjelet! Ekkor elvégezve műveleteket és lklmzv c = b összefüggést, kpjuk z lábbi egyenletet: y 0 + 0 y cy + cy 0 c 0 y 0 + c 0y c 0 y + c 0 y 0 = = y 0 0 y cy + cy 0 c 0 y 0 + c 0y + c 0 y c 0 y 0 y 0 + b y 0 + ( b ) 0 y 0 = 0. Átrendezve ezt z egyenletet észrevehetjük, hogy ez épp z M 0 pontb szerkesztett normális egyenlete. Így másik szögfelező ( előjeles) z M 0 pontb szerkesztett érintő lesz (mert belső és külső szögfelezők merőlegesek egymásr z M 0 pontbn, kárcsk z érintő és normális). 1.11. Megjegyzés. A tételben kijelentett mértni tuljdonságok z lábbi optiki tuljdonságnk felel meg: z ellipszis egyik fókuszábn elhelyezett fényforrásból kiinduló tetszőleges fénysugár z ellipszisről vló visszverődés után másik fókuszon fog átmenni. 1.5.3. Hiperbol 1.5. Értelmezés. A hiperbol zon pontok mértni helye, melyeknek két rögzített ponttól vett távolságuk különbsége állndó. Legyen c > 0, F, F két rögzített pont síkbn úgy, hogy F F = c és legyen (0, c). A sík zon M pontjink H hlmzát, melyre MF MF = hiperbolánk nevezzük: H = {M P MF MF = }. További elnevezések: 1. F, F : hiperbol fókuszi. F F : fokális tengely 3. F F = c: fókusztávolság 4. [MF ], [MF ] szkszok: z M ponthoz trtozó vezérsugrk. Legyen Oy egy Descrtes-féle koordinát-rendszer, melynek origój legyen z [F F ] szksz felezőpontj, O tengelye pedig fokális tengely. Ekkor fókuszok koordinátái: F (c, 0), F ( c, 0). 1.6. Tétel. A M(, y) pont kkor és cskis kkor trtozik hozzá H hiperbolához, h hol b = c. y b = 1,

y... b F ( c, 0) A O A... -b F (c, 0) 7. ábr. Hiperbol Bizonyítás. A hiperbol értelmezése szerint z M pont kkor vn H hiperbolán, h MF MF =, vgyis MF MF = ± ( c) + y + ( + c) + y = ±. Négyzetreemelve mindkét oldlt kpjuk, hogy ( c) + y = 4 + ( + c) + y ± 4 ( + c) + y 4c 4 = ±4 ( + c) + y. Újr négyzetre emelést lklmzv és átrendezve z egyenletet következik, hogy (c ) y + ( c ) = 0. Bevezetve b = c jelölést és elosztv z egyenletet b -tel, megkpjuk hiperbol knonikus egyenletét: H : y b = 1 (9) 1.1. Megjegyzés. A hiperbol egyenletéből dódik, hogy hiperbolánk két szimmetritengelye vn; z egyik fókuszokt összekötő egyenes, ezt hiperbol hiperbol vlós tengelyének nevezzük; másik fókuszokt összekötő szksz felezőmerőlegese, melyet hiperbol képzetes tengelyének nevezünk. A két tengely O metszépontj hiperbol szimmetri-középpontj, mit hiperbol középpontjánk is mondunk. 1.13. Megjegyzés. Beláthtó, hogy z A(, 0) és A (, 0) pontok rjt vnnk hiperbolán, mégpedig ott, hol z O tengely metszi hiperbolát. Ezeket pontokt hiperbol csúcspontjink nevezzük. Az, b számok hiperbol vlós és képzetes féltengelyei. 1.7. Tétel. Az H : y = 1 egyenletű prbolánk vn két ferde szimptotáj ± -ben, melynek b egyenletei: Bizonyítás. Kifejezzük hiperbol egyenletéből y-t és legyen y = ± b. (30) f() = y = ± b. f() Köztudott, hogy ferde szimptot egyenlete ± -ben: y = m + n, hol m = lim ± és n = lim (f() m). A mi esetünkben kiszámolv ezeket htárértékeket kpjuk, hogy m = ± b és n = 0. ±

1.8. Tétel. A H : egyenlete: y b = 1 egyenlettel megdott hiperbol M 0( 0, y 0 ) pontjábn szerkesztett érintő 0 yy 0 = 1. (31) b Ezt z egyenletet még hiperbol duplázott egyenletének is nevezzük z M 0 pontbn. Bizonyítás. A 1.6 Megjegyzés lpján hiperbol érintője z M 0 ( 0, y 0 ) pontbn : y y 0 = f ( 0 )( 0 ), hol f() = y = ± b. Az f függvény előjelét zonosnk válsztjuk z y 0 előjelével. Feltételezve, hogy y 0 0 z érintő egyenlete: y y 0 = b 0 0 ( 0). (3) (H y 0 < 0, teljesen hsonló számítások után ugynhhoz z egyenlethez jutunk.) Mivel z M 0 ( 0, y 0 ) H, következik, hogy 0 y 0 b = 1, vgyis y 0 = b ( 0 ). Feltételeztük, hogy y 0 0, tehát 0 = b y 0. Visszhelyettesítve ezt (3) összefüggésbe írhtjuk, hogy Beszorozv ezt z egyenletet y 0 -tel, kpjuk, hogy b Tehát z érintő egyenlete: y y 0 = b 0 y 0 ( 0 ). 0 yy 0 b = y 0 b 0 = 1. 0 yy 0 b = 1. 1.6. Értelmezés. Azt z egyenest, melyik átmegy z M 0 ponton és merőleges z M 0 pontb szerkesztett érintőre, hiperbol M 0 pontjáb szerkesztett normálisnk nevezzük. 1.9. Tétel. (A hiperbol optiki tuljdonság) A hiperbol M 0 pontjáb szerkesztett érintő és normális z F M 0 és F M 0 vezéregyenesek áltl meghtározott szögek szögfelezői. n y é M 0 F O F 8. ábr. A hiperbol optiki tuljdonság Bizonyítás. Úgy szerkesztjük meg koordinát-rendszert, hogy H hiperbol egyenlete legyen y b = 1, hol b = c és fókuszok F ( c, 0); F (c, 0). Legyen M 0 ( 0, y 0 ) H egy tetszőleges pont. Felírjuk z F M 0 és F M 0 vezéregyenesek egyenleteit: F M 0 : y 0 ( 0 c)y cy 0 = 0; (33)

F M és F M egyenesek áltl bezárt szögek szögfelezői F M 0 : y 0 ( 0 + c)y + cy 0 = 0. (34) y 0 ( 0 + c)y + cy 0 y 0 + ( 0 + c) = ± y 0 ( 0 c)y cy 0 y 0 + ( 0 c). (35) Kiszámoljuk gyökjel ltti kifejezéseket: y 0 + ( 0 + c) = b ( 1 + 0 ) + 0 + 0 c + c = = ( b + 1) 0 + 0 c + c b = = (b + ) 0 + 0 c + = = 1 (c 0 + 0 c + 4 ) = 1 (c 0 + ). Hsonló gondoltmenet lpján y 0 + ( 0 c) = 1 ( c 0 ). Ekkor szögfelezők egyenletei: y 0 ( 0 + c)y + cy 0 + c 0 = ± y 0 ( 0 c)y cy 0 c 0. H előjeles egyenletet válsztjuk először, kkor z ránypárok tuljdonság lpján írhtjuk, hogy y 0 0 y cy + y 0 c c 0 y 0 + c 0y + c 0 y c 0 y 0 = = y 0 + 0 y cy + cy 0 c 0 y 0 + c 0y c 0 y + c 0 y 0 y 0 0 y + c 0 y c 0 y 0 = 0 y 0 + b 0 y ( + b ) 0 y 0 = 0. Tehát z egyik szögfelező egybeesik normálissl (lásd (??) egyenletet), mi mg után vonj, hogy másik szögfelező egybeesik z érintővel. 1.5.4. Prbol 1.7. Értelmezés. Azon pontok mértni helyét síkból, melyeknek egy rögzített ponttól és egy rögzített egyenestől mért távolságuk egyenlő prbolánk nevezzük. Legyen h P egy egyenes és F h egy pont. 1.8. Értelmezés. A sík zon M pontjink P p hlmzát, melyekre d(m, h) = MF prbolánk nevezzük: P p = {M P : d(m, h) = MF.} További elnevezések: 1. z F pont: prbol fókusz vgy gyújtópontj;. h egyenes: prbol vezéregyenese; 3. z [MF ] szksz: vezérsugár. Válsztunk egy Descrtes-féle koordinát-rendszert, úgy, hogy z O pont legyen z [AF ] szksz felezőpontj, hol z A pont fókusz h egyenesre eső vetülete és z O tengely pedig legyen z h-r merőleges AF egyenes. Jelölje p = AF fókusz és vezéregyenes közti AF távolságot. Ezt számot prbol prméterének( nevezzük. p ) Ekkor F, 0 és A ( p ), 0. A h vezéregyenes egyenlete: = p. 1.10. Tétel. Az M(, y) pont kkor és cskis kkor trtozik hozzá P p prbolához, h y = p. (36)

y M A - p O F p 9. ábr. Az y = p egyenlettel megdott prbol. Bizonyítás. Az M pont kkor és cskis kkor vn rjt P p prbolán, h d(m, h) = MF d (M, h) = MF ( + p ) ( = p + y ) Tehát prbol knonikus egyenlete: p = y. y = p. 1.14. Megjegyzés. A prbol egyenlete lpján egy M(, y) ponttl együtt z M 1 (, y) pont is prbolán vn. Tehát z O tengely szimmetritengelye prbolánk. 1.11. Tétel. Az y = p egyenlettel megdott prbol M 0 ( 0, y 0 ) pontjáb szerkesztett érintőjének egyenlete yy 0 = p( + 0 ), (37) melyet még prbol duplázott egyenletének is nevezünk z M 0 pontbn. Bizonyítás. A 1.6 Megjegyzés szerint prbol M 0 pontjáb szerkesztett érintőjének egyenlete y y 0 = f ( 0 )( 0 ), hol f() = y = ± p, hol z f függvény előjelét zonosnk válsztjuk z M 0 pont y 0 ordinátájánk előjelével. Tételezzük fel, hogy z M 0 pont prbol felső ívén vn, vgyis y 0 0. Ekkor még felhsználv, hogy y 0 = p 0 (mert M 0 P) kpjuk z érintő egyenletét: y y 0 = p ( 0 ) y y 0 = p ( 0 ) yy 0 = p + y0 p 0. p0 y 0 }{{} p 0 1.9. Értelmezés. Azt z egyenest, melyik átmegy z M 0 ponton és merőleges prbol M 0 pontb szerkesztett érintőjére, prbol M 0 pontjáb szerkesztett normálisánk nevezzük. 1.1. Tétel. (A prbol optiki tuljdonság) A prbol tengelyével párhuzmos fénysugrk prboláról visszverődve fókuszbn futnk össze vgy fordítv prbol fókuszából kiinduló fénysugrkt prbol tengelyével párhuzmosn veri vissz. Az optiki tuljdonság mtemtiki megfoglmzás: prbol egy M 0 pontjához trtozó érintő és normális felezi z M 0 F egyenes és z M 0 ponton át prbol tengelyével húzott párhuzmos egyenes áltl bezárt szöget. Bizonyítás. Legyen y = p prbol egyenlete. Ekkor h egyenes egyenlete: = p és fókusz ( p ) koordinátái F, 0. Feltételezzük, hogy z M 0 pont koordinátái M 0 ( 0, y 0 ). Legyen B z M 0 pont vetülete ( vezéregyenesre: B p ), y 0 Könnyen beláthtó, hogy tétel kijelentése egyenértékű z lábbi állításokkl: 1. prbol érintője z M 0 pontbn [BF ] szksz felezőmerőlegese;. fókusz szimmetrikus z érintőre nézve rjt vn vezéregyenesen;

y M 0 B A O F 10. ábr. A prbol optiki tuljdonság 3. fókusz vetülete z M 0 ponthoz trtozó érintőre prbol csúcsérintőjén vn. Ezért elég igzolni egyet ezen állításk közül. Igzoljuk például, hogy z M 0 pontbn szerkesztett érintő felezőmerőlegese [BF ] szksznk. Az M 0 pontb szerkesztett érintő egyenlete: yy 0 = p( + 0 ). Tehát z érintő iránytényezője: mérintő = p y 0. (38) A BF egyenes iránytényezője: m BF = y B y F = y 0 B F p. (39) ( Legyen N [BF ] szksz felezőpontj. Ekkor N 0, y ) 0. Ez pont rjt vn z M 0 pontb szerkesztett y 0 y 0 érintőn, mert koordinátái kielégítik z érintő egyenletét: = p 0. Ekkor (38) és (39) összefüggések lpján kpjuk, hogy z érintő [BF ] szksz felezőmerőlegese.

. Kitűzött feldtok 1. Írjuk fel nnk z egyenesnek z egyenletét, melynek (i) iránytényezője m = 5 és átmegy z A(1, ) ponton; (ii) iránytényezője m = 8 és z Oy tengelyen egy hosszúságú szkszt htároz meg; (iii) áthld z A(, 3) ponton és z O tengellyel 60 -os szöget zár be. (iv) átmegy B(1,7) ponton és merőleges z n(4, 3) vektorr.. Adott z ABC háromszög: A(1, 1), B(, 3), C(4, 7). Írjuk fel z oldlk vlmint z A csúcshoz trtozó oldlfelező és mgsság egyenleteit! E: = 1, 3 + y 5 = 0. 3. Írjuk fel nnk z egyenesnek z egyenletét, mely áthld z A(1, 6) ponton és z egyenes vlmmint koordináttengelyek áltl meghtározott háromszög területe 150. E: 3 + 4y 60 = 0, + 3y 30 = 0. 4. Az origóból egy d egyenesre húzott merőleges tlppontj z A(1, ) pont. Írjuk fel d egyenes egyenletét! E: + y 5 = 0. 5. Htározzuk meg d 1 : + y 1 = 0 egyenes szimmetrikusát d : y = 0 egyenesre mjd z A(, 5) pontr vontkozón! E: + y 1 = 0, y + 3 = 0. 6. Adott egy háromszögkét csúcs: A( 6, ) és B(, ), vlmint H(1, ) ortocentrum. Htározzuk meg hrmdik C csúcs koordinátáit! E:C(, 4). 7. Htározzuk meg zt z A(3, 1) ponton áthldó egyenest, mely 45 -os szöget zár be + 3y 1 = 0 egyenlettel megdott egyenessel. E: 5y + = 0, 5 + y 16 = 0. 8. Htározzuk meg z O(0, 0), A(1, ) és B( 5, 7) pontok távolságát 6 + 8y 15 = 0 egyenestől. E: 3, 7 10, 11 10. 9. Htározzuk meg z lábbi párhuzmos egyenesek közti távolságot 10. 11. 1) y + 3 = 0 és 4y + 7 = 0; ) 3 4y + 1 = 0 és = 1 + 4t, y = 3t ; 3) = t, y = 3 + t és = s, y = 5 4s. 1 E: 1) 5. Írjuk fel nnk körnek z egyenletét, mely áthld z A, B pontokon és középpontj rjt vn d egyenesen, h ) A(4, 1), B(0, 3), d : y 4 = 0; b) A(1, ), B(4,-3), d : 3 y 19 = 0. Írjuk fel C kör P pontjáb szerkesztett érintő egyenletét, h ) C : + y = 5, P (1, ); E: ) ( ) + (y + 1) = 8; b) ( 7 1 1 ) + (y 1 4 ) = 669 7. b) C : + y + 6y 15 = 0, P (3, 6). E: ) y 5 = 0; b) 4 + 3y 30 = 0. 1. Adott C kör és d egyenes. Írjuk fel z dott egyenessel párhuzmos körérintők egyenletét, h ) C : + y 13 = 0, d : 4 + 6y 5 = 0; b) C : + y + 4y 0 = 0, d : 3 + 4y = 0. E: ) e 1 : + 3y + 13 = 0, e : + 3y 13 = 0; b) e 1 : 3 + 4y + 0 = 0, e : 3 + 4y 30 = 0. 13. Adott C kör és d egyenes. Írjuk fel z dott egyenesre merőleges körérintők egyenletét, h ) C : + y + 5 = 0, d : 4 3y + 7 = 0; b) C : + y 1 8y + 47 = 0, d : + y 4 = 0. E: ) e 1 : 3 + 4y + 0 = 0, e : 3 + 4y 5 = 0; b) e 1 : y 3 = 0, e : y 13 = 0.

14. Írjuk fel z ellipszis knonikus egyenletét, h ) ngytengelye 8 egység, kistengelye 6 egység; b) = 4, c = 3; c) b = 4, c = 7; d) z ellipszis áthld P 1 (10, 5), P (6, 13) pontokon; e) z ellipszis fókuszi F (3, 0), F ( 3, 0) és egy pontj P (4, 1 5 ). E: ) 16 + y 9 = 1; b) 16 + y 7 = 1; c) 65 + y 9 576 = 1; d) 1000 + y 50 = 1; e) 5 + y 16 = 1. 15. Írjuk fel z 16 + y = 1 ellipszis P (, 3) pontb szerkesztett érintőjének egyenletét! 1 E: y 8 = 0. 16. Hány érintő húzhtó P (1, 1), Q(5, 1), R(4, 0) pontokból z 16 + y 1 = 1 ellipszishez? E: 0,,1. 17. Írjuk fel z 10 + y = 1 ellipszis zon érintőinek z egyenletét, melyek párhuzmosk 3+y+7 = 0 5 egyenessel! E: 3 + y ± 100 110 = 0. 18. Az A pontból érintőket szerkesztünk z E ellipszishez. Htározzuk meg z egyenleteiket, h ) A(4, 1), E : 6 + y 3 = 1; b) A(, 1), E : + 9y = 9. E: ) + y 3 = 0, 5y 9 = 0; b) y + 1 = 0, 4 5y 13 = 0. 19. Htározzuk meg nnk hiperbolánk z egyenletét, melynek fókuszi z O tengelyen vnnk, szimetrikusk z origór nézzve és teljesítik z lábbi feltételek közül z egyiket: 1) tengelyeket = 10 és b = 8 egyenlőségek htározzák meg; ) z szimptoták egyenletei y = ± 4 3 és fókusztávolság c = 0. 0. Adott 16 9y = 144 hiperbol. Htározzuk meg : 1) fókuszokt, ) z szimptoták egyenleteit. 1. Írjuk fel z 0 y = 1 hiperbol zon érintőinek z egyenleteit, melyek merőlegesek 4+3y 7 = 0 5 egyenesre. E: 3 4y = ±10.. Az A pontból érintőket szerkesztünk z H hiperbolához. Htározzuk meg z egyenleteiket, h ) A(, 1), H : 9 y 8 = 1; b) A(1, 4), H : y 4 = 1. E: ) y 1 = 0, 9 + 5y 3 = 0; b) 1 = 0, 5 y + 3 = 0. 3. Htározzuk meg nnk prbolánk z egyenletét, melynek csúcs z origó, szimmetritengelye z O tengely és áthld z A(9, 6) ponton. E:y = 4. 4. Htározzuk meg z y = 1 prbol zon érintőjének z egyenletét, mely párhuzmos 3 y + 30 = 0 egyenessel és számítsuk ki z dott egyenes és ezen érintő közti távolságot. E: 3 y + 4 = 0,d = 13. 5. Htározzuk meg z y = 64 prbol zon M pontját, mely legközelebb tlálhtó 4+3y 14 = 0 egyeneshez és htározzuk meg z M pont távolságát ettől z egyenestől. E: M( 9 4, 4).

6. Az A(5, 9) pontból értintőket szerkesztünk z y = 5 prbolához. Htározzuk meg zon húr egyenletét, mely áthld z érintési pontokon! E: 5 18y + 5 7 14 = 0.

Hivtkozások [1] Andric D., Duc D.I., Purde I. şi Pop I., Mtemtic de bz. Editur Studium, Cluj-Npoc, 00. [] Andric, D., Vrg, Cs., Văcăreţu, D., Teme şi probleme lese de geometrie. Ed. Plus, Bucureşti, 00. [3] Glbură Gh., Rdo F., Geometrie. Ed. Did. şi Ped., Bucureşti, 1979. [4] Mezei I., Vrg Cs., Anlitikus mértn. Kolozsvári Egyetemi Kidó, Kolozsvár, 010. [5] Rdo F. şi col., Culegere de probleme de Geometrie, Cluj-Npoc, 1979. [6] Udrişte, C., Tomulenu, V., Geometrie nlitică, Mnul pentru cls -XI-. Ed. Did şi Ped., Bucureşti, 1985.