Miskolci Egetem GÉÉMÉRNÖKI É INORMTIKI KR ilárságtan (Oktatási segélet a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc leveleős hallgatói résére) Késítette: Nánori riges, irbik ánor Miskolc, 2008.
Een kéirat a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc leveleős hallgatói résére késült kivonatos anag. tárg elsajátítását segítő anagok találhatók a http://www.mech.uni-miskolc.hu URL-címen! silárságtan felaata a silár test kváistatikus (lassú) terhelésekre aott válasainak visgálata. Test anagát tekintsük homogénnek (egnemű) és iotrópnak (tulajonságai irántól függetlenek) és lineárisan rugalmasnak, továbbá terhelés hatására a test kis (a test méreteihe képest kicsi) eformációt (kis elmoulást) és kis alakváltoást ( 1) senve, íg silárságtani jellemői köthetők a terhelés előtti geometriáho. esültség fesültségi állapot visgálatakor a résekre bontott test egensúlát vessük semügre. n normálisú belső határoló felület mentén megosló erőrenser (belső erőrenser) p n sűrűségvektorát a továbbiakban fesültségvektornak neveük. p n fesültségvektor eg n normálisú elemi felületen felbontásra kerül: 1 σ n n p n p n σ n n n n p n τ n n m τ mn l τ ln τ n Jelölje σ n = n. p n R 0 a normálfesültséget, továbbá τ n = p n σ n n a nírófesültség-vektort. n normálisú felületelem síkjába eső τ n vektor m és l iránú össetevői lesnek a τ mn = m. τ n és τ ln = l. τ n nírófesültségek. Eg pont elemi körneetének fesültségállapotát a e pontra illeskeő elemi felületeken ható fesültségvektorok össesége aja. Eg p n fesültségvektor bioníthatóan a n normálvektor p n =T. n alakú függvéne. Elemi körneetként értelmeett köéppontú, koorináta-tengelekkel párhuamos,, és olalhossúságú kockán (elemi kockán) semléltetjük a poitív előjellel vett fesültségeket: fesültségeket foglaljuk a T fesültségtenorba: T = σ τ τ τ σ τ τ σ τ σ τ fesültségek mértékegsége a N τ mm τ 2 (1 N mm 2 =1Ma). fesültségtenor ismeretében eg a n által kijelölt iránba vett τ normálfesültség a τ σ σ τ n = n. p n = n.t. n σ móon, a n által kijelölt síkon m iránba vett nírófesültség peig a τ mn = m.t. n móon sámítható ki.
2 köéppontú elemi kocka síkjába eső fesültségeket mutatja a ábra. tengelre vett nomatékból M p = 0 σ τ 2 2 τ 2 2 τ = 0 követkeik, hog τ = τ. Et a másik két koorinátasíkra is elvégeve arra jutunk, hog σ τ τ σ τ = τ és τ = τ. fesültségtenor mellékátlóiban álló fesültségek tehát megegenek, aa T fesültségtenor simmetrikus tenor. τ σ ioníthatóan létenek egmásra kölcsönösen merőleges e 1, e 2, e 3 egségvektorok által jelölt iránok (főiránok), mel iránokban a σ 1 σ 2 σ 3 jelű főfesültségek értelmeettek, míg a egségvektorok, mint normálisok által kijelölt síkokon a τ nírófesültségek minig eltűnnek. E a T e i = σ i e i sajátértékprobléma. 1. péla: emléltessük elemi kockán a pontban ismert T fesültségtenort, maj határouk meg a egmásra kölcsönösen merőleges n = 1 ( e +4 e ) és m = 1 (4 e e ) 17 17 egségvektorok által kijelölt iránokho tartoó σ n és σ m normálfesültségeket, valamint τ mn nírófesültséget! emléltetés során a fesültségek előjelét a őket simboliáló nilak iránítása jelöli. T tenorban álló τ = 32 Ma esetén a neki megfelelő normálisú olallapon iránba mutató níl a negatív előjel miatt most jobbról balra mutat. T = 40 32 0 32 80 0 0 0 60 Ma korábbiak alapján sámítható a σ n = n.t. n = 1 40 32 0 17 {[ 1 4 0 ] 32 80 0 1 4 } = 0 0 60 0 = 1 88 + 1408 {1 [1 40 + 4 ( 32)] + 4 [1 ( 32) + 4 ( 80)] + 0} = = 88 Ma, 17 17 σ m = m.t. m = 1 40 32 0 {[ 4 1 0 ] 32 80 0 4 1 } = 17 0 0 60 0 = 1 768 + 48 {4 [4 40 + ( 1) ( 32)] + ( 1) [4 ( 32) + ( 1) ( 80)] + 0} = =48Ma 17 17 normálfesültség és a τ mn = m.t. n = 1 {[ 4 1 0 ] 17 nírófesültség. 40 32 0 32 80 0 0 0 60 1 4 0 } = 40 32 60 32 Ma = 1 352 + 352 {4 [1 40 + 4 ( 32)] + ( 1) [1 ( 32) + 4 ( 80)] + 0} = =0 17 17 80
tenor elemi kockán történő semléltetése jól mutatja at, hog a normálisú lapon nem jelennek meg nírófesültségek, eért a irán főiránt jelöl, továbbá σ les a egik főfesültség. főiránok egmásra merőlegesek, íg a síkban keresenő másikkétfőirán. felaatban 1 kijelölt n és m vektorok esetén τ mn =0aóik, eért n és m egségvektorok jelölik ki a másik két főiránt. három főfesültséget, valamint a hoájuk tartoó főiránokat a e σ 1 = σ =60Ma e 1 = e m σ 2 = σ m =48Ma e 2 = m e 2 σ 3 = σ n = 88 Ma e 3 = n e n 3 móon növekvő sorrenben sokás megani. 2. péla: Eg silár test pontjában a T fesültségtenor a alábbi alakban ismert: T = 4 0 8 0 4 0 8 0 8 Ma. Keressük meg a T tenorho tartóó főfesültségeket és főiránokat! Vegük ésre, hog a másoik oslopban álló minkét nírófesültség érus, íg e jelöli ki a egik főiránt, míg a σ =4Manormálfesültség a ebben a iránban vett főfesültség les. Et a körülmént kihasnálva serkestés útján, a ún. Mohr-féle köriagramból, is meghatárohatjuk a főfesültségeket és a főiránokat. Mohr iagramon minhárom oslopnak eg-eg pont felel meg, mivel a oslopokból eg σ és legfeljebb eg nem érus értékű τ fesültség sármaik. iagram vísintes tengele mentén a előjelheles σ normálfesültségek, függőleges tengele mentén peig a absolút értékben vett τ nírófesültségek kerülnek felmérésre. első oslopban álló σ = 4 Maés τ = 8 Mafesültségek előbbiek serinti felmérése után a X( 4, 8) jelű pontot, míg a harmaik oslopból vett σ =8Manormálfesültség és a τ = 8 Ma nírófesültség felhasnálásával a (8, 8) jelű pontot határouk meg a iagramon. ionítható, hog a kiserkestett pontok eg, a vísintes σ tengelen vett O köéppontból rajolt, félköríven helekenek el. O köéppont megkeresése a vísintes σ tengel felett aonos magasságban ( τ = τ = τ =8Ma)lévő X és jelű pontok köötti vonalsakas sakasfeleő merőlegesének megserketéséből, vag peig a felaat jelöléseit felhasnálva a σ + σ = 8 4 =2Ma 2 2 képletből történhet. keresett kör sugara is serkethető, vag peig ebben a esetben a r R = (σ σ + σ ) 2 2 + τ 2 = p 6 2 +8 2 =10Ma móon sámítható. iagramon íg megrajolt félkörív σ tengelt két helen, a másik két főfesültségnél metsi. [Ma] 10 X γ 1 3 5 R 1-10 σ 3-1 Y 1 O σ 2 10 σ 1 [Ma] Eután a másoik oslopból előálló Y (σ =4Ma,τ =0)pontot vessük fel, maj e pont és a előbbiekben serkestett körív σ tengelen vett metséspontjai köött két további körívet rajolunk meg. vísintes σ tengelen lévő három metséspont aja meg a három főfesültséget, melek köül a legnagobbat σ 1 =12Ma, a másoik legnagobbat σ 2 =4Ma,alegkisebbetσ 3 = 8 Majelöli.
4 Mohr-féle köriagram segítségével a vonatkoó főtengelek is meghatárohatók. Miután a σ 2 = σ = =4Mafőfesültséghe tartoó főtengel, a tengel, már ismert a 1 másik két főtengelek a síkban található. Mohr iagramban a σ 1 főfesültséghe tartóó 1 jelű főtengel és a tengel által beárt 8 Ma α 1 sög a σ 1 -nél a σ tengelre állított merőleges, valamint et a 8 pontot ponttal össekötő sakas által beárt sögnek felel meg. 1 jelű főtengel mellékelt ábrán történő berajolása úg történik, 3 4 hog a pontho kötött KR tengelétől felmérjük a α 1 söget a síkban, még peig a elemi kocka normálisú lapján vett τ 4 8 nírófesültség iránában. 3 jelű főtengel peig a már megrajolt két főtengel által kifesített síkra les merőleges. lakváltoás silár test pontjainak terhelés hatására bekövetkeő mogásai kétféleképpen jellemehetők. Egrést a test két pontját össekötő sakas eltolóhat és merevtestserűen elforulhat, miköben hossa nem váltoik, aa a test pontjai merevtestserű mogást végenek. Másrést alakváltoások lépnek fel, aa test pontjait össekötő sakasok hossa, valamint a sakasok egmással beárt söge váltohat. síkon vett pont terhelés hatására a 0 pontba kerül, valamint a ereetileg hoákötött és sakasok és végpontjai a 0 és 0 pontokba kerülnek. ereetileg koorináta-tengelekkel párhuamos és íg eréksöget u u beáró sakasok hossa (núlás, röviülés), valamint általuk be- árt sög is váltoik. pont iránú elmoulását u(, ), a iránút peig a v(, ) függvén (elmoulásmeő) jellemi. Képeük a és 0, illetve és 0 végpontok különbségeinek másoik tagig vett Talor-sorait: 0 = u + u +..., 0 = u + u +..., amelek alapján ε = 0 0 = u, 0 = v + v +..., 0 = v + v +..., u π γ 2 u ε = v és γ = u + v. u Et a másik két koorinátasíkra is elvégehetjük. pontho kötött elemi triéeren semléltetjük a poitívnak tekintett ε fajlagos núlásokat és γ fajlagos sögtorulásokat. lakváltoási jellemőket a ε alakváltoási tenorba foglaljuk: 1 γ 1 1 1 2 γ ε 2 2 γ 2 γ = 1 2 e γ 1 ε 2 γ. 1 2 1 γ γ 1 2 γ ε 1 2 γ 2 tenor simmetrikus tenor, aa mellékátlóiban álló fajlagos sögtorulások aonosak (pl.: ε e 1 2 e ε γ = 1 2 γ ). alakváltoási tenor ismeretében a n által kijelölt iránba vett 1 γ núlás a 2 1 γ ε 2 n = n.. n móon sámítható ki, a n és m által beárt eréksög sögváltoása peig γ mn =2 m.. n les. alakváltoási tenornak is léteik a e i = ε i e i (i = 1,...,3) sajátértékproblémája, aa léteik legalább három egmásra kölcsönösen merőleges e 1, e 2, e 3 egségvektorok által jelölt főirán, amel iránokban ε 1 ε 2 ε 3 főnúlások értelmehetők, aonban a e 1, e 2, e 3 vektorok által kijelölt iránok egmással beárt eréksöge a terhelés hatására nem váltoik, aa γ minig eltűnik. v v v 2 v v
5 rimatikus ruak húása, nomása húókisérlet során megfigelhetjük, hog a tengelre néve hengeres kialakítású próbatest tengelen mért hossa a aott húóerő hatására l >0 mértékben megnúlik és köben kerestmetsetének átmérője = o < 0 mértékben lecsökken. megfigelésből követkeően felírhatjuk a ε = l = állanó, ε k = σ = νε = állanó, l o o fajlagos núlásokat. Továbbá a is megfigelhető, R e hog a, és síkokkal párhuamos síkok R p alakváltoás után is síkok maranak, íg γ = N > 0 N > 0 γ = γ =0. próbatestből kimunkált,, és tengelekkel párhuamos élű, elemi kockák eformációja minenütt aonos, ebből követkeően eg tetsőleges pontban a ε 0 0 = 0 ε 0 = 0 0 ε νε 0 0 0 νε 0 0 0 ε l o o o l o l alakváltoási tenor írható fel, ahol a próbatest N > 0 anagára jellemő oisson-sámotν jelöli. próbatest és iránokban terheletlen, követkeésképp csak a lineáris rés N > 0 ε σ = N móon sámítható normálfesültség léteik, aa T = 0 0 0 0 0 0 = 0 0 σ 0 0 0 0 0 0 N 0 0 általunk visgált esetben a húóerő hatására bekövetkeő alakváltoás kicsi, íg a létrejövő o átmérőkülönbség is kicsi, ekképen a o területkülönbség nagságrenje még kisebb les. Követkeésképp a műsaki sámításokban a ereeti kerestmetset o területével ( = o ) sámolunk. fesültség és a alakváltoás köötti T =T ( ) kapcsolatot leíró anagtörvén, a σ = Eε egserű Hooke-törvén a sakítóiagram lineáris sakasán, a R p aránossági határig van érvénben. Jól alakítható fémeknél a R p -t és a R e (σ ) foláshatárt (a fesültséget, amelet a test anaga maraanó alakváltoás nélkül még elvisel) nem különbötetjük meg. Előforul aonban, hog a sakítóiagramból a jellemő fesültségek, íg a R p fesültség nem állapítható meg pontosan, ilenkor a sakítóiagramon mért 0.02% maraanó núlásho tartoó fesültséget feleltetjük meg neki, míg a 0.2% maraó núlásho tartoó fesültséget tekintjük foláshatárnak. Össefoglalva tehát eg test anagát a ν oisson-sám (0 < ν < 0.5), valamint a E Young-féle rugalmassági moulus mint anagállanók jellemik. erkeeti acélra ν =0.3; E =2 10 5 Ma; σ = 250 Ma körüli értékek a jellemők. Méreteés, ellenőrés kérései általunk visgált serkeetekkel semben elvárás, hog reneltetésserű hasnálat során ne károsojanak, aa a terhelés megsűnése után maraanó alakváltoás bennük ne marajon vissa. Ecélból fesültségcsúcsra történő méreteést alkalmaunk, aa a terhelések hatására ébreő (absolútértékben) legnagobb, σ ma jelű fesültség a serkeet anagára megengeett σ meg fesültséget nem halahatja meg. σ meg megengeett fesültséget a σ foláshatár és eg válastott n>1 bitonsági téneő hánaosaként értelmeük. Eek alapján a σ ma = σ ma σ meg = σ n képlet alapján méreteünk és ellenőrünk..
6 Megjegés: Nomás (N <0) esetén is a húásnál felírt össefüggések érvénesek. Karcsú ruak esetén aonban fellép a ún. kihajlás jelensége, amelet itt külön nem visgálunk. Íg csak ömök ruat (a rú hossa a kerestmetset jellemő méretének legfeljebb 12-serese lehet) terhelhetünk nomással, anélkül hog a kihajlás megjelenne. 1. péla: aott téglalapkerestmetsetű ruat N rúerő húásra terheli. Legen a =30mm; b =60 mm; l = 300 mm; E =2 10 5 Ma; ν =0.25. b N N a l Határouk meg, hog N = 9000 N húóerő eseténmekkoralesarú l megnúlásának és a és b olalváltoásának nagsága! ε = l/l képletet és a Hooke-törvént alapul véve kapjuk a l = ε l = Nl 9000 300 = E 1800 2 10 5 =7.5 10 3 mm megnúlást. a és b olalak váltoásának mértéke peig a kerestiránú núlásokból aóó les. rú (téglatest) íg ε = ε = νε = ν N E 0.25 9000 = = 0.625 10 5 1800 2 105 a = ε a = 0.625 10 5 30 = 1.875 10 4 mm b = ε b = 0.625 10 5 60 = 3.75 10 4 mm V =(a + a) (b + b) (l + l) a b l = 6.75 mm 3 térfogataváltoást senve, aa a térfogat nem mara állanó! Megjegés: térfogatváltoás a rugalmas alakváltoására jellemő tulajonság. fémes anagok képléken alakváltoása pélául térfogat állanósággal párosul. 2. péla: N =80kNrúerővel terhelt rúcsatlakoást k =4csavarral valósítjuk meg. N N sereléskor ébreő fesültségeket elhanagolva határouk meg a eges csavarok magkerestmetsetének süks. méretét, ha aokra σ meg =100Ma!
7 eges csavarokra eső húóerő N cs = N k =20kNles. elhasnálva a képletet kapjuk, hog süks. = 200 mm 2. σ = N cs süks. = σ meg 20000 N süks. = 100 Ma 3. péla: Mekkora N erővel húák a k = 114 arab egenként =1mm átmérőjű elemisálbólálló acélsoron kötelet, ha a benne ébreő fesültség σ kötél = 300 Ma? soronkötél kerestmetsetének öss = k 2 π 4 = 114 12 π =28.5π mm 2 4 a össterülete. Et felhasnálva kapjuk, hog a kötelet N = σ kötél öss =300 28.5π = 26861 N = 27 kn erővel húák. rimatikus ruak egenes hajlítása Tekintve a alábbi tartó igénbevételi ábráit megállapíthatjuk at, hog a C sakas tistán hajlított. C D a h a T - - C D M h a a l C D Kiragava C-ből eg l hossúságú sakast a követkeőket figelhetjük meg: a. a síkban tekintett tengellel párhuamos sakasok (sálak) köös köéppontú körívekké görbülnek. felső sálak megnúlnak, míg a alsók megröviülnek. b. a síkban ugane figelhető mega tengellel párhuamos sakasoknál c. a síkkal párhuamos síkok síkok, míg tengellel párhuamos sakasok egenesek maranak és elforulnak. ρ. a tengelen mért l hossúságú köépvonal váltoatlan nagságú mara. φ l berajolt kocka hálóból íg eg új ortogonális háló les.
8 megfigelések alapján a ε = (ρ + )φ l l l = (ρ + )φ l ρφ l = ρφ l ρ = κ és ε = ε = νε = ν ρ fajlagos núlásokat írhatók fel, ahol ρ jelöli a görbült tartó köépvonalának görbületi sugarát, κ peig a görbületét. Megállapítható, hog a alakváltoási tenor mátriában sereplő fajlagos núlások a visgált pont heletétől nem függetlenek. ortogonalitás miatt peig γ = γ = γ =0.Íga pont alakváltoási állapotát leíró tenor mátria formailag a húásnál megfigeltel aonosnak aóik. lkalmava a egserű Hooke-törvént kapjuk a σ = E ρ képletet a iránú normálfesültségre. Et felhasnálva képeük a fesültségi ereőket a négsögkerestmetsetű tartó kerestmetsetén: E = σ e = e = 0, ρ aa a kerestmetset súlpontjába reukált ereő érus értékű les, mivel a kerestmetset simmetrikus tengelre és íg a integrál eltűnik. súlpontba reukált M = M h e = ( e + e ) σ e = ( e + e ) E ρ e E E = e + e 2 ρ ρ { } { } I I nomaték képletében álló I a tengelpárra vett másorenű nomaték a kerestmetset és tengelekre vett simmetriája miatt el fog tűnni. Ebből aóóan a két olal össevetése után a koorinátától lineárisan függő σ fesültségre a σ = M h képlet aóik, ahol I jelöli a tengelre (a hajlítás tengelére) vett másorenű nomatékot. képletbe a M h nomatékot Nmm-ben, a I másorenű nomatékot mm 4 -ben, míg a koorinátát mm-ben sokás helettesíteni, hog a σ fesültség Ma-ban aójon. Megjegés: kerestmetset súlpontján áthalaó simmetriatengel, valamint a rá merőleges súlponti tengel les a kerestmetset ún. tehetetlenségi főtengele. egmásra kölcsönösen merőleges súlponti és tehetetlenségi tengelekre minig iga, hog I =0. előőek alapján pélául a I kerestmetseteken berajolásra került és tengelek a kerestmetsetek tehetetlenségi főtengelei. Ha a kerestmetsetet síkjában terhelő nomatékvektor párhuamos valamel tehetelenségi főtengellel, akkor egenes hajlításról besélünk. hajlítás tengelétől a kerestmetset legtávolabbi pontjának e = ma távolságát (a sélsősál távolságát) beveetve efiniáljuk a K = I [mm 3 ] σ M e h < 0 Mh > 0 tengelre vett kerestmetseti téneőt. Ha a tengel nem simmetriatengel, lás pl. a ábrán is, a e =ma(e 1,e 2 ). Et felhasnálva a σ ma = σ ma = M h σ σ ma σ ma K móon sámítható a maimális fesültség. e 1 e 2
9 íkiomok másorenű nomatékai területű síkiom és súlponti tehetetlenségi főtengeleinek ismeretében a I = 2, I = 2, I = és I = r 2 = 2 + 2 = I + I másorenű nomatékokat efiniálhatjuk. Egserű alakatok nomatékaira a integrálás elvégése után árt alakú képletek aónak, melekből a másorenű nomatékokat a síkiomok geometriai méreteinek helettesítése után sámíthatjuk ki. a sélességű ésb magasságú téglalap esetén pélául a súlponti és tengelekre vett másorenű nomatékok a I = b 2 a 2 = b = a 2 2 2 = a b 2 = b 2 2 = a b 3 2 3 b 2 = ab3 12, I = ba3 12 össefüggések alapján sámíthatók, míg a és tengelekre vett kerestmetseti téneők a K = ab3 2 12 b = ab2 6, K = ba3 2 12 a = ba2 6 a képletekből aónak. Megjegés: sabvános kerestmetsetek geometriai aatait (terület, súlpont, súlponti tehetetlenségi főtengelek, másorenű nomatékok, kerestmetseti téneők, stb.) a különböő sabvánok tartalmaák. Méreteés, ellenőrés kérései esültségcsúcsra méreteünk a σ ma σ meg = σ n képlet alapján, ahol a n>1 a bitonsági téneőt jelöli. 1. péla: ábrán látható móon a konolos kéttámasú tartót eg =8kNerő terheli. elaat a rú méreteése hajlításra, ha a ábrának megfelelően b =3a és a rú anaga acél, melre σ meg = 160 Ma. b C 1 m 2 m b=3a σ M h [knm] 8 knm a σ hajlítónomatéki ábra megrajolása után a kerestmetset bionult a veséles kerestmetsetnek M h ma =8kNm. Itt ébreő és tengelmenti fesültségeloslást mutatja a jobbolali ábra. előőek alapján sámítjuk a K = ab2 6 = a (3a)2 = 3 6 2 a3 kerestmetseti téneőt, melet helettesítve a fesültségcsúcsra történő méreteés képletébe nerjük a M h ma σ meg K össefüggést, ahonnan aóik a a 3 s végeremén. 2 3 r M h ma 2 = 3 σ meg 3 8 106 160 =32.18 mm 33 mm
10 2. péla: Határouk meg legfeljebb mekkora erővel terhelhető a alább váolt tartó, ha a tartó anagára megengeett fesültség értéke 150 Ma! C 40 20 2 m 4 m M h 2 nomatéki ábráról leolvasható a M h ma =2 [Nm] maimális hajlítónomaték. nomatékot megaó össefüggésben megjelenő távolság méterről miliméterre történő átváltása után a maimális hajlítónomatékot a M h ma = 2000 formában kell a σ ma = M h ma = 2000 = 12000 K 20 40 2 32000 = 12 32 6 fesültség képletbe helettesíteni. fesültségcsúcsra történő méreteés képletének felhasnálásával kapott 12 ma = σ meg 32 egenlet átreneése után a 32 150 ma = = 400 N 12 ereménre jutunk. Határouk meg legfeljebb mekkora erővel terhelhető a tartó, ha a gerenát a ereeti elreneéshe képest 90 o -al elforítjuk a tengel körül. Ekkor σ ma = M h ma K = 2000 40 20 2 6 = 12 16, aa 16 150 ma = = 200 N. 12 les a eremén. felaatból levonhatjuk at a általános tanulságot, hog a egenes hajlításra igénbe vett gerenákat minig a keskenebb olalukra állítva célserű beépíteni. 3. péla: ábrán látható I acélból késített konolt a befalaástól l 1 =1.4m és l 2 =1.75 m távolságra elhelekeő futómacska kerekek 1 =10.5kN és 2 =13.5kN erővel terhelik. M h l 1 l 2 1 2 selvén h[mm] K [cm 3 ] K [cm 3 ] [cm 2 ] I180 180 161 19.8 27.9 I200 200 214 26.0 33.4 I220 220 278 33.1 39.5 I240 240 354 41.7 46.1 mellékelt tábláatból válassuk ki, hog milen méretű I acélt kell alkalmani, ha a tartó anagára megengeett fesültség értéke 140 Ma!
felaat megolásakor fesültségcsúcsra méreteünk, aa elősör a konol veséles kerestmetsetén fellépő M h ma = M h () = 1 l 1 + 2 l 2 =1.05 10 4 1400 + 1.35 10 4 1750 = 3.8325 10 7 Nmm hajlítónomaték értékét határouk meg, amel birtokában sámítható a K süks. = M h ma 3.8325 107 = = 273750 mm 3 = 273.75 cm 3 σ meg 140 sükséges kerestmetseti téneő. I selvénekhe tartoó sabvánból kiírt aatokból késített tábláatunkban keressük meg a első, K süks. kerestmetseti téneőnél nagobb K (3. oslop) téneővel bíró sabvános kerestmetsetet. Eek alapján a kiválastott I220kerestmetsetből kell a tartót elkésíteni. Csavarás csavarásra igénbevett körkerestmetsetű primatikus rú l hossúságú sakasából kivett pontho kötött Rϕ koorinátarenserben eg elemi négetalapú hasábot visgálunk. e R e ϕ > 0 e ϕ e > 0 11 l e R > 0 γ > 0 e ϕ e ϕ e visgált l hossúságú rúsakas megfigeléséből a alakváltoás jellegére követketethetünk: kerestmetsetek saját síkjukban forulnak el, íg eeken a körlapokon kijelölt anagi vonalak nem torulnak, aa γ Rϕ = γ R = ε =0. rúátmérője sem váltoik ε R =0. ábra alapján a terhelés előtt tengellel párhuamos sálak tengelű egenletes γ emelkeésű hengeres csavarvonalakká görbülnek. tengelre merőleges egenessakasok a körül forulnak el. Hossuk nem váltoik, aonban a távolságra lévő körlapok egmásho visonított φ = ϑ sögelforulása a lineáris függvéne les, ahol ϑ =áll. a fajlagos elcsavaroási söget jelöli. φ r > 0 γ > 0 Kis alakváltoások esetén a -ből 0 -be történő érintőiránú elmoulásra felírt rφ = γ össefüggésből a φ = ϑ helettesítésével jutunk a γ = rϑ képletre, mivel a ϕ és tengelek köötti γ ϕ = γ sögtorulás nem érus értékű követkeik, hog: 0 0 0 = 1 0 0 2 γ ϕ. 1 0 2 γ ϕ 0 igelembevéve a palást terheletlenségét, valamint a eformáció jellegét arra jutunk, hog csavarás esetén τ ϕ = τ ϕ fesültségek ébrenek.
12 pontbeli τ ϕ fesültség a pontbeli γ ϕ fajlagos sögtorulásból a τ ϕ = Gγ ϕ alakú csavaráskor érvénes Hooke-törvén segítségével sámítható ki, ahol G [Ma] a csústató rugalmassági moulus. Megjegés: onos anagra vett E, G és ν anagállanók össetartonak, aa kettő ismeretében a harmaik sámítható. fajlagos sögtorulást és a τ ϕ fesültséget a nomatékból sámíthatjuk. Képeük a ún. fesültségi ereőket a tartó kerestmetsetén: ereő sámítása a kerestmetset súlpontjába a = Gϑr {} e ϕ = Gϑ e r e R = 0 } { τ ϕ e e R ereménre veet, mivel a integrál a körkerestmetset simmetriája miatt eltűnik. súlpontba sámított e = r e R e ϕ Gϑr = Gϑ e { } r 2 e { } I nomaték képletéből a I p poláris másorenű nomaték beveetése után jutunk a fajlagos elcsavaroási sögek és a r=0ϕ=0 ϑ = I G r=0 és Φ = ϑ = I G e R τ ϕ = τ ϕ = Gγ ϕ = Gϑr = r {} I γ e ϕ r τ ϕ fesültség sámítására solgáló össefüggésekre. Íg a T ϕ fesültségtenor mátria 0 0 0 > 0 T = 0 0 τ ϕ 0 τ ϕ 0 alakú les. Eg átmérőjű körkerestmetset poláris és súlponti és tengelekre vett másorenű nomatékait a 2 2π 2 r4 I = r 2 rϕr =2π r 3 2 r =2π = 4 π 4 0 32, I = I = I p 2 = 4 π 64, képletekből, a vonatkoó kerestmetseti téneőket peig a = 3 π 16, K = K = 2I = 3 π 32 K = I e = 2I képletekből határohatjuk meg. D külső és belső átmérőjű körgűrűkerestmetset poláris és súlponti és tengelekre vett másorenű nomatékait a D 4 4 π I =, I = I = I p D 4 32 2 = 4 π D 64 össefüggésekből, a vonatkoó kerestmetseti téneőket peig a K = I e = 2I D 4 D = 4 π, K = K = 2I D 4 16D D = 4 π 32D képletekből sámítjuk. Csavarás esetén körkerestmetsetnél a kerület, míg körgűrűkerestmetsetnél a külső D átmérőhö tartoó kerület pontjai lesnek a veséles pontok. Eekben, aa a paláston τ ma maimális csavarófesültség
ébre, amelet a beveetett K p kerestmetseti téneő birtokábana τ ma = K > 0 móon sámítunk. képletbe a nomatékot Nmm-ben, a K p poláris kerestmetseti téneőt mm 3 -ben kell behelettesíteni, hog τ ereménül a τ ma fesültséget Ma-ban kapjuk. poitív csavaró igénbevételnek kitett körkerestmetset súlponti és tengele mentén ébreő fesültségeloslásokat semléltetjük: τ a tengelmentén a τ, a tengelementén peig a τ fesültséget. fesültségeloslás is semléletesen mutatja, hog a csavarás tengelétől távolova lineárisan nő afesültség. ábrán látható móon a kerestmetsetre berajolt csavarónomaték forgatási értelme mutatja, hog a sugártól lineárian függő fesültségeloslások merre mutatnak. Méreteés, ellenőrés kérései esültségcsúcsra méreteünk a τ ma τ meg = τ n képlet alapján, ahol a n>1 a bitonsági téneőt jelöli. 1. péla átmérőjű tengelhe mereven kapcsolóó D átmérőjű tárcsa kerületén állanó és erőkből álló erőpár műköik. atok: =5kN;D =0.4m. 13 D L [knm] 2 2 Méreteük fesültségcsúcsra a tengelt, ha anagának τ meg =60Maa csavarásra megengeett csústatófesültsége! és kerestmetset köti tengelsakast a erőpárból sámított állanó = D =5 0.4 =2kNm csavarónomaték terheli. megrajolt igénbevételi ábra alapján a sakas kerstmetsetei egformán vesélesek. körkerestmetset kerületi pontjai a veséles pontok csavarás esetén. Íg a τ ma τ meg fesültségcsúcsra történő méreteés alapképletébe a körkerestmetset K poláris kerestmetseti téneőjét helettesítve aóó 16 3 τ meg π össefüggés alapján válastjuk a s r 16 M 3 c 16 2 10 τ meg π = 6 3 =55.37 mm 60π tengelátmérőt.
14 2. péla ábrán váolt L =0.8 mhossúságú és átmérőjű körkerestmetstű ruat, a ábrán látható móon, a =31.8 Nmnomaték csavarásra terheli. nírási rugalmassági moulus G =8 10 4 Ma. ' ' φ τ τ L Méreteük a ruat, ha a két sélső ( és ) kerestmetsetek egmásho visonított sögelforulásának megengeett értéke Φ meg = 4 10 3 ra ( kerestmetseteken a -ből -ba történő forgást tekintjük poitívnak.), maj eután ellenőriünk fesültségcsúcsra τ meg =30Mamellett! terheléselőtti rú végein felvett függőleges tengelek köül a kerestmetsethe kötött, gonolatban függőlegesen maraó tengelhe képest a csavarónomaték forgatási értelme serint Φ söggel forul el a tőle L távolságra lévő kerestmetsetbeli 0 tengel. relatív sögelforulásnak a megengeett érték alatt kell marani, aa a Φ Φ meg össefüggés írható fel, amelbe a Φ-re érvénes formulát helettesíve a 32 L 4 πg Φ meg össefüggésre jutunk. Et átreneve kapjuk a s r 32 M 4 c L 32 31.8 Φ meg πg = 4 103 800 4 10 3 8 10 4 π = 30 mm eremént. Válssuk a =30mmátmérőt és ellenőriük le a ruat a τ ma τ meg képlet alapján, amel serint 16 3 π = 16 31.8 103 30 3 π = 6 Ma <τ meg =30Ma, aa a rú megfelel. 3. péla ábrán váolt körgűrűkerestmetsetű, jobb végén befalaott ruat a M 1 =0.3 knm és a M 2 =0.5 knm nomatékok csavarásra terhelik (a, ill. kerestmetsetekben). l 1 =600mm, l 2 = 400 mm. D M 1 M 2 C l 1 l 2 [knm] 0.3 0.3-0.2-0.2 Méreteük a ruat, ha ismeretes a D/ =3/2 átmérővison és τ meg =70Maa megengeett fesültség a
tengel anagára, valamint határouk meg a rú kerestmetsetének a kerestmetsethe visonított Φ sögelforulását, ha G =8 10 4 Ma a nírási rugalmassági moulus! igénbevételi ábra megrajolása után megállapítható, hog a sakas kerestmetsetei a vesélesek és eeket ma =0.3kNm terheli. fesültségcsúcsra történő méreteés csavarás esetén érvénes ma τ meg K formulájába a D 4 4 π K = 16D = ([ 3 2 ]4 4 )π 16 3 2 = poláris kerestmetseti téneőt helettesítve kapjuk a s 384M 3 c ma 65τ meg π = 3 65 70 π össefüggést. r 384 0.3 10 6 65 16 4 π 24 = 65 384 3 π = 20 mm Válassuk a =20mmbelső átmérőt, amelhe a D =30mmkülső átmérő tartoik. Íg D 4 4 π 30 4 20 4 π I = = = 63813.6mm 4 32 32 les a poláris másorenű nomaték. Et felhasnálva a rú kerestmetsetének a kerestmetsethe visonított sögelforulása a Φ = l I G = 0.3 106 600 =0.035 ra 63813.6 8 104 képletből aóik. rimatikus ruak össetett igénbevételei Ebben a résben tárgaljuk a több igénbevétel egüttes hatásának (össetett igénbevételnek) kitett rú méreteésének és ellenőrésének kéréseit. ere hajlítás ere hajlításról akkor besélünk, ha a kerestmetsetet síkjában terhelő M nomatékvektor egik súlponti tehetetlenségi főtengellel sem párhuamos. fere hajlítás igaolhatóan két egenes hajlítás superpoíciójaként is megaható a σ (, ) = M h I + M h I össefüggés alapján, amel serint a kerestmetset és súlponti tehetelenségi tengeleire vett M h, M h hajlítónomatékok, valamint I, I másorenű nomatékok segítségével a tetsőleges (, ) koorinátájú pontban sámítható a σ normál fesültség. kerestmetseten keressük aon kitüntetett pontok helét, ahol a ébreő fesültség érus értékű les. eképpen felírt 1 σ = 0 M h >0 M h + M h = 0 I I M h >0 σ egenletből a átreneés után a = M h I M h I össefüggésre, a ún. érusvonal egenletére jutunk. ábrán piros sagatott vonallal jelölt érusvonal áthala a súlponton és a kerestmetsetet két résre bontja. egik résen a poitív, a másikon a negatív normálfesültségek ébrenek. érusvonal beveetésével a kerestmetset veséles pontjait können megállapíthatjuk, mivel aok értelemserűen a érusvonaltól legtávolabbi pontok lesnek ( ábrán eeket 1 és 2 jelöli). Eekben a 2 σ 15
16 pontokban ébreő maimális fesültség a σ ma = σ ( 1 )= σ ( 2 ). fesültségcsúcsra történő méreteés és ellenőrés során a fere hajlítás esetén ébreő maimális σ ma fesültség eg a anagra jellemő fesültségből a bitonság figelembevételével megállapított σ meg megengeett fesültségen nem léphet túl, aa σ ma σ meg. Megjegés: igénbevételek előjelsabálából követkeően η M h > 0 s M h > 0 M h > 0 a M h nomaték poitív előjelű, ha vektorának irána tengeliránnal ellentétes! 1. péla ábrán váolt téglalapkerestmetsetű primatikus rú veséles K kerestmetsetének igénbevétele a súlpontba reukált = 0, M = (240 e +90 e )Nmereő vektorkettőssel aott. 40 1 M h <0 M h >0 σ Határouk meg a érusvonal egenletét, maj jelöljük be a kerestmetset ábráján a érusvonalat, továbbá ellenőriük a ruat fesültségcsúcsra, ha σ meg =80Ma! M nomatékvektorból a előjelsabál figelembevételével állapítjuk meg a M h =24 10 4 Nmm és M h = 9 10 4 Nmm súlponti tehetetlenségi tengelekre vett nomatékokat és a kerestmetset aataiból meghatárouk a vonatkoó 2 30 403 I = =16 10 4 mm 4 40 303 és I = =9 10 4 mm 4 30 12 12 másorenű nomatékokat. σ Eek behelettesítésével a érusvonal egenlete a = M h I 9 104 16 10 4 = M h I 24 10 4 9 10 4 = 2 3 les. ábrán saggatott piros vonallal bejelölt érusvonaltól legtávolabbi 1 ( 15, 20) mm és 2 (15, 20) mm jelű pontok lesnek a kerestmetset veséles pontjai. veséles pontokban ébreő σ ma = σ ( 1 )= M h 1 + M h 24 104 9 104 1 = (20) + ( 15) = 45 Ma I I 16 104 9 104 fesültség kisebb, mint a σ meg =80Ma, tehát a rú megfelel. Húás (nomás) és egenes hajlítás rú kerestmetsete egiejűleg húásra (nomásra) és eg a kerestmetset súlponti tengelével párhuamos egenes hajlításra van igénbevéve, akkor a kerestmetset aott pontjában a superpoició elve alapján a két hatás σ 0 ( )= N és σ 00 ( )= M h fesültsége össegőik, aa σ ( )=σ 0 ( )+σ 00 ( ). fesültségcsúcsra történő méreteés és ellenőrés során a ébreő maimális σ ma fesültség eg a anagra jellemő fesültségből a bitonság figelembevételével megállapított σ meg megengeett fesültségen nem léphet túl, aa σ ma σ meg. I
kerestmetset veséles pontjának és íg σ ma megkeresése a tengelmenti fesültség eloslások megrajolásával történik. 1. péla Eg T acélból késült tartó veséles K kerestmetsetének igénbevétele a súlpontba reukált =( 9 e )knés M = (700 e )Nmereő vektorkettőssel aott. Méreteük a tartót fesültségcsúcsra, ha anagának σ = 120 Ma afolásihatáraésn =2a előírt bitonsági téneő! ábra mellett néhán, a sabvános T kerestmetsethe tartoó aatot foglaltunk össe: selvén h[mm] e [mm] I [cm 4 ] K [cm 3 ] [cm 2 ] 17 h e M h >0 T60 60 1.66 23.8 5.48 7.49 T70 70 1.64 44.5 8.79 10.6 T80 80 2.22 73.7 12.8 13.6 T90 90 2.48 119.0 18.2 17.1 T100 100 2.74 179.0 24.6 20.9 felaat megolása a tengelmenti fesültségeloslás jellegheles megrajolásával keőik. Ebből megállapítható a veséles pont a kerestmetseten: h e M h >0 σ σ σ fesültségi állapotok superpoíciója a tengelmenti fesültségeloslás össegésével semléletesen követhető. Íg a bejelölt pontban ébreő σ ma = N + M h K fesültséget kell a korábban elmonottak serint össevetni a σ meg = σ /n =60Mafesültséggel. σ ma képletében ismeretlenként a és K jelenik meg, eért a egserűség miatt élünk a követkeő iterációs lehetőséggel: Elősör hajlításra méreteünk, maj a kapott ereménnél nagobb, hoá legköelebb eső sabvános kerestmetset aataival ellenőrünk nomásra és hajlításra. Ha nem felel meg a kerestmetset, akkor értelemserűen a követkeő, nagobb méretűt vessük és arra ellenőrünk. Et aig ismételjük, amíg a tartó meg nem felel. M h K K M h = 7 105 σ meg 60 σ meg = 11666. 6mm 3 =11. 6cm 3 alapján a tábláatból a K alapján a T80selvént válastjuk ki. ellenőrést a T80selvén aataival elvégeve, a σ ma = N + M h K = 9 103 1360 + 7 105 12.8 10 3 =6.62 + 54.7 =61.32 Ma >σ meg
18 ereménre jutunk, íg válastjuk a rákövetkeő T90 acélt, melre a σ ma = N + M h K = 9 103 1710 + 7 105 18.2 10 3 =5.26 + 38.46 = 43.72 Ma <σ meg les, aa a T90selvén megfelel. Megjegés: előbb bemutatott méreteési móser pár lépés után minig ereménre veet. 2. péla ábrán váolt L = 0.6 mhossúságú és = 80 mm átmérőjű körkerestmetsetű ruat a =47.1 kn nagságú erők húásra terhelik, amelek hatásvonala (0; a =20mm; L) és (0; a =20mm; 0) pontokat össekötő tengellel párhuamos egenes. a L Ellenőriük a ruat fesültségcsúcsra, ha σ meg =30Ma! rúsakas igénbevétele ún. ecentrikus húás les, mivel a húóerők hatásvonala nem a kerestmetsetek súlpontjain hala kerestül. erő pontba reukálásával eg M h = a =20 47.1 10 3 = 942 10 3 Nmm nomaték aóik, aa a felaat húásból és egenes hajlításból álló össetett igénbevételre veet. fesültségeloslás jellegheles megrajolása után megállapítható, hog a kerestmetset veséles pontja a pont. Itt ébre a σ ma = N + M h K = 4N 2 π + 32M h 3 π = 4 47.1 103 80 2 π fesültség, amel kisebb mint a σ meg =30Maíg a rú megfelel. Húás (nomás) és csavarás + 32 942 103 80 3 π = 28.11 Ma kör-, vag körgűrűkerestmetsetű ruat egiejűleg húás (ömök rú esetén esetleg nomás) és csavarás vesi igénbe. ábrán látható móon a primatikus rúnak a tengel a köépvonala és a M és vektorok kerestmetsetből kifelé mutatva a igénbevételi előjelsabálok alapján poitív előjelű csavarást és húást okonak. K l rúeg pont fesültségi állapota a két megaott egserű igénbevétel által okoott fesültségi állapotokból a T =T 0 +T00 móon superponálóik, aa 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T = 0 0 0 + 0 0 τ ϕ = 0 0 τ ϕ. 0 0 σ 0 τ ϕ 0 0 τ ϕ σ M
fesültségcsúcsra történő ellenőrés, méreteés során elősör vesélesség (károsoás) alapján hasonlítjuk össe a rú pontjaiban előálló fesültségi állapotokat, maj a legvesélesebb pontra végeük el a ellenőrést, méreteést. Húás (nomás) és csavarás esetén a tenorban (fesültségi állapotban) σ és τ fesültségek is serepelnek. Íg a visgált fesültségi állapotok követlenül nem hasonlíthatóak össe egmással, eért a őket helettesítő egserű, e vesélességi sempontból velük egenértékű fesültségi állapotokat keresünk. legegserűbb fesültségi állapot a egetlen σ 1 főfesültséggel (σ 2 = σ 3 =0)jellemehető egtengelű fesültségi állapot. eig tárgalt esetek ie tartotak. T tenor által leírt fesültségi állapotho keressük meg a vesélesség sempontjából vele egenértékű egtengelű fesültségállapotot, amelet a illető (általános) fesültségi állapotho tartoó σ re jelű reukált (egenértékű) fesültségnek neveük. megaott T tenorho a σ 1 = σ r ³σ 2 2 + + τ 2 2 ϕ, σ 2 =0, σ 3 = σ r ³σ 2 2 + τ 2 2 ϕ főfesültségek tartonak. Eek segítségével képeük a Mohr elmélet serint r ³σ σ Mohr 2 q re = σ 1 σ 3 =2 + τ 2 2 ϕ = σ 2 +4τ 2 ϕ a Huber-Mises-Hencke (von Mises) elmélet serint peig a r 1 q σ HMH re = 2 [(σ 1 σ 2 ) 2 +(σ 2 σ 3 ) 2 +(σ 1 σ 3 ) 2 ]= σ 2 +3τ 2 ϕ reukált fesültségeket, amelek birtokában a σ re ma = p σ 2 ma + βτ 2 ma σ meg képlet serint a sokott móon méreteünk, ahol β =4Mohr serint és β =3HMH serint. 1. péla ábrán váolt, balolali végén befogott, = 40 mm átmérőjű, l = 600 mm hossú, tömör tengelt a M =( 50.24 e )Nm nomaték és a =( 7.536 e )kn erő terheli. K l Ellenőriük a ruat fesültségcsúcsra a Huber-Mises-Henck-féle elmélet alapján, ha σ meg =10Ma! tengel teljes hossa mentén a csavarónomaték és a nomóerő nagsága állanó, eért a tengel minen eges kerestmetsete egformán veséles. Kiválastva eek köül a egiket a kerestmetset tengelei mentén ábráoljuk a fesültségeloslásokat. Jól látható móon a veséles pontok a ábrán pirossal megjelölt kerületi pontok lesnek. kerület eges pontjaiban egiejűleg peig a σ ma = N = 4 7536 40 2 π = 6Ma és τ ma = 16 50240 = = K 40 3 4Ma π fesültségek ébrenek. eekből sámított Huber-Mises- Henck-féle elmélet serint vett σ HMH re ma = p σ 2 ma +3τ 2 ma = p 6 2 +3 4 2 =9.165 Ma maimális reukált fesültség kisebbnek aóik, mint a megengeett σ meg =10Mafesültség. Íg a tengel megfelel. M 19
20 Hajlítás és csavarás hajlításból és csavarásból álló össetett igénbevétel esetében is csak a kör-, illetve körgűrűkerestmetsetű primatikus rú méreteésének és ellenőrésének kéréseit visgáljuk. előőek alapján a reukált fesültség sámítását kell elvégeni a fesültségi állapotok össevetéséhe, mivel a pontbeli fesültségi állapotot jellemő, Rϕ hengerkoorináta-renserben felírt T tenorban σ és τ ϕ fesültségek vannak. igénbevételi ábrák alapján megállapított veséles C kerestmetseten tistán hajlításból a hajlítás tengelétől vett legtávolabbi pontok (piros sínnel jelölt 1 és 2 pontok), míg csa- 1 varásból a kerületi pontok (öl sínnel jelöltek) aónak vesélesnek. Ebből követkeik, hog össetett igénbevétel esetén a 1 és 2 pontok jelölik a kerestmetset veséles pontjait. 1 (és íg a 2 )jelű veséles pontban a σ ma = σ ( 1 )= M h(c) és τ ma = τ ϕ ( 1 ) = (C) 2 K K fesültségek ébrenek. reukált fesültség sámítására peig a σ re ma = p σ 2 ma + βτ 2 ma σ meg képlet érvénes, ahol β =4Mohr és β =3HMH serint. ehelettesítve ebbe a össefüggésbe a σ ma és τ ma képletét, valamint kihasnálva at, hog kör-, illetve körgűrűkerestmetsetek esetén K =2K és a K kerestmetseti téneőt a neveőben kiemelve kapjuk, hog r 2 2 s Mh (C) Mc (C) σ re ma = + β = 1K M K 2K h 2 (C)+β 4 2 (C). { } M re ma eveetve a M re jelű reukált nomatékot a fesültségcsúcsra történő méreteést, ellenőrést a M re ma σ meg K képlet alapján végeük el. tengel méreteése tehát a reukált nomaték ismeretében úg történik, mintha a tengelt a M re nomaték hajlításra terhelné. tengel veséles kerestmetsete peig a vonatkoó nomatéki ábrák megrajolása után a tengel kerestmetseteinél sámított reukált nomatékok össevetésével kerül kiválastásra. veséles kerestmetsetben ébreő legnagobb reukált nomatékot M re ma jelöli. σ meg megengeett fesültség ismeretében peig ebből kisámítjuk a sükséges K süks. = M re ma σ meg kerestmetseti téneőt, amel birtokában a tengel átmérőjét kiválastjuk. Megjegés: gakorlatbanelőforul, hog eg általánosan terhelt tengel esetén célserű külön-külön megrajolni a M h és M h nomatéki ábrákat. két nomaték M h e és M h e vektora egmásra merőleges, eért a Mh 2 = M h 2 + M h 2 les a ereőjük négete. Et helettesítve a M re össefüggésbe a hajlítónomaték helett a r M re = Mh 2 + M h 2 + β 4 2 képletre jutunk. 1. péla Ismeretesek a D külső és belső átmérővel renelkeő körgűrű kerestmetsetű, primatikus tengel hajlító és csavarónomatéki ábrái. Méreteük a tengelt fesültségcsúcsra Mohr-féle elmélet serint a D/ =2átmérővison és a tengel anagára vonatkoó σ meg = 200 Ma ismeretében!
D C D M h M h -5 [knm] [knm] [knm] 4-6 6-3 7-5 jánlott iroalom E 7 megaott nomatéki ábrák alapján keressük a tengel veséles kerestmetsetét. E célból a vesélesnek tűnő kerestmetsetekben a Mohr elmélet serint sámított reukált nomatékok kisámítását és egmással történő össehasonlítását végeük el: + kerestmetsetben Mre Mohr ( + )= p 4 2 +3 2 +7 2 =8.6kNm a D kerestmetsetben peig Mre Mohr (D) = p 6 2 +6 2 +7 2 =11kNm a reukált nomaték nagsága, aa a D kerestmetset a veséles. Íg Mre Mohr ma = M re Mohr (D). K képletét a D =2 átmérővison helettesítésével a D 4 4 π 16 4 4 π K = = = 153 π 32D 64 64 alakra houk. Et behelettesítve jutunk a méreteés 64M Mohr re ma 15 3 σ meg π képletére, ebből peig a s r 64M Mohr 3 re ma 64 11 10 15σ meg π = 6 3 =42.115 mm 15 200π eremén aóik a belső átmérőre. 21 [1.] Mechanikai Tansék Munkaköössége. ilárságtan I., TankönvKiaó, uapest, 1977. [2.] Mechanikai Tansék Munkaköössége. Mechanikai élatár I., TankönvKiaó, uapest, 1980. [3.] Mechanikai Tansék Munkaköössége. Mechanikai élatár II., TankönvKiaó, uapest, 1990. [4.] H. G. teger, J. ieghart, E. Glauninger. Műsaki mechanika 1. tatika, súrlóás, silárságtan, Műsaki Könvkiaó, uapest, 1993. [5.]. öge, W. chlemmer. Mechanikai és silárságtani felaatgűjtemén, Műsaki Könvkiaó, uapest, 1993.