BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM MŰSZAKI MECHANIKAI TANSZÉK Késleltetett dinamikai rendszerek stabilitásának és stabilizálhatóságának vizsgálata numerikus módszerekkel Szerző: LEHOTZKY Dávid Témavezető: INSPERGER Tamás, DSc TÉZISFÜZET a doktori fokozat megszerzéséhez benyújtott értekezéshez Budapest, 2016
1 A téma ismertetése, az értekezés előzményei Az utóbbi évtizedekben növekvő tudományos érdeklődés mutatkozott az időkésleltetett rendszerek iránt. Ennek következtében egyre több tudományos cikk és könyv jelenik meg a témában. Az időkésleltetés fontos szerepet játszik a populáció dinamikában, a járványterjedésben, szabályozott rendszerekben, forgalom dinamikában, kerék dinamikában, szerszámgéprezgésekben, illetve számos további tudományterületben. A fenti példákban az időkésésnek tipikusan destabilizáló hatása van, amely nem kívánt rezgésekben, illetve a kívánt állandósult állapot körüli lengésekben érhető tetten. Ezen időkésleltetett rendszerek lokális stabilitás vizsgálatával azok elsődleges tulajdonságai megadhatók az állandósult állapot körül. Ennek következtében számos analitikus és numerikus módszer került kifejlesztésre a lokális stabilitás vizsgálatának céljából. Amíg néhány autonóm rendszer esetén a stabilitási határok zárt alakban kiszámíthatók a rendszerparaméterek terében, addig az időben periodikus rendszerek stabilitási vizsgálata általában numerikus közelítő módszerek alkalmazását teszi szükségszerűvé, különösen időkésleltetések jelenléte esetén. A kapcsolódó szakirodalom számos numerikus módszerrel szolgál időben periodikus időkésleltetett rendszerek stabilitási vizsgálatára. Ilyen módszerek a teljesség igénye nélkül a szemi-diszkretizáció, teljes diszkretizáció, spektrál elem módszer, vagy a pszeudospektrális kollokáció módszer. Az rendszerparaméterek optimális megválasztása fontos szerepet játszik a mérnöki alkalmazások tervezése során A stabilitási diagramok lokálisan linearizált rendszerek stabil tartományait ábrázolják a rendszerparaméterek terében. A stabilitási diagramok kiszámításához a linearizált rendszer stabilitását számos rendszerparaméter kombináció esetére meg kell határozni. Ennek következtében a különböző numerikus módszerek számítási tulajdonságai és az új, jobb számítási tulajdonságokkal rendelkező numerikus módszerek kifejlesztése még mindig fontos a mérnökök számára.
2 Sok alkalmazás esetén, az időkésleltetett rendszerek stabilitási vizsgálatán túl, a stabilizálhatóság feltételének teljesülése is fontos. A stabilizálhatósági tulajdonságok megadják, hogy a lokálisan linearizált dinamikai rendszer stabillá tehető-e a szabályozási és rendszerparaméterek megfelelő megválasztásával. A stabilizálhatóság fontos szerepet játszik a paraméteroptimalizálásban, ahol a rendszer stabilitásának megőrzése mellett egy célfüggvény minimalizálása is megkívánt. Hasonlóan, az emberi egyensúlyozás során az egyensúlyvesztést gyakran a leíró matematikai modell stabilizálhatóságának megszűnéséhez kötik. A kutatás célja, az értekezés felépítése Az értekezés késleltetett differenciálegyenletekkel leírt dinamikai rendszerek numerikus stabilitási vizsgálatával és stabilizálhatóságával foglalkozik. Az 1. fejezet a lineáris, késleltetett rendszerek stabilitás vizsgálatához szükséges matematikai alapokat mutatja be. A 2. fejezet két új numerikus módszert terjeszt elő a késleltetett differenciálegyenletek véges dimenziós közelítésére: a pszeudospektrális tau (PsT) és spektrál elem (SE) módszereket. A részletes bemutatáson, illetve számítási példákon túl az előterjesztett módszerek összehasonlításra kerülnek más, a szakirodalomból jól ismert, kiemelkedő konvergencia tulajdonságokkal rendelkező numerikus módszerekkel is. Ezen felül a PsT és SE módszerek kiterjesztése is bemutatásra kerül olyan hibrid, szabályozott rendszerekre, ahol a visszacsatolás késéssel és numerikus integrálással is terhelt. A 3. fejezet a bemutatott numerikus módszerek alkalmazását részletezi különböző szerszámgéprezgési modellekre. Ezek a matematikai modellek figyelembe veszik a szerszámot, illetve a munkadarabot hordozó szánok, valamint az aktív csillapítással ellátott szerszámvég szabályozási körét. Stabilitási diagramok kerülnek meghatározásra a megmunkálási paraméterek terében, illetve a szabályozási paraméterek stabilitásra gyakorolt hatása is bemutatásra kerül.
A 4. fejezet késleltetett dinamikai rendszerek stabilizálhatóságával foglalkozik. Két probléma kerül vizsgálat alá: szabályozási paraméterek optimalizációja a maximálisan megengedhető forgácsvastagság növeléséhez digitális szabályozással rendelkező, aktív csillapítással ellátott esztergálási folyamatok esetén, valamint az emberi egyensúly-vesztés, ahol az egyensúlyozás folyamata egy arányos, integráló, differenciáló és gyorsulással arányos taggal rendelkező szabályozóval van modellezve. 3
4 Tézisek Megalkottam a pszeudospektrális tau módszert lineáris, késleltetett differenciálegyenletek véges dimenziós közelítésére. Az eredményeket az alábbiakban ismertetem. 1. Tézis A pszeudospektrális tau (PsT) módszer alkalmas a v m ξ(t) = A(t)ξ(t)+ B p (t)ξ(t τ p (t)) + p=1 b=1 σb σ b 1 γ b (t, θ) ξ (t+θ)dθ, alakú késleltetett differenciálegyenletek közönséges differenciálegyenlet rendszerrel való közelítésére. Numerikus vizsgálatok eredményei alapján az alábbi megállapítások igazak. 1) A közelítő közönséges differenciálegyenlet rendszer stabilitási tulajdonságai konvergálnak a fenti egyenletéhez a közelítő polinom fokszámának növelése mellett: a stabilitási határok konvergálnak a pontos határokhoz mind autonóm, mind nem-autonóm rendszerek esetén, a kritikus karakterisztikus gyök valós része konvergál autonóm rendszerek esetén. 2) A Hayes egyenlet és a megoszló időkésést tartalmazó késleltetett oszcillátor esetén a PsT módszer konvergencia sebessége a polinom fokszám függvényében megegyezik a spektrál elem (SE), illetve a spektrál Legendre-tau (SLT) módszerek konvergencia sebességeivel, valamint jobb a pszeudospektrális kollokáció (PsC) módszer konvergencia sebességénél. A két időkésést tartalmazó késleltetett oszcillátor esetén az SE módszernek jobb konvergencia sebessége van a polinom fokszám függvényében mint a PsC, SLT és PsT módszereknek. 3) A stabilitási diagramok számítási idejét tekintve a Hayes egyenlet, valamint a két időkésést és a megoszló időkésést tartalmazó oszcillátorok esetén a PsT módszer szükséges számítási ideje kisebb mint az SE módszeré, megegyezik az SLT módszerével, valamint nagyobb a PsC módszerénél. Kapcsolódó publikációk: [1, 3, 9]
5 Általánosítottam a spektrál elem módszert lineáris, időben periodikus együtthatókkal és megoszló időkésésekkel rendelkező késleltetett differenciálegyenletek stabilitási vizsgálatára, valamint explicit formulákat vezettem le a monodrómia operátor mátrix alakú közelítésének kiszámításához. Az eredményeket az alábbiakban ismertetem. 2. Tézis A spektrál elem módszer általánosítható a v m ξ(t)=a(t)ξ(t) + B p (t)ξ(t τ p ) + p=1 b=1 σb σ b 1 γ b (t, θ) ξ (t+θ)dθ, alakú, időben periodikus együtthatókkal és megoszló időkésésekkel rendelkező késleltetett differenciálegyenlet rendszerekre. Explicit formulák határozhatók meg a fenti dinamikai rendszer monodrómia operátorának U mátrix alakú közelítésére. A formulák alkalmazásával U tetszőleges A(t), B p (t), γ b (t, θ) időben periodikus együttható mátrixok esetén öszszeállítható. Numerikus vizsgálatok alapján a módszerrel kiszámított stabilitási határok konvergálnak a közelítő polinom fokszámának növelése mellett. Kapcsolódó publikációk: [2, 7]
6 Kiterjesztettem a pszeudospektrális tau és a spektrál elem módszereket olyan lineáris, időben periodikus hibrid rendszerekre, amelyek folytonos argumentumú és diszkrét argumentumú időkésleltetett tagokat is tartalmaznak. Az eredményeket az alábbiakban ismertetem. 3. Tézis A pszeudospektrális tau és a spektrál elem módszerek alkalmazhatók a ξ(t) = A(t)ξ(t)+ χ l =χ l 1 + v B p (t)ξ(t τ p )+Cξ(t l t)+eχ l, t [t l, t l+1 ), p=1 ñ W b ξ(t l b t), q=1 t l = lñ t, l N alakú, időben periodikus, hibrid, késleltetett differenciálegyenletből és differencia egyenletből álló rendszerhez tartozó monodrómia operátor mátrix alakú közelítésének meghatározására. Numerikus vizsgálatok alapján mindkét módszer ugyanazokhoz a stabilitási határokhoz konvergál a közelítő polinom fokszámának növelése mellett. Kapcsolódó publikációk: [8]
7 A marási folyamatok matematikai modelljének példáján általánosítottam a spektrál elem módszert olyan időben periodikus, késleltetett differenciálegyenletekre, ahol az időben periodikus együtthatók időfüggvényei szakadásokkal rendelkeznek. Ezen általánosítás előnye, hogy elemhosszra és elemszámra vonatkozó megkötések nélkül garantálja az exponenciális konvergencia tulajdonságot a közelítő polinom fokszámának növelése mellett. Az ezzel kapcsolatos eredményeket az alábbiakban ismertetem. 4. Tézis Az elemhosszra és elemszámra vonatkozó mindennemű megkötés nélkül konvergens stabilitási határok érhetők el a marási folyamatok stabilitási térképeinek spektrál elem módszerrel való kiszámítása során. Ahhoz, hogy ez megvalósuljon a közelítő numerikus séma időben periodikus együtthatókkal rendelkező tagjaihoz tartozó integrált a periodikus együtthatók szakadási frontjainál szét kell választani. Ezen eljárás alkalmazása mellett a spektrál elem módszer és a szerszámgéprezgésekkel foglalkozó, szakirodalomban fellelhető, időtartomány alapú módszerek számítási tulajdonságainak összehasonlítása azt mutatja, hogy a spektrál elem módszer alacsonyabb számítási idő mellett biztosít kellően pontos stabilitási diagramokat. Ezen felül, a fenti eljárás alkalmazásával, a monodrómia operátor mátrix alakú közelítésének kritikus karakterisztikus multiplikátorai gyorsabban konvergálnak a numerikus módszer felosztását jellemző paraméter (spektrál elem módszer esetén polinom fokszám) növelése mellett, mint a szerszámgéprezgésekkel foglalkozó, szakirodalomban fellelhető, időtartomány alapú módszerek. Kapcsolódó publikációk: [13]
8 Három különböző digitális szabályozási rendszer marási folyamatok stabilitására gyakorolt hatását vizsgáltam. Digitális szabályozási sémát alkalmaztam két, a szakirodalomban fellelhető, szabályozott marási folyamatokat leíró mechanikai modellekre. Ezen felül egy új mechanikai modellt is megalkottam, ahol a munkadarabot mozgató szán szabályozási köre is modellezésre került ugyanazon digitális szabályozási séma alkalmazása mellett. Ez a szabályozási séma külön modellezi a mintavételezési és beavatkozási periódus időket, valamint szakaszonként állandó szabályozó erőt feltételez. Az imént részletezett három matematikai modell, rögzített mintavételezési és beavatkozási periódusok mellett, a megmunkálási paraméterek síkján számolt stabilitási térképeit a szakirodalomban elsőként határoztam meg. Az ezzel kapcsolatos eredményeket az alábbiakban ismertetem. 5. Tézis 1. ÁBRA: Marási folyamatok mechanikai modellje a munkadarabot mozgató szán szabályozási körének figyelembe vételével Az 1. Ábrán mutatott mechanikai modell alkalmas a munkadarabot mozgató szán szabályozása által a marási folyamatok stabilitására gyakorolt hatás vizsgálatára. Az ábrán m t, c és k a szerszám modális tömegét, csillapítását és merevségét jelöli, míg a szerszám elmozdulását x 1 méri. A fordulatszámot Ω, a vízszintes irányú forgácsoló erő komponenst pedig F c jelöli. A munkadarabot és a munkadarab mozgatását végző szánt egy m w tömegű test modellezi, amelynek elmozdulását x 2 méri. A szabályozó erő
Q, a munkadarabot mozgató szán kívánt pozíciója x d, a mintavételezési idő t, a beavatkozási idő pedig T = ñ t, ahol ñ Z + az egy beavatkozásra jutó mintavételezések száma. Arányos, integráló és differenciáló tagokkal, illetve numerikus integrálással rendelkező digitális szabályozót, valamint szakaszonként állandó beavatkozó erőt feltételezve a stabilitási diagramok meghatározhatók a megmunkálási paraméterek terében. Ezen stabilitási diagramok kiszámíthatók a fent ismertetett matematikai modellre, valamint az aktív csillapítással ellátott, illetve a szerszámot mozgató szán szabályozási körét számításba vevő, marási folyamatokat leíró matematikai modellekre. A szabályozási paraméterek megválasztásától függően ezen stabilitási diagramok jelentős különbségeket mutatnak a szerszámgéprezgésekkel foglalkozó szakirodalomban elterjedt, szabályozások modellezését figyelmen kívül hagyó stabilitási diagramokkal szemben. Kapcsolódó publikációk: [8, 10] 9
10 Vizsgáltam az aktív csillapítás esztergálási folyamat stabilitására és stabilizálhatóságára gyakorolt hatását. A számítások során azzal a feltételezéssel éltem, hogy az aktív csillapítás egy arányos és differenciáló taggal rendelkező digitális szabályozási kör segítségével valósul meg, amely egy szakaszonként állandó szabályozó erőt hoz létre a szerszámon. Az eredményeket az alábbiakban ismertetem. 6. Tézis Az aktív csillapítással ellátott esztergálási folyamatot leíró mechanikai modell alapján az anyagleválasztási hányad növelhető az aktív csillapítás szabályozó paramétereinek megfelelő hangolásával. A szabályozó paraméterek hangolása stabilitási diagramok segítségével elvégezhető. Arányos és differenciáló tagokkal rendelkező digitális szabályozási kört tartalmazó aktív csillapítás esetén a mintavételezésből eredő időkésés, valamint a szabályozó erő szakaszonként állandó jellegének elhagyása jelentős különbségeket okozhat a számolt stabilitási diagramokban. A digitális szabályozó véges gyakoriságú mintavételezése korlátozza a maximálisan elérhető forgácsvastagságot, így a maximálisan elérhető anyagleválasztási hányadot is. Ezt a korlátozást stabilizálhatósági diagramok szemléltetik, amelyek a maximálisan elérhető specifikus forgácsolási erőállandót mutatják a munkadarab fordulatszámának függvényében. Kapcsolódó publikációk: [5, 6, 11, 12]
11 A rúdegyensúlyozáson és az egy helyben állás feladatán keresztül vizsgáltam az emberi egyensúlyozás folyamatát. Az egyensúlyozási folyamatot mindkét esetben arányos, integráló, differenciáló és gyorsulással arányos tagokkal rendelkező szabályozással vettem figyelembe, amelynek szabályozási körét időkésés terheli. Stabilizálhatósági térképeket számítottam ki, ahol az egyensúly elvesztését a matematikai modell stabilizálhatóságának elvesztéséhez kötöttem. A számítási eredményeket a szakirodalomban fellelhető kísérleti eredményekkel is összevetettem. A kapott eredményeket az alábbiakban ismertetem. 7. Tézis Az ember egyensúlyozási folyamatát arányos, integráló, differenciáló és gyorsulással arányos tagokkal rendelkező (PIDA) szabályozással figyelembe véve, valamint az emberi reakcióidőt a szabályozási körben fellépő időkéséssel modellezve stabilizálhatósági diagramok határozhatók meg a rúdegyensúlyozás és az egy helyben állás feladatára. Ezek a diagramok azon szabályozási paraméter tartományokat mutatják, ahol a szabályozatlan mechanikai rendszer instabil egyensúlyi helyzete stabillá tehető a fenti szabályozás alkalmazásával. A számítási eredmények szakirodalomban található kísérleti eredményekkel való összevetése azt mutatja, hogy az egy helyben állás esetén mindig létezik olyan szabályozási paraméter kombináció, amely mellett a rendszer stabilizálható. Ezzel szemben a rúdegyensúlyozás esetén mindig létezik egy kritikus rúdhossz, amely alatt a rúd nem stabilizálható egy szabályozási paraméter kombináció esetén sem. A szabályozási körben alkalmazott integráló tag egyik vizsgált egyensúlyozási feladat esetén sem javít a stabilizálhatósági tulajdonságokon. Kapcsolódó publikációk: [4]
Irodalomjegyzék [1] T. Insperger, D. Lehotzky, and G. Stepan. Regenerative delay, parametric forcing and machine tool chatter: A review. In: IFAC-PapersOnLine 48(12) (2015), pp. 322 327. [2] D. Lehotzky and T. Insperger. A least-square spectral element method for stability analysis of time delay systems. In: IFAC-PapersOnLine 48(12) (2015), pp. 382 385. [3] D. Lehotzky and T. Insperger. A pseudospectral tau approximation for time delay systems and its comparison with other weighted-residual-type methods. In: International Journal for Numerical Methods in Engineering 108 (2016), pp. 588 613. [4] D. Lehotzky and T. Insperger. Az emberi egyensúlyozás mechanikai modellezése PIDA szabályozó segítségével. In: Biomechanica Hungarica 7(1) (2014), pp. 24 33. [5] D. Lehotzky and T. Insperger. Stability of delayed oscillators subjected to digital PD control. In: IFAC Proceedings Volumes 45(14) (2012), pp. 73 78. [6] D. Lehotzky and T. Insperger. Stability of turning processes subjected to digital PD control. In: Periodica Polytechnica Mechanical Engineering 56(1) (2012), pp. 33 42. [7] D. Lehotzky, T. Insperger, and G. Stepan. Extension of the spectral element method for stability analysis of time-periodic delay-differential equations with multiple and distributed delays. In: Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 35 (2016), pp. 177 189. [8] D. Lehotzky, T. Insperger, and G. Stepan. Stability of timeperiodic hybrid time-delay systems with applications to controlled milling operations. In: Nonlinear Analysis: Hybrid Systems (2016). submitted. [9] D. Lehotzky, T. Insperger, and G. Stepan. State-dependent, non-smooth model of chatter vibrations in turning. In: Proceedings of the ASME IDETC/ CIE Conference, Boston, USA. DETC2015 46748. 2015, pp. 1 8.
[10] D. Lehotzky, T. Insperger, and G. Stépán. Szán szabályozásának hatása az esztergálás regeneratív rezgéseire. In: XII. Magyar Mechanikai Konferencia CD Kiadványa. 234. 2015, pp. 1 8. [11] D. Lehotzky and J. Turi. Increasing the stability limits of turning processes by using digital control. In: Mathematics in Engineering, Science and Aerospace 4(2) (2013), pp. 97 115. [12] D. Lehotzky, J. Turi, and T. Insperger. Stabilizability diagram for turning processes subjected to digital PD control. In: International Journal of Dynamics and Control 2 (2014), pp. 46 54. [13] D. Lehotzky et al. Spectral element method for stability analysis of milling processes with discontinuous time-periodicity. In: International Journal of Advanced Manufacturing Technology (2016). published online. DOI: 10. 1007 / s00170-016 - 9044-z.