Matematika 8. osztály

ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály I. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018

2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Algebra................................ 3 1. Két tag összegének a négyzete......................... 3 2. Két tag különbségének a négyzete....................... 4 3. Gyakorlás.................................... 6 4. Szorzattá alakítás, nevezetes azonosságok................... 7 5. Gyakorlás.................................... 8 6. A négyzetgyök fogalma............................. 9 7. A irracionális számok.............................. 10 8. Négyzetgyökös azonosságok.......................... 11 9. Műveletek négyzetgyökös kifejezésekkel.................... 12 10. Gyakorlás.................................... 13 11. Nevező gyöktelenítése.............................. 14 12. Gyakorlás.................................... 15 13. Összefoglalás.................................. 16 14. Témazáró dolgozat............................... 17

1. óra. Két tag összegének a négyzete 3. 1. óra Két tag összegének a négyzete Állítás. Legyen a és b tetszőleges racionális szám. Ekkor az a és a b összegének a négyzete egyenlő a számok négyzetének és a kétszeres szorzatuknak az összegével: a + b) 2 a 2 + 2 a b + b 2 Bizonyítás. A négyzetre emelés definícióját felhasználjuk és zárójelet felbontjuk. Ez után a szorzás kommutatív tulajdonságát is kihasználjuk, majd összevonunk. a + b) 2 a + b) a + b) a 2 + ab + ba + b 2 a 2 + ab + ab + b 2 a 2 + 2ab + b 2 Megjegyzés. Ha egy a oldalú négyzet alakú kert mindkét oldalát b-vel megnövelem, akkor az új kert területét kétféleképpen felírva megkapom a fenti azonosságot. ab b 2 a 2 ab a + b) 2 1. Feladat. Végezzük el önállóan a következő négyzetre emeléseket! a. ) x + y) 2 2a + 1) 2 x 2 + 3 ) 2 3a + 4b) 2 4 5 + x ) 2 3 5 y3 + 1) 2 1. Házi feladat. Végezzük el az alábbi műveleteket! a. ) 5x + 2y) 2 3 4 y + x ) 2 x 4 + y 3) 2 ) 3y 5 2 2 + 1

4. 2. óra. Két tag különbségének a négyzete 2. óra Két tag különbségének a négyzete Állítás. Legyen a és b tetszőleges racionális szám. Ekkor az a és a b különbségének a négyzetét megkaphatjuk úgy, hogy a számok négyzetének összegéből kivonjuk a kétszeres szorzatukat. Az előzőhöz hasonló sorrendbe rendezve: a b) 2 a 2 2 a b + b 2 Bizonyítás. Az összegre vonatkozó összefüggésnél tett lépéseket itt is megtehetjük. a b) 2 a b) a b) a 2 ab ba + b 2 a 2 ab ab + b 2 a 2 2ab + b 2 Megjegyzés. Ha egy a oldalú négyzet alakú kert mindkét oldalát b-vel csökkentem, akkor az új kert területét kétféleképpen felírva megkapom a fenti azonosságot. Azért kell a b 2 -et hozzáadni, mert amikor a két téglalap területét levontuk a kert területéből, akkor a sarokban lévő négyzet területét duplán levontuk. ab b 2 a 2 ab a b) 2 2. Feladat. Végezzük el önállóan a következő négyzetre emeléseket! a. ) x y) 2 3x 2) 2 6x 1) 2 3a 4b) 2 ) 2 5 3 x 7 ) 2 5x 4 y g. ) x 3 y 2) 2 h. ) 3x x) 2 i. ) 4 + x) 2 j. ) y 5 x 3) 2 k. ) 3 5 y3 1) 2 ) x 4 2 l. ) 3 5

2. óra. Két tag különbségének a négyzete 5. 2. Házi feladat. Végezzük el az alábbi műveleteket, ahol lehet egyszerűsítsünk és a Photomath nevű telefonos alkalmazással ellenőrizzük a megoldásokat! a. ) c d) 2 x 6 1 ) 2 2y 1 2) 2 4x 9 3y 4 ) 2 3x 4 9y x ) 2 5 6 x 3 7 y4 ) 2

6. 3. óra. Gyakorlás 3. óra Gyakorlás 3. Feladat. Végezzük el önállóan a következő négyzetre emeléseket! a. ) 3a b) 2 3y + x) 2 x 3 + 1) 2 3y 2y) 2 a 2 + 1) 2 4. Feladat. Végezzük el együtt a következő négyzetre emeléseket! a. ) x + 2) 1 2 y 1 3) 2 z 2 t 3) 2 2k 3 3j ) 2 3 4 a2 0, 5b 3 ) 2 3 4 a4 b 2 3 ab3 ) 2 g. ) 5 6 x3 y + 3 5 xy ) 2 Állítás. Legyenek adottak a, b, c számok. A három szám összegének a négyzete: Bizonyítás. a + b + c) 2 a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac a + b + c) 2 a + b) 2 + 2 a + b) c + c 2 a 2 + 2ab + b 2 + 2ac + 2bc + c 2 3. Házi feladat. Végezzük el az alábbi műveletet! 6 + x + 3) 2 1. Szorgalmi feladat. Írjuk fel az azonosságot! a + b + c + d) 2

4. óra. Szorzattá alakítás, nevezetes azonosságok 7. 4. óra Szorzattá alakítás, nevezetes azonosságok 5. Feladat. Alakítsuk szorzattá az alábbi kifejezéseket kiemeléssel! a. ) 3a + 3b 5ab 10ac 5x 3 + 10x 2 a 4 x 2 a 3 x 4 ax + bx + cx a 3 2a 2 a g. ) 8a 4 12a 2 h. ) 6ab 3b 2 6. Feladat. Alakítsuk szorzattá az alábbi kifejezéseket az összeg illetve különbség négyzetére vonatkozó nevezetes azonosságok felhasználásával! a. ) x 2 2x 1 a 2 + 6a + 9 4a 2 + 4a + 1 9x 2 6x + 1 25y 4 10y 2 x + x 2 a 2 2a 1 Állítás. Legyen a és b racionális szám. A két szám összegének és különbségének szorzata egyenlő a számok négyzetének különbségével. a + b) a b) a 2 b 2 Bizonyítás. a + b) a b) a 2 ab + ba b 2 a 2 b 2 4. Házi feladat. Számoljuk ki a példákat és külön lapon adjuk le következő órán! a. ) x + y) x y) a + 2) a 2) 2 3 a2 + 3 ) 2 4 y3 3 a2 3 ) 4 y3

8. 5. óra. Gyakorlás 5. óra Gyakorlás 7. Feladat. Végezzük el az alábbi szorzásokat önállóan! a. ) 5x 2y) 2 2x y z) 2 2x + y) 2x y) 8. Feladat. Alakítsuk szorzattá önállóan az alábbi kifejezéseket! a. ) a 2 b 2 a 2 b 2 9 1 9 x2 1 4 y2 a 2 1 4a 2 9 64 81 a2 9 64 b2 9. Feladat. Alakítsuk szorzattá együtt az alábbi kifejezéseket! a. ) x + 3y) 2 z 2 x + y) 2 9y 2 z 4 16 49 a + b)2 25 1 0, 01a 2 x 6 + x 3 + 1 5. Házi feladat. Oldjuk meg az alábbi feladatokat! a. ) x k + a) 2 x + y + z) 2 x + 2y + z) 2 x y + z) 2 2 3 a3 b 4 5 2 a5 b) 2

6. óra. A négyzetgyök fogalma 9. 6. óra A négyzetgyök fogalma Def. Legyen a nemnegatív valós szám 1. Az a szám négyzetgyökének azt a nemnegatív számot nevezzük, amelyet négyzetre emelve 2 éppen a-t kapunk. Jele: a Megjegyzés. A 9 egy olyan számot jelent, aminek a négyzete 9. Ez a +3 és a 3 is lehetne, de a definíció szerint mindig a nemnegatívat kell választani. Megjegyzés. A 9 nem lehet valós szám. Egyrészt nulla nem lehet, hiszen négyzete 9 kellene, hogy legyen, ami a nullára nem teljesül. Pozitív valós nem lehet, hiszen tudjuk, hogy + + +, de negatív sem lehet 3, mert +. 10. Feladat. Számítsuk ki együtt a következő négyzetgyökvonások eredményét! a. ) 0 16 g. ) 49 j. ) 64 4 25 h. ) 100 k. ) 16 9 35 i. ) 64 l. ) 16 11. Feladat. Számítsuk ki az alábbi kifejezések eredményét, ami marad házi feladat! a. ) 81 144 16 25 7 28 12 75 1600 g. ) 49 25 h. ) 18 2 i. ) 75 5 j. ) 0, 36 k. ) 0, 0081 l. ) 0, 0016 m. ) 27 3 n. ) 36000000 o. ) 81 16 25 49 p. ) 2 3 : 8 27 6. Házi feladat. Állítsuk növekvő sorrendbe az alábbi számokat! 7, 1 49 7, 01 2 7, 2 7, 1 6, 713 4 6, 9 2 67 1 Halmazos jelöléssel írva: a R + 2 Másképp fogalmazva: önmagával megszorozva 3 Valójában csak azt tudjuk biztosan, hogy a 9 nem nulla, nem pozitív és nem is negatív, nem valós szám, nincs is rajta a számegyenesen. A komplex számok bevezetésével később értelmet adhatunk ennek a számnak.

10. 7. óra. A irracionális számok 7. óra A irracionális számok Def. A végtelen nem szakaszos tizedestörteket irracionális számoknak hívjuk. Ezek a számok nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. Jele: Q Megjegyzés. Bármely racionális szám végtelen tizedes tört alakja szakaszos Def. A racionális és irracionális számokat együtt valós számoknak nevezzük. Megjegyzés. A racionális és irracionális számokra igazak az alábbiak: Q Q R Q Q 12. Feladat. Számítsuk ki a 2 értékét minél pontosabban! A négyzete emelés monoton növekvő tulajdonságát felhasználjuk. Ez azt jelenti, hogy két nemnegatív szám közötti reláció fennáll a számok négyzetei között is. 1 < 2 < 4 1.4 < 2 < 1.5 1.41 < 2 < 1.42 1.414 < 2 < 1.415 1 < 2 < 4 1.96 < 2 < 2.25 1.9881 < 2 < 2.0164 1.999396 < 2 < 2.002225 Ezt az eljárást folytathatjuk addig, amíg csak szeretnénk, és tetszőleges pontossággal megközelíthetjük a 2 értékét, ám az alsó és a felső közelítés soha lesz egyenlő. 13. Feladat. Van-e helye a 2-nek a számegyenesen? Ha igen, keressük meg! Tudjuk, hogy egy egységnyi oldalhosszúságú négyzet átlója éppen 2 hosszúságú. Ez alapján geometriailag megtalálhatjuk a 2 helyét. 2 3 2 1 0 1 2 3 7. Házi feladat. Írj fel 10 darab pozitív egész számot. Becsüld meg mindegyiknek a négyzetgyökét és utána számológéppel ellenőrizd! Próbálj szabályokat felismerni! 2. Szorgalmi feladat. Számítsuk ki közelítéssel a 5 értékét!

8. óra. Négyzetgyökös azonosságok 11. 8. óra Négyzetgyökös azonosságok Állítás. Legyen a 0 és b 0. A két szám szorzatának négyzetgyöke egyenlő a két szám négyzetgyökének szorzatával, tehát lehet tényezőnként négyzetgyököt vonni. a b a b Bizonyítás. Mindkét szám nemnegatív, ezen számok körében pedig a négyzetre emelés és a gyökvonás ekvivalens átalakítás. Be kell látni, hogy mindkét oldal négyzete azonos. A négyzetgyökvonás definíciója és a hatványozás III. azonossága alapján: bal oldal: a b ) 2 a b jobb oldal: a b ) 2 a ) 2 b ) 2 a b Állítás. Legyen a 0 és b > 0. A két szám hányadosának négyzetgyöke egyenlő a számláló és a nevező négyzetgyökének hányadosával, azaz: a b Bizonyítás. Az előzőhöz hasonlóan járunk el, csak itt a hatványozás IV. azonosságát használjuk fel a bizonyítás során: a b bal oldal: ) 2 a a b b ) 2 a jobb oldal: a) 2 b b) a 2 b Állítás. Legyen a > 0 és k Z. A négyzetgyökvonás és a hatványozás művelete felcserélhető, tehát teljesül a következő azonosság: a ) k a k Bizonyítás. Emeljük négyzetre mindkét oldalt. Mivel definíció szerint mindkettő nemnegatív, ezért ez egy ekvivalens átalkítás. Ha ugyanazt kapjuk, készen vagyunk. a ) ) k 2 ) k 2 a ) ) 2 k bal oldal: a a k ) 2 jobb oldal: a k a k 8. Házi feladat. Saját számokkal mindegyik azonosságot kipróbálni számológépen.

12. 9. óra. Műveletek négyzetgyökös kifejezésekkel 9. óra Műveletek négyzetgyökös kifejezésekkel 14. Feladat. Bontsuk fel a zárójeleket! ) ) a. ) 11 6 11 + 6 ) ) 5 2 5 + 2 2 + 18 ) 2 ) 2 12 3 ) ) 3 4 2 + 5 7 + 3 ) 2 g. ) 2 + 3 ) 2 h. ) 2 3 3 2) 2 3 + 3 2) i. ) 2 3 3 2) 3 4 + 3 5) 15. Feladat. Végezzük el a következő műveleteket! a. ) 25c4 0, 36b2 81y 10 a2 a8 b 2 c 4 9a + b)4 g. ) 2, 89a + b)6 h. ) 4a2 b 4 81c 2 d 6 9. Házi feladat. A kimaradt feladatokat befejezni otthon.

10. óra. Gyakorlás 13. 10. óra Gyakorlás 16. Feladat. Végezzük el a következő műveleteket! a. ) 8a + 3b 2a) + 5a 5x 3 4x + 3) 7 12a + 2b) 4a b) x 2 + 3x 5) 2x 2 x + 1) xx + y) yx y) 33a 3b) + 5a + b) g. ) 4x y + z) 2x + y z) 3 x y z) h. ) x 2)x + 3) + x + 2)x 3) i. ) a 3)a + 4) a 2)a + 5) j. ) x a)x b)x c) k. ) 4b 2 + 2a 2 4ab)2a 2 + 3ab 3b 2 ) l. ) x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 )x y) m. ) 3x + 4y)3x + 4y) n. ) 3x 4y)3x + 4y) o. ) 3x 4y)3x 4y) p. ) x 3 + y 2 ) 2 q. ) x + 2y + 3z) 2 r. ) a + b)a + b)a + b) s. ) x + 3y) 2 z 2 t. ) 3xy 2 + 6xy + 3x u. ) a 8 + a 4 + 1 v. ) 36a 4 49b 6 10. Házi feladat. Maradékot befejezni, Photomath alkalmazással ellenőrizni.

14. 11. óra. Nevező gyöktelenítése 11. óra Nevező gyöktelenítése 17. Feladat. Alakítsuk át az alábbi törteket úgy, hogy a nevezőben ne legyen irracionális szám! Az alkalmazott megoldási módszer legyen a nevezővel való bővítés. a. ) 3 3 7 5 7 2 6 + 11 11 a a 4 x + 7 18. Feladat. Gyöktelenítsük a kéttényezős nevezőt! Itt a tényezők közül csak a gyökjel alatti kifejezések négyzetgyökével bővítsünk, ne az teljes nevezővel. a. ) 3 4 3 4 3 5 2 + 11 11 11 3x x 7 7x x 7 3 2 x + 4 19. Feladat. Gyöktelenítsük az kéttagú összegből álló nevezőt! Legyen a módszer a nevező konjugáltjával való bővítés. a. ) 2 2 + 3 4 3 5 2 3 2 + 3 3x x + 7 3 2 + x + 4 3 + 2 3 2 g. ) 5 2 + 3 h. ) 5 2 3 i. ) 5 5 + 3 3 j. ) 4 b 3 11. Házi feladat. A kimaradt feladatokat befejezni, számológéppel ellenőrizni. 3. Szorgalmi feladat. Gyöktelenítsük a nevezőt: 1 3 2

12. óra. Gyakorlás 15. 12. óra Gyakorlás 20. Feladat. Írjuk fel törtalakban az alábbi számokat! 12, 32 5; 1, 5; 12, 413 2 21. Feladat. Gyakoroljuk a zárójelfebontást és az összevonást! a. ) 2x 2 5x 5 2a) 3a 4 ) 3a 2 b 2b 2 ) 2a 2 b + b2) x 3 y x 2 ) x 2 x 4 y) 22. Feladat. Gyakoroljuk a nevezetes azonosságokat! 3 a. ) 2 a3 + 2 ) 3 3 y2 2 a3 2 ) ) 3 y2 4x 2 y 3 2 ) 9a 4 b 5 3 3a 2 b 4 2x 4 y 6 ) ) y 4 2 + x3 y 4 3 2 x3 3 3 4 a4 b 2 ) 2 3 ab3 23. Feladat. Alakítsunk szorzattá! a. ) 3a + 2b) 2 9c 2 1 2a 3b) 2 1 + x) 2 y z) 2 b 8 + 2b 4 + 1 x 2 + y 2 2xy 4x 2 4xy + y 2 g. ) 25x 2 + 20xy + 4y 2 h. ) x 8 + x 4 + 1 24. Feladat. Hozzuk egyszerűbb alakra! a. ) 0, 25a6 0, 25a7 1, 44a7 b 8 c 9 2a2 + 12ab + 18b 2 36a x9 25. Feladat. Vigyünk be a gyökjel alá! a. ) 3 2 4 5 0, 1 10 26. Feladat. Hozzuk ki a gyökjel elé a lehető legnagyobb természetes számot! a. ) 12 27 54 75 162 108 12. Házi feladat. Maradékot befejezni. 4. Szorgalmi feladat. Külön lapra egyszerűbben feliírni: 3 2 + 32 200

16. 13. óra. Összefoglalás 13. óra Összefoglalás

14. óra Témazáró dolgozat 14. óra. Témazáró dolgozat 17.

18. Irodalomjegyzék Irodalomjegyzék [1] Vörös József honlapja: http://fizika.mechatronika.hu [2] Sokszínű Matematika tankönyv 8. osztály https://www.mozaik.info.hu/ Homepage/Mozaportal/MPcont.php?bidMS-2308