Mechanka és szlárdságtan (Mecanca ş rezstenţa materalelor) Egyetem jegyzet Dr. Szlágy József
Tartalomjegyzék. Fejezet 3. Fogalomtár-termnológa 3. Fejezet 4.. Bevezetés 4.. Statka alapfogalmak 4.3 Az anyag pont statkája 6.3. Közös hatásvonalú erők 6.3. Tetszőleges számú erő 7.3.3 Síkbel erők 8.4 Síkbel erőrendszerek redukálása grafkus eljárásokkal.5 Erőnyomatékok és redukálásuk.5. Erő nyomatéka pontra nézve.5. Az erő nyomatékának pontra nézve való analtkus 3 meghatározása.5.3 Erő nyomatéka tengelyhez vszonyítva 4 Gyakorlatok 5 3. Fejezet 3. Tömeggeometra 3. Egy adott test súlyközéppontjának meghatározása 3 3.3 A súlyközéppont tulajdonsága 4 3.4 A sűrűség (térfogat, felület és lneárs) 4 Gyakorlatok 5 4. Fejezet 7 4. Az anyag pont knematkája 7 4. Az anyag pont sebessége és mozgása 8 4.3 A gyorsulás és a sebesség összetevő 9 Gyakorlatok 3 5. Fejezet 3 5. Bevezetés 3 5. A merev test haladó mozgása 3 5.3 A merev test forgó mozgása egy rögzített tengely körül 33 5.4 A merev test forgóhaladó mozgása 35 5.5 A szlárd merev test síkpárhuzamos mozgása 37 5.6 A merev test forgómozgása egy rögzített pont körül 40 5.7 A szlárd merev test általános mozgása 43 6. Fejezet 45 6. A mechanka munka 46 6. Mechanka teljesítmény 47 6.3 Mozgás energa 48 6.3. Anyag pont mozgás energája 48 6.3. Egyenes vonalú mozgást végző szlárd merev test mozgás 48 energája 6.3. Forgómozgás végző szlárd merev test mozgás energája 49 6.4 Helyzet energa 49 6.5 Mechanka energa 50 6.6 Impulzus 50 6.6. 6.6.. Az anyag pont mpulzusa 50 6.6. Szlárd merev test mpulzusa 5
Gyakorlatok 5 7. Fejezet 55 7. Bevezetés 55 7. Igénybevételek 56 7.. A rúd 56 7.. Az génybevétel 56 7..3 Az génybevétel fajtá 57 7..3. 7..3. Normálgénybevétel 58 7..3. Nyírógénybevétel 58 7..3.3 Csavarógénybevétel 58 7..3.4 Hajlítógénybevétel 58 7.3 Az egyszerű Hooke törvény 59 7.3. A keresztrányú méretváltozás 59 7.3. A keresztmetszet síkjába eső belső erők 60 7.4. A húzás és a nyomás 6 7.4. A feszültség és az alakváltozás számítása 6 7.4. A húzott rúd méretezése és ellenőrzése 63 Gyakorlatok 64 7.5 Nyírás 65 Gyakorlatok 67 7.6 A hajlítás 69 7.6. Hajlított rúd méretezése 7 Gyakorlatok 73 7.7 A csavarás 76 7.7. Rudak csavarása 76 7.7. A csavart rúd méretezése 77 Gyakorlatok 78 7.8 A khajlás 79 7.8. A hosszú, nyomott rudak központos terhelése 79 7.8. A központosan terhelt hosszú rudak méretezése 8 7.8.3 A hosszú rudak nyomása és hajlítása 8 Gyakorlatok 85 8. Fejezet 87 8. Fzka mennységek és mértékegységek 88 8.. A görög ábécé betű 88 8..3 Átszámítás táblázatok 89 Szakrodalom 93 3
. Fejezet Fogalomtár-termnológa A. Statka. Anyag: Környezetünkben szlárd testként, folyadékként és gázként érzékelhetjük. Napjankban egyre többet hallhatunk az anyag negyedk halmazállapotáról, a plazmáról..anyag pont: a véges kterjedéssel rendelkező szlárd testet gondolatban felosztjuk három, egymásra merőleges síkkal. Így, egy olyan síklapokkal határolt részhez jutunk, amely fzka szempontból az eredet testtel azonos tulajdonságú. Ha a lapok élhossza elégé ksméretű, anyag pontról beszélünk. Az anyag pontot tehát a környezetéhez képest elhanyagolhatóan ks kterjedés és véges anyagmennység jellemez. 3.Tér: szoros összefüggésben áll az anyaggal. A teret anyag tölt k, így egyk meghatározásában az anyag a tér hordozója. A mechankában a tér gen bonyolult fogalma helyett egy egyszerűsített, matematka eszközökkel jól leírható modelljével dolgozunk. Általában valamelyk vonatkoztatás rendszert vesszük alapul. Leggyakrabban a Descartes-féle vonatkoztatás rendszert használjuk. 4.Az dő: a környezetünkben lezajló jelenségek kapcsán alakul k tudatunkban. Ebben a megfogalmazásban látható, hogy az dő s szorosan összefügg az anyaggal. Általában azt mondjuk, hogy a folyamatok dőben mennek végbe. B. Knematka 5.Helyzetvektor. Az anyag pont, a tér és dő segítségével követhetjük a mechanka mozgásokat. A mozgás során az anyag pont más és más helyzetbe kerül. A Descartes-féle koordnáta rendszerben az anyag pont pllanatny helyzetét a helyzetvektora adja meg. 6.Sebesség: a mozgás jellemzésére szolgál. A helyzetváltozást mennységleg és rány szernt jellemző vektor. Az dő függvényében írható fel. 7.Gyorsulás. Lényeges mozgásjellemző fogalom, amely a gyorsulásváltozást írja le. A gyorsulás ugyancsak az dő függvénye, azaz a sebesség dő szernt derváltja. 8.Nyugalom. A mozgás egyk érdekes, különleges esete a mechankában. Egy test akkor van nyugalomban, ha az elemzett dőtartam alatt a sebessége mndvégg 0 marad. C. Dnamka 9.Tehetetlenség. Mnden test megőrz egyenes vonal egyenletes mozgását, vagy nyugalm állapotát, amíg egy ráható erő állapotának megváltoztatására nem kényszerít. A testek azon tulajdonságát, hogy külső erők hányában megőrzk sebességüket, tehetetlenségnek nevezzük. 0. Erő: a dnamka az erőt úgy határozza meg, mnt egy adott testre való hatást, nem véve fgyelembe azt, hogy a hatás honnan ered. D. Szlárdságtan. Szlárd test: a vzsgált testet fzkalag homogénnek tekntjük, azaz bárhonnan veszünk s mntát, az fzkalag, vegyleg és mechankalag ugyanazokat a tulajdonságokat mutatja.. Izotróp anyag: az anyag szlárdságtan tulajdonsága függetlenek az ránytól 4
. Fejezet Statka.. Bevezetés A statka olyan testek tanulmányozásával foglalkozk, amelyek nyugvó állapotban találhatók, és nem szenvednek alakváltozást a rájuk ható erők matt. Statkában a test alatt egyetlen anyag pontot, vagy mértan alakzatba foglalt egymással összefüggő, anyag pontokból álló merev testet értünk. Ha a test anyag pontok, vagy merev testek rendszeréből áll, amelyek kapcsolatban állanak egymással, szerkezetről beszélünk. A fentek szellemében a mechanka külön tárgyalja az anyag pont, a merev test és a szerkezetek statkáját... Statka alapfogalmak A statka a nyugalomban lévő testek tanulmányozásával foglalkozk, ezért célszerű a test valamelyk jellemző pontját a koordnátarendszer orgójához kötn. Anyag pont esetében ez éppen maga a pont, merev testek esetében a test súlypontja, szerkezeteknél pedg a feladat által meghatározott valamelyk pont. Statka esetében a tanulmányozott test nyugalomban található, nem változtatja a helyzetét, éppen ezért az dőnek nncs semm szerepe a tanulmányozásban, tehát a statkában az dővel, mnt fogalommal nem foglalkozunk. A statka alapfeladata a nyugalom feltételének a meghatározása. Célja megtaláln azokat az összefüggéseket, amelyeknek fenn kell álln ahhoz, hogy a test a rá ható erők hatására nyugalomban maradhasson. Összegezve az elmondottakat, a statkában két fontos fogalommal dolgozunk: ez egyk a tér, a másk az erő. Az erőt a mndennap életből legkönnyebben az zomerő segítségével képzelhetjük el. Az erőnek lehet dnamkus jellege, am a test elmozdításához és mozgásba tartásához szükséges, és lehet statkus jellege, am ahhoz szükséges, hogy egy test megőrzhesse nyugalm állapotát. A statkában a vzsgált testre más testek kölcsönhatását, azaz a ható erőket elsődlegesnek teknthetjük, éppen ezért az erőt alapfogalomként kezeljük. Az erő vektoráls fzka mennység, és mnt lyent a nagysága, ránya és rányítása határozza meg. Az erő mndg a testhez kapcsolódk, ezért a működés helye mndg a test valamelyk (általában az érntkezés) pontjával esk, egybe. Éppen ezért az erőt, mt fzka mennységet helyhez kötött vektornak tekntjük. Ez a megjegyzés azért lényeges, mert a matematka vektoroknak nncs támadáspontjuk, csak nagyságuk, rányuk és rányításuk, tehát önmagukkal párhuzamosan eltolhatók. Az erőt a vektora és a támadáspontja együttesen határozza meg. Azt az egyenest, amelyen az erő hat, hatásvonalnak nevezk. A statkában általában csak a vzsgált testet ábrázoljuk, és a ráható több test helyett csupán a hatásuknak megfelelő erőket tüntetjük fel. Az erő megadásakor célszerű az rányt külön e egységny hosszúságú, úgynevezett egységvektor segítségével kjelöln. Az egységvektor bevezetésével az erő vektora a következőképen írható fel: 5
F F e (.) Ha az erő támadáspontját tekntjük, akkor a természetben előforduló erőket a következőképpen csoportosíthatjuk: koncentrált erő, vonalment erő, felületment erő, térfogat erő, közös ponton támadó erő, szétszórt erő, párhuzamos erők, belső erők és külső erők.. ábra: erők osztályozása támadáspontjuk szernt Forrásanyag: [ 3, 8 oldal] Koncentrált erő a testek pontszerű érntkezésénél lép fel. A valóságban nem létezk pontszerű érntkezés, és kterjedés nélkül test, ezért a koncentrált erő fogalma csak megközelítő modellt jelent. Használata mégs ajánlott, mert a közelítés a legtöbb esetben jó eredményt hoz. Az eredmény annál jobb, mnél ksebb, az érntkezés felület. A valóságos testek érntkezése mndg egy adott felület mentén történk. Ha az érntkezés felület egyk rányban ks kterjedésű, akkor egyenes, vagy vonal mentén ható erőkről beszélünk. A természetben leggyakrabban előforduló súlyerő a test mnden pontjára hat. Az lyen erőket térfogat, vagy tömegerőknek nevezzük. Ha az erők támadáspontja mellett az rányt s fgyelembe vesszük, akkor megkülönböztetünk közös ponton támadó különböző rányú erőket. Ez az eset akkor jelentkezk, ha a tanulmányozott anyag pontra egydejűleg több test hat. Általános esetben az erők különböző pontokban hatnak a testre. Különleges esetben az erők ránya párhuzamos lehet, ekkor párhuzamos erőrendszerről beszélünk. Ha az erők ránya különböző, szétszórt erőrendszerről beszélünk. Ha az összes erő egy egyenesben hat, 6
közös hatásvonalú erőrendszerrel állunk szemben. Síkbel erőrendszerről akkor beszélünk, ha az erők mnd egy síkban hatnak. A legtöbb esetben azonban tetszőlegesek az erők, és ez esetben az erőrendszer a térbel erőrendszer nevet vsel. Valamely test tanulmányozásakor az degen testek hatását külső erőknek nevezzük. A test mértan vszonyat feltüntető, úgynevezett szerkezetábrán az átteknthetőség kedvéért nem szokás az erőket léptékhelyesen berajzoln, ezt külön végezzük el Ha a test egyszer egy, máskor egy másk erőrendszer hatására marad nyugalomban, akkor a nyugalom szempontjából a két erőrendszer egyenértékű..3. Anyag pont statkája A tanulmányozás kndulópontjaként tételezzük fel, hogy az anyag pont nyugalomban található, és csak ezt követően hatnak rá az erők. Ha az anyag pontra egydőben az F, F,,..., F,..., Fn n erő hat, akkor Newton I tőrvénye értelmében a nyugalom feltétele: n F F Amennyben a fent feltétel nem teljesedk be, az anyag pont nem maradhat nyugalomban. Ilyen esetben az erők együttes hatása Newton törvénye értelmében megegyezk az Fe vektorú erővel, amelyet eredő erőnek nevezünk. Mvel az eredő erőnek ugyanaz a hatása a pontra, mnt az egyes erőkből felépülő rendszernek, ezért azt mondjuk, hogy az eredő Fe erő egyenértékű az F összetevőkből álló erőrendszerrel, lletve az erőrendszert helyettesít az eredő. Eredő alatt a vzsgált erőrendszerrel egyenértékű, legegyszerűbb erőrendszert értjük, azaz a statkában egyetlen Fe erőt. A statka egyk alapvető kérdése, hogyan lehet egy nem erőegyensúly rendszert kegyensúlyozn egyetlen Fe erővel. Matematkalag: F + F e 0 (.3) Innen: F e F (.4) A fentekből ktűnk, hogy a kegyensúlyozó erő az Fe erővel ellentétesen megegyezk, tehát csak előjelben különbözk, támadáspontja ugyancsak az anyag pont. Két erőrendszer kegyensúlyozza egymást, ha eredőjük ellentétesen azonos, tehát csak előjelben különböznek. 0 (.).3.. Közös hatásvonalú erők Ha egy adott anyag pontra ható erők mnd egy egyenesbe esnek, akkor közös hatásvonalú, közös ponton támadó erőrendszerről beszélünk. A következő eseteket különböztetjük meg: 7
a. Egyetlen erő Ha egyetlen F hat az anyag pontra, akkor nem lehet egyensúly, ugyans: Az eredő erő ez esetben maga az F erő. A kegyensúlyozó erő: F e F b. Két erő A két erő hatására létezhet nyugalm állapot. Ennek feltétele: F 0 F +F 0 (.5) (.6) (.7) Ezt az összefüggést még a következő képen fejezhetjük k: F F (.8) A fent felírásmódból észrevehető, hogy ha két erő egyensúlyáról beszélünk, akkor a két erő egymással ellentetten egyenlő, tehát csak előjelben különböznek egymástól. Két, közös ponton támadó erő akkor van egyensúlyban, ha közös a hatásvonaluk, nagyságuk azonos, de ellentétes rányításúak. Ha két erőre nem teljesül az egyensúly feltétele, azaz: F + F F 0, (.9) akkor az erőrendszer egyenértékű ezzel az F erővel, amelyet eredő erőnek nevezünk. Két erőből álló rendszert az eredő meghatározásával vsszavezethetjük egy erőre. A kegyensúlyozást a következő képen végezhetjük: ( ) F e F F + F.3.. Tetszőleges számú erő Ha az anyag pontra egydejűleg több erő hat, akkor az egyensúlynak a következő feltétele: (.0) n F F 0 (.) A fent képlet szernt, ha az erővektorokat egymás után léptékhelyesen felmérjük, akkor a kezdő és a végpont egybeesk. A vektorábra záródása azt jelent, hogy az erők egyensúlyban vannak. 8
Ha az erők összege n F F (.) akkor a képlet az eredő nagyságát mutatja. Az eredőt szerkesztéssel úgy határozhatjuk meg, hogy egy egyenesen felmérjük az erővektorokat. A kezdő és végpontot összekötő vektor az eredő vektor. Az erők sorrendje az összeadásnál vagy szerkesztésnél közömbös. A rendszer kegyensúlyozása a következő képlet segítségével történk: 0 n F x F e 0 (.3).3.3. Síkbel erők Síkbel erőkről abban az esetben beszélünk, ha az összes, közös ponton támadó erő hatásvonala ugyanabban a síkban fekszk. a. Két erő Két erő hatására az anyag pont csak akkor maradhat nyugalomban, ha közös hatásvonalúak, és teljesül a: F + F (.4) feltétel. Ha a két erő nem esk egy egyenesbe, akkor helyettesíthető egyetlen erővel, amelyet eredő erőnek nevezünk, és amelynek támadáspontja ugyanaz az anyag pont. Meghatározására a következő képlet használatos: F + F F Szerkesztéssel az erővektorokat kétféle képen összegezhetjük:. Sokszög (polgon) módszer. A szerkesztés ebben az esetben a következő képen történk: Léptékhelyesen lerajzoljuk az első vektort. A vektor végpontjára (támadópontjára) ugyancsak léptékhelyesen megszerkesszük a következő erővektort. Ha összekötjük az első vektor kezdőpontját a másodk vektor végpontjával, megkapjuk az eredővektort. Megjegyzés: A fent módszer bármely számú erőrendszerre alkalmazható, a leírt szabály fgyelembe vételével. A módszer elvét kér erővektor esetében a következő ábra szemléltet: 0 9
. ábra: két erő összegezése a sokszög módszerrel. Paralelogramma módszer A módszer elve a következő: a két erővektort léptékhelyesen, önmagukkal párhuzamosan elcsúsztatva közös kezdőpontba hozzuk. Ezután, a két vektor végpontjából a másk vektor rányával párhuzamosakat szerkesztünk. A két vektor közös kezdőpontját összekötve a két párhuzamos metszéspontjával, megkapjuk az eredő erőt. Megjegyzés: A módszer kterjeszthető több erőre s, úgy, hogy az első kettő eredőjével és a harmadk erővel megsmételjük a szerkesztést, az új eredővel a negyedk erőt párosítjuk, stb., az utolsó erővel megkapjuk végül a rendszer eredőjét. A módszer elvét két erő esetében a következő ábrán szemléltetjük:..3 ábra: két erő összegezése a paralelogramma módszerrel c. Három erő Három erő egyensúlyát a fent említett két eljárás keretében megtárgyaltuk. Három erő hatására az anyag pont akkor marad nyugalomban, ha teljesedk a következő feltétel: F + F + F3 0 (.6) Szerkesztés szempontjából ezzel egyenértékű az, hogy a három erő vektora folytonos nyílfolyammal záródó vektorháromszöget alkosson, a következő ábra szernt:.4 ábra: három erő összegezése a sokszög módszerrel Forrásanyag: [ 3, 40 oldal] 0
Az erők felmérésének sorrendje ez esetben s közömbös. A mennyben az: F + F + F3 0 összefüggés nem áll fenn, akkor a három erő nncs egyensúlyban, a vektorháromszög nem záródk. Ebben az esetben a három erő összege éppen az F eredő erő vektorát adja: F + F + F3 F (.7) A vektorsokszög két erő összegezésének alapján állítható elő, úgy, hogy FésF megadja F, ehhez hozzáadva az F 3 -at megkapjuk az F eredő erőt: F F + + + F3 F F F3 Grafkusan az eredő erő megszerkesztését a következő képen végezzük: (.8).5.ábra: az eredő erő megszerkesztése Az eredő erő meghatározása után az eredet erőrendszert vsszavezettük egyetlen erő esetére (eredő erő), Ennek megfelelően az egyensúlyozó erő : F e F (.9) d. Tetszőleges számú erő Tetszőleges számú erő esetében az egyensúly feltétele a következő: n F F 0 am azt jelent, hogy a vektorösszeg zérus kell legyen. A következő ábrán bemutatjuk öt erő összegezésének a végrehajtását: (.0)
.6 ábra: több erő összegezése Forrásanyag: [ 3, 4 oldal].4 Síkbel erőrendszerek redukálása grafkus eljárásokkal Az erőrendszerek grafkus redukálását gyakran használják a technkában. A módszer előnye a gyorsasága, a pontosságát azonban lényegesen befolyásolja a szerkesztések méretpontossága. Tekntsük a következő ábrát, amely az F, F, F 3 és F 4 erőkből álló síkbel erőrendszert ábrázol (.7. ábra)
.7 ábra: síkbel erőrendszer redukálása kötélsokszöggel (a. ábra) lletve erősokszöggel (b. ábra) Forrásanyag: [ 8, 0 oldal] Felvesszük az k F léptéket az erők berajzolásához, és a k l léptéket, az erők tartóegyenesenek megszerkesztését. Az erő- lletve kötélsokszög megszerkesztésének a következők a lépése: Egy adott, tetszőlegesen választott A pontból megkezdjük az erősokszög szerkesztését (.6.b. ábra) A választott pontba felrajzoljuk az F erőt, méretazonosan és párhuzamosan az eredet erővel. Az F erő végpontjába, amt A ponttal jelöltünk, ugyanúgy megrajzoljuk az F erőt, és így folytatjuk tovább, amíg mnd a négy erőt felvesszük. Az utolsó, tehát az F 4 erő végpontját A 5 el jelöljük Az A A 5 vektor nagyságban megegyezk a síkbel erőrendszer R eredőjével, tartóegyenese pedg párhuzamos az eredő tartóegyenesével Az eredő tartóegyenese helyzetének meghatározására egy új szerkesztést használunk. A szerkesztés a kötélsokszög nevet vsel. A szerkesztés céljából az erősokszög síkjában felveszünk egy tetszőleges, pólusnak nevezett O pontot. A pontot összekötjük az erősokszög A, A,,A 5 pontjaval. Az OA szakaszt 0-val, Az OA -öt -el, OA 3 -t -vel. OA 4 -et 3- al, míg az OA 5 - öt 4 el jelöltük az ábránkon. Az a. ábrán felveszünk egy tetszőleges M pontot, Innen párhuzamost húzunk az -el, amíg metsz az F erőt, vagy tartóegyenesét. A metszéspontot B -el jelöljük. Ebből a pontból új párhuzamost húzunk a - vel, míg metsz az F erőt, vagy tartóegyenesét, ez lesz a B pont. A folyamatot tovább folytatjuk, az utolsó szakasz a B 4 N lesz. Meghosszabbítjuk az MB és B 4 N szakaszokat, a metszéspontjukat P-vel jelöljük. A P pontot keresztül párhuzamost húzva az A A 5 -el, megkapjuk az eredő erő tartóegyenesét, amre felmérve az A A 5 szakasz méretét, megkapjuk az eredő erő nagyságát. Az MB B B 3 B 4 N sokszöget kötélsokszögnek nevezzük...5 Erőnyomatékok és redukálásuk.5. Erő nyomatéka pontra nézve Az erő nyomatékát a pontra nézve két okból vezették be a mechankába, éspedg: - egy erőt amely egy szlárd merev testre hat, nem lehet csak a tengely szernt vetülete alapján meghatározn, ugyans az erő egy csúszóvektor. -a nyomaték az erő azon kapactása, hogy képes forgatn a testet egy tengely körül, amelyk áthalad a test egy adott pontján. A fent meghatározás értelmében egy erőt meghatároz a tengelyek szernt vetülete és az orgóhoz vszonyított forgató nyomatéka. Értelmezés szernt, egy erő nyomatéka egy ponthoz (amt pólusnak nevezünk) vszonyítva egyenlő az erő és a ponttól való távolság vektoráls szorzatával. Az erőnek a távolságát a ponttól helyzetvektornak nevezzük. Tekntsük a következő ábrát, ahol az F erő nyomatékát számítjuk az Oxyz koordnátarendszer orgójához képest. 3
.8 ábra: erő nyomatéka ponthoz vszonyítva Forrásanyag: [ 8, 79 oldal] A nyomaték meghatározására a következő képlet használatos: ( F ) r F M o (.) Egy erő nyomatékának egy ponthoz vszonyítva a következő jellemző vannak: a. A nyomaték egy, az O ponthoz kötött vektor, ránya merőleges az erő, és a helyzetvektora alkotott síkra. b. Irányítása az amelyben az erő, a helyzetvektora és a nyomaték egy tetraédert alkotnak. Meghatározása a jobb kéz szabállyal történk c. A nyomatékvektor modulusa egyenlő az erő, és az O pontból az erő tartóegyenesére húzott merőleges méretének a szorzatával, azaz: ( F ) r F sn α F d M o (.) A nyomaték mértékegysége: a newton-méter (N.m) Az erő nyomatéka egy pontra nézve a következő négy tulajdonsággal rendelkezk:. A nyomaték értéke zérus, ha az erő hatásvonala áthalad a póluson. Az erő nyomatéka a pontra nézve nem váltakozk, ha az erő elcsúszk a saját hatásvonalán A kettes tulajdonságból két következtetést vonhatunk le: - Egy erő nyomatéka egy pontra nézve ugyanaz, függetlenül attól, hogy az llető erő egy kötött, vagy csúszóvektor - A nyomaték meghatározására adott meghatározást úgy módosíthatjuk, hogy az r helyzetvektor nem feltétlenül az erő támadáspontjának kell a helyzetvektora legyen, hanem az erő hatásvonalán bármely tetszőleges pontnak. 3. Egy erő nyomatéka az erő hatásvonalával párhuzamosan elhelyezkedő pontokhoz képest, ugyanakkora rány, rányítás és modulus szempontjából, és csak a támadás pont szernt különbözk. 4. Egy erő nyomatéka egy adott ponthoz képest megváltozk, ha megváltozk az adott pont helyzete. 4
.5. Az erő nyomatékának pontra nézve való analtkus meghatározása Tekntsük az előbb ábra (.8 ábra) szernt F erőt, amely az A pontban hat, helyzetvektora pedg az O ponthoz képest: r Az F erőnek a tengelyek szernt vetülete: ( az A pont koordnátá: x A, y A, z A, ) F Fx + Fy j + F k z (.3) Analóg módon felírhatjuk az r helyzetvektor vetületet s: r x A + y A j + z Az M o nyomatékot még a következő képen írhatjuk fel: M M M x y z y y y A A A F F F z x y z z z A A A A F F F k y z x (.4) (.5) (.6) (.7) Ha az erő, és a pólus az xoy síkban találhatók, a nyomatékvektor ránya az Oz tengely, és értéke: és egyetlen összetevője van: M o ( F ) ( x F y F ), A y A x (.8) M y M o x F y A y A F x (.9).5.3 Erő nyomatéka tengelyhez vszonyítva Egy erő nyomatéka egy adott tengelyhez vszonyítva, egyenlő az erő egy tetszőleges, a egyeneshez tartozó pontjához vszonyított nyomatékának az egyenesre eső vetületével. Az erő nyomatékát a.9 ábra segítségével tanulmányozzuk 5
.9 ábra: erő nyomatéka tengelyhez vszonyítva Forrásanyag: [ 8, 83 oldal] ( F ) pr M ( F um ( F ) u ( r F ) M 0 ) 0 (.30) Az erő nyomatéka egy adott tengelyhez vszonyítva a következő tulajdonságokkal rendelkezk: a. A nyomaték zérus, ha az erő tartóegyenese és a tengely egy síkba esnek A tulajdonságot azzal ndokoljuk, hogy a vegyes szorzat három esetben zérus: - az erő tartóegyenese párhuzamos a tengellyel - az erő tartóegyenese metsz a tengelyt - az erő tartóegyenese egybeesk a tengellyel b. A nyomaték nem változk, ha az O pont elmozdul a tengelyen c. A nyomaték változatlan marad, ha az erő elcsúszk a saját tartóegyenesén. A gyakorlatban az erő nyomatékát a tengelyre nézve a következő képen számítjuk k. - Általában az erő támadáspontjából egy merőleges síkot bocsátunk a tengelyre - levetítjük az erőt erre a síkra - Legyen az o pont a sík és a egyenes metszéspontja. Kszámítjuk az erő nyomatékát az O pontra nézve. - Meghatározzuk a kszámított nyomaték rányítását. Ha a forgatás rányítása megegyezk az óramutatók járásával akkora a nyomaték negatív, ha az óramutatók járásával ellentétes a forgatás, a nyomaték poztív előjelű. 6
Gyakorlatok. Téglalap alakú testre az alább ábrán feltüntetett három erő hat. Az erők az Ox, Oy lletve az Oz tengely mentén hatnak. Mlyen legegyszerűbb erővel helyettesíthető az erőrendszer, és mlyen lesz az ránya? Adottak: F 0 N F 40 N F 3 50 N.0 ábra: az erőrendszer Megoldás: A legegyszerűbb erő egyetlen erő lesz, amelynek hatásvonala áthalad az orgón. Fgyelembe véve, hogy az erők hatásvonala egymásra merőleges, az eredő erő nagyságának a kszámítására a következő képletet használhatjuk: F F + + 0 + 40 + 50 67 N F F3 Az eredő erő rányának a kszámítására a következő képleteket használjuk: cos α F / F 0 / 67 0,30 cos α F / F 40 / 67 0,60 cos α 3 F 3 /F 50 / 67 0,75 α,6 rad α 0,9 rad α 3 0,7 rad. Egy szerkezetre az alább ábra szernt megrajzolt erők hatnak. Az erők, lletve a megadott távolságok függvényében határozzuk meg a támaszokban fellépő reakcók nagyságát! 7
. ábra: a szerkezetre ható erőrendszer A feladat adata a következők: F 00 N, α 30 o, F 00 N, α 45 o. F 3 00 N, AB BC CD DE m. Megoldás Az első lépésben felírjuk az egyensúly általános feltételet: Σ F x 0 Σ F y 0 Σ M A 0 Σ M E 0 A számítások megkönnyítése végett, előszőr kszámítjuk az erők vízszntes, és függőleges összetevőt, a következő képpen: (az eredményeket táblázatba foglaljuk össze) Az F erő szétbontása a F x N F y N F 86,065-50 F 0-00 F 3-70,706-70,706 következő képen történk: 8
. ábra: az F erő szétbontása Innen: cos α F x / F F x F. cos α 00 x cos 30 o 00 x 3 / 86,605 N F y - F. sn α -00 x / -50 N Az F -öt elemezve azonnal észleljük, hogy: F x 0 F y F -00 N Az Az F erőt a következő ábra segítségével bontjuk alkotóra.3 ábra: az F erő szétbontása Az első erő szétbontásánál használt algortmust követve kapjuk: F x -F. x cos α 3 00 x cos 45 o 00 x / - 70,706 N F y - F x sn α 3-00 x sn 45 o 00 x / - 70,706 N A következő lépésben rátérünk az egyensúly feltételek egyenként megoldására: Σ F x 0 9
R AV + F X + F 3X 0, nnen: R AV - F X - F 3X -86,065 + 50-30, 065 N Az eredményül kapott negatív érték azt jelent, hogy ábránkon a vízszntes rányban felvett reakcó rányítása rossz, tehát meg kell cseréln! Tehát: R AV -30, 065 N Felírva az egyensúly egyenletet: Σ F y 0 R Af - F y F F 3y + F Ef 0, majd az értékeket behelyettesítve kapjuk: R Af - 50 00 70,706 + R Ef 0, nnen: R Af + R Ef 30,707 N Ezt az részleteredményt felhasználjuk a továbbakban a végeredmény helyességének ellenőrzéséhez. Felírjuk az A pontra a nyomatékképletet: Σ M A 0 -F Y x AB F Y x AC F 3Y x AD + R Ef x AE 0 nnen: R Ef (F Y x AB + F Y x AC + F 3Y x AD) / AE, tehát: : R Ef ( 50 x ¼ + 00 x ½ + 70,706 x ¾ ) / 65, 5395 R Ef 65, 5395 Felírva a E pontra s a nyomatékképletet: Σ M E 0 A képletet kfejlesztve kapjuk: F 3Y x ED + F Y x EC + F Y x EB R Af x EA 0, nnen R Af (F 3Y x ED + F Y x EC + F Y x EB) / EA R Af (70,706 x ¼ + 00 x ½ + 50 x ¾ ) / 55,776 N R Af 55,776 N Ellenőrzés: 0
V Af + V Ef 65, 5395 + 55,776 N 30,77 N Az eltérés : 0,0064 N, tehát számításank helyesek. 3. Határozzuk meg az alább ábrán vázolt kéttámaszú tartó támasztóerőt szerkesztéssel!.4 ábra: párhuzamos erőkkel terhelt kéttámaszú tartó Forrásanyag: [ 3, 95 oldal] Adottak: F 500 N F 000 N F 3 000 N F 4 400 N F 5 00 N Erőmérték: az ábrán Hosszmérték: az ábrán Megoldás: Az ábra szernt a támasztásokon függőleges erők ébrednek. Első lépésben helyezzük az F A -t az F elé, az F B -t pedg F 3 -után. Ha szerkesztésünk helyes, akkor az F A kezdőpontját kjelölő k pont az F B végpontját kjelölő v ponttal egybe kell essék, ugyans csak ebben az esetben záródk a vektorsokszög. Ez az egybeeső k és v pont még hányzk. A kötélsokszögből megszerkeszthetők az F, F és F 3 erőkkel érntkező oldalak. Ezt úgy érjük el, hogy a vektorábrában megrajzoljuk a sugarakat. Az α ponton átmenő, és az F A t megelőző, valamnt a β ponton átmenő, és az F B t követő, oldal hányzk. Észrevehetjük azonban, hogy ezek az első, és utolsó kötéloldalak, amelyek egyensúly esetén egybe kell, hogy essenek.
Így tehát az α és β összekötő egyenese jelöl k a keresett z záróoldalt a kötélsokszögben. Ezzel párhuzamost húzva megkapjuk a keresett k és v pontokat, melyek kjelölk az F A és F B erővektorokat. 3. Fejezet 3. Tömeggeometra Mnden anyag részecske, amely a Föld felszínén, vagy attól egy bzonyos távolságra tartózkodk, a Föld gravtácós erőterének van alávetve. Ez a gravtácós erőtér a vonzóerőn keresztül materalzálódk: G m g (3.) amelyet gravtácós erőnek, vagy egyszerűen súlynak nevezünk. Észrevehető, hogy ez az erő a tömeg, és a gravtácós gyorsulás függvénye. A gravtácós gyorsulás értéke attól függ, hogy az anyag részecske a Föld mlyen pontján található, így az egyenlítőnél g 9,78 m/s,a sarkokon: g 9,83 m/s, Bukarestben: g 9,806 m/s, stb. Az rányt lletően, a gravtácós gyorsulás ránya a Föld középpontja fele mutat. Tekntsük a következő: A, A, A 3,...,A n anyag pontokból álló rendszert szétszórva a Föld egy aránylag leszűkített övezetében. Az anyag pontok tömege: m, m, m 3,...,m n. 3. ábra: az anyag pontra ható erőrendszer Forrásanyag: [9, 80 oldal] Esetünkben azt mondhatjuk, hogy ezek az erők gyakorlatlag párhuzamosak egymással. Az erők eredője az anyag rendszer súlya nevet vsel., és kszámítására a következő képlet használható:
3 n G G (3.) A párhuzamos erőrendszer támadás pontját az anyag pontrendszer súlyközéppontjának nevezzük. A súlyközéppont helyzetét adott koordnátarendszerhez képest a helyzetvektora adja meg, amely a következő képlet segítségével határozható meg: n n c G G r r (3.3) A súlypont koordnátát egy Descartes.-féle koordnáta rendszerben a következő képen határozzuk meg: n n c n n c n n c G G z z G G y y G G x x ; ; (3.4) Meghatározás szernt az anyag pontrendszer tömegenek az összege adja a pontrendszer tömegét: n m M (3.5) Ha az előbb egyenletekben a G m g helyettesítést végezzük, és fgyelembe vesszük, hogy a Föld egy adott pontjára a gravtácós gyorsulás értéke állandó, a következő kfejezésekhez jutunk: g M m g G n (3.6) Az előbbvel hasonló módon, a több kfejezés s a következő képen fog módosuln: n n n n c m m r g m g m r r (3.7)
x c n m x ; yc ; zc n n n m n m y m n m z m (3.8) 3. Egy adott test súlyközéppontjának a meghatározása Tekntsük a következő, S testet, amely egy szlárd merev test, homogén és nem deformálható: 4. ábra: szlárd merev homogén test súlyközéppontjának meghatározása Forrásanyag: [9, 8 oldal] Tekntsük a testből egy V nagyon ks térfogatú részecskét, amelynek tömege m tömegközéppontja C és helyzetvektora r. Az Oxyz koordnátarendszerhez vszonyítva. Tegyük fel, hogy az anyag rendszer n számú m részecskéből épül fel. A súlyközéppont mértan helyének a meghatározására a következő kfejezés használatos: r c n n r m m (3.9) Amennyvel nagyobb az elemzésbe vett m anyag pontok száma, annál pontosabb a súlyközéppont helyének a meghatározása. A pontos helyet úgy határozzuk meg, hogy az előbb képletben n-et végtelen nagynak tekntjük, és határértéket számolunk, azaz: 4
r c (3.0) Az előbb képlet fgyelembe vételével, a súlyközéppont koordnátá a következő képen alakulnak rdm dm x xdm ydm ; y z dm dm c c c ; zdm dm képest 3.. A súlyközéppont tulajdonsága A súlyközéppont a következő tulajdonságokkal rendelkezk: (3.). A súlyközéppont helyzete nem függ a rendszer helyzetétől a koordnátarendszerhez. A súlyközéppont helyzete nem változk, ha a rendszert alkotó anyag pontok összességének a tömege ugyanolyan arányban növekszk vagy csökken 3. A súlyközéppont konvex felületek esetében mndg a felület belsejében található 4. Ha egy rendszer összes anyag pontja egy egyenesen található, akkor a rendszer súlyközéppontja s ugyanazon az egyenesen található 5. Ha egy rendszer összes anyag pontja egy síkban található, akkor a rendszer súlyközéppontja s ugyanabban a síkban található 6. Ha az anyag pontokból álló rendszernek létezk egy szmmetra pontja, egyenese vagy síkja, akkor a rendszer súlyközéppontja ezen a szmmetra egyenesen lletve síkon található, vagy azonos a szmmetra ponttal. 7. Ha egy rendszer p számú (S ), (S ), (S 3 ),..., (S p ) alrendszerből tevődk össze, M, M, M 3,..., M p, és smertek a C, C, C 3,..., C p súlyközéppontjak, akkor a rendszer súlyközéppontjának a helyét a következő képlet segítségével határozhatjuk meg: r c M r c c M + M + M r + + M + + M p p r c p (3.) 8. Ha egy anyag pontból álló rendszer olyan felépítésű, hogy az (S) rendszer lényegében egy (S ) rendszerből áll, amelykből hányzk az (S ) rendszer, és ha smert a két rendszer M és M tömege, lletve a két, C, C, súlyközéppontja, akkor a rendszer súlyközéppontjának a meghatározását a következő képlet segítségével végezhetjük: M r 3.3 A sűrűség (térfogat, felület és lneárs) r c c c M M M r (3.3) 5
A m / V arányt a V térfogat közepes sűrűségének nevezk, és a határt, amely felé tart ez az érték, abban az esetben, ha a V értéke tart a zéró fele, térfogat, vagy volumetrkus sűrűségnek. ρ v lm v 0 m v dm dv (3.4) Azokat a testeket esetében, amelyeknél az egyk méret, -a vastagság- elhanyagolható a másk két mérethez képest, lemezeknek nevezzük. Az lyen testek esetében felület sűrűségről beszélünk, amelyet a következő képlet segítségével határozunk meg: ρ s lm s 0 m S dm ds (3.5) Abban az esetben ha az elemzett tárgy egy rúd, vagy szál, azaz a keresztmetszetének a mérete elhanyagolhatóak, lneárs, vagy vonalszerű sűrűségről beszélünk, és a következő képletet alkalmazzuk: ρ l lm v 0 m l dm dl Egy test össztömegét a következő képlet segítségével határozzuk meg: M dm 3.6) Gyakorlat.. Az alább ábra szernt homogén lemezt felfüggesztjük az A pontban, és hagyjuk, míg a gravtácós erő hatására egyensúly állapotba kerül. Határozzuk meg a φ szöget, amelyet az AB átmérő zár be a vízsznttel A lemez méretet a következő ábrán szemléltettük. 3.7 6
3.3 ábra: az A pontban felfüggesztett homogén lemez Forrásanyag: [9, 09 oldal] Megoldás Egyensúly állapotban a lemez C(x c, y c ) súlyközéppontja azon a függőleges egyenesen található, amely tartalmazza az A felfüggesztés pontot.. Ennek a pontnak a koordnátát az xay koordnátarendszerhez vszonyítva, a következő képen határozzuk meg: Az ábrából észrevehető, hogy: x c (x S - x S + x 3 S 3 ) / S - S + S 3 ) x c (y S - y S + y 3 S 3 ) / S - S + S 3 ) tg φ x c / x c (x S - x S + x 3 S 3 ) / (y S - y S + y 3 S 3 ) A következő lépésben meghatározzuk S, S és S 3 értékét. Az ábrán látható síkdomot szétbontjuk 3 egyszerű mértan domra. Az első dom egy r 5 cm sugarú félkör, amely lényegében hányzk az domból, a képletben ezért szerepel negatív értékkel. A másodk dom egy fél kör melynek sugara r k 9 cm, A harmadk dom egy a 4cm oldalú négyzet. A fent kegészítésekkel: A három dom súlyközéppontjanak koordnátá: Elvégezve a behelyettesítéseket, kapjuk: S π. r / π. 5 / 5 π / cm S π r k / π 9 8 π / cm S 3 a 4 6 cm x x 5 cm, x 3 cm y 0 / 3 π cm, y 36 / 3 π cm, y 3. - cm tg φ x c / x c (5 x 8 π / - 5 x 5 π / + x 6) / (36 / 3 π x 8 π / - 0 / 3 π x 5 π / - - x 6),704553 Innen adódk: φ 59 o 38 / 7 // 7
4. Fejezet B. Knematka 4. Az anyag pont knematkája Az előadás keretében az anyag pont mozgását tanulmányozzuk, anélkül, hogy fgyelembe vennénk a mozgást elődéző erőrendszereket. Azon pontok mértan helyét, amelyeket egymásután elfoglal az anyag pont a mozgása során, pályának nevezzük. A mozgás tanulmányozása végett felveszünk egy M anyag pontot, és egy rögzített Oxyz koordnáta rendszert, amelyben tanulmányozzuk az anyag pont mozgását. Az anyag pont a (C) görbe alakú pályán mozog. Az anyag pont helyzetét bármely t dőpontban meghatározza az x, y és z koordnátája. 4. ábra: az anyag pont mozgása Forrásanyag: [9, 93 oldal] 8
Az M anyag pont mozgásának smeretéhez szükséges a mozgás paraméteres egyenletenek az smerete. Ezek az egyenletek a következők: x x(t), y y(t) és z z(t) Amennyben a mozgás síkban történk, az egyenletek: (4.) x x(t) és y y(t) (4.) Amennyben a mozgás síkjában felvesszük az O pontból és az O egyenesből álló polárs rendszert a következő ábra szernt, 4. ábra: az anyag pont mozgása polárs rendszerben Forrásanyag: [9, 94 oldal] akkor a következő paraméteres egyenletekkel jellemezhetjük az anyag pont mozgását: r r(t) és φ φ(t) (4.3) 4. Az anyag pont sebessége és mozgása a háromdmenzós térben Tekntsünk egy M anyag pontot, amely a háromdmenzós térben mozog, egy görbe (C) pályán. A mozgást a rögzített Oxyz koordnáta rendszerhez hasonlítjuk. Tekntsük az anyag pont M, lletve M helyzetét a (C) pályán. A két helyzetnek megfelelő dőpont a t, lletve a t + t dőpontok. A t dő 9
véges, de nagyon ks dőt jelent. Legyen r és r r + r az M lletve M pontok helyzetvektora. A r az r helyzetvektor változása a t dőnek megfelelően. Az anyag pont sebességét a következő képlet segítségével határozhatjuk meg: v m r t Ez a sebesség az M pont t dőpontjának megfelelő középsebesség. Fgyelembe véve, hogy az M pont mozgása a (C) pályán smert, felírhatjuk: s s(t) A pllanatny sebességet a következő képlet segítségével számítjuk k: (4.4) (4.5) A gyorsulást lletően felírhatjuk: v sɺ (4.5) A gyorsulást felírhatjuk a következő képen s: a m v t (4.6) a vɺ ɺrɺ (4.7) 4.3 A gyorsulás és a sebesség összetevő A következő ábra egy anyag pontot szemléltet, amelyk egy görbe alakú pályán (C) mozog. A pont helyzetét az Oxyz rögzített koordnáta rendszerhez képest az r helyzetvektor mutatja. 30
4.3. ábra: a gyorsulás és sebesség összetevő Forrásanyag: [9, 97 oldal] A koordnátarendszer egységvektora, j és k. Az anyag pont mozgását az Oxyz koordnáta rendszerhez vszonyítva az: egyenletek adják. Fgyelembe véve, hogy: x x(t), y y(t) és z z(t) r x + jy + kz (4.8) (4.9) 3
A következő egyenleteket írhatjuk fel: r xɺ + jyɺ + kzɺ Tehát a sebesség komponensere a következő összefüggések érvényesek: (4.0) v x xɺ ; v yɺ ; v zɺ y z (4.) Hasonlóképpen a gyorsulásra s felírhatjuk a következő összefüggéseket: a x ɺ + jy ɺɺ + kz ɺ Ez az összefüggés még felírható a következő formában s: a a + ja + Tehát a gyorsulás összetevőre a következő összefüggéseket írhatjuk fel: x y ka z (4.) (4.3) a x ɺx ; ɺy ; ɺz a y a z Tehát smerve a mozgás paraméteres egyenletet, ha ezeket derváljuk az dő szernt, akkor az elsőrendű dervált a sebesség, míg a másodrendű dervált a gyorsulás egyenletet adja. A pllanatny sebesség, lletve a pllanatny gyorsulás abszolút értéket a következő képen határozzuk meg: v a xɺ + yɺ + ɺ x + ɺɺ y + zɺ ɺz (4.4) (4.5) A szögek, amelyeket a sebesség, lletve a gyorsulás képez a koordnátarendszer tengelyevel, a következők: cos α v x /v cos β v y /v cos γ v z /v (4.6) Gyakorlatok. Két út derékszögben metsz egymást az O pontban. Ugyanabban az dőben a két úthoz tartozó A és B pontokból két személygépkocs tart az útkereszteződés fele. A két jármű mozgása egyenletesen gyorsuló. Határozzuk meg azt az dőpontot, amkor a két jármű közt távolság a mnmáls lesz. 3
4.4 ábra: a feladat grafkus ábrázolása OA x 0 ; OB y 0 Megoldás Az A pontból knduló jármű mozgását leíró egyenlet: x x 0 - (/) a t A B pontból knduló jármű mozgását leíró egyenlet: Az A és B pont között távolság: y y 0 - (/) a t Ahol : A B x + y d nnen: d x + y ( x 0 + y 0 ) - (x 0 a + y 0 a ) t + (/4) (a +a ) t 4 4 d ( x 0 + y 0 ) - (x 0a + y 0a ) t + ( ) (a + a ) t 4 A mnmáls távolságot úgy kapjuk meg, hogy az elsőrendű derváltat egyenlővé tesszük zéróval: d(d) / dt 0 -t(x 0 a +y 0 a ) + (a +a 4 t ) ( x 0 + y 0 ) - (x 0 a + y 0 a ) t + ( ) (a 4 + a ) t 4 Az A B mnmáls szakasz megtételéhez szükséges dőt a következő képen határozzuk meg: Innen kfejezzük a t dőt: (a +a ) t (x 0 a + y 0 a ) t (x 0 a + y ( a + a 0 ) a ) 33
A t dőnek megfelelő mnmáls távolság: d y 0 a - x 0 a / ( a +a ) 5. Fejezet A szlárd merev test knematkája 5. Bevezetés Az előadás során a szlárd, merev test mozgását fogjuk tanulmányozn az dő függvényében, anélkül azonban, hogy fgyelembe vegyük a mozgást elődéző erőrendszert. A merev szlárd test általános, vagy sajátos mozgást végezhet. Lényegében kétfajta egyszerű mozgás létezk. Ezek a következők: -haladómozgás -forgómozgás egy rögzített tengely körül. A fent két mozgás kombnácója eredményez a következő mozgástípusokat - forgóhaladó mozgás (csavarmozgás) -síkpárhuzamos mozgás -forgómozgás egy rögzített pont körül -általános mozgás 5. A merev test haladó mozgása Egy test haladó mozgást végez, ha a test egy adott szakasza a mozgás dőtartama alatt párhuzamos marad önmagával. Ha a mozgás ránya egy egyenes, egyenes vonalú haladó mozgásról beszélünk. Ha a mozgás ránya nem egyenes, görbe vonalú haladó mozgással állunk szemben. A következő ábrán egy merev test ( C ) görbe vonalú haladó mozgását szemléltetjük. 34
5. ábra: a merev test görbe vonalú mozgása Forrásanyag: [9, 3 oldal] A test mozgását, egy rögzített O x y z koordnáta rendszerben tanulmányozzuk. A test tömegében egy O pontot választunk, amt mozgó összehasonlítású pólusnak nevezünk. Ezen a ponton keresztül meghúzzuk az új Oxyz koordnáta rendszert, amelynek tengelye a mozgás bármely pllanatában párhuzamosak maradnak az eredet O x y z koordnáta rendszer tengelyevel. A sebesség tanulmányozása céljából, a testben felveszünk egy tetszőleges M pontot. A helyzetvektorokat lletően felírhatjuk: r r + r 0 Fgyelembe véve: r ɺ v; rɺ 0 v0 és rɺ 0, következk: (5.) v (5.) A fent összefüggés azt mutatja, hogy a mozgásban lévő szlárd, merev test bármely pontjának sebessége azonos. A gyorsulás meghatározásához a következő képen járunk el: ugyanaz. Innen kapjuk: a a0 v 0 rɺ a; ɺɺ r0 a; ɺr 0 (5.3), tehát a mozgásban lévő merev test, bármely pontjának a gyorsulása 35
5.3 A merev test forgó mozgása egy rögzített tengely körül Egy szlárd merev test abban az esetben végez forgómozgást egy rögzített tengely körül, ha az egész forgás dőtartama alatt két pontja rögzített marad a térben. A fent megfogalmazásból értelemszerűen adódk, hogy létezk, a két rögzített pont által meghatározott egyenes, ( ), amelynek az összes pontja rögzített marad a forgás deje alatt. A következő ábrán bemutatunk egy szlárd merev testet (C), amelyk forgómozgást végez egy rögzített tengely körül ( ). 5. ábra: merev test forgómozgása egy rögzített tengely körül Forrásanyag: [9, 9 oldal] A szlárd test forgómozgását bármely pllanatban meghatározza a t dő, a forgás rány a tengely körül és a szögsebesség. Ezt a három tényezőt egyértelműen meghatározza az ω forgás vektor, amelynek: -a támadás pontját bárhol felvehetjük a ( ) forgás tengelyen. Az lyen vektort csúszóvektornak nevezzük. -a tartóegyenese maga a ( ) forgás tengely. 36
-a forgás rányítása olyan, hogy a külső megfgyelő, ak lábával az orgóban, fejével az ω vektor végpontjában található, a forgás jobbról balra történk Bármely pllanatban felírhatjuk: ω ω ( t). Az ω szögsebesség elsőrendű derváltja az ε szöggyorsulás.. A két vektor rányítása azonos, ha a rendszer gyorsul, és ellentétes rányítású, ha lassul. Tehát felírhatjuk: dω ε ɺ ω dt A sebesség meghatározásához választunk egy rögzített ( ) forgás tengelyt, és r-el jelöljük az M pont helyzetvektorát. Berajzoljuk a t dőpontnak megfelelő ω szögsebességet. A vektoráls összefüggés a következő: (5.4) Azonban: v ω r (5.5) v ω R az ω r vektoráls szorzat felírható matematkalag: (5.6) ω r ωr sn α ωr (5.7) Könnyen bebzonyítható, hogy bármely pontnak, amelynek a ( ) forgás tengellyel párhuzamos egyenesen helyezkedk el, ugyanaz a forgás sebessége. A gyorsulás meghatározásához a következő kfejezésekből ndulunk k: A műveletek elvégzése után kapjuk: vagy: ɺ ω ε ; r ɺ v ω r ( r ) a ε r + ω ω ( r ) a ε r + ( ωr) ω (5.0) Akárcsak a sebesség esetében, a gyorsulásra s felírhatjuk, hogy bármely pont gyorsulása, a melyk a forgástengellyel párhuzamos egyenesen helyezkedk el, ugyanaz. (5.8) (5.9) 5.4 A merev test forgóhaladó mozgása Egy szlárd merev test forgóhaladó mozgást végez, ha a mozgása egy rögzített ( ) egyenes ment egyenes vonalú haladó, és ugyanazon ( ) tengely ment forgó mozgásból tevődk össze. Ezt másképen úgy s fogalmazhatjuk, hogy a a mozgás dőtartama alatt a test két pontja mndg a ( ) egyenesen marad. A mozgást a következő ábra segítségével tanulmányozzuk: 37
5.3 ábra: merev test forgóhaladó mozgása Forrásanyag: [9, 3 oldal] Tekntsünk a (C) merev test egy tetszőleges O pontját, amely a ( ) tengelyen található. A test a ( ) tengely körül forgóhaladó mozgást végez. Az O pont az O x y z koordnáta rendszer orgója. Legyen a Ψ szög a ( ) tengelyt tartalmazó rögzített ( π ), és a mozgó, a ( ) tengelyt ugyancsak tartalmazó ( π ) síkok által meghatározott szög. 38
39 Ha egy adott, t dőpontban smert az O O s távolság és a Ψ szög értéke, akkor a t dőpontra egyértelműen meghatározható a merev test helyzete Legyen v t a forgóhaladó mozgás sebességének haladó, lletve ω a forgó mozgás v r sebesség összetevője. Az M pont sebességét úgy kapjuk meg, hogy a két sebességet összegezzük. v r r ω (5.) Tehát: t t r v r v v v + + ω (5.) A továbbakban kfejezzük az M pont sebességét a rögzített O x y z koordnáta rendszerhez képest: tz ty tx z y x z y x v k v j v z y x k j v k v j v + + + + + ω ω ω (5.3) A műveletek elvégzése után kapjuk: v x ω y z ω z y + v tx (5.4) v y ω z x ω z z + v ty (5.5) v z ω x y ω y x + v tz (5.7) A gyorsulás esetében s két összetevőről beszélünk: a haladó mozgás gyorsulásáról a t, és a forgó mozgás gyorsulásáról a r. ( ) r r r a r ω ω ω ε + (5.8) tehát: ( ) t t r a r r r a a a + + + ω ω ω ε (5.9) Ebben az esetben s kfejezzük az M pont gyorsulását a rögzített O x y z koordnáta rendszerhez képest: ( ) ( ) ( ) tz ty tx z y x z y x z y x z y x a k a j a z k y j x k j z y x z y x k j a k a j a + + + + + + + + + + + + ω ω ω ω ω ω ω ε ε ε
(5,0) A műveletek elvégzése után kapjuk: a x ε y z - ε x y + ω x (ω x x + ω y y + ω z z ) - ω x + a x (5.) a y ε z x - ε x z + ω y (ω x x + ω y y + ω z z ) ω y + a y (5.) a z ε x y - ε y x + ω z (ω x x + ω y y + ω z z ) - ω z + a z (5.3) 5.5 A szlárd merev test síkpárhuzamos mozgása Egy szlárd rest abban az esetben végez síkpárhuzamos mozgást, ha a mozgása egész dőtartama alatt három, nem egy egyenesbe eső pontja egy rögzített síkban marad. A következő ábrán bemutatunk egy (P) lemezt, amelyk síkpárhuzamos mozgást végez a (π) rögzített síkban. 5.4 ábra: szlárd merev test síkpárhuzamos mozgása Forrásanyag: [9, 4 oldal] 40
A t dőpontban (abban a helyzetben, amelykben az ábra mutatja) smert: - A lemez egy adott A pontjának v A sebessége, am egyben a mozgó koordnáta rendszer orgó pontja s. - Az A pont körül forgómozgás ω szögsebessége Célktűzésünk az, hogy az adott t dőpontban, határozzuk meg a (P) lemezhez tartozó bármely B pont v B sebességét. E célból két koordnáta rendszert választunk: a rögzített (π) síkhoz tartozó O x y -et, és az Axyt, amely a (P) mozgásban lévő lemezhez van kötve. Az ábrát elemezve, felírhatjuk: Fgyelembe véve, hogy: kapjuk: ρ ρ B A + ɺ ρ v ; ɺ ρ v ; rɺ ω r, B B A A v r v + ω r, B A (5.4) (5. 5) (5.6) A fent képlet megadja a (P) lemez bármely tetszőleges pontjának a sebességét, a v A és ω függvényében, az adott t dőpontban. Áthelyezve a B pontot a pllanatny I forgásközéppontba, amelynek a pllanatny sebessége zéró, kapjuk: 0 v A + ω r (5.7) A fent kfejezést megszorozzuk vektorálsan az ω szögsebességgel. Fgyelembe véve, hogy a szögsebesség és a helyzetvektor egymásra merőlegesek, kapjuk Fgyelembe véve hogy ρ ρ B A + ω v r ω A r, Kapjuk: (5.8) ω v ρ ρ + I (5.9) Kvonva vb v A + ω r kfejezésből a 0 v A + ω r kfejezés, megkapjuk kapjuk a B pont pllanatny sebességét: A ω A v B ω r A test gyorsulását a következő ábra segítségével tanulmányozzuk: (5.30) 4
5.5 ábra: a test gyorsulása Forrásanyag: [9, 45 oldal] A fent ábrán bemutattunk egy (P) lemezt, amelyk síkpárhuzamos mozgást végez. Egy adott t dőpontban, (amelyben a lemez helyzetét ábrázoltuk), smertek: -A lemez egy adott A pontjának a A gyorsulása, am egyben a mozgó koordnátarendszer orgó pontja s. - Az A pont körül forgómozgás ω szögsebessége, és az ennek megfelelő ε szöggyorsulás. Célktűzésünk az, hogy meghatározzuk a mozgás bármely pllanatában a lemezhez tartozó akármelyk B pontjának v B gyorsulását. És ugyanakkor megkeressük a lemez azon egyetlen J pontját, amelyre az adott t pontban a gyorsulás zérus értékű. Ez a ktűntetett pont a pllanatny gyorsulás pont, vagy a gyorsulás pólus nevet vsel. Ebből a célból felvesszük a rögzített () síkhoz tartozó O x y koordnáta rendszert, és a lemezhez kötött, tehát mozgó Axy koordnáta rendszert. A gyorsulás a sebesség dő szernt derváltja, az alábbak szernt: 4
vɺ B ab ; vɺ A a A; ɺ ω ε ; rɺ ω r A fentek fgyelembe vételével kapjuk: a B a A + ε r ω r Áthelyezve B pontot a J pontba, amelynek a gyorsulása 0, kapjuk: (5.3) (5.3) 0 a A + ε r ω r (5.33) A fent kfejezést beszorozzuk vektorálsan az ε szöggyorsulással, és fgyelembe véve, hogy: ε és r egymásra merőleges vektorok, kapjuk: azaz: ρ J r ε ω ρ A a A + ω a A 4 + ε ε a A + ω a + 4 ω + ε A (5.33) (5.33) A fent két egyenlet bármelyke meghatározza a gyorsulások pllanatny központjának pontos helyét. A mozgó koordnátarendszer A orgójának, az ω szögsebesség, lletve az ε szöggyorsulás függvényében. Kvonva az ab a A + ε r ω r kfejezésből az 0 a A + ε r ω r kfejezést, megkapjuk a B pont pllanatny gyorsulásának a képletét: a B ε ω r r (5.34) 5.6. A merev test forgómozgása egy rögzített pont körül A következő ábrán bemutatunk egy (C) szlárd merev testet, amelyk forgómozgást végez egy rögzített O pont körül. 43
5.6. ábra: forgómozgást mozgást végző szlárd merev test Forrásanyag: [9, 56 oldal] Bármely test pontos, egyértelmű meghatározása a térben három, nem egy egyenesbe eső pontja segítségével történk, esetünkben az O, A és B pontja segítségével. Esetünkben a következő egyenleteket írhatjuk fel: ( x x x A B + y A + z A C állandó + y B + z B C állandó + ( y A - y B ) + ( z A - z B C 3 állandó A - x B ) ) (5.35) (5.36) (5.37) A test sebességét a következő ábra segítségével tanulmányozzuk: 44
5.7 ábra: a forgómozgást végző szlárd merev test Forrásanyag: [9, 59 oldal] A szlárd merev testhez tartozó M pont, amelynek helyzetvektora r az O rögzített ponthoz képest, a következő sebességgel rendelkezk: Azonban: v ω r (5.38) ( ) dϕ t ω dt ɺ ϕ (5.39) A v sebesség skalárs összetevő az Oxyz mozgó koordnáta rendszerhez képest a következők: v x ω y z ω z y v y ω z x ω x z v z ω x y ω y x (5.40) (5.4) (5.4) 45
Az M pontot a pllanatny ( ) forgástengelyre helyezve, a sebesség zéróvá válk, és a sebesség skalárs összetevőnek képletéből a következő kfejezést kapjuk: x ω x y ω y z ω z (5.43) A gyorsulás meghatározására a következő ábrát használjuk: 5.8 ábra: a gyorsulás meghatározása Forrásanyag: [9, 6 oldal] 46
A gyorsulás kfejezésére a következő képlet használatos: A fentek fgyelembe vételével: ε ɺ ω (5.44) a ε x r + ω x ( ω x r ) (5.45) Ezt a kfejezést még a következő alakban s felírhatjuk: a ε r + ( ω r ) ω -ω r (5.45) 5.7 A szlárd merev test általános mozgása A következő ábrán bemutatunk egy általános mozgást végző szlárd merev testet 47
5.9 ábra: általános mozgást végző merev test Forrásanyag: [9, 69 oldal] A mozgás tanulmányozása céljából meghatározunk három, nem egy egyenesen található A, B és C pontot, és egy rögzített O x y z koordnáta rendszert. A három pont között a következő összefüggés létezk: ( x ( x ( x B - x A ) ) + ( y B - y A ) + ( z B - z A C állandó C - x B ) ) + ( y C - y B ) + ( z C - z B C állandó A - x C ) ) A mozgás általános képlete ebben az esetben: + ( y A - y C ) + ( z A - z C C 3 állandó x 0 x 0 (t), y 0 y 0 (t), z 0 z 0 (t), φ 0 φ 0(t), θ 0 θ 0 és ψ 0 ψ 0 A sebesség meghatározásához tekntsük a következő ábrát: (5.46) (5.46) (5.47) (5.48) 5.0 ábra: a sebesség meghatározása Forrásanyag: [9, 7 oldal] 48