) a) Értelmezzük a valós számok halmazá az f függvéyt az f x = x + kx + 9x képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl) ( ) Számítsa ki, hogy k mely értéke eseté lesz x = a függvéyek lokális szélsőértékhelye a függvéyek! Állapítsa meg, hogy az így kapott k eseté x = a függvéyek lokális maximumhelye vagy lokális miimumhelye! Igazolja, hogy a k eze értéke eseté a függvéyek va másik lokális szélsőértékhelye is! ( pot) g x = x 9x képlettel b) Határozza meg a valós számok halmazá a ( ) értelmezett g függvéy iflexiós potját! ) Adott f és g függvéy f : D f = \ k ; k x ( tgx + ctgx ) si x a) Igazolja, hogy az így defiiált f függvéy kostas! ( pot) g : D = 7;7 x x 6 x g b) Számítsa ki g függvéy zérushelyeit! ( pot) c) Adja meg g függvéy értékkészletét! ) Legye ( ) 4x x x f x = + + a, ahol a pozitív valós szám és x a a a a) Igazolja, hogy ( ) a f x dx = a + a! b) Mely pozitív a számokra teljesül, hogy f ( ) a x dx? (4 pot) c) Az x mely pozitív valós értéke lesz a g ( x ) = x + x függvéyek lokális (helyi) miimuma? 4) Az ABCD kovex égyszög oldalegyeeseiek egyelete redre: DA : x 4y = AB : x + 5y = BC : 4x y + = CD : 5x + y + 5 = a) Igazolja, hogy a égyszög átlói az x és az y tegelyre illeszkedek, továbbá, hogy eek a égyszögek ics derékszöge! b) Bizoyítsa be, hogy a égyszög húrégyszög! OA a b ; a B pot helyvektora: OB lg ab;lg b a, ahol a és b olya valós számokat jelölek, melyekre a, illetve b teljesül a) Bizoyítsa be, hogy a B pot midkét koordiátája agyobb az A pot megfelelő koordiátáiál! ( pot) b) Bizoyítsa be, hogy az OA OB vektor merőleges az OA vektorra! ( pot) c) Mekkora az OA és OB vektorok hajlásszöge? (4 pot) 5) Az A pot helyvektora: ( lg ;lg ) - 7 -
5-XX Emelt szit d) Legye a =, b pedig jelöljö tetszőleges -él agyobb valós számot Adja meg (egyeletével, vagy a derékszögű koordiáta-redszerbe ábrázolva) az A, illetve B potok halmazát! 6) A Csedes-óceá egyik kis szigetétől keletre, a szigettől 6 km távolságba elsüllyedt egy föld körüli úto járó vitorlás A legéység egy metőcsóakba segítségre vár, a áluk lévő jeladó készülék hatósugara midössze 6 km Amikor a vitorlás elsüllyedt, akkor a szigettől délre, a szigettől 4 km távolságra volt egy tegerjáró hajó Ez a hajó álladóa északkeleti iráyba halad, a hajótöröttek pedig a vitorlás elsüllyedéséek helyéről folyamatosa küldik a vészjeleket a) Igazolja, hogy a tegerjáró legéysége észlelheti a segélykérő jelzést! Egy,5 km magasságba haladó repülőgép éppe a sziget felett va, amikor a repülőgép fedélzeti műszerei észlelik a tegerjáró hajót, amely a vitorlás elsüllyedése óta km-t tett meg b) Mekkora depresszió szög (lehajlási szög) alatt észlelik a műszerek a tegerjárót? Válaszát fokba, egészre kerekítve adja meg! Számításai sorá a Föld görbületétől tekitse el! 7) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvéyes az alábbi összefüggés: si : si = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyelő szárú és derékszögű! (4 pot) 8) A csokakúp alakú tárgyak térfogatát régebbe a gyakorlat számára elegedőe potos közelítő számítással határozták meg Eszerit a csokakúp térfogata közelítőleg egy olya heger térfogatával egyezik meg, amelyek átmérője akkora, mit a csokakúp alsó és felső átmérőjéek számtai közepe, magassága pedig akkora, mit a csokakúp magassága a) Egy csokakúp alakú fatörzs hossza (vagyis a csokakúp magassága) m, alsó átmérője cm, felső átmérője 8 cm A közelítő számítással kapott térfogat háy százalékkal tér el a potos térfogattól? (Ezt evezzük a közelítő eljárás relatív hibájáak) ( pot) b) Igazolja, hogy a csokakúp térfogatát a fetiekbe leírt útmutatás alapjá kapott - közelítő érték sohasem agyobb, mit a csokakúp térfogatáak potos értéke! Jelölje x a csokakúp két alapköre sugaráak az aráyát, és legye x Bizoyítadó, hogy a fetiekbe leírt, közelítő számítás relatív hibájáak százalékba mérve a következő függvéy adja meg: ( ) ( x ) f : ; +, f x = 5 x + x + c) Igazolja, hogy f-ek ics szélsőértéke! 9) Két egyees hasábot építük, H-et és H-t Az építéshez haszált égyzetes oszlopok (égyzet alapú egyees hasábok) egybevágók, magasságuk kétszer akkora, mit az alapélük A H hasáb építésekor a szomszédos égyzetes oszlopokat az oldallapjukkal illesztjük össze, a H hasáb építésekor pedig a égyzet alaplapjukkal- az ábra szerit - 8 -
AH a) A H és H egyees hasábok felszíéek háyadosa,8 A = Háy égyzetes oszlopot haszáltuk az egyes hasábok építéséhez, ha H-et és H-t ugyaayi égyzetes oszlopból építettük fel? + + sorozat szigorú mooto csökkeő és 4 + korlátos! b) Igazolja, hogy ( ) ) Az 594 számjegyeit leírjuk az összes lehetséges sorredbe a) Az 594 számmal együtt háy ötjegyű számot kapuk? ( pot) b) Eze számok közül háy osztható -vel? c) Bizoyítsa be, hogy e számok egyik sem égyzetszám! (4 pot) ) a) Egy derékszögű háromszög oldalhosszai egy számtai sorozat egymást követő tagjai, a legrövidebb oldala 4 egység hosszú Számítsa ki a háromszög másik két oldaláak hosszát! b) Egy háromszög oldalhosszai egy számtai sorozat egymást követő tagjai, a legrövidebb oldala 4 egység hosszú Tudjuk, hogy a háromszög em szabályos Igazolja, hogy a háromszögek ics 6 -os szöge! ( pot) ) Az AC C derékszögű háromszögbe az A csúcsál -os szög va, az AC befogó hossza, az AC átfogó felezőpotja A Az AC szakasz fölé az AC C háromszöghöz hasoló AC C derékszögű háromszöget rajzoljuk az ábra szerit Az AC átfogó felezőpotja A Az AC szakasz fölé az AC C háromszöghöz hasoló AC C derékszögű háromszöget rajzoluk Ez az eljárás tovább folytatható a) Számítsa ki az így yerhető végtele sok derékszögű háromszög területéek összegét (az összeg első tagja az AC C háromszög területe)! b) Igazolja, hogy a CC C C töröttvoal hossza mide pozitív -re kisebb, mit,4 (9 pot) ) Igazolja, hogy az alábbi égy egyelet közül az a) és b) jelű egyeletek potosa egy megoldása va, a c) és d) jelű egyeletek viszot ics megoldása a valós számok halmazá! x + x a) = x (4 pot) b) x + 6 + x 9 = 5 (4 pot) c) lg ( x x 6) lg ( x ) d) si x lg ( cos x,5 cos x ) + = (4 pot) = (4 pot) H - 9 -
5-XX Emelt szit 4) a) Igazolja a következő állítást: ha egy égyszög szögei valamilye sorredbe egy számtai sorozat egymást követő tagjai, akkor a égyszög húrégyszög vagy trapéz! b) Fogalmazza meg az előző állítás megfordítását, és dötse el a megfordított állításról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát idokolja! ( pot) Egy geometriai építőkészletbe csak olya pálcikák vaak, amelyek hossza cetiméterbe mérve egész szám, és mideféle lehetséges hosszúság előfordul cm-től cm-ig (Midegyik fajta pálcikából elegedőe sok va a készletbe) c) Háy külöböző módo választhatuk ki 4 pálcikát a készletből úgy, hogy belőlük egy 4 cm kerületű éritőégyszöget lehesse építei? (Két kiválasztást külöbözőek tekitük, ha az egyik kiválasztás 4 pálcikája em állítható párba a másik kiválasztás 4 pálcikájával úgy, hogy mid a 4 párba egyelő hosszú legye a két pálcika Tudjuk továbbá, hogy ha a, b, c, d pozitív számok, és a + c = b + d, akkor az a, b, c, d hosszúságú szakaszokból szerkeszthető égyszög) 5) a) Egy kocka és egy gömb felszíe egyelő Bizoyítsa be, hogy a gömb térfogata agyobb, mit a kockáé! Két fémkocka összeolvasztásával egy agyobb kockát készítük Az egyik p, q beolvasztott kocka egy éléek hossza p, a másiké pedig q ( ) (Feltesszük, hogy az összeolvasztással kapott kocka térfogata egyelő a két összeolvasztott kocka térfogatáak összegével) b) Igazolja, hogy az összeolvasztással kapott kocka felszíe 6 ( p + g ) ( pot) c) Bizoyítsa be, hogy az összeolvasztással kapott kocka felszíe kisebb, mit a két összeolvasztott kocka felszíéek összege! 6) a) A PQRS húrégyszöget a PR és a QS átlók megrajzolásával égy háromszögre botottuk Igazolja, hogy ezek közül a két-két szemközti háromszög hasoló egymáshoz! (4 pot) Az ABCD húrégyszög AB oldala a égyszög körülírt köréek egyik átmérője A égyszög BC oldala cm, a CD oldala 5 cm hosszú, továbbá BCD = b) Számítsa ki a égyszög BD átlójáak, AB oldaláak és AD oldaláak hosszát, valamit a égyszög többi szögét! ( pot) 7) a) Ha a b igaz, akkor a b is teljesül (a és b pozitív egész számok) Fogalmazza meg a feti (igaz) állítás megfordítását, és állapítsa meg a megfordítás logikai értékét is! Válaszát idokolja! ( a b azt jeleti, hogy az a egész szám osztója a b egész számak) ( pot) b) Háy olya pozitív egész szám va, amelyhez létezik olya p (pozitív) prímszám, amelyre az p külöbség is egy (pozitív) prímszámmal egyelő? - -
Egy lapra potot rajzoltuk, majd ezeket megszámoztuk -től -ig Ezutá mide egyes potot egy-egy voallal összekötük a lapo szereplő összes olya pottal, amelyhez írt szám a kiválasztott pothoz írt számak osztója (Például azt a potot, amelyhez a 6-ot írtuk, összekötöttük mid a égy pottal, amelyhez a 6 valamelyik osztóját írtuk) c) Igazolja, hogy az így kapott csúcsú gráf em egyszerű gráf! ( pot) d) Igazolja, hogy a gráf éleiek száma páratla! (4 pot) 8) A pozitív páratla számokat háromszög alakba redezzük el a következők szerit: az első oszlopba írjuk az első páratla számot, a második oszlopba a következő kettőt, a harmadik oszlopba a következő hármat, és így tovább Például az ötödik oszlop egyedik helyé a 7 áll (lásd az ábrát is) a) Háyadik oszlop háyadik helyé áll a 99? ( pot) b) Határozza meg a 7 oszlopba álló első számot! (4 pot) + c) Igazolja, hogy az -edik oszlopba álló számok összege ( ) (9 pot) 9) a) Az ABCD égyzet körülírt köré felvettük egy olya P potot, amelyik em csúcsa a égyzetek Bizoyítsa be, hogy AP + CP = BP + DP (4 pot) Egy cég az általa forgalmazott poharakat égyesével csomagolja úgy, hogy a poharakhoz még egy tálcát is ad ajádékba A cm (belső) átmérőjű, felül yitott forgásheger alakú tálcára égy egyforma (szité forgásheger alakú) poharakat teszek úgy, hogy azok szorosa illeszkedek egymáshoz és a tálca oldalfalához is b) Igazolja, hogy a poharak alapköréek sugara agyobb 4, cm-él! A pohár fala,5 mm vastag, belső magassága cm c) Igaz-e, hogy a pohárba belefér 5 dl üdítő? (4 pot) ) a) Határozza meg a c számjegy lehetséges értékeit, ha tudjuk, hogy lc 8 em osztható 6-tal, 9c 6 em osztható 6-tal, c5 c pedig em osztható 5-tel! ( pqrs azt a égyjegyű számot jelöli, melyek első számjegye p, további számjegyei pedig redre q, r, és s) b) Igazolja, hogy ics olya pozitív egész szám, amelyre 4 + 6 osztható 8-cal! ( pot) c) Igazolja (teljes idukcióval vagy más módszerrel), hogy 4 + 6 mide pozitív egész szám eseté osztható 9-cel! - -