MSc Fizikai eodézia és avietia /. BMEEOAFML AZ ISMÉTELT GEODÉZIAI MÉRÉSEK GEODINAMIKAI ÉRTELMEZÉSE. Száos földfizikai folyaat a földi ehézséi eőté időbeli változásait okozza. A külöböző étékű és sebesséű változásokak e kell yilváulia a ehézséi vekto iáyáak és aysááak következésképpe a szitfelületek helyzetéek alakjáak a helyi füőlees iáyáak és a földfelszíi potok ehézséi étékéek eváltozásába is. Ilye köüléyek között szükséessé válik a helyehatáozás hayoáyos alapelvéek felülvizsálata ezét a továbbiakba ost azt fojuk eézi hoy a ehézséi eőté báilye okból száazó időbeli eváltozása ilye hatást yakool a földfelszíi potok helyzetét jellező eodéziai helyehatáozó adatoka. A ehézséi eőtée voatkozó szászeű iseeteiket ehézséi éések által szeezzük. Feladatuk eoldása soá szüksészeűe eül fel tehát az a további kédés: hoya viselkedik a földfelszíe éhető ehézséi éték (ehézséi téeőssé) az időbe változó eőtébe. A teészetes koodiáták és változásaik A földfelszíi potokba ételezett szitfelületi földajzi koodiátái és poteciálétéke vay a aassái alapszitfelülethez (eoidhoz) viszoyított poteciálkülöbsée ill. (teeszitfeletti) aassáa által alkotott helyehatáozó adatok étékháasát eyüttese tööe a pot teészetes koodiátáiak evezzük. A eodéziába haszált helyehatáozó adatok közül ők állak leszoosabb kapcsolatba a Föld ehézséi eőteével íy a továbbiakba előszö az ő időbeli változásaikkal fouk folalkozi. A teészetes koodiáták efelelő eodéziai éési ódszeel (földajzi helyehatáozás és szabatos aassáehatáozás) yakolatila szászeűe ehatáozhatók. (Kivétel a pot poteciálétéke ait eyelőe éi e tuduk ezét haszáljuk helyette a éhető poteciálkülöbséet ill. a (teeszitfeletti) aassáot.) Bá közvetleül e helyehatáozó eyisé de a ehézséi eőté szekezetéek (eloszlásáak) és időbeli változásaiak tauláyozásako a ehézséi vekto iáya (a helyi füőlees iáya) ellett élkülözhetetle további fotos adat eek aysáa a ehézséi téeőssé abszolút étéke is aely szászeűe eeyezik a szabado eső test yosulásával vay ás szóval a ehézséi yosulással és efelelő ódszeel uyacsak ie ay ebízhatósáal éhető. Az elített ééseket kellő szabatossáal a szilád Föld fizikai felszíé kijelölt (és tatósa álladósított) potokba tudjuk elvéezi íy a potok teészetes koodiátái és ehézséi étéke a földfelszí alakjáa voatkozó eoetiai és a földi
ehézséi eőtéhez kapcsolódó fizikai ifoációkat tatalazó (kettős jelleű) eyiséek. Részletes vizsálatuk soá idkét jellee tekitettel kell lei. A eodézia kezdeti fejlődési szakaszát id eoetiai id fizikai oldalól a statikai szelélet jelleezte aiko is id a Föld eoetiai alakját id a ehézséi eőteét időbe álladóak tekitették. Eek ételébe valaely földfelszíi pot valaiko ehatáozott teészetes koodiátáit és ehézséi étékét eysze és idekoa változatla (kostas) eyisékét foadták el. Esetlees isételt éésekből adódó eltéések ayaázatakét csak a éési hibák (véletle szabályos vay esetle ú. duva hibák) jöhettek szóba. A tásadalo és a tudoáy következő fejlődési foká jelelei évtizedeik yakolatáak efelelőe elfoadottá vált a földfelszí alakváltozásáak lehetősée. Eek fizikai hátteekét a kéedaabok ozása keült előtébe. Íy apjaik általáos yakolatakét a teészetes koodiáták közül a aassá tapasztalt időbeli változását füőlees a szitfelületi szélessé és hosszúsá étékébe észlelt és időbeli változásokat pedi vízszites kéeozáskét ételezik. (Az eyes eyiséek időbeli változását a továbbiakba következetese a -val fojuk jelöli.) Mivel ezek a eyiséek e csupá a Föld eoetiai alakjához hae ehézséi eőteéhez is kötődek az előbbi ételezés hallatólaosa aába hodja az eőté időbeli álladósááa voatkozó alapfeltevést. Mivel a koodiáta-változások és az eőté kapcsolata ily ódo e keül szóba ezt az ételezést kieatikai szeléletek evezhetjük. Eek elletodásossááa jellező hoy uyaekko apjaikba övedetes ódo eye több helye soa keülő isételt abszolút ehézséi éések alapjá ehatáozott időbeli változásokat a jelelei yakolat szeit a ehézséi eőté időbeli változásakét ételezik tudoásul véve ez utóbbiak a lehetőséét is. Ez a fajta ételezés azoba hallatólaosa aába folalja azt a feltételezést hoy az isételt éések között az álloásak a Föld töeéhez viszoyított tébeli (eoetiai) helyzete változatla aadt ai ás szóval az előbbi bekezdésbe elített eoetiai alakváltozások felszí- vay kéeozások lehetősééek kizáását jeleti. Midkét fajta ételezés sajálatos ódo eyütt eyás ellett él a földtudoáyok ai yakolatába pedi eyik a ásikat kizája. Eek az elletodásak a feloldását célozza a továbbiakba isetetedő azo iteált eodéziai-eodiaikai szeléleti ód aelybe eyidejűle elfoadjuk id a eoetiai alakváltozások (felszíozások) id pedi a ehézséi eőté időbeli változásáak lehetőséét. Eek ételébe az észlelt koodiáta- illetve téeőssé-változások idkét hatás eedőjekét lépek fel és íy idkét hatást eyüttese tatalazzák. Me kellett találi a kétféle hatás szétválasztásáak ódszeét azaz az észlelt koodiáta- és ehézséi változásokból helyes fizikai ételezéssel ehatáozi a valódi felszíozás és a téylees eőtéváltozás étékét. Ebből a célból e kell iseük a teészetes koodiáták és az eőté időbeli változásáak kapcsolatát. Mejeyezzük hoy a továbbiakba következetese felszíozásól beszélük a yaka haszált kéeozás kifejezés helyett hisze a ééseiket a földfelszíe véezzük és e tudjuk hoy eek eedéyei a teljes kéedaabok ozását is jellezik-e.
A aassá és a ehézséi téeőssé időbe változó eőtébe Aak édekébe hoy a viszoyokat élese kisakítva tauláyozhassuk előszö éháy eyszeű de eybe fizikaila szélsősées lehetőséeket képező földodelle voatkozóa utatjuk be a aassá és a ehézséi téeőssé időbeli változásával kapcsolatos összefüéseket. Előszö olya eyszeű de éis jellezetes odelleket utatuk be elyek seítséével eyszeű eszközökkel de eyőzőe tudjuk a feladat eoldásáak léyeét szelélteti. Meev kéű földodell A eev kéű földodell felszíéek kis daabját az. ába utatja. A felszíi pot kezdeti t időpotbeli poteciálétéke és a ehézséi téeőssé vektoa uyaakko. Az eőté valaely t időtata alatt bekövetkező eváltozását a továbbiakba célszeűe a skalá étékkel az eőté poteciáljáak eváltozásával fojuk jelleezi. Íy a t' t t időpotba a pot eváltozott poteciálétéke ' lesz a ehézséi vekto uyaakko -e változik.. ába. A eev kéű földodell Általáossá kedvéét fel kell tételezzük hoy az eőté eváltozása a hely füvéye ezét eek következtébe eváltozik az eőté iáya és szitfelületeiek alakja is. A kezdeti helyzetébe a poto áteő szitfelület pedi a té azo helyée tolódik ahol a eváltozott ' poteciálfüvéy veszi fel a kezdeti étéket. A aassászáítás szepotjából éppe ez a N () szitfelület-eltolódás léyees. Kis változások és a Föld éeteihez viszoyított kis aassáok esetébe úy tekithetjük hoy a pot füőleesébe az alapul választott szitfelület is N étékű eltolódást szevedett aiek ételébe a felszíi pot kezdeti aassáa N () étékbe eváltozik pusztá az eőté eváltozásáak következtébe aak elleée hoy eev kéű földodellük esetébe valósáos felszíozás e jöhet szóba ( ahol a helyvekto jelölése eek időbeli változása). Má ez 3
az eedéy felhívja a fiyelet aa hoy a felszíi potok észlelt aassáváltozása időbe változó eőtébe e jelet okvetleül felszíozást is! A aassáváltozást tekithetjük az eőté szitfelületeihez viszoyított elatív felszíozásak szebe a pot jelele étékű valódi felszíozásával. A ehézséi téeőssé abszolút étékéek eváltozása és a poteciálváltozás között a poteciál foalából és a dv k dm / ételeszeű alkalazásából következő (3) eyszeű összefüés áll fe a té özített potjába. Ez élese utatja hoy a ehézséi éték és a poteciál (vay az () és a () összefüése keesztül a ehézséi éték és a aassá) eváltozása között általába ics eyszeű aáyossá. Kapcsolatuk csak diffeeciális összefüéssel fejezhető ki. a éési eedéyek alapjá az eőté változását kifejező poteciálváltozás () füvéyéek ehatáozását tűzzük ki célul akko a (3) észlelt étékekkel ee közvetve alkalas bá e valódi diffeeciáleyelet ehatáozásáa et a éési eedéyek csak zát felülete (és e a teljes tébe) isetek. Íy a (3) peefeltételt képez a poteciálelélet. peeétékfeladatáak eoldásához a éési eedéyekkel it iset peeétékekkel. A feladat eoldása kétféle alakba is yehető. Eyik eoldáskét a R 4π S ( ψ ) σ felületi iteál szolál ahol R a földodellt helyettesítő öb suaa σ és dσ az eyséöb felszíe illetve felületelee ψ a futópot és a éési hely öbi szötávolsáa és ( ) S ψ ( ψ ) (5) a Stokes-féle füvéyhez hasoló de ee a földodelle voatkozó füvéy aelybe (ψ ) az -ed fokú Leede-polio és 3... pozitív eész száok. (Mejeyezzük hoy az összeezést azét kell -től kezdei et feltételezzük a Föld töeéek és a töeközéppot helyzetéek változatlasáát.) A (4) eoldás á utatja hoy eyetle éési eedéyből é seiféle következtetést e lehet levoi az eőté változásáa voatkozóa ehhez (elvile) az eész peefelülete szüksé va éési eedéyeke. Másik eoldáskét a füvéy ( ) öbi koodiáták szeiti vétele öbfüvéy-soát kaphatjuk a dσ a ( C ) ( ) S si km (6) alakba ahol km a eocetikus avitációs álladó a a földi ellipszoid fél ayteely hossza () az. fokú. edű Leede füvéy C és S a poteciálfüvéy öbfüvéy-soába szeeplő eyütthatók időbeli változása. Ez a eoldás feltételezi hoy csak a töeátedeződésből száazó vozási poteciálok külöbséekét előálló haoikus füvéy és a eoldást csak a töe külső teée kívájuk ételezi. (4) 4
A öbfüvéy-eyütthatók szászeű ehatáozásához a (6) eoldást a (3) peefeltételbe beíva a közelítéssel a km a ( ) ( C si ) ( ) S (7) alakú közvetítő eyeletet yejük aiből a éési eedéyekkel javítási eyeletek képezhetők és kellő száú eyeletből ax foki tejedő vées száú C S eyüttható száétéke ehatáozható. Ily ódo a (6) seítséével az eőtéváltozások illetve az () alapjá a szitfelület-eltolódások lobális eloszlása jól tauláyozható. Eek a odellek külölees esete ha a földodellt R suaú öbszietikus töeeloszlású öbek tekitjük és az eőté változását a öb középpotjába képzelt potszeű belső a áthelyeződéséből száaztatjuk. Ebbe és csakis ebbe az eyszeű külölees esetbe a (3) helyett feáll a és -e eoldáskét a eyszeű aáyossá. R (8) R (9) Ideális folyadékkal boított földodell Az ideális folyadékkal boított földodell szabad felszíe eeyezik poteciáljáak eyik esetükbe a poto áthaladó poteciálétékű szitfelületével (. ába). A ehézséi téeőssé vektoa uyaitt.. ába. Az ideális folyadékkal boított földodell Az eőté (poteciáljáak) eváltozásával a kezdeti helyzetbe a poto áthaladó szitfelület és vele eyütt a földodellt boító szabad folyadékfelszí füőlees ételebe eltolódik. A pot kezdeti helyzetéből a folyadékfelszíel eyütt a ' helyzetbe keül ahol a ehézséi vekto. A szitfelület N füőlees eltolódása ost is az ()-ből száítható de jele esetbe ez eeyezik a valódi felszíozással uyaakko a pot aassáváltozása hisze ajta aadt a kezdeti helyzetbe is ajta keesztüleő szitfelülete (vay ás szóval 5
poteciálétéke és íy az alapszitfelülethez viszoyított poteciálkülöbsée e változott). Ez a odell eit azt táasztja alá a ásik szélsősées esetbe hoy az észlelt (zéus vay vées) aassáváltozások e jellezők a valódi ozásviszoyoka! Véleéyük szeit a valódi Föld felszíé észlelt zéus vay közel zéusétékű aassáváltozások ikább aa utatak hoy a Föld szilád töee is közel folyadékszeűe viselkedik hosszú peiódusú vay szekuláis eőtéváltozások eseté it aa hoy felszíi ozások alakváltozások icseek. a vizsáljuk az elozduló földfelszíe a ehézséi téeőssé abszolút étéke * eváltozásáak kapcsolatát az eőté változásával akko a összefüése jutuk ai ost ehatáozásáa a poteciálelélet 3. peeéték-feladatáak eoldásához ad peefeltételt a éési eedéyek (peeétékek) és a keesett poteciálváltozás-füvéy között. A eoldás eyik ódja ost is a felületi iteálás aiek eedéyekét ez esetbe a R * S ( ψ ) dσ () 4π σ alaka jutuk ahol S ( ψ ) a Stokes-féle füvéy. Ez az eedéy azt utatja hoy ha a valódi Föld esetébe a Stokes-féle eedeti iteálképletbe a Δ ehézséi edelleesséek helyett a időbeli változásokat íjuk és a Stokes-füvéyel alkotott szozatokat iteáljuk akko az eőté változását (vay az () alapjá a szitfelületek eltolódását) csak akko kapjuk helyese ha a valósáos földfelszí folyadékszeűe viselkedik azaz uyaakko aassáváltozásokat észlelük. Ellekező esetbe ez a () a valódi Földe e alkalazható helyette ás eoldást kell keesük. Évéyes azoba a () a valódi földfelszí teeekkel boított észé. Teészetese ez esetbe is feáll a ásik eoldási lehetősé a (7) öbfüvéyso alakjába csak ost az iseetle eyütthatók kiszáítása édekébe a (7)-et és a () közelítéssel száított deiváltját a ()-be kell beíi és íy jutuk a efelelő közvetítő eyelete és javítási eyeletedszee. () Ideálisa ualas földkée aadik odellkét azt az esetet vizsáljuk ha a szilád földkée ideálisa ualas ayakét viselkedik (3. ába). Ez esetbe a földfelszí és a ajta kijelölt pot az eőté eváltozásával jáó N szitfelület-eltolódást ualas alakváltozással észbe követi és a ' helyzetbe keül. A N szitfelületeltolódás odelltől teljese füetleül ost is az ()-ből száítható. Tételezzük fel hoy a ualas kée ayaa a Love-féle ualassái eléletet követi és vezessük be a 6
hosszú peiódusú és szekuláis változásoka a h és k Love-féle száokat valait a D h k (3) kobiációjukat. 3. ába. A ualas kéű földodell A ualassái eléletek efelelőe a valódi felszíozás ez esetbe a h N (4) k összefüésből yehető. Uyaakko ivel a földfelszíi pot a kezdetbe ajta áteő szitfelületől leozdult D N (5) k aassáváltozást észlelük. Midkét utóbbi eyisé aáyos a szitfelület N eltolódásával és száítható ha a Love-féle száok efelelő (ee az esete évéyes) étékét isejük. A (4) és a (5) összehasolítása élese felhívja eit a fiyelet aa hoy a aassáváltozás a valódi felszíozásak é csak első közelítő étékekét se foható fel hisze eleve elletett előjelű a odellük esetébe! Eek a eállapításak az ézékeltetésée szápéldát is beutatuk. a például valaely pot aassáváltozásáa a idekoi középteeszithez kapcsolt isételt szitezés eedéyekét 3 -t kapuk akko a ai yakolat szeit 3 süllyedése odolák. a azoba a ualas elélet alapjá jobb hiáyába az áapály efiyelésből iset Love-féle száokat elfoadva h. 6 és k. 3 étékkel száolva a (4)-ből * h 6 (6) D eedéye jutuk ai a felszí kezdeti helyzetéhez viszoyított 6 -es eelkedését utatja a valósába (feltételezve hoy pusztá ualas alakváltozás jött léte). A Love-féle száok ily ódo felvett étéke teészetese vitatható de ez 7
az előjelet e változtatja e (uyais h tehát a h / D aáy léyeese pozitív eyisé). A földfelszíi ehézséi éték eváltozása és az eőté poteciálváltozása között ehhez a odellhez a * h k * peefeltételt lehet felállítai aiek seítséével isét a 3. peeéték-feladat eoldásakét ost a * * ( ψ h k ) dσ (7) R * e S π (8) 4 eyséöb felületi iteálképlete jutuk ahol σ e S ( ψ h k ) (ψ ) (9) h k a Stokes-féle füvéyhez hasoló de a Love-féle száokat is tatalazó füvéy. Teészetese eek a odellek az esetébe is feáll a öbfüvéy-soos eoldás lehetősée hasolóa az előbbi odellhez. A beutatott odellek teészetese szélsősées illetve ideális esetek de aál élesebbe utattak á eyes alapvető és általáos összefüéseke. A továbbiakba téjük á a valósáos Föld esetée. A következőkbe beutatjuk hoy hoya viselkedik a aassá és a földfelszíi ehézséi téeőssé a Föld változó eőteébe. A feladat eoldása valósáos Földük esetébe ayiba összetettebb hoy a szilád földfelszí az eőté változásait feltehetőe valailye étékbe ualas alakváltozással követi (a 4. ábá a ( ) szakasz) de az íy keletkező elozdulása é áakódhatak eyéb (eolóiai stb.) eedetű felszíozások is (a 4. ábá a ( ) szakasz) és ezek eedőjekét jut a földfelszí a ' helyzetbe. (Mejeyezzük hoy a valailye étékű ualas alakváltozás" hatáesetkét a teljese eev és a folyadékszeű alakváltozást is aába folalja.) A szitfelületek N füőlees eltolódása it eddi is odelltől füetleül az ()-ek efelelő eyszeű aáyba áll az eőté eváltozásával. A földfelszíi pot ez esetbe is általába leozdul a kezdeti helyzetbe ajta áteő szitfelületől és íy aassáváltozás is bekövetkezik. Mí azoba a beutatott odellek esetébe ez utóbbi eyételű füvéykapcsolatba állt az eőtéváltozással (beleétve a zéusétékű füvéyt is) addi a Föld esetébe seiféle ilye jelleű ateatikai kapcsolat e állítható fel. Íy a aassáváltozást a Föld esetébe száítai e lehet; de eodéziai ódszeekkel éi ie. Íy ezt a továbbiakba éési eedéyek tekitjük. A 4. ábáól leolvashatóa a ét aassáváltozások esszeeőe e jellezik a valódi ozásviszoyokat. A valódi füőlees felszíozást a N () összeből kell helyese száítai vayis a ét aassáváltozáshoz hozzá kell adi a szitfelületek (íy az alap-szitfelület) füőlees eltolódását. Íy jutuk a helyes 8
eedéye. Modellszáításokból tudjuk hoy ez utóbbi hatás eyáltalá e elhayaolható et a földfelszíi ehézséi éték éháyszo 8 N/k/év téeőssé-változás (vay éháy μgal/év ( 8 s / év ) yosulás-változás) eseté éháy /év aysáedet é el ai éppe az eddi tapasztalt leayobb aassáváltozások aysáedje és íy a valódi felszíozásak é az előjele is elletett lehet a aassáváltozáshoz képest. 4. ába. A valósáos Föld füőlees felszíozása A felszíi ehézséi éték változása és a poteciálváltozás kapcsolatáa ost a * () peefeltétel állítható fel aely viláosa utatja hoy a feladat eoldásához a valódi Föld esetébe a ehézséi éések e is eleedők hae ellettük elvile a éési helyek isételt szitezéséből ehatáozható aassáváltozása is szüksées (aitől az eddii yakolatba általába eltekitettek). Az elhayaolás aysáa attól fü hoy ekkoa változásokat tapasztaluk de ha ezek it váható csekély étékek akko a aassáváltozás hatása e elhayaolható. Az eőté poteciálváltozásáak kiszáításáa a valódi Föld esetébe is a poteciálelélet 3. peeéték feladata vezet a () jobb oldalá álló peeétékekkel. A eoldás eyik alakja ost is a felületi iteál a R 4π alakba (Bió 98b) ahol ( ψ ) σ S S az iset Stokes-féle füvéy. A ásik eoldáskét itt is alkalazható a (6) alakú öbfüvéy-so. Eek és efelelő deiváltjáak a () peefeltételbe helyettesítésével a km a ( ) ( C S si ) ( ) (3) ( ψ ) dσ () 9
alakú közvetítő eyelete juthatuk a ét peeétékek és az iseetle S C öbfüvéy eyüttható-változások között. Kellő száú éési pot eseté vées száú eyüttható időbeli változásáak száétéke kiszáítható. A eoldás ódjából következik hoy eyes éési potok tapasztalt változásaiból az eőté változásáa (vay változatlasááa) e lehet következteti. A helyes következtetéshez isételte ét abszolút ehézséi álloások viláhálózata szüksées aelyek potjait ide éésko a teeszithez kapcsolt szitezéssel aassái ételebe is e kell hatáozi. A teészetes koodiáták változása és a valódi felszíozások Az eddiiekbe a teészetes koodiáták közül kiaadtuk a aassáot és vizsáltuk időbeli változását. Ez a ódsze hallatólaosa tatalazza azt a feltevést hoy a felszí és vele eyütt a éési hely csak füőlees elozdulást szeved. Ez a kolátozás teheli a téeőssé változásával kapcsolatos eddii vizsálataikat is vayis ebbe az ételebe eddi eltekitettük az eőté vízszites iáyú tébeli változásától. A teészetbe azoba id a felszíozásak id az eőté tébeli változásáak általába vízszites iáyú összetevője is va ezét a feladat eoldását az eddii ey diezió (aassá) helyett háo diezióa kell kitejesztei és a kédést helyese a tébe kell táyali. Eek soá fiyelebe kell vei idháo koodiáta iáyú elozdulás lehetőséét és az eőté tébeli változásáak vízszites összetevőit is (Bió-eck-Thô 986 Bió-Thô 986 Bió-Thô 987). Az 5. ába utatja a földfelszíi pot valódi elozdulás-vektoáak (ozásvektoáak) a tébeli ételezését az (X Y Z) eocetikus koodiátaedszebe (az ábá S ill. S' a fizikai földfelszí a t ill. a t' t t időpotba). 5. ába. A valódi felszíozás ételezése A továbbiakba is feltételezzük a Föld töeéek álladósáát ( M ) valait eyelőe a töeközéppot és a hozzákapcsolt eocetikus koodiátaedsze változatla helyzetét. (Ez utóbbival a későbbiekbe é folalkozi fouk.)
Az alapösszefüések táyalásához a 6. ába utatja a földfelszíi potot a t időpotbeli kezdeti helyzetébe aiko poteciálétéke. A ehézséi téeőssé vektoa uyaakko hatásvoaláak (a helyi füőlees iáyak) tébeli helyzetét a és szitfelületi szélessé és hosszúsá potbeli kezdeti étéke jellezi. Későbbe a t' t t időpotba az eőté időbe bekövetkezett eváltozása iatt a pot poteciálétéke ' -e a téeőssé-vektoa pedi uyaitt -e változott. A téeőssé-vekto iáyáak a eváltozása (a helyi füőlees iáyváltozása) következtébe a pot szitfelületi koodiátái is eváltozak: (4) aiből a helyi füőlees elfodulása Θ Θ. (5) Θ Az eőté eváltozása következtébe a poto kezdeti időpotba áthaladó poteciálétékű szitfelület (it koábba is láttuk) a té azo helyée tolódik ahol a eváltozott eőté poteciálja ' (az eltolódás N étéke ost is az ()-ből száítható). 6. ába. A valódi felszíozás tébeli ehatáozása Az eőtéváltozás következtébe azoba ecsak a szitfelület tolódik el hae ajta az a pothely is aelyek kezdeti koodiátái és. Íy a eváltozott eőtébe a helye találjuk azt a potot aelyek teészetes koodiátái eeyezek a pot kezdeti koodiátáival:
. (6) A vekto az eőté változásáak a eodéziai hatása ely az eőtéváltozás füvéyekét száítható a N Θ Θ (7) alakba ahol a öbi koodiáták (közelítéssel 9 és ). Általáossá kedvéét feltételezzük hoy az eltelt idő alatt az eőté változása ellett (valódi) felszíi alakváltozás (valódi felszíozás) is bekövetkezett és a földfelszíi potuk eek következtébe a ' helyzetbe keült. Itt a eváltozott eőté téeőssé-vektoa hatásvoaláak (a helyi füőleesek) iáyát pedi a és szitfelületi földajzi koodiáták jellezik. Az elozduló földfelszíe észlelt (8) koodiáta-változásokból a 6. ába és (6) alapjá a földfelszíek a pothoz viszoyított (9) elatív felszíozása hatáozható e. A valódi felszíozás a (9) elatív felszíozás és az eőté változásáak (7) eodéziai hatása összeekét száítható:. (3) Mejeyezzük hoy a koábba eiset () összefüés a (3) eydieziós efelelője elyet ez utóbbi a haadik összetevőjekét tatalaz is ha fiyelebe vesszük az () összefüést.
Midezekből viláosa látható hoy időbe változó ehézséi eőtébe a teészetes koodiáták (8) észlelt eváltozása eyaába é e utatja a földfelszíi potok téylees (valódi) ozásviszoyait! Ez utóbbi eedéye csak akko jutuk ha a (3) szeit fiyelebe vesszük aáak az eőté eváltozásáak a teészetes koodiátáka yakoolt (eodéziai) hatását is. Ehhez viszot szükséük va a ehézséi eőté időbeli változását szászeűe jellező poteciálváltozás iseetée. Kézefekvő hoy ez utóbbit a földfelszíi ehézséi téeőssé eváltozásáak éése alapjá tudjuk ehatáozi. Az e céla szoláló száítási összefüéseket szoláltatja a eodéziai-eodiaikai peeéték-feladat eoldása ait ost a tébe fouk táyali. A 6. ábá beutatott esetbe a ehézséi téeőssé földfelszíi étéke két okból változik e az eltelt t időtata alatt; az eyik az eőté (poteciáljáak) eváltozása a ásik ok a földfelszíi pot a éési hely áthelyeződése '-be a földfelszí alakváltozása (a felszíozás) iatt. E két hatás eedőjekét a földfelszíi ehézséi téeőssé vekto időbeli eváltozása ad E (3) ahol a pothoz kapcsolt helyi vízszites síkú (x y z) koodiáta-edszebe a poteciál időbeli változásáa és x ad (3) y z d E (33) d a ehézséi téeőssé-vekto deivált tezoa az Eötvös-féle tezo aely az eőté hosszeysée eső elei változását utatja az elozdulás füvéyébe. a fiyelebe vesszük hoy a elozdulás-vekto a (3)-ak efelelőe két összetevő eedőjekét íható fel és ezt a (3)-be beíjuk akko átedezés utá a peefeltétel vektoi alakját kapjuk: ( ) E ad E (34) aelyek jobb oldala utatja hoy a eőtéváltozás ehatáozásához a téeősséek a földfelszíe ét eváltozása ellett a felszíozást is fiyelebe kell vei. Veyük fel a helyi (x y z) koodiáta-edszeüket úy hoy z teelye a potbeli helyi füőlees iáyába (pozitív ételebe a külső té felé) utasso xy síkja pedi a helyi vízszites síkkal azoos leye (a x teely észak és a y teely kelet felé utasso) (6. ába) és vezessük be a közelítéseket. z z és z (35) 3
4 a ezek és a (3) fiyelebevételével a (34) vektoeyeletek csak a z iáyú (füőlees) összetevőjée kolátozóduk akko a G y x (36) ahol y x G (37) skalá peefeltételt kapjuk a tébeli (háodieziós) éési eedéyekkel. A (36) és a (37) viláosa utatja hoy a szabatos (tébeli) eoldás édekébe a ehézséi éések és szabatos szitezések ellett isételt földajzi helyehatáozás-ééseket is kell véezük továbbá éi kell a ehézséi adiesek étékét is. (Mejeyezzük hoy ha a ehézséi eőté szitfelületeiek csak a füőlees iáyú eltolódását vizsáljuk és eyéb alakváltozásától eltekitük akko a y x (38) közelítéssel (az eőté vízszites iáyú változásáak elhayaolásával) külölees esetkét a (36) és (37)-ből is visszakapjuk a koábból iset () (eydieziós) peefeltételt.) Visszatéve a eodéziai-eodiaikai peeéték-feladat eoldásáa ost is feltételezzük hoy az eőté időbeli változása töeátedeződés következéye ai azt jeleti száuka hoy a poteciálváltozás vozási poteciálok külöbsée és íy á voatkozóa a foásetes külső tébe feáll az időbeli változásoka voatkozó div div * z y x ad (39) Laplace-eyelet it ehatáozó ásodedű paciális diffeeciáleyelet az iseetle -e. Eek általáos eoldása az ( ) öbi koodiátákba a (6) öbfüvéy-so alakjába ost is alkalazható. A bee szeeplő C és S eyüttható-változások ehatáozása édekébe a (6) öbfüvéy-sot és a öbi koodiáták szeiti paciális deiváltjait a (36) peefeltételbe beíva ( ) ax S B C A G (4) alakú közvetítő eyeletet állíthatuk fel a éési eedéyek G füvéye és az iseetle eyüttható-változások között ahol ( ) ( ) ( ) si si si si y x a a km B A. (4)
Mefelelő száú eodiaikai álloáso vézett eodéziai éések / x / y / eedéyée táaszkodva a (4) alapjá felít vées száú javítási eyeletből ax vées fokszái tejedő iseetle eyütthatóváltozások száíthatók azzal a feltétellel hoy > ax fokszáú taok zéus étékűek. A C és S eyüttható-változások szászeű iseetébe az eőté változásáak (6) alakú öbfüéy-soa és paciális deiváltja ax vées fokszái tejedőe száíthatók ajd velük és a éési eedéyekkel a (3)-ból a valódi felszíozás vektoa ehatáozható. Ez utóbbiak első két összetevője a valódi vízszites haadik összetevője a valódi füőlees felszíozást adja. A (36) peefeltételek a G közelítő alakját kaphatjuk ha a bal oldalá élük a (37) elhayaolással. Ez esetbe a peeéték-feladat eoldható a (37) peeétékek felületi iteálásával. Eek az az előye hoy az iteálás taokét véezhető és íy külö tudjuk választai az isételt ehézséi éések és az isételt földajzi helyehatáozások eedéyeiek fh hatását az eőté időbeli változásáa. (A jobb oldalo élük é az R közelítéssel.) Íy R 4π R 4π σ σ fh G S( ψ ) dσ R S( ψ ) dσ 4π σ x S( ψ ) dσ y ahol R a közepes földsuá σ ill. dσ az eyséöb felülete ill. felületelee és S(ψ) a Stokes-féle füvéy. Ezzel a eoldással eyes potokét kaphatjuk e az eőté eváltozását (az eész Földe kitejedő eodiaikai hálózat isételt ééseiek eedéyei alapjá. (4) (43) 5