Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett) függvényről beszélünk. Jele: f (g(x)), vagy f g. Megjegyzés: Az f g összetett függvény esetén, f et külső, g t belső függvénynek nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Inverz függvény) Egy f függvény inverze a g függvény, ha az f kölcsönösen egyértelmű és bármely értelmezési tartománybeli x elemére g (f(x)) = x teljesül. Jelölés: g (x) = f 1 (x). Megjegyzés: Csak a kölcsönösen egyértelmű függvényeknek van inverze, s ezeket invertálható függvényeknek nevezzük. Invertálható függvény értelmezési tartománya megegyezik az inverzének értékkészletével (és fordítva). Az inverz függvények megfordítják a hozzárendelés irányát: az egymáshoz rendelt értékek ugyanazok, de a megfeleltetés iránya ellentétes. Egy függvény és inverze ugyanolyan értelemben monoton. Egy függvény és inverze tükrös az y = x egyenletű egyenesre, mert a két függvénynél a tengelyek felcserélődnek. Egy függvény inverzének leképezési szabályát úgy határozhatjuk meg, hogy a független változót (x - et) a függvényértékkel (y - nal) felcseréljük és az új egyenletből kifejezzük a függő változót, vagyis a függvényértékeket. 1
1. Ábrázold és jellemezd a következő exponenciális függvényeket! a) f (x) = x b) f (x) = ( 1 )x Megoldás: a) A keresett függvény képe a következő: Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: Értelmezési tartomány: D f : x R Értékkészlet: R f : y ]0; + [ Periodicitás: Nem periodikus. Zérushely: Nincs zérushelye. Monotonitás: Szigorúan monoton növekvő. Szélsőérték: Nincs szélsőértéke. Korlátosság: Pontos alsó korlát: k = 0 Pontos felső korlát: Nincs felső korlátja. Nem korlátos függvény. Paritás: Nem páros, nem páratlan.
b) A keresett függvény képe a következő: Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: Értelmezési tartomány: D f : x R Értékkészlet: R f : y ]0; + [ Periodicitás: Nem periodikus. Zérushely: Nincs zérushelye. Monotonitás: Szigorúan monoton csökkenő. Szélsőérték: Nincs szélsőértéke. Korlátosság: Pontos alsó korlát: k = 0 Pontos felső korlát: Nincs felső korlátja. Nem korlátos függvény. Paritás: Nem páros, nem páratlan.
. Ábrázold és jellemezd a következő logaritmikus függvényeket! a) f (x) = log x b) f (x) = log1 x Megoldás: a) A keresett függvény képe a következő: Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: Értelmezési tartomány: D f : x ]0; + [ Értékkészlet: R f : y R Periodicitás: Nem periodikus. Zérushely: x = 1 Monotonitás: Szigorúan monoton növekvő. Szélsőérték: Nincs szélsőértéke. Korlátosság: Nincs alsó és felső korlátja sem. Nem korlátos függvény. Paritás: Nem páros, nem páratlan. 4
b) A keresett függvény képe a következő: Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: Értelmezési tartomány: D f : x ]0; + [ Értékkészlet: R f : y R Periodicitás: Nem periodikus. Zérushely: x = 1 Monotonitás: Szigorúan monoton csökkenő. Szélsőérték: Nincs szélsőértéke. Korlátosság: Nincs alsó és felső korlátja sem. Nem korlátos függvény. Paritás: Nem páros, nem páratlan. 5
. Ábrázold a következő exponenciális függvényeket! a) f (x) = 1 x b) f (x) = ( 1 )1 x c) f (x) = x 1 + 1 Megoldás: a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = x h (x) = x k (x) = x f (x) = x + 1 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén (+) mal (ábrán: kék) h (x) tükrözése az x tengelyre (ábrán: zöld) k (x) eltolása az y tengely mentén (+1) - gyel (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 6
b) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = ( 1 )x alapfüggvény (ábrán: fekete) h (x) = ( 1 )x+1 g (x) eltolása az x tengely mentén ( 1) - gyel (ábrán: kék) f (x) = ( 1 ) x+1 h (x) tükrözése az y tengelyre (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 7
c) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = x h (x) = x 1 k (x) = x 1 t (x) = x 1 f (x) = x 1 + 1 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén (+1) - gyel (ábrán: kék) h (x) y tengelyre merőleges 1 szeres zsugorítása (ábrán: zöld) k (x) x tengelyre merőleges szeres nyújtása (ábrán: lila) t (x) eltolása az y tengely mentén (+1) gyel (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 8
4. Ábrázold a következő logaritmikus függvényeket! a) f (x) = log (x 1) + b) f (x) = log1( x) c) f (x) = log ( 1 x + 1) Megoldás: a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = log x h (x) = log (x 1) f (x) = log (x 1) + alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén (+1) gyel (ábrán: kék) h (x) eltolása az y tengely mentén (+) vel (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 9
b) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = log1 x h (x) = log1(x + ) k (x) = log1( x + ) t (x) = log1( x + ) alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén ( ) vel (ábrán: kék) h (x) tükrözése az y tengelyre (ábrán: zöld) k(x) x tengelyre merőleges - szoros nyújtása (ábrán: lila) f (x) = log1( x + ) + 1 t(x) eltolása az y tengely mentén (+1) - gyel (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 10
c) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = log x h (x) = log (x + 1) k (x) = log ( 1 x + 1) alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén ( 1) gyel (ábrán: kék) h (x) y tengelyre merőleges szoros nyújtása (ábrán: zöld) t (x) = log ( 1 x + 1) k (x) tükrözése az x tengelyre (ábrán: lila) f (x) = log ( 1 x + 1) t(x) eltolása az y tengely mentén ( ) vel (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 11
5. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = ( 1 ) x + 4 b) f (x) = log1(x 4) + Megoldás: a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = ( 1 )x alapfüggvény (ábrán: fekete) h (x) = ( 1 ) x g (x) tükrözése az y tengelyre (ábrán: kék) k (x) = ( 1 ) x h (x) tükrözése az x tengelyre (ábrán: zöld) f (x) = ( 1 ) x + 4 k (x) eltolása az y tengely mentén (+4) gyel (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 1
Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: Értelmezési tartomány: D f : x R Értékkészlet: R f : y ] ; 4[ Periodicitás: Nem periodikus. Zérushely: x = Monotonitás: Szigorúan monoton csökkenő. Szélsőérték: Nincs szélsőértéke. Korlátosság: Pontos alsó korlát: Nincs alsó korlátja. Pontos felső korlát: K = 4 Nem korlátos függvény. Paritás: Nem páros, nem páratlan. 1
b) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = log1 x h (x) = log1(x 4) alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén (+4) - gyel (ábrán: kék) f (x) = log1(x 4) + h (x) eltolása az y tengely mentén (+) vel (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 14
Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: Értelmezési tartomány: D f : x ]4; + [ Értékkészlet: R f : y R Periodicitás: Nem periodikus. Zérushely: x = 1 Monotonitás: Szigorúan monoton csökkenő. Szélsőérték: Nincs szélsőértéke. Korlátosság: Nincs alsó és felső korlátja sem. Nem korlátos függvény. Paritás: Nem páros, nem páratlan. 15
6. Határozd meg a következő függvények inverzeit! a) f (x) = 1 + log1(x + ) b) g (x) = x + ; c) h (x) = x Megoldás: Egy függvény inverzének hozzárendelési szabályát úgy határozhatjuk meg, hogy a függvény alakjában az x et és y t felcseréljük egymással, majd ezután úgy alakítjuk az egyenletet, hogy az egyik oldalon csak y álljon. A megoldásokat a következőképpen ellenőrizhetjük: Ábrázoljuk közös koordináta - rendszerben a függvényeket és inverzeiket, majd ellenőrizzük, hogy teljesülnek - e az inverzekre vonatkozó tulajdonságok: A függvény és inverzének képe tükrös az y = x egyenesre, továbbá az invertálható függvény értelmezési tartománya megegyezik az inverzének értékkészletével (és fordítva). a) f (x) inverze: y = 1 + log1(x + ) x = 1 + log1(y + ) Ebből kapjuk, hogy y = ( 1 )x 1, vagyis f (x) inverze: f 1 (x) = ( 1 )x 1. Ellenőrzés: Az f (x) (ábrán: kék) és inverzének (ábrán: zöld) képe a következő: 16
b) g (x) inverze: y = x + x = y + Ebből kapjuk, hogy y = x, vagyis g (x) inverze: g 1 (x) = x. A g (x) (ábrán: kék) és inverzének (ábrán: zöld) képe a következő: 17
c) h (x) inverze: y = x x = y Ebből kapjuk, hogy y = x, vagyis h (x) inverze: h 1 (x) = x. A h (x) (ábrán: kék) és inverzének (ábrán: zöld) képe a következő: Az utolsó függvénynél látható, hogy az x függvénynek csak az x tengely pozitív oldalára eső görbéje lesz tükrös a x függvénnyel. Ez abból adódik, hogy csak olyan függvényeknek értelmezhetjük az inverzét, melyek kölcsönösen egyértelműek, vagyis ha adott egy x koordináta, akkor egyértelműen megadható a hozzá tartozó y koordináta és viszont. Az x függvény esetében, ha például y = 1, akkor az x értéke 1 és 1 is lehet, vagyis a függvény nem kölcsönösen egyértelmű. Ebben az esetben szokás a függvény értelmezési tartományát azon részére szűkíteni, melynek már létezik inverze, vagyis ebben az esetben: x [0; + [. 18
7. Határozd meg az f g és g f összetett függvényeket, ha f(x) = x és g (x) = 5x +! Megoldás: Összetett függvények meghatározásánál úgy kell eljárnunk, hogy a külső függvény változójába behelyettesítjük a másik függvényt. Ezek alapján a megoldások: f g = f(g(x)) = 5x+ g f = ( 5) x + 8. Határozd meg az f g h és h g f összetett függvényeket, ha f (x) = x ; g (x) = 1 + 1 és h (x) = x! x Megoldás: Ebben az esetben, mivel több függvény összetett függvényét keressük, ezért először a két belső függvény összetett függvényét kell meghatároznunk, s csak ezt követően a kérdéses függvényt. Ezek alapján a megoldások: g h = g(h(x)) = 1 1 + 1 f g h = f (g(h(x))) = + 1 x x g f = g(f(x)) = 1 1 + 1 h g f = h(g(f(x)))) = + 1 x x 19