umerius módsere. Lieáris lgeri prolémá öelítő megoldás Lieáris egeletredsere Diret módsere Iterációs módsere Sátértéfeldto Áltláosított iver
Lieáris egeletredsere Lege M dott reguláris mátri, egelet: R dott vetor. Megolddó lái H ooldl perturált: Ie: lú, e hiát oo megoldás:. solút hi: ( ). reltív hi: cod( ), hol cod ( ) : (odíciósám)
Egelete odícioáltság H M ödugált, poitív defiit, or eulidesi orm áltl iduált mátriormá: cod ( ) m mi mert eor és m ( ) m mi. Péld rossul odícioált egeletredserre: 999 999 998 Megoldás:, 999 999 998.999 Megoldás:., redser mátriá odíciósám:.99e+.
Simmetriálás Lege M dott reguláris mátri, R dott vetor. or egeletredser evivles is reguláris, íg Guss-féle ormálegelettel, mele mátri már ödugált, poitív defiit. De odíciósám esetleg elői sosoros lehet. Péld: h mg is ödugált, poitív defiit, or m ) cod( ) cod( ) mi cod( 4
5 Rossul odícioált egeletre veető feldto Függvéöelítés poliomol: Lege R :[,] f dott, foltoos függvé, eressü t legfele ) ( -foú... poliomot, mel ), ( L -ormá lego öelíti f-et, ) ( ) :,...,, ( d f E hi miimális. ilvá: ),,..., ( ) ( d f E hol d (Hilert-mátri), és d f ) (. Hilert-mátrio go rossul odícioált, de h trigoometrius poliomml öelítü, or feldt már ól odícioált. Rossul odícioált egeletre veete még iver feldto is.
umerius módsere. Lieáris lgeri prolémá öelítő megoldás Lieáris egeletredsere Diret módsere Iterációs módsere Sátértéfeldto Áltláosított iver
7 Guss-elimiáció Megolddó lái egeletredser:............ Ossu le. egeletet -gel:............
8 Guss-elimiáció. sor -seresét levou -di soról (=,,...,)............ és elárást megismételü.,...,. egeletre (elimiáció). elimiáció végé egelete l: d d c d c c d c c c............
Guss-elimiáció Visshelettesítése:. egeletől: ( ). egeletől: ( ). egeletől:.... egeletől: Teles műveletigé: O ( ). (go g!) Főlemeiválstás: -di egelettel vló elimiáció sorá előfordulht, hog tuális főelem ( -di sor -di eleme) érus, vg öel érus. Eor cserélü fel -di egeletet vlmeli ésői egelettel: célserű l, mele -di egütthtó ( ú főelem) solút értée leggo. 9
Guss-elimiáció, péld: 4 5 4 5
Guss-elimiáció, péld: 4 5 4 5 5
Guss-elimiáció, péld: 4 5 8 7 5
Guss-elimiáció, péld: 4 5 4 7 8 7 5
4 Guss-elimiáció, péld: 4 5 5 5 8 7 5
5 Guss-elimiáció, péld: 4 5 8 7 5
Guss-elimiáció, péld: 4 5 5
7 Guss-elimiáció, péld: 4 5
8 Guss-elimiáció, péld: 4 5
Mátriiverió Guss-elimiációvl Botsu oslopvetoror -t és I -t: I......... I... e e e..................... e Megolddó d egeletredser: e (,,..., ) 9
Mátriiverió Guss-elimiációvl, péld: :,?
Mátriiverió Guss-elimiációvl, péld: :,? / /
Mátriiverió Guss-elimiációvl, péld: :,? / 4/ / /
Mátriiverió Guss-elimiációvl, péld: :,? / 4/ / / / /
4 Mátriiverió Guss-elimiációvl, péld: :,? 4/9 / /9 / / / /
5 Mátriiverió Guss-elimiációvl, péld: :,? 9 4 / / / /
Mátriiverió Guss-elimiációvl, péld: :,? 9 4 4 / /
7 Mátriiverió Guss-elimiációvl, péld: :,? 9 4 4 4 9 4 4 4
Guss-Jord-elimiáció Guss-elimiációtól i ülööi, hog -di egelettel vló elimiáció eseté -di ismeretlet emcs öveteő, de megelőő egeleteől is iüsöölü. Íg visshelettesítés el is mrd. 8
9 Guss-Jord-elimiáció, péld: 4 5 4 5
Guss-Jord-elimiáció, péld: 4 5 4 5 5
Guss-Jord-elimiáció, péld: 4 5 8 7 5
Guss-Jord-elimiáció, péld: 4 5 4 7 8 7 5
Guss-Jord-elimiáció, péld: 4 5 5 5 8 7 5
4 Guss-Jord-elimiáció, péld: 4 5 5 5 8 7 8
5 Guss-Jord-elimiáció, péld: 4 5 8 7 8
Guss-Jord-elimiáció, péld: 4 5 8
7 Guss-Jord-elimiáció, péld: 4 5
LU-felotás H Guss-elimiáció végrehthtó (egi főelem sem ), or egértelműe előáll LU l, hol L lsó háromsög, U felső háromsög mátri, L digoálelemei -gel egelő. egeletredser evivles LU egelet- H LU-felotás már megv, redserrel, : L, U Midét egelet megoldás umerius olcsó ( O ( ) műveletigéű), mert: l l... l,... u ( ),( ) u ( ),( ) u ( ),( ) u u ( ), ( ), u H so o oldl mellett ell egeletet megoldi, or elég LU-felotást egser végrehti. 8
LU-felotás, péld: 5 9
LU-felotás, péld: 7 4
LU-felotás, péld: 7 7 4 4
LU-felotás, péld: 7 5 7 U L 4
Choles-felotás H mátri ödugált, poitív defiit, or egértelműe előáll LL l, hol L poitív digoálelemű lsó háromsög mátri. H ui. LU mátri LU-felotás, or lege D U mátri digoális rése, eor: LU LDU. Mivel ödugált, ért: U( DL ). LU-felotás egértelműsége mitt: L U, U L, eért LDL L D DL ( L D)( L D) H Choles-felotás már megv, egeletredserrel, : egeletredser evivles LL L, L Midét egelet megoldás umerius olcsó ( O ( ) műveletigéű). H so o oldl mellett ell egeletet megoldi, or elég Choles-felotást egser végrehti. 4
ortogoliációs módser Vetorredsere Grm-Schmidt-ortogoliálás: Legee,...,, tetsőleges lieáris függetle vetoro eg eulidesi tére. Lege e~ e~ :, : e e~, és -re: e~ : e~ : e~, e e, e or íg ert e,...,, e e vetorredser ortoormált, és mide [ e, e,..., e ] [,,..., ] -re: 44
ortogoliációs módser Jelöle mátri sorvetorit,...,,, or = egelet evivles eel:, (,,..., ) Jelöle e, e,..., e,,..., vetoroól Grm-Schmidt-ortogoliálássl ert áist., e sámo öveteő reurióvl sámíthtó:, e, e ~ e~, e~, e, e, e, e~, e, e (,,..., ) Eeutá megoldás már előáll öveteő (véges Fourier-sor) l: Műveletigé: O ( ), e e 45
Egeletmegoldás spetrálfelotássl Lege M ödugált, reguláris mátri. Jelöle,,..., sátértéet, s, s,..., s ortoormált áist lotó sátvetorot (létee!). Állítsu elő o oldli vetort (véges) Fourier-sor l: or = egelet megoldás:, s s, s s mert, s, s s s, s s megoldást tehát eplicit formul d. Műveletigé: O ( ). Hátrá: ismeri ell össes sátértéet és eg ortoormált sátvetorredsert. 4
47 Háromátlós egeletredsere megoldás reurióvl B C B C B C B C B....................................... Keressü megoldást : m l ( fordított reurió). or ) ( ) ( : m m m m m m Behelettesítve -di egelete ),,..., ( : B m C m B m m C m B m m m C B ) ( ) ( ] [ )] ( [
48 Háromátlós egeletredsere megoldás reurióvl egelőség itos telesül, h C m B m m és B m,, h m, sámo ielégíti lái ööséges reuriót: B m B m C m, Lege :, : m, or, B B C m, és B B C m, ie. egelet: C C C B Lege fordított reurió :, or m, ie. egelet: B m B m B m B ) ( ) ( ) (
49 Háromátlós egeletredsere megoldás reurióvl teles lgoritmus: Előremeet: d reurió: ),..., (, :, : :, : B m B m C m m Hátrmeet: d fordított reurió:,...,), ( : : m Műveletigé: cs ) ( O!
umerius módsere. Lieáris lgeri prolémá öelítő megoldás Lieáris egeletredsere Diret módsere Iterációs módsere Sátértéfeldto Áltláosított iver 5
Vissveetés fipot-iterációr eredeti egeletet hou lái lr: (erre tö lehetőség is v): B f, és tetsőleges R iduló vetor mellett teitsü lái reuriót (iterációt): : B f (,,,...) H B, or F( ) : B f leépeés otrció, mert F( ) F( ) B f B f B Eért eor egetleeg fipot létei, és : B f vetorsorot ide overgál. Miél ise B mátriorm, ál gors overgeci. 5
5 Vissveetés fipot-iterációr H B mátri mide sátértéée solút értée -él ise, or iteráció overges. o overgeci tée még em mide... Ellepéld: f B R M... :, :,...... : Midegi sátérté -el egelő. potos megoldás érusvetor. -edi iteráltvetor ( )-edi ompoese (h ): ) ( tehát még overgeci eövetete előtt, túlcsordulás mitt sámítás leállht! (Pl., :, :, :, / : ).
egserű iteráció Lege M ödugált, poitív defiit. egelet evivles ( ) ( I ) egelettel, hol eg iterációs prméter. E iduál lái fipot-iterációt: : ( I ) feti iteráció mide elég icsi prméter mellett overges. iteráció or leggors, h I lehető legise,, h E esete: I m m mi mi. optimális iterációs prméter megállpításáho tehát ismeri ell B mátri legise és leggo sátértéét. mi m 5
Jcoi-iteráció egelet mátriát otsu fel eg digoálmátri, eg lsó és eg felső háromsögmátri össegére: L D U. or D ( L U ), D ( L U ) D. Jcoi-iteráció: D ( L U) D. Kompoeseét iírv: ( ) ( ) ( ) (,,..., ) H digoális domiás, or Jcoi-iteráció overges. Eor ui. B : D ( L U ) mátri sor-ormá -él ise, mert B m m 54
Seidel-iteráció Jcoi-iterációtól i ülööi, hog megoldásompoese felúításor épp felúított (lcso ideű) ompoeseet ol felhsálu öveteő ompoese felúításá: ( ) ( ) ( ) (,,..., ) H digoális domiás, vg ödugált, poitív defiit, or Seidel-iteráció overges. 55
Vriációs módsere Lege mátri ödugált, poitív defiit, és teitsü Jelöle potos megoldást. egeletet. Jelöle, :,. E sláris sort (eergetii sláris sort, -sláris sort). eáltl iduált orm eergetii orm vg -orm:, Jelöle F ( ) :,, (eergetii fucioál). or: F ) :,,. Eért: ( eergetii fucioál egetleeg miimumhele létei, és e megegei = egelet potos megoldásávl. Vriációs módsere: F miimliálását céló módsere. 5
57 Irámeti miimliálás Lege e R dott (irá)vetor, R dott öelítés, és miimliálu ) ( ) : ( e t F t f formulávl dott egváltoós függvét. h h h F h h h h h h h h h F,, ) (,,,,,,,, ) ( eért F deriváltár: h h DF, ) (, ie ) ( ) ( DF Eeutá f miimumhelée megeresése soásos módo törtéhet:,,, ) ( ), ( ) ( e e t e e e t e e t Df t f, miimumot reliáló t sám: e e e t,,, íg vított öelítés: e e e e e t,, ~
grdies módser F eergetii fucioált midig legmeredee váltoás iráá, grdiesvetor iráá miimliálu. Lege eg tetsőleges megoldás = egelete, és elöle r : (mrdévetor). or r irá meti miimliálás utá vított öelítés: t r r, r, r r r r, r r öelítés hiáár érvées lái ecslés: mi m módser hsáltáho em süséges ismeri leggo és legise sátértéet! Műveletigé: mide eges iterációs lépése O ( ). 58
ougált grdies módser Lege mátri ödugált, poitív defiit, és teitsü egeletet. Lege R tetsőleges iduló öelítés, r :, d : r, és,,,... -re: d r r : : r : : ougált grdies módser (ereítési hiá élül) legfele iterációs lépése elül potos megoldást d, íg (elve) diret módsere öé sorolhtó. r d r, d d, d, d, d d d 59
Tihoov-féle regulriálás Lege mátri em feltétle ödugált, és em feltétle reguláris. Teitsü egeletet. H em reguláris, vg rossul odícioált, or megoldás prolemtius. Lege eg prméter, és miimliálu F( ) : fucioált. F( h) : h h, h h, h h F( ) ( ), h, h O( h ) Eért DF( ) ( ). miimumhele tehát: ( I) E már midig egértelműe megoldhtó, és cod ( I) m mi ( ( ) )
Tihoov-féle regulriálás öelítés hiá: Lege megoldás: ( I) potos megoldás:. or:, és regulriált ( I) ( I) ( I) mi ( ) öelítő megoldás pl. (ougált) grdies módserrel állíthtó elő.
umerius módsere. Lieáris lgeri prolémá öelítő megoldás Lieáris egeletredsere Diret módsere Iterációs módsere Sátértéfeldto Áltláosított iver
Sátértéfeldto Eg sátértéfeldt megoldás evivles eg mgs foú egelet megoldásávl. s s ( s ) Gersgori tétele: Tetsőleges M eseté sátértée omple sío öéppotú, r : sugrú árt örö egesítésée fesee. H ui. tetsőleges sátérté, s hoátrtoó sátvetor, or elöle t ideet, melre s s m. Erre idere: s ( s) s s s s s s s r
Sátértéfeldto Lege M ödugált,... sátértée, s, s,..., s megfelelő ortoormált sátvetoro. htvá-módser: Lege ol iduló vetor, mel em ortogoális s -re, és épeü : sorotot. or, hádoso (Rleigh-hádoso) sorot -he trt. Lege ui. : s ( ), or s. Ie egrést, s, s, másrést s, s, ho állítás már övetei. 4
Sátértéfeldto Lege M ödugált,... sátértée, s, s,..., s megfelelő ortoormált sátvetoro. llmv htvámódsert iver mátrir: iver iteráció: Lege ol iduló vetor, mel em ortogoális s -re, és épeü : sorotot. or, hádoso sorot -he trt. iteráció mide eges lépésée meg ell oldi eg egeletredsert ( ). 5
Sátértéfeldto Jcoi-módser: Lege M ödugált, és lege ( p, q) idepár ( p q), qq pp melre pq mimális digoáliso ívül. Jelöle ctgt :, és cost......... si t...... Q :............... si t......... cost Úítsu fel -t: : Q Q, és ismételü elárást. H mide sátértée ülööő, or íg ert mátrisorot eg digoálmátriho trt, mele főátló trtlm sátértéeit. pq
Sátértéfeldto Choles-trsformáció: Lege M ödugált, poitív defiit, lege Choles-felotás. Úítsu fel -t: LL : L L, htárou meg ismét Choles-felotását, és ismételü elárást. or íg ert mátrisorot eg digoálmátriho trt, mele főátló trtlm sátértéeit. 7
umerius módsere. Lieáris lgeri prolémá öelítő megoldás Lieáris egeletredsere Diret módsere Iterációs módsere Sátértéfeldto Áltláosított iver 8
Mátrio siguláris értée seriti felotás Siguláris értée seriti felotás (SVD): Mide M mátri előáll m USV U l, hol: M mm, V M ortogoális mátrio (oslopvetori ortoormált redsert lot), S M m pedig digoálmátri (cs digoálelemei ülööhete érustól). S emérus digoálelemei ( mátri siguláris értéei) pedig mátri sátértéeie poitív égetgöei. 9
Mátrio áltláosított ivere Lege M mátri siguláris értée seriti felotás m USV. VS U M m mátriot mátri áltláosított iverée (Moore-Perose-féle pseudoiverée) eveü, hol, h S,... or S / : / /... áltláosított iver egértelmű, és h M reguláris, or. 7
Egeletredsere áltláosított megoldás egeletredser áltláosított megoldás: : (midig létei és egértelmű). egeletredser áltláosított megoldás miimliál F( ) : fucioált, és h tö ile vetor is v, or ee öül legise ormáú (legise égetes megoldás). F( ) : fucioált miimliáló w vetoro, és cs o, ielégíti w ú. Guss-féle ormálegeleteet. Íg áltláosított megoldás előállíthtó vlmile vriációs (itertív) módserrel. 7