4. A negatív binomiális eloszlás

1 / 7 2011.03.17. 14:27 Virtuális laboratóriumok > 10. Bernoulli kísérletek > 1 2 3 4 5 6 4. Alapelmélet Tételezzük fel, hogy a véletlen kísérletünk, amit végrehajtunk Bernoulli kísérleteknek egy X = (X 1, X 2,...) sorozata p ( 0, 1] paraméterrel. Emlékeztetünk arra, hogy az első n kísérletben a sikeres kimenetelű kísérlet bekövetkezési száma n Y n = i = 1 binomiális eloszlású n és p paraméterekkel. Ebben a részben tanulmányozni fogjuk azt a valószínűségi változót, amely megadja azt a számot, amikor k-adik alkalommal következik be a sikeres kimenetelű kísérlet: X i V k = min {n {1, 2,...} :Y n =k} Megjegyezzük, hogy V 1 azon kísérleteknek a száma, ahány kísérlet szükséges ahhoz, hogy az első alkalommal következzen be a sikeres kimenetelű kísérlet. Ez, mint tudjuk geometriai eloszlású az + halmazon p paraméterrel. A sűrűségfüggvény 1. Mutassuk meg, hogy V k =n akkor és csak akkor, ha X n = 1 és Y n 1 =k 1. 2. Az 1. gyakorlatot, a függetlenséget és a binomiális eloszlást felhasználva mutassuk meg, hogy P(V k =n) = n 1 k 1 pk (1 p) n k, n {k, k + 1, k + 2,...} A 2. gyakorlatban szereplő sűrűségfüggvény által definiált eloszlás negatív binomiális eloszlás néven ismert; két paramétere van, k a sikeres kimenetelű kísérlet bekövetkezési száma és p annak valószínűsége, hogy a sikeres kimenetelű kísérlet bekövetkezik. 3. A negatív binomiális kísérletben, változtassuk k értékét és p értékét a görgető sáv segítségével és figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját. A kiválasztott k és p értékeire hajtsuk végre a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve. Figyeljük meg a relatív gyakoriság függvény sűrűségfüggvényhez való nyilvánvaló konvergenciáját. 4. Mutassuk meg, hogy a binomiális és a negatív binomiális sorozat egymás inverze abban az értelemben, hogy Y n k akkor e s csak akkor, ha V k n Ez a tulajdonság V k definíciójában implicit megtalálható a fejezet elején. Konkrétan, bizonyítsuk be, hogy minden esemény, ami kifejezhető a negatív binomiális változók segítségével, az kifejezhető binomiális változók segítségével is! 5. Mutassuk meg, hogy P(V k =n) > P(V k =n 1) akkor és csak akkor, ha n < 1 + k 1. Így a sűrűségfüggvény p előszőr növekszik, majd csökken, maximális érétkét az 1 + k 1 p helyen veszi fel. Ez az érték az eloszlás módusza és ezért az eloszlás egymóduszú binomiális. A sikeres kimenetelű kísérletek között eltelt idők A következőkben definiálni fogunk egy valószínűségi változót, amely megadja az egymásután következő sikeres kimenetelű kísérletek bekövetkezése közötti kísérletek számát.. Legyen U 1 =V 1 e s U k =V k V k 1 k {2, 3,...} esete re

2 / 7 2011.03.17. 14:27 6. Mutassuk meg, hogy U = (U 1, U 2,...) független valószínűségi változóknak egy sorozata, mindegyik geometriai eloszlású az + halmazon, p paraméterrel. Továbbá, k V k = i = 1 Statisztikai értelemben U megfelelel egy p paraméterű, geometriai eloszlásból vett mintavételnek, úgy, hogy minden k esetén, (U 1, U 2,..., U k ) ebből az eloszlásból vett k elemű, véletlen mint A V az U sorozathoz tartozó részletösszeg folyamat, negatív binomiális eloszlású változóknak egy sorozat Statisztikai értelemben V k k az (U 1, U 2,..., U k ) véletlen mintának megfelelő mitaátlag; ez a valószínűségi változó megadja az első k sikeres kimenetelű esemény bekövetkezése közötti átlagos kísérlet számot. A részletösszeg folyamatokat általánosabban a Véletlen minták fejezetben tanulmányozzuk. 7. A következő tulajdonságok bizonyításához használjuk fel a részletösszeg reprezentációt. U i Ha j k akkor V k V j ugyanolyan eloszlású, mint V k j, nevezetesen k j és p paraméterű negatív binomiális eloszlás. Így a V folyamat stacionárius növekményű. Ha k 1 k 2 k 3 akkor V k 1, V k2 V k1, V k3 V k2,... független valószínűségi változóknak egy sorozat Így a V folymata független növekményű. Valójában minden részletösszeg folyamat megfelel egy független, azonos eloszlású sorozatnak, amely stacionárius és független növekményű lesz. Momentumok A V k várható értéke, szórásnégyzete és generátorfüggvénye könnyen következik a független, azonos, geometriai eloszlású változók részletösszeg reprezentációjából. 8. Mutassuk meg, hogy (V k ) =k 1 p. 9. Mutassuk meg, hogy var(v k ) =k 1 p p 2. 10. Mutassuk meg, hogy (t V k ) = p t k 1 (1 p) t t < 1 1 p esetén. 11. A negatív binomiális kísérletben változtassuk k és p értékét a görgetősávval és figyeljük meg az átlag/szórás méretét és helyzetét a grafikonon. A paraméterek kiválasztott értékeire végezzük el a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve. Figyeljük meg a mintaátlag és empirikus szórás nyilvánvaló konvergenciáját az eloszlás várható értékéhez és szórásához. 12. Ellenőrizzük a 8. gyakorlat, 9. gyakorlat, és a 10. gyakorlat eredményét közvetlenük a sűrűságfüggvény használatával. Megjegyezzük, hogy ez a módszer lényegesen több munkát kíván. 13. Tételezzük fel, hogy V és W a kísérletben független valószínűségi változók, és hogy V negatív binomiális eloszlású j és p paraméterekkel, továbbá W negatív binomiális eloszlású k és p paraméterekkel. Mutassuk meg, hogy V + W negatív binomiális eloszlású k + j és p paraméterekkel. Adjunk valószínűségszámítási bizonyítást, ami a részletösszeg reprezentáción alapul. Adjunk analitikus bizonyítást, ami a sűrűségfüggvényen alapul. Adjunk analitikus bizonyítást, ami a generátorfüggvényen alapul. Normális approximáció 14. A negatív binomiális kísérletben p különböző értékeivel kezdjük és legyen k = 1. Folyamatosan növeljük k értékét 1-esével, és minden alkalommal figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját.

3 / 7 2011.03.17. 14:27 Annak ellenére, hogy a k értékének maximuma 5 lehet, láthatjuk a harang alakot. Ez a központi határeloszlás-tétel következménye, mivel a negatív binomiális valószínűségi változó felírható, mint k független, azonos eloszlású (gemetriai) valószínűségi változó összege. 15. Mutassuk meg, hogy az alább megadott standardizált változó standard normális eloszláshoz konvergál, ha k. Z k = p V k k k (1 p) Gyakorlati szempontból ez az eredmény azt jelenti, hogy ha k nagy, akkor V k eloszlása közelítőleg normális a 8. gyakorlatban megadott várható értékkel és a 9. gyakorlatban megadott szórásnégyzettel. Hogy mennyire nagynak kell lennie k-nak, az p-től függ. Emlékeztetünk arra, hogy amikor alkalmazzuk a normális megközelítést, a folytonossági korrekció használatára is szükség lehet, mivel a negatív binomiális eloszlás diszkrét. A rendstatisztikákkal való kapcsolat 16. Tételezzük fel, hogy k n. Mutassuk meg, hogy P(V 1 = j 1, V 2 = j 2,..., V k = j k Y n =k) = 1 (j n 1, j 2,..., j k ) L esete n, k ahol L = {(j 1, j 2,..., j k ) {1, 2,..., n} k : j 1 < j 2 < < j k }. Így, ha a sikeres kimenetelű kísérlet k-szor következik be az első n kísérletből, akkor a sikeres kimenetelű kísérlet bekövetkezési számának vektora egyenletes eloszlású az L halmazon. Ezzel ekvivalens módon, a sikeres kimenetelű kísérlet bekövetkezési számának vektora ugyanolyan eloszlású,mint az {1, 2,..., n} elemű halmazból véletlenszerűen, visszatevés nélkül választott k elemű mintának megfelelő rendstatisztikák vektor 17. Mutassuk meg, hogy j 1 m 1 n j k m P(V m = j Y n =k) =, j {m, m + 1,..., n + (k m)} n k Az m-edik rendtatisztikának ugyanez az eloszlása, amikor a k elemű mintát az {1, 2,..., n} populációból választjuk véletlenszerűen és visszatevés nélkül. Példák és alkalmazások 18. Egy szabályos dobókockát annyiszor dobunk fel, amig három 1-est nem kapunk. Jelölje V a dobások számát! d. Adjuk meg V sűrűségfüggvényét! Adjuk meg V várható értékét! Adjuk meg Vszórásnégyzetét! Adjuk meg annak valószínűségét, hogy legalább 20 dobás szükséges! 19. Egy pénzérmét újra meg újra feldobunk. A 10-edik fejet a 25-ödik dobásra kapjuk. Adjuk meg az 5-dik fej dobás sorszámának sűrűségfüggvényét! Adjuk meg az (a)-ban szereplő eloszlás várható értékét! Adjuk meg az (a)-ban szereplő eloszlás szórásnégyzetét! 20. Annak valószínűsége, hogy egy bizonyos típusú rakéta nem talál célba, 0.02. Jelölje N a negyedik sikertelen lövés sorszámát!

4 / 7 2011.03.17. 14:27 d. Adjuk meg N sűrűségfüggvényét! Adjuk meg N várható értékét! Adjuk meg N szórásnégyzetét! Adjuk meg annak valószínűségét, hogy az első 200 lövésből legalább 4 nem talál! 21. A negatív binomiális kísérletben, legyen p = 0.5 és k = 5. Végezzül el a kísérletet 1000-szer, 100-asával frissítve. Számítsuk ki és hasonlítsuk össze a következőket: P(8 V 5 15) Az {8 V 5 15} esemény relatív gyakorisága a szimulációban. P(8 V 5 15) normális approximációj 22. Egy pénzérmét addig dobálunk, amíg meg nem dobjuk az 50-edik fejet. Feltételezve, hogy a pénzérme szabályos, normális approximáció segítségével adjuk meg annak valószínűségét, hogy legalább 125-ször kell dobnunk. Tételezzük fel, hogy végrehajtotta ezt a kísérletet. Elfogadhatjuk-e, hogy a pénzérme szabályos? Banach gyufás problémája Tételezzük fel, hogy egy szórakozott professzornak (van egyáltalán másmilyen?) m gyufaszál van a jobb és m gyufaszál van a bal zsebében. Amikor rá akar gyújtani a pipájára, 1/2-1/2 valószínűséggel választ gyufaszálat valamelyik zsebéből. Ki akarjuk számolni annak a W valószínűségi változónak a sűrűségfüggvényét, amely valószínűségi változó megadja abban a zsebében lévő maradék gyufaszálak számát, amikor észreveszi, hogy a másik zsebéből kifogyott a gyuf Ez a probléma Banach féle gyufás probléma néven ismert, nevét Stefan Banach matematikusról kapta, aki tudvalevőleg a fenti módon gyújtott pipár Újrafogalmazzuk a problémát a negatív binomiális eloszlás segítségével kifejezve. Nyilvánvalóan a gyufaszál választás Benoulli kísérleteknek egy sorozatát alkotja p = 1 paraméterrel. Speciálisan, visgálhatjuk a 2 gyufaproblémát a következőképpen: ha a jobb zsebből húzunk gyufaszálat, akkor az R játékos nyer, ha a bal zsebből húzunk gyufaszálat, akkor az L játékos nyer. Kísérleteknek egy hipotetikusan végtelen sorozatában jelölje U azon kísérleteknek a számát, amelyek ahhoz szükségesek, hogy az R játékos nyerjen és m + 1 alkalommal, és V azon kísérleteknek a számát, amelyek ahhoz szükségesek, hogy az L játékos nyerjen m + 1 alkalommal. Megjegyezzük, hogy U és V mindegyike negatív binomiális eloszlású m + 1 és p paraméterekkel. 23. k {0, 1,..., m} esetén mutassuk meg, hogy az L játékos m k alkalommal nyer, az R játékos m + 1 alkalommal nyer akkor és csak akkor következik be, ha U = 2 m k + 1 {U = 2 m k + 1} ekvivalens azzal a eseménnyel, hogy a professzor első alkalommal tapasztalja, hogy a jobb zsebe üres és a bal zsebében k gyufaszál van. P(U = 2 m k + 1) = 2 m k m (1 2 )2 m k + 1. 24. k {0, 1,..., m} esetén mutassuk meg, hogy az R m k alkalommal nyer, az L játékos m + 1 alkalommal nyer akkor és csak akkor következik be, ha V = 2 m k + 1 {V = 2 m k + 1} ekvivalens azal az eseménnyel, hogy a professzor első alkalommal tapasztalja, hogy a jobb zsebe üres és a bal zsebében k gyufaszál van.

5 / 7 2011.03.17. 14:27 P(V = 2 m k + 1) = 2 m k m (1 2 )2 m k + 1. 25. Az előző két gyakorlat eredményét kombinálva követketessünk arra, hogy P(W =k) = 2 m k 2 m k 1, k {0, 1,..., m} m 2 Megoldhatjuk a nem szimmetrikus Banach gyufás problémát felhasználva a fenti módszereket. Így tételezzük fel, hogy a professzor jobb zsebébe p valószínűséggel, bal zsebébe 1 p valószínűséggel nyúl, ahol 0 < p < 1. Az elemzésben lényeges változás az, hogy U negatív binomiális eloszlású m + 1 és p paraméterekkel, míg V negatív binomiális eloszlású m + 1 és 1 p paraméterekkel. 26. Mutassuk meg, hogy Pontok problémája P(W =k) = 2 m k m (pm + 1 (1 p) m k + (1 p) m + 1 p m k ), k {0, 1,..., m} Tételezzük fel, hogy van két csapat A és B, akik Bernoulli kísérleteknek egy sorozatát játsszák, p annak valószínűsége, hogy A nyeri a játékot. Nemnegatív n és m egészek esetén jelölje A n,m (p) annak valószínűségét, hogy A n pontot nyer, mielőtt B m pontot nyer. Számítsuk ki A n,m értékét, ami történetileg egy híres probléma, a pontok problémája néven ismert, Pierre de Fermat és Blaise Pascal oldották meg. 27. Magyarázzuk meg, hogy miért állnak fenn a Bernoulli kísérlet feltételei (a kísérletek függetlensége, a sikeres kimenetel konstans valószínűsége) azokban a sportjátékokban, amikben van készséget, gyakorlatot kívánó összetevő, és véletlen összetevő is. A pont-problémának létezik egy könnyű megoldása, felhasználva a binomiális eloszlást; ez lényegében Pascal megoldás Tegyünk úgy, mintha n + m 1 kísérletet végeznénk (játszanánk) tekintet nélkül a kimenetelre és jelölje Y n +m 1 azon kísérletek számát, amikor A nyert. Definíció szerint Y n +m 1 binomiális eloszlású n +m 1 és p paraméterekkel. 28. Mutassuk meg, hogy A n játékot nyer, mielőtt B m játékot nyerne akkor és csak akkor, ha Y n +m 1 n 29. Felhasználva az előző gyakorlat eredményét, mutassuk meg, hogy n A n,m (p) = +m 1 n +m 1 k =n k pk (1 p) n +m 1 k A pont-problémának létezik egy másik könnyű megoldása, felhasználva a negatív binomiális eloszlást. Egy bizonyos értelemben ez az az eset, amikor a binomiális és negatív binomiális eloszlások között ekvivalencia van. Először tegyünk úgy, mintha vég nélkül játszanánk tekintet nélkül a kimenetre és jelölje V n a játékok számát, amelyek szükségesek ahhoz, hogy A nyerjen n játékot. Definíció szerint V n negatív binomiális eloszlású n és p paraméterekkel.!! 30. Mutassuk meg, hogy A n játékot nyer, mielőtt B m játékot nyerne akkor és csak akkor, ha V n n+m 1 31. Felhasználva az előző gyakorlat eredményét mutassuk meg, hogy n +m A n,m (p) = 1 j 1 j =n n 1 pn (1 p) j n 32. Mutassuk meg, hogy fix n és m esetén, A n,m (p) 0-tól 1-ig nő, ha p 0-tól 1-ig nő! 33. Mutassuk meg, hogy

6 / 7 2011.03.17. 14:27 A n,m (p) csökken, ha n növekszik és m valamint p rögzített. A n,m (p) növekszik, ha m növekszik és n valamint p rögzített! 34. Mutassuk meg, hogy 1 A n,m (p) =A m,n (1 p) minden n, m és p értékére! Adjunk analitikus bizonyítást! Adjunk valószínűségszámítási bizonyítást! 35. A pont-probléma kísérletben, változtassuk n, m, és p értékét, és figyeljük meg a valószínűség változásait. A paraméterek kiválasztott értékeire végezzük el a kísérletet 1000-szer 10-esével frissítve. Figyeljük meg a relatív gyakoriság valószínűséghez való nyilvánvaló konvergenciáját! 36. Az első kísérlet eredményével kapcsolatos feltétel, hogy levezessük a következő rekurzív összefüggést és korlátozó feltételeket (ez volt lényegében Fermat megoldása): A n,m (p) =p A n 1,m (p) + (1 p) A n,m 1 (p) n + esetén és m + A n, 0 (p) = 0, A 0,m (p) = 1 Tanulmányozzuk azon kísérletek számát, amelyek szükségesek a pont kísérlet problémájához! Jelölje N n,m azon kísérletek számát, amelyek szükségesek ahhoz, hogy vagy A nyerjen n pontot, vagy B nyerjen m pontot, amelyik először előfordul (bekövetkezik). N n,m eloszlásának egy könnnyű levezetését adj Képzeljük el újra, hogy a kísérletet korlátlan sokszor végezzük el. Jelölje V n a kísérletek számát, amelyek szükségesek ahhoz, hogy A n pontot nyerjen és jelölje W m azon kísérletek számát, amelyek ahhoz szükségesek, hogy B m pontot nyerjen. 37. Mutassuk meg, hogy k {min {m, n},..., n +m 1} esetén P(N n,m =k) = P(V n =k) + P(W m =k) = k 1 n 1 pn (1 p) k n + k 1 m 1 (1 p)m p k m Játékok sorozata Fontos a pont-problémának az a speciális esete, amikor m = n mert ez megfelelel annak, amikor A és B a "ki nyer többször játékot 2 n 1 játékból" játéksorozatot játssz Amelyik játékos előszőr nyer n-szer, az nyeri a sorozatot is. Ilyen sorozatokat gyakran használnak n {2, 3, 4} értékkel a körmérközéses bajnokságokban. Bevezetjük a következő jelölést: A n (p) =A n,n (p) annak a valószínűsége, hogy az A játékos nyeri a sorozatot. A pont-problémával kapcsolatos általános eredményeinkből következik, hogy 2 n 1 A n (p) = k =n 2 n 1 k pk (1 p) (2 n 1) k = j =n 2 n 1 j 1 n 1 pn (1 p) j n 38. Tételezzük fel, hogy p = 0.6. Adjuk meg explicite annak valószínűségét, hogy A nyeri a játékot a következő esetekre: A 5 játék után nyer. A 7 játék után nyer. 39. A pont-probléma kísérletekben, változtassuk n, m, és p paraméterek értékét ( n = m feltétel megőrzésével), és jegyezzük fel, hogyan változik a valószínűség. Szimuláljunk "ki nyer többet 5 játékból" sorozatot.n = m = 3, p = 0.6 választásával. Végezzük el a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve. Figyeljük meg a relatív gyakoriság valódi valószínűséghez történő nyilvánvaló konvergenciáját. 40. Mutassuk meg, hogy A n (1 p) = 1 A n (p) minden n és p értékére!

7 / 7 2011.03.17. 14:27 Mutassuk meg, hogy ez a feltétel azt jelenti, hogy A n diagramja szimmetrikus p = 1 -re vonatkozólag! 2 Mutassuk meg, hogy ez a feltétel magába foglalja azt, hogy A n ( 1 2 ) = 1 2! 41. A pont-probléma kísérletekben, változtassuk az n, m, és p paraméterek értékét ( n = m feltételek megőrzésével), és jegyezzük fel, hogyan változik a valószínűség. Szimuláljunk egy "ki nyer többet 7 játékból" sorozatot n = m = 4, p = 0.45 választásával! Végezzük el a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve! Figyeljük meg a relatív gyakoriság valódi valószínűséghez történő nyilvánvaló konvergenciáját! 42. Tételezzük fel, hogy n >m! Mutassuk meg, hogy A n (p) >A m (p) akkor és csak akkor, ha p > 1 2! Értelmezzük az eredményt! 43. Jelölje N n a sorozatban a kísérletek számát. Felhasználva a 37. gyakorlatot mutassuk meg, hogy P(N n =k) = k 1 n 1 (pn (1 p) k n + (1 p) n p k n ), k {n, n + 1,..., 2 n 1} 44. Számoljuk ki egy "ki nyer többet 7 játékból" sorozatban explicit módon a játékok számának sűrűségfüggvényét, várható értékét és szórását a következő valószínűségekre: p: 0.5 0.7 0.9 Osztozkodás problémája A probléma Chevalier de Mere-től ered, akit az érdekelt, hogyan osztozkodjon két játékos, ha a játék félbeszakad. Speciálisan tegyük fel, hogy az A és B játékosok mindegyike felajánl C pénzegységet és Bernoulli kísérletet játszanak addig, amíg valamelyikük egy előre definiált számú játokot nem nyer. A nyertes ekkor megkapja a teljes 2 C összeget. 45. Ha a játék megszakad, amikor a győzelemhez A-nak még n-szer kellene nyernie és B -nek még m -szer kellene nyernie, bizonyítsuk be, hogy a nyereményt A és B között a következőképpen igazságos elosztani: 2 C A n,m (p) A részére, 2 C (1 A n,m (p)) B részére. 46. Tételezzük fel, hogy az A és B játékosok mindegyike $50-ral fogad. A játékosok feldobnak egy szabályos pénzérmét, amíg az egyikük 10-szer nem nyer. A nyertes elviszi a teljes összeget. Tételezzük fel, hogy a játék akkor szakad meg (jön a szerencsejátékokat ellenőrző rendőrség), amikor A 5-ször nyert és B 3-szor nyert. Hogyan osztozkodjanak a betett összegen (a 100$-on)? Virtuális laboratóriumok > 10. Bernoulli kísérletek > 1 2 3 4 5 6 Tartalom Appletek Adathalmazok Életrajzok Külső forrásmunkák Kulcsszavak Visszacsatolás