ÙÐÐ ³ÜÖ Ò ½ ÓÖÖ ÈÌËÁ ÄÝ Ð ÔØÑÖ ¾¼½ ÜÖ ½ µ f(x) = 0 Ò³ÙÖ Ô ÓÐÙØÓÒ x R f(x) 0º f Ø ÓÒ ØÒØ ØÖÙØ ÔÖ ÜÑÔÐ ÔÖ (x,y) R f(x) = f(y) ÓÙ ÔÖ a R x R f(x) = aº ÆÓØÞ ÕÙ x R y R f(x) = f(y) ÑÖ Ù ÐÓÖ ÕÙ ÑÐ ÑÓÒ ÓÖØ ÕÙ Ð ÔÖÑÖ ÔÖÓÔÓ ØÓÒµº ØÓÙØ ÖÐ Ù ÑÓÒ µ ÙÒ ÒØÒØ ÔÖ f a R x R f(x) = aº f Ò ÔÖÒ Ô ÚÐÙÖ ÒØÚ x R f(x) > 0 ³ Ø Þ Ð µº ØÓÙØ ÖÐ Ù ÑÓÒ µ ÙÜ ÒØÒØ ÔÖ f a R x R y x R f(x) = f(y) = a Ð Ø ÒØÐ ÕÙ x Ø y ÓÒØ ØÒØ µº f Ò ÔÖÒ Ñ ÙÜ Ó Ð ÑÑ ÚÐÙÖ x R y x R f(x) f(y)º ÇÒ ÔÙØ ÐÑÒØ ÔÖÓÔÓ Ö (x,y) R x y f(x) f(y)º ÜÖ ¾ µ ½º x R x Í Ø ÙÒ ÒÓÑÖÙÜ ÓÒØÖ¹ÜÑÔÐ ÚÒØ º ¾º n N < n < ÎÊÁ гÒØÖ ÓÒÚÒØ Ø ³ Ø ³ÐÐÙÖ Ð Ùеº º x R x x Í Ò ÑÖ Ô x ]0;[ ÔÖ ÜÑÔÐ x = 0.º º x > 0 y > 0 y < x ÎÊÁ Ò ÑØØÒØ ÕÙ x Ø y ÓÒØ ÖÐ µ ÓÒ ÔÙØ ØÓÙÓÙÖ ÔÖÒÖ ÔÖ ÜÑÔÐ y = x º º n N p N p = n ÎÊÁ ÓÒ Ò ÚÓØ Ô Ò ÕÙ ÔÓÙÖÖØ ÒÓÙ ÑÔÖ ÑÙÐØÔÐÖ ÙÒ ÒØÖ ÒØÙÖÐ ÔÖ Ø Ð Ö ÙÐØØ Ö ØÓÙÓÙÖ ÙÒ ÒØÖ ÒØÙÖк º n N p N n = p Í Ò³ Ø ÚÖ ÕÙ n Ø ÔÖº º n N p N n(n+) = p ÎÊÁ Ð ÖÚÒØ Ö ÕÙ n(n+) Ø ØÓÙÓÙÖ ÔÖº Ò Ø ÔÖÑ n Ø n+ гÙÒ ÙÜ ÒÓÑÖ Ø ÔÖ Ø Ð³ÙØÖ ÑÔÖ ÓÒ ÓØÒØ ÓÒ ÙÒ ÒÓÑÖ ÔÖ Ò ÒØ ÐÙÖ ÔÖÓÙغ º x R y R x < y ÎÊÁ ÔÓÙÖ Ð ÓÙÔ ØÓÙ Ð x ØÖØÑÒØ ÒØ ÓÒØ ÜÑÔÐ º º x R y > 0 y = ln(x) Í Ð ÓÒØÓÒ ln Ò³ Ø ÑÑ Ô Ò ÙÖ R Ø ÑÑ ÕÙÒ ÐÐ Ø Ò ln(x) Ò³ Ø Ô ØÓÙÓÙÖ ØÖØÑÒØ ÔÓ Øº ½¼º ÓÑÑ ³ Ø ÖØ ³ Ø ÙÜ ÔÙ ÕÙ Ò³ Ô ÔÖ ÕÙ y > x ÕÙ ÔÓ ÔÖÓÐÑ Ò Ð³ÒÖÑÒØ Òк ÌÓÙØÓ Ò ÖÑÔÐÒØ y x ÔÖ y > x гÒÓÒ Ø ÚÖ Ñ Ô ÚÒØ ÔÖÓÙÚÖº ÁÐ Ü Ø Ò ÖÑÒØ ÙÒ ÒØÖ n ÔÓÙÖ ÐÕÙÐ n < y x ÔÙ ÕÙ n ØÒ ÚÖ 0 Ø y x > 0º ÆÓØÓÒ ÐÓÖ p Ð ÔÐÙ ÖÒ ÒØÖ ÒØÙÖÐ Ò Ð Ó x Ø y ½
ÓÒØ ÔÓ Ø µ ÔÓÙÖ ÐÕÙÐ k n xº ÍÒ ØÐ ÒØÖ Ü Ø ØØ Ó ¹ Ö k ØÒ ÚÖ + ÕÙÒ n k ØÒ ÚÖ + º ÈÖ ÒØÓÒ k k+ > x Ñ ÓÒ Ò ÔÙØ Ô ÚÓÖ k + > y ÒÓÒ n n Ð ÒÐØ k n < x < y < k + ÑÔÐÕÙÖÒØ k + > y xº Ä ÒÓÑÖ ÖØÓÒÒÐ Ø n n n ÓÒ ØÖØÑÒØ ÓÑÔÖ ÒØÖ x Ø yº ÜÖ µ ³ Ø ÜØÖÑÑÒØ ÑÒÕÙ Ø ÔÙ ÔÐÔØÒØ x R x < x N x ] ;] [;+ [ x R x < x x > 0 y > 0 x y n N p N p n n N p N n p n N p N n(n+) p x R y R y x x R y > 0 y ln(x) x R y x z Q z x ÓÙ z y ÜÖ µ A = (x+) = ((x+) ) = (9x +6x+) = 8x +6x ++08x +8x +x = 8x +08x +x +x+ B = x x+8 = (x 6x+9) = (x ) C = x 6 = (x+)(x ) = (x+)(x ) D = (x 6)(x + ) (x + )(x ) + x( x) = (x )((x + ) (x + ) x) = (x )( x+) = (x ) E = (x+) +(x+) +x+ = (x+)((x+) +x++) = (x+)(x +6x+) ÜÖ µ ½º A = 0 = ¾º B = 6+0 Ò ÔÙØ Ô ÑÔÐÖ ÚÒصº º C = 7 6 = = = º D = 6 8 00 º E = 6 6 + 6 0 6 = 7 6 º F = + + 6 + 6 = 8 = = = 7 º ÈÓÙÖ ÐÙÐÖG ØÖÓÒ ÙÒ ÔÙ Ø ÐÚÓÒ ¹Ð Ù ÖÖ G = + ( )(+ )+ + = 8+ 6 = 8+ = º ÇÒ Ø Ò ØØÒØÓÒ Ù Ø ÕÙ G < 0 ÔÙ ÕÙ + > µ ÔÓÙÖ ÓÒÐÙÖ ÕÙ G = = º ¾
ÜÖ µ ÓÑÑÒÓÒ ÔÖ ÓÒ ØØÖ ÕÙ x x ÓÒ B = [ ;]º ËÒ ÙÐØ A B = [;7] [ ;] = [ ;7]º Ä³Ò ÑÐ A C Ø ÓÒ ØØÙ ÒÓÑÖ ÒØÖ ÒØÙÖÐ ÔÔÖØÒÒØ A ÓÒ A C = {;;6;7}º ÍÒ ÜÑÔÐ ÐÑÒØÖ ÓÑÔÐÑÒØÖ ÓÒ Ø ØØÒØÓÒ Ù Ò ÖÓØ R\B = R\[ ;] =] ; [ ];+ [º ÈÓÙÖ ØÖÑÒÖ A C Ð ÙØ ÒÐÚÖ Ò Ð³Ò ÑÐ A ØÓÙ Ð ÒÓÑÖ ÕÙ ÔÔÖØÒÒÒØ C ³ ع¹Ö ÕÙ ÓÒØ ÒØÖ ÒØÙÖÐ A C =];[ ];6[ ]6;7[ Ä³Ò ÑÐ (A B) C Ø ÓÒØØÙ ÒØÖ ÖÐØ ÔÔÖØÒÒØ A B Ò ÑÐ ÐÙÐ ÔÐÙ ÙØ ÓÒ (A B) C = {0;;;;;;6;7}º A (B C) = [;7] {0;;;} ÒÙØÐ ³ÒÐÙÖ Ð ÒØÖ Ø Ò Ð ÙÜÑ Ò ÑÐ ÔÙ ÕÙ Ùܹ ÓÒØ ÒÐÙ Ò Ð ÔÖÑÖ ÒØÖÚÐеº A (B C) = (A B) (A C) =] ; [ ]7;+ [ {0;;;} ÒÙØÐ ³ÒÐÙÖ ÙÒ ÙÜÑ Ó Ð ÒØÖ ØÖØÑÒØ ÔÐÙ ÖÒ ÕÙ 7µº ÜÖ µ ½º Ä ÖÐØÓÒ ÔÖÐÐÐ Ñ Ø ÖÜÚ ÙÒ ÖÓØ Ø ÔÖÐÐÐ ÐйÑѵ Ø ØÖÒ ØÚ d Ø d ³ÙÒ ÓØ Ø d Ø d гÙØÖ ÓÒØ ÔÖÐÐÐ ÐÓÖ d Ø d ÓÒØ ÔÖÐÐÐ µ Ñ Ô ÒØ ÝÑØÖÕÙº Ù ÓÒØÖÖ Ð ÖÐØÓÒ Ø ÝÑØÖÕÙ d Ø ÔÖÐÐÐ d ÐÓÖ d Ø ÙØÓÑØÕÙÑÒØ ÔÖÐÐÐ dº Ä ÖÐØÓÒ ÔÖÐÐÐ Ñ Ø Ò Ø ÕÙ³ÓÒ ÔÔÐÐ ÙÒ ÖÐØÓÒ ³ÕÙÚÐÒº ¾º Ä ÖÐØÓÒ ³ÒÐÙ ÓÒ Ø ÖÜÚ ØÖÒ ØÚ E F Ø F G ÐÓÖ E Gµ Ø ÒØ ÝÑØÖÕÙ ÔÙ ÕÙ E F Ø F E ÑÔÐÕÙ Ò E = F º ÁÐ ³Ø ÓÒ ³ÙÒ ÖÐØÓÒ ³ÓÖÖ ÕÙ Ò³ Ø Ô Ð ÑÓÒ Ù ÑÓÒ ØÓØÐ ÔÖ ÜÑÔÐ E = [0;] Ø F = [;] ÓÒ Ò³ Ò E F Ò F Eµº Ä ÔÐÙ ÖÒ ÐÑÒØ ÔÓÙÖ ØØ ÖÐØÓÒ Ø R Ð ÔÐÙ ÔØØ Ø º º Ä ÖÐØÓÒ R Ø ÖÑÒØ ÖÜÚ ÔÙ ÕÙ a a a a º ÐÐ Ò³ Ø ÔÖ ÓÒØÖ Ô ØÖÒ ØÚ ÔÖ ÜÑÔÐ 7R ÔÙ ÕÙ 7 = 9 < 7 = 8 R ÔÙ ÕÙ = 8 < = 9 Ñ ÓÒ Ò³ Ô 7 < 7 Ò Ø 7 = 87 Ø 7 = µº ÐÐ Ò³ Ø Ô ÒÓÒ ÔÐÙ ÒØ ÝÑØÖÕÙ R Ø R ÓÒØ ØÓÙ Ð ÙÜ ÚÖ ÔÙ ÕÙ = 6 = º ÁÐ Ý ÙÒ ÔÐÙ ÔØØ ÐÑÒØ ØÓÙØ ÑÑ ÔÓÙÖ ØØ ÖÐØÓÒ ÔÙ ÕÙ Rb Ø ÚÖ ÕÙÐ ÕÙ ÓØ Ð³ÒØÖ bº ÁÐ Ý ÐÑÒØ ÙÒ ÔÐÙ ÖÒ ÐÑÒØ ÕÙ Ø ÔÐÙ µº Ë ÓÒ ÒÐÚ Ð ÔÖØÙÐÖ Ø ÓÒ ÔÙØ Ò Ø ÔÖÓÙÚÖ ÕÙ Ð ÖÐØÓÒ R ÓÒ Ú Ð ÖÐØÓÒ Ø ÕٳР³Ø ÓÒ ³ÙÒ ÖÐØÓÒ ³ÓÖÖ ÓÒØ Ð ÔÐÙ ÖÒ ÐÑÒØ Ø ØÓÙÓÙÖ Ñ ÕÙ Ò ÔÓ ÔÐÙ ÔÐÙ ÔØØ ÐÑÒصº Ò Ø arb Ø ÕÙÚÐÒØ bln(a) aln(b)º Ë ÓÒ ÔÓ f a (x) = aln(x) xln(a) Ð ÓÒØÓÒ ÔÓÙÖ ÖÚ a a ln(a) ÕÙ ³ÒÒÙÐ Ò x = º Ä ÓÒØÓÒ Ø ÓÒ ÖÓ ÒØ ÔÙ x ln(a) ÖÓ Òغ ÇÖ ÐÐ ³ÒÒÙÐ ÖØÒÑÒØ Ò x = a Ú a > a ÔÙ ÕÙ a Ø ÙÔÔÓ ln(a) ÙÔÖÙÖ º ÇÒ ÓÒ f a (x) < 0 x > a Ø Ò ÔÖØÙÐÖ bra b > aº ËÙÖ Ð³ÒØÖÚÐÐ [;a] Ð ÓÒØÓÒ f a Ø ÖÓ ÒØ ÔÙ ÖÓ ÒØ Ö Ø ÚÖÖ Ð Ò f a ()º ÇÖ f a () = aln() ln(a) = f (a) ÓÒ ÓÒ ÚÒØ ³ÜÔÐÕÙÖ ÕÙ ³ØØ Ò ÖÑÒØ ÔÓ Ø a º Ä ÓÒØÓÒ f a Ø ÓÒ ÔÓ ØÚ ÙÖ [,a] Ø Ð ÔÖÓÙÚ ÕÙ arb b aº ÆÓØÖ ÖÐØÓÒ Ø ÓÒ Ò ÙÒ ÖÐØÓÒ ³ÓÖÖ ØÓØÐ Þ ÐÑÒØÖ ÕÙ ÔÐÙ Ø µº º Ä ÖÐØÓÒ R Ø ÖØÒÑÒØ ÖÜÚ ØÖÒ ØÚ f(x) g(x) h(x) ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÖÐ ÐÓÖ f(x) h(x)µ Ñ ÐÑÒØ ÒØ ÝÑØÖÕÙ Ò Ø f(x) g(x) Ø g(x) f(x) ÐÓÖ
f(x) = g(x) Ø ØØ ÖÐØÓÒ Ø ÚÖ ÔÓÙÖ ØÓÙ Ð ÖÐ µº ³ Ø ÓÒ ÙÒ ÖÐØÓÒ ³ÓÖÖº Ò³ Ø Ô Ù ØÓÙØ ÙÒ ÖÐØÓÒ ³ÓÖÖ ØÓØÐ ÓÒ ÔÖÒ ÔÖ ÜÑÔÐ f(x) = x Ø g(x) = x ÓÒ Ò ÔÙØ Ô Ð ÓÑÔÖÖ Ð³ Ð ÖÐØÓÒ R x < 0 f(x) < g(x) Ñ x > 0 g(x) < f(x)µº ÁÐ Ò³Ý Ô ÒÓÒ ÔÐÙ ÔÐÙ ÖÒ ÐÑÒØ ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò ÔÙØ Ô ØÖ ÙÔÖÙÖ ØÓÙØ Ð ÓÒØÓÒ ÓÒ ØÒØ ÒÓÖ ÑÓÒ ØÓÙØ Ð ÓÒØÓÒ ØÓÙØ ÓÙÖص Ò ÔÐÙ ÔØØ ÐÑÒغ º Ä ÖÐØÓÒ R Ø ÖÜÚ ÔÙ ÕÙ 0 0µ Ñ Ù ØÖÒ ØÚ x x y y Ø x x y y ÐÓÖ ÔÖ ÒÐØ ØÖÒÙÐÖ x x x x + x x y y +y y y yµ Ø ÒØ ÝÑØÖÕÙ x x y y Ø x x y y ÐÓÖ ÓÒ Ò ÖÑÒØ y y = 0 ÒÓÒ Ð³ÙÒ ÙÜ ÑÑÖ ÖÓØ ÒÐØ ÔÖÒØ Ø ØÖØÑÒØ ÒØ Ø ÙÒ ÚÐÙÖ ÓÐÙ Ò ÔÙØ Ô ÐÙ ØÖ ÒÖÙÖ µ ÔÙ x x = 0 ÓØ x = x º Ä ÙÜ ÓÙÔÐ ÓÒÒØ ÓÒº Ä ÖÐØÓÒ ³ÓÖÖ Ò³ Ø Ô ØÓØÐ ÔÖ ÜÑÔÐ (0,0) Ø (,0) Ò ÓÒØ Ô ÓÑÔÖÐ ÔÙ ÕÙ³ÓÒ ÐÓÖ y y = y y = 0 Ñ x x = º ÁÐ Ò³Ý Ô ÔÐÙ ÖÒ Ò ÔÐÙ ÔØØ ÐÑÒØ ÔÓÙÖ R ÔÓÙÖ ÙÒ ÓÙÔÐ Ü ÓÒ ÔÙØ ÔÖ ÜÑÔÐ ØÓÙÓÙÖ ØÖÓÙÚÖ ÙÒ ÙØÖ ÓÙÔÐ ØÐ ÕÙ y y < 0 ÕÙ Ò ÔÙØ ÓÒ Ô ØÖ ÔÐÙ ÖÒµº ÍÒ ÔÐÙ ÖÒ ÐÑÒØ ÔÓÙÖ Ð ÕÙ ØÖÓÒÓÑØÖÕÙ ÖØ Ò ÖÑÒØ Ð ÔÓÒØ Ù ÕÙ ÝÒØ Ð ÔÐÙ ÖÒ ÓÖÓÒÒ ÔÓÙÖ ÕÙ Ð ÑÑÖ ÖÓØ Ò Ð ÖÐØÓÒ R Ò ÓØ Ñ ØÖØÑÒØ ÒØ ÒÓÒ ÓÒ Ò ÔÙØ ÔÐÙ ÓÑÔÖÖ Ú ÙÒ ÙØÖ ÐÑÒØ Ù ÕÙµ ÚÓÖ Ð ÔÓÒØ (0,)º Å ÔÓÒØ Ò³ Ø Ô ÔÐÙ ÖÒ ÕÙ ØÓÙ Ð ÙØÖ Ù ÕÙ ØÖÓ ÔÖ ÜÑÔÐ (0.6;0.6) Ø ÙÒ ÔÓÒØ Ù ÕÙ ØÖÓÒÓÑØÖÕÙ Ñ 0.6 0 > 0.6º ÇÒ ÔÙØ ÔÖ ÓÒØÖ ØÖÓÙÚÖ ÙÒ ÓÖÒ ÙÔÖÙÖ Ò Ð³ÓÙÖÒ Ð ÓÙÔÐ (0, )º ÜÖ µ ½º ØÖÒÑ ÔÓÙÖ ÖÑÒÒØ = 6 = ÓÒ ÑØ ÙÜ ÖÒ ÖÐÐ x = + = Ø x = = ÓÒ S = {;}º ¾º ÇÒ ÓÒ ØØ ÕÙ Ø ÖÒ ÔÓÐÝÒÓÑ ÔÙ ÕÙ += 0º ÇÒ ÔÙØ ÓÒ ØÓÖ Ö ÔÖ x (x x +x) = (x)(ax +bx+c) = ax +(b a)x +(c b)x cº ÈÖ ÒØØÓÒ ÓÒ ÓØÒØ a = b = Øc = ÓÒ x x +x = (x)(x x+)º ÖÓÒ Ð ÖÒ ÖÒÖ ØÖÒÓÑ ÕÙ ÔÓÙÖ ÖÑÒÒØ = 8 = º ÁÐ Ò³Ý ÓÒ Ô ÖÒ ÖÐÐ Ø ÓÒÖÒÒØ Ð³ÕÙØÓÒ ÒØÐ S = {}º º ÈÓ ÓÒ X = x Ò ÒÓØÒØ Ù Ô Õ٠гÕÙØÓÒ Ò ÔÙØ ÚÓÖ Ò ÕÙ x 0 Ø X 0µº ijÕÙØÓÒ ÚÒØ ÐÓÖ X = X + ÓØ X X = 0º ØÖÒÓÑ ÔÓÙÖ ÖÑÒÒØ = ( ) = 9 Ø ÑØ ÓÒ ÙÜ ÖÒ ÖÐÐ X = + = Ø X = = º ØØ ÖÒÖ ÓÐÙØÓÒ Ø ÜÐÙÖº ÓÑÑ ÓÒ ÔÖ ÒØÓÒ X x = X ÓÒ ÓØÒØ ÓÒ S = {}º º x + x 6x x(x + x 6) 0º Ò Ð ÙØ Ö ÙÒ ØÐÙ Ò ÖÓÒ Ð ÖÒ Ð ÔÖÒØ ÕÙ ÔÓÙÖ ÖÑÒÒØ = + 6 = 9 ÓÒ ÑØ ÙÜ ÖÒ ÖÐÐ x + 7 = 6 Ø x = +7 = º ÇÒ Ò ÙØ Ð ØÐÙ Ò ÙÚÒØ x 6 0 x ¼ + + x +x 6 + ¼ ¼ + x +x 6 ¼ + ¼ ¼ +
º ÇÒ Ò ÓÒÐÙØ ÕÙ S =] ; 6] [0;[ x x < x (x ) x < 0 x x x > 0º Ä ÒÓÑÒØÙÖ ÔÓÙÖ ÖÒ Ø º ÉÙÒØ Ù ÒÙÑÖØÙÖ Ð ÔÓÙÖ ÖÑÒÒØ = + = 8 Ø ÑØ ÙÜ ÖÒ ÖÐÐ x = 8 = Ø x = + 8 = + º ³Ó Ð ØÐÙ Ò ÙÚÒØ x + x x + + ¼ ¼ + x + ¼ ¼ + + x x x + ¼ + ¼ + ÓÒÐÙ ÓÒ S =] ; [ ] ;[ ]+ ;+ [º º ÁÐ ÑÒÕÙØ ÙÒ x Ò Ð³ÒÓÒ ÒÓÙ ÐÐÓÒ Ö ÓÙÖ Ð³ÕÙØÓÒ (m )x (m )x + m + = 0º ÓÑÑÒÓÒ ÔÖ ÓÒ ØØÖ Õ٠гÕÙØÓÒ Ò³ Ø Ô ÙÒ ÕÙØÓÒ Ù ÓÒ Ö m = º ÐÐ Ö ÙÑ ÐÓÖ x + = 0 ÕÙ ÔÓÙÖ ÙÒÕÙ ÓÐÙØÓÒ x = º Ò Ð ÒÖÐ m ÓÒ ÔÙØ ÐÙÐÖ Ð ÖÑÒÒØ Ð³ÕÙØÓÒ = (m ) (m )(m + ) = (m m + m + ) = ( m)º Ë m > 0 ÓØ m < Ò ÜÐÙÒØ Ò Ö Ð m = µ ÒÓØÖ ÕÙØÓÒ ÑØ ÙÜ ÓÐÙØÓÒ ÖÐÐ x = (m ) m = m m Ø x = m + m º Ò Ð Ó (m) m m m > Ð ÖÑÒÒØ Ø ØÖØÑÒØ ÒØ Ø ÓÒ ØØ Ó ¹ ÙÜ ÓÐÙØÓÒ ÓÑÔÐÜ ÓÒÙÙ z = m i m Ø z = m +i m º ÒÒ Ò Ð Ó m = m m гÕÙØÓÒ ÑØ ÙÒ ÓÐÙØÓÒ ÙÒÕÙ x 0 = (m ) (m) = = º ÜÖ µ ÈÓÙÖ ÕÙ ÒÐØ Ð ÔÐÙ ÑÔÐ Ø ÐÙÐÖ Ð ÖÒ ÙÜ ÑÑÖ Ø ØÖѹ ÒÖ ÓÒ Òº ÈÖ ÜÑÔÐ y m = y x+y = y x 0 ÔÙ ÕÙ³ÓÒ ÙÔÔÓ x y ÕÙ ÔÖÓÙÚ ÕÙ m yº ÑÑ h x = xy x+y x = xy x xy x(y x) = 0 ÕÙ ÔÖÓÙÚ ÕÙ x hº x+y x+y xy = x xy +y = ( x y) 0 ÓÒ g mº xy(x+y xy) xy( x y) x+y = = 0 x+y x+y Ø ÒÓØÖ ÖÒÖ ÒÐØ Ø Ò ÔÖÓÙÚº ÐÙÐÓÒ ÑÒØÒÒØ m g = x+y ÒÒ Ð ÒÓÙ Ö Ø ØÙÖ g h = xy xy ÜÖ ½¼ µ ÓÑÑ x 8 Ø y 6 ÓÒ ÓØÒØ x y + º ÓÑÑ x Ø y ÓÒ ÓØÒØ x(y ) 8 ÔÖÞ Ð ÙÚÒØ Ð Ò y ÚÓÙ Ò³Ø Ô Ö ÚÓÙ ÔÓÙÖ ÒÖ µº ÇÒ ÙÖØ Ù ÔÙ Ö ÕÙ x(y ) = xy x ÓÖ xy 0 Ø x Ñ ÓÒ ÓØÒØ ÐÓÖ 0 x(y ) 6 ÕÙ Ø ÙÒ ÒÖÑÒØ ÒØØÑÒØ ÑÓÒ ÔÖ ÕÙ Ð ÔÖÒغ
ÓÑÑ < z < < z < º ÓÑÑ x Ø 6 y + ÓÒ ÓØÒØ ÓÑÑ < z < ÓÒ ÓØÒØ z < ÓÙ z x º y + > ÓÒ Ø ÓÐ ØÒÙÖ ÙÜ ÙÚÒØ Ð Ò zµº ÇÒ ÔÙØ Ò Ö ÒÖÖ x x + ØÖÑ ÔÖ ØÖÑ ÕÙ ÓÒÒ ÒÐÑÒØ x x+ 6µ Ñ Ð Ø ÙÓÙÔ ÔÐÙ ÓÒ ØØÖ ÕÙ x x+ = (x ) º ÓÑÑ x ÓÒ ÐÓÖ 0 x x+ º ÓÑÑ Ø 7 < z < 8 < x(z ) < ÓÒ ÓØÒØ 8 < y x(z ) < y º ÇÒ xy 0 ÓÒ xy Ø < z < ÓÒ e < e z < e ³Ó ÒÐÑÒØ e < xy e z < e º ÜÖ ½½ µ ½º x Ò ÕÙ x ÓÙ x ³Ó S =] ; ] [8;+ [º ¾º x { = x + x = x + ÓÙ x = x ÓØ x = 6 ÓÙ x = Ø S = 6; } º x 8x + = ÖÚÒØ Ö ÕÙ x 8x + = ÓÙ x 8x + = º ÁÐ Ò Ö Ø ÔÐÙ ÕÙ³ Ö ÓÙÖ ÙÜ ÕÙØÓÒ Ù ÓÒ Öº Ä ÔÖÑÖ ÔÓÙÖ ÖÑÒÒØ = 6 7 = 6 Ø ÑØ ÙÜ ÖÒ ÖÐÐ x = 8 6 = Ø x = 8+6 = 7º Ä ÙÜÑ ÔÓÙÖ ÖÑÒÒØ = 6 = Ø ÑØ ÙÜ ÖÒ ÖÐÐ x = 8 = Ø x = 8+ = º ÒÐÑÒØ S = {;;;7}º º È ÓÒ ØÙÖ ÔÓÙÖ ÐйРРÑÑÖ Ù ØÒØ ÑÒ ØÑÒØ ÔÓ Ø ³Ø ÙÒ ÓÑÑ ÙÜ ÚÐÙÖ ÓÐÙ µ Ð Ò Ö Ñ ØÖØÑÒØ ÒÖÙÖ ÓÒ S = º º ÁÐ Ò³Ý Ô ÑØÓ Ð ÔÓÙÖ ³Ò ÓÖØÖ ÔÖ Ð ÐÙÐ Ð ÑÙÜ Ø ÓÒ ³ÖÖ Ð³ÒÕÙØÓÒ ÓÙ Ð ÓÖÑ x x + 0 Ø Ö ÙÒ ØÐÙ Ò ÔÓÙÖ ÑÔÐÖ Ð ÑÑÖ Ù x + x x+ x+ ¼ x x+ x ¼ x+ x+ x x+ x+ x x ÓÑÑ x+ 0 x [ Ð ÖРгÒØÖÚÐÐ ] ; ÓÒØ ÓÐÙØÓÒ Ð³ÕÙØÓÒ ÒØÐ ÓÒ Ò Ö Ò Ö ÕÙ Ð ÚÐÙÖ x ÔÔÖØÒÒØ Ð³ÒØÖÚÐÐ ÙÖ ÐÕÙРгܹ [ ] ;0 ÔÖ ÓÒ x + Ø Úеº ÑÑ ÓÒ x 0 x 0 ÓÒ Ð³ÒØÖÚÐÐ Ø
Ù ÓÐÙØÓÒº ÒÒ x 0 x ÕÙ Ò³ÓÙØ Ô ÓÐÙØÓÒ º Ò ÖÖÓÙÔÒØ Ð ØÓÙØ ÓÒ ÓØÒØ ÓÒ S = [ ] ;0 º º Á Ð ³ØÖ ØÒØ Ö ÕÙÓ ÕÙ ÓØ ³ÙØÖ ÕÙ³ÙÒ ØÐÙ x 7 + x x+ ¼ x x x x x x ¼ +x +x x 7 x+7 x+7 x+7 ¼ x 7 x + x x 7 x x 7 x x+ Æ Ö ØÒØ ÔÐÙ ÕÙ³ Ö ÓÙÖ Ô ÑÓÒ ÕÙØÖ ÕÙØÓÒ Ø ÚÖÖ Ð ÓÐÙØÓÒ ÓØÒÙ ÔÔÖØÒÒÒØ Ù ÓÒ ÒØÖÚÐÐ ÕÙ Ó x = x = ÓÐÙØÓÒ ÔØÐ x 7 = x = 9 ÓÐÙØÓÒ ÖØ x = x = ÓÐÙØÓÒ ÔØÐ x+ = x = { ÓÐÙØÓÒ Öغ ÐÒ S = ; } º º e x < < e x < < e x < ln < x < ln ÓÒ S =]ln;ln[º º ÇÒ ÔÙØ ÓÑÑÒÖ ÔÖ ÓÒ ØØÖ ÕÙ Ð ÓÒ ÑÑÖ ÓØ ØÖ ÔÓ Ø ÔÓÙÖ Õ٠гÕÙØÓÒ ÔÙ ÚÓÖ ÙÒ ÓÐÙØÓÒ Ø ÓÒ Ö ÓÙÖ ÙÒÕÙÑÒØ ÙÖ [;+ [º ÇÒ ÐÓÖ Ò ÐÚÒØ Ù ÖÖ ØÓÙØ Ø ÔÓ Øµ x = (x ) ÓØ x = x 0x+ Ð ÚÐÙÖ ÓÐÙ Ù Ø ÙÔÖÙ ÕÙ Ø Ð³ÒØÖÙÖ Ø ÔÓ Ø ÙÖ ÒÓØÖ ÒØÖÚÐÐ ³ØÙµº Ê Ø Ð ØÖ ÑÔÐ ÕÙØÓÒ 0x = 6 ÓÒØ Ð ÓÐÙØÓÒ Ò³ÔÔÖØÒØ Ô ÒÓØÖ ÒØÖÚÐÐ ³ØÙ ³Ó S = º º ÇÒ ÑÒ ÕÙ ØØ ÕÙ ØÓÒ Ø ÔÖÙ Ù ÑÐÙ ³ÙÒ ÜÖ ÙÖ Ð ÚÐÙÖ ÓÐÙ º Å Ô ÓÒ ÓÒ ÔÙØ ÑÙÐØÔÐÖ ÔÖ x x+ ÕÙ ÙÒ ÖÑÒÒØ ØÖØÑÒØ ÒØ Ø Ò ³ÒÒÙÐ ÓÒ Ñ µ ÔÓÙÖ ÓØÒÖ Ð³ÕÙØÓÒ ÕÙÚÐÒØ x x = k(x x+) ÓØ ( k)x +(k)x (k+) = 0º Ò Ð ÔÖØÙÐÖ k = гÕÙØÓÒ Ø ÙÒ ÕÙØÓÒ Ù ÔÖÑÖ Ö ÕÙ Ò ÔÙØ Ô ÚÓÖ ÙÜ ÓÐÙØÓÒ º Ò Ð ÙØÖ ÓÒ ÙÖ ÙÜ ÓÐÙØÓÒ ÖÐÐ Ð ÖÑÒÒØ Ð³ÕÙØÓÒ Ø ØÖØÑÒØ ÔÓ Øº ÇÒ ÐÙÐ ÓÒ = (k ) + ( k)(k + ) = k k + + ( k + k + ) = 8k + 9º ÇÒ ÚÙØ ÕÙ ØØ ÜÔÖ ÓÒ ÓØ ØÖØÑÒØ ÔÓ ØÚ ÕÙ ÔÖÓÙØ ÕÙÒ k < 9 ] 8 ÓØ k [, º ÁÐ ÙØ Ò Ö ÙÔÔÖÑÖ Ø ÒØÖÚÐÐ ÔÓÙÖ ÓØÒÖ Ð³Ò ÑÐ ÚÐÙÖ k ÓÒÚÒÐ º ÜÖ ½¾ µ ÈÓÙÖ ÓÒØÓÙÖÒÖ Ð ÔÖÓÐÑ ÐÚÓÒ Ù ÖÖ Ð³ÐØ ÕÙ ÒÓÙ Ø ÓÒÒ Ò Ð³ÒÓÒ ( a ) b b + = a a b ++ b a = ( ) = ÓÒ a b + b = º ÐÚÓÒ ÑÒØÒÒØ Ù ÖÖ Ð³ÜÔÖ ÓÒ a ( a ) b ÕÙ³ÓÒ ÒÓÙ ÑÒ ÐÙÐÖ Ú ÓÙ Ò ÚÐÙÖ ÓÐÙ Ò Ò ÖÒµ b = a
a b + b = Ò ÜÔÐÓØÒØ Ð ÐÙÐ ÔÖÒغ ÆÓØÖ ÒÓÑÖ ÓÒ ÙÒ ÖÖ Ð Ø Ð Ø a ÔÓ Ø ³ Ø ÙÒ ÚÐÙÖ ÓÐÙµ Ð ÚÙØ ÓÖÑÒØ º ÜÖ ½ µ ½º Ä ÓÒØÓÒ x x Ø ØÓÙÓÙÖ ÖÓ ÒØ Ø ³ÒÒÙÐ Ò º Ð Ð Ø ³ÓØÒÖ Ð ØÐÙ ÚÖØÓÒ f Ò ÕÙ ÓÙÖ x f + 0 0 ¾º ÇÒ ÓÑÑÒ ÔÖ ØÙÖ ÚÖØÓÒ Ø Ò ÕÙ ØÖÓÙÚ Ð³ÒØÖÙÖ Ð ÚÐÙÖ ÓÐÙº Ä ØÖÒÓÑ ÔÓÙÖ ÖÑÒÒØ = 9 8 = Ø ÑØ ÙÜ ÖÒ ÖÐÐ x = + = Ø x = = º ÔÐÙ x x+ ÔÓÙÖ ÖÚ x Ø ÑØ ÓÒ ÙÒ ÑÒÑÙÑ Ò x = ÚÐÙÖ 9 9 + = º ÇÒ Ò ÙØ Ð ØÐÙ Ø Ð ÓÙÖ x + f 0 0
0 0 º Ä ÓÒØÓÒ f Ø Ò ÙÖ R Ñ Ð ÚÙØ ÑÙÜ ÝÖ Ð³ÜÔÖÑÖ ÖÒØ ÓÒ ÐÓÒ Ð ÚÐÙÖ xº Ë x ÓÒ f(x) = x + x 9 Ø Ð ÓÒØÓÒ Ø ÖÓ ÒØ ÙÖ [;+ [ Ò ØÒØ ÕÙ ÓÑÑ ÙÜ ÓÒØÓÒ ÖÓ ÒØ º ËÙÖ Ð ÙÜ ÙØÖ ÒØÖÚÐÐ ØÙÖ Ð ÐÙÐ ÚÓÒØ ØÖ ÙÒ ØÓÙØ ÔØØ ÔÙ ÔÐÙ ÔÒÐ ººº ÓÑÒÓÒ ÔÖ ÜÑÔÐ ÔÖ [ ;] ÒØÖÚÐÐ ÙÖ ÐÕÙÐ f(x) = x + 9 x º ÇÒ ÙÖ Ø ÒØÖÚÐÐ f (x) = + x 9 x = 9 x x 6 9 x º ØØ ÖÚ Ø ÔÓ ØÚ ÙÖ [ ;0] Ñ ³ÒÒÙÐ ÐÓÖ ÕÙ x > 0 Ø 9 x = x ÓØ Ò Ô ÒØ ØÓÙØ [ Ù ÖÖµ 9(9 x ) = x ÓÙ ÒÓÖ 8 = ] [ ] 8 8 x º Ä ÓÒØÓÒ f Ø ÓÒ ÖÓ ÒØ ÙÖ ; Ø ÖÓ ÒØ ÙÖ ; ÔÓÙÖ ÒÓÖÑØÓÒ Ð ÚÐÙÖ ÙÒ ÔÙ ÞÖÖ ÚÙØ ÒÚÖÓÒ,µº Æ Ö Ø ÔÐÙ ÕÙ³ ³ÓÙÔÖ Ð³ÒØÖÚÐÐ ] ; ] Ó Ð ÓÒØÓÒ Ø Ð x + x 9º ÍÒ ÐÙÐ ÜØÖÑÑÒØ ÑÐÖ Ù ÔÖÒØ ÑÓÒØÖ ÕÙ Ð ÖÚ ³ÒÒÙÐ ÐÓÖ ÕÙ x 9 = x ÓØ 9(x 8 9) = x º ÇÒ ÓØÒØ ÓÒ ÙÒ ÙØÖ ÑÒÑÙÑ ÐÓÐ ÔÓÙÖ x = ÙÒ ÔÙ ÚÒØ µº ÇÒ ÔÙØ ÑÑ Ú ÙÒ ÔÙ ÑÓØÚØÓÒ ÐÙÐÖ Ð ÚÐÙÖ ÒÓ ÑÜÑ ÐÓÙÜ f ( 9 ) = 9 + 8 = 9 + 6 = =,º ÑÑ ÓÒ ( ) 9 ÓØÒØ f =,8 ÎÓ ÓÒ Ð ÑÒÕÙ ØÐÙ ÚÖØÓÒ Ø Ð ÒÓÒ ÑÓÒ ÙÔÖ ÓÙÖ ÖÔÖ ÒØØÚ Ð ÓÒØÓÒ f x 9 9 + f
0 0 ÓÑÔÐÑÒØ ÔÓÙÖ Ð ÔÐÙ ÑÓØÚ ØÙ ÝÑÔØÓØ Ð ÓÙÖ ÖÔÖ ÒØØÚ f º ÇÒ ÓÒ ØØ Ò ÙÐØ ÕÙ lim f(x) = + º ³ Ø ÑÓÒ ÚÒØ Ð³ÙØÖ Ø ÓÒ x + ) x ( 9x ÔÙØ ÖÖ f(x) = x + x < µº ØØÒØÓÒ ÓÑÑ x < 0 ÓÒ x = x ÓÒ f(x) = x ( ) x 9 x = x 9x º Ä ÔÖÒØ ÙÒØ ÔÓÙÖ ÐÑØ = Ò ÓÒ Ò ÙØ ÕÙ 6 lim f(x) = º Ò ÖÔÖÒÒØ Ð ÐÙÐ x f(x) ÕÙ³ÓÒ ÚÒØ ³ØÙÖ ÓÒ ÓØÒØ Ò ÔÖÓÐÑ lim x x = º Ê Ø ÑÒØÒÒØ ÐÙÐÖ 6 f(x) 6 x = ( ) x x 9 x = x 9x º ÇÒ ÙÒ ÐÐ ÓÖÑ ÒØÖÑÒ Ñ ÙÒ ÔØØ ÓÙÔ ÕÙÒØØ ÓÒÙÙ ÔÖÑØ ³Ò ÓÖØÖ f(x) 6 x = x + 9 x = + 9x ÕÙ ÙÒ ÐÑØ ÒÙÐÐ Ò º ÇÆ Ò ÙØ ÕÙ Ð ÖÓØ ³ÕÙØÓÒ y = x(+ 9 ) 6 x x Ø ÝÑÔØÓØ ÓÐÕÙ ÒÓØÖ ÓÙÖ Ò º Ò + Ð ÐÙÐ Ø ÕÙ ÑÒØ Ð ÑÑ Ù ÕÙ ³ Ø ÙÒ x Ø ÒÓÒ ÙÒ x ÕÙ ÓÖØ Ð ÖÒ ÖÖ ÕÙÒ ÓÒ ØÓÖ ÕÙ ÓÒÒ ÙÒ ÐÑØ ÔÓÙÖ f(x) x Ð + = º ÇÒ ÓØÒØ Ò ÙØ ÑÑ ÕÙ Ð ÖÓØ ³ÕÙØÓÒ 6 y = x Ø ÝÑÔØÓØ ÓÐÕÙ Ð ÓÙÖ Ò + º 6 ÒÓÖ ÙÒ ÐÙÐ ÔÓ Ð ÐÙ Ù Ò f º Ä ÓÒØÓÒ Ø ÐÖÑÒØ ÔÓ ØÚ x 0 Ø ÐÐ ³ÒÒÙÐ ÙÖ R x 9 = xº Ò ÐÚÒØ Ù ÖÖ ØÓÙØ Ø ÔÓ Ø Ú ÒÓØÖ ÝÔÓØ µ ÓÒ ØÖÓÙÚ 9 x 9 = x º ÕÙ ÒÓÙ Ð ÙÜ ÔÓ ÐØ ÓØ x 9 = 9 x ½¼
( ÕÙ ÓÒÒ x 9 ) = ÕÙ Ø ÑÔÓ Ð ÓÒ ÓØÒØ ÙÒ ÚÐÙÖ ÒØÚ ÔÓÙÖ x µ ÓØ 9 x = ( 9 x ÓØ x 9 + ) = ÓÒ 6 x = Ø x = 6 ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ð ÚÐÙÖ ÒØÚµ ÓØ x.66º ½½