Diszkrét csoportok és térformák homogén geometriákban

DIPLOMAMUNKA Diszkrét csoportok és térformák homogén geometriákban Farkas József Zoltán matematikus hallgató Témavezető: Dr. Molnár Emil egyetemi tanár BME Matematika Intézet Geometria Tanszék BME 2002

Tartalomjegyzék 1. Síkcsoportok prezentálása 3 2. Homogén geometriák, izometriák 5 2.1. Homogén geometriák......................... 5 2.2. Az S 2 R és H 2 R terek izometriái............... 8 2.3. Az SL2 R tér és izometriacsoportja................. 10 3. Fogalmak, definíciók, összefüggések 17 4. A tércsoportok osztályozása a szorzatterekben 21 4.1. Az S 2 R tércsoportjainak az osztályozása............ 21 4.2. A H 2 R tércsoportjainak osztályozásáról............ 27 5. Ekvivariancia, algebrai és geometriai izomorfizmus 30 5.1. A hasonlósági ekvivariancia.................... 32 5.2. Ekvivariancia homeomorfizmussal.................. 32 6. Összegzés 34 1

Diszkrét csoportok és térformák homogén geometriákban Farkas József Zoltán Kivonat A két, illetve három dimenziós euklideszi tér kristálycsoportjainak osztályozása, részben a gyakorlati alkalmazásoktól motiválva, lényegében a XIX. század végére megoldódott. A klasszikus - állandó görbületű - két dimenziós geometriákban a probléma teljes megoldására 1967-ig kellett várni [10]. Az utóbbi évtizedek egyik centrális matematikai eredménye a három dimenziós egyszeresen összefüggő tér homogén maximális Riemann geometriáinak Thurston-től származó osztályozása, e nyolcféle tér modellezése, leírása [11],[13],[14],[15]. A három állandó görbületű téren, vagyis az E 3 euklideszi, S 3 szférikus és H 3 hiperbolikus téren kivül további öt nem ekvivariáns metrikus geometria létezik, amelyekben a tércsoportok osztályozása, az így felvetődő fogalmak tisztázása fontos és általánosan máig meg nem oldott kérdés. Ebben a dolgozatban elsősorban a H 2 R, az S 2 R [7], és a nem maximális, de a kristálygeometriában jelentőséggel bíró E 2 R szorzatterekkel, illetve az SL 2R térrel foglalkozunk. A három szorzattérben egységesen értelmezhetők bizonyos fogalmak, úgy mint a pontcsoport, az R-irányú rács, ekvivariancia, azonban jelentős különbségek is fellépnek, melyeket részben az algebra és a geometria klasszikus kölcsönhatása motivál [3],[10]. Megadjuk az S 2 R tércsoportjainak teljes osztályozását. Vizsgáljuk az [5], ill. [7]-ban az S 2 R-beli tércsoportok osztályozására kifejleszett és használt módszer a H 2 R (E 2 R) térre való kiterjesztésének lehetőségeit és nehézségeit. További újdonság az SL 2R térben bevezetett új irányításváltó izometria. Az így nyert bővített teljes izometriacsoport jelentősége az SL 2R tércsoportjainak, térformáinak egy lehetséges osztályozásában játszhat kulcsszerepet. A diplomamunka a [5],[6] diákköri dolgozataim és a [7] publikációm anyagának részeit is tartalmazza. 2

1. Síkcsoportok prezentálása A klasszikus euklideszi, hiperbolikus és szférikus síkgeometriák - E 2, H 2, S 2 - kristálycsoportjainak egységes osztályozását A.M. Macbeath 1967-69-es cikkeivel fejezte be [10]. Lényegében a már Poincaré által is ismert Fuchs csoportok ún. F-szignatúrájából és prezentálásából kiindulva, a hiperbolikus síkcsoportok teljes algebrai osztályozását adta meg. Az irányításváltó transzformációkat tartalmazó csoportokat is jellemző egységes szignatúrát és prezentálást vezetett be. A szignatúra: (±, g; [m 1, m 2,..., m r ]{(n 11,...,n 1s1 ),..., (n k1,...,n ksk )}) (1.1) a Π/Γ faktor-struktúrát, azaz a Π sík Γ-pályáinak halmazát, mint kompakt felületet jellemzi, ahol Π egy egyszeresen összefüggő állandó görbületű sík (a továbbiakban is Π : E 2, H 2, S 2 ), Γ pedig a sík izometriáinak egy kompakt alaptartományú csoportja. A ± a felület irányíthatóságára, g a nemszámra utal, [ ]-ból a felület ún. szinguláris pontjainál fellépő forgáscsoportok, e pontok stabilizátor részcsoportjainak rendjei, { }-ból a peremkoponensek és az ezekben fellépő diédercentrumok rendjei olvashatók le. Ehhez kapcsolódva Macbeath bevezette a Γ csoportok egy standard alaptartományát és ehhez a Γ (általában redundáns) prezentálását a következő geometriai generátorokkal és relációkkal: (r 1,..., r r ; c 10,..., c 1s1 ;... ; c k0,...,c ksk ; e 1,..., e k ; a 1, b 1,..., a g, b g ; (1 =)r m1 1,...,rmr r ;...,c isi e 1 i c i0 e i,... ;...,c 2 i,j 1, c 2 i,j, (c i,j 1 c ij ) nij,...; (i = 1,...,k; j = 1,...,s i ); r 1... r r e 1...e k a 1 b 1 a 1 1 b 1 1...a g b g a 1 g b 1 g ) (1.2) irányítható esetben; illetve az a i, b i eltolás generátorok helyett az a 1,..., a g eltolástükrözésekkel generálva az utolsó reláció helyett az: (1 =)r 1... r r e 1... e k a 2 1... a2 g relációval, ha a Π/Γ felület nem irányítható [10]. 3

a 1 a g e k r 1 m + 1 k e 1 r r m + r 1 1.ábra A Π/Γ nem-irányítható faktorfelület szimbolikus prezentálása. A középen ábrázolt kezdőpontból kiinduló élek mentén ollóval felvágva kapjuk az F Γ alaptartományt. Az élek hozzák létre az oldalpárokat, a peremkomponensek pedig a tüköroldalakat. Ez a prezentálás egy kompakt alaptartományhoz tartozik, melyet FΓ -val jelölünk. Ezen alappoligon bizonyos élpárjai homeomorfizmusokkal képződnek egymásra, így áll elő a Π/Γ =: FΓ felület (1.ábra). Az F Γ jelölésben a felülvonás az oldalpárosítással történő lezárásra utal. Az esetleg görbe oldalakat később a Π sík egybevágóságaival (izometriáival) rendeljük egymáshoz. Ezek az egybevágóságok generálják a Γ (diszkrét) izometriacsoportot, mely nem folytonosan (diszkréten) hat a Π síkon. Egy tetszőleges egység-alaptartományt kiválasztva és 1-gyel jelölve, a képek geometriailag szemléltetik a Γ csoport elemeit. A lehetséges alaptartományok kombinatorikus ekvivalencia erejéig történő osztályozásában [9], illetve a síkcsoportok Macbeath-féle szignatúrája alapján történő relizálásában fontos szerepet játszik az alaptartomány kombinatorikus (terület)mértékének képlete: Tκ = π{ r ( 2 2) + m l l=1 k ( 2 + i=1 s i j=s 1 ( 1 + 1 n ij )) + 2χ} (1.3) mely az F Γ szögösszegének és a megfelelő euklideszi szögösszegnek a különbsége; ahol κ a realizáló sík Gauss-féle szorzatgörbülete, χ = 2 αg a felület Euler karakterisztikája, ahol α = 1 nem irányítható esetben, α = 2 irányítható esetben. Az euklideszi esetben κ = 0, és a hasonlóság miatt a T terület bármekkora 4

lehet. 1.Táblázat Az S 2 és E 2 síkcsoportok Macbeath szignatúra Schönfliess/Hermann Coxeter Conway (+, 0; [q, q]; {}) q 1 C q [q] + q, q (+, 0; [ ]; {(q, q)}) q 2 C qv [q] q, q (+, 0; [2, 2, q]; {}) q 2 D q [2,q] + 2, 2, q (+, 0; [ ]; {(2, 2, q)}) q 2 D qh [2,q] 2, 2, q (+, 0; [q]; {(1)}) q 1 C qh [2,q + ] q (+, 0; [2]; {(q)}) q 2 D qd [2 +,2q] 2 q (, 1; [q]; {}) q 1 S 2q [2 +,2q + ] q (+, 0; [2, 3, 3]; {}) T [3,3] + 2, 3, 3 (+, 0; [2, 3, 4]; {}) O [3,4] + 2, 3, 4 (+, 0; [2, 3, 5]; {}) I [3,5] + 2, 3, 5 (+, 0; [ ]; {(2, 3, 3)}) T d [3,3] 2, 3, 3 (+, 0; [ ]; {(2, 3, 4)}) O h [3,4] 2, 3, 4 (+, 0; [ ]; {(2, 3, 5)}) I h [3,5] 2, 3, 5 (+, 0; [3]; {(2)}) T h [3 +,4] 3 2 (+, 1, [ ], {}) p1 - (+, 0, [2, 2, 2, 2], {}) p2-2, 2, 2, 2 (+, 0, [ ], {(1)(1)}) pm - (, 2, [ ], {}) pg - (, 1, [ ], {(1)}) cm - (+, 0, [ ], {(2, 2, 2, 2)}) pmm - 2, 2, 2, 2 (+, 0, [2, 2], {(1)}) pmg - 2, 2 (, 1, [2, 2], {}) pgg - 2, 2 (+, 0, [2], {(2, 2)}) cmm - 2 2, 2 (+, 0, [2, 4, 4], {}) p4 [4, 4] + 2, 4, 4 (+, 0, [ ], {(2, 4, 4)}) p4m [4, 4] 2, 4, 4 (+, 0, [4], {(2)}) p4g [4 +, 4] 4 2 (+, 0, [3, 3, 3], {}) p3 + 3, 3, 3 (+, 0, [ ], {(3, 3, 3)}) p3m1 3, 3, 3 (+, 0, [3], {(3)}) p31m [3 +, 6] 3 3 (+, 0, [2, 3, 6], {}) p6 [3, 6] + 2, 3, 6 (+, 0, [ ], {(2, 3, 6)}) p6m [3, 6] 2, 3, 6 2. Homogén geometriák, izometriák 2.1. Homogén geometriák A klasszikus állandó görbületü tereket két fontos tulajdonsággal jellemezhetjük: a tér bármely pontja leképezhető izometria segítségével a tér bármely másik 5

pontjára,-ez a homogenitás, illetve a tér bármely pontjának érintőterében felvett ortonormált bázis átvihető a tér bármely másik pontjának érintőterében felvett ortonormált bázisába ez az izotrópia, szemléletesen: a tér bármely pontjából bármerre nézve ugyanazt látjuk, tehát nincsenek kitüntetett irányok. Illetve ha egy tér a fenti két tulajdonsággal bír akkor bizonyítható, hogy a tér minden pontjában a Gauss-féle görbület állandó, tehát a tér ekvivariáns az euklideszi, szférikus vagy hiperbolikus terek valamelyikével. A speciálistól az általánosabb felé irányuló kutatás bevált eszköze a matematikának, így kerülhettek a homogén geometriák is a kutatások középpontjába, ahol tehát olyan terek geometriáját vizsgáljuk ahol nem teljesül az izotrópia tulajdonság csak a homogenitás. Azonban meg kell említenünk hogy elsősorban a kompakt 3-dimenziós sokaságok osztályozásának kérdésé motiválta ezen újabb modell geometriák vizsgálatait. Tehát melyek, illetve milyenek lesznek azok a geometriák, amelyekből kompakt sokaságokat származtathatunk, tehát a sokaságok ezen geometriákban modellezhetők. Az általános módszer kompakt metrikus (Riemann) sokaságok származtatására, hogy egy metrikus egyszeresen összefüggő (Riemann) tér izometriacsoportjának egy fixpontmentesen ható részcsoportjával faktorizáljuk a teret. Tehát a tér bármely két pontját pontosan akkor soroljuk ugyanabba az osztályba, más szóval azonosítjuk ( ragasztjuk ), amelyekhez létezik egy izometria a fenti csoportból, amely az első pontot a másikba viszi. A tér egyszeresen összefüggő, ha bármely zárt görbe folytonos deformációval egy pontra húzható össze. A Riemann metrika a felületelméletből ismert módon, az infinitezimálisan közeli pontok távolság-differenciál-négyzetét a koordinátadifferenciálok pozitív definit kvadratikus alakjából származtatja. Bizonyítható hogy a fenti módszerrel kompakt sokaságok származtathatók (ld. pl. [12]), amelyek tehát az adott geometrián modellezhetők. Definíció 2.1 (Thurston [15]) Az X sokaságot a G diffeomorfizmusainak egy Lie-csoportjával együtt: (X, G) modell-geometriának nevezzük, ha 1. X összefüggő és egyszeresen összefüggő 2. G tranzitívan hat X-en, kompakt pont-stabilizátorral 3. nem létezik olyan H csoport az X diffeomorfizmusainak egy G-nél bővebb csoportja, amely szintén kompakt pont-stabilizátorral hat X-en 4. létezik (X, G)-n legalább egy kompakt sokaság. Az 1-es feltétel egy osztályba sorol lokálisan ekvivalens geometriákat amelyeknek különböző lehet a fundamentális csoportjuk. A 2-es feltétel következménye hogy a tér ellátható G-invariáns homogén Riemann metrikával. A 3-as feltétel egyenértékü azzal, hogy nem létezik olyan G-invariáns Riemann metrika, amely egy nagyobb H csoportnál is invariáns. Az utolsó feltétel magától értetődően kizárja azon geometriákat (kontinuum sokat!) amelyeken nem modellezhetők kompakt 3-sokaságok. 6

Tehát olyan egyszeresen összefüggő Riemann tereket vizsgálunk ahol a tér bármely pontpárjához létezik a térnek legalább egy izometriája, amely az egyiket a másikra képezi. Ezen 3-dimenziós geometriák osztályozása elsősorban William P. Thurston amerikai Fields-díjas matematikus nevéhez füződik. Az osztályozás (ld. [15]) a pont-stabilizátorok dimenzióján alapul és főként a Lie-csoportok, valamint az orbifoldok elméletére épül. Idézzük most fel a későbbiek miatt Thurston osztályozási tételét: Tétel 2.1 (Thurston [15]) Pontosan nyolc 3-dimenziós X modell-geometria létezik, a következők szerint: 1. Ha a pont-stabilizátorok 3-dimenziósak (3 paraméterrel jellemezhetők), akkor X = S 3,E 3,H 3. 2. Ha a pont-stabilizátorok egy dimenziósak, akkor X valamely 2-dimenziós állandó görbületü geometria feletti fibrált tér. Létezik G-invariáns Riemann metrika X-en, hogy a fibrumoknak az alapsíkhoz való csatlakozásának a görbülete 0 vagy 1. (a) Ha a görbület 0, akkor X = S 2 R,H 2 R. (b) Ha a görbület 1, akkor kapjuk a Nil geometriát (E 2 feletti fibrálás), illetve az SL 2 R geometriát (H 2 feletti fibrált tér). 3. A Sol geometria az egyetlen ahol a pont-stabilizátorok 0-dimenziósak. Tehát a 8 homogén maximális Thurston-féle geometria: E 3,S 3,H 3,S 2 R,H 2 R, SL 2 R,Nil,Sol. Az első három ezek közül a már jól ismert euklideszi, szférikus illetve hiperbolikus geometria. A következő kettő direkt szorzat alakú fibrált tér, tehát a tér pontjai az (X, x) alakú párok halmaza, ahol X Π alapsík, x R fibrum (vagy szál). Ugyanilyen struktúrájú az E 2 R tér, amely ugyan nem maximális geometria(ugyanis E 3 gazdagabb izometriacsoporttal rendelkezik), de az analógiák és a kristálytani alkalmazások szempontjából jelentőséggel bír (2.ábra). Az SL 2 R tér, amely az SL 2 R speciális lineáris 2*2-es valós mátrixok Liecsoportjának univerzális fedéséből származtatható, szintén fibrált geometria, ahol most a hiperbolikus alapsík minden pontjából csavart módon növő fibrumoknak a pontjai alkotják a teret. A Nil geometria hasonló, de az alapsík az Euklideszi sík. Az S 3 szférikus térnek is van csavart (S 2,S) fibrálása, S körrel, ez a Hopf-féle fibrálás, de S 3 gazdagabb izometria csoporttal rendelkezik. A Sol geometria esetében egy alapegyenes feletti fibrálásról beszélhetünk, ahol a fibrumok síkok lesznek. Ezen nyolc homogén geometriának az első egységes interpretációja [11]-ben található. A projektív gömbön való modellezés geometrikus képet ad, mert a hagyományos projektív és affin modellezés is speciális eset lesz. Itt Thurston eredeti programjának megfelelően G a projektív kollineációcsoport egy speciális részcsoportja lesz, de láttuk [4]-ben, hogy S 2 R és H 2 R esetében gömb- 7

illetve (kétköpenyü) hiperboloid-inverzió felel meg az alapsík-tükrözésnek. Látni fogjuk, hogy Thurston programjától eltérően SL 2 R-ben is lesz síktükrözés, ami nem lesz projektív kollineáció. A projektív modellezéssel számos a gyakorlatban is használható "számolható" formulát nyerünk. 2.2. Az S 2 R és H 2 R terek izometriái Itt nem indokoljuk azt az alaptételt miszerint a direkt szorzat alakú terek izometriacsoportjai valóban direkt szorzat alakúak. Annyit megjegyzünk, hogy a bizonyítás az ívelemnégyzet hasadásán múlik. [11]-ból az S 2 R-beli ívelemnégyzet (ds) 2 = (dt) 2 + (dϕ) 2 sin 2 ϑ + (dϑ) 2 (2.1) ahol t-jelöli a fibrumparamétert. Látható, hogy az ívelemnégyzet szépen a Pitagórasz-tétel szerint oszlik el az egymásra merőleges R illetve S 2 komponensekre (S 2 -ben polárkoordinátákkal). Tehát Isom(S 2 R) = Isom(S 2 ) Isom(R). (2.2) És általában: Isom(Π R) = Isom(Π) Isom(R), (2.3) így nyilván minden izometria fibrumtartó lesz, most speciálisan az R-komponensek R-komponensekre képződnek. Ezen izometriák Π-n ható részét B-vel, a transzformáció R-en ható részét (b, τ)-val jelöljük, ahol tehát B Isom(Π), b = 1 az R identikus leképezésére utal : 1 =: 1 R : (X, x) (X, x) b= -1 pedig R ponttükrözése a 0 (nulla) kezdőpontra : 1 =: 1 R : (X, x) (X, x), illetve τ : (X, x) (X, x + τ) eltolás az R-fibrumok mentén. A transzformációk jelölése és szorzási szabálya a következő: (B 1 b 1, τ 1 ) (B 2 b 2, τ 2 ) = (B 1 B 2 b 1 b 2, τ 1 b 2 + τ 2 ) (2.4) melyet a B (b, τ) (B b, τ) : (X, x) (XB, xb + τ) (2.5) hatásból származtathatunk. Itt és a továbbiakban is a leképezések a tér pontjain jobbról hatnak. A három klasszikus geometria egybevágóságaihoz hasonlóan ezen terek minden izometriája is természetesen áll elő tükrözések szorzataként. A Π alapsíkban (vagy bázisban) bármely egybevágóság három egyenestükrözés szorzataként előáll, az R-fibrumban legfeljebb két ponttükrözés szükséges, így Π R-ben legfeljebb 5 síktükrözés elegendő, és nyilván ennél kevesebb nem elég [4]. Ezen izometriák halmazait jelölje Π i R j, i = 0, 1, 2, 3 j = 0, 1, 2. Π i R j bármely eleme i számú Π-tükrözés és j számú R-tükrözés szorzata. 8

2 S =(.,0) 2 S x R R=(X,. ) 2 E x R R=(X,. ) 2 E =(.,0) 2 H x R R R p, 2 H =(.,0) 2 H =(.,0) p 3.ábra A Π R szorzatterek szimbolikus interpretációi [4],[8],[11] alapján 9

2.3. Az SL 2 R tér és izometriacsoportja Az SL 2 R tér a H 2 hiperbolikus sík pontjaihoz a direkt szorzattól eltérő csavart módon ragasztott R-fibrumokból álló tér. Az R-fibrumoknak az alapsíkkal való csatlakozását adja meg az ún. kontakt struktúra, amely meghatározza a geometria irányítását. Ennek szellemében ha a kontakt struktúra nem változtatható meg, akkor csak irányítástartó izometria értelmezhető a téren, áll Thurston-nél: [15] 184. oldal. (Megjegyezzük, hogy mind a 8 homogén geometriában a leképezések irányítástartását általánosan a transzformáció infinitezimális Jacobi determinánsának pozitív előjelével értelmezhetjük.) Ekkor azonban véleményünk szerint ( SL 2 R, G) nem maximális, tehát nem lesz modell geometria, ugyanis nem teljesül a 2.1-es definició 3. feltétele. Meg tudunk adni egy irányításváltó leképezést a téren, amely izometria lesz, mint látni fogjuk. Ezzel a transzformációval bővítve G-t egy 2 indexü H szupercsoportot kapunk amely invariánsan hagyja a [11]-ben megadott Riemann metrikát. A kontakt struktúra egy sokkal speciálisabb, az infinitezimális izometriák vektormezőit felhasználó jellemzése a térnek, és jóval később bevezetett fogalom. Szerintünk tehát a csak irányítástartó transzformációkat tartalmazó G csoporttal ellátott (X, G) nem lesz maximális. A fő indok, hogy szinte biztos, hogy léteznek olyan kompakt sokaságok amelyek irányításváltó transzformációkat is tartalmazó csoportokból származtathatók és az SL 2 R téren modellezhetők. Ilyen sokaság-sorozatot kapunk a 4.2 fejezet 7.ábrájához kapcsolódó (4.11) formula 1-es esetében, ha u 3 páratlan szám. Ennek fényében Thurston 2.1 tételének 2-es pontja megdőlni látszik. A kontakt struktúra - úgy tünik - nem alkalmas jellemzése a problémakörnek. Elevenítsük most fel [11]-ből az SL 2 R tér projektív modelljét. Tekintsük homogén koordinátákban az ( x 0, x 1, x 2, x 3 ) : x 0 x 0 x 1 x 1 + x 2 x 2 + x 3 x 3 = 0 (2.6) egyköpenyü hiperboloidot és a H :< x,x >:= x 0 x 0 x 1 x 1 + x 2 x 2 + x 3 x 3 0 (2.7) hiperboloid testet az E 3 euklideszi tér projektív szférikus lezártjában, ahol tehát a V 4 -beli x(x 0, x 1, x 2, x 3 ) és y(y 0, y 1, y 2, y 3 ) vektorok egy sugár-osztályba tartoznak és PS 3 (V 4 ) azonos pontját definiálják, ha y = cx 0 < c R (2.8) mellett teljesül. Így tehát E 3 -ban a közönséges és ideális pontok is megduplázódnak X 1 = x1 x 0 = x1 x 0, X2 = x2 x 0 = x2 x 0, X3 = x3 x 0 = x3 x 0. (2.9) A V 4 tér egyparaméteres S(ϕ) lineáris transzformációcsoportjával: 10

S(ϕ) : E 0 E 1 E 2 E 3 cosϕ sin ϕ 0 0 sinϕ cosϕ 0 0 0 0 cosϕ sinϕ 0 0 sin ϕ cosϕ E 0 E 1 E 2 E 3 (2.10) a projektív koordinátarendszer: (E 0, E 1, E 2, E 3, E) szokásos rögzítése után (4.ábra). Ez a P 3 térben és így E 3 -ban ciklikusan hat ha π 2 < ϕ π 2 (mod π). ϕ = π 2 esetén 0 1 0 0 S( π 2 ) = 1 0 0 0 0 0 0 1 (2.11) 0 0 1 0, 0 1 0 0 S( π 2 ) = 1 0 0 0 0 0 0 1 (2.12) 0 0 1 0 π 2 < ϕ < π 2 esetén cosϕ > 0 kifejezéssel végigosztva 1 tgϕ 0 0 S(ϕ) : tgϕ 1 0 0 0 0 1 tgϕ (2.13) 0 0 tgϕ 1 projektív csavarmozgás. Ha π < ϕ π (mod 2π) akkor S(ϕ) a PS 3 téren. illetve a dupla E 3 téren hat ciklikusan: S(π) : 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 = S( π). (2.14) Eközben a H hiperboloid test önmagára képződik és bármely (x 0, x 1, x 2, x 3 ) pont a (x 0 cosϕ x 1 sin ϕ, x 0 sin ϕ + x 1 cosϕ, x 2 cosϕ + x 3 sin ϕ, x 2 sin ϕ + x 3 cosϕ) (2.15) egyenesen mozog. A H hiperboloid univerzális fedőterét, a H teret az S(ϕ) fixpontmentes hatásnak bármely ϕ R esetére történő kiterjesztésével kapjuk a x 1 = 0, x 0 x 0 + x 2 x 2 + x 3 x 3 0 (2.16) 11

szokásos Cayley-Klein modellhez tartozó H 2 síkmetszetből, és minden más olyan hiperboloid-síkmetszetből, melyen a x 0 x 0 x 1 x 1 + x 2 x 2 + x 3 x 3 = 0 (2.17) kvadratikus alak (, +, +) szignatúrájú kvadratikus alakot indukál. Az így kapott (X, ϕ) pontok, X H 2, ϕ R alkotják a H = SL 2 R (= T 1 H 2 ) (2.18) teret. A H = SL 2 R tér izometriáinak G csoportját Thurston szellemében olyan kollineációk jellemzik, melyek megtartják a fibrumokat és a hiperboloidhoz tartozó polaritást is. Ezeket olyan (a j i ) mátrixok írják le, melyekre a 0 1 = a 1 0, a 1 1 = ±a 0 0, a 2 1 = ±a 3 0, a 3 1 = a 2 0, a 0 2 = a 1 3, a 1 2 = ±a 0 3, a 2 2 = ±a 2 3, a 3 2 = a 2 3 (2.19) azaz a 0 0 a 1 0 a 2 0 a 3 0 (a j i ) = a 1 0 ±a 0 0 ±a 3 0 a 2 0 a 1 3 ±a 0 3 ±a 3 3 a 2, (2.20) 3 a 0 3 a 1 3 a 2 3 a 3 3 továbbá feltehető (a 0 0) 2 (a 1 0) 2 + (a 2 0) 2 + (a 3 0) 2 = 1 (a 0 3) 2 (a 1 3) 2 + (a 2 3) 2 + (a 3 3) 2 = 1 a 0 0a 0 3 a 1 0a 1 3 + a 2 0a 2 3 + a 3 0a 0 3 = 0 a 0 0a 1 3 a 1 0a 0 3 + a 2 0a 3 3 a 3 0a 2 3 = 0. (2.21) Valóban g 1 S(ϕ)g = S(ϕ), ha g G + a felső előjelekkel és γ 1 S(ϕ)γ = S( ϕ), ha γ = G \ G + az alsó előjelekkel. T < G + részcsoport, melyet x 0 x 1 x 2 x 3 T : (t j i ) := x 1 x 0 x 3 x 2 x 2 x 3 x 0 x 1 (2.22) x 3 x 2 x 1 x 0 és inverze x 0 x 1 x 2 x 3 (t j i ) 1 = (Tj k ) = x 1 x 0 x 3 x 2 x 2 x 3 x 0 x 1 (2.23) x 3 x 2 x 1 x 0 12

mátrixok jellemeznek, tranzitív módon hatnak a H = SL 2 R téren az előbbi univerzális fedés szellemében. T értelmezi SL 2 R eltoláscsoportját, mely nem kommutatív. Meglepő módon az a := x 0 + x 3, b := x 1 + x 2, c := x 1 + x 2, d := x 0 x 3, (2.24) ( ) (x 0, x 1, x 2, x 3 d b ), bc ad < 0 c a ( ) (z 0, z 1 ) (z 0, z 1 d b ) z1 az + b =: z c a z0 cz + d (2.25) megfeleltetések izomorfizmust létesítenek T és a valós lineáris törtfüggvények eredeti SL 2 R-el jelölt csoportja között. ad bc = 1 x 0 x 0 x 1 x 1 + x 2 x 2 + x 3 x 3 = 1 (2.26) volt ezen interpretáció fő motivációja. Az S(ϕ) fibrumeltolást most ( ) ( ) ( ) d b cosϕ sin ϕ d b c a sinϕ cosϕ c a (2.27) ϕ R mutatja. Az E 0 pont G + -beli G 0 stabilizátora 1 0 0 0 G 0 = 0 1 0 0 0 0 cosω sin ω (2.28) 0 0 sin ω cosω π < ω π (mod 2π) alakú forgatásokból áll. Ezért E 0 -ban a G 0 -invariáns pozitív definit kvadratikus alak értelmezi az ívelem-négyzetet (d s) 2 = (d x 1 ) 2 + (d x 2 ) 2 + (d x 3 ) 2, d x 0 = 0 (2.29) A (T k j ) mátrixszal ez globálisan minden (x0, x 1, x 2, x 3 ) pontba visszahúzható (ds) 2 = {[(dx 0 )x 1 +(dx 1 )x 0 (dx 2 )x 3 +(dx 3 )x 2 ] 2 +[ (dx 2 )x 2 (dx 1 )x 3 +(dx 2 )x 0 +(dx 3 )x 1 ] 2 + [ (dx 0 )x 3 + (dx 1 )x 2 (dx 2 )x 1 + (dx 3 )x 0 ] 2 1 } [ (x 0 ) 2 (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 ] 2. (2.30) 13

Az alábbi polárkoordinátás paraméterezés X(x 0 = coshr cosψ, x 1 = coshr sinψ, x 2 = sinhr cosα, x 3 = sinhr sin α), (2.31) x,x = cosh 2 r + sinh 2 r = 1 (2.32) ψ R, π < α π (mod 2π), 0 r R és a G 0 mátrix szolgáltatja a G csoportnak egy kanonikus alakját G : (a j i ) = coshr cosψ coshr sin ψ sinhr cosα sinhr sinα coshr sinψ ± coshr cosψ ± sinhr sin α sinhr cosα sinhr cos(α ω) sinhr sin(α ω) coshr cos(ψ + ω) coshr sin(ψ + ω) ± sinhr sin(α ω) sinhr cos(α ω) coshr sin(ψ + ω) ± coshr cos(ψ + ω) (2.33) Most térjünk rá az új leképezésnek a megadására. Létezik olyan irányítástartó transzformáció γ amelynek vetülete p(γ) irányításváltó H 2 -beli tükrözés, amely izometria egyben tehát megváltoztatja a fibrumok irányítását is, így az egész téren irányítástartó leképezésként hat. Ebből az izometriából származtatjuk az irányításváltó leképezést, amely tehát minden fibrumot önmagára képez megváltoztatva a fibrumok irányítását, H 2 -beli vetülete pedig az identikus leképezés lesz. Most p : Isom( SL 2 R) Isom(H 2 ) (2.34) a fibrumok szerinti vetítéssel értelmezett természetes projekció. Definíció szerint tehát a p projekció megtartja a megfelelő csoportok kompozició műveletét, vagyis homomorfizmus. Itt az R-fibrumok menti szimultán eltolások, melyekhez a H 2 identikus leképezése tartozik, alkotják a homomorfizmus R-rel izomorf magját. Ezt fejezi ki az alábbi ún. egzakt sorozat. 0 R Isom( SL 2 R) Isom(H 2 ) 1, (2.35) tehát minden Isom(H 2 )-beli elem előáll képként. Lásd részletesen [13]-ben. Kiemeljük, hogy most H 2 R-el ellentétben nem lesz homomorfizmus az Isom(R)-re való vetítés. Az SL 2 R izometriái most (2.2)-től eltérően csavartan hatnak a fibrumokon. Ha β 1 = (B 1, b 1, τ 1 ) és β 2 = (B 2, b 2, τ 2 ) és β 1 β 2 = β 3 = (B 3, b 3, τ 3 ) az Isom( SL 2 R) elemei, akkor B 3 = B 1 B 2 Isom(H 2 )-ben, b 3 = b 1 b 2 az R homogén lineáris leképezésére, de általában τ 3 τ 1 b 2 + τ 2. Legyenek X = (x 0, 0, x 2, x 3 ), Y = (y 0, y 1, y 2, y 3 ), Z = (z 0, z 1, z 2, z 3 ), (2.36) tehát X a 0-szintü hiperbolikus síkban felvett tetszőleges pont, amelyre tükrözünk, Y az X feletti ϕ fibrumparaméterü pont, Z pedig a ϕ fibrumparaméterü pont amelyeket X-ből a korábbi S(ϕ) fibrumtranszformációkat leíró mátrixszal való szorzással kapunk.. 14

Kapjuk tehát: y 0 = x 0 cosϕ, y 1 = x 0 sinϕ, y 2 = x 2 cosϕ+x 3 sin ϕ, y 3 = x 2 sin ϕ+x 3 cosϕ, (2.37) illetve: z 0 = x 0 cosϕ, z 1 = x 0 sin ϕ, z 2 = x 2 cosϕ x 3 sin ϕ, z 3 = xsin ϕ + x 3 cosϕ. (2.38) S(ϕ)-ben cos ϕ( 0)-vel végigosztva kapjuk: y 0 x 0 0 y 1 x 0 tgϕ y 2 x 2 + x 3 tgϕ y 3 x 2 tgϕ + x 3 z 0 x 0 0 z 1 x 0 tgϕ z 2 x 2 x 3 tgϕ z 3 x 2 tgϕ + x 3 (2.39) y 1 y 0 = tgϕ helyettesítéssel Így: x 2 = y2 y 3 tgϕ tg 2 ϕ + 1, x3 = y2 tgϕ + y 3 tg 2 ϕ + 1 (2.40) z 0 y 0, z 1 y 1 z 2 (y0 ) 2 y 2 2y 0 y 1 y 3 (y 1 ) 2 y 2 (y 0 ) 2 + (y 1 ) 2, z 3 (y0 ) 2 y 3 + 2y 0 y 1 y 2 (y 1 ) 2 y 3 (y 0 ) 2 + (y 1 ) 2 (2.41) Inhomogén koordinátákkal: f(y 0, y 1, y 2, y 3 ) (z 0, z 1, z 2, z 3 ) (2.42) f : (Y 1, Y 2, Y 3 ) ( Y 1, Y 2 2Y 1 Y 3 (Y 1 ) 2 Y 2 1 + (Y 1 ) 2, Y 3 + 2Y 1 Y 2 (Y 1 ) 2 Y 3 1 + (Y 1 ) 2 ) (2.43) det J(f) < 0, f 2 = 1 (2.44) f fibrumtartó, izometria. Az általános 4 paraméteres irányítástartó izometriákat leíró (2.33) mátrixból [11] az alsó előjelekkel, ω = 0, E 0 = (1, 0, 0, 0) E 0 választással (2.3)-ból coshr cosψ = 1 sinhr cosα = 0 coshr sinψ = 0 sinhr sinα = 0 adódik: 15

1 0 0 0 G = (a j i ) = 0 1 0 0 0 0 1 0 (2.45) 0 0 0 1 mátrix által leírt transzformáció megváltoztatja a fibrumok irányítását. Vetülete H 2 -beli tükrözés (c 0, 0, c 2, 0) fixponthalmazzal, mely a H 2 síkban az E 0 E 2 egyenes. Ezen áthaladó fibrumok halmaza: cosϕ sin ϕ 0 0 (c 0, 0, c 2, 0) sinϕ cosϕ 0 0 0 0 cosϕ sinϕ = 0 0 sin ϕ cosϕ = (c 0 cosϕ, c 0 sinϕ, c 2 cosϕ, c 2 sin ϕ) =: P (2.46) f ugyanúgy hat a P halmazon mint G, tehát f izometria. Isom SL 2 R = f,g (2.47) a (2.43) formula f tükrözésével és a (2.33) képlet G csoportjával van generálva. Visszatérve, létezik tehát olyan izometria amelynek fixsíkja egy a hiperbolikus síkban átmenő egyenesen áthaladó fibrumok halmaza =:P, amely fibrumok tehát egyenként képződnek önmagukra mint egy egyenestükrözés hatásaként. Az általunk bevezetett leképezés minden fibrumot önmagára képez, megfordítva a fibrumok irányítását, a H 2 síkon identikusan hat. Ez a leképezés az előbb említett P vertikális síkon ugyanúgy hat mint a korábbi irányítástartó izometria. Könnyen láthatjuk hogy ez a leképezés megtartja bármely pontpár távolságát. Ugyanis: tetszőleges pontpárt kiválasztva, az meghatároz két fibrumot (ha a két pont egy fibrumon van az állítás triviális), melyek metszik a 0-hiperbolikus síkot, meghatározva egy egyenest. Erre az egyenesre alkalmazzuk a korábbi transzformációt, amely izometria volt tehát megőrzi a távolságot, a mi új transzformációnk is távolságtartó leképezés lesz. Mint már utaltunk rá, az így nyert bővebb csoport szép struktúrával rendelkezik a következők szerint. Létezik p : Isom SL 2 R IsomH 2 projekció, ami homomorfizmus. Következésképpen ennek a homomorfizmusnak a magja, ami most az R valós számegyenes izometriacsoportjával izomorf, normálosztó a teljes izometriacsoportban: ker(p) = Isom(R) Isom( SL 2 R), továbbá létezik ún. komplementuma, mégpedig IsomH 2. Tehát Isom SL 2 R IsomR IsomH 2 16

egy szemidirekt szorzat. Fontos megemlítenünk hogy az újonnan bevezetett f izometria nem lesz projektív kollineáció. Az f láthatóan egy harmadfokú biracionális transzformáció. Amely ráadásul a (y 0, y 1, y 2, y 3 ) (0, 0, u, v) egyenes pontjai kivételével mindenhol reguláris. De az y 0 = 0 ideális sík y 1 0 pontjaira (y 1, y 2, y 3 ) ( y 1, y 2, y 3 ) végül a teljes térre kiterjeszthető homogén koordinátákkal. Szép kérdés, hogy az f, G hogyan jellemezhető (pl. a F.Bachmann-féle tükrözésgeometria szellemében)? 3. Fogalmak, definíciók, összefüggések A három dimenziós euklideszi térben a kristálycsoportok osztályozása, mint már emlitettük, lényegében a XIX. század végére megoldódott. Az analóg probléma napjainkra 4 illetve 5 és 6 dimenzióra is megoldottnak tekinthető, és a módszerek - részben az általános eredmények miatt - elvileg magasabb dimenziókra is kivitelezhetők. Itt a tércsoport vagy kristálycsoport ma már klasszikusnak tekinthető definíciója a következő: Definíció 3.1 Az E n tér Γ tércsoportja a tér izometriáinak egy csoportja, mely csoport elemeivel egy megfelelő kompakt alaptartományra hatva a tér hézagmentes, átfedés nélküli kövezését nyerjük. Már most utalunk rá, hogy itt lényegében az alaphalmazra vonatkozó megkötések jelentik az egyedüli korlátozásokat (vesd össze Def. 3.9-el). Természetesen értelmezhető ezután a Γ csoport Γ 0 pontcsoportja, nevezetesen Definíció 3.2 Az E n tér Γ tércsoportjának Γ 0 pontcsoportja a Γ-ban szereplő transzformációk lineáris részeinek csoportja. Megjegyezzük, hogy ez a Γ 0 csoport nem (feltétlenül) része a Γ tércsoportnak. Mint kiderült, az alaptartomány (egy tartomány mindig tartalmaz belső pontot) korlátossága E n -ben biztositja a Γ 0 végességét, és egy n-dimenziós L Γ rács létezését. Ezen klasszikus definíciók és eredmények motiválják elsősorban a későbbi fogalomalkotásainkat. Ehhez a 2 fejezetben szereplő {B}-t a Π alapsíkon ható transzformációk halmazának elemeit π = E 2 esetén tovább bontjuk, és a B := (B l, B t ) alakba írjuk, ahol B l a B transzformáció lineáris része, B t -vel pedig a B ún. eltolási részét jelöljük. Megjegyezzük, hogy az S 2, H 2 síkok esetében {B} = {B l } mindig fennáll [4],[11], ellentétben E 2 -vel. Ekkor tehát az E 2 R transzformációi a következő alakba irhatók B (b, τ) (B l, B t ) (b, τ) ({B l b}, {B t, τ}) (3.1) Ezután a következő definíciót adjuk: Definíció 3.3 A (3.1) szerinti {B l b} halmazt a Π R tér Γ csoportjához 17

tartozó lineáris részek csoportjának nevezzük és Γ 0 -al jelöljük. Ha most az E n -ben adott 3.1 és 3.2 definíciókat tekintenénk a Π R térbeli megfelelő csoportok definíciójának, akkor láthatjuk, hogy ezen defíniciók szerint E 2 R-ben a Γ tércsoportok Γ 0 pontcsoportjainak a végessége természetesen adódik, nevezetesen a Schönflies-Bieberbach tétel szerint. H 2 R-ben ez nyilván nem teljesülhet, mivel I Isom(H 2 ) Γ-ra I Γ 0 teljesül a 3.2 definició értelmében. De mint látni fogjuk 3.10-ben, S 2 R-ben sem következik az alaptartomány kompaktságából a Γ 0 végessége. Emiatt további feltétellel bővitjük az E n -beli tércsoportok 3.1-es definícióját, így jutva el a Π R-beli tércsoportok definíciójához. Nevezetesen megköveteljük egy L R Γ -el jelölt R-irányú (egy dimenziós) rács létezését. Definíció 3.4 L R Γ (τ) := {kτ : (X, x) (X, x + kτ) X Π; x R k Z}, (3.2) ahol τ a legkisebb ilyen pozitív eltolás, melyet rögzitünk, lesz a Π R tér Γ csoportjához tartozó R irányú rács értelmezése, ha létezik ilyen τ. Ha nem létezik, akkor L R Γ az identikus leképezésből áll. Most tehát definiáljuk általánosan a Π R tér Γ tércsoportját a következő módon: Definíció 3.5 A Γ csoport a Π R tércsoportja, ha g Γ-ra g Isom(Π R) teljesül, valamint létezik olyan F Γ -val jelölt kompakt alaptartomány, amelyre Γ-val hatva a tér hézagmentes, átfedés nélküli kövezését nyerjük, úgy, hogy létezik a fenti 3.4-es definicióban szereplő L R Γ Γ, mely egy R irányú rács. Továbbá megadjuk a fenti Γ tércsoport pontcsoportjának a definícióját: Definíció 3.6 A Γ tércsoport 3.3-as definició szerinti, lineáris részek által meghatározott Γ 0 csoportját nevezzük a Γ pontcsoportjának. Fontos továbbá a Γ tércsoportban az L Γ maximáli rács fogalmának a bevezetése, amely az S 2 R,H 2 R terekben egyenértékű lesz a 3.4-es definícióban megadott R irányú L R Γ ráccsal, E2 R-ben viszont L Γ egy 3 dimenziós rács lesz. Fontos viszont kiemelni, hogy ez az E 2 R-beli maximális rács nem irható fel általában direkt szorzat alakban. Ugyanis az E 2 -beli rácsot generáló eltolásokhoz tartozhatnak R-beli eltolási részek, mivel a lehetséges (most L R Γ -beli) eltolási komponenseket a Π-beli síkcsoport generátor elemeihez fogjuk hozzá rendelni (Tétel 4.1, ahogy majd látni fogjuk), tehát (E 2 R-ben) nem a Γ 0 pontcsoport generátoraihoz. Állítás 3.7 A Γ 0 pontcsoport a Γ tércsoport homomorf képe, mely homomorfizmus magja a Γ 0 egységelemére képeződő Γ-beli L Γ rács elemei, és így Γ 0 = Γ/LΓ =: Γ (3.3) a homomorfizmus tétel szerinti izomorfizmus áll fenn. Megadhatjuk tehát a Γ 0 pontcsoport egy másik a 3.6-ban megadottal ekvivalens definicióját. Definíció 3.8 A Γ/L Γ = Γ faktorcsoportot a Γ csoport pontcsoportjának nevezzük, melynek elemei tehát Γ-nak az L Γ invariáns kommutatív részcsoportja 18

szerinti mellékosztályai. Igy a Γ( = Γ 0 ) reprezentáns elemei már Γ-hoz tartoznak, ezek halmazát Γ 0 ( Γ) jelöli. Feltehetjük, hogy Γ 0 -ban az R-beli τ i eltoláskomponenseket minimálisan választjuk: 0 τ i < τ, ahol τ =: L R Γ. Most a minél általánosabb megközelítés - illetve, mint látni fogjuk a későbbi 3.10-3.11 állítások miatt - bevezetjük teljes általánosságban egy T Thurston-féle téren F fundamentális halmazzal tranzitívan ható Γ csoportot. Definíció 3.9 A Γ csoport a T (Thurston-féle) téren F Γ fundamentális halmazzal tranzitívan ható csoportja g Γ-ra g Isom(T) és létezik olyan F Γ =: F halmaz, hogy F Γ := {F g g Γ} a T tér egyrétű, átfedés nélküli kövezéséhez vezet. Ez a definíció mind a 8 Thurston-féle geometria esetén egy minimális követelményt támaszt, és látjuk, hogy itt a 3.1-es definícióval ellentétben nincs kikötve pl. az F-re vonatkozó semmilyen feltétel sem, igy például a teljes izometriacsoport is - a tér egyetlen pontjával, mint alaphalmazzal - eleget tesz a fenti követelményeknek. A fent megadott definiciók és fogalmak bevezetése után természetesen vetődik fel a feltételek közötti összefüggések tisztázásának a kérdése, melyeket S 2 R-ben az alábbi állítás formájában fogalmazunk meg. Állítás 3.10 Ha Γ az S 2 R tér fenti 3.9-es definicióban megadott csoportja, akkor az alábbi három állítás közül bármely kettőből következik a harmadik: 1. Γ 0 <, azaz a pontcsoport véges. 2. L R Γ Γ, tehát létezik R-irányú rács Γ-ban. 3. F korlátos, nem üres belsejű Γ-alaphalmaz S 2 R-ben. Bizonyítás: 1.+2. 3. Tekintsük az S 2 R/L R Γ (τ) := H := S2 [0, τ], 0 < τ R gömbhéjat. Ez korlátos tartomány S 2 R-ben, és feltehetjük, hogy F e H teljesül, ahol e a Γ 0 pontcsoport identitása. Szükségképpen F Γ 0 := {F g g Γ 0 } H := S 2 [ 2τ, 2τ] teljesül, ahol H szintén korlátos, következésképpen F is korlátos kell legyen. Mivel Int(H) nem üres, és Γ 0 < ezért Int(F) is kell tartalmazzon pontot. 2.+3. 1. Képezzük ismét az S 2 R/L R Γ = H gömbhéjat, mely tartalmazza F-et. Mivel F tartalmaz belső pontot, és F Γ0 H := S 2 [ 2τ, 2τ], ezért Γ 0 = Γ 0 < teljesül. 3.+1. 2. Mivel most a feltétel szerint F korlátos és Γ 0 elemszáma véges, következésképp a csoportban szereplő elemekben az R-komponensekben fellépnek R-irányú eltolási részek. A Γ csoport elemeit irhatjuk a (g i, τ i ) alakba, ahol τ i jelöli a g i transzformációhoz tartozó R-beli eltolási részt. Igy (2.2) alapján (g i, τ i )(g j, τ j ) = (g i g j, τ i + τ j ), illetve (g i, τ i )(g j, τ j ) = (g i g j, τ j τ i ) teljesül, ha g j -ben fellép az R-beli ponttükrözés. Mivel most Γ 0 véges, így minden elemének rendje véges, 19

a fenti szorzási szabály alapján a Γ 0 definiáló relációit kielégítve meghatározhatók a Γ 0 identitásához tartozó R-beli eltolási részek. Ezek után τ legyen a Γ 0 identitásához tartozó legrövidebb nem zérus eltolási rész. Ezt a τ által generált L R Γ rácsot minden g i Γ elem invariánsan hagyja. Állítás 3.11 A fenti 1,2,3, feltételek egyikéből sem következik a másik kettő valamelyike. Bizonyítás Példákat adunk, amelyekben a fenti 1,2,3, feltételek közül rendre egy teljesül a másik kettő viszont nem. 1. Legyen Γ 0 < méghozzá Γ 0 := C q <Isom(S 2 ) forgatásokból álló ciklikus csoport, ekkor létezik a fenti általános definíció értelmében vett (+, 0; [q]; {}) 1 R tipusú csoport, ahol nem létezik R-irányú rács, illetve F := D R nem korlátos alaptartomány lesz, ahol D legyen a gömbi pólusoknál 2π q szögekkel rendelkező gömbi kétszög, mint a C q gömbi csoport egy fundamentális tartománya. 2. Létezzen most egy L a = L R Γ Γ rács (0 < a R). Legyen gömbi földrajzi koordinátákban F := {(ϕ, ϑ, y) ϕ ε (mod 2π), ϑ [ π 2, π 2 ], y = z} fundamentális halmaz - Int(F) = { }) -; ahol ε, z rögzített értékek (ez egy gömbi főkör fele lesz az (., z) = S 2 szinten). Legyen továbbá Γ := {P ϕ,y : (ϕ, ϑ, y) (ϕ + ϕ, ϑ, y + y) ϕ R (mod 2π); y R}, azaz Γ folytonos kétparaméteres csoport( Γ 0 = ). A fenti Γ tartalmazhat bármely L a := {ka k Z, 0 < a R} rácsot, és S 2 R-beli kitöltést kapunk a 3.9-es általános definíciónk értelmében. Látható továbbá, hogy F nem tartalmaz belső pontot, valamint mivel a Γ 0 pontcsoport a Γ azon P ϕ,y elemeiből áll, amelyekben 0 y a teljesül, igy ez is végtelen elemű lesz. 3. Legyen most F korlátos S 2 R-ben, nevezetesen F := S 2 [0, a] (Int(F) { }). A csavarmozgással generált Γ := s, s : (ϕ, ϑ, y) (ϕ + α, ϑ, y + a) csoport végtelen elemű lesz, ha α 2π irracionális szám, Γ 0 is végtelen rendű, továbbá nem létezik (triviálistól különböző) rács. Megjegyzések A fentiekkel ellentétben, könnyű látni, hogy az E 2 R térben a harmadik feltétel - nevezetesen az alaptartomány (mely tartalmaz belső pontot) korlátossága maga után vonja a többi feltétel teljesülését, nevezetesen a Schönflies-Bieberbach tétel biztosítja ezt. Kiemeljük továbbá, hogy ehhez hasonlóan a H 2 R térben az F Γ alaptartomány kompaktsága garantálja az L R Γ rács létezését, ugyanis: Állítás 3.12(Thurston [15])A Γ Isom(H 2 R) a H 2 R tér diszkrét csoportja kovéges p(γ) diszkrét kovéges, és Ker(p) =. Itt p a már korábban bevezetett a fibrumok szerinti vetítéssel értelmezett projekció az alapsíkra; illetve az X tér (most pl. X a nyolc homogén geometria egyike) Γ Isom(X) csoportjának kovégessége illetve kokompaktsága azt jelenti, hogy az X/Γ faktorhalmaz (pályatér) véges mértékű(térfogatú) illetve kompakt. Elsőként jegyezzük meg, hogy kovéges csoportok helyett kokompakt csoportokra is igaz az állítás, hiszen a H 2 R/Γ nem kompakt véges térfogatú, akkor 20

és csak akkor ha a H 2 /p(γ) is ilyen tulajdonságú. (Megjegyezzük, hogy a 8 geometria közül a három hiperbolikus geometriában : H 3,H 2 R, SL 2 R léteznek csak kovéges de nem kokompakt csoportok.) Vegyük észre továbbá, hogy a Γ diszkrétsége és kokompaktsága ekvivalens az F Γ kompakt alaptartomány létezésével. Valamint, hogy a Ker(p) = feltétel egyenértékű az L R Γ rács létezésével. Összegzésként tehát elmondhatjuk, hogy a 3.5-ös definícióban megkívánt L R Γ rács létezése csak az S 2 R térben jelent valódi többletfeltételt. 4. A tércsoportok osztályozása a szorzatterekben Az S 2 R térben használt módszer analógiájára először bebizonyitjuk a következő általánosabb tételt. Tétel 4.1(S 2 R,H 2 R,E 2 R tércsoportjainak jellemzése) Ha Γ a fenti 3.5-ös definíció értelmében vett tércsoport az előbbi Π R Thurston terekben, akkor Γ/L R Γ az alábbi három tipus (osztály) valamelyikébe sorolható: I. Tipus G 1 R II. Tipus G 1 R III. Tipus G G := (G 1 R ) ([(G \ G) 1 R ], ahol G 2-indexű részcsoport G -ben. Most is G := (±, g; [m 1, m 2,..., m r ]{(n 11,..., n 1s1 ),..., (n k1,..., n ksk )}) Π-beli kompakt alaptartományú csoport (1.2) szerint. Bizonyítás: Képezzük először a Γ/L R Γ R-komponensét a ΓR 0 véges csoportot. Ekkor Γ R 0 = 1 R vagy Γ R 0 = 1 R teljesül. Ezek után három eset lehetséges: ha Γ R 0 = 1 R teljesül, akkor nyilván Γ/L R Γ I tipus. Ha ΓR 0 = 1 R 2 elemű csoport, azaz 1 R is fellép, akkor mivel 1 R kommutál bármely Π-beli transzformációval, igy a Γ/L R Γ 1 R-komponensű elemei 2 indexű normális részcsoportot alkotnak, ezért Γ/L R Γ II Tipus vagy III Tipus; és több lehetőség nincsen. A fenti tétel megadja tehát számunkra az osztályozás stratégiáját, ahogy azt majd S 2 R-ben látni fogjuk: a Π-beli csoportok szignatúrája szerint haladva vizsgáljuk meg sorban az I-III tipusoknál adódó szóbajövő megoldásokat. Az I-II tipusnál majd a Γ prezentálása természetesen adódik (1.2) alapján. A III tipusú csoportok meghatározása az S 2 R térben - a csoportosztályok végessége illetve a csoportok végessége miatt - viszonylag könnyen adódik. Ehhez (általában Π R-ben) szükséges feltétel, hogy a kissebbik csoport alaptartományának a kombinatorikus mértéke kétszerese legyen a nagyobbik csoporténak. 4.1. Az S 2 R tércsoportjainak az osztályozása Ebben a fejezetben megadjuk a tércsoportok ekvivariancia osztályainak teljes listáját a 2.Táblázatban.A táblázat soraiban elsőként az alapsíkbeli vetület síkcsoportjának Macbeath szignatúráját (ld. 1.Táblázat) tüntettük fel, majd a 21

tércsoport pontcsoportja generátorokkal és definiáló relációkkal, és végül a tércsoportosztályok szimbólumai következnek a pontcsoport generátoraihoz tartozó eltolási részekkel feltüntetve, itt lexikografikus rendezést követtünk. 2.Táblázat 1q.I (+, 0; [q, q]; {}), q 1 Γ 0 = (g 1 g q 1 ), g 1 S 2 2 1q.I.1(0); 1q.I.2( k q ) k := 1... q 2 ( q 2 alsó egészrész) Γ fixpont mentes ha (k, q) = 1 (legnagyobb közös osztó), ekkor (S 2 R)/Γ irányítható kompakt sokaság (térforma), q = 1, k = 0 esetén. 1q.II (+, 0; [ q, q]; {}), q 1 Γ 0 = (g 1, g g q 1, g2, (g1 1 gg 1g)), g 1 S 2 2, g R 1 1q.II.1(0, 0); if q páros 1qe.II.2( 1 2, 0) 1qe.III (+, 0; [q, q]; {}) (+, 0; [ q 2, q 2 ]{}), q 2 Γ 0 = (g 1, g 2 g q 2 1, g 2 g 2 g 1 1 ), g 1 S 2 2, g 2 S2 2 R 1 1qe.III.1(0, 0) 2q.I (+, 0; [ ]{(q, q)}), q 2 Γ 0 = (g 1, g 2 g 2 1, g 2 2, (g 1 g 2 ) q ), g 1, g 2 S 2 1 2q.I.1(0, 0); 2q.I.2( 1 2, 1 2 ); 2qe.I.3(0, 1 2 ) 2q.II (+, 0; [ ]{(q, q)}), q 2 Γ 0 = (g 1, g 2, g g 2 1, g2 2, g2, (g 1 g 2 ) q, (g 1 g) 2, (g 2 g) 2 ), g 1, g 2 S 2 1, g R 1 2q.II.1(0, 0, 0); 2q.II.2( 1 2, 1 2, 0); 2qe.II.3(0, 1 2, 0) 2q.III.a (+, 0; [ ]; {(q, q)}) (+, 0; [q, q]; {}), q 2 Γ 0 = (g 1, g 2 g 2 1, gq 2, (g 2g 1 ) 2 ), g 1 S 2 1 R 1, g 2 S 2 2 2q.III.a.1(0, 0); 2q.III.a.2(0, k q ), k := 1... q 2 2qe.III.b (+, 0; [ ]{(q, q)}) (+, 0; []; {( q 2, q 2 )}), q 2 Γ 0 = (g 1, g 2 g 2 1, g2 2, (g 2g 1 g 2 g 1 ) q 2 ), g 1 S 2 1 R 1, g 2 S 2 1 2qe.III.b.1(0, 0); 2qe.III.b.2(0, 1 2 ) 3q.I (+, 0; [2, 2, q]; {}), q 2 Γ 0 = (g 1, g 2 g 2 1, g 2 2, (g 1 g 2 ) q ), g 1, g 2 S 2 2 3q.I.1(0, 0); 3q.I.2( 1 2, 1 2 ); 3qe.I.3(0, 1 2 ) 3q.II (+, 0; [2, 2, q]; {}), q 2 Γ 0 = (g 1, g 2, g g 2 1, g2 2, g2, (g 1 g 2 ) q, (g 1 g) 2, (g 2 g) 2 ), g 1, g 2 S 2 2, g R 1 3q.II.1(0, 0, 0); 3q.II.2( 1 2, 1 2, 0); 3qe.II.3(0, 1 2, 0) 3q.III.a (+, 0; [2, 2, q]; {}) (+, 0; [q, q]; {}), q 2 Γ 0 = (g 1, g 2 g q 1, g2 2, (g 1g 2 ) 2 ), g 1 S 2 2, g 2 S 2 2 R 1 3q.III.a.1(0, 0); 3q.III.a.2( k q, 0), k := 1... q 2 3qe.III.b (+, 0; [2, 2, q]; {}) (+, 0; [2, 2, q 2 ]; {}), q 2 Γ 0 = (g 1, g 2 g 2 1, g2 2, (g 1g 2 g 1 g 2 ) q 2 ), g 1 S 2 2, g 2 S2 2 R 1 3qe.III.b.1(0, 0); 3qe.III.b.2( 1 2, 0) 4q.I (+, 0; []; {(2, 2, q)}), q 2 Γ 0 = (g 1, g 2, g 3 g1, 2 g2, 2 g3 (g 2 1 g 3 ) 2, (g 2 g 3 ) 2, (g 1 g 2 ) q ), g 1, g 2, g 3 S 2 1 4q.I.1(0, 0, 0); 4q.I.2(0, 0, 1 2 ); 4q.I.3(1 2, 1 2, 0); 4q.I.4(1 2, 1 2, 1 2 ); 4qe.I.5(0, 1 2, 0); 4qe.I.6(0, 1 2, 1 2 ) 4q.II (+, 0; []; {(2, 2, q)}), q 2 Γ 0 = (g 1, g 2, g 3, g g1, 2 g2, 2 g3, 2 g 2, (g 1 g 3 ) 2, (g 2 g 3 ) 2, (g 1 g 2 ) q, (g 1 g) 2, (g 2, g) 2, (g 3 g) 2 ), g 1, g 2, g 3 S 2 1, g R 1 4q.II.1(0, 0, 0, 0); 4q.II.2(0, 0, 1 2, 0);4q.II.3(1 2, 1 2, 0, 0); 4q.II.4(1 2, 1 2, 1 2, 0); 4qe.II.5(0, 1 2, 0, 0); 4qe.II.6(0, 1 2, 1 2, 0) 4q.III.a (+, 0; []; {(2, 2, q)}) (+, 0; []; {(q, q)}), q 2 Γ 0 = (g 1, g 2, g 3 g1, 2 g2, 2 g 2 3, (g 1 g 2 ) q, (g 1 g 3 ) 2, (g 2 g 3 ) 2 ), g 1, g 2 S 2 1, g 3 S 2 1R 1 4q.III.a.1(0, 0, 0); 4q.III.a.2( 1 2, 1 2, 0); 4qe.III.a.3(0, 1 2, 0) 22

4q.III.b (+, 0; []; {(2, 2, q)}) (+, 0; [2, 2, q]; {}), q 2 Γ 0 = (g 1, g 2, g 3 g1, 2 g2, 2 g 2 3, (g 1 g 2 ) q, (g 1 g 3 ) 2, (g 2 g 3 ) 2 ), g 1, g 2 S 2 2, g 3 S 2 1R 1 4q.III.b.1(0, 0, 0); 4q.III.b.2( 1 2, 1 2, 0); 4qe.III.b.3(0, 1 2, 0) 4q.III.c (+, 0; []; {(2, 2, q)}) (+, 0; [q]; {(1)}), q 2 Γ 0 = (g 1, g 2, g 3 g1, 2 g q 2, g2 3, g 1 g 2 g 1 g2 1, (g 1g 3 ) 2, (g 2 g 3 ) 2 ), g 1 S 2 1, g 2 S 2 2, g 3 S 2 1R 1 4q.III.c.1(0, 0, 0); 4q.III.c.2(0, k q, 0) k := 1... q 2 ; 4q.III.c.3(1 2, 0, 0); 4q.III.c.4(1 2, k q, 0), k := 1... q 2 4qe.III.d (+, 0; []; {(2, 2, q)}) (+, 0; []; {(2, 2, q 2 )}), q 2 Γ 0 = (g 1, g 2, g 3 g1 2, g2 2, g2 3, (g 1g 2 ) 2, (g 1 g 3 ) 2, (g 2 g 3 g 2 g 3 ) q 2 ), g 1, g 2 S 2 1, g 3 S 2 1 R 1 4qe.III.d.1(0, 0, 0), 4qe.III.d.2(0, 1 2, 0); 4qe.III.d.3(1 2, 0, 0); 4qe.III.d.4(1, 1 2, 0) 4qe.III.e (+, 0; []; {(2, 2, q)}) (+, 0; [2]; {( q 2 )}), q 2 Γ 0 = (g 1, g 2, g 3 g1 2, g2 2, g2 3, (g 1g 2 ) q 2, (g 1 g 3 ) 2, (g 2 g 3 ) 2 ), g 1 S 2 1, g 2 S 2 2, g 3 S 2 1 R 1 4qe.III.e.1(0, 0, 0); 4qe.III.e.2( 1 2, 1 2, 0); ha q osztható néggyel 4qf.III.e.3(0, 1 2, 0);4qf.III.e.4(1 2, 0, 0). 5q.I (+, 0; [q]; {(1)}), q 1 Γ 0 = (g 1, g 2 g1 2, gq 2, (g 1g 2 g 1 g2 1 ), g 1 S 2 1, g 2 S 2 2 5q.I.1(0, 0); 5q.I.2(0, k q ), k := 1... q 2 ; 5q.I.3(1 2, 0); 5q.I.4(1 2, k q ), k := 1,..., q 2 Ez a Γ fixpontmentesen hat a téren akkor és csak akkor ha (k, q) = 1, ekkor S 2 R/Γ nem-irányítható kompakt sokaság (térforma). 5q.II (+, 0; [q]; {(1)}), q 1 Γ 0 = (g 1, g 2, g g1 2, gq 2, g2, (g 1 g 2 g 1 g2 1 ), (g 1g) 2, (g 2 gg2 1 g)), g 1 S 2 1, g 2 S 2 2, g R 1 5q.II.1(0, 0, 0); 5q.II.2( 1 2, 0, 0); 5qe.II.3(0, 1 2, 0); 5qe.II.4(1 2, 1 2, 0) 5q.III.a (+, 0; [q]; {(1)}) (+, 0; [q]; {}), q 1 Γ 0 = (g 1, g 2 g q 1, g2 2, (g 1g 2 g1 1 g 2)), g 1 S 2 2, g 2 S 2 1R 1 5q.III.a.1(0, 0); 5qe.III.a.2( 1 2, 0) 5qe.III.b (+, 0; [q]; {(1)}) (+, 0; [ q 2 ]; {(1)}), q 2 Γ 0 = (g 1, g 2 g1 2, (g 2g 2 ) q 2, (g2 1 g 1g 2 g 1 )), g 1 S 2 1, g 2 S 2 2R 1 5qe.III.b.1(0, 0); 5qe.III.b.2( 1 2, 0) 5qe.III.c (+, 0; [q]; {(1)}) (, 1; [ q 2 ]; {}), q 2 Γ 0 = (g 1, g 2 (g 1 g 1 ) q 2, g 2 2, (g 2 g1 1 g 2 g 1)), g 1 S 2 3, g 2 S2 1 R 1 5qe.III.c.1(0, 0); 5qe.III.c.2( 1 2, 0) 6q.I (+, 0; [2]; {(q)}), q 2 Γ 0 = (g 1, g 2 g1, 2 g2, 2 (g 1 g 2 g 1 g 2 ) q ), g 1 S 2 1, g 2 S 2 2 6q.I.1(0, 0); 6q.I.2(0, 1 2 ); 6q.I.3(1 2, 0); 6q.I.4(1 2, 1 2 ) 6q.II (+, 0; [2]; {(q)}), q 2 Γ 0 = (g 1, g 2, g g1 2, g2 2, g2, (g 1 g 2 g 1 g 2 ) q, (g 1 g) 2, (g 2 g) 2 ), g 1 S 2 1, g 2 S 2 2, g R 1 6q.II.1(0, 0, 0); 6q.II.2(0, 1 2, 0); 6q.II.3(1 2, 0, 0); 6q.II.4( 1 2, 1 2, 0) 6q.III.a (+, 0; [2]; {(q)}) (+, 0; []; {(q, q)}), q 2 Γ 0 = (g 1, g 2 g1 2, g2 2, (g 1 g 2 g 1 g 2 ) q ), g 1 S 2 1, g 2 S 2 2R 1 6q.III.a.1(0, 0); 6q.III.a.2( 1 2, 0) 6q.III.b (+, 0; [2]; {(q)}) (+, 0; [2, 2, q]; {}), q 2 Γ 0 = (g 1, g 2 g1 2, g2 2, (g 1 g 2 g 1 g 2 ) q ), g 1 S 2 2, g 2 S 2 1R 1 6q.III.b.1(0, 0); 6q.III.b.2( 1 2, 0) 6q.III.c (+, 0; [2]; {(q)}) (, 1; [q]; {}), q 2 Γ 0 = (g 1, g 2 (g 1 g 1 ) q, g 2 2, (g 1 g 2 ) 2 ), g 1 S 2 3, g 2 S 2 1 R 1 6q.III.c.1(0, 0); 6q.III.c.2( k 2q, 0), k := 1... q 2 7q.I (, 0; [q]; {}), q 1 Γ 0 = (g 1 (g 1 g 1 ) q ), g 1 S 2 3 7q.I.1(0);7q.I.2(1 2 ); 7q.I.3( k 2q ), q 2, k := 1...q 1. Γ fixpontmentesen hat akkor és csak akkor ha 23

(k, q) = 1, tehát q = 1, k = 0 and k = 1 esetén, ekkor S 2 R/Γ nem-irányítható kompakt sokaság. 7q.II (, 0; [q]; {}), q 1 Γ 0 = (g 1, g (g 1 g 1 ) q, g 2, (g 1 gg1 1 g 2 )), g 1 S 2 3, g R 1 7q.II.1(0, 0); 7q.II.2( 1 2, 0) 7q.III (, 0; [q]; {}) (+, 0; [q]; {}), q 1 Γ 0 = (g 1, g 2 g q 1, (g 2g 2 g1 1 ), g 1 S 2 2, g 2 S2 3 R 1 7q.III.1(0, 0) Γ fixpontmentes akkor és csak akkor ha q = 1. Ekkor S 2 R/Γ irányítható kompakt sokaság. 8.I (+, 0; [2, 3, 3]; {}) Γ 0 = (g 1, g 2 g1 2, g3 2, (g 1g 2 ) 3 ), g 1, g 2 S 2 2 8.I.1(0, 0); 8.I.2(0, 1 3 ) 8.II (+, 0; [2, 3, 3]; {}) Γ 0 = (g 1, g 2, g g1, 2 g2, 3 (g 1 g 2 ) 3, g 2, (g 1 gg 1 g), (g 2 gg2 1 g 1, g 2 S 2 2, g R 1 8.II.1(0, 0, 0) 9.I (+, 0; [2, 3, 4]; {}) Γ 0 = (g 1, g 2 g1, 2 g2, 3 (g 1 g 2 ) 4 ), g 1, g 2 S 2 2 9.I.1(0, 0); 9.I.2( 1 2, 0) 9.II (+, 0; [2, 3, 4]; {}) Γ 0 = (g 1, g 2, g g1 2, g3 2, (g 1g 2 ) 4, g 2, (g 1 gg1 1 2gg2 1 g 1, g 2 S 2 2, g R 1 9.II.1(0, 0, 0); 9.II.2( 1 2, 0, 0) 9.III (+, 0; [2, 3, 4]; {}) (+, 0; [2, 3, 3]; {}) Γ 0 = (g 1, g 2, g 3, g1 2, g3 2, (g 1g 2 ) 3, g 4 3, (g 1 g 2 3), (g 2 g 3 ) 2 ), g 1, g 2 S 2 2, g 3 S 2 2 R 1 9.III.1(0, 0, 0); 9.III.2(0, 1 3, 0) 10.I (+, 0; [2, 3, 5]; {}) Γ 0 = (g 1, g 2 g1 2, g3 2, (g 1g 2 ) 5 ), g 1, g 2 S 2 2 10.I.1(0, 0) 10.II (+, 0; [2, 3, 5]; {}) Γ 0 = (g 1, g 2, g g1 2, g3 2, (g 1g 2 ) 5, g 2, (g 1 gg 1 g), (g 2 gg2 1 g 1, g 2 S 2 2, g R 1 10.II.1(0, 0, 0) 11.I (+, 0; []; {(2, 3, 3)}) Γ 0 = (g 1, g 2, g 3 g 2 1, g2 2, g2 3, (g 1g 2 ) 2, (g 1 g 3 ) 3, (g 2 g 3 ) 3 ), g 1, g 2, g 3 S 2 1 11.I.1(0, 0, 0); 11.I.2( 1 2, 1 2, 1 2 ) 11.II (+, 0; []; {(2, 3, 3)}) Γ 0 = (g 1, g 2, g 3, g g 2 1, g 2 2, g 2 3, (g 1 g 2 ) 2, (g 1 g 3 ) 3, (g 2 g 3 ) 3, g 2, (g 1 g) 2, (g 2 g) 2, (g 3 g) 2 ), g 1, g 2, g 3 S 2 1, g R 1 11.II.1(0, 0, 0, 0); 11.II.2( 1 2, 1 2, 1 2, 0) 11.III (+, 0; []; {(2, 3, 3)}) (+, 0; [2, 3, 3]; {}) Γ 0 = (g 1, g 2, g 3 g 2 1, g3 2, (g 1g 2 ) 3, g 2 3, (g 1 g 3 ) 2, (g 2 g 3 ) 2 ), g 1, g 2 S 2 2, g 3 S 2 1R 1 11.III.1(0, 0, 0), 11.III.2(0, 1 3, 0) 12.I (+, 0; []; {(2, 3, 4)}) Γ 0 = (g 1, g 2, g 3 g1, 2 g2, 2 g3, 2 (g 1 g 2 ) 2, (g 1 g 3 ) 3, (g 2 g 3 ) 4 ), g 1, g 2, g 3 S 2 1 12.I.1(0, 0, 0); 12.I.2(0, 1 2, 0); 12.I.3(1 2, 0, 1 2 ); 12.I.4(1 2, 1 2, 1 2 ) 12.II (+, 0; []; {(2, 3, 4)}) Γ 0 = (g 1, g 2, g 3, g g1 2, g2 2, g2 3, (g 1g 2 ) 2, (g 1 g 3 ) 3, (g 2 g 3 ) 4, g 2, (g 1 g) 2, (g 2 g) 2, (g 3 g) 2 ), g 1, g 2, g 3 S 2 1, g R 1 12.II.1(0, 0, 0, 0); 12.II.2(0, 1 2, 0, 0); 12.II.3( 1 2, 0, 1 2, 0);12.II.4(1 2, 1 2, 1 2, 0) 12.III.a (+, 0; []; {(2, 3, 4)}) (+, 0 : [2, 3, 4]; {}) Γ 0 = (g 1, g 2, g 3 g1, 2 g2, 3 (g 1 g 2 ) 4, g 2 3, (g 1g 3 g 1 g 3 ), (g 2 g 3 g 2 g 3 )), g 1, g 2 S 2 2, g 3 S2 1 R 1 12.III.a.1(0, 0, 0); 12.III.a.2( 1 2, 0, 0, 0) 12.III.b (+, 0; []; {(2, 3, 4)}) (+, 0; []; {(2, 3, 3)}) Γ 0 = (g 1, g 2, g 3 g1 2, g2 2, (g 1g 2 ) 3, g 2 3, (g 1 g 3 ) 2, (g 2 g 3 ) 4 ), g 1, g 2 S 2 1, g 3 S 2 1 R 1 12.III.b.1(0, 0, 0); 12.III.b.2( 1 2, 1 2, 0) 24

t g g 1 t -1-1 1 5. Ábra Egy lehetséges fundamentális tartomány (Schlegel diagramja) a következő prezentációval: Γ 1q.I.1 = (g 1,t g q 1,g 1tg1 1 t 1 ) Itt a τ = t : f t 1 f t eltolás, és a g 1 = g 1 : f g 1 f g1 forgatás lesznek a generátorok. Később az f 1 szimbólunot elhagyjuk, ahogy az ábrákon is látható lesz. 12.III.c (+, 0; []; {(2, 3, 4)}) (+, 0 : [3]; {(2)}) Γ 0 = (g 1, g 2, g 3 g 2 1, g3 2, (g 1g 1 2 g 1g 2 ) 2, g 2 3, (g 1 g 3 ) 2, (g 2 g 3 ) 2 ), g 1 S 2 1, g 2 S 2 2, g 3 S 2 1R 1 12.III.c.1(0, 0, 0); 12.III.c.2(0, 1 3, 0);12.III.c.3(1 2, 0, 0);12.III.c.4(1 2, 1 3, 0) 13.I (+, 0; []; {(2, 3, 5)}) Γ 0 = (g 1, g 2, g 3 g 2 1, g2 2, g2 3, (g 1g 2 ) 2, (g 1 g 3 ) 3, (g 2 g 3 ) 5 ), g 1, g 2, g 3 S 2 1 13.I.1(0, 0, 0); 13.I.2( 1 2, 1 2, 1 2 ) 13.II (+, 0; []; {(2, 3, 5)}) Γ 0 = (g 1, g 2, g 3, g g 2 1, g 2 2, g 2 3, (g 1 g 2 ) 2, (g 1 g 3 ) 3, (g 2 g 3 ) 5, g 2, (g 1 g) 2, (g 2 g) 2, (g 3 g) 2 ), g 1, g 2, g 3 S 2 1, g R 1 13.II.1(0, 0, 0, 0); 13.II.2( 1 2, 1 2, 1 2, 0) 13.III (+, 0; []; {2, 3, 5}) (+, 0; [2, 3, 5]; {}) Γ 0 = (g 1, g 2, g 3 g 2 1, g3 2, (g 1g 2 ) 5, g 2 3, (g 1 g 3 ) 2, (g 2 g 3 ) 2 ), g 1, g 2 S 2 2, g 3 S 2 1R 1 13.III.1(0, 0, 0) 14.I (+, 0; [3]; {(2)}) Γ 0 = (g 1, g 2 g1 2, g3 2, (g 2g 1 g2 1 g 1) 2 ), g 1 S 2 1, g 2 S 2 2 14.I.1(0, 0);14.I.2(0, 1 3 ); 14.I.3(1 2, 0); 14.I.4(1 2, 1 3 ) 14.II (+, 0; [3]; {(2)}) Γ 0 = (g 1, g 2, g g1 2, g3 2, (g 2g 1 g2 1 g 1) 2, g 2, (g 1 g) 2, (g 2 gg2 1 g)), g 1 S 2 1, g 2 S 2 2, g R 1 14.II.1(0, 0, 0); 14.II.2( 1 2, 0, 0) 14.III (+, 0; [3]; {(2)}) (+, 0; [2, 3, 3]; {}) Γ 0 = (g 1, g 2, g 3 g1, 3 g2, 3 (g 1 g 2 ) 2, g 2 3, (g 1 g 3 g 2 g 3 ), (g 1 g 2 g 3 ) 2 ), g 1, g 2 S 2 2, g 3 S2 1 R 1 14.III.1(0, 0, 0) Most illusztrációként bemutatjuk mindhárom pontcsoportosztályba tartozó egy-egy tércsoportosztály lehetséges alaptartományát a hozzá tartozó prezentációval. Elsőként a gömbi q-ad rendü forgáscsoportból származtatott I-es tipusbeli tércsoportosztályt mutatjuk be. Itt a triviális esetet illusztráltuk tehát amikor a gömbi forgatáshoz tartozó R-beli törteltolási rész zérus. A következő ábrán a (+, 0, [], {(2, 2, q)}) Macbeath szignatúrához tartozó IIes osztálybeli csoportszériát ábrázoltuk amikor a gömbi tükrözés generátorokhoz tartozó R eltolási rész 1 2. Végül a 7.ábrán a (+, 0, [q]{(1)}) szignatúrához tartozó III tipusbeli megoldást kivánunk szemléltetni. (Itt a q szám páros.) 25