1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl: Gépi számhalmaz: ( : mantissza, : mantissza hossza, : karakterisztika) 2. Írja le a gépi számhalmaz nevezetes számait! (3 pont) Legnagyobb pozitív szám: Legkisebb pozitív szám: Relatív hibakorlát: az 1-et követő gépi szám 1 3. Definiálja az input függvény fogalmát írja le a hibájára vonatkozó tételt! (5 pont) Az -t input függvénynek nevezzük, ha Input hiba: esetén Következmény: ha. Azaz az ábrázolt szám relatív hibakorlátja, vagyis csak -től, a mantissza méretétől függ. 4. Adja meg a hibaszámítás alapfogalmait: hiba, abszolút-, relatív hiba korlátjaik! (5 pont) : pontos érték, : közelítő érték A közelítő érték (pontos) hibája: A közelítő érték abszolút hibája: A közelítő érték egy abszolút hibakorlátja: A közelítő érték relatív hibája: A közelítő érték relatív hibakorlátja: 1
5. Írja le az alapműveletek abszolút hibakorlátjaira vonatkozó képleteket! (3 pont) 6. Írja le az alapműveletek relatív hibakorlátjaira vonatkozó képleteket! (3 pont) 7. Írja le a függvényérték abszolút hibakorlátjára vonatkozó összefüggt! (3 pont), ekkor, ahol 8. Írja le a függvényérték abszolút- relatív hibakorlátjára vonatkozó összefüggt (a függvényről kétszer folytonosan deriválhatóságot feltételezve)! (5 pont), ekkor, ahol 9. Definiálja az függvény pontbeli kondíciószámát! (2 pont) A mennyiséget az függvény -beli kondíciószámának nevezzük. 10. Mennyi a Gauss-elimináció illetve a visszahelyettesít műveletigénye? (2 pont) GE: VH: 11. Írja fel az mátrixot, melyet -re alkalmazva a Gauss-elimináció egy lépét kapjuk! (3 pont) 1 1 0 1 0 0 1 1 12. Adjon elégséges feltételt az LU-felbontás létezére egyértelműségére! (Gauss-eliminációval) (1 pont) Az LU felbontás GE végrehajtható sor oszlopcsere nélkül. 13. Adjon elégséges feltételt az LU-felbontás létezére egyértelműségére! (Gauss-elimináció nélkül) (3 pont) Jelöljük -val a. főminort. Ha, akkor felbontás 2
14. Mennyi az LU-felbontás illetve egy háromszög mátrixú LER megoldásának műveletigénye? LU: (2 pont) LER: 15. Mikor nevezzük -t szimmetrikus pozitív definit mátrixnak? (2 pont) szimmetrikus, ha. pozitív definit, ha. 16. Mikor nevezzük -t a soraira (oszlopaira) nézve szigorúan diagonálisan dominánsnak? (2 pont) soraira nézve szigorúan diagonálisan domináns, ha oszlopaira nézve szigorúan diagonálisan domináns, ha 17. Definiálja fél sávszélességét! (2 pont) fél sávszélessége, ha, de. 18. Definiálja profilját! (2 pont) profilja a (sorra) (oszlopra) számok, ha rögzített,, de rögzített,, de. 19. Definiálja az mátrix -re vonatkozó Schur-komplementerét! (2 pont) Tfh invertálható. Ekkor az az mátrix -re vonatkozó Schur-komplementere. 20. Mondja ki a Gauss-elimináció (legalább) 4 tulajdonságának megmaradási tételét! (4 pont) szimmetrikus is szimmetrikus 2) pozitív definit is pozitív definit 4) fél sávszélessége fél sávszélessége 5) -ben az értékek nem csökkennek. 21. Definiálja a Cholesky-felbontást! (2 pont) 0, ahol szimmetrikus. 22. Milyen tételt tanult a Cholesky-felbontásról? (3 pont) Ha szimmetrikus pozitív definit, akkor felbontás. 23. Mennyi a Cholesky-felbontás műveletigénye? (2 pont) 24. Milyen tételt tanult a QR-felbontásról? (3 pont) Ha oszlopai lineárisan függetlenek, akkor felbontás. Ha feltesszük, hogy -ra, akkor egyértelmű is. 3
25. Mennyi a QR-felbontás műveletigénye? (2 pont) 26. Definiálja a Householder mátrixot! (2 pont) Ha, melyre, akkor -t Householder mátrixnak nevezzük. Jelöl: 27. Írja le a Householder-transzformáció 4 tanult tulajdonságát! (4 pont) szimmetrikus mátrix 2) ortogonális mátrix 4) 28. Adja meg azt a Householder mátrixot, melyre az azonos hosszúságú vektorok esetén. (2 pont) 29. Írja le a vektornorma definiáló tulajdonságait! (3 pont) A fv-t vektornormának nevezzük, ha 2) 4) 30. Írja le a mátrixnorma definiáló tulajdonságait! (4 pont) A fv-t mátrixnormának nevezzük, ha 2) 4) 5) 31. Írja le az indukált mátrixnormáról tanult tételt! (2 pont) Legyen tetszőleges vektornorma. Ekkor az mennyiség mátrixnormát definiál. 32. Mit jelent az illeszked normák esetén? (2 pont) A mátrixnorma illeszkedik -hoz, ha 33. Írja le az Frobenius mátrixnormát! (4 pont) 4
34. Mit nevezünk egy mátrix spektrálsugarának? (2 pont) A mennyiséget az spektrálsugarának nevezzük, ahol az sajátértéke. 35. Definiálja a kondíciószámot mátrixok esetén! Mikor értelmezhető? (2 pont) A az kondíciószáma. Csak invertálható mátrixra értelmezhető. 36. Írja le a LER jobboldalának változásakor érvényes perturbációs tételt! (4 pont) Ha invertálható, indukált mátrixnorma, akkor 37. Írja le a LER mátrixának változásakor érvényes perturbációs tételt! (4 pont) Ha invertálható,, akkor 38. Írja le a kondíciószám (legalább) 4 tulajdonságát! (4 pont) invertálható: 2) ortogonális (unitér): 4) szimmetrikus: 5) szimmetrikus pozitív definit: 6) invertálható: 39. Írja le a kontrakció fogalmát függvény esetén! (2 pont) kontrakció, ha 40. Írja le a Banach-féle fixponttételt -re! (5 pont) Ha kontrakció, akkor 2) kezdővektorra: iterációs sorozat konvergál Hibabecslek: ( :. hiba, : kontrakciós együttható) 41. Adjon elégséges feltételt az alakú iterációk konvergenciájára! (2 pont) Ha, akkor kezdővektorra az iterációs sorozat konvergál az megoldásához. 42. Írja le az indukált normák a spektrálsugár kapcsolatáról tanult lemmát! (2 pont) azaz indukált norma: 43. Adjon szükséges elégséges feltételt az alakú iterációk konvergenciájára! (2 pont) kezdővektorra az iterációs sorozat konvergál az megoldásához 5
44. Írja le a Jacobi- a csillapított Jacobi-módszer iterációját! (3 pont) Jacobi ( ): Csillapított Jacobi ( ): 45. Adjon elégséges feltételt a Jacobi-módszer a csillapított Jacobi-módszer konvergenciájára! (2 pont) Ha szigorúan diagonálisan domináns a soraira (oszlopaira) nézve, akkor azaz a iteráció konvergens. Ha konvergens, akkor -re a is konvergens. 46. Írja le a Gauss-Seidel-iterációt (a koordinátás alakot is)! (2 pont) Koordinátás alak: 47. Írja le a Gauss-Seidel relaxációs módszert (a koordinátás alakot is)! (2 pont) Koordinátás alak: 48. Milyen szükséges elégséges feltételt tanult a Gauss-Seidel relaxáció konvergenciájáról? (3 pont) Ha szimmetrikus pozitív definit, akkor: konvergens 49. Szigorúan diagonálisan domináns mátrix esetén mit tud mondani a Jacobi- a Gauss-Seideliteráció konvergenciájáról? (2 pont) Ha szigorúan diagonálisan domináns a soraira (oszlopaira), akkor azaz az konvergens legalább olyan gyors, mint a Jacobi. 50. Milyen tételt tanult szimmetrikus, pozitív definit tridiagonális mátrixok esetén a,, módszerekről? (5 pont), -re konvergens. 2) -ra az optimális paraméter értéke: Ha, akkor 4) Ha, akkor 6
51. Vezesse le a Richardson-típusú iterációk alakját! (2 pont) 52. Milyen tételt tanult a Richardson-típusú iterációkról? (4 pont) szimmetrikus, pozitív definit a következő állítás igaz a sajátértékeire: Ekkor pontosan a paraméterekre konvergens az iteráció. Az optimális paraméter: 53. Definiálja a J pozíció halmazra illeszkedő rzleges LU-felbontást! (3 pont) A a mátrix elemek pozícióinak egy rzhalmaza, melyre -re, azaz a főátlót nem tartalmazza. Az mátrix pozíció halmazra illeszkedő rzleges LU felbontásán olyan felbontást értünk, melyre a szokásos -re, -re. 54. Írja le az ILU-felbontás algoritmusát (L,U Q előállításának felírása)! (5 pont),. lép: ( szétbontás, ahol -ban,,,. -ban,,,. (2), azaz elvégezzük a. Gauss-eliminációs lépt. Ekkor az felbontásra: 55. Adjon elégséges feltételt az ILU-felbontás létezére egyértelműségére! (1 pont) Ha szigorúan diagonálisan domináns, akkor az ILU felbontás egyértelműen létezik. 56. Vezesse le az ILU-algoritmust! A reziduum vektor bevezetével írja fel a gyakorlatban használt alakot is. (4 pont) alakból 7
Algoritmus: LER mo. 57. Írja le a Bolzano-tételt! (3 pont) 58. Írja le az intervallum-felez algoritmusát hibabecslét! (3 pont). lép: Hibabecsl: Spórolós megoldás: 59. Írja le a Brouwer-féle fixponttételt! (3 pont) 60. Írja le a fixponttételt az *a;b+ intervallumra! (5 pont) kontrakció -n. Ekkor 2) iterációs sorozat konvergens Hibabecsl: ( : kontrakciós együttható) 61. Adjon meg elégséges feltételt a kontrakcióra! (2 pont) kontrakció -n 62. Definiálja a konvergencia rend fogalmát! (2 pont) Az konvergens sorozat -adrendben konvergens, ha 8
63. Írja le az -ed rendű konvergenciára vonatkozó tételt! (4 pont) Tfh. az iteráció konvergál -hoz,, továbbá Ekkor az, de. sorozat -adrendben konvergens hibabecsle: Numerikus módszerek beugró kérdek ahol 64. Vezesse le a Newton-módszer képletét! (3 pont) -ra tetszőleges kezdőérték A. lépben az érintő: ponton átmenő érintővel közelítjük az -et. : az érintőnek az x tengellyel vett metszpontja. x tengellyel vett metszpont: 65. Írja le a Newton-módszer monoton konvergencia tételét! (5 pont) Tfh. 2) állandó előjelű (egymástól független) Ekkor az -ból indított Newton-módszer monoton konvergál -hoz. 66. Írja le a Newton-módszer lokális konvergencia tételét! (5 pont) Tfh. 2) állandó előjelű 4) 5) Ekkor az -ból indított Newton-módszer másodrendben konvergens hibabecsle: 67. Definiálja a húr-módszert! (2 pont) -ra,. lép: Az pontokon átmenő egyenessel közelítjük -et, ahol a legnagyobb indexű pont, melyre. : egyenes metszpontja az x tengellyel 9
68. Definiálja a szelő-módszert! (1 pont),. lép: pontokon átmenő egyenessel közelítjük -et. 69. Írja le a szelő-módszer lokális konvergencia tételét! (5 pont) Tfh. 2) állandó előjelű 4) 5) Ekkor a szelőmódszer konvergens rendben hibabecsle: 70. Vezesse le a többváltozós Newton-módszer képletét! (3 pont) -nek az elsőfokú Taylor-polinomja: : Taylor-polinom LER megoldása Ez a végrehajtása. Ahol a derivált mátrix. 71. Milyen becslt tanult polinomok gyökeinek elhelyezkedéről? (4 pont),, A polinom bármely gyökére, ahol 10
72. Írja le a polinom helyettesíti értékeinek gyors számolására tanult Horner-algoritmust! (2 pont) Algoritmus: 11