Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével számoljuk ki e közelítő értékét! Első lépésben kiszámoljuk a függvény első négy deriváltját, majd meghatározzuk ezek értékeit az a = 0 pontban: f k) x) f k) a) k=0 e x 1 k=1 e x k= e x k=3 8e x 8 k= 16e x 16 Az f függvény a pont körüli negyedfokú Taylor polinomja T x) = fa) + f a)x a) + f a) Ebbe behelyettesítve a megfelelő adatokat Elvégezve az egyszerűsítéseket x a) + f a) 6 x a) 3 + f ) a) x a). T x) = 1 + x 0) + x 0) + 8 6 x 0)3 + 16 x 0). T x) = 1 + x + x + 3 x3 + 3 x. Az e közelítő értékét úgy kapjuk, ha az előbbi Taylor polinom értékét kiszámoljuk az x = 1 helyen: ) 1 e T = 1 + 1 ) 1 + + ) 3 1 3 + ) 1 3 = 1 + 1 + 1 + 1 6 + 1 = 65.. Feladat. Írjuk fel az fx) = ln x függvény a = 1 pont körüli harmadfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével számoljuk ki ln közelítő értékét! Első lépésben kiszámoljuk a függvény első három deriváltját, majd meghatározzuk ezek értékeit az a = 1 pontban: 1
f k) x) f k) a) k=0 ln x 0 k=1 1 x k= 1 x - k=3 x 3 16 Az f függvény a pont körüli negyedfokú Taylor polinomja T 3 x) = fa) + f a)x a) + f a) Ebbe behelyettesítve a megfelelő adatokat T 3 x) = 0 + x 1 ) Elvégezve az egyszerűsítéseket T 3 x) = x a) + f a) x a) 3. 6 x 1 ) + 16 x 1 3. 6 ) x 1 ) x 1 ) + 8 x 1 3. 3 ) Az ln közelítő értékét úgy kapjuk, ha az előbbi Taylor polinom értékét kiszámoljuk az x = 1 helyen: ln T 3 1) = 1 1 ) 1 1 ) + 8 1 1 ) 3 = 1 1 3 + 1 3 = 5 6. 3. Feladat. Valamely anyag mennyisége az időtől függően a Qt) = t 6t + 7 függvény szerint változik. A változás a [0, 5] időintervallumban folyik. Mikor nő, illetve mikor csökken Q értéke? Mennyi Q maximuma, illetve minimuma? Adjuk meg a változás sebességfüggvényét! Mennyi a változási gyorsaság az 1, és a időpillanatban? A monotonitás és lokális szélsőérték vizsgálatához deriváljuk a Q függvényt: Q t) = t 6t + 7) = t 6. Ennek zérushelye a t 6 = 0 egyenlet megoldása, azaz t = 3. Q t)=, így a t = 3 = 1, 5 helyen lokális minimum van. Mivel Q zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény, ezért van minimuma és maximuma. Kiszámoljuk az intervallum végpontjaiban is a függvényértékeket: Q0) = 7, Q5) = 7, valamint a lokális szélsőérték helyen: Q1, 5) =, 5. Így a minimum hely t = 1, 5, értéke Q1, 5) =, 5, a maximum hely t = 5, értéke Q5) = 7. Az adott időpillanatban a változási gyorsaságot a függvény adott pontbeli deriváltja adja meg: Q t) = t 6, így a változási gyorsaság az 1, és időpillanatban Q 1) =, Q ) =, Q ) = 10.
. Feladat. Egy téglalap kerülete 100 m. Határozzuk meg az oldalait úgy, hogy a területe maximális legyen! Legyenek a téglalap oldalai a és b. Ekkor a kerülete K = a + b, 3 így jelen esetben a + b = 100, amiből a + b = 50. Ebből az egyik ismeretlent kifejezve b = 50 a. A téglalap területe: T = ab = 50 a)a = 50a a. Ez egy a-től függő függvény, amit jelöljünk f-el, így fa) = 50a a. Szélsőérték ott lehet, ahol a függvény deriváltja 0. Tehát meg kell oldanunk az f a) = 0 egyenletet: f a) = 50 a, ami pontosan akkor 0, ha a = 5. Ekkor b = 50 a = 50 5 = 5. Számoljuk ki az f függvény második deriváltját f a) = < 0, így maximum van az adott helyen. Tehát a téglalap területe akkor maximális, ha a = 5 m, b = 5 m, és ekkor a maximális terület T = 5 = 65 m. 5. Feladat. Tűzfal melletti téglalap alakú kert kerülete 00 m. Határozzuk meg a kert oldalait úgy, hogy a területe a lehető legnagyobb legyen! Legyenek a téglalap oldalai a és b. Ekkor a kerülete K = a + b, így jelen esetben amiből az egyik ismeretlent kifejezve a + b = 00, b = 00 a. A téglalap területe: T = ab = 00 a)a = 00a a. Ez egy a-től függő függvény, amit jelöljünk f-el, így fa) = 00a a. Szélsőérték ott lehet, ahol a függvény deriváltja 0. Tehát meg kell oldanunk az f a) = 0 egyenletet: f a) = 00 a,
ami pontosan akkor 0, ha a = 100. Ekkor b = 00 a = 00 00 = 00. Számoljuk ki az f függvény második deriváltját f a) = < 0, így maximum van az adott helyen. Tehát a téglalap területe akkor maximális, ha a = 100 m, b = 00 m, és ekkor a maximális terület T = 100 00 = 0000 m. 6. Feladat. Egy téglalap alakú kert területe 00 m. Határozzuk meg az oldalait úgy, hogy a kerülete a lehető legkisebb legyen! Legyenek a téglalap oldalai a és b. Ekkor a területe T = ab, ami jelen esetben 00 m. Ebből kifejezve az egyik ismeretlent b = 00 a. Ezt behelyettesítve a kerületbe K = a + b = a + 800 a = fa), aminek a deriváltja f a) = 800 a. Ennek a zérushelye a = 0 m. Ekkor b = 0 m. A második derivált f a) = 1600 a 3, ami a = 0 esetén pozitív, így minimum van az adott helyen. Tehát a minimális kerület: K = a + b = 80 m. 7. Feladat. Felül nyitott négyzet alapú egyenes hasáb felszíne 75 dm. Határozzuk meg az éleit úgy, hogy a térfogata a lehető legnagyobb legyen! A hasáb alapéleit a-val, oldaléleit b-vel jelölve, a felszíne A = a + ab, ami jelen esetben 75 dm. Az a + ab = 75 egyenletből kiefejezve b-t b = 75 a a adódik. Ezt felhasználva V = a b = a 75 a a = 75a a3. Deriválva a V a) = 75a a3 függvényt V a) = 75 3a
adódik, aminek zérushleye a = 5. A függvény második deriváltja V a) = 6a, amiből V 5) = 30 = 15 adódik, ami negatív, így az adott helyen maximum van. Ekkor b =, 5 dm, amiből V = 6, 5 dm 3. 8. Feladat. Csővezetéket kell lefektetni a tengeri fúrótorony és a parti finomító között. A torony 1 kilométerre van a parttól, a finomító a part mentén 0 kilométerre, délre. A víz alatt futó vezeték költsége 500.000 dollár/kilométer, míg a szárazföldön futó vezetéké 300.000 dollár/kilométer. Mi a legkevésbé költséges megoldás? Legyen a víz alatti vezetékszakasz hossza x, a szárazföldön futóé pedig y. 5 Az x és az y közötti kapcsolathoz a fúrótoronnyal szemközti derékszög adja a kulcsot. Pitagorasz tétele szerint: x = 1 + 0 y). Ebből gyököt vonva x = 1 + 0 y). Ebben a modellben csak a pozitív gyöknek van értelme. számítva c = 500.000x + 300.000y, A csővezeték költsége dollárban amibe behelyettesítve az előbbi x-et: cy) = 500.000 1 + 0 y) + 300.000y adódik. Ezt deriválva c y) = 500.000 0 y 1 + 0 y) + 300.000. Ennek zérushelye az 500.000 0 y 1 + 0 y) + 300.000 = 0
6 egyenlet megoldása: 500.0000 y) = 300.000 1 + 0 y) 5 3 0 y) = 1 + 0 y) 5 9 0 y) = 1 + 0 y) 16 9 0 y) = 1, amiből y 1 = 11, y = 9. Az y = 9 nem megoldás, így y = 11. Kiszámolva [0, 0] intervallum végpontjaiban is a függvényértéket, c0) = 11.661.900, c11) = 10.800.000, c0) = 1.000.000, így legolcsóbb megoldás költsége 10.800.000 dollár, s ezt úgy érjük el, hogy a vezeték a finomítótól 11 kilométerre ér partot.