. Előadás: Készleezési modellek, I-II. Készleeke rendszerin azér arunk hogy, valamely szükséglee, igény kielégísünk. A szóban forgó anyag, cikk iráni igény, keresle a készle fogyásá idézi elő. Gondoskodnunk kell ehá a rakárkészle pólásáról, felöléséről. A készlearás, a készle pólása, a beszerzési leheőségek mérlegelése idő- és kölségigényes, de ugyanúgy gazdasági konzekvenciái vannak az igények ki nem elégíésének is. A készlegazdálkodással kapcsolaos kölségek jelenős szerepe jászanak a készlemodellekben. Három alapveő csoporba sorolhaók: a) beszerzési (ill. előállíási) kölség, ez az uánpólással, a rakárfelöléssel kapcsolaos kölség; b) rakározási kölség, ez a rakár fennarásának a kölsége, a leköö eszközök kölsége (eszközpólási járulék); c) hiánykölség, ez a rakárhiány okoza ermeléskiesés kölsége, vagy a pólólagos beszerzéssel együjáró öbblekölség. E kölségek számszerű nagyságának, függvényalakjának a meghaározása nem egyszerű felada. A készlemodellek ké leheséges oszályozása:. Deerminiszikus szochaszikus készlemodell 2. Saikus dinamikus készlemodell. Az opimális éelnagyság modellje Valamely árúcikkből egy időszak ala összesen egységre van szükség, mégpedig időegységenkén mindig r egységre, azaz a felhasználás egyenlees és = r. A kövekező kölségeke vesszük ekinebe: c egy éel beszerzésének a éelben foglal mennyiségől függelen kölsége,
c 2 az árucikk egy egységének időegységre eső rakározási kölsége. Célunk olyan rakározási poliika kialakíása, amely egyfelől bizosíja az időegységenkén r árumennyiség felhasználásá, másfelől a beszerzéssel és rakározással kapcsolaos kölségeke minimalizálja. Nézzük, milyen leheőségek vannak: y. ábra. Egyszeri beszerzési kölség, de nagy rakározási kölség y 2. ábra. öbbszöri beszerzési kölség, kisebb rakározási kölség Belájuk, hogy az opimális poliika az, hogy szabályos időközönkén, mindig éppen akkor, amikor a rakárkészle elfogy, ugyanarra a szinre kell felöleni a rakár: 2
y 3. ábra. Opimális rakárfelölési poliika ekinsük ugyanis az alábbi álalános poliiká: y y 0 y y 2... y m- s 0 s m-2 y 0 /r s 0 /r... (s 0 +y )/r 4. ábra. Álalános rakárfelölési poliika Erre az összes kölség a kövekezőképpen számolhaó: ( y 2 K = mc +c 0 2 2r s2 0 2r + (s 0 +y ) 2 s2 2r 2r + + (s ) m 2 +y m ) 2 2r ( m = mc +c 2 yi 2 2r + ) m s i y i r i= Az összes kölségnek ebből az alakjából azonnal láhaó, hogy akkor a legkisebb, 3
amikor s 0 = s = = s m 2 = 0. Elég ezér a kövekező ábrán láhaó rakárfelölési poliiká vizsgálnunk, ahol a felada az y 0,y,y 2,...,y m rakárfelölési érékek opimális meghaározása. y y y 0 y 2... y m- 5. ábra. Nulla rakárszinre leengedő rakárfelölési poliika Erre az összes kölség az alábbi módon egyszerűsödik: ahol m y i = r. m K = mc +c 2 y 2 2r i, Ezér az addiív konsansokól és poziív konsans szorzókól elekinve lényegében az alábbi feléeles szélsőérék feladao kell megoldani: min m yi 2 feléve, hogy m y i = r. A feni feléeles szélsőérék felada Lagrange függvénye úgy írhaó, hogy ( m m ) L(y,...,y m ;λ) = yi 2 +λ y i r 4
A Lagrange függvény y 0,y,y 2,...,y m válozók és aλlagrange szorzó szerini parciális deriváljai nullával egyenlővé éve az kapjuk, hogy L y 0 = 2y 0 +λ = 0 y 0 = λ 2 L y = 2y +λ = 0 y = λ 2... L = 2y m +λ = 0 y m = λ y m 2 L λ = m y i r = 0 m λ 2 r = 0 λ 2 = r m Ezér a feléeles szélsőérék felada opimális megoldása y i = r,i = 0,,...,m, m azaz m alkalommal azonos szinre kell a rakárkészlee felöleni, mely azonos szin nyilván nem lehe más, min az összes szükségle ( = r) m-edrésze. Így a ovábbiakban már csak az kell meghaároznunk, hogy hány alkalommal kell erre az azonos szinre felölenünk a rakárunka, vagy ami ezzel ekvivalens, minden egyes alkalommal mekkora az opimális rakárfelölési szin? ekinsük ennek eldönéséhez az alábbi ábrá: y q q q... q q/r q/r q/r... q/r 6. ábra. Azonos rakárszinre felölő rakárfelölési poliika 5
Erre az összes rakározási kölség képlee még ovább egyszerűsödik: K = mc + c 2 2r mq2, amibe behelyeesíve az mq = r nyilvánvaló egyenlősége: K = r q c + c 2 2 q. K feni kifejezésé kell ehá q szerin minimalizálni. Kicsi egyszerűbb az időegységre juó rakározási összkölsége minimalizálni: K = r q c + c 2 2 q. Ennek a q szerini deriváljá nullával egyenlővé éve az kapjuk, hogy vagyis rc q 2 + c 2 2 = 0, q 2 = 2r c c 2. Ezér ehá az opimális rakárfelölési szin képlee: q op = 2r c = 2 c. c 2 c 2 Az opimális szinre örénő rakárfelölések közö elelő időaramok: (q op ) = q op = 2 c = 2 c. r rc 2 c 2 Végül az opimális összkölség éréke: K op = r 2 c c 2 c + c 2 2 2 Ké példa a fen megkapo képleek alkalmazására. c c 2 = 2c c 2.. Példa. együk fel, hogy napi 20 egység fogyaszás kell arósan bizosíanunk és legyen a beszerzési kölség c = 5 000 F, az egy napos időegységre eső rakározási kölség pedig c 2 = 5 F. Hány napona és mekkora mennyisége kell megrendelnünk, hogy az összes kölségünk minimális legyen? 6
Megoldás: q op = 2 20 5000 5 = 40 000 = 200 egység és (q op ) = 200 20 = 0 nap. 2. Példa. együk fel, hogy egy évre 2000 alkarészre van szükségünk és az alkarészek felhasználása egyenlees. Egy éel rendelési kölsége legyen a éel nagyságáól függelenül 20 000 F, a rakározási kölség pedig 3 F/db napona. Hány napona és mekkora mennyisége kell megrendelnünk, hogy az összes kölségünk minimális legyen, valamin mennyi lesz ekkor az éves összkölségünk? Ezér Megoldás: Az eddigi jelöléseinkkel c = 20000,c 2 = 3, = 365 nap, = 2000 db. q op = 2 2000 365 20000 662,08 db, 3 365 (q op ) = 2 2000 20000 20,4 nap, 3 K(q op ) = 2 2000 365 20000 3 724982,76 F. 2. Az opimális éelnagyság modellje hiány megengedésével A hiány megengedése nélküli modellől csak annyiban ér el, hogy mos megengedjük a rakárkészle hiányá is, amely árú- és időegységre eső kölsége legyen c 3. A korábbival eljesen megegyező gondolameneel beláhaó, hogy az opimális készleezési poliika mos is a szabályos fűrészfog görbével ábrázolhaó, melye a 7. ábra szemléle. Erre az összes kölség a kövekezőképpen számolhaó: K(q,S) = mc +m S2 2r c 2 +m = r [c + S2 q 2r c 2 + (q S)2 c 3 2r ] (q S)2 c 3. 2r (2.) Milyen q és S érékek melle lesz ez minimális? együk egyenlővé nullával a q és S szerini parciális deriválaka: 7
y q S q-s S/r (q-s)/r...... q/r 7. ábra. Azonos rakárszinre felölő rakárfelölési poliika hiány megengedésével K(q, S) q K(q, S) S = rc S2 c 2 2q(q S) (q S)2 + c q 2 2q 2 2q 2 3 = 0 = Sc 2 q (q S) c 3 = 0 q A (2.2) egyenleek közül a másodikból egyszerű számolással kapjuk, hogy (2.2) ehá Sc 2 (q S)c 3 = 0, S(c 2 +c 3 ) = qc 3, A (2.2) egyenleek közül az első így alakíhajuk á: q = c 2 +c 3 c 3 S. (2.3) rc S2 c 2 (q S)2 +q(q S)c 3 c 3 = 0 2 2 2rc +S 2 c 2 2q 2 c 3 +2qSc 3 +q 2 c 3 2qSc 3 +S 2 c 3 = 0 2rc +S 2 (c 2 +c 3 ) q 2 c 3 = 0 8
Ebbe q (2.3) kifejezésé behelyeesíve: végül az kapjuk, hogy vagyis S op = 2rc +S 2 (c 2 +c 3 ) (c 2 +c 3 ) 2 S 2 c 3 = 0 c 2 3 ( 2rc +S 2 (c 2 +c 3 ) c ) 2 +c 3 c 3 2rc S 2 (c 2 +c 3 ) c 2 = 0 c 3 S 2 = 2r c c 3, c 2 c 2 +c 3 = 0 2r c c3 = 2 c c3. (2.4) c 2 c 2 +c 3 c 2 c 2 +c 3 A q és S közöi összefüggés kifejező (2.3) képlee felhasználva: q op = 2r c c2 +c 3 = 2 c c2 +c 3. (2.5) c 2 c 3 c 2 c 3 A 7. ábrából láhaó, hogy ké opimális éelnagyságú megrendelés köz elelő (q op,s op ) időre az eljesül, hogy (q op,s op ) = q op /r, ezér a (2.5) képleből azonnal kapjuk, hogy (q op,s op ) = 2c c2 +c 3 = 2 c c2 +c 3. (2.6) rc 2 c 3 c 2 c 3 Ezuán S op és q op (2.4) és (2.5) képleei a (2.) képlebe visszahelyeesíve, egyszerű algebrai áalakíással (házi felada, használjanak szimbolikus számíásokra képes programoka!) az kapjuk, hogy K(q op,s op ) = 2c c 2 c3 c 2 +c 3. (2.7) Vegyük észre, hogy a (2.5), (2.6) és (2.7) képleek a hiány megengedése nélküli modellre kapo megfelelő képleekől csak egy c3 c2 +c 3, vagy c 2 +c 3 c 3 ényezőben érnek el. Ezek a korrigáló ényezők viszon egyhez aranak, ha c 3, vagyis végelen nagy hiány kölség visszaadja a hiány meg nem engedése mellei modell képleei, amin az várni lehee. 9
ekinsük példának az. előadás 2. Példájá, amelyben megengedjük a hiány, de az árú- és időegységenkén c 3 = F-al bünejük. Példa. együk fel, hogy egy évre 2 000 alkarészre van szükségünk és az alkarészek felhasználása egyenlees. Egy éel rendelési kölsége legyen a éel nagyságáól függelenül 20000 F, a rakározási kölség pedig 3 F/db napona. Megengedjük hiány előfordulásá is, csak az napona és darabonkén F kölséggel bünejük. Hány napona és mekkora mennyisége kell megrendelnünk, hogy az összes kölségünk minimális legyen, valamin mennyi lesz ekkor az éves összkölségünk? Megoldás: Az eddigi jelöléseinkkel c = 20 000,c 2 = 3,c 3 =, = 365 nap, = 2000 db. Ezér S op = q op = (q op ) = 2 2000 365 20000 3 3+ 2 2000 365 20000 3+ 3 2 365 2000 20000 3 K(q op ) = 2 2000 365 20000 3 33,04 db, 324,7 db, 3+ 40,28 nap, 3+ 36249,38 F. 0