Kristálycsoportok homogén geometriákban

Átírás

1 Kristálycsoportok homogén geometriákban Farkas József Zoltán Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Természettudományi Kar IV. évf. alkalmazott matematikus Témavezető: Dr. Molnár Emil egyetemi tanár TDK dolgozat 000 Kivonat A két illetve három dimenziós euklideszi tér kristálycsoportjai osztályozásának a kérdése, részben a gyakorlati alkalmazásoktól motiválva, lényegében a XIX. század végére megoldódott. A klasszikus - állandó görbületű - két dimenziós geometriákban a probléma teljes megoldására 967-ig kellett várni [9]. Az utóbbi évtizedek egyik centrális matematikai eredménye a három dimenziós egyszeresen összefüggő tér homogén maximális Riemann geometriáinak az osztályozása, modellezése, leirása [0],[],[],[3]. A három állandó görbületű téren, vagyis az E 3 euklideszi, S 3 szférikus és H 3 hiperbolikus téren kivül további öt nem ekvivariáns metrikus geometria létezik, amelyekben a tércsoportok osztályozása, igy a felmerülő fogalmak tárgyalása fontos és általánosan máig meg nem oldott kérdés. Ebben a dolgozatban elsősorban a H R, a korábban már általam osztályozott S R [6], és a nem maximális, de a kristálygeometriában jelentőséggel biró E R szorzatterekkel foglalkozunk. Vizsgáljuk az [5], ill. [6]-ban az S R-beli tércsoportok osztályozására kifejleszett és használt módszer a H R (E R) térre való kiterjesztésének lehetőségeit és nehézségeit. Hangsúlyozzuk továbbá a jelentős hasonlóságokat, és a meglévő különbségeket, melyeket részben az algebra és a geometria klasszikus kölcsönhatása motivál [3],[9].

2 . Bevezetés A klasszikus euklideszi, hiperbolikus és szférikus sikgeometriák - E, H, S - kristálycsoportjai egységes osztályozását A.M. Macbeath es cikkeivel fejezte be [9]. Lényegében a már Poincaré által is ismert Fuchs csoportok ún. F-szignatúrájából és prezentálásából kiindulva, a hiperbolikus sikcsoportok teljes algebrai osztályozását megoldva, az irányitásváltó transzformációkat tartalmazó csoportokat is jellemző egységes szignatúrát és prezentálást vezetett be. A szignatúra: (±, g; [m, m,...,m r ]{(n,..., n s ),..., (n k,..., n ksk )}) (.) a Π/Γ faktor struktúrát, azaz a Π sik Γ-pályáinak halmazát, mint kompakt felületet jellemzi, ahol Π egy egyszeresen összefüggő állandó görbületű sik (a továbbiakban is Π : E, H, S ), Γ pedig a sik izometriáinak egy kompakt alaptartományú csoportja. A ± a felület irányithatóságára, g a nemszámra utal, [ ]-ból a felület ún. szinguláris pontjainál fellépő ciklikus csoportok, e pontok stabilizátor részcsoportjainak rendjei, { }- ból a peremkoponensek és az ezekben fellépő diédercentrumok rendjei olvashatók le. Ehhez kapcsolódva Macbeath bevezette a Γ csoportok egy standard alaptartományát és ehhez a Γ (általában redundáns) prezentálását a következő geometriai generátorokkal és relációkkal: (r,...,r r ; c 0,..., c s ;...;c k0,..., c ksk ; e,...,e k ; a, b,...,a g, b g ; r m,..., rmr r ;..., c isi e i c i0 e i,... ;..., c i,j, c i,j, (c i,j c ij ) nij,... ; (i =,...,k; j =,...,s i ); r... r r e... e k a b a b... a g b g a g b g ) (.) irányitható esetben; illetve az a i, b i eltolás generátorok helyett az a,..., a g eltolástükrözésekkel generálva az utolsó reláció helyett az: r... r r e...e k a...a g relációval, ha a Π/Γ felület nem irányitható [9].

3 a a g e k r m + k e r r m + r.ábra A Π/Γ nemirányitható faktorfelület szimbolikus prezentálása. A középen ábrázolt kezdőpontból kiinduló élek mentén ollóval felvágva kapjuk az F Γ alaptartományt. Az élek hozzák létre az oldalpárokat, a peremkomponensek pedig a tüköroldalakat. Ez a prezentálás egy kompakt alaptartományhoz tartozik, melyet F Γ -val jelölünk. Ezen alappoligon bizonyos élpárjai homeomorfizmusokkal képződnek egymásra, igy áll elő a Π/Γ =: FΓ felület.(.ábra) A lehetséges alaptartományok kombinatorikus ekvivalencia erejéig történő osztályozásában [8], illetve a sikcsoportok Macbeath-féle szignatúrája alapján történő relizálásában fontos szerepet játszik az alaptartomány kombinatorikus (terület)mértékének képlete: Tκ = π{ r ( ) + m l l= k ( + i= s i j=s ( + n ij )) + χ} (.3) mely az F Γ szögösszegének és a megfelelő eulideszi szögösszegnek a különbsége; ahol κ a realizáló sik Gauss görbülete, χ = αg a felület Euler karakterisztikája, ahol α = nem irányitható esetben, α = irányitható esetben. Az euklideszi esetben κ = 0, és a hasonlóság miatt a T terület bármekkora lehet.. Homogén geometriák, izometriák A 8 homogén maximális Thurston-féle geometria: E 3,S 3,H 3,S R,H R, SL R,Nil,Sol közül kettő direkt szorzat alakú fibrált tér, tehát a tér pontjai az (X, x) alakú párok halmaza, ahol X Π alapsik, x R fibrum (vagy szál). Ugyanilyen struktúrájú az E R 3

4 tér, amely ugyan nem maximális geometria(ugyanis E 3 gazdagabb izometriacsoporttal rendelkezik), de az analógiák és a kristálytani alkalmazások szempontjából jelentőséggel bir (.ábra). Itt nem indokoljuk azt az alaptételt, miszerint a Π R alakú terek izometriái természetesen állnak elő a következő alakban: Isom(Π R) = Isom(Π) Isom(R), (.) igy nyilván minden izometria fibrumtartó lesz, most speciálisan az R-kompo-nensek R- komponensekre képződnek. Ezen izometriák Π-n ható részét B-vel, a transzformáció R-en ható részét (b, τ)-val jelöljük, ahol tehát B Isom(Π), b = ± az R identikus leképezése : =: R : (X, x) (X, x) vagy R-beli ponttükrözés : =: R : (X, x) (X, x), illetve τ : (X, x) (X, x + τ) eltolás az R-fibrumok mentén. A transzformációk szorzási szabálya a következő: (B b, τ ) (B b, τ ) = (B B b b, τ b + τ ) (.) melyet a B (b, τ) (B b, τ) : (X, x) (XB, xb + τ) (.3) hatásból származtathatunk. Itt és a továbbiakban is a leképezések a tér pontjain jobbról hatnak. A három klasszikus geometria egybevágóságaihoz hasonlóan ezen terek minden izometriája is természetesen áll elő tükrözések szorzataként. A Π alapsikban (vagy bázisban) bármely egybevágóság három egyenestükrözés szorzataként előáll, az R-fibrumban legfeljebb két ponttükrözés szükséges, igy Π R-ben legfeljebb 5 siktükrözés elegendő, és nyilván ennél kevesebb nem elég [4]. Ezen izometriák halmazát jelölje Π i R j, i = 0,,, 3 j = 0,,, lásd [4]-ben. Megjegyzések Ilyen klasszikus előállitás az SL R és Nil geometriákban nem lesz lehetséges, ugyanis ott - a definicióból adódóan [3] - minden izometria irányitástartó, megőrizve az alapsik feletti fibrálást. Mégpedig SL R a H hiperbolikus sik pontjai feletti R-fibrumokból, Nil pedig az E euklideszi sik pontjai feletti R-fibrumokból áll a direkt szorzatttól eltérő csavart módon [0],[],[],[3]. Megjegyezzük, hogy mind a 8 homogén geometriában a leképezések irányitástartását általánosan a transzformáció Jacobi determinánsának pozitiv előjelével értelmezhetjük. Fontos viszont kiemelnünk, hogy ha γ Isom( SL R) akkor a p(γ) lehet irányitásváltó transzformáció, pl. egyenestükrözés H -ben, ahol p : Isom( SL R) Isom(H ) (.4) a fibrumok szerinti vetitéssel értelmezett természetes projekció. Definició szerint tehát a p projekció megtartja a megfelelő csoportok kompozició műveletét, vagyis homomorfizmus. Itt az R-fibrumok menti szimultán eltolások, melyekhez a H identikus leképezése tartozik, alkotják a homomorfizmus R-rel izomorf magját. Ezt fejezi ki az alábbi ún. egzakt sorozat. 0 R Isom( SL R) Isom(H ), (.5) 4

5 tehát minden Isom(H )-beli elem előáll képként. Lásd részeletesen []-ben. Ha tehát Γ az SL R (vagy Nil) tércsoportja, akkor p(γ) H -beli (vagy E -beli) sikcsoport. Természetesen vetődik fel a kérdés, hogy minden H -beli (E -beli) sikcsoport előáll-e igy, és milyen módon? De ebben a dolgozatban ezzel nem foglalkozunk. 3. Fogalmak, definiciók, összefüggések A három dimenziós euklideszi térben a kristálycsoportok osztályozása, mint már emlitettük, lényegében a XIX. század végére megoldódott. Az analóg probléma napjainkra 4 illetve 5 és 6 dimenzióra is megoldottnak tekinthető, és a módszerek - részben az általános eredmények miatt - elvileg magasabb dimenziókra is kivitelezhetőek. Itt a tércsoport vagy kristálycsoport ma már klasszikusnak tekinthető definiciója a következő: Definició 3. Az E n tér Γ tércsoportja a tér izometriáinak egy csoportja, mely csoport elemeivel egy megfelelő kompakt alaptartományra hatva a tér hézagmentes, átfedés nélküli kövezését nyerjük. Már most utalunk rá, hogy itt lényegében az alaphalmazra vonatkozó megkötések jelentik az egyedüli korlátozásokat (vesd össze 3.9-el). Természetesen értelmezhető ezután a Γ csoport Γ 0 pontcsoportja, nevezetesen Definició 3. Az E n tér Γ tércsoportjának Γ 0 pontcsoportja a Γ-ban szereplő transzformációk lineáris részeinek csoportja. Megjegyezzük, hogy ez a Γ 0 csoport nem (feltétlenül) része a Γ tércsoportnak. Mint kiderült, az alaptartomány (tartomány - tartalmaz belső pontot) korlátossága E n - ben biztositja a Γ 0 végességét, és egy n-dimenziós L Γ rács létezését. Ezen klasszikus definiciók és eredmények motiválják elsősorban a későbbi fogalomalkotásainkat. Ehhez a fejezetben szereplő {B}-t a Π alapsikon ható transzformációk halmazának elemeit E esetén tovább bontjuk, és a B := (B l, B t ) alakba irjuk, ahol B l a B transzformáció lineáris része, B t -vel pedig a B ún. eltolási részét jelöljük. Megjegyezzük, hogy az S, H sikok esetében {B} = {B l } mindig fennáll [4],[0], ellentétben E -vel. Ekkor tehát a Π R transzformációi a következő alakba irhatók B (b, τ) (B l, B t ) (b, τ) ({B l b}, {B t, τ}) (3.) Ezután a következő definiciót adjuk: Definició 3.3 A (3.) szerinti {B l b} halmazt a Π R tér Γ csoportjához tartozó lineáris részek csoportjának nevezzük és Γ 0 -al jelöljük. Ha most az E n -ben adott 3. és 3. definiciókat tekintenénk a Π R térbeli megfelelő csoportok definiciójának, akkor láthatjuk, hogy ezen definiciók szerint E R-ben a Γ tércsoportok Γ 0 pontcsoportjainak a végessége természetesen adódik, nevezetesen a Schönflies-Bieberbach tétel garantálja. H R-ben ez nyilván nem teljesülhet, mivel I Isom(H ) Γ-ra I Γ 0 teljesül a 3. definició értelmében. De mint látni fogjuk 3.0-ben, S R-ben sem következik az alaptartomány kompaktságából a Γ 0 végessége. Emiatt további feltétellel bővitjük az E n -beli tércsoportok 3.-es definicióját, igy jutva el a Π R-beli tércsoportok definiciójához. Nevezetesen megköveteljük egy L R Γ -el jelölt 5

6 R-irányú (egy dimenziós) rács létezését. Definició 3.4 L R Γ (τ) := {kτ : (X, x) (X, x + kτ) X Π; x R k Z}, (3.) ahol τ a legkisebb ilyen pozitiv eltolás, melyet rögzitünk, lesz a Π R tér Γ csoportjához tartozó R irányú rács értelmezése, ha létezik ilyen τ. Ha nem létezik, akkor L R Γ az identikus leképezésből áll. Most tehát definiáljuk általánosan a Π R tér Γ tércsoportját a következő módon: Definició 3.5 A Γ csoport a Π R tércsoportja, ha g Γ-ra g Isom(Π R) teljesül, valamint létezik olyan F Γ -val jelölt kompakt alaptartomány, amelyre Γ-val hatva a tér hézagmentes, átfedés nélküli kövezését nyerjük, úgy, hogy létezik a fenti 3.4-es definicióban szereplő L R Γ Γ, mely egy R irányú rács. Továbbá megadjuk a fenti Γ tércsoport pontcsoportjának a definicióját: Definició 3.6 A Γ tércsoport 3.3-as definició szerinti, lineáris részek által meghatározott Γ 0 csoportját nevezzük a Γ pontcsoportjának. Fontos továbbá a Γ tércsoportban az L Γ maximáli rács fogalmának a bevezetése, amely az S R,H R terekben egyenértékű lesz a 3.4-es definicióban megadott R irányú L R Γ ráccsal, E R-ben viszont L Γ egy 3 dimenziós rács lesz. Fontos viszont kiemelni, hogy ez az E R-beli maximális rács nem irható fel általában direkt szorzat alakban. Ugyanis az E -beli rácsot generáló eltolásokhoz tartozhatnak R-beli eltolási részek, mivel a lehetséges (most L R Γ -beli) eltolási komponenseket a Π-beli sikcsoport generátor elemeihez fogjuk hozzá rendelni (Tétel 4., ahogy majd látni fogjuk), tehát (E R-ben) nem a Γ 0 pontcsoport generátoraihoz. Állitás 3.7 A Γ 0 pontcsoport a Γ tércsoport homomorf képe, mely homomorfizmus magja a Γ 0 egységelemére képeződő Γ-beli L Γ rács elemei, és igy Γ 0 = Γ/LΓ =: Γ (3.3) a homomorfizmus tétel szerinti izomorfizmus áll fenn. Megadhatjuk tehát a Γ 0 pontcsoport egy másik a 3.6-ban megadottal ekvivalens definicióját. Definició 3.8 A Γ/L Γ = Γ faktorcsoportot a Γ csoport pontcsoportjának nevezzük, melynek elemei tehát Γ-nak az L Γ invariáns kommutativ részcsoportja szerinti mellékosztályai. Igy a Γ( = Γ 0 ) reprezentáns elemei már Γ-hoz tartoznak, ezek halmazát Γ 0 ( Γ) jelöli. Feltehetjük, hogy Γ 0 -ban az R-beli τ i eltoláskomponenseket minimálisan választjuk: 0 τ i < τ, ahol τ =: L R Γ. Most a minél általánosabb megközelités - illetve, mint látni fogjuk a későbbi állitások miatt - bevezetjük teljes általánosságban egy T Thurston-féle téren F fundamentális halmazzal tranzitivan ható Γ csoportot. Definició 3.9 A Γ csoport a T (Thurston-féle) téren F Γ fundamentális halmazzal tranzitivan ható csoportja g Γ-ra g Isom(T) és létezik olyan F Γ =: F halmaz, hogy F Γ := {F g g Γ} a T tér egyrétű, átfedés nélküli kövezéséhez vezet. Ez a definició mind a 8 Thurston-féle geometria esetén egy minimális követelményt támaszt, és látjuk, hogy itt a 3.-es definicióval ellentétben nincs kikötve pl. az F-re vonatkozó semmilyen feltétel sem, igy például a teljes izometriacsoport is - a tér egyetlen pontjával, mint alaphalmazzal - eleget tesz a fenti követelményeknek. 6

7 A fent megadott definiciók és fogalmak bevezetése után természetesen merül fel a feltételek közötti összefüggések tisztázásának a kérdése, melyeket S R-ben az alábbi állitás formájában fogalmazunk meg. Állitás 3.0 Ha Γ az S R tér fenti 3.9-es definicióban megadott csoportja, akkor az alábbi három állitás közül bármely kettőből következik a harmadik:. Γ 0 <, azaz a pontcsoport véges.. L R Γ Γ, tehát létezik R-irányú rács Γ-ban. 3. F korlátos, nem üres belsejű Γ-alaphalmaz S R-ben. Bizonyitás: Tekintsük az S R/L R Γ (τ) := H := S [0, τ], 0 < τ R gömbhéjat. Ez korlátos tartomány S R-ben, és feltehetjük, hogy F e H teljesül, ahol e a Γ 0 pontcsoport identitása. Szükségképpen F Γ 0 := {F g g Γ 0 } H := S [ τ, τ] teljesül, ahol H szintén korlátos, következésképpen F is korlátos kell legyen. Mivel Int(H) nem üres, és Γ 0 < ezért Int(F) is kell tartalmazzon pontot Képezzük ismét az S R/L R Γ = H gömbhéjat, mely tartalmazza F-et. Mivel F tartalmaz belső pontot, és F Γ0 H := S [ τ, τ], ezért Γ 0 = Γ 0 < teljesül Mivel most a feltétel szerint F korlátos és Γ 0 elemszáma véges, következésképp a csoportban szereplő elemekben az R-komponensekben fellépnek R-irányú eltolási részek. A Γ csoport elemeit irhatjuk a (g i, τ i ) alakba, ahol τ i jelöli a g i transzformácóhoz tartozó R- beli eltolási részt. Igy (.) alapján (g i, τ i )(g j, τ j ) = (g i g j, τ i +τ j ), illetve (g i, τ i )(g j, τ j ) = (g i g j, τ j τ i ) teljesül, ha g j -ben fellép az R-beli ponttükrözés. Mivel most Γ 0 véges, igy minden elemének rendje véges, a fenti szorzási szabály alapján a Γ 0 definiáló relációit kielégitve meghatározhatók a Γ 0 identitásához tartozó R-beli eltolási részek. Ezek után τ legyen a Γ 0 identitásához tartozó legrövidebb nem zérus eltolási rész. Ezt a τ által generált L R Γ rácsot minden g i Γ elem invariánsan hagyja. Állitás 3. A fenti,,3, feltételek egyikéből sem következik a másik kettő. Bizonyitás Példákat adunk, amelyekben a fenti,,3, feltételek közül rendre egy teljesül a másik kettő viszont nem.. Legyen Γ 0 < méghozzá Γ 0 := C q <Isom(S ) forgatásokból álló ciklikus csoport, ekkor létezik a fenti általános definició értelmében vett (+, 0; [q]; {}) R tipusú csoport, ahol nem létezik R-irányú rács, illetve F := D R nem korlátos π alaptartomány lesz, ahol D legyen a gömbi pólusoknál q szögekkel rendelkező gömbi kétszög, mint a C q gömbi csoport egy fundamentális tartománya.. Létezzen most egy L a = L R Γ Γ rács (0 < a R). Legyen gömbi földrajzi koordinátákban F := {(ϕ, ϑ, y) ϕ ε (mod π), ϑ [ π, π ], y = z} fundamentális halmaz - Int(F) = { }) -; ahol ε, z rögzitett értékek (ez egy gömbi főkör fele lesz az (., z) = S szinten). Legyen továbbá Γ := {P ϕ,y : (ϕ, ϑ, y) (ϕ + ϕ, ϑ, y + y) ϕ R (mod π); y R}, azaz Γ folytonos kétparaméteres csoport( Γ 0 = ). A fenti Γ tartalmazhat bármely L a := {ka k Z, 0 < a R} rácsot, és S R-beli kitöltést kapunk a 3.9-es általános definiciónk értelmében. 7

8 Látható továbbá, hogy F nem tartalmaz belső pontot, valamint mivel a Γ 0 pontcsoport a Γ azon P ϕ,y elemeiből áll, amelyekben 0 y a teljesül, igy ez is végtelen elemű lesz. 3. Legyen most F korlátos S R-ben, nevezetesen F := S [0, a] (Int(F) { }). A csavarmozgással generált Γ := s, s : (ϕ, ϑ, y) (ϕ + α, ϑ, y + a) csoport végtelen elemű lesz, ha α π irracionális szám, Γ 0 is végtelen rendű, továbbá nem létezik (triviálistól különböző) rács. Megjegyzések A fentiekkel ellentétben, könnyű látni, hogy az E R térben a harmadik feltétel - nevezetesen az alaptartomány (mely tartalmaz belső pontot) korlátossága maga után vonja a többi feltétel teljesülését, nevezetesen a Schönflies-Bieberbach tétel biztositja ezt. Kiemeljük továbbá, hogy ehhez hasonlóan a H R térben az F Γ alaptartomány kompaktsága garantálja az L R Γ rács létezését, ugyanis: Állitás 3.(Thurston [3])A Γ Isom(H R) a H R tér diszkrét csoportja kovéges p(γ) diszkrét kovéges, és Ker(p) =. Itt p a már korábban bevezetett a fibrumok szerinti vetitéssel értelmezett projekció az alapsikra; illetve az X tér (most pl. X a nyolc homogén geometria egyike) Γ Isom(X) csoportjának kovégessége illetve kokompaktsága azt jelenti, hogy az X/Γ faktorhalmaz (pályatér) véges mértékű(térfogatú) illetve kompakt. Elsőként jegyezzük meg, hogy kovéges csoportok helyett kokompakt csoportokra is igaz az állitás, hiszen a H R/Γ nem kompakt véges térfogatú, akkor és csak akkor ha a H /p(γ) is ilyen tulajdonságú. (Megjegyezzük, hogy a 8 geometria közül a három hiperbolikus geometriában : H 3,H R, SL R léteznek csak kovéges de nem kokompakt csoportok.) Vegyük észre továbbá, hogy a Γ diszkrétsége és kokompaktsága ekvivalens az F Γ kompakt alaptartomány létezésével. Valamint, hogy a Ker(p) = feltétel egyenértékű az L R Γ rács létezésével. Összegzésként tehát elmondhatjuk, hogy a 3.5-ös definicióban megkivánt L R Γ rács létezése csak az S R térben jelent valódi többletfeltételt. 4. A tércsoportok osztályozásának stratégiája Az S R térben használt módszer analógiájára először bebizonyitjuk a következő általánosabb tételt. Tétel 4.(S R,H R,E R) Ha Γ a fenti 3.5-ös definició értelmében vett tércsoport az előbbi Π R Thurston terekben, akkor Γ/L R Γ az alábbi három tipus (osztály) valamelyikébe sorolható: I. Tipus G R II. Tipus G R III. Tipus G G := (G R ) ([(G \ G) R ], ahol G -indexű részcsoport G -ben. 8

9 Most is G := (±, g; [m, m,..., m r ]{(n,..., n s ),..., (n k,..., n ksk )}) Π-beli kompakt alaptartományú csoport (.) szerint. Bizonyitás: Képezzük először a Γ/L R Γ R-komponensét a ΓR 0 véges csoportot. Ekkor Γ R 0 = R vagy Γ R 0 = R teljesül. Ezek után három eset lehetséges: ha Γ R 0 = R teljesül, akkor nyilván Γ/L R Γ I tipus. Ha ΓR 0 = R elemű csoport, azaz R is fellép, akkor mivel R kommutál bármely Π-beli transzformációval, igy a Γ/L R Γ R -komponensű elemei indexű normális részcsoportot alkotnak, ezért Γ/L R Γ II Tipus vagy III Tipus; és több lehetőség nincsen. A fenti tétel megadja tehát számunkra az osztályozás stratégiáját, ahogy azt már S R-ben láttuk: a Π-beli csoportok szignatúrája szerint haladva vizsgáljuk meg sorban az I-III tipusoknál adódó szóba jövő megoldásokat. Az I-II tipusnál majd a Γ prezentálása természetesen adódik (.) alapján. A III tipusú csoportok meghatározása az S R térben - a csoportosztályok végessége illetve a csoportok végessége miatt - viszonylag könnyen adódott. Ehhez (általában Π R-ben) szükséges feltétel, hogy a kissebbik csoport alaptartományának a kombinatorikus mértéke kétszerese legyen a nagyobbik csoporténak. A probléma megoldásának kulcsát az E R térben, tehát a megfelelő csoportpárok kiválasztását megtalálhatjuk [3] XIII.táblázatában. A H R térben a III. tipusú tércsoportok meghatározása viszont igen nehéz problémát vet fel, nevezetesen a lehetséges G G párok megadásának kérdését. A probléma tehát adott szignatúrához a csoport -indexű részcsoportjainak a meghatározása. Az egzisztencia kérdése eldönthető a kommutátor faktorcsoport rendjének meghatározásával, amelyet például a GAP programcsomaggal meglehetősen gyorsan meghivhatunk. Ezek után a -indexű részcsoport létezésének szükséges és elégséges feltétele ezen faktorcsoport rendje paritásának a kérdésére redukálódik. (Ha a rend végtelen, azaz eltolások lépnek fel, akkor ezeket elhagyva, tehát a nemszámot nullának tekintve vizsgáljuk tovább.) Általában viszont nem egy, hanem több -indexű csoport is létezik, és a kiválasztás valamint a reprezentáció nagyban függ az alaptartomány megadásától is. A feladat tehát adott alaptartományra egy véges algoritmus megadása, amely felsorolja az alaptartományhoz tartozó G -indexű részcsoportjait. Ezen feladat megoldását most nem vesszük célba, csupán reprezentativ példákat adunk. Megemlitjuk, a probléma nehézségét illusztrálandó, hogy a feladat algebrai módszerekkel való megoldására még a lényegesen egyszerűbb Fuchs csoportok(irányitástartó transzformációk) esetén sem kerülhetett sor, lásd []-t. Példa -indexű részcsoport kiválasztására (3.ábra) Most a G = (+, ; [, p, q]; {()}); p, q N (4.) csoporthoz válasszuk a 3.ábra szerinti indexű G = (+, ; [p, p, q]; {(), ()}) (4.) részcsoportot. Szemléletesen tehát a nagyobb csoportban szereplő r másodrendű forgatást elhagyva, az alaptartományt r-képével megduplázva képezünk egy -indexű részcsoportot, ahol a -rendű forgáscentrummal szomszédos csúcs G -ekvivalenseinél a szögösszeg megduplázódik, ezért itt q-rendű forgáscentrumot kapunk (3.ábra). 9

10 Az (.3)-as képletbe behelyettesitve G esetén: Tκ = π{( ) + ( p ) + ( q ) + ( ) + ( )} = π( 7 + p + q ) (4.3) G esetén pedig Tκ = π{( p ) + ( q ) + ( ) + ( 4)} = π( p + ). (4.4) q Ez valóban kétszer akkora, mint az előbbi (κ =, valóban a H sikban kell és lehet realizálni a csoportokat). Ugyancsak a 3.ábra szellemében [8], de mr =: g( H 3 ) eltolástükrözéssel párositva az m és m sokszögoldalakat, kapjuk a H -beli G csoportot. G = (, 6; [p, p, q]; {}) (4.6) Az (.3) formulába helyettesitve nyerjük - χ = l+c e = +4 9 = 4 és χ = αg (most α = ) alapján, 6 = g, azaz nemirányitható 6 nemszámú felületre - a kombinatorikus mértéket: Tκ = π[( p ) + ( q ) + (0) + ( 4)] = π( p + ). (4.7) q Ez összhangban van az eddigiekkel: G és G különböző, de mindegyik indexű részcsoport G -ben. (3.ábra) A csoportok I-III tipusainak meghatározása után, a következő lépés a csoport elemeihez tartozó R-irányú eltolási részek meghatározása. Ehhez az ún. Frobenius-féle kongruenciarelációkat kell megoldanunk, tekintettel (.)-re, illetve a csoportok lényegében (.) alapján adódó definiáló relációira. Majd a megoldások ekvivariancia osztályokba sorolása következhet. Ezt az ekvivarianciát a következő fejezetben részletesebben tárgyaljuk. Most kicsit kirészletezve bemutatunk egy mintapéldát, amelyből többféle Π R-beli tércsoportot származtathatunk (4.ábra). Tekintsük a G(u)-val jelölt azaz G(u) = (, ; [, u]; {}), G(u) = (g, g g, (g g g ) u ) g Π, g Π 3 (4.8) Π-beli háromszögcsoport szériát [],[8], amely az u pararaméter változtatásával különböző Π sikokban realizálódik, nevezetesen u = esetén szférikus, u = esetén euklideszi, u 3 esetén pedig hiperbolikus sikcsoportot határoz meg, minthogy Tκ = π[( ) + ( u ) + ( )] = π[ + u ] (4.9) Most főleg az u 3 hiperbolikus esettel foglalkozunk, a fenti sikcsoportot I-es tipusú H R-beli tércsoporttá bővitve. A fenti prezentálás alapján a (g, τ ), (g, τ ) generátorokra a Frobenius féle kongruenciarelációkat felirva τ 0 (τ + τ )u 0 (mod ). (4.0) 0

11 p q q a - r r - q e b - q a q (g - ) b e - q r m- (g) q b a m q q e q 3.ábra Prezentáló alaptartományok a G = [m, r, r, e, a, b m, r, r p, me me, (re r a b a b ) q ], G = [m, r, e, a, b ; m(= rmr), r (= rr r), e (= re r), a (= ra r), b m, m, r p, rp, me me, me me, (e r a b a b e r a b a b ) q ], G = [r, e, a, b ; g(= mr), r (= rr r), e (= re r), a (= ra r), b (= rb r) r p, rp, g e ge, (e r a b a b e r a b a b ) q ] hiperbolikus sikcsoportokra a Poincaré algoritmus alapján. p r q q

12 Ezek megoldásai az u 3 esetben (τ, τ ) (0, 0), (τ, τ ), (, 4 ) (τ, τ ) (0, k ), k =,,...,u (4.) u tetszőleges u-ra, illetve (τ, τ ) (, 0); (τ, τ ) (, k ) k =,...,u (4.) u megoldások is fellépnek még, ha u páros. t - g t r 4.ábra G(3) = (g, g g, (g g g ) 3 ) r := (g, 0); g := (g, 0); t := (e, τ) Γ = (r, g, t r, (rgg) 3, rtrt, gtg t ) Az u =, S R térben fellépő esetek [6]-ban 7,.I alatt megtalálhatók. Az u =, E R = E 3 esetén fellépő euklideszi tércsoportok (0, 0) Pba(No.3); (0, 4 ) Fdd(43); (0, ) Pnn(34); (, 0) Pca (9); (, 4 ) Fdd(43); (, ) Pna (33) a nemzetközi táblázatok szerint. Az Fdd tércsoporthoz vezető fenti esetek ekvivariánsak Isom(E R) szerint. g - 5. Ekvivariancia, algebrai és geometriai izomorfizmus A számitásba jövő összes csoportosztály meghatározása után a fő kérdés a csoportok ekvivalenciájának meghatározása. Az ekvivariancia fogalma adja az osztályozás alapját, amely geometriai izomorfizmust jelent, megkülönböztetve a csoportok algebrai izomorfiznusától. Az ekvivariancia fogalmát lényegében Macbeath vezette be dimenziós geometriákra. Most röviden tárgyaljuk a Π alapsikbeli sikcsoportok ekvivarianciáját, fölelevenitve a szükséges fogalmakat. A Π sik Γ és Γ csoportjait ekvivariánsnak nevezzük (geometriailag izomorfnak), a Π sik Hom(Π) homeomorfizmus csoportja szerint, ha h( Hom(Π)) : X X, (X, X Π)és ϕ : Γ Γ (5.)

13 csoportizomorfizmus, hogy bármely X Π és g Γ esetén Ebből Y = Xg Y h = Xh(gϕ) (5.) Xgh = Xh(gϕ) gϕ = h gh. (5.3) Tehát, a Γ, Γ csoportok ekvivariánsak, ha konjugáltak Hom(Π)-ben. Felidézzük továbbá a szignatúrák ekvivarianciájának kritériumáról szóló tételeket [9], ahol most az i-edik peremkomponens diéderrendjeinek halmazát (C i ) jelöli Tétel 5.(Macbeath) Ha a és a Γ = (+; g; [m,...,m r ]; {(C ),..., (C k )}) Γ = (+; g ; [m,..., m r ]; {(C ),...,(C k )}) (5.5) csoportok ekvivariánsak, akkor r = r, k = k, a Γ-ban szereplő {m i } halmaz az {m i } halmaz egy permutációja, és létezik a peremkomponensek olyan Φ {,,...,k} permutációja, hogy minden i-re C i direkt ekvivalens C Φ(i)-vel (tehát az i-edik peremkomponensben szereplő {n i,...,n isi } számsor minden elemére n ij = n Φ(i)j+l teljesül minden j s i esetén valamely l-re (mod s i )), vagy minden i-re C i inverz ekvivalens C Φ(i)-vel (tehát a peremkomponens minden elemére n ij = n Φ(i)j h teljesül (mod s i )). Tétel 5.(Macbeath) Ha a és a Γ = ( ; g; [m,...,m r ]; {(C ),..., (C k )}) Γ = ( ; g ; [m,..., m r ]; {(C ),...,(C k )}) (5.6) csoportok ekvivariánsak, akkor r = r, k = k, a Γ-ban szereplő {m i } halmaz az {m i } halmaz egy permutációja, és létezik a peremkomponensek olyan Φ {,,...,k} permutációja, hogy minden i-re C i direkt vagy inverz ekvivalens C Φ(i)-vel. Mint már emlitettük, Macbeath bebizonyitotta az alábbi, a H -beli sikcsoportokra vonatkozó fontos tételt: Tétel 5.3(Macbeath) Ha a Γ és Γ csoportok izomorfak, akkor ekvivariánsak, azaz létezik a siknak olyan h homeomorfizmusa a siknak, hogy ϕ(γ) = h Γh teljesül. A Π R térben az ekvivariancia két lehetséges fogalmát tárgyaljuk kiemelve a különbségeket, és a fő nehézségeket. 5.. A hasonlósági ekvivariancia Az S R térben használt definició analógiájára természetesen vezethetjük be általában Π R-ben az ekvivariancia következő fogalmát: Definició 5. A Π R tér Γ és Γ tércsoportja ekvivariáns H := h s : h Hom(Π ), s Sim(R), : Γ = H Γ H, (5.6) ahol Hom(Π) jelöli a Π sik homeomorfizmus csoportjának azon legszűkebb részcsoportját amelyben a Π-beli ekvivariáns csoportok már konjugáltak. S esetében ez Isom(S ) lesz, 3

14 E -ben mint jól tudjuk az affinitások csoportja lesz, H -ben pedig bonyolultsága miatt itt most nem adunk meg ilyen szűkebb csoportot. A fenti definició természetesen adódik, ha figyelembe vesszük, hogy a Π-beli ekvivariáns csoportok Hom(Π)-ben konjugáltak, illetve az R-irányú rács hasonlóság erejéig adott. Látható továbbá az a fontos tény, hogy ha Γ és Γ ekvivariáns csoportok, akkor p(γ ) és p(γ ) ekvivarianciája természetesen adódik, ugyanis: Γ /L Γ = (H Γ H)/L Γ = H (Γ /L Γ )H. (5.7) 5.. Ekvivariancia homeomorfizmussal A másik általánosabb fogalom a faktorterek topológiai tulajdonságait jellemzi, mint látni fogjuk. Definició 5. A Π R tér Γ és Γ tércsoportja ekvivariáns H Hom(Π R), : Γ = H Γ H (5.8) Egy ilyen H homeomorfizmus tehát az x pont Γ -pályályát a H(x) pont Γ -pályályára képezi, igy homeomorfizmust indukál a T/Γ, T/Γ faktorterek között, T = Π R. Az ekvivariancia tehát topológiai ekvivalenciát indukál, és természetesen algebrai izomorfizmust, de a megforditás nem mindig igaz, mint látni fogjuk. E n -ben ma már klasszikusnak számitó tétel mondja ki, hogy két tércsoport akkor és csak akkor izomorf, ha affin konjugáltak. Tehát itt minden izomorfizmusnak létezik geometriai realizációja. Ugyanezt bizonyitotta Macbeath a hiperbolikus sikban. Könnyen láthatjuk viszont, hogy ugyanez nem megy még az állandó görbületű S -ben sem, ugyanis pl. C = D (ahol C egy másodrendű forgatás által generált csoport, D egy gömbi főkörre való tükrözés által generált szintén két elemű csoport) de nyilván nem létezik geometriai realizáció, ugyanis: egy geometriai izomorfizmus megőrzi a transzformációk irányitástartását(tehát irányitástartó transzformáció képe szintén irányitástartó). Fontos kiemelnünk továbbá, hogy itt sajnos nem igaz, hogy ekvivariáns csoportok alapsikbeli vetülete is ekvivariáns csoportot ad. Példaként emlithetjük az S R-beli 7qo.I.3( k q ) és 5qo.I.4(, k q ) fixpont mentes csoportosztályokat, amelyek diffeomorf (igy homemeorf) ekvivariánsak [6],[7], de láthatóan különböző szignatúrához tartoznak. Láthatjuk azt is, hogy hasonlóság nem biztosithatja az ekvivarianciát. Tehát az (5.) szerinti osztályozás S R-ben valóban bővebb volt mint a valódi homeomorfizmus ekvivariancia osztályozás. Ezzel ellentétben E R-ben az (5.)-ből adódó releváns affinitás osztályozás ugyanazt kell adja mint az általánosabb homeomorfizmus ekvivariancia, ugyanis minden E R- beli tércsoport egyben E 3 -beli tércsoport is lesz. Visszatérve a tércsoport(osztályok) meghatározásának stratégiájához, a Frobenius kongruenciák megoldása után kapott csoportok halmazának ekvivariancia osztályokba sorolása a feladat. Ha az 5. szerinti definiciót tekintjük az osztályozás alápjául, akkor ezt az S R-ben alkalmazottakhoz hasonlóan végezhetjük, nem nehéz elhinni, hogy ugyanazok a tipusú transzformációk jönnek számitásba (amelyek tehát a csoportok ekvivarianciáját biztositják). Ezek leirása megtalálható [5]-ben, ezt a továbbiakban nem kivánjuk részletezni. Fontos viszont megemliteni, hogy az általános homeomorfizmus ekvivariancia S R-hez 4

15 hasonlóan (E R-el ellentétben) kevesebb tércsoportosztályhoz vezethet, és mint emlitettük itt nem igaz, hogy ekvivariáns csoportok vetülete is ekvivariáns (tehát ugyanahhoz a szignatúrához tartozik izomorfia erejéig). Vagyis különböző szignatúrához tartozó H R-beli megoldások lehetnek ekvivariánsak, ami meglehetősen bonyolulttá teszi a problémát. Különösen fontos ez a térformákat adó fixpontmentes csoportoknál, ahol csak a transzformációk irányitástartásának az ekvivarianciával szembeni invarianciája lesz a támpont. Mégis az alábbihoz hasonló eredmények, és finom meggondolások segitségével a H Rbeli térformák egy lehetséges osztályozása reménytelinek igérkezik. Állitás 5.3 Ha a H R-beli Γ, Γ első tipusbeli tércsoportok a 4. Tétel szerint, és homeomorf ekvivariánsak, akkor a H -beli vetületük is ekvivaráns. Bizonyitás Mivel most az R tükrözés nem eleme a tércsoportnak, és az R-irányú eltolások kommutálnak minden H -beli transzformációval, képezhetjük a következő direkt szorzat felbontást: Γ = (Γ /L R Γ ) L R Γ, Γ = (Γ /L R Γ ) L R Γ, (5.4) és ϕ(γ ) = Γ miatt ϕ(γ /L R Γ ) = Γ /L R Γ következik, hiszen bármely két R-irányú rács hasonló. Ezek után a faktorcsoportok elemeinek R-beli eltolási részeitől eltekintve izomorf H -beli csoportokat kapunk, melyek Macbeath tétele (5.3 Tétel) szerint ekvivariánsak lesznek. 5

16 Hivatkozások [] Bölcskei, A.; Molnár, E.: Graphische Realisierung der homogenen Dreieckpflasterungen in S, E und H. GEOMETRIE-TAGUNG 07 Jahre Drehfluchtprinzip Vorau, -6.Juni.997 [] Bundgaard, S.; Nielsen, J.: On the normal subgroup with finite index in F-groups, Mat. Tidsskr.,B (95), [3] Coxeter, H.S.M.; Moser, W.O.J.: Generators and relations for discrete groups, fourth ed. Springer-Verlag (980) [4] Farkas, J.Z.: Az S R és H R terek izometriáról. TDK dolgozat BME (998) [5] Farkas, J.Z.: Az S R tércsoportjainak az osztályozása. TDK dolgozat BME (999) [6] Farkas, J.Z.: The classification of S R space groups. Beiträge zur Algebra und Geometrie (Contributions to Algebra and Geometry) (to appear) [7] Farkas, J.Z.; Molnár, E.: Similarity and diffeomorphism classification of S R manifolds (manuscript to Proceedings of Colloquium on Differential Geometry, Debrecen, ) [8] Lucic, Z.; Molnár, E.: Combinatorial classification of fundamental domains of finite area for planar discontinuous isometry groups. Arch. Math. Vol.54, (990), [9] Macbeath A.M.: The classification of non-euclidean crystallographic plane groups. Canadian Journal Math. (967), [0] Molnár, E.: The projective interpretation of the eight 3-dimensional homogeneous geometries. Beiträge zur Algebra und Geometrie (Contributions to Algebra and Geometry), Vol.38 (997), No

17 [] Scott, P.: The geometries of 3-manifolds. Bull. London Math. Soc. 5 (983), [] Thurston, W. P.: Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry. Bull. Amer. Math. Soc. 6 (98), [3] Thurston, W.P.(ed. by Levy. S): Three dimensional geometry and topology, Vol. Princeton University Press (997) (Ch.3.8,4.7) 7

18 S =(.,0) S x R R=(X,. ) E x R R=(X,. ) E =(.,0) H x R R R p, H =(.,0) H =(.,0) p.ábra A Π R terek szimbolikus interpretációi [4],[7],[0] alapján 8