Tudományos Diákköri Konferencia 2015 Marási folyamatok stabilizálása abszorberrel Szerző: Bakonyvári Dávid Konzulens: Lehotzky Dávid
Tartalomjegyzék Kivonat....3 Abstract...4 1. Bevezetés...5 2. Abszorberrel kiegészített egy szabadságfokú modellek 6 2.1 Egy szabadságfokú marás abszorberrel kiegészített modellje 6 2.1.1 Stabilitás vizsgálat szemi diszkretizációval..10 2.2 Egy szabadságfokú esztergálás abszorberrel kiegészített modellje...12 2.2.1 Stabilitás vizsgálat D szeparációs módszerrel... 14 2.2.2 Stabilitás vizsgálat szemi diszkretizációval.. 15 2.3 Egy szabadságfokú abszorberes marás és esztergálás összehasonlítása stabilitás szempontjából......16 2.4 Nagysebességű marás abszorber alkalmazása esetén.. 25 2.5 Abszorberes marás és nagy sebességű megmunkálás összehasonlítása stabilitás szempontjából egy szabadságfokú esetre 29 3. Abszorberrel kiegészített két szabadságfokú marás modellek. 36 3.1 Két szabadságfokú marás abszorberrel kiegészített modellje.....36 3.1.1 Stabilitás vizsgálat szemi diszkretizációval.....39 3.2 Két szabadságfokú abszorberes marás és esztergálás összehasonlítása stabilitás szempontjából.......41 3.3 Nagy sebességű két szabadságfokú marás abszorberrel kiegészített modellje...50 3.4 Abszorberes marás és nagy sebességű megmunkálás összehasonlítása stabilitás szempontjából két szabadságfokú esetre...55 4. Összefoglalás, távlati tervek.61 A Melléklet Egy szabadságfokú modellek és stabilitás vizsgálatuk.62 A.1 Esztergálás egy szabadságfokú modellje és stabilitás vizsgálata..62 A.1.1 D szeparációs módszer.. 65 A.1.2 Esztergálás stabilitás vizsgálata D szeparációs módszerrel....66 A.1.3 Szemi diszkretizáció....69 A.1.4 Esztergálás stabilitás vizsgálata szemi diszkretizációval 70 A.2 Marás stabilitásvizsgálata egy szabadságfokú modell esetén. 73 A.2.1 Marás stabilitás vizsgálata szemi diszkretizációval.. 77 A.3 Nagy sebességű marás analitikus közelítése egy szabadságfokú esetre.. 79 B Melléklet Két szabadságfokú modellek és stabilitás vizsgálatuk....83 B.1 Két szabadságfokú marás modellje és stabilitás vizsgálata... 83 B.1.1 Stabilitás vizsgálat szemi diszkretizációval..... 86 B.2 Esztergálás két szabadságfokú modellje.... 88 B.3 Nagy sebességű marás két szabadságfokú modellje.. 91 Irodalomjegyzék...98 2
Kivonat A gyártási folyamatok gazdaságossága szempontjából fontos célkitűzés a megmunkálás sebességének növelése változatlan termékminőség mellett. Az alkatrészek jelentős része esztergálással és marással készül, melyeknél a fenti elvárás az egységnyi idő alatt eltávolított forgácstérfogat növelésével valósul meg. Ezt számos paraméter befolyásolja, köztük a forgácsvastagság és az orsó fordulatszáma, melyek növelése gyorsabb megmunkálást von maga után. Ugyanakkor a folyamatot jellemző paraméterek nem választhatók meg tetszőlegesen. Bizonyos értékeikre a szerszám nagy amplitúdójú rezgéseket végez, melyek nyoma az anyagleválasztás révén megjelenik a munkadarabon is, rosszabb felületi minőséget eredményezve, valamint csökkentve a szerszám élettartamát is. A szerszámgéprezgések fő okozója a regeneratív hatás. Ennek lényege, hogy a korábban megmunkált felület egyenetlenségei gerjesztik a szerszámot a forgácsoló erőn keresztül, így a rendszer stabilitása a kés jelenlegi pozíciója mellett egy korábbi állapottól is függ. Ebből adódóan a szerszámgéprezgések matematikai modelljei késleltetett differenciálegyenlet rendszerek. A forgácsolási folyamatok stabilizálására megoldást nyújt az abszorberek használata. Ugyanakkor a kívánt csillapító hatás eléréséhez szükséges az abszorber paramétereinek megfelelő hangolása. Esztergálás esetén a stabil tartományok, ezzel együtt az abszorber optimális jellemzői analitikus úton meghatározhatóak. Marás esetén azonban csak numerikus úton kapott stabilitási térképekre hagyatkozhatunk, mely megnehezíti az abszorber hangolását. Munkám során egy bonyolultabb és egy egyszerűsített, abszorberrel rendelkező marási modellt vizsgáltam. Az egyszerűsített modellel analitikus becslést adtam a stabilitás határára nagy radiális fogásmélységek esetén. Az analitikus formulák jelentősen leegyszerűsítik a hangolás folyamatát. Az egyszerűsített modell eredményeit összevetettem a bonyolultabb modellel, így ellenőriztem az analitikus megoldás alkalmazhatósági határait. 3
Abstract In order to remain economically competitive, the reduction of the time demand of machining while maintaining the required level of quality is an important objective in production. The majority of parts are made by metal cutting, where the effectiveness of the cutting process can be measured by the so called material removal rate, which refers to the volume of substance removed in a unit time. The material removal rate depends on several parameters, including the chip thickness and spindle speed. An increase in the latter two leads to a faster machining process. However, these parameters cannot be chosen freely. At certain values, the tool performs large amplitude vibrations, known as chatter, which increases the tool wear and results in poor surface finish and inefficient machining. The main cause of chatter is the regenerative effect. The tool is excited by the previously cut wavy surface via the cutting force, thus the stability of the system depends not only on the present, but also on the previous displacement of the tool. The stability of machining processes can be enhanced by adding a vibration absorber to the structure, however it must be tuned precisely in order to reach the desired improvement in stability. In case of turning, the stable domains and the optimal parameters of the absorber can be derived analytically, yet for milling we must rely on numerical calculations which makes the tuning of the absorber more complicated. In this study I dealt with milling models which are subject to vibration absorber. Using these models, analytical formulas were derived for full immersion milling, which is for high radial immersions. Owing to the analytical formulas, the tuning of vibration absorbers becomes much simpler for the simplified model than performing numerical calculations for general models. The validity of analytical formulas was checked by the comparison of results for the simplified model and for a general model. 4
1. Bevezetés A gyártási folyamatok során fontos követelmény a megmunkálás sebességének növelése változatlan termékminőség mellett. Esztergálás és marás esetén a fenti elvárás az egységnyi idő alatt eltávolított forgácstérfogat növelésével valósul meg. Ezt számos paraméter befolyásolja, köztük a forgácsvastagság és az orsó fordulatszáma, melyek növelése gyorsabb megmunkálást von maga után. Ugyanakkor a folyamatot jellemző paraméterek nem választhatók meg tetszőlegesen. Bizonyos értékeikre a szerszám nagy amplitúdójú rezgéseket végez, melyek nyoma az anyagleválasztás révén megjelenik a munkadarabon is, rosszabb felületi minőséget eredményezve, valamint csökkentve a szerszám élettartamát is. A szerszámgéprezgések fő okozója a regeneratív hatás. Ennek lényege, hogy a korábban megmunkált felület egyenetlenségei gerjesztik a szerszámot a forgácsoló erőn keresztül, így a rendszer stabilitása a kés jelenlegi pozíciója mellett egy korábbi állapottól is függ. Az esztergálást és marás modellje, ezek stabilitását leíró összefüggések az szakirodalomból jól ismertek [1], melyek segítségével meghatározva a stabilitás határát, kiválaszthatjuk az optimális, még rezgésmentes megmunkáláshoz szükséges beállításokat. Több megoldás is létezik a stabil tartományok növelésére, erre egy lehetőség az abszorberek használata. Ezek léteznek aktív és passzív kivitelben is, bár az utóbbival elérhető csillapító hatás a gyakorlatban korlátolt mértékű, előnyére válik az egyszerű és olcsó kivitelezhetőség. Az abszorberrel rendelkező esztergálásra több eredmény is létezik [2, 3], ugyanakkor az alkalmazás egyik fő problémáját az abszorbert jellemző paraméterek optimális beállítása, a hangolás jelenti. Erre a [3] cikk ad egy analitikus közelítést, eredetileg csillapítatlan rendszer feltételezése mellett. Munkám során az abszorberes marást, és az erre adható közelítéseket, egyszerűsítéseket vizsgáltam, figyelembe véve ezek érvényességi tartományát. A marás folyamata nagy radiális fogásmélység és fogszám esetén esztergálással közelíthető. Míg marás esetén csak numerikus úton kapott stabilitási térképekre hagyatkozhatunk, addig esztergálás során a stabil tartományok analitikus úton meghatározhatóak. A megmunkálási paraméterek másik szélső esetét tekintve, kis fogszám és radiális fogásmélység esetén is lehetőségünk van egy egyszerűbb, könnyebben kezelhető marás modell használatára. Ennek abszorber nélküli esetét [4, 5, 6] írják le, analitikus megoldást adva a stabilitás határára, ugyanakkor abszorber alkalmazása mellett ez nem adható meg előzőekhez hasonló egyszerű formában, itt további közelítésekre van szükség. 5
2. Abszorberrel kiegészített egy szabadságfokú modellek A következő fejezetben egy szabadságfokú marás és esztergálás modelleket vizsgálok abszorber alkalmazása mellett. Az ennek alapjául szolgáló egy szabadságfokú modellek és ezek stabilitás vizsgálatára alkalmazott módszerek az A mellékletben találhatóak. Elsőként az abszorberes marásról, ennek stabilitás vizsgálatáról lesz szó, majd az esztergálás és nagysebességű marás adta egyszerűsítési lehetőségekre térek ki, figyelembe véve, hogy az egyes modellek milyen tartományon feleltethetőek meg egymásnak. 2.1 Egy szabadságfokú marás abszorberrel kiegészített modellje A marás egy szabadságfokú modelljét kiegészítve egy abszorberrel a 2.1.1 ábrán látható elrendezéshez jutunk. Az abszorber tömeggel rendelkezik,, csillapításon és, merevségen keresztül kapcsolódik a szerszámhoz, melyet továbbra is tömege, csillapítása és merevsége jellemez. Feltételezzük, hogy az abszorber is csak irányban mozdulhat el. Jelen modell szerint az abszorber közvetlenül a szerszámvéghez kapcsolódik, mely a számítást tekintve jelentős egyszerűsítés, ugyanakkor ez a valóságban nem kivitelezhető. 2.1.1 ábra 6
Két szabadságfokú rendszer révén a mozgásegyenlet a következő alakú lesz:, 2.1.1 ahol az általános koordináta. A 2.1.1 ábra segítségével felírható a mozgási energia, disszipatív potenciál és potenciális energia kifejezése, melyek segítségével a tömeg, csillapítási és merevségi mátrixok meghatározhatók. 1 2 1 2, t, 2.1.2 1 2 1 2, t, 2.1.3 1 2 1 2, t, 2.1.4 A tömeg, csillapítási és merevségi mátrixok: 0 0,,,,,,,,,,, 2.1.5 melyeket visszaírva a mozgásegyenletbe: 2.1.6 0 0 t,,,, t,,,, t 0. A forgácsoló erő nem zérus komponense megegyezik az abszorber nélküli, egy szabadságfokú marás modellnél szereplő A. 2.11 kifejezéssel. A 2.1.1 differenciálegyenlet megoldása alakban kereshető, ahol felel meg a periodikus mozgásnak, az e körüli zavarásnak.,,. 2.1.7 A fenti alakját behelyettesítve a mozgásegyenlet 2.1.1 kifejezésébe:. 2.1.8 Amennyiben nincs zavarás, tehát 0 és, a mozgásegyenlet az alábbi:. 2.1.9 A forgácsoló erőt re nézve linearizálva: mely rövidebben: 0 0 0 0 0,. 2.1.10 2.1.11 7
Behelyettesítve a 2.1.8 egyenletbe, 2.1.9 figyelembe vételével a periodikus mozgáshoz tartozó tagok kiesnek, így a következő mozgásegyenlethez jutunk: 0 0,,,,,,,, 0 0 0. Az első egyenletet osztva el, másodikat val, az alábbi egyenletrendszert kapjuk: 2.1.12, t,,,,,,, 0, 0 0 2.1.13 melyet dimenziótlanítva, felhasználva az egy szabadságfokú abszorber nélküli modellnél (A.2 melléklet) használt jelöléseket, továbbá az abszorberre bevezetve csillapítási tényezőt és sajátkörfrekvenciát, valamint az abszorber és szerszám tömegének arányára, a sajátfrekvenciáik arányára értéket:,,, 2,,, 2.1.14 a mozgásegyenlet a következő lesz: T 2 2 2 A fenti egyenletrendszer rövidebben kifejezve: 2 2 1 0 0 0.. 2.1.15 2.1.16 8
2.1.1 Stabilitás vizsgálat szemi diszkretizációval A stabilitás vizsgálathoz a 2.1.15 egyenletet átírva elsőrendű rendszerré: T 0 0 1 0 0 0 0 1 1 2 2 2 2 2 mely a 2.1.16 jelölést alkalmazva: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 2.1.17 0 0 0 0. 2.1.18 A fenti egyenletrendszert ajánlott a következő alakra hozni, a számítási igény csökkentéséhez:, 2.1.19, 2.1.20 ahol:,, 2.1.21,, 2.1.22. 2.1.23 A szemi diszkretizációhoz és mátrixokat átlagértékükkel helyettesítjük minden egyes ; intervallumon: 1 dt, 1 dt. 2.1.24 Az intervallumonként állandó és mátrixok esetén alkalmazható a szemi diszkretizáció:, ; 2.1.25. 2.1.26 Amennyiben invertálható, úgy kifejezhető:,, 2.1.27 2.1.28 ahol:,. 2.1.29 9
Mátrixos alakban felírva: 2.1.30 A fenti összefüggés és időpontok között alakban adható meg. Hasonlóan megadható a többi 1,2 mátrix is, így a jelenlegi, és az diszkretizációs lépéssel későbbi közötti kapcsolat:. 2.1.31 A stabilitás feltétel továbbra is az, hogy mátrix összes sajátértéke abszolút értékben kisebb legyen, mint egy. 10
2.2 Egy szabadságfokú esztergálás abszorberrel kiegészített modellje A mechanikai modell a 2.2.1. ábrán látható. Az eredeti esztergálás modellt (A.1 melléklet), melyet a szerszám tömege, csillapítása és merevsége jellemzett, kiegészítettük egy tömegű abszorberrel, mely, csillapításán és, merevségén keresztül kapcsolódik magához a szerszámhoz. Továbbra is csak irányú elmozdulást feltételezünk, így az abszorber felszerelése egy két szabadságfokú rendszert eredményez. 2.2.1 ábra A mozgásegyenlet t általános koordináta mellett a következő alakú:. 2.2.1 A 2.2.1. ábra alapján felírható a mozgási energia, disszipatív potenciál és potenciális energia kifejezése, melyek segítségével a tömeg, csillapítási és merevségi mátrixok meghatározhatóak: 1 2 1 2, 1 2 1 2,, 1 2 1 2,. 2.2.2 2.2.3 2.2.4 A tömeg, csillapítási és merevségi mátrixok: 0 0,,,,,,,,,,, 2.2.5 11
melyeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe a következőt kapjuk: 2.2.6 0 0,,,,,,,, 0, ahol a forgácsoló erő nem zérus komponense megegyezik az abszorber nélküli egy szabadságfokú esztergálás modellnél meghatározott kifejezéssel:. 2.2.7 Az erő fenti alakját szerint linearizálva: 0 0, 0 0 0 0. 2.2.8 2.2.9 A megoldást továbbra is alakban keresve, ahol írja le a periodikus mozgást, az e körüli zavarást, ezzel együtt a mozgásegyenlet: t,,, 2.2.10 2.2.11 Amennyiben nincs zavarás, 2.2.11 a következőre egyszerűsödik:, 2.2.12 ahol: 0. 2.2.13 A fentiek alapján a mozgásegyenlet az alábbi alakra hozható:. 2.2.14 Az egyenletrendszer első egyenletét osztva el, másodikat val:,,,,,,,, 2.2.15 0. 0 0 A fenti egyenletrendszert dimenziótlanítva, felhasználva az egy szabadságfokú esztergálás modellnél A. 1.12 A. 1.13 szereplő jelöléseket, továbbá az abszorberre bevezetve sajátkörfrekvenciát és csillapítási tényezőt, valamint az abszorber és szerszám viszonyára tömegarányt, és frekvenciaarányt: 12
,,, 2,,. 2.2.16 A mozgásegyenlet dimenziótlanított alakja: 2 2 2 mely rövidebben formában a következő: 2 2 1 0 0 0,. 2.2.17 2.2.18 2.2.1 Stabilitás vizsgálat D szeparációs módszerrel Az egy szabadságfokú abszorber nélküli esztergáláshoz hasonlóan, jelen esetben is alkalmazható a szeparáció módszere a stabilitási határok analitikus meghatározására. A 2.2.17 egyenletrendszer megoldását A A alakban keresve: 2.2.19 A A 2 2 2 2 2 A A 1 A A A fenti egyenletrendszer, 0 egyszerűsítés mellett, szétbontva: 0 0 0 A A. A A2 2 2A A1 A 0,2.2.20 A 2A 2A A A 0. 2.2.21 A második egyenletből kifejezve A t: A 2 2 A, majd behelyettesítve az első egyenletbe, a karakterisztikus egyenlet az alábbi: 2.2.22 2.2.23 2 2 2 2 1 1 0. A karakterisztikus egyenlet helyettesítés mellett: 2 2 2 2 1 1 cos sin 0. 2.2.24 13
Felbontva valós és képzetes részre, a valós rész egyenletéből kifejezve 1cos t, a képzetes rész egyenletéből sin t, bevezetve az alábbi jelölést: 1cos, 2.2.25 sin, 2.2.26 ahol és az alábbiak: 1 4 1 1 4, 2.2.27 2 4 4. 2.2.28 Ezek segítségével a görbék megadhatók az abszorber nélküli esztergálásnál ismert módon: 2 30, 2.2.29 arctg,. 2.2.30 2.2.2 Stabilitás vizsgálat szemi diszkretizációval A szemi diszkretizációs módszer alkalmazásához 2.2.18 egyenletet átírva elsőrendű rendszerré: 0 0 1 0 0 0 0 1 1 2 2 2 2 2 A fenti egyenletrendszert átalakítva a következő alakra: 2.2.31 0 0 0 0 0. 2.2.32 0 0, 2.2.33, 2.2.34 14
ahol:,, 2.2.35,, 2.2.36. 2.2.37 A szemi diszkretizáció az egy szabadságfokú esztergálás modellnél alkalmazott lépésekkel végezhető el, a megoldás, intervallumon a következő:, 2.2.38 melyet időpontban kiértékelve kapcsolatot teremtünk és között:. 2.2.39 Ez esetben is és jelölést használva:, 2.2.40 mely mátrixos alakban a következő: 2.2.41 Akárcsak az eredeti esztergálás modell esetén, a fenti egyenletrendszernek megfelelő összefüggés 1,2, együttható mátrixai nem változnak az időlépések során, szorzat sajátértékei helyett elegendő így sajátértékeit vizsgálni. A rendszer akkor stabil, ha összes sajátértéke kisebb, mint egy. 15
2.3 Egy szabadságfokú abszorberes marás és esztergálás összehasonlítása stabilitás szempontjából Az előzőekben bemutatásra került az egy szabadságfokú marás és esztergálás abszorberrel kiegészített modellje és ezek stabilitás vizsgálata. Mivel abszorber nélküli esetben nagy fogszám és radiális fogásmélység esetén a marás folyamata esztergálással közelíthető, így feltételeztem, hogy abszorber alkalmazása mellett is lehetőség van hasonló közelítésre. Ennek igazolására összehasonlítottam a két folyamatot jellemző stabilitási térképeket. Az abszorber nélküli modellekben az összehasonlítás alapját fogszám, valamint / radiális fogásmélység és átmérő hányadosa adja. Az abszorber alkalmazásával érdemes megvizsgálni továbbá a 2.1.14 pontban definiált tömegarány és sajátfrekvenciák arányának hatását is. A stabilitási térképek összevetése során az egyes fogszámokra több tömegarány és frekvenciaarány értékpár mellett meghatároztam az esztergálás stabilitásának határát jellemző görbét, majd ezzel egy diagramon ábrázoltam ellenirányú marásra, néhány jellegzetes / értékpár esetén. Tekintettel arra, hogy a szerszám és az abszorber csillapítási tényezői nehezen befolyásolhatók, a közelítés jóságára gyakorol hatásukat nem vizsgáltam, állandó értékeik 0,02 és 0,2. A marást jellemző további paraméter 3/4 és / 10/3. A szemi diszkretizációnál alkalmazott lépésköz 40. Az eredményeket a következő nyolc oldal tartalmazza. Amint látható, két fog esetén a marás / 0,1 és / 0,5 ös paraméterekhez tartozó stabilitás határát jellemző görbéi már jellegre hasonlítanak az esztergáláséra, lényeges eltérés 2 érték körül adódik, valamint 1 esetén a közelítés hibája nagyobb, mint a másik két beállításra. Két fogra a vizsgált paraméterek közül / 1 esetén különböznek leginkább a marásra és esztergálásra kapott eredmények. Tovább növelve a fogszámot, azt tapasztaljuk, hogy a marás stabilitás szempontjából valóban közelíthető esztergálással, függetlenül az abszorber jellemzőitől vagy a radiális fogásmélység és átmérő hányadosától. 16
17
18
19
20
21
22
23
24
2.4 Nagysebességű marás abszorber alkalmazása esetén A nagysebességű marás abszorberrel kiegészített modellje a 2.4.1 ábrán látható. Az abszorber miatt a szabad rezgést leíró összefüggésekre más adódik az abszorber nélküli esethez képest (A.3 melléklet), ugyanakkor a vágás során a forgácsolási erő zérustól eltérő komponense, és ennek közelítése változatlan. 2.4.1 ábrán Mindkét esetben, szabad rezgés és vágás során is a mozgásegyenlet két szabadságfokú rendszer révén: 2.4.1 alakú, ahol az általános koordináta, szabad rezgés esetén értelem szerűen zérus, anyagleválasztás során 0 A tömeg, csillapítási és merevségi mátrixok megegyeznek az abszorberes marás esetén meghatározott kifejezésekkel. Elsőként a szabad rezgést vizsgálva ; intervallumon a mozgásegyenlet a következő: 0 0,,,,,,,, 0 0,2.4.2. 2.4.3 Ahogy a 2.4.2 egyenleten látható, mivel a csillapítási és merevségi mátrixok nem diagonálisak, így nem alkalmazható az abszorber nélküli esetre bemutatott analitikus megoldás. 25
A 2.4.3 egyenletet átírva elsőrendű rendszerré:. 2.4.4 Ez tömörebben kifejezhető: 2.4.5 alakban is, melynek megoldását az állandók variálásának módszerével kereshetjük:. 2.4.6 Idő szerint deriválva, majd egyenlővé téve 2.4.5 egyenlettel:,. 2.4.7 2.4.8 A 2.4.8 kifejezésben, mivel, így, tehát konstans vektor. Visszahelyettesítve 2.4.6 egyenletbe:. 2.4.9 Kezdeti feltételként, melyből értéke meghatározható:. 2.4.10 A ; intervallumon a megoldás:, 2.4.11 melyet kiértékelve pontban:. 2.4.12 A fenti egyenletben szereplő e megadja a leképezést a szabad rezgés kezdetét jellemző, valamint végét leíró között. Az e mátrix exponens számításához, mivel ϵ, lényegében egy negyedfokú egyenlet megoldása szükséges. Bár erre létezik analitikus megoldás, ez rendkívül hosszadalmas és nem ad gyakorlati szempontból kezelhető végeredményt. Megpróbáltam a mátrix exponens 2.4.13 definíciója alapján a sor első 3 4 tagjával közelíteni az összeget, ekkor még elég rövid lenne az analitikus formula ahhoz, hogy a stabilitás vizsgálat során érdemi következtetést tudjunk levonni az eredményből.! 2 2.4.13 6 Az mátrixot dimenziótlanítva vizsgáltam, hogy az abszorber milyen csillapítása, tömegaránya, és frekvenciaaránya mellett lehetséges a fenti közelítés. A hiba ugyan jelentősen függött az abszorber jellemzőitől, de a legjobb esetekre is túl nagynak bizonyult. Ezzel szemben csökkentésével sokat javult a konvergencia, nagyobb fogszámokra, radiális fogásmélységekre és orsó fordulatszámra sikerült visszakapni numerikusan számolt értékével meghatározott stabilitás térképeket. Ugyanakkor ez esetben a nagy sebességű 26
marás feltételezései sérülnek, ezen beállítások mellett már nem mondható el, hogy 1, így a Taylor polinomos közelítéses megoldást elvetettem. Bár analitikus megoldást így nem sikerült adnom abszorberrel kiegészített nagy sebességű marás esetére, de vizsgálható, hogy stabilitás térképei mennyire felelnek meg az abszorberes marás esetén kapott eredményekkel. Amennyiben helyesnek bizonyul a nagy sebességű marás közelítése abszorberes esetre, úgy a későbbiekben érdemes lehet további mátrix exponens számítási módszert is figyelembe venni egy analitikus közelítéshez [7]. A stabilitás térképek meghatározásához nézzük a szabad rezgés után következő ; intervallumonkénti vágás esetét, mely megadja az és közti leképezést: 2.4.14 0 0,,,,,,,, 0. Felhasználva az abszorber nélküli esetre levezetett erő kifejezését Δ 2.4.15 a mozgásegyenlet a következő lesz: 0 0,,,,,,,, 2.4.16 Az egyenleteket integrálva ; határok közt: dt Δ. 0, dt, dt, dt, dt Δ, 2.4.17 dt, dt, dt, dt, dt 0. 2.4.18 Eredményül a következőt kapjuk:, 2.4.19,, 0. 2.4.20 27
Felhasználva az abszorber nélküli esetnél bevezetett és jelölést, továbbá legyen az mátrix exponens edik sorának edik eleme, a következőt írhatjuk fel: 1 0 0 0, 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0, 0 0 0, 0 0 0 1 0 0 0 0,,, 0 0, 0 2.4.21 0,, 0. 1,, 0 2.4.22 A fenti egyenletrendszer megadható alakban, ahol a stabilitás feltétele továbbra is az, hogy mátrix összes sajátértéke abszolút értékben kisebb legyen egynél. Ahhoz, hogy majd összevessük az itt kapott eredményeket, az abszorberes marás modellnél meghatározott stabilitás térképekkel, ismét dimenziótlanítjuk az egyenletrendszert az A. 3.27 pontban bevezetett jelöléseket használva. A szabad rezgést leíró mozgásegyenlet dimenziótlanítás után:, 2.4.23 ahol: 2 2 2 2 2, 1, 2.4.24 melyet átírva elsőrendű rendszerré:,. 2.4.25 2.4.26 A dimenziótlan és közti kapcsolat, segítségével, 2.4.27 alakban fejezhető ki, melyet a vágással kiegészítve, a mátrix dimenziótlanított alakjára a következő adható:,,,,,,,,. 2.4.28,, 1,,,,,,,,,, 28
2.5 Abszorberes marás és nagy sebességű megmunkálás összehasonlítása stabilitás szempontjából egy szabadságfokú esetre A 2.4 fejezetben bemutatásra került az egy szabadságfokú abszorberrel kiegészített nagy sebességű marás modellje és stabilitás vizsgálata. Ugyanakkor kérdéses, hogy a levezetés során használt közelítések, melyek segítségével eljutottunk a fenti modellhez, a rendszert jellemző paraméterek milyen tartományán engedhetők meg. Ennek eldöntésére összehasonlítottam a marást és nagy sebességű megmunkálást jellemző stabilitási térképeket. Az egyes fogszámokra több tömegarány és frekvenciaarány értékpár mellett, néhány jellegzetes / beállításra meghatároztam a két folyamat stabilitásának határait jellemző görbéket. A szerszám és az abszorber csillapítási tényezőinek az abszorberes nagy sebességű marás és az eredeti abszorberes marás modell közti kapcsolatára kifejtett hatását nem vizsgáltam, továbbiakban ezeket állandónak tekintettem, 0,02 és 0,2. Emellett 3/4, / 10/3, és a szemi diszkretizációnál alkalmazott lépésköz 30. Az eredményeket a következő hat oldal tartalmazza. A nagy sebességű marás feltételezéseinek megfelelően, csak kis fogszám és radiális fogásmélység esetén szoros a kapcsolat két modell stabilitási térképei közt. Ezen paraméterek növelésével, bár a görbék egy határig még jellegre hasonlóak maradtak, eltolódnak egymáshoz képest mentén. Az abszorber paraméterei esetén nem tapasztaltam a közelítésre gyakorolt lényeges hatást. 29
30
31
32
33
34
35
3. Abszorberrel kiegészített két szabadságfokú marás modellek A következő fejezetben abszorber hatását vizsgálom a két szabadságfokú marás, és nagy sebességű marás modellje esetén. Emellett kitérek a két szabadságfokú abszorberes marás modell és az esztergálás, illetve nagy sebességű megmunkálás közti kapcsolatra, egyes modellek alkalmazhatóságának határára. 3.1 Két szabadságfokú marás abszorberrel kiegészített modellje A marás két szabadságfokú, abszorberes modelljét az 3.1.1 ábra szemlélteti. Az alap két szabadságfokú maráshoz (B.1 melléklet) képest kiegészítést jelent az abszorber, melyet tömege,, és, csillapításai, valamint, és, merevsége jellemez. 3.1.1 ábra 36
A mozgásegyenlet a következő alakban írható fel:, 3.1.1 ahol az általános koordináta. A tömeg, csillapítási és merevségi mátrixok számításához felírva a mozgási energia, disszipatív potenciál és potenciális energia összefüggését: 1 2 1 2 1 2 1 2, 3.1.2 1 2 1 2 1 2, 1 2,, 3.1.3 1 2 1 2 1 2, 1 2,. 3.1.4 A fenti egyenletek segítségével a tömeg, csillapítási és merevségi mátrixok meghatározhatóak: 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0, 0, 0 0, 0,,, 0, 0 0, 0, melyeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe:, 0, 0 0, 0,, 3.1.5, 0, 0 0, 0, 0 0 0, 0, 0 0 0 0 0, 0, 0 0 0, 0, 0 0 0 0 0, 0, 3.1.6, 0, 0 0, 0,., 0, 0 0, 0, 0 0 A forgácsoló erő vektorának nem zérus komponensei megegyeznek a két szabadságfokú marás modellnél meghatározott kifejezésekkel, így az erő 0 0 alakú. AZ 3.1.1 egyenlet megoldására a korábbi modellekhez hasonlóan alakot lehet feltételezni, ahol felel meg a periodikus mozgásnak, az e körüli zavarásnak.,,,. 3.1.7 37
Behelyettesítve fenti kifejezését az 3.1.1 mozgásegyenletbe:. 3.1.8 Amennyiben nincs zavarás, tehát 0, a megoldás a periodikus mozgást adja alakban, a mozgásegyenlet az alábbi:. 3.1.9 Az forgácsoló erőt linearizálva re nézve: 3.1.10 kifejezést kapjuk, ahol az első tag megegyezik az 3.1.9 egyenletben szereplő periodikus mozgáshoz tartozó erővel. Felhasználva a forgácsoló erőre a fenti közelítést, figyelembe véve az 3.1.9 egyenlet adta egyszerűsítési lehetőségeket, az 3.1.8 egyenlet átírható a következőre:, 3.1.11 ahol a következő: 0 0 0 0, 3.1.12 0 0 0 0 0 0 0 0 melynek egyes komponenseit a két szabadságfokú marás modellnél B. 1.20 tól B. 1.24 ig szereplő kifejezések írják le. A 3.1.11 egyenletrendszer dimenziótlanított alakja: 2 2 0 2 0 0 2 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 2 3.1.13 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 ahol az abszorber és irányú csillapításainak az aránya, míg az abszorbert jellemző merevségek arány és irányokra:,,,,,. 3.1.14 38
A fenti egyenletrendszer rövidebb formában kifejezve:. 3.1.15 3.1.1 Stabilitás vizsgálat szemi diszkretizációval A 3.1.15 egyenletet átírva a következő elsőrendű rendszerré:. 3.1.16 A fenti egyenletrendszert átalakítva a következő alakra:,, 3.1.17 3.1.18 ahol:,,, 3.1.19 3.1.20,. 3.1.21 A szemi diszkretizáció alkalmazásához és mátrixokat átlagértékükkel kell helyettesítve ; intervallumonként: 1 dt, 1 dt. 3.1.22 Állandó és mátrixok mellett már közvetlenül alkalmazható a szemi diszkretizáció:,. 3.1.23 3.1.24 A, intervallumon kapott megoldást kiértékelve a következő pillanatban:,. 3.1.25 3.1.26 Ez esetben is és jelölést használva:, 3.1.27 39
valamint mátrixos lakban: 3.1.28 ami rövidebben összefüggéssel fejezhető ki. A jelenlegi és diszkretizációs lépéssel későbbi közötti kapcsolat alakban adható meg. A stabilitáshoz a korábbi marás modellekhez hasonlóan a mátrix összes sajátértékének abszolút értékben egynél kisebbnek kell lennie. 40
3.2 Két szabadságfokú abszorberes marás és esztergálás összehasonlítása stabilitás szempontjából Az egy szabadságfokú abszorberes marás esetére lehetőségünk volt a folyamatot esztergálással közelíteni. A két szabadságfokú esztergálás stabilitás szempontjából visszavezethető egy szabadságfokú esetre, ennek részletes levezetése a B.2 mellékletben található. Ebből adódóan stabilitás tekintetében az esztergálás abszorberrel kiegészített két szabadságfokú modellje sem különbözik az egy szabadságfokú abszorberes esettől. A következőben így a két szabadságfokú abszorberes marás, és egy szabadságfokú abszorberes esztergálás stabilitás térképeit hasonlítom össze. A szerszám és abszorber csillapítási tényezőinek a közelítés jóságára gyakorolt hatását ebben az esetben sem vizsgáltam, értéküket állandónak tekintettem, 0,02 és 0,2. A marást jellemző további paraméter 0,75 és / 107/40, 1, 1, 1, 1. A szemi diszkretizációnál alkalmazott lépésköz 30. Az eredményeket a következő nyolc oldal tartalmazza. A 2.3 fejezetben szereplő egy szabadságfokú esethez hasonlóan jelenleg is azt tapasztaljuk, hogy a fogszám növelésével az esztergálás stabilitásának határát leíró görbék egyre jobban követik a marásét, valamint 1 értékre nagyobb az eltérés, miközben a többi paraméter közelítésre gyakorolt hatása nem számottevő. 41
42
43
44
45
46
47
48
49
3.3 Nagy sebességű két szabadságfokú marás abszorberrel kiegészített modellje A nagysebességű marás abszorberrel kiegészített két szabadságfokú modellje a 3.3.1 ábrán látható. A mozgásegyenlet homogén része mind a szabad rezgés, mind a vágás esetére megegyezik a két szabadságfokú abszorberes marás modellnél bemutatott 3.1.6 egyenlet homogén részével. Az anyagleválasztás során fellépő erő kifejezése pedig a két szabadságfokú, abszorber nélküli nagysebességű marás (B.3 melléklet) esetén meghatározott értékkel egyezik meg. 3.3.1 ábra Szabad rezgés esetén, mivel a mozgásegyenletben szereplő tömeg, csillapítás és merevségi mátrixok nem diagonálisak, nem használható az abszorber nélküli esetekben bemutatott megoldás. Az egyenletrendszer 3.1.6 alapján a következő: 50
0 0 0, 0, 0 0 0 0 0, 0, 0 0 0, 0, 0 0 0 0 0, 0, 3.3.1, 0, 0 0, 0 0, 0,, 0, 0 0, 0, 0 0. A fenti egyenlet átírható elsőrendű rendszerré, 3.3.2, 3.3.3 mely alakban is megadható, kezdeti feltétel mellet. Szabad rezgés esetén, és közti kapcsolatot leíró mátrix meghatározása megegyezik az egy szabadságfokú abszorberrel kiegészített nagy sebességű marásnál látottal, mely levezetés a 2.3 fejezetben található. A megoldás így az alábbi:. 3.3.4 Vágás esetén a mozgásegyenlet a következő: 0 0 0, 0, 0 0 0 0 0, 0, 0 0 0, 0, 0 0 0 0 0, 0, mely tömörebben: 3.3.5, 0, 0 0, 0,,, 0, 0 0, 0, 0 0 3.3.6 alakú, ahol 0 0 nemzérus tagjainak értéke megegyezik a két szabadságfokú nagy sebességű marás esetén meghatározott kifejezéssel. Felhasználva az ott alkalmazott közelítéseket, a mozgásegyenlet, 3.3.7 51
0 0 0, 0, 0 0 0 0 0, 0, 0 0 0, 0, 0 0 0 0 0, 0,, 0, 0 0, 0,, 0, 0 0, 0, 0 0 3.3.8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. Az első két egyenletet osztva el, második kettőt val, majd ; intervallumon integrálva: dt, dt, dt, dt 3.3.9, dt Δ, dt, dt, dt, dt 3.3.10 dt dt, dt Δ, 3.3.11, dt, dt, dt, dt 0, 3.3.12, dt, dt, dt, dt 0. Felhasználva, hogy a vágás során a forgácsoló erő mellett a rugóból és merevségből származó erőhatások és a szerszám elmozdulása elhanyagolható:,,,, 3.3.13 3.3.14,, 0, 3.3.15,, 0. 3.3.16 52
A fenti egyenletek felírhatók a következő alakban: 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0, 0 0 1 0 0 0 0 0,, 0 0 0 1 0 0 0 0, 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0, 0 0 0 0 0 0 1 0,, 0 0 0 0 0 0 0 1, 3.3.17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0,, 0 0 0 0 0 0 0 0, 0 A szabad rezgés 3.3.4 összefüggése segítségével, megadható a kapcsolat két vágás között alakban. A stabilitás feltétele továbbra is az, hogy sajátértékei abszolút értékben kisebbek legyenek egynél. A két szabadságfokú, abszorberes marással való összehasonlításhoz dimenziótlan alakjára van szükség. Ehhez a szabad rezgést leíró 3.3.4 egyenletben szereplő dimenziótlan alakja: ahol egyes elemei:, 3.3.18 2 2 0 2 0 0 2 2 0 2, 3.3.19 2 0 2 0 0 2 0 2 1 0 0 0 0 0, 3.3.20 0 0 0 Így a szabad rezgés kezdete és vége közti kapcsolatot megadó 3.3.4 dimenziótlanítva:,. 3.3.21 Az 3.3.17 dimenziótlan alakja a B. 3.45 B. 3.45 összefüggések segítségével megadható, mely segítségével az előző egyenletet felhasználva együttható mátrix meghatározható. 53
3.4 Abszorberes marás és nagy sebességű megmunkálás összehasonlítása stabilitás szempontjából két szabadságfokú esetre Az előző fejezet ismertette az abszorberrel kiegészített nagy sebességű marás modelljét és stabilitás vizsgálatát két szabadságfokra. A 2.5 fejezethez hasonlóan megvizsgáltam milyen tartományon felelnek meg a nagy sebességű marás közelítéseit felhasználva előállított stabilitás térképek a maráséval, jelen esetben két szabadságfokra abszorber használata mellett. Az egyes fogszámokra több tömegarány és frekvenciaarány értékpár mellett, néhány jellegzetes / beállításra meghatároztam a két folyamat stabilitásának határát jellemző görbéket. A szerszám és az abszorber csillapítási tényezőinek az abszorberes nagy sebességű marás és az eredeti abszorberes marás modell közti kapcsolatra kifejtett hatását nem vizsgáltam, továbbiakban ezeket állandónak tekintettem, 0,02 és 0,2. Emellett 3/4, / 107/40, 1, 1, 1, 1 és a szemi diszkretizációnál alkalmazott lépésköz 40. Az eredményeket a következő hat oldal tartalmazza. Az egy szabadságfokú esetre, a 2.5 fejezetben bemutatott eredményekhez igen hasonlóra jutunk két szabadságfokú abszorberes marás és nagy sebességű marás összehasonlítása során. A nagy sebességű marás közelítése kis fogszám és kis /, radiális fogásmélység és átmérő hányadosra lehetséges, ezt 4, és / 0,02 beállítások mellett találtam még elfogadhatónak, függetlenül a többi paraméter hatásától. 54
55
56
57
58
59
60
4. Összefoglalás, távlati tervek Munkám során bemutattam az abszorberrel kiegészített marás egy és két szabadságfokú modelljét, ezek stabilitását leíró összefüggéseket. Feltételeztem, hogy nagy fogszám esetén a folyamat esztergálás segítségével közelíthető, míg kis fogszám és radiális fogásmélység mellett a nagy sebességű megmunkálás adta egyszerűsítések használhatók. A két egyszerűbb modellt levezettem abszorber használata mellett egy és két szabadságfokú esetekre, továbbá az abszorberes esztergálás esetén analitikus formulát adtam a stabilitás határára. Összevetve az abszorberes esztergálás stabilitás térképeit a maráséval, egy és két szabadságfokú esetre hasonló eredményeket kaptam, már négy foggal rendelkező szerszámok esetén igazolódott a közelítés helyessége. A fogszámon kívül az abszorber paramétere volt hatással még a közelítés jóságára, egy körüli értékére nagyobb eltérés adódott a két modellel meghatározott stabilitás térképek között. A nagy sebességű megmunkálás esetén is sikerült kapcsolatot találni az egyszerűsített és az eredeti marás modell stabilitás térképei között, a vizsgált paraméterek tekintetében 4 fogszám és / 0,02 értéke jelenti az alkalmazás felső korlátját. Távlati terveim közt szerepel, hogy a modellek közötti kapcsolatot kihasználva hangolási módszert találjak az abszorber jellemzőinek optimális meghatározására. 61
A Melléklet Egy szabadságfokú modellek és stabilitás vizsgálatuk A következő melléklet részletesen ismerteti az esztergálásra és marásra alkalmazott egy szabadságfokú modelleket, kitérve a nagy sebességű marás esetére is. Az egyes modellek tárgyalása során szó esik stabilitás vizsgálatukról, így bemutatásra kerül a szeparáció és szemi diszkretizáció módszere is. Az abszorberrel kiegészített egy szabadságfokú modellekhez az itt bemutatott példák szolgálnak alapul. Elsőként A.1. mellékletben az egy szabadságfokú esztergálás modell, ennek leíró egyenletei kerülnek bemutatásra, majd az A.1.1 rövid elméleti összefoglalót ad a szeparációs módszerre, melynek alkalmazása az esztergálás stabilitás vizsgálatára A.1.2 részben található. A szemi diszkretizáció módszerét ugyancsak az esztergálás segítségével ismertetem, melynek megvalósítását A.1.3 elméleti áttekintőjét követően A.1.4 tartalmazza. A marás egy szabadságfokú modelljét A.2 melléklet ismerteti, ezen belül A.2.1 foglalkozik részletesebben stabilitás vizsgálatával. Előző modell kis radiális fogásmélységekre érvényes közelítését A.3 melléklet tartalmazza. A.1 Esztergálás egy szabadságfokú modellje és stabilitás vizsgálata Az esztergálás folyamatát az A.1.1 ábra szemlélteti. A munkadarabról melyek forgástengelye, mozgását állandó 1/min fordulatszám jellemzi a szerszám előtolása mellett történik az anyagleválasztás. Ideális esetben, tökéletesen merev szerszám esetén állandó forgácsvastagság adódik, mely egyben az elméleti forgácsvastagság, és megegyezik a fordulatonkénti előtolás mértékével, ahol az egy fordulat alatt eltelt idő és az előtolás sebessége. A.1.1 ábra 62
Azonban a tapasztalat azt mutatja, hogy a megmunkálás során változik a forgácsvastagság, a szerszám rezgései révén egy hullámos felületet alakít ki, következő fordulatnál erről a felületről választ le anyagot, így a forgácsvastagság az előtolás mellett a szerszám egy fordulattal korábbi és jelenlegi pozíciója közti eltéréstől is függ (A.1.2 ábra). Ennek megfelelően a forgácsvastagságra a következő összefüggést írhatjuk fel:, A. 1.2 ahol regeneratív időkésésként jelenik meg. Az egy szabadságfokú modell esetén feltételezzük, hogy a szerszám csak irányban mozdulhat el. Mivel és irányú elmozdulásai elhanyagolhatóak, 60/Ω alakban adható meg. A.1.2 ábra Az A.1.2 ábra segítségével az alábbi mozgásegyenlet írható fel:, A. 1.3 ahol a szerszám modális tömege, a modális csillapítás, pedig a modális merevség irányú jellemzői. A forgácsoló erőnek felel meg, mely tapasztalati összefüggés alapján:. A. 1.4 Az egyenletekben szereplő és konstans együtthatók mérés útján határozhatóak meg. Továbbá jelöli a forgácsszélességet, és forgácsvastagság esetén feltételezzük, hogy a szerszám nem hagyja el a munkadarab felületét, így a megmunkálás során mindig pozitív. A forgácsvastagság A. 1.2 kifejezését felhasználva a forgácsoló erő:, A. 1.5 63
melyet visszahelyettesítve az A. 1.3 egyenletbe, időkésleltetett differenciál egyenletet eredményez, konstans időkéséssel:. A. 1.6 A differenciálegyenlet megoldását alakban keressük, ahol az egyensúlyi helyzet, pedig az e körüli zavarásnak felel meg. Tekintve az egyensúlyi helyzetet,, a deriváltak eltűnnek, és a mozgásegyenlet az alábbira egyszerűsödik:. A. 1.7 A forgácsoló erő kifejezését az egyensúlyi helyzet körül linearizálva:, A. 1.8 melyet behelyettesítve a mozgásegyenletbe mellett, felhasználva az egyensúlyi helyzetre adott összefüggést a következő adódik:. A. 1.9 A későbbi, bonyolultabb modellekkel való összehasonlításhoz érdemes dimenzótlanítani az esztergálást leíró differenciálegyenletet, ez egyben egyszerűbb alakot is eredményez a stabilitás vizsgálathoz. Elsőként az A. 1.9 egyenletet osztva a szerszám modális tömegével,, valamint új konstansok bevezetésével: 2, A. 1.10 A. 1.11 ahol jelöli sajátkörfrekvenciát, a csillapítási tényezőt és a forgácsolási erő konstans együtthatója:, 2,. A. 1.12 Továbbá bevezetve a dimenziótlan időt, a regeneratív időkésés és a forgácsolási paraméterek dimenziótlan értékei:,, 30, A. 1.13 így A. 1.9 dimenziótlanított alakja: 2. A. 1.14 A minél hatékonyabb megmunkáláshoz ismerni kell a fenti differenciálegyenlet stabilitásának határát, melyet a későbbiek során D szeparációs módszerrel, majd szemi diszkretizáció segítségével vizsgálok. 64
A.1.1 D szeparációs módszer Általános esetben egy ed rendű lineáris közönséges differenciálegyenlet a következő alakú:, A. 1.15 ahol ϵ, ϵ, ennek karakterisztikus egyenlete: det 0. A. 1.16 A stabilitás feltétele, hogy a karakterisztikus egyenlet valamennyi gyöke a negatív valós félsíkban helyezkedjen el. Ez esetben elegendő a karakterisztikus gyökök valós részének előjelét ismerni, mely a Routh Hourwitz kritériummal könnyen vizsgálható. A pontszerű késleltetéssel rendelkező késleltetett differenciálegyenletek általánosan az alábbi módon írhatók fel:, A. 1.17 ahol ϵ, ϵ és ϵ. Ez esetben a karakterisztikus egyenletnek végtelen sok gyöke van, melyeket mind figyelembe kell venni a stabilitás vizsgálat során, így nem használható a fent említett módszer. Késleltetett differenciál egyenletek esetén gyakran alkalmazott módszer, hogy a stabil tartományokat a leíró egyenletben szereplő paramétereinek síkján ábrázolják. Erre nyújt egy megoldást a szeparációs módszer, mely segítségével a paramétersík felosztható résztartományokra, melyeken belül az instabil (pozitív valós résszel rendelkező) pólusok száma azonos. A módszer a görbéket adja meg, azokat a görbéket, melyeken áthaladva változik az instabil pólusok száma. Ezek meghatározhatóak, ha a karakterisztikus egyenletbe t helyettesítünk, mely a gyökökre nézve zérus valós részt, az imaginárius tengelyen való áthaladást, így a stabilitás egy lehetséges határát jelenti. Szétbontva valós és képzetes részre két egyenlet adódik: Re, Im, A. 1.18 A. 1.19 melyekből a vizsgált paraméterek stabilitásra gyakorolt hatása a görbék formájában kifejezhető. Kérdéses, hogy a görbéken áthaladva milyen irányban nő, illetve csökken az instabil pólusok száma. Lényegében ez megfelel annak, hogy adott görbék mentén a komplex konjugált gyökpárok, vagy az egyetlen valós gyök, milyen irányban haladnak át a képzetes tengelyen. A gyökök képzetes tengelyen való áthaladásának iránya megadható a valós rész egyik paraméter szerinti parciális deriváltjának előjelével. Amennyiben ez pozitív, úgy a gyökök instabillá válnak, míg a negatív előjel stabil gyököket von maga után. Ezt követően a stabilitási térkép megadható, ha valamelyik görbék által határolt tartományban ismert az instabil gyökök száma. Utóbbi meghatározására szolgáló formula dimenziós rendszerre, ahol 2: 65
1 1 sgn, A. 1.20 ahol 0 pedig valós gyökei. Az előző kifejezés 21 dimenziós rendszer esetén a következőre módusul: 1 2 1 1 2 1 sgn01 sgn, A. 1.21 ahol 0 pedig nemnegatív gyökeit jelölik. A.1.2 Esztergálás stabilitás vizsgálata D szeparációs módszerrel Az egy szabadságfokú esztergálás modell karakterisztikus egyenletét felírva A. 1.14 alapján: 21 1 0. A. 1.22 A karakterisztikus egyenlet helyettesítéssel: 21 cos sin 0, A. 1.23 melyet valós és képzetes részeire bontva a következő két egyenlet adódik: Re: 1 cos 0, Im: 2 sin 0. A. 1.24 A. 1.25 Ezek segítségével meghatározhatók a görbék az paramétersíkon. Elsőként az 0 és 0 egyenleteket az alábbi módon átrendezve: 1 1cos, 2 sin. A. 1.26 A. 1.27 A fenti két egyenletet elosztva egymással, majd a jobb oldali tagot trigonometrikus azonosság segítségével átalakítva: 1 2 1cos sin tg, A. 1.28 2 1 2 arctg,. 2 A. 1.29 66
A A. 1.29 egyenlet bal oldalán szereplő t kifejezve segítségével, kisebb átrendezés után az re meghatározott görbék:,. A. 1.30 arctg ω 1 2 A paraméterre kifejezett görbék megadásához 0 és 0 egyenletek A. 1.26 és A. 1.27 átrendezett alakját négyzetre emelve: 2 cosω cos ω 1, sin 4. A. 1.31 A. 1.32 Ez követően összeadva az egyenleteket és 2.1.26 kifejezést behelyettesítve megadható : 2 2 cosω 2 cosω 1 4, A. 1.33 1 4 2 1. A. 1.34 A fentiekben meghatározott görbék olyan tartományokra osztják az paramétersíkot, melyeken belül az instabil pólusok száma állandó. Ezt követően annak vizsgálata következik, hogy a görbéken áthaladva milyen irányban nő, illetve csökken az instabil pólusok száma. A gyökök képzetes tengelyen való áthaladási irányának meghatározásához a 0 karakterisztikus egyenlet helyettesítés melletti alakjára lesz szükség: 2 221 cos sinω 0 A. 1.35 Az egyenletet valós és képzetes részre bontva: ReDλ 21 cos 0, ImDλ 2 2 sin 0. A. 1.36 A. 1.37 A fenti két egyenletet ezt követően szerint kell parciálisan deriválni, figyelembe véve, hogy mind valós és képzetes rész is paraméter függő, tehát,,,. A valós részre: ReDλ 2 2 A fenti egyenlet zérus valós rész, 0 mellett: 2 1 cos A. 1.38 cos sin 0. 2 cos sin 21cos 0. A. 1.39 67
A képzetes részre: ImDλ 2 2 2 sin A. 1.40 A A. 1.40 egyenlet 0 ra: sin cos 0. 2 sin 2 cosω sinω 0. A. 1.41 Utóbbiból kifejezve t: sin 2sin. A. 1.42 2 cos Behelyettesítve az A. 1.39 egyenletbe megadható : sin sin 2 cos 12 cos sin 2 2 cos.a. 1.43 Mivel a nevező a két négyzetes tag miatt pozitív, előjelét a számláló határozza meg, így a továbbiakban csak ennek az előjelét szükséges vizsgálni. Felhasználva az 0, 0 egyenleteket sin és cos kifejezhető, és az A. 1.34 egyenletben re megadott görbét behelyettesítve számlálójába: 1 4 2 1, A. 1.44 sin 2, A. 1.45 cosω 1 1. A. 1.46 Egyszerűsítést követően a számláló az alábbi módon adható meg: sin sin 2 cos 12 cos 4 1 1 4 1. A. 1.47 Mivel és is pozitív, így a fenti kifejezés előjelét az 1 tényező határozza meg: 0, ha 1, 0, ha 1. A. 1.48 A. 1.49 Ha valamelyik görbék által határolt tartományban ismert az instabil pólusok száma, akkor a stabilitás térkép az egész paramétersíkra megadható. Ahhoz, hogy egy részterületen belül az instabil pólusok számát megadjuk, használható a A. 1.21 formula. 68
A.1.3 Szemi diszkretizáció Közönséges differenciálegyenletek esetében az egyértelmű megoldáshoz annyi skalár egyenletet kell megadni kezdeti feltételként, ahányad rendű a differenciálegyenlet. Ezzel szemben, mivel késleltetett differenciál egyenletek végtelen dimenziósak, megoldásukhoz végtelen sok kezdeti feltétel, egy kezdeti függvény megadása szükséges. A szemi diszkretizáció alapgondolata, hogy a kezdeti függvényt diszkretizálva, az eredeti késleltetett differenciálegyenletet véges számú elemi közönséges differenciálegyenlettel közelíti, mivel a késleltetett tag így intervallumonként konstans (A.1.3 ábra). A.1.3 ábra A numerikus módszernél alkalmazott lépésköz, az. mintavételezési időpont. Az időkésés felbontása, ezzel együtt az időkésés pontos értéke 1/2, ugyanakkor kellően nagy esetén közelítés elfogadható. A szemi diszkretizáció alkalmazása során a következőben az lesz a cél, hogy A. 1.50 alakú differenciálegyenletre ; intervallumon kapcsolatot teremtsen és között, formában. Hasonló kapcsolat található a többi egymást követő időpontra is. Így és között a következő áll fenn:,. A. 1.51 A. 1.52 69
A.1.4 Esztergálás stabilitás vizsgálata szemi diszkretizációval A szemi diszkretizáció során az A. 1.14 egyenlet időkésleltetett tagjait szakaszonként állandónak tekintve, T ϵ T ;T intervallumra a következő írható fel: 2 1, A. 1.53 ahol a későbbiek során az jelölést alkalmazom. Az egyenletet átírva elsőrendű rendszerré: 0 1 1 2 0 0 0. A. 1.54 Ez rövidebben megadható az alábbi formában:, A. 1.55 ahol: 0 1 0 0. A. 1.56 1 2 0 Ugyanakkor a késleltetett tagot célszerű átalakítani:,, 0 1, 0, A. 1.57 A. 1.58 A. 1.59 így jelentősen lehet csökkenteni a számítás során használt mátrixok méretén, mely gyorsabb futást eredményez. Az A. 1.55 megoldásához még szükséges egy kezdeti feltétel, melyet alakban adhatunk meg. A megoldást az állandók variálásának módszerével keresve: A. 1.60 alakban írható fel, ahol egyenlőre ismeretlen függvény. A fenti kifejezés idő szerinti deriváltja:. A. 1.61 Az A. 1.57 egyenletben bevezetve a jelölést, behelyettesítve A. 1.60 t és egyenlővé téve a fenti egyenlettel:,. A. 1.62 A. 1.63 70
Egyszerűsítés után kifejezhető:,, A. 1.64 A. 1.65 melyből kifejezésére a következőt kapjuk: ds. A. 1.66 Az kezdeti feltételt felhasználva konstans vektor meghatározható: ds ds, A. 1.67,. A. 1.68 A. 1.69 ismeretében az alábbi alakban adható meg: ds. A. 1.70 Ha invertálható, akkor az integrálás elvégzése után a megoldás ϵ ; intervallumra:,. A. 1.71 A. 1.72 A következő, időpontban kiértékelve megadható :. A. 1.73 Továbbá bevezetve és jelölést:,, A. 1.74 A. 1.75 a megoldás az alábbi egyszerű formában adható meg:. A. 1.76 71
Az A. 1.76 megoldás mátrixos alakban a következő: A. 1.77 0 0 0 0 0 0 0 A fenti összefüggés tömörebben és időpontok között:, A. 1.78 valamint megadható a rákövetkező időlépésekre is:,,, A. 1.79 A. 1.80 A. 1.81 ezzel kapcsolatot teremtve az diszkretizációs lépéssel későbbi érték és a jelenlegi között:,, A. 1.82 A. 1.83 ahol a stabilitáshoz mátrix összes sajátértékének abszolút értékben kisebbnek kell lennie, mint egy:,, 1. A. 1.84 Tekintettel arra, hogy és mátrixok konstansok, értékük nem változik az időlépések során, így minden mátrix azonos lesz: 1,2,,. A. 1.85 A stabilitáshoz ez esetben elegendő csak sajátértékeit vizsgálni, hogy abszolút értékben kisebbek legyenek, mint egy. 72
A.2 Marás stabilitásvizsgálata egy szabadságfokú modell esetén A marás folyamatára az egyik legegyszerűbb modell az A.2.1 ábrán látható egy szabadságfokú rendszer. A.2.1 ábra A szerszám az irányban rugalmas, tömege, csillapítását valamint merevségét jelöli, a forgácsoló erőnek is csak irányba eső komponense zérustól különböző. A rendszer az alábbi egyenlettel írható le:. A. 2.1 A szerszámnak darab egyenlően kiosztott foga van, ezekre a későbbiekben 1,2, index utal. Ahogy az A.2.2 ábrán látható, az egyes fogakra ható erő felbontható tangenciális és radiális összetevőkre, melyek a következő módon írhatók le:,,,, A. 2.2 A. 2.3 ahol és a tangenciális és radiális forgácsolási együtthatók, az axiális fogásmélység a forgácsvastagság a edik fognál, pedig az erőszámításhoz használt tapasztalati konstans kitevő. Az esztergálással szemben, marás esetén adott pillanatban nem vesz részt minden fog az anyagleválasztásban, ezt ablakfüggvény segítségével vehetjük figyelembe. Ennek függvényértéke egy, ha a vizsgált fog éppen vág, ellenkező esetben nulla. 73
Az ablakfüggvény mellett a forgácsvastagság, így a forgácsolási erő meghatározásához is szükséges az egyes fogak helyzetének ismerete, mely egyértelműen leírható a hozzájuk tartozó szöggel az alábbi módon: 2Ω 60 1 2. A. 2.4 A fenti szög értelmezése függ a megmunkálás módjától, eltérő ponttól mérjük egyenés ellenirányú marás esetén, ahogy ez az A.2.3 és A.2.4 ábrán is látható. A.2.2 ábra A.2.3 ábra: ellenirányú marás A.2.4 ábra: egyirányú marás 74