Multdszcplnárs tudományok, 3. kötet. (013) 1. sz. pp. 97-106. OPTIMALIZÁLT LÉPÉSKÖZŰ NEWTON-RAPHSON ALGORITMUS EHD FELADAT MEGOLDÁSÁHOZ Száva Szabolcs egyetem adjunktus, Mskolc Egyetem, Anyagszerkezettan és Anyagtechnológa Intézet, Szerkezetntegrtás Intézet Tanszék Cím: 3515 Mskolc, Mskolc-Egyetemváros, e-mal: szava.szabolcs@un-mskolc.hu Összefoglalás Csúszva-gördülő elemek, mnt például a fogaskerekek, bütykös mechanzmusok és csapágyak gyakorta gen nagy terhelésnek, nagy sebességeknek és csúszásnak vannak ktéve, mkor nem csak a kenőanyagban kalakuló kontaktnyomás, hanem a felület deformácó és a vszkoztás nyomásfüggése s kérdés. Az kontaktfelületek trbológa vszonyanak elemzésére Dowson []megalkotta az általánosított Reynolds egyenletet. Azonban annak ellenére, hogy számos módszer került kfejlesztésre az EHD probléma vzsgálatára, az erősen nemlneárs feladat megoldása továbbra s khívást jelent. A numerkus problémák kezelésére optmalzált lépésközű Newton-Raphson algortmus került alkalmazásra a nem-lneárs egyenletrendszer megoldásához. A javasolt eljárás csökkent a lépések számát és stablzálja az megoldáskeresést. Kulcsszavak: optmalzált lépésköz, EHD feladat, trblóga, Reynolds egyenlet Abstract Rollng-sldng machnes such as gears, cams and followers, and bearngs, whch are often subjected to hgh loads, hgh speeds and hgh slp condtons when not only the pressure dstrbuton n the lubrcant s a queston but the surface deformaton, and varaton of the vscosty due to pressure. To analyse the trbologcal condtons of the contact surfaces, the generalzed Reynolds equaton was developed by Dowson []. Although several methods have been already developed for solvng EHD problems, the soluton of the hghly nonlnear problem s stll qute challengng. Handlng the numercal problems durng the soluton quadratc step optmzed Newton-Raphson method has been mplemented for solvng the nonlnear equaton system. The proposed technque reduces the step number durng the teraton and the soluton s stablzed. Keywords: quadratc step optmzaton, EHD, trbology, Reynolds equaton 1. Bevezetés Az 1. ábra mutatja a folyadéksúrlódás állapotában lévő foltszerűen érntkező felületpárok általánosított esetét. A testek egymáshoz vszonyított relatív elmozdulásának következtében a testek közt rést kenőanyag tölt k, mely mozgásának hatására hdrodnamka nyomás alakul k. A kenőanyag mozgását a felületek egymáshoz vszonyított relatív mozgásának hatására a kenőanyagban fellépő csúsztatófeszültség váltja k. Az érntkező testek knematka állapota és egy adott résgeometra mellett, az érntkező felületeken fellépő nyomás-
Száva, Sz. megoszlás képes egyensúlyt tartan a felületeket összeszorító erővel, megakadályozva a test-test kapcsolatot. Adott esetben a felületeket terhelő nyomáseloszlás, lletve a kenőanyagban fellépő csúsztatófeszültségek hatására képződő hődsszpácó okozta, lokáls vagy globáls hőmérsékletnövekedés akkorává válhat, hogy a felületek fgyelmen kívül nem hagyható deformácóját okozhatja, továbbá khathat a kenőanyag anyagjellemzőre. Látható tehát, hogy amennyben termo-elasztohdrodnamka kenés vszonyok közt kívánjuk modellezn az érntkezés során kalakuló körülményeket, egyszerre kapcsoltan kell megoldanunk hdrodnamka, termodnamka és szlárdságtan problémát, melyek már önmagukban s, de a különböző kontnuumok anyagjellemzőnek állapotfüggése matt s erősen nemlneárs rendszert alkotnak.. test z. felület (S ) u y h Kontakt zóna (A c ) 1. felület (S 1 ) h 1 u 1 1. test x Kontakt zóna határa ( c ) 1. ábra. Érntkezés feladat folyadékkenés esetén A brt O. Reynolds 1886-ban közzétett megoldásával elérte, hogy adott résgeometránál (adott h(x,y)), a térbel sebességmező és nyomáseloszlás helyett kenéselmélet feladatok megoldásához, elegendő egy résvastagság mentén vett átlagnyomást meghatározn ( p ( x, y) ), mely alkalmas a résben lezajló áramlástan jelenség leírására. 1961-ben Dowson és Hggnson megalkotta newton kenőanyagokra az általánosított Reynolds egyenletet, melyben fgyelembe vették a résment hőmérsékletkülönbség okozta vszkoztás- és sűrűségváltozást. Az általánosított nem-newton Reynolds egyenletet Najj, Bou-Sad és Berthe munkáját követve Wolff és Kubo alkotta meg. A kenés problémák leírása során kezeln kell továbbá a folyadékflm keletkezésének és megszűnésének problémáját s, mely a korább egyenletek kavtácós zónára való kterjesztését tesz szükségessé. A megoldás alapját képező kterjesztett egyenletek részletezett formában [1]-ben találhatók meg. 98
Optmalzált lépésközű Newton-Raphson algortmus EHD feladat megoldásához Az [1]-ben található egyenlet a Reynolds által bevezetett, lletve a turbulens és az nerca tagokon kívül, egyéb elhanyagolásokat nem tartalmaz. Ennek formáls alakja a következő: R p,, h, r, t,,, u, u... p (1) 0, eq 1 xy xy xy ahol (, h, r, t,, eq...), (, h, r, t,,, u eq 1, u...) és (,, h, r, t, W 1, W...) többek között a sűrűséget, h résméretet, az r helyvektort, t dőt, vszkoztást és u W felület sebességeket, nem Newton kenőanyagoknál eq egyenértékű csúsztatófeszültséget tartalmazó belső függvények, melyek a Reynolds egyenlet tagjat adják vssza. A Reynolds egyenletet néhány egyszerű esettől eltekntve nem lehet zárt alakban megoldan, nem s szólva annak általánosított alakjáról. Így szükségessé váltak a numerkus módszerekre épülő megoldások, melyek során az váltókat vagy dszkrét pontokban keressük vagy valamlyen approxmácós függvény segítségével közelítjük. Ennek következtében az eredet egyenletenk helyett, változónkként a megoldás keresésére kjelölt pontok vagy az approxmácó smeretlen paraméterenek számával egyező számú egyenletet kapunk. Így a megoldás a kapott egyenletrendszer megoldásával közelítjük.. Optmalzált lépésközű Newton-Raphson algortmus A vzsgált tárgykörben a megoldás nehézségét különösen a Reynolds egyenlet erősen nemlneárs tulajdonsága okozza. Az erősen nemlneárs egyenletek megoldása az esetek túlnyomó többségében a Newton vagy gradens módszerre alapulnak Ebből adódóan a dszkretzált Reynolds egyenletet lnearzáln kell, hogy a nyomáseloszlás és a hozzá tartozó résalak meghatározható legyen. Tekntsük az egyenletet mnt:,, h, r, t,,,,, u 1, u R R P... (), eq A megoldás keresése során a () változónak olyan értékét keressük, melyre a R maradványfüggvény értéke 0. Az egyenlet változó nem függetlenek egymástól, hanem azokat különböző egyenletek, mnt pl. az anyagegyenlet kapcsolja össze. Ugyanakkor az esetek jelentős részénél a változók közt összefüggéseket nem lehet explct alakban felírn. Ennek következtében a numerkus megoldás során a változóknak kezdőértéket kell adn, majd a feladatot egy kválasztott változóra (esetünkben P) nézve meg kell oldan, míg a több változó ( eq, h, ) rögzítve marad. Ezt követően a kválasztott változó új értékéhez (az új P- hez) kell meghatározn a több változó értékét, melyek a következő terácós lépés új knduló értékeként fognak szerepeln. A Reynolds egyenlet változónak áttekntése során megállapíthatjuk, hogy a sűrűség, a vszkoztás, a ktöltés tényező és a lneársan rugalmas anyagmodell mellett a felületek deformácóból származó résméret esetén a nyomással és a hőmérséklettel való kapcsolat explct alakban felírható, így a P-re vett lnearzálás során ezek derváltjat s fgyelembe tudjuk venn, mely nagymértékben gyorsíthatja a megoldást és párhuzamosan kerül meghatározásra a nyomáseloszlás és az ehhez tartozó résméret. 1 R R P, ( p( P)), h( P), ( p( P)), ( p( P)), R (3) 99
Száva, Sz. Ennek lnearzált formája egy tetszőleges P=Pj pontban: j 1, R R R R R R N N N D N P Ο 0 R P P p p p p h h p p Ezen egyenlet P j megoldásnak sorozatával közelítjük az R=0 maradvány P* megoldását a következő szernt: p PP j1 j j P P P [0..1] (5) Mvel az EHD feladatok esetén a knduló egyenletrendszer többszörösen nemlneárs, gen nehéz olyan knduló állapotot találn, mely esetén elkerülhető a megoldás oszcllácója. Ezért egy célszerűen megválasztott α csllapításra van szükségünk, amelyk a leggyorsabb konvergencát eredményez. Ennek meghatározására vszont csak általános megfontolások állnak rendelkezésre, melyek adott feladathoz való megfelelőssége nem bztosított. Ezért a csllapítás optmáls mértékét úgy érdemes meghatározn, hogy az a maradvány értékének a lehető legnagyobb mértékű csökkenését eredményezze. Természetesen ezt csak egy eljárással lehet bztosítan. Az csllapítás optmáls értékének meghatározásához a maradvány négyzet mnmumát keresem. Az csllapítás meghatározásakor P j és P j vektorok állandóak, így az R(P j +P j ) maradványvektor egyváltozós függvény, melyet továbbakban R()- val jelölök. Annak érdekében, hogy ne legyen szükség a mnmumkeresés során a derváltak dőgényes meghatározására, a maradvány értékét másodfokú approxmácóval közelítem a következő módon: Legyen R 0 az =0 -hoz tartozó maradvány Kezdő értékként legyen 1 =0,6 melyhez tartozó maradvány R 1 Az érték meghatározásánál rendelkezésre áll két pontban ( 0 =0 és 1 pontban) a maradvány R 0 és R 1 értéke és természetesen azok (R 0 ) = R 0 R 0 és (R 1 ) = R 1 R 1 négyzetösszege. Valamnt a knduló pontban a maradvány derváltjat s smerjük, így a (R()) maradványnégyzet függvény meredeksége s smert, melyet jelöljük m -mel. Az előbb adatokkal (R()) másodfokú közelítése alapján: j (4) 1 m 1 R1 R 0 m1 (6) Amennyben az m értéke valamlyen oknál fogva nem állna rendelkezésre, az [0.. 1 ] tartományon a következő súlyozott átlaggal a következőképpen s felvehető : R 0 R 0 0 R1 R1 R R R R 1 (7) 0 0 1 1 100
Optmalzált lépésközű Newton-Raphson algortmus EHD feladat megoldásához R () R 0 1 R R 1 m 1. ábra. Maradványnégyzet első közelítése R () R 1 R 0 1 m R -1 R -1 1 3. ábra. Első lépéssorral kapott három pont Ehhez a csllapításhoz tartozó maradvány érték legyen R. Így három -R értékpár lehetőséget ad az R() maradványérték R ()=RR négyzetének másodfokú közelítéséhez, mely mellett továbbra s rendelkezésre áll a knduló pontban az (R()) maradványnégyzet függvény meredeksége. A parabolkus közelítéshez azonban az egyk adat felesleges Abban az esetben, ha = 1 ± fennáll, ahol egy megválasztott elegendően kcs hbahatár, az az optmáls lépéscsllapításnak teknthető. Abban az esetben, ha < 1 és (R 0 ) <(R ) fennáll az 3 értékét az [0;(R 0 ) ] és [ ;(R ) ] pontok valamnt az [0;(R 0 ) ] pontbel m érték alapján határozzuk meg. Tesszük ezt mndaddg, míg < -1 és (R ) <(R 0 ) nem teljesül (3. ábra). 101
Száva, Sz. Legyen ekkor: 1 = -1, (R 1 ) =(R -1 ) és =, (R ) =(R ). A fent eljárás során mndenképpen előáll egy olyan [0;(R 0 ) ], [ 1 ;(R 1 ) ], [ ;(R ) ] ponthármas, ahol (R 1 ) és (R ) értékek közül legalább egy ksebb, mnt (R 0 ). Ezután a soron következő értékét már két célszerűen megválasztott, a korább pontok közül a két legksebb, [ k ;(R k ) ],[ l ;(R l) ] és az [ -1 ;(R -1) ] pontra fektetett j alakú másodfokú nterpolácóval előállított parabola mnmumhelye, vagy tengellyel vett metszéspontja adja (4. ábra -6. ábra). Belátható, hogy a rendelkezésre álló ponthalmazból ez három egymás mellett pont, az nterpolácó k, l és -1 sorrendjétől függetlenül, 3 különböző esetet jelöl k, melyeket a 4. ábra, a 5. ábra és a 6. ábra mutat. Specáls eset az, amkor a 3 pontban ugyanakkora a maradványnégyzet: (R k ) =(R l) =(R -1). Ekkor legyen =( -1 + k )/. A 4. ábra és az 5. ábra, által mutatott esetekben, mkor a d 0 c d az 3 0 értékét a másodfokú nterpolácós görbe mnmumpontja jelöl k. 0 c j j R () R k R l R -1 k l -1 4. ábra. Három ponton keresztül a maradványnégyzet közelítésének 1. esete 10
Optmalzált lépésközű Newton-Raphson algortmus EHD feladat megoldásához R () R k R l R -1 k l -1 5. ábra. Három ponton keresztül a maradványnégyzet közelítésének. esete R () R k R l R -1 k l -1 6. ábra. Három ponton keresztül a maradványnégyzet közelítésének 3. esete R () R m R k R l R -1 k l -1 m 7. ábra. Három ponton keresztül a maradványnégyzet közelítésének 4. esete 103
Száva, Sz. d 0 Ha a 6. ábra által mutatott eset áll fenn, vagy a három pont egy egyenesbe esk, azaz 0 c d 0, az értékét a görbe tengellyel vett metszéspontja adja, ahol c 0. Mvel a görbének két metszéspontja van, az lesz az, amelyk nagyobb, mnt 0 és közelebb áll az -1 -hez. Az 5. ábra. és 6. ábra által mutatott esetben a meghatározott kívül esk a három pont által felvett tartományon. Ekkor előfordulhat, hogy a tartomány határa és az új érték közé esk egy korábban felvett m érték, ahol már smert az (R m ) értéke. Ebben az esetben, a meghatározott helyett az = m t veszünk, ahogy azt a 7. ábra s mutatja. A fent eljárással vszonylag gyorsan megtalálható az az érték, am mellett a megoldás felé vezető, optmáls lépés tehető. Mvel a lépés ránya kötött, az értékét nem kell nagy pontossággal meghatározn, az optmalzált lépés hossz 15%-os pontosságú meghatározása elegendő a kívánt hatás eléréséhez. 3. Egy EHD feladat megoldása Az eljárás hatékonyságának bemutatását a Houpert, L. G. és Hamrock, B. J. [3] által, 1986- ban közölt ckkben található példán keresztül mutatom be. A megoldás során a kdolgozott optmalzált lépésközű Newton-Rapshon került alkalmazásra. Az algortmus hatékonyságának szemléltetésére két kragadott lépésben látható a hbanégyzet alakulása az optmáls lépésköz meghatározása során (8. ábra és a 9. ábra). A számítás elején az algortmus megakadályozza az terácó elszállását, míg a későbbekben hatékonyan gyorsítja a megoldás menetét. 8. ábra. R -α értékek lépésenként a megoldás később fázsában 104
Optmalzált lépésközű Newton-Raphson algortmus EHD feladat megoldásához 9. ábra. R -α értékek lépésenként a megoldás később fázsában A nyomáseloszlás megoldását a 10. ábra mutatja az rodalomban közölt eredményekkel együtt. Összehasonlítva megállapítható, hogy az eredmények jó egyezést mutatnak, különösen a Houpert, L. G. és Hamrock, B. J.[3], 1986-ban közölt eredményével. h (µm10 ) Hamrock, B. J. és Jacobson, Bo O. Houpert, L. G. és Hamrock, B. J., p-fem solutons p (MPa) x (mm) 10. ábra. A megoldás során és az rodalomban közölt kalakuló nyomáseloszlás 105
Száva, Sz. 4. Összefoglalás A mntafeladat megoldása során a teljes Newton-Raphson helyett, annak optmalzált lépésű formáját használom abban az értelemben, hogy a knduló paraméter kombnácóból a Newton-Raphson megoldás első lépéseként előálló paraméter kombnácó rányába elndulva kerestem azt a paraméterkombnácót, mely a legksebb maradvány értéket szolgáltatja. A lépésköz-optmalzálás a numerkus elaszto-hdrodnamka feladat Newton-Raphson megoldása során jelentősen csökkent a N-R lépések számát, lletve a megoldás oszcllácóját. A szükséges derváltak előállításának nagy számításgénye jelentős dőt s gényel. Az eljárással mnmalzálható az N-R lépések száma, így a derváltak előállításának gyakorsága s és ezzel együtt a megoldáshoz szükséges dő s. Ezek alapján az optmalzált lépésközű Newton-Rraphson algortmus kfejezetten hatékony eszköze az erősen nemlneárs feladatok megoldásának. 5. Köszönetnylvánítás A kutatás a TÁMOP 4..4.A/-11-1-01-0001 azonosító számú Nemzet Kválóság Program Haza hallgató, lletve kutató személy támogatást bztosító rendszer kdolgozása és működtetése országos program című kemelt projekt keretében zajlott. A projekt az Európa Unó támogatásával, az Európa Szocáls Alap társfnanszírozásával valósul meg. 6. Irodalom [1] Száva, Sz.(009) Effcent p-verson FEM Soluton for TEHD Problems wth New Penalty-Parameter Based Cavtaton Model, BALTTRIB 009, Kaunas, 009. pp 194-199. [] Dowson, D., (196) A Generalsed Reynolds Equaton for Flud-Flm Lubrcaton, Int. Journal of Mechancal Scence, Pergamon Press. [3] Houpert, L. G. and Hamrock, B. J., (1986) A Fast Approach for Calculatng Flm Thckness and Pressure n Elastohydrodynamcally Lubrcated Contacts at Hgh Loads, ASME Journal of Trbology, Vol. 108, No. 3, pp. 411-40. 106