Gyors eljárások a diszkrét Fourier-transzformáció számítására II. rész

Gyors eljárások a diszkrét Fourier-transzforáció száítására II. rész DR. KOCSIS FERENC Budapesti Műszaki Egyete Híradástechnikai Elektronika Tntézet ÖSSZEFOGLALÁS A cíben egjelölt téával foglalkozó cikksorozatunk jelen, ásodik része elsőként az egydienziós DFT többdienzióssá való átalakításának lehetőségeit vizsgálja. Ezt követi a DFT és a periodikus konvolúció kapcsolatának vizsgálata. Végül gyors eljárást adunk a konvolúcjó száítására. 1. Az egydienziós DFT átalakítása többdienziós transzforációvá A dolgozat e folyóirat korábbi száában egjelent első részében a fokozatos részekre bontás eredényének értelezésénél kiderült, hogy az egydienziós DFT többdienziós transzforációvá és egységnyi abszolút értékű koplex száokkal való szorzásokká, úgynevezett forgatásokká alakítható át. A ásodik rész egyrészt a tisztán többdienziós transzforációvá való alakítás feltételeit vizsgálja, ásrészt a DFT száítását ekvivalens ódon olyan feladattá próbálja transzforálni, aely egoldására isert hatékony algoritus. Az irodalojegyzéket az 1. rész tartalazza, a hivatkozások száozása annak egfelelő. 1.1. -Az átalakítás feltételei Tekintsük először az l D és a 2 D DFT közötti kapcsolatot. Induljunk ki isét az N = N X -P felbontásból. Mivel inden egész c-re e J \ N C =1, ezért a definíciós egyenletben (1. rész l-l. összefüggés szereplő í és k indexek felbontásánál kiindulhatunk a következő alakból ([8] i= I x i x + odiv (l-l k = K x k x + k 2 od N (I x és egész állandók O^/^.Y, -1 '.. (K x és egész állandó 0= k x^n x -í 0= ;/c,=sp-l Terészetesen sok ásféle, a fentiektől eltérő felbon T tás is elképzelhető (akár nelineáris is, azonban, a gyakorlat szepontjából ezen lineáris kobinációk a legjelentősebbek. Az I x,, K x és állandókra az első feltétel, hogy az i (i x, és a k^~(k x, k 2 leképzések kölcsönösen egyértelűek legyenek. A definíciós összefüggésbe helyettesítve (1-2 X(K x k x + k 2 = X(k x, k 2 = V / r... -i(^(k 1/fi-f/ í 2(/ii 1 + / 2 - Z 2,x(I x i x + e w> Beérkezett 1984. X. 30. (~ DR. KOCSIS FERENC 1975-ben szerzett villaosérnöki diploát a BME Villaosérnöki Karán, ajd a Távközlési Kutató Intézetben kezdett dolgozni. Egyetei doktori értekezését 1978-ban védte eg. 1983 szeptebere óta a BME HEI-ben dolgozik tudoányos ösztöndíjasként, ahol a digitális jelfeldolgozás és jelszintézis algoritikus kérdéseivel foglalkozik. Szakai érdeklődési köre rendszertechnika, digitális jelfeldolgozás, száítástechnika, algoritusok elélete. (1-2 2 D DFT, ha felbontható egy z' 2 szerinti belső és egy i x szerinti külső összegre. Ez akkor teljesül, ha (1-3 e ~ i (^ (KiWi'a+Kziikzió = 1 -» K x k x + ( + I x i x k 2 = 0 od N. Mivel i x,, k x és k 2 változók, az összefüggés akkor áll, ha (1-4 Egy lehetséges egoldás (1-5 K X = 0 od N, AVi^Ood N. = a 2 N x h = b x P, I 9 = b 2 N x. P és N értékére nézve eddig seilyen ás feltevést ne tettünk, csupán hogy egészek és ~N=N X -P. Líégyen N x és P legnagyobb közös osztója A, azaz (N X,P = Z K i= la ip h = 2-b x p = Xa 2 n = lb 2 p (l*l-be helyettesítve és figyelebe véve, hogy N = Á 2 np (1-7 i=x{b x pi x -\-b 2 n od A 2 np, k= K(a x pk x + a 2 nk 2 od 7?np. Mivel i és 7c a (0, N í közé eső változók, ezért az (1-2 kongruenciák csak A=l esetben teljesülhetnek, azaz a fenti egoldástípus létezésének szükséges feltétele, hogy N x és P relatív príek legyenek ((N x, P = l. Hogy (1-2 valóban N X XP éretű 2 D DFT legyen, annak ásik feltétele, hogy a egaradó expo- Híradástechnika XXXVI. évfolya 1986. 1. szá 31

nenciális tagok e legyenek. Másképpen (1-8 k 2 = ill. e izk^n-l od AT. alakúak Az összefüggéseknek az i v, és k 2 változók inden értékére teljesülniük kell. A kongruenciákra érvényes alapvető azonosságokat alkalazva (1-9 K x I x = P od N ± = 0 od A\ K^sOodP (1-5 helyettesítése után adódik (1-10 és a 2 =l választással (2 egyenlet 4 iseretlen a x =l nel (1-11 a^psl od N v a 2 b 2 N 1 = 1 od P. l 2 =N x odp. A-.Psl od TV,, ^NiSlodP. Mivel (A7j, P = 1, alkalazható Euler tétele (1. FÜG GELÉK ( 1 b p<p(ni-l " 1 2 b 2 =N^p^' <p(n az Euler-féle 93 függvény, aely az N értéknél kisebb, ahhoz relatív príek száát adja eg (1. FÜGGELÉK. A részeredényeket összefoglalva ha N felbontásának a két tagja egyáshoz relatív prí, akkor az eredeti I-D DFT valód-d DFT-be alakítható át. A szükséges indexelést eghatározó összefüggések í== i\p*w+ zyv^ od N (1-13 k=k 1 P + k 2 N 1 od TV 0=sz' 2 <;P-l O^k.^P-1 Mivel (P, 7V 1 =1, teljesülnek a kínai aradéktétel ([17] feltételei, így az (l-l és az (1-3 összefüggések ralóban kölcsönösen egyértelű leképezést jelentenek i^-(i v és k-*-(k v /c 2 között. A fokozatos részekre bontás azután tovább folytatható, aíg csak P egyáshoz relatív príek szorzatára bontható, vagyis az ZV-pontos 1 D DFT száítása valóban visszavezethető N 1 -N 2 -... N n éretű n D DFT n száítására (N = JT A7-, és az N, száok egyással relatív príek. Az indexek értékeit kifejezések i= ij od Nj (1-14 n Nk. eghatározó Mivel az összes (iv (., 7V y párok relatív príek, így z és k eghatározása isét történhet ai egészekre vonatkozó kínai aradéktétel alapján, ai egyúttal biztosítja az i-»(i v..., í és a k-^fa,..., k n leképezések kölcsönösen egyértelű voltát ip. 32 1.2. Az egi/ütthatóátrixok közti kapcsolat Vizsgáljuk eg, i az összefüggés a kiindulásul szolgáló Í-D DFT 1. rész (1-2 szerinti XM N együtthatóátrixa, valaint az abból ekvivalens átalakításokkal előállított n D DFT egyes dienzióbeli együtthatóátrixai között. Először isét a kétdienziós esetből kiindulva [N=N 1 -P és (N v P = l] az (l-l összefüggéseket felhasználva kapjuk, hogy az együtthatóátrix eleei (1-1-5 ik od JV _ g-j (~j ik od.v w _ ( 2n\ / 2JÍ\ -jy-j/ci/iwii od N - j ^ j Kzhiikz od N Az (1-8 szerinti feltételeket behelyettesítve és elvégezve a lehetséges egyszerűsítéseket (1-16 w% o d N = e-íir ilklpl o d N - e-'i-w} 1^1 o d N = Kíhi Í/ÍI od N j (w e K8/aÍ2/ca od N A w ennyiségek alsó indexelése a végrehajtandó DFT pontszáát jelzi. A szorzatot az (i v k x és az (z' 2, k 2 szápárok inden szóba jöhető értékére képezni kell. wphoáp értékei viszont (0<z 2^P-l, 0-sA- 2 =sp-l éppen a P-pontos, 1-ű DFT együtthatóátrixát határozzák eg (1-17 {w izkz od P }=w P Azaz az (1-16 alatti szorzat értéke ikoán (1-18 W N = {w N } = {w Nl i^oán^-\y P. A kifejezés jobb oldalán álló érték viszont éppen két átrix (W N és W p Kronecker-szorzata. Mátrixok Kronecker szorzatának definícióját és annak néhány fontosabb tulajdonságát a 2. FÜGGELÉK tartalazza. A Kronecker-szorzatot az g>" szibólual jelölve az együtthatóátrixok közti kapcsolat (1-19 w N =w N w p. A Kronecker-szorzat asszociativitását felhasználva (2. FÜGGELÉK, P további páronként relatív prí tényezőkre való bontásával (P=N 2 -N 3 -..,-N N kiutatható, hogy az ekvivalens n D DFT egyes dienzióbeli együtthatóátrixai és az eredeti A 7 -pontos 1 D DFT együtthatóátrixa között az összefüggés (1-20 W W =W W 1 W W í... <g>wiv. A felbontás gyakorlati kivitelezésével kapcsolatban elékeztetni kell arra a korábban ár elített tényre, hogy a fokozatos részekre osztás egyúttal a kiindulási adatok átrendezését is jelentheti, aelynek következtében az eredeti W N átrix egyes sorai és oszlopai ég a felbontás előtt felcserélődnek. 1.3. A fokozatos részekre osztással elérhető jelfeldolgozási frekvencia Az 1 D n D átalakítás és a fokozatos részekre osztás eredényeinek felhasználásával kiutatható, hogy ily ódon a szükséges szorzások száa f(n = = 0(N log N rendig csökkenthető, ai jelentős

javulás (különösen nagyobb N-értékeknél a közvetlen kiértékelés 0(N 2 űveletszáához képest. Az elérhető / axj ei jelfeldolgozási frekvencia az 1. rész (1-4 szerint N=2 1 0 ~ 10 3 pontszánál az 1. rész (3-14 összefüggés alapján (I - 2I -*dáp = 2 3 7, 9 6 iíh " ai jelentős ugrást jelent a közvetlen kiértékeléssel elérhető frekvenciákhoz képest. A fokozatos részekre osztás ^ehetőségeinek a kierítésével felerül a kérdés, vajon léteznek-e ás, a gyakorlatban is alkalazható algoritusok, aelyek a fentieknél gyorsabbak (kisebb a szorzásigényük. Másik fontos kérdés, hogy a DFT száításának bonyolultságát a ár isert ódon definiálva létezik-e alsó korlát általános esetben a szorzások száára nézve, s ha igen, az hogyan érhető el. A feladat nehézsége iatt a továbbiakban egelégszünk az első kérdésben felvetett probléa vizsgálatával. Megutatható, hogy az algebra és a száelélet eszközeinek a felhasználásával valóban száraztathatók az előbbieknél hatékonyabb algoritusok. A következőkben a DFT száítását olyan ekvivalens feladattá transzforáljuk, aely egoldására isert hatékony eljárás, vagy viszonylag könnyen készíthető ilyen. Ezen elvet követve vizsgáljuk a konvolúció és a DFT eghatározása közti kapcsolatot. 2. A DFT és a periodikus konvolúció kapcsolata Legyen {x(i} és {h(i} két véges, általános esetben koplex (OsísiV-1 sorozat. Lineáris konvolúciójukon a in(aí 1, i (2-1 y(i = 2 h(i-k-x(k A=ax(0,i-Af+1 0<í,s2N-2 sorozatot értjük. A két sorozat periodikus konvolúcióját definiáló összefüggés (2-2 y(i = N Z h(i-k-x(k O^i^N-í. li=0 A DFT-t átrix alakban definiáló 1. rész (1-2 összefüggésben a W N együtthatóátrix {«#} = {e-j(f«} eleei helyett a inden egész c-reérvényes e-i(f^l azonosság iatt elegendő az e-i (^- (ki od N értékekkel száolni. A od N űvelet alkalazásával előállított, úgynevezett redukált kitevőátrix ír \ i 0 1 2 3.(N S (N -2 (N -1 (2-3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3... (N-S (N-2 (N-I 2 0 2 4 6... (N-6 (N-4 (N-2 3 0 3 6 9... (N-9 (N-6 (N-3 (N- 3 0 (AT-3 (N-6 (iv-9 9 6 3 (N- 2 0 (N-2 (2V-4 (N-6 6 4 2 (N- 1 0 (N-l (N-2 (N-3 3 2 1 Az első sorral és az első oszloppal nincs it tenni. Jelentése X(0 igen egyszerűen száítható, csupán koplex összeadásokat felhasználva (x(0= 2^(o]- A többi transzforált felírható a következő alakban X(k = x(0+ N 2x(iX z^iw" 1 (l^k^n-1. A zérusokat tartalazó első sor és az első oszlop elhagyása után a redukált transzforáció átrixalakban (2-4 X^W^-X' Rí!i}= W, ki od N í^k^n-í X(l l<z==n-l. X(N-1. X(l X(N-l. A W N-l átrix eleeinek kitevői a od N aradékosztályba esnek. Mérete (N lx(n-l. A transzforált sorozat (X' egyrészt ne tartalazza X(0 értékét, ásrészt X'(k = X(k-x(0 (l^k=s 33

Az (N l pontra vett periodikus konvolúció átrixalakban (2-5 y = H-x "y(0 A(0 h(l.. /i(tv -2" ~x(0 y(i /Í(2.. A(0 ii(n-z /j(tv-3 h(n-2.'.. /i(7v -4 x(n- 3 y(n-2 h(n-2 A(0.. A(TV -3 x(n- 2 A II átrix eleeinek egy lehetséges előállítása az indexek közti összefüggés alapján (2-6 {h ki } = {h((k+ i od N-l}. Azon eleeket, aelyekre a legkisebb periódus éppen <p(n értékű, priitív gyököknek nevezzük. Isert száeléleti eredény (Gauss [1] szerint priitív gyökök csupán N = 2, 4, p, p k és 2p k értékekre léteznek, ahol p páratlan prí. A priitív gyökök fontosságát száunkra az a tény adja, hogy TV prí esetén cp(n=n l, azaz létezik olyan a egész (a priitív gyök, aelyre az a 1 od N sorozat egy periódusa az (1, 2,..., N l száok valaely perutációja, azaz kölcsönösen egyértelű létesíthető z és (a' od N között. Az (2-9 (a 1 od N = (a ioá i>w od 7V = leképezés Összehasonlítással látható, hogy a DPT akkor tekinthető periodikus konvolúciónak, ha a W^í_ 1 együtthatórnátrix indexelése is egfelel a periodikus konvolúció indexelésének. A egfelelő indexsorrendek a sorok és az oszlopok ekvivalens felcserélésével esetlegesen is kialakíthatók. Célszerűbbnek látszik azonban sziszteatikus eljárást keresni a egfelelő átrendezésre. Az első felerülő kérdés létezik-e egyáltalán ilyen átrendezés, és ha igen, ilyen feltételek ellett. Az átrendezés definiálható leképzésként is. Eszerint keresünk olyan leképzés(eket, aely(ek az indexek odulo TV vett szorzatát az indexek odulo (N l szerint vett összegébe képezik le. Tekintsük az a' od N (a pozitív egész alakú sorozatot, ahol í zérustól kezdve végigfut a terészetes száokon. A sorozatban álván csak véges száú különböző ele szerepel (a lehetséges aradékosztályok száa N. A sorozat egyetlen eleel (a generálható. Euler tételének (1. FÜGGELÉK felhasználásával kiutatható, hogy a sorozat periodikus. Tekintsük az (a, TV=1 esetet [az (a,.v 1 eset erre visszavezethető]. Ha a sorozat P értékkel periodikus, akkor (2-7 (a' od N = (a i+p oá N = ((a 1 od N (a p od N od A r. Összehasonlítással adódik, hogy a p od N=l. Euler tétele értelében ilyen P biztosan létezik. P = q(n, ahol cp az Euler-féle száeléleti függvény. Legyen d a legkisebb periódus. Mivel (a od N=í, ezért (a" od N, (a kd od TV = 1. Nyilván (é od JV ^ ^1, ha dfi, ivel egyébként létezne d értéknél kisebb periódus. Ezért d\<p(n. Az Euler-tétel ásik fontos következénye, hogy (2-8 (a' od A T = (a 1 o d " W od N. összefüggés alapján = (a ioá ( w_1 > od N. 7c= a' 1 od TV,., X T,..,, T. (2-10 k-i od TV = (a lí+la od N = í= a' 2 od TV = ( ati + Í2 od (N-l o d N ^ ai pontosan a keresett leképzés. A priitív gyökök előállítására sziszteatikus ódszer ne isert. Ha egy szához létezik priitív gyök, akkor ugyanazon értékhez több priitív gyök is tartozhat. Néhány príszá legkisebb priitív gyökét az 1. FÜGGELÉK tartalazza. Példaként ugyanott látható az i a'od TV leképezés TV = 7, a = 3 esetre. A priitív gyökök fogalának felhasználásával ár könnyen egutatható, hogy N prí volta esetén az TV-pontos DFT ekvivalens ódon átalakítható periodikus konvolúcióvá. A bizonyítás egyúttal egadja az átalakítás algoritusát is ([24]. Isét az 1. rész (l-l alatti definíciós összefüggésből kiindulva száítsuk X(0 értékét külön, és a többi tagban is kezeljük külön X(0-t, azaz!<v-i x(o>= z i = 0 (2-11 JV-l X(k = x(( + 2 x(iw ki 1</Í<7V-1 és (/.-, 7V=1.! = 1 A priitív gyökök létezését kihasználva változócserét végrehajtva (2-12 A-(«*odA0 i-*(a~ i od A 7. Mivel (a*< N od7v = l (Euler-tétel, ezért (a~ l od TV = (a^a,_ ' od N. Az első változócsere (/< az egyenletek átszáozását jelenti, íg a ásik (Í az összegzésen belül a tagok átrendezését. (2-13 X(a' odtv = JV-l = x(0 + 2 x ( a ~ l o d N w o d N = i = l JV-.1 = x(0 + 2 o d N^k~ o d N, 34 Híradástechnika XXXVI. évfolya 19S5. 1. szá

hosszú vagyis X(a*odN éppen egy (p(n = N l ságú (N prí periodikus konvolúció. Ha N = p k (p páratlan prí, az átalakításnál nehézséget okoznak p többszörösei. Az előzőekhez hasonlóan kiutatható, hogy az N = p k pontszáú DFT száítható 1 db //~ x (p 1 hosszúságú, 2 db p k ~ 2 (p 1 hosszúságú,... és p k ~ l db (p 1 hosszúságú periodikus konvolúcióként. A fejezet elején kijelölt célokat elértük kiderült, hogy a DFT azon esetekben, aikor a transzforáció N pontszáa prí, vagy páratlan príszá hatványa, visszavezethető periodikus konvolúció száítására. 3. Gyors eljárás a konvolúció száítására A DFT száításához szükséges szorzások száának (f(n csökkentésére irányuló algoritikus ódszerek közül a fokozatos részekre osztás lehetőségeinek kierítése után egy lehetséges stratégia az eredeti feladat visszavezetése ekvivalens ódon olyan feladatra, aely száítására ár isert, vagy található hatékony algoritus. Az előzőek szerint a DFT eghatározása ekvivalens a periodikus konvolúció száításával, ha N = 2, 4, p, p k vagy 2p k, ahol a p páratlan prí. 3.1. Gyors eljárás a lineáris konvolúció száítására Legyen {x(i} és {h(i}} két időtartoánybeli, N pontból álló véges sorozat, aely tagjai akár koplexek is lehetnek. Legyen H(z és X(z két (N l d fokú polino (3-1 H(z = N 2h(iz l = h(0 + h(lz... +h(n-lz N - í '=0 X(z= 2 x(iz i = x(0 + x(lz+... +x(n-\z N ~ 1. i = 0 A polinook együtthatói a sorozatok tagjai (forailag a két polino egegyezik a két sorozat Laplaceféle z-transzforáltjával. Az időtartoánybeli lineáris konvolúciónak egfelel a két polino szorzása (3-2 Z{y(i=Z{h(i* x(í = Y(z=H(z-X(z, ahol Y(z egy (2N 2-edfokú polino, aely együtthatói az {x(i} és a {h(i} sorozatok konvolúciójának eredényéül adódnak 2N-2 (3-3 Y(z= g 2 yov=sko+y(xz + + + y(2n-2z N ~ 2. Ezek szerint az y(i = [i/(0, y(l,..., y(2n -2] konvolúciós sorozat eghatározása visszavezethető két (N l-edfokú polino szorzatával eghatározott polino együtthatóinak előállítására. Too ([26] tétele szerint két (N l-tagú sorozat időtartoánybeli lineáris konvolúciója eghatározható (2N 1 db szorzással (a racionális szátestbe tartozó, előre isert állandókkal való szorzásokat ne száítva. A bizonyítás elvégezhető a kiszáítási eljárás egadásával. Az algoritus s szakirodaloban Too Cook-eljárás néven iseretes (pl. [5]. Az {x(i} és a {h(i} sorozatok (3-2 és (3-3 szerint egyértelűen eghatározzák az Y(z polinoot. A Lagrange-féle interpolációs tétel állítása viszont kiondja, hogy tetszőleges (2N 2-edfokú polinoot egyértelűen eghatározza (2N Í pontban felvett értéke. Ha Y(z a keresett polino, akkor a z, (0=sí<2A r 2 pontokban felvett Y(z, értékek iseretében Y(z előállítása (3-4 2AÍ-2 ( 7_ Y(z = 2 Y(z,n j ~ í = 0 tjth \Z t - h Az összefüggés jobb oldala az isert Lagrange-féle interpolációs polino. (3-2 szerint Y(z í = H(z j -X(z i (0< i<2n 2, azaz Y(z valóban előállítható (2N 1 db H(Zj-X(Zj szorzat iseretében (az összegben álló szorzattag kifejtése után Y(z keresett együtthatói az Y(z i értékek lineáris kobinációiként adódnak. A száítás egyszerűsíthető a z t értékek ügyes választásával. Az eljárás leírható átrixos jelölésóddal is. Legyen x=[x(0, x(l, x(n-lf, /i=[ft(0, h{l,..., h(n l] T. Definiáljuk az A együtthatóátrixot a következőképpen (3-5 A = (3-6 Ekkor 1 Z 0 Zq -N-l ZQ 1 z x z x. *1 1 z 2 z Z 2 i ZiN-2-2N-2 z 2N-2 Ax = [X(z 0, X( Zl,... X(z 2N _ 2 f Ah = [//(z 0, H( Zl, H(z 2N _ 2 V. Bevezetve az = [Y(z 0, Y(z 1,..., Y(z 2N _ 2 T segédvektort, = (Ah O (Ax, ahol a, O' szibólu az eleenkénti szorzást jelenti. Az interpolációs forulából következően Y(z együtthatói valóban az {(i} értékek lineáris kobinációi, azaz (3-7. y=c, ahol C egy (2N-lX(2iV-l éretű átrix. C eleei racionálisak, ha a z t értékek is racionálisak. 3.2. A periodikus konvolúció száítása Az {x(i} és a {h(i} sorozatok periodikus konvolúcióját leíró {y(i} sorozathoz (0=si==Af 1 a (3-1 és a (3-2 összefüggésekhez hasonlóan hozzárendelt Y(z polino fokszáa a definícióból következően (A^ 1. Előállításának ódjából következik a definiáló összefüggés (3-8 Y(z = H(z-X(z od (z N -1. Helyessége egyszerű polinoosztással belátható (ií(z-x(z od z w 1 éppen a (z N 1 polinoal valós osztás aradékát ielenti és 35

(3-9 H(z.X(z=2 z l 2x{i-k-h(k + 1=0 k = 0 N-2 N l +z N 2 2 x(n-k+i-h(k (felhasználva az isert 2 fi^i N azonosságot. i=i Winograd azt is kiutatta, hogy a szükséges szorzások iniális száa valóban 2N K=0(N. A iniális száú szorzást igénylő algoritusok száraztatását egkönnyíti, hogy az eredeti Y(z= =H(z-X(z od (z N 1 periodikus konvolúció több kisebb pontszáú Y d (z=h(z-x(z od P d (z = H d {z-x d {z od P d (z konvolúcióra vezethető viszsza, ahol H d {z=h(z od P d (z, ül. X d (z=x(z od P d (z. A H^-XJ^z szorzat értéke a Too Cook-algoritussal vagy egyéb sziszteatikus eljárással eghatározható. Az A és a C átrixok bonyolultsága következtében azonban ég kis N értékekre is érdees az optiálistól kisértékben eltérő algoritusokat keresni. Az eltérés eredényeképpen az A és a C átrixok eleei egyszerűsödnek, ai egkönnyíti a gyakorlati egvalósítást. Ára a szorzások száának kisértékű növekedése. H{z-X(z od (z N -l=z N ~ 1 ' x(n-l-k h(k + k=0 + N z l j? x{i-k.h{k+ 2 x(n-k+i-h(k. N í=0 lc=0 *=i+l Vegyük észre, hogy a polino együtthatói valójában az (x(i} és a {h(i}, N pontból álló sorozatok periodikus konvolúciójának felelnek eg, azaz a periodikus konvolúció száítását két polino szorzata egy speciális polinoal való osztási aradékának eghatározására lehet visszavezetni. Winograd tétele ([27] kiondja, hogy az Y(z = =H(z-X(z od (z N 1 periodikus konvolúció kiszáításához 2N K db szorzás szükséges, ahol K pontosan N osztóinak száa. A szorzások száának eghatározásánál a racionális szátestbe tartozó, előre isert állandókkal való szorzásokat ne száítottuk. A bizonyítás (pl. [5] isét egad egy lehetséges kiszáítási ódot. A (z N 1 polino felbontható egész együtthatós, a racionális szátestben egyébként felbonthatatlan polinook szorzatára (3-10 z»-l = P dl (z.p d2 (z...p d Xz (d,. iv. A Pd,( z polinook a száeléletből isert, úgynevezett ciklotoikus polinook. Fokszáuk <p(d,, ahol <p az első részben ár elített Euler-féle száeléleti függvény. Mivel deg (Y(z<7V és a Pd,( z polinook egész együtthatójúak, teljesülnek a polinookra vonatkozó kínai aradéktétel (3. FÜGGELÉK feltételei, vagyis Y{z egy lehetséges előállítása Y(z = Í2%(z B d (z] od (z N -1, (3-11 Y d (z=[h{z-x{z} od P d (z és B d (z = [(z»-1/p d (z ahol.{l/{(z"-l/p d (z} od P á (z. Az Y d (z=h(z-x(z od P d (z konvolúciók az előzőek szerint legfeljebb 2<p(d 1 szorzással eghatározhatók [Y d (z fokszáa 95(d-nél biztosan ne nagyobb]. Mivel az eredeti konvolúció K db ilyen konvolúció összegeként száítható, a szükséges szorzások száa ne több, int 2 2<p{d \=2N K 36 3.3. Példa a periodikus konvolúció kiszáítására Példaképp határozzuk eg az optiális száítási eljárást iv=6 esetére. A keresett periodikus konvolúció (3-12 ff(0= 2Hi-i-x(j; O ^ Ú S Ö ; x( 2 = Polino alakban ~5 5 ; = 2x(jzi és H(z= 2 HÍV (3-13 Y(z=H(z-X(z od (z 6 -l (a keresett y(i értékek az Y(z polino együtthatói. N osztói d = í, 2, 3 és 6, így az osztó polino felbontása (z«-1 = P 1 (z.p 2 (z-p 3 (z.p 4 (z = = (z-l(z+l(z 2 -z+l(z 2 + z+l. A szükséges segédennyiségek H 1 (z=h(zoáp 1 (z^2 H 2 {z = H(z od P 2 (Z==/I(0-/I(1+/I(2--/I(3 + +/Í(4-/!(5 H z (z=h(z od P 3 (z={/i(0 - h(2+h(5-7i(3} + +z{h(í-h(4+h(2-h(5} tf 4 (z = H(z od P 4 (z = {/i(0 - h{2 + h(3 - h(5} + +z{/i(l-/i(2+/i(4-/2(5}. Az X,(z = X(z od P/z (l=sí=s4 ennyiségek azonos felépítésűek. A kínai aradéktétel segédpolinojainak eghatározása Bjfz =\-(z+1(* 2 - z +1(^2 + 2 + 1 B 2 (z 1(* 2 - * + 1 X* 2 + z + 1 B 3 (z=-~(z-l(z* + z + l B 4 (z = l(z + l(zs-z+l. A szorzások száának iniálásához az {x(i} és a {h(i} együtthatókból képzett értékek * 0 =[/ I (0-A(2+/z(3-A(5]/6 x 0 =x(0 - x(2+x(3 - x(5 A 1 =[A(l-A(2+/i(4-A(5]/6 x x =x(í - x(2+x(4 - x(5 h 2 =h x h 0 x 2 x a x x

A 3 = [A(0-A(2+A(5-A(3]/6 x 3 =x(0 - x(2 + x(5 - x(3 ft i =[A(l-A(4+A(2-A(5]/6 x 4 =x(l - x(4 + x(2 - x(5 h 5 =h z +hi x 5 = x 3 + x 4 A 6 = [A(0 - A(l+A(2 - A(3 + A(4 - A(5]/6 x 6 = x(0 - x(l + x(2 - x(3 + x(4 - x(5 1. táblázat N N-K M f(n = %M A r=2ac + 5M 2 2 2 2 4 6 28 3 2 4 4 11 12 42 4 3 5 5 15 15 55 5 2 8 10 35 30 120 2 Ki j=0 /6 A.z y,( z segédpolinook j=0 6 4 8 8 44 24 122 7 2 12 19 72 57 239 8 4 12 14 46 42 162 Y 1 (z = H 1 (2-X 1 (z od P 1 (z = 6A 7 ac 7 Y 2 (z=h 2 (z-x 2 (z od P 2 (z = 6ft 6 x 6 YJz = H a (z.x a (z od P 3 (z = 6(.V! s -x 3 /! 3 z + + 6(X 3/Í 3-X 4/Í 4 y 4 (z=ií 4 (z-x 4 (z od P 4 (z = 6(x 2 / -x 0 A 0 z + ^h^i + 6(x 0 /! 0 -x 1 /i 1 0=sís=7, végül az Y(z polino keresett együtthatói j/(0 = {( 0 - - (,+/n 2 } + + {(/n 3 - /7? 4 - (. t - 4- ( 6 + 7 Í/(1 = {( 0 + 2 + ( x + 2 } - - {( 3 - s + ( 4 } - ( 6-7 ff(2 = ~ tt o ~ i + ( o + 2>} - - {( 3-4 + ( 3 - s } + ( 6 + 7 i;(3 = {( 0 - - ( x + 2 } - - {( 3-4 - ( 4 } - ( 6-7 y(4 = {( 0 + 2 + ( x + 2 } + + {( 3 + ( 4 } + ( 6 + 7 y(5 = - {( 0 - j + ( 0 + 2 } + + {( 3-4 + ( 3 } - ( 6-7. A szükséges szorzások száa 8 (2A T K=2-6 4 = 8, az összeadásoké pedig 44. 3.4. A periodikus konvolúció száítására szolgáló gyors eljárások értékelése A polinookra vonatkozó kínai aradéktétel felhasználásával kapott eredényeket AT=2, 3, 4, 5 és 7 pontszáokra a 4. FÜGGELÉK tartalazza ([5]. Az ott leírt algoritusokhoz szükséges szorzások és összeadások száa az 1. táblázatban található (az eléleti iniu terészetesen 2N K. Az összeadások száa az asszociativitási tulajdonság felhasználásával ügyes csoportosítással esetlegesen csökkenthető. Egyelőre azonban ne iseretes az összeadások iniális száára vonatkozó tétel, ill. sziszteatikus eljárás száuk iniálására. Nagy N értékekre az optiális algoritus száraztatása igen nehézkessé válik. A C átrix egyes eleei igen nagyok lehetnek, és a szükséges összeadások száa is hirtelen egnő. Ugyanakkor az optiá- 9 3 15 22 98 66 306 A C a koplex összeadások száa, M a koplex szorzások száa, A R a valós összeadások száa. listól kisértékben eltérő (a iniálisnál valaivel több szorzást tartalazó algoritusok bonyolultsága is lényegében 0(N. Másik lehetőség az egydienziós konvolúciót többdienzióssá alakítani úgy, hogy az egyes dienziók éretének szorzata éppen az egydienziós konvolúció éretét adja. A DFT eghatározása szepontjából azonban elegendő néhány kis (lehetőleg prí, vagy príhatvány pontszára eghatározni a lehetőleg optiális konvolúciós eljárást, ert az 1 D DFT biztosan többdienzióssá alakítható át, ha a pontszá egyáshoz relatív prí tényezők szorzatára bontható. A gyakorlati esetekben fontos pontszáok esetén azonban N általában néhány, viszonylag kicsi, egyáshoz relatív prí szorzatára bontható. A konvolúciót optiálisan száító algoritusoknak hasonlóan nagy jelentősége van, int a DFT eljárásoknak. A szükséges szorzások száának csökkentése ugyanis itt is a kötött idejű jelfeldolgozás axiális frekvenciájának a növekedésére vezet (pl. véges súlyfüggvényű szűrőknél, int a DFT alkalazásán alapuló eszközöknél. (A cikk ugyanezen folyóirat későbbi száában folytatódik. 1. FÜGGELÉK Euler-tétel Ha (x, N = í, akkor X9< N 1 = Í od N. q>(n az Euler-féle g?-függvény. Jelentése azon értékek száa, aelyek N-nél kisebbek és ahhoz relatív príek. Definíciószerűen <p(l = 1. Ha N prí, nyilván <p(n=n l. N=p a (príhatvány esetén egyszerű leszálálással kiutatható, hogy <P(N=<p(p*=p*- 1 (p-l. Bizonyítás nélkül az általános összefüggés <p(n-re, ha a törzstényezős felbontásból indulunk ki, azaz N = }jpf i=l 37

akkor <P^nPfj^.IT<P(Pf- Példa Legyen x = 7 és A 7 =6. Ekkor (x, 7V=1. Az A' értéknél kisebb egészek 1, 2, 3, 4 és 5. Ezek közül (1, 6 = 1 és (5, 6=1, azaz <p(n = 2. Euler tételét felírva (x^- v > od A 7 = (7 2 od 6 = (49 od 6 = 1. Néhány príszá legkisebb priitív gyöke p a P a J> «í> í' a í? í/ í> a 2> a 2 1 11 2 23 5 41 c 59 2 73 5 97 6 109 6 8 2 13 2 29 2 43 3 61 2 79 3 101 2 113 3 5 2 17 3 81 3 47 5 67 2 83 2 103 5 127 3 7 2 19 2 37 2 53 2 71 7 S9 3 107 2 131 2 Az i^a'oún leképzés N 7, a = 3 esetén (l^írsfi J 1 2 3 4 ti «' ór! 8 2 6 4 6 2. FÜGGELÉK Mátrixok Kronecker-szorzata Definíció Két átrix (A és B Kronecker-szorzatán (direkt szorzatán a következő kifejezést értjük A B = a u B a 1 2 B... a ln B ö 21^ ö22 B ű 2/iB 7. (A B - 1 = A~ 1 B - 1 8. A< 2 = A<gA (hatvány definíciója A* +1 = A A* = A* A (AB* A*-B A " inden A és B átrixra. 3. FÜGGELÉK A polinookra vonatkozó kínai aradéktétel Legyen A(z egy véges tér felett definiált N-edfokú polino, aely K db egyáshoz relatív prí, ugyanazon tér felett értelezett polino szorzatára bontható A(z = A 1 (z-a 2 (z...a k (z. Legyen deg A t (z = A 7,(z az A t {z polino fokszáa, és N=JJNi. Akkor adott fi/z (0=sdeg B 1.(z<AT f és í=i 0=sí</v polinookhoz létezik olyan egyértelű B(z polino, aelyre deg [B(Z]<N, és B t (z = B(z od >4,(z. A B(z polinoot eghatározó összefüggés B ( z =[k B&>Ci(? od A(z, ahol a C,(z segédpolinookat definiáló egyenlet A(z 1 Q(*=- A,(z W*M,(zJ od A,^ " 4. FÜGGELÉK A koplex összeadások száa, M koplex szorzások száa. Algoritus 1. N = 2, M = 2, A =4. a 0 = (A(0 + A(l/2 fc 0 = x(0 + x(l /n 0 = ű 0 6 0 y(0 = 0 + 1 Az A átrix érete Xn, íg az A(gB átrix kxnl a B átrix érete kxl, nagyságú. Fontosabb azonosságok (bizonyítás nélkül 1. A<gB b u A t\ 2 A... b lt A~ b 21 A b 22 A...b n A LKA * 48 A. A definíciós összefüggéssel összehasonlítva látható, hogy a Kronecker-szorzat ne koutatív. 38 2. A B C = (A B<g>C=A (B C (asszociativitás 3. (A + B (C + D = A C+A D+B C+B D (disztributivitás 4. (A B(C D = (AC (BD 5. (A 1 B 1 (A 2 B 2 <g... <g>(a B n = = (A 1 B 2... <8> A n -(B l( 8B 2 <8... B 6. (A B r = A T B T a i = (A(0-A(l/2 &j=x(0-x(l ^a^ Algoritus 2. A = 3, M = 4, A = 11 «o = (W + A(2/3 & 0 = x(0 + x(l + x(2 o="o''o = A(0-A(2 a 9 = A(1-A(2 a3 = (n] + «2 / 3 í» 1 = x(0 x(2 1 = a 1 & 1 ft 2 = x(l-x(2 2 = a 2 b 2 l>i + b 2?/( = o + ( i - s í/( 1 = 0 - ( i - s - ( 2-3 //(2 = 0 + ( 2-3 Algoritus 3. N = 4., M = 5, A = 15. rn. a 0 =((A(0 + A(2 + (A(l+A(3/4 6 0 = (x(0 + x(2 + (x(l + x(3 a 1 = ((A(0+A(2-(A(l + A(3/4 Aj = (x(0 + x(2 - (x(l + x(3 a a =(A(0-A(2/2 A 2 =(x(0-x(2 + x((l-x(3

a 3 = ((A(0-/»(2-(A(l-/i(3/2 fl 4 = ((h(0-a(2- r -(/ l (l-a(3/2 í> 3 = x(0-x(2 > 4 = x(l-x(3 i = a i b i 0<í'<4?/(0 = 0+, + ( 2-77? 4 y(2 = ( Q + x - ( 2-4?/0 = ( o + ( 2 - '"a,'/( 3 = ( o - "'i - ( í - i Algoritus i. TV =5, M = 10, A = 35. Ö0 = (ÍM0j Ű! = A(0-A(4 a 2 = A(l-/i(4 a 3 = A(2-A(4 a 4 = /i(3-72(4 05 = ^ + 02 a 6 = a 3 + a 4 ^fli + ag «8 = ö 2 + 4 a 9 = (a.-, + a 6 /5. A 6 0 í> 9 ennyiségek hasonló felépítésűek, elhagyva az állandókkal való osztást. i = afi l 0ÍSÍ'ÍS9?/( = ( o - g + ( i - i> ~ z + y(2 = (/TÍ 0-9 + ( 2-77i 3 - /j7j. +, y(í = ( 0-9 - ( t - ni 4-2 + 5 y(4 = ( 0-9 -(/n 2 -/n 3-4 + s y(3 = ( 0 + 0 + ( 0 4-0 + + 7/7 0 -y(0-? /(l-? /(2-í/(4. Algoritus 5. A r = 6, Aí=10, A = 35. Lásd a 2.3- beli példát. Algoritus 6. N = 7, M = 19, A = 72. a 1 = A(0-A(6 a a = 7i(l-A(6 a 3 = /j(2-/i(6 «4 =A(3-7i(6 fl&=a(4-/í(6 a fl = ft(5 = A(6 ö 7 = a 1 +a 4 a 8 = a 2 --a 5 a 9 = n ;l + a 6 n lü= a i+ a 2 «13 = f l [ 4+«5 a u =a 2 + a 3 ai4 = a 5 + a 6 6 a i2 = C [ l+ a 3 «4 + 05 a 10= a 10+ ö 13 = a n + a i a l g = (n ; + cr 17 /7 fl, o = öi8 + A(6 / is- = b i + l> n *o = 6 w + *( 6 + «6 + x(6 + (x(6 +1(6 + + (x(6 + x(6. b x b XJ hasonló felépítésűek, int Oj o 17 csupán a h(i ennyiségek helyett az x(i ennyiségeket tartalazzák. KflCHOM KiftOM Teleko" rádióelektronikai és hírközlő eszközöket, híradástechnikai alkatrészeket és űszereket, valaint űszaki szolgáltatásokat exportáló és iportáló külkereskedeli társaság. VITIO TELEKOM" Szófia Bulgária Wasington u. 17. Telefon 86-18? Telex 022075, 022076 u 0 = 0-18 u x = 1 u 2 =, + 6 u 3 = 1 + rn 3 w 4 =. 2 - /n 6 fz 5-2 -f! + 4 + + 5-8 zi 6 = u 0 -u 3»-, =» + " 5 i/(0 = u 0 +u 1 -» 2-3 + y +, 3 Í;(1 = // - u x - u 2-2 + 1 0 +, s i/(2 = «6 + z; 4 + 1 2 + u z/(3 = zz 6 - w 4-4 + 1 + n //(4 = zz 7 +, -, - 1 0-1 3 + 16 Í/(6 = zz 7 + 6 - /n 9 - n - 1 4 + 7 y(5 = ( 0 + 0 + ( 0 + 0 + ( 0 + 0 + + o -y(0 - y(l - y(2 - y(3 - y(4-1/(5 - f/(6. 39