Buapeti Műzaki, é Gazaágtuományi Egyetem Vaúti járművek, Repülőgépek é Hajók Tanzék Félpantográf renzerű áramzeők tervezée é vizgálata Haa Áám Járműmérnöki MSc zak Vaúti járműmérnök zakirány Konzulen: prof. r. Zobory Itván Profeor Emeritu
TARTALOMJEGYZÉK 1. Bevezeté... 1 2. Félpantográf áramzeő geometriájának zámítáa... 2 3. Félpantográf renzerű áramzeők reukált tömegének é nyomatékigényének meghatározáa... 6 3.1 Áramzeő nyomatékigényének meghatározáa... 6 3.2 Áramzeő reukált tömegének meghatározáa... 9 4. Áramzeő reukált tömegének meghatározáa tetzőlege magaágban... 12 4.1 Lineári interpoláció... 12 4.2 Lineári interpoláció közvetlen alkalmazáa... 13 4.3 Lineári interpoláció közvetett alkalmazáa... 14 4.4 A két mózer özehaonlítáa, értékelée... 15 5. Felővezeték moellezée... 17 6. Az áramzeő, mint egyzabaágfokú lengőrenzer... 19 6.1 Az áramzeő mozgáegyenletének felíráa... 19 Mozgáegyenlet megoláa... 21 6.2 Áramzeő ajátfrekvenciájának meghatározáa... 22 7. Villamo vontatójárművek mint többzabaágfokú lengőrenzerek... 25 7.1 Máofajú Lagrange mozgáegyenlet enzer felíráa... 26 8. Özefoglalá... 32 9. Iroalomjegyzék... 33
1. BEVEZETÉS A villamo vontatójárművek elengehetetlen alrenzere az áramzeő, má néven pantográf. Ezen alrenzertől függ a jármű bizto üzeme, lévén, hogy ez teremti meg a kapcolatot a felővezeték é a villamo berenezéek között. A villamo vontatá kezetén az olló elrenezéű áramzeők terjetek el, az egyzerű é merev mechanizmua miatt, ám ezek reukált tömege é hely igénye igen nagy. A vaúttáraágok eltérő renzerrel építették ki a villamo vontatái renzerüket, így biztoítva, hogy az orzágukba cak a aját vontatójárművükkel leheen ellátni a vonatok továbbítáát. De igény minig volt arra, hogy má táraágok a aját mozonyukkal továbbíták a zerelvényeket, így iőt é pénzt pórolva meg. Ezen igényt kielégítve a gyártók kifejleztették a több áramnemű mozonyokat, e a kezetekben minen áramnemnek aját áramzeőt telepítettek, ám ezzel az volt a probléma, hogy a régi, olló áramzeőből nem fért el a megfelelő mennyiégű. Ezért az 195-e években kifejleztették a félolló áramzeőt, aminek helyigénye lényegeen kiebb é a reukált tömege i jóval alaconyabb. Az utóbbira a nagy ebeégű közlekeénél van nagy jelentőége, mivel a inamiku hatáok minimalizálhatók. A olgozat arra kerei a válazt, hogy a korzerű zámítógépe lehetőégek egítégével hogyan lehet megtervezni ezen alrenzert é milyen vizgálatokat lehet elvégezni rajta. A tervezé elő lépéeként elő kell állítani a megfelelő karrenzert, mint az áramzeő geometriáját. A megtervezett áramzeő alkatrézeinek tömegének imeretében meg lehet határozni a reukált tömegét é a nyomatékigényét. Előbbi a inamikai igénybevétel miatt az utóbbi peig az emelőzerkezet miatt lényege. Az áramzeőbe a megfelelő kontaktu elérééhez egy rugót építettek be, ami nem cak a megfelelő áramzeét biztoította, hanem az emelkeét i garantálja. Belátható, hogy az áramzeő egy reukált tömeget, rugót é manapág cillapítót tartalmazó inamikai renzert alkot, amire a mozony (a vaúti pálya egyenetlenége miatt) gerjeztő hatát gyakorol. Így vizgálható önmagában az áramzeő, mint egyzabaágfokú lengőrenzer, továbbá a mozonyra zerelve, renzerként, így peig egy többzabaágfokú lengőrenzerként lehet analizálni. 1
2. FÉLPANTOGRÁF ÁRAMSZEDŐ GEOMETRIÁJÁNAK SZÁMÍTÁSA A félpantográf renzerű áramzeő geometriájának tervezée [2] nagy körültekintét igényel, ugyani a geometria hatáal van az áramzeő öze többi jellemzőjére. E D δ ϕ DE C ϕ CD y β ϕ BC ϕ BD B A ϕ AC ϕab x 1. ábra: zámítához zükége aatok [11] Több féle mózer létezik [3] a tervezéhez, ám a következőkben bemutatott eljárá a legegyzerűbb é legcélravezetőbb. 2
A zámítá [1] orán az E pont elmozuláát zeretnénk meghatározni az A cuklóponthoz kötött erékzögű koorinátarenzerben, a φ AC zögelforulá függvényében (1. ábra). Ennek orán az a kiköté, hogy az E pont pályája a lehető legkiebb mértékben térjen el a függőlege egyenetől az áramzeő műköéi tartományában. Erre a kikötére az olló áramzeőnél felorolt okok miatt van zükég. A zámítához válazuk paraméternek az r AB, L, 1 L, e1 L e2 karhozúágokat é a φ AB zöget. Ennek orán kialakul egy ABCD négyzög a megaott tagok hozával. Elő lépéként meg kell határozni az L 1 é L e1 karok által bezárt zöget. Ebből ki lehet fejezni a β zöget r BC = L e1 r AB L 2 e1 = L 2 1 + r 2 BC 2 r BC L 1 co β β = co 1 ( L 1 2 + r 2 BC L 2 e1 ) 2 r BC L 1 φ BD = φ BC β A φ BD zög imeretében a φ BC zög i zámítható. φ CD = tan 1 ( L 1 in φ BD r BC in φ BC ) L 1 co φ BD r BC co φ BC Ezek után már meg lehet határozni az L 2 vektor hozát. L 2 = (E x D x ) 2 + (E y D y ) 2 φ DE = tan ( E y D y E x D x ) δ = φ CD φ DE A δ zöget a mozgá orán állanónak véve kell meghatározni az E pont pályagörbéjét. Kíérletezé orán megállapítható, hogy akkor kapjuk a legegyeneebb pályagöbét, ha δ φ AB, valamint a karhozak akkorák, hogy a δ zögre meghatározott feltételt kielégítik [4]. A karhozak imeretében előállítható az E pont pályagörbéje, mint φ AC függvénye. E x = L e1 co φ AC L e2 co φ CD L 2 co φ CD E y = L e1 in φ AC L e2 in φ CD L 2 in φ CD 3
Ezeknek a függvényeknek a egítégével megrajzolhatjuk az E pont pályagörbéjét. Pélaképpen vegyük az Afp 424 típuú félpantográf áramzeőt, melynek a méretei: r AB = 726,395 mm φ AB = 13,94 L e1 = 144 mm L e2 = 34,162 mm L 1 = 142 mm L 2 = 1663,6 mm δ = 14,6199 Ezen aatok egítégével előállítható az áramzeő pályagörbéje (2. ábra). 2. ábra Félpantográf áramzeő pályagörbéje Valamint a φ Le1 zögelforulá függvényében a magaág függé i (3. ábra). 4
3. ábra Áramzeő magaága a φ Le1 zög függvényében 5
3. FÉLPANTOGRÁF RENDSZERŰ ÁRAMSZEDŐK REDUKÁLT TÖMEGÉNEK ÉS NYOMATÉKIGÉNYÉNEK MEGHATÁROZÁSA A reukált tömeg meghatározáa orán azt a fiktív tömeget kell meghatározni, amit a cúzó aru helyén van, é a mozgái energiája megegyezik a mozgó karrenzer mozgái energiájával. 3.1 Áramzeő nyomatékigényének meghatározáa A nyomaték igény meghatározáa orán figyelembe kell venni az egye tagok tömegét, valamint a forgó mozgát végző karok eetében a tömegükön kívül azok tehetetlenégi nyomatékát é úlypontjait. Továbbá efiniálható még a renzer pillanatnyi forgá pólua i, mely pont körül végzi a forgó mozgáát a karrenzer. 4. ábra: Áramzeő nyomatékigényének meghatározáa [1] Jel GAC GCD Megnevezé Húzókar úlya Emelőkar úlya 6
GBD GDE GE FE S MD F MB Nyomókar úlya Felőkar é a vízzintebe tartó rú hoza Áramzeőfej úlya Felővezeték nyomóereje Karok úlypontjai FM erő k karon kifejtett nyomatéka a D pontra Ereő erő Az áramzeő nyomatékigénye a b forgátengelyen 1. táblázat: 4. ábra jelmagyarázata A nyomatékigény meghatározáa (4. ábra) orán bemenő paraméterek a már elkézített geometria méretei, valamint az egye tagok úlya, azok tehetetlenégi nyomatékai é a karok úlypontjai. A zámítát, haonlóan a geometria meghatározáánál, φ AC függvényeként írható föl, vagyi φ AC lépéekben határozható meg a nyomatékigény é a reukált tömeg értékei. Elő lépéként meg kell határozni a D pontban ébreő nyomatékot. M D1 = [(F E + G E ) L 2 + G DE r DS ] co(φ DE ) M D2 = (G CD L e2 r CS + G L AC e2 r AS ) L e2 co(φ CD ) L e1 M D = M D1 M D2 Következő lépéként meg kell határozni a C é E pontok távolágát é az alapíkkal bezárt zögét. r CE = (E x C x ) 2 + (E y C y ) 2 φ CE = tan 1 ( E y C y E x C x ) Ezek után meghatározható a C ponti nyomaték i. M C1 = [(F E + G E ) r CE + (G CD + G DE ) S CE ] co(φ CE ) M C2 = G BD r BS L L e2 co(φ CE ) 1 M C = M C1 + M C2 Mot meg kell határozni az áramzeőre ható erőpár F értékét, maj ennek a karját i. F = F E + G E + G DE + G CD + G AC r AS + G BD r BS L 1 L e1 k a = L e2 in(π φ AC + φ CD ) 7
k b = L e2 in(π φ BD + φ CD ) Ahhoz, hogy meg tujuk határozni az áramzeő nyomatékigényét, efiniálni kell egy δ zöget, ami a következő móon határozható meg: δ = φ BD φ AC. Az áramzeőbe épített rugó egy karrenzer egítégével catlakozik a B pontba, így az áramzeő nyomatékigényét (5. ábra) a B pontban ébreő nyomatékkal tujuk meghatározni: M b = M D L 1 in(δ ) F L k 1 co(φ BD ). a 5. ábra: AFp424 típuú áramzeő nyomatékigénye Következő lépében meghatározható az áramzeő pillanatnyi forgá pólupontja. A pantográf reukált tömege akkor tartható közel állanó értéken, ha a P pólupont közel van az E ponthoz. P x = r AB in(φ AB ) r AB co(φ AB ) tan(φ BD ) tan(φ AC ) tan(φ BD ) r AP = P x co(φ AC ) P y = r AP in(φ AC ) 8
3.2 Áramzeő reukált tömegének meghatározáa A fiktív tömeg a p póluponton átmenő tengely körül, az aló karok peig az a é a b forgátengely körül végeznek forgó mozgát. Ezekre a tengelyekre kell meghatározni a mozgái energia értékeit (6. ábra). 6. ábra: Félpantográf tehetetlenégi nyomatéka [1] Jel Ja Jb JS ms Megnevezé Húzókar tehetetlenégi nyomatéka az a tengelyre Nyomókar tehetetlenégi nyomatéka a b tengelyre A telje felő réz (felőkar, vízzinteben tartó rú, paletta réz, emelőkar) tehetetlenégi nyomatéka az áramzeő úlypontjára Telje felő réz tömege 2. táblázat: 5. ábra jelmagyarázata E a = 1 2 J a ω a 2 E b = 1 2 J b ω b 2 E b = 1 2 (J S + m S r 2 PS ) 2 ω P A renzer öze mozgái energiája a mozgái energiák özege, ami megegyezik a reukált tömeg mozgái energiájával, tehát E öze = E a + E b + E p = 1 2 m re v y 2 9
A reukált tömeg értékét a fenti egyenlet átrenezéével határozható meg. m re = J aω 2 a + J b ω 2 b + (J S + m S r 2 PS ) 2 ω P v2 y A mozgái energiákat elméletileg bármelyik tengelyre fölírható, e valójában akkor kapjuk a legegyzerűbb alakot, ha a p, pillanatnyi pólura írjuk föl az egyenleteket. Továbbá efiniálható még a tengelyek közötti áttétel i. ω p ω a = L e1 r AP = i PA ω p ω b = L 1 r BP = i PB Az alókarok tehetetlenégi nyomatékait föl lehet írni még az áttételek egítégével i. J AP = J a 2 i PA J BP = J b 2 i PB A függőlege irányú ebeéget peig a következő özefüggé egítégével határozható meg: v y = r PE ω p co(φ PE ) A reukált tömeg zámítáához az alábbi egyzerűített képletet lehet fölhaználni: m re = J a( r PC Le1 )2 +J b ( r PD L1 )2 2 +J S +m S r PS r 2 PE co 2 (φ PE ) Péla képen az AFP424S típuú áramzeő reukált nyomatékát a 7.ábra zemlélteti.. 1
7. ábra: AFp424 típuú áramzeő reukált tömege 11
4. ÁRAMSZEDŐ REDUKÁLT TÖMEGÉNEK MEGHATÁROZÁSA TETSZŐLEGES MAGASSÁGBAN A vizgálat folytatáához zükég van az áramzeő reukált tömegére. A méretezéi eljárá orán az értékek a φ AC zögelforulá függvényében vannak kizámolva. Ennek tükrében valamilyen közelítő eljárá egítégét kell haználni. 4.1 Lineári interpoláció Ha imert az f: R R függvény a x 1 < < x n b pontokban felvett y i = f(x i ) i = 1,2,, n értékei. Kereük a g: R R függvényt, ami kielégíti a y i = g(x i ) i = 1,2,, n interpoláció [8] feltételeket. További megjegyzéek: Az {x i } n i=1 pontokat interpoláció alappontoknak nevezzük Az interpoláció feltételek teljeüléétől azt várjuk, hogy a g(x) interpoláció függvény az alappontok által meghatározott intervallumon jól közelíte az f(x) függvényt 8. ábra: Lineári interpoláció [8] Máképpen megfogalmazva: kereük meg az x α helyen az f(x α ) függvény értékét. Ezt a pontot az x i é az x i+1 alappontok vezik körül. Továbbá a haonló háromzögek alapján a következő egyenlőég írható fel: x α x i x i+i x i = y α y i y i+i y i Ebből az egyenletből kell meghatározni f(x α ) értékét, ami nem má, mint az y α érték. 12
y α = y i + y i+i y i x i+i x i (x ω x i ) Má jelöléekkel: f(x α ) = f(x i ) + f(x i+i ) f(x i ) x i+i x i (x ω x i ) Ezen mózer egítégével meghatározható az áramzeő reukált tömege, tetzőlege áramzeő magaághoz. Ezt egy MATLAB program könnyen lekezeli, a már előre elkézített {x i } N i=1 ; {y i } N i=1 pontorozat é a meghatározni kívánt x α érték egítégével a hozzá tartozó y α függvényértéket gyoran kizámolja. A következőkben egy pélán lez bemutatva a matematikai mózer gyakorlati alkalmazáa. Pélaképpen a MÁV Start Zrt zéle körben alkalmazott 431, 432, 433 orozatú (V43) villamomozony é az AFP 424S áramzeő eetén, v = [ km h ] (álló helyzet) é h f = 6 [mm] felővezeték magaágot feltételezve, meghatározható az áramzeő reukált tömege. Elő lépében meg kell határozni a pantográf tatiku magaágát: h p = h f h m ; ahol: h p : áramzeő magaága, h f : felővezeték magaága, é h m : mozony magaága (áramzeő nélkül) A 43x orozatú mozonyok magaága 454 [mm], így a tatiku magaág: h p = 6 454 = 146 [mm] 4.2 Lineári interpoláció közvetlen alkalmazáa Ebben a fejezetben arról eik zó, hogy a mózert közvetlenül a reukált tömeg magaág görbén alkalmazzuk. A pélában zereplő 146 [mm] hez tartozó reukált tömeg m re = 29,9345432 [kg]. Grafikuan zemléltetve: 13
Az interpolációk környezet kinagyítva: 9. ábra: Reukált tömeg 146 mm-e magaágban 1. ábra: Interpoláció környezet 4.3 Lineári interpoláció közvetett alkalmazáa Ha az interpolációt a magaág zögelforulá függvénnyel alkalmazzuk, akkor megkapható az aktuáli áramzeő magaághoz tartozó φ AC zög értéke. Ezen zög érték egítégével kizámítható az aktuáli pozícióhoz tartozó reukált tömeg értéket. A pélában zereplő 146 [mm] hez tartozó φ AC zög értéke: φ Le1 = 141,78973846 [ ]. Grafikuan: 14
Az interpoláció környezetre nagyítva: 11. ábra: Reukált tömeg 146 mm-e magaágban 12. ábra: Interpoláció környezet Ezzel a zögértékkel a reukált tömeg peig: m re = 29,935772 [kg]. 4.4 A két mózer özehaonlítáa, értékelée Előállíthatók interpolációegítégével a reukált tömeg görbék, M re1 -gyel jelölve a közvetett é M re2 -vel jelölve a közvetlen alkalmazát 15
13. ábra: Reukált tömeg a két mózer egítégével Látzólag jelentő eltéré ninc a két mózer között, ám ha képezzük az M re1 M re2 különbég függvényt, elénk tárulnak az eltéréek. 14. ábra: Különbég függvény Látható, hogy a két mózer között igen nagy eltéré ninc, az [5; 25] intervallumon a különbég közeli, így ezen a tartományon belül min a két mózer közel ponto ereményt a viza. Ezen ok miatt további megfontolát igényel a megfelelő mózer kiválaztáa. A zempont, hogy minél gyorabban lefuon a zámítá, é ezt a közvetlen alkalmazáal lehet elérni, így a továbbiakban ezzel zámítái metóual lez meghatározva a reukált tömeg értéke, amikor a magaág függvényében kell meghatározni. 16
5. FELSŐVEZETÉK MODELLEZÉSE A megfelelő eremény érekében figyelembe kell venni a felővezeték gerjeztő hatáát. Feltételezve, hogy a felővezeték tartó ozlopoknál a felővezeték függőlege irányú elmozuláa zéru, így moellezhető egy kéttámazú tartónak (15. ábra). F H E, I, A, ρ F H F (v,t) l 15. ábra: Felővezeték moellezée Az F erő v ebeéggel hala folyamatoan ezen a tartón, amely egy FH horizontáli erővel elő van fezítve. Ez i egy perioiku gerjeztét viz bele a renzerbe. A lehajlát a következő [9] egyenlettel zámítható ki: e y = 1 E I 1 F(L x)2 x 2 F x F(L 2x) + ρ ( + 3 L L L x ) 1 E I 1 2 x(l x) 2 3 F x ( 1 1 E I 3 F(L x)2 x 2 ) L Ahol E a felővezeték anyagára jellemző rugalmaági moulu, I a kereztmetzet máorenű nyomatéka, L a két tartó ozlop közötti távolág, ρ a felővezeték anyagának űrűége, F az áramzeő zorítóereje, Fx az x irányú húzóerő. A felővezeték lehajláát a 16. ábra zemlélteti. 17
16. ábra: Felővezetél felhajláa 18
6. AZ ÁRAMSZEDŐ, MINT EGYSZABADSÁGFOKÚ LENGŐRENDSZER A 17. ábra zemlélteti az áramzeő inamikai moelljét. 17. ábra: Áramzeő inamikai moellje 6.1 Az áramzeő mozgáegyenletének felíráa Látható, hogy áll egy tömegből, egy rugóból é egy cillapítóból, melynek mozgáa egyetlen = (t) általáno koorinátával leírható, valamint a renzer útgerjeztét kap a mozonytól. Ezek után belátható, hogy ez egy lengéképe renzer, melyre a Lagrange féle máofajú mozgáegyenlet felírható, melynek általáno alakja [7]: Elő lépéként fel kell írni az energiákat a) tömegpont mozgái energiája: b) izipáció energia c) rugóban tárolt energia t ( E ) E + D + U = Q. E k = 1 2 m re 2 D = 1 2 2 U = 1 2 2 Következő lépéként el kell végezni a eriváláokat. a) t ( E ) = t ( (1 2 m re 2 ) ) = (m t re ) = m re 19
b) E = ( 1 2 m re 2 ) c) D = (1 2 2 ) ) U = ( 1 2 2 ) = = = Így előállítható az áramzeőnek, mint egyzabaágfokú lengőrenzer mozgáegyenlete: m re + + = Q A általáno koorináta jelen eetben a z irányú elmozulá, ezért = y ; = y é = y, így a mozgáegyenlet: m re y + y + y = Q Mot peig meg kell vizgálni a renzerre ható gerjeztét. A pantográf a mozonyok tetején helyezkenek el, így gerjeztő hatát kap egyzer magától a mozony zekrénytől rugón é cillapítón kereztül, máo orban a felővezetéktől i kap egy gerjeztét, tömegen kereztül. Min két eetben útgerjeztéről lehet bezélni. Továbbá a régebbi típuú áramzeőkben még nem alkalmaztak cillapító elemet, e ebben az eetben a rugó anyagcillapítáát figyelembe lehet venni. A felővezeték korlátozó feltételeit elhanyagolva, cak a mozonytet gerjeztő hatáát figyelembe véve a gerjeztő függvény a következő alakban írható fel: Útgerjezté eetén a rugóban a felhalmozóott energia: U = 1 2 (y y g) 2. Így az általáno vizatérítő erő: Útgerjezté eetén a izipált energia: Q ö = U = U y = y + y g. A gerjeztő erők: Q ö = F β = kv k = k v = k (y y g ) = k y + k y g Q g1 = y g (t) 2
Q g2 = y g (t) Ezek alapján az áramzeő mozgáát leíró máorenű, lineári, inhomogén ifferenciálegyenlete a következő alakú lez: m re (y) y + (y y g ) + (y y g ) = y g (t) + y g (t). Q g2 Q g1 Az egyenlet zemléltetée jelfolyam ábrával: 18. ábra: Mozgáegyenlet jelfolyam ábrán Az egyenlet megoláát tovább bonyolítja az a probléma, hogy a reukált tömege magaágfüggő. A mozgáegyenlet numeriku megoláához az egyenletet a következő alakúra kell renezni: y = m re (y) (y y g ) Mozgáegyenlet megoláa m re (y) (y y g) + Q g1 m re (y) + Q g2. m re (y) A mozgáegyenlet megoláa [6] orán figyelembe kell venni a reukált tömeg magaág függő változáát, ehhez peig a járműtatiku magaág zükége. Valamit zükége még a t iőponthoz tartozó y (t ) = y, y(t) = y kezetiértékek meghatározáa. y = [ y y ] = [ ] h p = 146 mm A korzerű áramzeők rugalma elemen kívül cillapító taggal renelkezik. A olgozatban zereplő áramzeőbe pélaképen egy = 2485 [ N ] rugóállanójú lineári rugó é egy = m 21
5 [ N ] cillapítái tényezőjű lengécillapító legyen feltételezve. A megolá orán azzal az m egyzerűítéel lehet élni, hogy az áramzeő reukált tömege a mozgá orán nem változik. Továbbá figyelembe kell venni a felővezeték gerjeztő hatáát. 19. ábra: Áramzeő lengéei A 19. ábra zemlélteti az áramzeő lengéét. Megfigyelhető, hogy a 8. máopercet követően leceng a lengé. Ez azért lehetége, mert a pályáról é a felővezetékről érkező gerjeztét a renzer kiegyenlítette. A további vizgálatokhoz ponto pálya é felővezeték moell zükége. 6.2 Áramzeő ajátfrekvenciájának meghatározáa Az áramzeő z(t) gerjeztő iőfüggvénye a eriváltjával együtt imeretlennek tekinthető, így a ifferenciálegyenlet [6] egy f (t) = y g (t) + y g (t) zavarófüggvénynek tekinthetjük. A inamikai renzer mátrixo felíráához bevezetve az y = [y g (t), y g (t)] T R 2 állapotvektort, a következő alakban írható fel az egyenlet: 22
y (z) = [ y g (t) y g (t) ] = [ m re (y) m re (y)] 1 Renzermátrix egítégével felírva: A y = A y(t) + f(t). [ y g (t) y g (t) ] y(t) f (t) + [ m re (y)]. A ajátfrekvencia meghatározáához elő lépében az A renzermátrix ajátértékét kell meghatározni, melyhez elő lépéként a karakteriztiku polinom egítégével felírt karakteriztiku egyenlet megoláával juthatunk. A karakteriztiku polinom: et(a λ E) = et ([ m re (y) m re (y)] λ [ 1 1 ]) 1 alakú. A karakteriztiku egyenlet peig: et ([ m re (y) m re (y)] λ [ 1 1 ]) = 1 et ([ m re (y) λ m re (y)]) = λ 2 + 1 λ m re (y) λ + f(t) m re (y) =. A karakteriztiku egyenlet megoláa aja a két ajátértéket. Továbbá bevezetve az, α 2 (z) = m re (y) β(z) = 2m re (y). Ahol α a cillapítatlan renzer ajátfrekvenciája, β rezgő renzer aját frekvenciájára jellemző érték. Feltételezve, hogy a renzer egy gyengén cillapított, azaz a izkriminán értéke negatív. Továbbá bevezetve a: 2 γ(z) = α 2 β 2 = ( m re (y) ) ( 2 m re (y) ) >. Így a két komplex konjugált gyökpár a következő alakú: 23
λ 1 (z) = β + i γ(y); λ 2 = β i γ(y). Ezek alapapján a aját körfrekvencia é a aját frekvencia: ω(z) = Imλ = γ; [ ω] = ra f(z) = ω 2π = γ 2π ; [f] = 1 = Hz Mivel az áramzeő reukált tömege magaág függő érték, így a aját frekvencia i magaágfüggő érték lez. A péla áramzeő ajátfrekvencia görbéje következő képen alakul (2. ábra): 2. ábra: A péla áramzeő ajátfrekvencia görbéje 24
7. VILLAMOS VONTATÓJÁRMŰVEK MINT TÖBBSZABADSÁGFOKÚ LENGŐRENDSZEREK Egy villamo vontatójármű inamikai moelljét a 21. ábra zemlélteti: 21. ábra: Négytengelye villamo vonataójármű inamikai moellje Látható, hogy a kerékpárok rugón é cillapítón kereztül vannak bekötve a forgóváz keretbe, továbbá a forgóvázak zintén rugók é cillapítókkal vannak kapcolatban a járműzekrénnyel, melynek tetején rugó é cillapítóval kapcolóó áramzeő található meg. Többzabaágfokú renzer [7]: ha a renzer mozgáát leíró általáno koorináták záma egynél több. 25
Többzabaágfokú izkrét lengőrenzer [7]: merev tetekből, tömegpontokból é köztük lévő úlytalan rugalma elemekből felépített renzer, mely tartalmazhat cillapítókat é gerjeztéeket i. 7.1 Máofajú Lagrange mozgáegyenlet enzer felíráa Egy négytengelye forgóváza villamo vontatójárművek eetén akár egy N = 8 zabaágfokú renzerről i lehet bezélni, attól függően, hogy milyen rézleteéggel van figyelembe véve a járműmoell. Jelen pélában egy N = 4 zabaágfokú renzerről van zó, melyre az általáno koorináta vektor [6]: = [ 1, 2,, 4 ] T R 4, ennek iő zerinti eriváltja az általáno koorináta ebeég vektor: = [ 1, 2,, 4 ] T R 4 alakú. Az ezekből előállított 2 4 imenzió hipervektor, ami a mozgá állapot vektora: x = [, ] T R 2 4 A renzer mozgáát leíró mozgáegyenlet renzer a következő alakot ölti: t ( E ) E + D + U = Q i i i i. i Megvizgálva az ábrát, látható, hogy útgerjezté eete van jelen, méghozzá tömegen kereztül. A inamikai renzerben a mozgá miatt létrejövő öze kinetiku energia, E( g, 2,, 8 ): E = 1 2 m 1 g1 2 + 1 2 m 2 2 g2 + 1 2 m 3 2 g3 + 1 2 m 4 2 g4 + 1 2 m 5 5 2 + 1 2 m 6 6 2 + 1 2 m 7 7 2 + 1 2 m 8 8 2. A renzerben felhalmozóott öze potenciáli energia, melyek a tömegeket özekötő rugókban ébre: 26
U( g, 2,, 8 ) = = 1 2 15( 5 g1 ) 2 + 1 2 25( 5 g2 ) 2 + 1 2 36( 6 g3 ) 2 + 1 2 46( 6 g4 ) 2 + 1 2 57 ( 5 7 ) 2 + 1 2 67 ( 6 7 ) 2 1 2 78 ( 7 8 ) 2. Továbbá a renzerben izipált energia: D( g, 2,, 8 ) = = 1 2 15( 5 g1 ) 2 + 1 2 25( 5 g2 ) 2 + 1 2 36( 6 g3 ) 2 + 1 2 46( 6 g4 ) 2 + 1 2 57 ( 5 7 ) 2 + 1 2 67 ( 6 7 ) 2 1 2 78 ( 7 8 ) 2. Elvégezve a eriváláokat: Kinetiku energiákra: Potenciáli energiákra: t ( E ) = 5 t (m 5 5 ) = m 5 5 t ( E ) = 6 t (m 6 6 ) = m 6 6 t ( E ) = 7 t (m 7 7 ) = m 7 7 t ( E ) = 8 t (m 8 8 ) = m 8 8 U g1 = 15 ( 5 g1 ) ( 1) = 15 g1 15 5 U g2 = 25 ( 5 g2 ) ( 1) = 25 g2 25 5 U g3 = 36 ( 6 g3 ) ( 1) = 36 g2 36 6 U g4 = 46 ( 6 g4 ) ( 1) = 46 g2 46 6 27
Dizipatív energiákra: U 5 = 15 ( 5 g1 ) + 25 ( 5 g2 ) + 57 ( 5 7 ) = 15 5 15 g1 + 25 5 25 g2 + 57 5 57 7 U 6 = 36 ( 6 g3 ) + 46 ( 6 g4 ) + 67 ( 6 7 ) = 36 6 36 g3 + 46 6 46 g4 + 67 6 67 7 U 7 = 57 ( 5 7 )( 1) + 67 ( 6 7 )( 1) + 78 ( 7 8 ) = 57 7 57 5 + 67 7 67 6 + 78 7 78 8 U 8 = 78 ( 7 8 )( 1) = 78 8 78 7 D g1 D g2 D g3 D g4 = 15 ( 5 g1 ) ( 1) = 25 ( 5 g2 ) ( 1) = 36 ( 6 g3 ) ( 1) = 46 ( 6 g4 ) ( 1) D 5 D 6 = 15 ( 5 g1 ) + 25 ( 5 g2 ) + 57 ( 5 7 ) = 36 ( 6 g3 ) + 46 ( 6 g4 ) + 67 ( 6 7 ) D 7 = 57 ( 5 7 )( 1) + 67 ( 6 7 )( 1) + 78 ( 7 8 ) D 8 = 78 ( 7 8 )( 1) A gerjezté: 28
29 Q = 15 1g (t) + 15 1g (t) + 25 2g (t) + 25 2g (t) + 36 3g (t) + 36 3g (t) + 46 4g (t) + 46 4g (t) Mátrixo alakban: 8 7 6 5 4 3 2 1 m m m m m m m m M 78 78 78 78 67 57 67 67 67 46 36 46 36 57 25 15 25 15 46 46 36 36 25 25 15 15 S 78 78 78 78 67 57 67 67 67 46 36 46 36 57 25 15 25 15 46 46 36 36 25 25 15 15 D
3 = 8 7 6 5 4 3 2 1 g g g g ; = 8 7 6 5 4 3 2 1 g g g g 46 36 25 15 Q 46 36 25 15 Q g = 4 3 2 1 g g g g ; g = 4 3 2 1 g g g g Ezen mátrixok egítégével a mozgáegyenlet renzer a következő alakot ölti: M (t) + D (t) + S (t) = Q g (t) + Q g (t)
A mozgáegyenlet renzer megoláához tartozik még termézeteen egy kezeti értékek előírt renzere. A inamikai egyenletrenzer megoláa a mozgávizonyait leíró lineári, inhomogén ifferenciálegyenlet-renzer (D.E.R.) é a hozzá tartozó kezetérték probléma (K.É.P.) megoláa jelenti. A ifferenciálegyenlet megoló algoritmuok előrenű egyenletek megoláára anak lehetőéget, így a lineári iőinvarián járműinamikai moellek máorenű egyenletét a következő képen explicit alakra kell hozni: (t) = M 1 D (t) M 1 S (t) + Q g (t) + Q g (t) Bevezetve az y(t) = [ (t) (t)] T R 2n állapot vektort, melynek elő ora a ebeég koorinátákat, míg a máoik ora a hely koorinátákat tartalmazza. Elkézítve ezen vektor elő iő zerinti eriváltját, melynek elő ora a gyorulá, míg a máoik ora a ebeég koorinátákat fogja tartalmazni. Ezek imeretében: (t) y (t) = [ (t) ] = [ M 1 1 D (t) M S (t) + Q g (t) + Q g (t) ] = (t) = [ M 1 1 D M S (t) ] [ E (t) ] + [ M 1 Q g (t) + M 1 Q g (t) ] y(t) A Megfigyelhető, hogy létrejött egy négy elemű hipermátrix, mint a lineári iőinvarián inamikai renzer renzermátrixa, A-val jelölve (mely függ a renzer paraméteretektől, így zoká még A (M, S, D )-vel i jelölni). Ezen mátrixnégy arab n n-e almátrixot tartalmaz, ahol E egy n n-e egyégmátrix, míg a peig zintén n n-e zérómátrix. A gerjeztő vektort jelölje f(t) R n, ahol a egy n elemű zéróvektor. Továbbá bevezetve az y(t ) = y = [ ] T R 2n kezetiértékvektort, az előrenűvé reukált mozgáegyenlet renzer a következő tömör formulával írható fel: y (t) = A y(t) + f(t) y(t ) = y f(t) 31
8. ÖSSZEFOGLALÁS Jelen olgozatban a nagyvaúton zéle körben elterjet félpantográf renzerű áramzeők tervezéi é vizgálati mózereit mutattam be rézleteen. Elő lépében meg kellett tervezni az áramzeő geometriáját. Ezt egy özetett koorináta geometriai özefüggéek egítégével lehet megtenni. Ennek a problémának a megoláát MATLAB környezetben könnyen elő lehet állítani. Ezek után lehet megtervezni az áramzeőt, így az egye tagoknak inamikai jellemzőket aunk. Így meghatározható az áramzeő emelééhez é a zorítához alkalmazott rugalma elem méretezée é az áramzeő inamikai tulajonágait jellemző reukált tömeg értéke. A már elkézült áramzeő egy lengéképe renzert alkot, amit útgerjezté éri a mozonyon é a felővezetéken kereztül. Ezt moellezve, mint egy zabaágfokú renzer meghatározható a mozgáegyenlete, amit MATLAB egítégével megolva, előáll a renzer lengéképe. A lengő renzerek egyik meghatározó tulajonága a ajátfrekvencia, így ezen renzer magaágfüggő értékeit i meg lehet határozni, zintén MATLAB egítégével. A mozony-áramzeő-felővezeték renzer egy több zabaágfokú lengőrenzert alkot, melynek a mozgáegyenletei zintén megolható, ám a felaat komplexitáa miatt jelen olgozatban ettől eltekintettem, ami a téma folytatáa lehet. A renzer ponto moellezééhez megfelelő pályamoell é felővezeték moell zükége, ami további mélyebb kutatáokat igényel, ami a olgozat folytatáát jelenti. 32
9. IRODALOMJEGYZÉK [1] Raboczki Józef: Félpantográf renzerű áramzeő fejleztée é üzemi tapaztalatai Ganz Villamoági Közlemények, Folyóirat, 23. zám, Buapet, 1986. 8-88. olal [2] M. Loui Fiaveley: Nouveau ipoitif e prie e courant Szabaalmi leírá, Gr.3-Cl.3 No. 1.129.13, 1955, Francia Köztáraág Ipari é kerekeelmi Miniztérium [3] P. Boionnae, R. Dupont: VERS LES 3 km/h SOUS CANTÉNAIRE 25 kv 5 Hz Revue Générale e Chemi e Fer, ept 197., 492-55. olal [4] Haa Áám: Vaútmoell áramzeők méretezée Folyóirat, Inóház vaúti magazin, X. évfolyam, 9. zám, 214. zeptember, 6-61. olal [5] MSZ-EN 526-1: Vaúti alkalmazáok. Görülőállomány. Áramzeők: Jellemzők é vizgálatok Magyar Szabvány, 2 júliu [6] Prof. r. Zobory Itván: Renzertechnika é renzeranalízi Buapeti Műzaki- é Gazaágtuományi Egyetem, Vaúti járművek é járműrenzeranalízi Tanzék, Egyetemi jegyzet, Buapet, 211, 1-6.olal [7] r. Égert Jáno, r. Jezó Károly: Mechanika, Rezgétan Univerita-Győr Nonprofit Kft, Egyetemi jegyzet; Győr, 26, 25-13.olal [8] Matematika M1 gépézmérnököknek, Interpoláció: http://math.bme.hu/~orlovit/m1-216-ea-6-interpol.pf, letöltve 217. 1. 29. [9] r. Záry Árpá: Gépelemek, I., Tankönyvkiaó, Buapet, 1989, 33