Középérték
Középérték A középérték a statisztikai adatok tömör számszerű jellemzése. helyzeti középérték: módusz medián számított középérték: számtani átlag kronológikus átlag harmonikus átlag mértani átlag négyzetes átlag
Módusz A sokaság elemei közül a leggyakrabban előorduló érték. Jele: M 0 Ha diszkrét mennyiségi értékek elemzéséről van szó, akkor a módusz a leggyakrabban előorduló elem értéke. Ha olytonos mennyiségi értékek elemzéséről van szó, akkor az érték meghatározása úgy történik, hogy az osztályközös gyakorisági sor alapján végeznek közelítő számítást.
Osztályközös gyakoriságnál Mo mo xo mo mo mo 1 mo 1 mo mo 1 * i
Hozamok dátum BUX (%) dátum BUX (%) dátum BUX (%) dátum BUX (%) dátum BUX (%) dátum BUX (%) 2. 1. -7,5 1. 5. -19,0 1. 4. 35,3 1. 6. 32,3 1. 7. -7,2 1. 7. 3,2 3. 1. -0,2 2. 1. 4,1 2. 1. 7,8 2. 3. 2,4 2. 2. 11,3 2. 1. -13,6 4. 5. -11,2 3. 1. 1,6 3. 1. 9,8 3. 3. -2,9 3. 2. 4,8 3. 1. -2,4 5. 2. -2,5 4. 3. 11,7 4. 1. 7,7 4. 1. 10,0 4. 1. -1,2 4. 1. 9,0 6. 1. -8,2 5. 2. 5,4 5. 2. 11,1 5. 5. 3,8 5. 4. -17,5 5. 3. 4,6 7. 1. 4,9 6. 1. -4,8 6. 3. 12,4 6. 2. 12,9 6. 2. 10,6 6. 1. 4,6 8. 1. 13,0 7. 3. 2,1 7. 1. -12,9 7. 1. 16,0 7. 1. 3,5 9. 1. -8,5 8. 1. 5,2 8. 1. 21,3 8. 1. -8,2 8. 3. -36,1 10. 3. 16,9 9. 1. 1,8 9. 3. 18,6 9. 2. 6,3 9. 1. -13,0 11. 1. -5,1 10. 2. -6,1 10. 1. 6,5 10. 1. -7,3 10. 1. 26,9 12. 1. -4,9 11. 1. -0,9 11. 1. 2,0 11. 3. -6,8 11. 2. 12,5 12. 1. 2,9 12. 2. 12,5 12. 1. 20,2 12. 1. 5,5
osztályhatárok i i g i [%] g i [%] -40.00<=x<-30.00 1 1 1.54 1.54-30.01<=x<-20.00 0 1 0.00 1.54-20.01<=x<-10.00 6 7 9.23 10.77-10.01<=x<0.00 17 24 26.15 36.92 0.01<=x<10.00 23 47 35.38 72.30 10.01<=x<20.00 13 60 20.00 92.30 20.01<=x<30.00 3 63 4.62 96.92 30.01<=x<40.00 2 65 3.08 100.00 összesen 65 100.00 Mo 1 2 1 2 x i x (0,0110) 5, 05 ˆ 0 i1
Példa Lakások száma szobaszám szerint Lakások szoba száma Lakások száma 1 455 813 2 1 676 704 3 1 392 312 4 vagy több 877 179 összesen 4 402 008 Állapítsd meg a legjellemzőbb szobaszámot, módusz segítségével! Hány szobás lakásból van a legtöbb??? Módusz: szobás lakás
Medián A medián a rangsorban középen elhelyezkedő érték, amelynél ugyanannyi kisebb, mint nagyobb értékű elem ordul elő. diszkrét mennyiségi értékek esetén: ki kell választani a középső elemet a rangsorba rendezett mennyiségi sorból. Ha a sokaság páratlan elemszámú (n), akkor a középső elem az n+1 / 2 sorszámú elem értéke. Ha a sokaság páros elemszámú (n), akkor a medián értékét a középső két elem értékének számtani átlaga adja. Vagyis az n/2 és az n/2 + 1 sorszámú elemek értékeinek számtani átlaga. olytonos mennyiségi értékek esetén: közelítő eljárással becsülhetjük meg a medián értékét, eltételezve, hogy minden intervallumban az elemek eloszlása egyenletes.
Medián olytonos mennyiségi értékek esetén Me me xo n 1-2 me me-1 me xo a mediánt tartalmazó osztály alsó határa - a gyakoriságok halmozott összege a mediánt tartalmazó osztályig me a mediánt tartalmazó osztály gyakorisága i az osztályközök nagysága i1 i *i
Hozamok dátum BUX (%) dátum BUX (%) dátum BUX (%) dátum BUX (%) dátum BUX (%) dátum BUX (%) 2. 1. -7,5 1. 5. -19,0 1. 4. 35,3 1. 6. 32,3 1. 7. -7,2 1. 7. 3,2 3. 1. -0,2 2. 1. 4,1 2. 1. 7,8 2. 3. 2,4 2. 2. 11,3 2. 1. -13,6 4. 5. -11,2 3. 1. 1,6 3. 1. 9,8 3. 3. -2,9 3. 2. 4,8 3. 1. -2,4 5. 2. -2,5 4. 3. 11,7 4. 1. 7,7 4. 1. 10,0 4. 1. -1,2 4. 1. 9,0 6. 1. -8,2 5. 2. 5,4 5. 2. 11,1 5. 5. 3,8 5. 4. -17,5 5. 3. 4,6 7. 1. 4,9 6. 1. -4,8 6. 3. 12,4 6. 2. 12,9 6. 2. 10,6 6. 1. 4,6 8. 1. 13,0 7. 3. 2,1 7. 1. -12,9 7. 1. 16,0 7. 1. 3,5 9. 1. -8,5 8. 1. 5,2 8. 1. 21,3 8. 1. -8,2 8. 3. -36,1 10. 3. 16,9 9. 1. 1,8 9. 3. 18,6 9. 2. 6,3 9. 1. -13,0 11. 1. -5,1 10. 2. -6,1 10. 1. 6,5 10. 1. -7,3 10. 1. 26,9 12. 1. -4,9 11. 1. -0,9 11. 1. 2,0 11. 3. -6,8 11. 2. 12,5 12. 1. 2,9 12. 2. 12,5 12. 1. 20,2 12. 1. 5,5
osztályhatárok i i -40.00<=x<-30.00 1 1-30.01<=x<-20.00 0 1-20.01<=x<-10.00 6 7-10.01<=x<0.00 17 24 0.01<=x<10.00 23 47 10.01<=x<20.00 13 60 20.01<=x<30.00 3 63 30.01<=x<40.00 2 65 összesen 65 Me me xo n 1-2 me me-1 i1 i 65 1 24 *i 0, 01 2 * 10 3, 92 23
Példa Lakások száma szobaszám szerint Lakások szoba száma Lakások száma 1 455 813 2 1 676 704 3 1 392 312 4 vagy több 877 179 összesen 4 402 008 Hány lakást vizsgáltunk?... Hányadik lakás a középső? A középső lakáshoz tartozó érték?... Medián:
példa Egy élelmiszerbolt helyének kitűzéséhez célszerű elmérni, hogy a vásárlók mekkora távolságot hajlandók gyalog megtenni a lakásuktól az üzletig. Az egyik boltban ezért véletlenszerűen kiválasztottak néhány vevőt és eltették nekik a kérdést. A válaszokat az alábbi gyakorisági táblázat tartalmazza: távolság 100 200 300 400 500 600 700 800 (m) gyakoriság 12 15 4 7 3 2 1 1
Egy dobókockát 24-szer dobtuk el és az alábbi értékeket kaptuk. dobás 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Kocka szám 5 3 1 2 0 3 4 5 2 6 5 2 4 0 2 3 2 0 2 3 6 4 1 6 sorren d 0 0 0 1 1 Mekkora a jellemző dobott kockaszám? Módusz: Medián: A legtöbb.-os dobás, ez a módusz, ez ordult elő legtöbbször. Medián:, azaz ugyanannyi a kevesebb dobás, mint ahányan a több.
Statisztikai sor ismérvváltozat 0 1 2 3 4 5 6 összesen gyakoriság Statisztikai sokaság:. Statisztikai sor típusa: Ismérv: Sor keletkezése:.. Ismérv változat:. Ismérvérték: diszkrét/olytonos A legtöbb.-os dobás, ez a módusz, ez ordult elő legtöbbször. Medián:, azaz ugyanannyi a kevesebb dobás, mint ahányan a több.
Fogmosási gyakoriság alkalom létszám ő 451-470 3 3 471-490 9 12 491-510 11 23 511-530 22 45 531-550 179 224 551-570 159 383 571-590 136 519 591-610 17 536 611-630 1 537 Kumulált gyakoriság ő Módusz: Medián: 16
Me n 1 i 2 me i1 * i x 0 me me 1 269 3 9 11 22 179 Me 550 *20 159 556,04 17
18 i mo Mo mo mo mo mo mo mo x * ) ( ) ( 1 1 1 0 547,7 *20 159) (179 22) (179 22 179 530 Mo
Feladat: 1. Példamegoldás Dobókockával dobtam: 1-es: 11-szer, 2-es: 10-szer, 3-mas: 6-szor, 4-es: 6-szor, 5-ös: 12-szer 6-os: 5-ször ordult elő. Számítsd ki a móduszt és mediánt! Módusz: Medián: 2. Fogalom meghatározás! Módusz: Medián: Középérték:
X HARMONIKUS H = ÁTLAG: Egyszerű harmonikus átlag: Egy statisztikai sor tagjainak harmonikus közepe az a szám, melyet az egyes értékek helyére írva, azok reciprok értékeinek összege nem változik. X H = n i1 n 1 x i Súlyozott harmonikus átlag: X Hq = i1 n i1 n q q i i 1 x i
MÉRTANI ÁTLAG: Egy statisztikai sokaság mértani átlaga az a szám, melyet az egyes átlagolandó értékek helyére írva, az értékek szorzata nem változik. Egyszerű mértani átlag: X G = n x1 x2... x n Súlyozott mértani átlag: Q q1 q2 qn X Gq= x1 x2... xn (Q=q 1 +q 2 + +q n )
Kronologikus átlag Akkor alkalmazzuk, ha kettőnél több időpontra ismerünk adatot, átlagkészletet és átlagos létszámot kronologikus átlaggal számolunk. Kronológikus átlagot úgy számolunk, hogy az első adatot(nyitó adatot) osztjuk kettővel, hozzáadjuk a többi adatot, majd az utolsó adat(záró adat) elét, és elosztjuk eggyel kevesebbel, mint a tagok száma. K kr NyK 2...... n 1 Zk 2
Kronologikus átlag eladatok 1.) Számítsd ki az első negyedévi átlagkészletet! Január 1-jén a készlet 40 e Ft = NyK Január 31-én a készlet 48 e Ft Február 28-án a készlet 46 e Ft Március 31-én a készlet 44 e Ft = ZK K kr 40 2 48 46 4 1 44 2 20 48 46 22 3 Az első negyedévi átlagkészlet 45 300 Ft. 136 3 45,3 e Ft 2.) A III. negyedév létszámadatai: Július 1-jén 50 ő, július 31-én 46 ő, augusztus 31-én 52 ő, szeptember 30-án 54 ő. Számolja ki a III. negyedév átlaglétszámát.
példa Egy pékség készpénz állományának alakulása a következő: Nyitó készpénzállomány Ft Március 1. 8 000 Március 2. 10 000 Március 3. 24 000 Március 4. 20 000 Mennyi volt a március első három napi átlagos készpénzállomány?
Számtani átlag az a szám, amellyel az átlagolandó értéket helyettesítve, azok összege nem változik. Jelölések: x i az i-edik átlagolandó érték (az i-edik ismérvérték) n az átlagolandó értékek száma i az i-edik átlagolandó érték előordulásának szám (az i-edik ismérvérték előordulása) n Egyszerű szántani átlag: X i 1 n x i
Súlyozott számtani átlag: Az átlag értékét a súlyok aránya beolyásolja. n 2 1 n n 2 2 1 1 x x x X n 1 i i n 1 i i i x X
példa 4. Egy gazdasági társaságnál a dolgozók izetésére és létszámára vonatkozó adatokat tartalmazza a következő táblázat. Dogozók Létszám (ő) Átlagizetés (t/ő) Vezetők 5 450 000 Adminisztratív dolgozók 3 80 000 Alkalmazottak 10 120 000 Takarítók 8 57 000 Határozd meg, mennyi a dolgozók átlagos keresete a társaságnál! Mennyi az átlagizetések módusza és mediánja? Értelmezd ezeket a statisztikai jellemzőket!
Megoldás Az átlagos kereset: 159 462 Ft A legtöbben 120 000 Ft-ot keresnek, ez a módusz. Medián: 120 000 Ft, azaz ugyanannyian keresnek ennél kevesebbet, mint ahányan többet.
A mozilátogatók életkor szerinti alakulása egy városban Számíts középértékeket, értelmezd a számtani átlag,mutatót! Módusz:.. Medián:. Számtani átlag: Élet kor x Fő *x -..15 15-25 25-35 35-45 45..-..55 55..- 30 50 180 100 150 180
Szóródás Az értékek átlagtól való eltérését jelenti. Mutatói: szóródás terjedelme: R= X max X min az előorduló legnagyobb és legkisebb érték különbsége, megmutatja, hogy az értékek milyen értékközben ingadoznak. Szórás : a számtani átlagtól való eltérés négyzetes átlaga.
Relatív szórás Megmutatja, hogy az átlagtól hány százalékkal térnek el az egyes értékek. V= Ꝺ/X