METRIKA. 2D sík, két közeli pont közötti távolság, Descartes-koordinátákkal felírva:

Hasonló dokumentumok
A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?

ERŐ-E A GRAVITÁCIÓ? 1. példa:

ERŐ-E A GRAVITÁCIÓ? 1

Az időmérés pontossága fontos, mert a távolságmérést erre alapozzuk.

24 műhold (6 pályasíkban 4-4) & % ( )M * 26600km. T m. # 3870 m v m "1.29 #10 $5. # 460 m T a s

Emlékeztető: az n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség a Riemann-tenzor (Riemann, 1854): " ' #$ * $ ( ' $* " ' #µ

Az Einstein egyenletek alapvet megoldásai

Geometriai alapok Felületek

A gravitációs hullámok miért mutathatók ki lézer-interferométerrel?

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

[ ]dx 2 # [ 1 # h( z,t)

= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s

Szeminárium. Kaposvári István október 01. Klasszikus Térelmélet Szeminárium

ANALÍZIS II. Példatár

1. FELADATSOR. x = u + v 2, y = v + z 2, z = z. u y + z. u x + y. v x + y. v y + z. w x + y. w y + z

Stacionárius tengelyszimmetrikus terek a Kerr-Newman téridő

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor

A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy

Bevezetés a görbe vonalú geometriába

Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső

Az Általános Relativitáselmélet problémáinak leküzdése alternatív modellek használatával. Ált. Rel. Szondy György ELFT tagja

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Éldetektálás, szegmentálás (folytatás) Orvosi képdiagnosztika 11_2 ea

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.

Előzmények: matematika Előzmények: fizika Az általános relativitáselmélet Furcsa következmények Tanulságok. SZE, Fizika és Kémia Tsz. v 1.

7. GRAVITÁCIÓS ALAPFOGALMAK

Készítsünk fekete lyukat otthon!

3. FELADATSOR. n(n 1) Meggondolható, hogy B képtere az összes alternáló 4-lineáris függvény tere, magja pedig R. Hesse(f)(X, Y ) = X(Y (f)) X Y (f).

Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához

Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató. A hármas és háromszoros integrál

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Gravitációs fényelhajlás gömbszimmetrikus téridőkben

Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény

Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár & Óbudai Egyetem, Budapest június 20.

{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek

Lagrange és Hamilton mechanika

Serret-Frenet képletek

Fizika példák a döntőben

Dr. Berta Miklós. Széchenyi István Egyetem. Dr. Berta Miklós: Gravitációs hullámok / 12

Térkép és valóság. (b) Röviden írja le, milyen módon torzítja el ez a térkép a valódi világ viszonyait.

T obbv altoz os f uggv enyek integr alja. 3. r esz aprilis 19.


A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

Gyakorló feladatok I.

A Hamilton-Jacobi-egyenlet

Felületek differenciálgeometriai vizsgálata

Vontatás III. A feladat

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer

MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI ALAPOK

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

A loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra.

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar

mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati

Számítógépes Grafika mintafeladatok

t, u v. u v t A kúpra írt csavarvonalról I. rész

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

egyetemi állások a relativitáselmélet általánosítása (1915) napfogyatkozás (1919) az Einstein-mítosz (1920-tól) emigráció 1935: Einstein-Podolsky-

Kétváltozós függvény szélsőértéke

Számítógépes Grafika mintafeladatok

A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN

Vasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet

Fogalmi alapok Mérlegegyenletek

3. jegyz könyv: Bolygómozgás

1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: Június 4.

Geometriai példatár 2.

dr 2 # r 2 d* 2 # r 2 sin 2 *d+ 2 t = ["#,#]

Gyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2)

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája

17. előadás: Vektorok a térben

A relativitáselmélet története

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1

Riemanngeometria 1 c. gyakorlat A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

A csillagképek története és látnivalói február 14. Bevezetés: Az alapvető égi mozgások

Matematika (mesterképzés)

Szakdolgozat. Geodetikusok görbületének és torziójának vizsgálata a Sol homogén 3-geometriában. Virosztek Dániel. Konzulens:

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

1. Az integrál tégla-additivitása

Analízis III. gyakorlat október

Statikai egyensúlyi egyenletek síkon: Szinusztétel az CB pontok távolságának meghatározására: rcb

Véletlen mátrix extrém-érték statisztika: Tracy-Widom eloszlás

Friedmann egyenlet. A Friedmann egyenlet. September 27, 2011

Többváltozós függvények Riemann integrálja

1 2. Az anyagi pont kinematikája

Van-e a vákuumnak energiája? A Casimir effektus és azon túl

Az Univerzum szerkezete

Transzformációk síkon, térben



Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

Átírás:

METRIKA D sík, két közeli pont közötti távolság, Descartes-koordinátákkal felírva: dl = dx + dy Általános alak ha nem feltétlenül Descartes-koordinátákat használunk: dl =... dx 1 +... dx +...dx 1 dx +...dx dx 1 = = g 11 dx 1 + g dx + g 1 dx 1 dx + g 1 dx dx 1 = = g ij dx i dx j = g ij dx i dx j i =1 j =1 g ij = g ij x 1,x 1 1. D sík; Descartes-koordinátákkal felírva: dl = dx + dy = g ij dx i dx j koordináták: x 1 = x x = y metrikus tenzor: g ij = 1 0 # 0 1 [a g ij -k itt mind konstansok] 1 Gauss-görbület: K = = 1 = 0 R min R max # SÍK 1

. D sík; polárkoordinátákkal felírva: dl = dr + r d = g ij dx i dx j koordináták: x 1 = r x = metrikus tenzor: g ij = 1 0 # 0 r [itt a g függvény: g x 1 = g r = r ] 1 Gauss-görbület: K = = 1 = 0 R min R max # SÍK 3 3. D hengerfelület; hengerkoordinátákkal felírva: dl = dz + a d = g ij dx i dx j koordináták: x 1 = z x = metrikus tenzor: g ij = 1 0 # 0 a [a g ij -k mind konstansok] 1 Gauss-görbület: K = = 1 = 0 R min R max # a SÍK! 4

4. D kúpfelület; polárkoordinátákkal felírva: dl = dr + r sin 0 d# = g ij dx i dx j koordináták: x 1 = r x = # metrikus tenzor: g ij = 1 0 0 r sin [itt a g függvény: g r = r sin 0 ] 0 Gauss-görbület: K = 1 R min R max = 1 #... = 0 SÍK! kivéve a csúcsot, ahol K-nak szingularitása van. 5 5. D gömbfelület; gömbi koordinátákkal felírva: dl = a d + a sin d# koordináták: x 1 = x = # metrikus tenzor: g ij = a 0 0 a sin [a g függvény: g = a sin ] # 1 Gauss-görbület: K = = 1 = 1 GÖRBÜLT! R min R max a a a 6 3

n-dimenziós sokaság pl. D felület, 3D tér, 4D téridő, stb. metrikája: ds = g 11 dx 1 + g dx +... + g 1 dx 1 dx +... = n n = g ij dx i dx j = g ij dx i dx j i =1 j =1 A metrikát a fenti egyenletet a sokaság lakói mérésekre alapozva fel tudják állítani: 1. A sokaságot bekoordinátázzák az x 1, x,, x n tetszőlegesen felvett koordinátákkal.. Két közeli pont között megmérik a ds távolságot, és ugyanakkor regisztrálják a két pont közötti dx i koordináta-különbségeket is. 3. A -es lépést megismétlik sok közeli pontpárra. Összességében rengeteg adatot összegyűjtenek. 4. Ezekből az adatokból megállapítják a g ij = g ij x k függvényeket a metrikus tenzor elemeit. De: hogyan tudják a lakók megállapítani, hogy sokaságuk görbült-e? 7 Gauss-görbület D felület egy adott pontbeli görbültségét kifejező szám: K = k min k max = 1 R min R max R min és R max : az adott ponton át a felületre fektetett merőleges síkokkal vett metszetgörbék előjelesen értelmezett görbületei közül a legkisebbnek és a legnagyobbnak a reciproka. K előnye: a felület tényleges görbültségét fejezi ki nem módosul az értéke, ha a felületet deformációmentes alakváltozásnak tesszük ki pl. a feltekert újság: sík K hátránya: 1 nem alkalmazható 3D, 4D, stb. sokaságokra, csak D felületre! a K fenti definiálásához külső nem laposlényi nézőpont kell R min és R max fogalmát a laposlények nem értik 8 4

Theorema Egregium Gauss, 188: Recept a laposlények számára, hogy hogyan számolhatják ki K-t az általuk is kimérhető g ij = g ij x k függvényekből. K x 1,x = 1 g g 1 x 1 x # g 11 x g # x 1 + + g 1 g 11 -, / g -, / # g - 11, / g -, / + g 1 # g - 11, / g 1 # g - 4g, / + x 1. + x. + x. + x 1. + x 1 x. + x x 1 #. # g g 11 -, / g 1 # g -, / # g - 11, / 4g + x 1. + x x 1. + x. # # g 11 g -, / g 1 # g - 11, / # g -, / 4g + x. + x 1 x. + x 1. ahol g det g ij = g 11 g # g 1 [csak D felületre alkalmazható!] 9 n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség: a Riemann-tenzor Riemann, 1854 Ezt is ki tudják számítani a sokaság lakói a g # x metrikus tenzorból: R #µ # x #µ + µ x µ # #µ µ# = 1 g # g x + g µ g + µ# ahol -, és g # a metrikus tenzor inverze. µ x # x, [tetszőleges dimenziójú sokaságra alkalmazható!] 10 5

TOVÁBBI PÉLDÁK A sokaságunk legyen a 4D téridő! 11 6. 4D téridő a világűrben, nagy tömegektől távol; kockarács-hálózat, szinkronizált órák: ds = cdt dx dy dz = g # dx # dx koordináták: x 0 = t x 1 = x x = y x 3 = z metrikus tenzor: c 0 0 0 0 1 0 0 g # = 0 0 1 0 0 0 0 1 Riemann-tenzor: R #µ =... = 0 SÍK GÖRBÜLETLEN TÉRIDŐ! 1 6

7. 4D téridő a világűrben, nagy tömegektől távol; gömbhéj-hálózat, szinkronizált órák: ds = cdt dr r d# r sin #d = g dx dx koordináták: x 0 = t x 1 = r x = x 3 = metrikus tenzor: c 0 0 0 + 0 1 0 0 g # = + 0 0 r 0 + 0 0 0 r sin + Riemann-tenzor: R #µ =... = 0 SÍK GÖRBÜLETLEN TÉRIDŐ 13 8. Gömbszimmetrikus, álló tömeg körüli téridő; Schwarzschild-koordinátákkal felírva: ds # = 1 GM cdt c r koordináták: x 0 = t x 1 = r x = x 3 = metrikus tenzor: # 1 GM c r 1 dr r d r sin d 1 GM c 0 0 0 c r g # = 0 1 GM 1 0 0 c r 0 0 r 0 0 0 0 r sin + Riemann-tenzor: R #µ =... 0 GÖRBÜLT TÉRIDŐ! 14 7

9. Gömbszimmetrikus, álló tömeg körüli téridő; Painlevé-Gullstrandkoordinátákkal felírva: ds # = 1 GM cdt c r koordináták: x 0 = T x 1 = r x = x 3 = metrikus tenzor: GM c r cdtdr dr r d r sin d 1 GM c GM 0 0 c r r g # = GM 1 0 0 r 0 0 r 0 0 0 0 r sin + Riemann-tenzor: R #µ =... 0 GÖRBÜLT TÉRIDŐ 15 Kitérő: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film.16 milliárd kilométernyi ideig tartott.. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg] c = M [m ] A Föld tömege M F =6x10 4 kg. = A Föld tömege M F =4.4mm. 16 8

10. Forgó fekete lyuk + a Nap + a Föld körüli téridő; Doran-koordinátákkal felírva, az egyenlítői síkban: # M # Ma Mr ds = 1 dtdr + dt dtd + r r r +a # Mr r Ma +a drd dr r + a + d r r + a r + a 0 koordináták: x = T!!! metrikus tenzor: g# x 1 = r M 1! r Mr = r + a Ma r Riemann-tenzor: R #µ =... 0 x = Mr r + a r r + a Mr a r + a Ma r Mr a r +a Ma r + a + r GÖRBÜLT TÉRIDŐ! 17!! A görbült téridő néhány megfigyelhető következménye 1. gravitációs lencsehatás nagy tömegek - pl. galaxisok - begörbítik a fénysugarak útját demonstráció házilag: 18 9

A görbült téridő néhány megfigyelhető következménye. a bolygók perihéliumának vándorlása a Nap körül a bolygók NEM ellipszispályán keringenek A naprendszerben a Merkúrnál a legerősebb az effektus: ~43 /évszázad ~ 43 /417 körbefordulás [A legközelebbi Merkúr-átvonulás: 016. május 9.] 19 A görbült téridő néhány megfigyelhető következménye 3. a GPS-nél relativisztikus korrekcióra van szükség a Föld tömege begörbíti a téridőt Nem egy az egyben a műholdak atomórái által mutatott időt kapják meg a vevőkészülékek, hanem a relativisztikus korrekciókkal spec.rel. + ált. rel. módosított értékeket. [Relativisztikus korrekciók nélkül naponta ~10km távolságmérési hiba gyűlhetne össze.] 0 10