Öt előadás a fza történetéből, 2 A mechana elve Az első előadásban a program megfogalmazása mellett a mechana newton tárgyalásával és a mozgásegyenleteből övetező megmaradás tételeel foglaloztam. Ismétlésént most s rámutato arra, hogy ez a tárgyalás az alaptörvényeet dfferencálegyenlete alajában fogalmazza meg, am lehetővé tesz, hogy a ezdet állapot és a örnyezettel való ölcsönhatás smeretében az egyenlete megoldásával bármlyen ésőbb dőpontra elmélet úton meghatározzu a mozgó test mechana állapotát. A newton mechana tehát egy determnsztus elmélet. Enne a tapasztalat által megerősített elmélet mechanána a tudományos gondolodásra és a matematán alapuló egzat utatás módszere elterjedésére órás hatása volt. Mntegy ét évszázadon eresztül so váló matematus érdelődése rányult mechana problémá felé, és tulajdonéppen enne eredményeént alault az ún. lasszus elmélet mechana, amely az elmélet fza tanulmányona ma s az alapját épez. A fzában használatos alapvető fogalma jelentős része tt erül bevezetésre. Az említett matemata jellegű utatáso nemcsa egy-egy fza probléma megoldásához járulta hozzá az elmélet teljes építéséhez, hanem az alapegyenletene más alaban való megfogalmazását s adtá. Így eletezte a mechana elve. Eze egyenértéűe a Newton-féle mozgásegyenleteel, de soszor előnyösebb a használatu, mert ülönösen ényszermozgáso esetén önnyebben ezelhető, másrészt a mozgástörvény általánosabb érvényű megfogalmazását tesz lehetővé. Pl. a Hamlton-elv a oordnátarendszertől független egyetlen egyenlet alajában adja meg a mozgástörvényt. Elmélet szempontból rendívül elegáns az a tárgyalás, amely a mechanát eze alapján, a tapasztalat által megerősített axómára alapozott módszerént tárgyalja. (A Landau-Lfsc Elmélet fza tanönyvsorozat ezt az utat választja.) A ma alalommal a mechana elveből vesze elő néhányat, amelye önmaguban s fontosa és szépe, és ezeen túl a fza más fejezeteben s szerepet játszana. Ilyene például a Hamlton-féle varácós elv és a anonus változópároat használó anonus egyenlete. A vrtuáls muna elve Gondoljun el N anyag pontból álló mechana rendszert. Az -ed tömegpont helyvetorát r vel, a rá ható erőt F vel jelöljü. Legyen δr az -ed anyag pont olyan elgondolt lehetséges elmozdulása, amelyet a ényszerfeltétele megengedne. A δr t vrtuáls elmozdulásna nevezzü. (A δr vrtuáls elmozdulás dőtartam nélül (δt = 0), csupán elgondolt, nem valóságos elmozdulás.) Azt érdezzü, hogy a rendszer mlyen feltétele mellett lesz egyensúlyban. A orább de vonatozó vzsgálato eredményet általánosítva, Jacob Bernoull fogalmazta meg a mechana egyensúly legáltalánosabb elvét, amely szernt a rendszer aor van egyensúlyban, ha a rá ható erő δa = F δr (1) 1
ún. vrtuáls munája zérus, vagys, ha F δr = 0. (2) Ha a rendszer teljesen szabadon mozoghat az erő hatása alatt, aor a δr elmozduláso tetszőlegese, és ezért a (2)-ből övetez, hogy F = 0 ( = 1,2,3,...,N). (3) A mechana egyensúly állapotában tehát mndegy tömegpontra ható erőne zérusna ell lenne. Ha az anyag pont nem mozoghat szabadon, a δr lehetséges elmozduláso nem tetszőlegese, hanem ényszerfeltételene vanna alávetve. Ilyenor a (2) egyensúly feltételhez egészítő egyenlete járulna, amelyeet a δr -ne még ell elégítenü. Tegyü fel lehetséges esetént, hogy a ényszerfeltétele megadható a Φ (r 1,r 2,...,r N ) = 0 ( = 1,2,...,s; s < 3N) (4) egyenlete alajában. A ényszerfeltétele s számána azért ell sebbne lenne, mnt az N anyag pont 3N oordnátája, mert ülönben a oordnátá a ényszereel teljesen meg lennéne határozva, és így semm lehetőség nem lenne a mozgásra. Gondolju el, hogy mndegy tömegpont helyét megváltoztatju a δr vrtuáls elmozdulással, vagys az r - helyére az r +δr - erülne. A (4) ényszerfeltételene ezeen a megváltozott helyeen s teljesülnü ell. Tehát Φ (r 1 +δr 1,r 2 +δr 2,...,r N +δr N ) = 0 (5) A Φ függvényt Taylor-sorba fejtjü az r helye örnyezetében és feltesszü, hogy a δr vrtuáls elmozduláso olyan cs, hogy az elsőrendűnél magasabb hatványú tagoat elhagyhatju a sorból. A (4) egyenleteet fgyelembe véve, az (5) feltétel egyenlet a grad Φ δr = 0 ( = 1,2,3,...,s) (6) egyenlettel egyenértéű. Az egyensúly feltételét most s a (2) vrtuáls muna elve fejez, de a δr elmozdulásona ell elégítenü a (6) ényszerfeltételeet s. Utóbbaat a Lagrange-féle módszerrel vesszü fgyelembe. Nevezetesen, a (6) feltétel egyenlete mndegyét megszorozzu egyegy egyelőre smeretlen λ állandóval, és azután hozzáadju őet a (2) főegyenlethez: ( F + λ grad Φ )δr = 0 ( = 1,2,3,...,s). (7) A δr vrtuáls elmozduláso 3N omponense özül most f = 3N s független és tetszőleges, ezért csa f számú együttható lesz zérus. A λ Lagrange-féle multplátoroat vszont úgy 2
választju meg, hogy a fennmaradó s számú együttható s eltűnjön. Formálsan tehát úgy tenthető aδr elmozduláso, mntha valamennyen függetlene lennéne, és az együttható ezért zéruso: F + λ grad Φ = 0 ( = 1,2,...,N). (8) Az tt szereplő λ grad Φ = F (9) erő dmenzójú mennységet ényszererőne tentve, a (8) egyensúly feltétel így írható: F +F = 0 ( = 1,2,...,N). (10) A pontrendszer mechana egyensúly állapotában tehát az egyes anyag pontora ható F szabad és F ényszererő eredőjéne ell zérusna lenne, ha rendszer mozgása ényszereel orlátozva van. A d Alembert-elv d Alembert franca fzus a vrtuáls muna elvéhez hasonló elvet talált a mozgástörvény egyetlen egyenlet alajában történő megfogalmazására. Tulajdonéppen Jacob Bernoullna az egyensúlyra vonatozó munásságát fejlesztette tovább, amor az N anyag pontból álló fza rendszer mozgástörvényét a (F p )δr = 0 (11) alaban írta fel. Itt p az -ed tömegpont mpulzusa, F a rá ható erő eredője, δr a vrtuáls elmozdulása. A p mpulzus jele fölött pont az dő szernt dfferencálhányadost jelöl. A (11) egyenletet nevezzü d Alembert-elvne. Eszernt az anyag ponto rendszere az erő hatására úgy mozog, hogy a δr vrtuáls elmozdulásoal épezett (11) egyenlet mndg teljesül. Az elv egyaránt érvényes szabad és ényszermozgásora. A ettő özött mndössze az a ülönbség, hogy szabad mozgásnál a δr - tetszőlegese, ényszermozgásonál pedg a ényszerfeltételeel orlátozotta. A vrtuáls muna elvénél övetett gondolatmenet alapján végül az m r = F + λ grad Φ ( = 1,2,...,N) (12) Newton-típusú mozgásegyenleteet apju. Eze az egyenlete a ényszermozgásora vonatozó Lagrange-féle elsőfajú egyenlete. Az r fölött ettős-pont jel az dő szernt másod derváltat jelöl A d Alembert-elv tehát egyenértéű a Newton-féle mozgásegyenleteel, de megvan az előnye a newtonval szemben, hogy egyetlen egy egyenlet alajában fogalmazza meg a mozgástörvényt, amely egyaránt érvényes szabad és ényszermozgásora. A d Alembert-elv előnye megmutatoz például a merev teste mozgásegyenletene a levezetésénél. A merev teste pontjana vrtuáls elmozdulása ét részből tevőd össze: egy 3
transzlácóból és egy forgásból. Enne megfelelően az -ed tömegpontjána vrtuáls elmozdulása: δr = δr 0 +δϕ r. Az első tag a transzlácóna, a másod a forgásna megfelelő elmozdulás. δϕ az elem elfordulás szögvetorát jelöl. A (11) d Alembert-elvet merev test mozgásána leírására alalmazva, apju: (F p )(δr 0 +δϕ r ) = δr 0 (F p )+δϕ (r (F p )) = 0. (13) Mvel δr 0 és δϕ egymástól függetlene és tetszőlegese, az egyenlet aor teljesül, ha az együttható zéruso: p = F = F, és (14) r p = r F = M. (15) Könnyen belátható, hogy (14) azr 0 = m r / m éplettel értelmezett tömegözéppont mozgását leíró m r 0 = F (16) egyenlettel azonos. Itt m = m a merev test tömegét jelent, F a testre ható ülső erő eredője. A (15) egyenletről pedg belátható, hogy a d dt r p = M (17) mpulzusnyomaté-tételt adja. Ebből az alalmazásból látsz, hogy a d Alembert-elv a lehető legegyszerűbben adja meg a merev test általános mozgásegyenletet. Általános oordnátá. Lagrange-féle másodfajú egyenlete A ényszermozgáso tárgyalását megnehezít, hogy a mozgásegyenletehez melléfeltételént hozzá ell venn a ényszereet fejező egyenleteet. Ez így van aár a Newton-féle tárgyalást, aár a d Alembert-elvet használju. Így jutun a ényszermozgásoat leíró Lagrangeféle elsőfajú egyenletehez. Felmerült a gondolat, hogy nem lehet-e a mozgásegyenleteet olyan alaban megfogalmazn, amely már eleve fgyelembe vesz a ényszereet, és aor nem ell azoat egészítő melléfeltételént ezeln. Bemutatju, hogy az ún. általános oordnátá segítségével ez lehetséges. Gondoljun megnt N anyag pontból álló rendszerre, amelyne mozgása orlátozva van s darab ényszerfeltétellel. A rendszer szabadság foana száma tehát f = 3N s. Ha serülne f darab olyan q új oordnátát bevezetn, amelye eleve alalmazodna a ényszerehez, aor megszabadulnán a egészítő ényszerfeltételetől, és a d Alembert elvben szereplő δq vrtuáls elmozduláso egymástól függetlene lennéne. Enne llusztrálására tentsü azt a ényszermozgást, amelynél a pontrendszer énytelen a mozgás során valamlyen adott felületen maradn. Ha a mozgás leírásánál derészögű oordnátáat használun, aor a felület egyenlete ényszerfeltétel egyenletént fog szerepeln. De ha a derészögű 4
oordnátá helyett a felülethez alalmazodó ún. felület oordnátáat használun, és ezeben írju fel a mozgásegyenleteet, aor a ényszer már eleve fgyelembe van véve, és ezért nncs szüség tovább megszorító egyenletre. Ez az eljárás általánosan s megadható. Tegyü fel, hogy serül bevezetn f darab olyan q oordnátát, amelye a ényszerhez alalmazodna. Az x derészögű oordnátáról az új q oordnátára való áttérést egy oordnáta transzformácóval érhetjü el. (Itt az elmélet mechanában megszoott jelölést használju, amely szernt az ndex az 1,2,3,..., 3N értéeet vesz fel, és az x - az r helyvetoro derészögű omponenset jelöl.) Az x oordnátá valamlyen adott függvénye az újana és a t dőne. x = x (q 1,q 2,...,q,...q f ;t) (18) A transzformácó onrét alaja természetesen függ attól, hogy mlyen ényszerfeltételről van szó. Az így bevezetett új q oordnátáat általános oordnátána nevezzü. Eze nem szüségéppen hosszúság dmenzójú mennysége. A q oordnátá q dő szernt derváltjat általános sebességene nevezzü. Az tt nem részletezett számítással belátható, hogy a (m ẍ X )δx = 0 (19) alaban felírt d Alembert elvből övetezne a ( ) d (K V) (K V) = 0 ( = 1,2,...f) (20) dt q q Lagrange-féle másodfajú egyenlete. X a V potencáls energána az x oordnáta szernt vett negatív gradense, és az erő megfelelő omponensét jelent. A K = 1 2 m x (21) 2 a pontrendszer mozgás energája. A pontrendszer mozgás energájána és a potencáls energána K V ülönbségét Lagrange-függvényne nevezzü, és a szarodalomban megszoott módon L betűvel jelöljü. A Lagrange-függvény a q oordnátána, a q sebességomponensene, és általában a t dőne a függvénye. Ezt rövden így jelöljü: L(q, q,t). A Lagrange-féle másodfajú egyenlete ezzel a szoásos jelöléssel: ( ) d L dt q L q = 0 ( = 1,2,...,f). (22) Eze f darab másodrendű özönséges dfferencálegyenletet jelentene a q általános oordnátára, amelyeből azo dőfüggése meghatározható. A (21) Lagrange-egyenlete tulajdonéppen előírást (receptet) adna a mozgásegyenlete felírására. Könnyű belátn, hogy a (21) egyenlete egyenértéűe a Newton-féle mozgásegyenleteel. Megjegyzem, hogy a Lagrange-függvényne L = K V defnícója csa onzervatív erőtér esetén gaz, mert a V potencáls energa lyen esetben van értelmezve. Később a varácós elveel apcsolatban látn fogju, hogy nem onzervatív rendszere esetében s használhatju a Lagrange-egyenleteet egyéb előnyü matt. Ilyenor nncs recept a Lagrange függvényre. 5
A Hamlton-féle varácós elv A mechana mozgásegyenletet eddg dfferencálegyenlete alajában adtu meg. Így van ez a Newton-féle tárgyalásban, és a Lagrange-féle másodfanú egyenleteel s. Most a mozgásegyenletene olyan általános megfogalmazását mutatju meg, amely egyenértéű ez eddgeel, de már túlmutat a mechanán. A fza más fejezetene (pl. eletrodnamána, vantummechanána, vantum-térelméletene) alaptörvénye s felírható ugyanolyan alaban, mnt a mechanában. A mozgástörvényene lyen értelemben unverzáls alaját, a orább törevése általánosításaént, Hamlton adta meg ét dolgozatban, 1834-ben és 1835-ben. Ezért ezt a szarodalom Hamlton-elvne nevez. Eszernt a rendszer mechana állapota ét rögzített t 1 és t 2 dőpont özött úgy változ az dőben, hogy a Lagrange-függvényne a (t 1, t 2 ) ntervallumra vett dő szernt ntegrálja szélsőértéet vesz fel: S = t2 t 1 L dt = extr. (23) Ezen az értendő, hogy a ényszere által megengedett, valóságban beövetező mozgásállapot-változás a fent ntegrált szélsőértéé tesz. Mvel a Lagrange-függvény a t dőn ívül a q általános oordnátána és a q általános sebességene a függvénye, a (23) ún. hatásntegrálna ez a ülönleges tulajdonsága módot ad arra, hogy megeressü a valód mozgást leíró q (t) függvényeet. A feladat tehát abban áll, hogy a (23) ntegrált szélsőértéé tevő q (t) függvényeet meghatározzu. Matemata szempontból ez a feladat az ún. varácószámítás örébe tartoz. Enne de vonatozó lényegét a övetező gondolatmenettel megmutatju. Jelöljü a q (t) oordnáta függvényne a t 1 dőpontban felvett értéét q (1) -gel, a t 2- ben felvettet pedg q (2) -vel. Ezeet az értéeet az f-dmenzós oordnátatérben egy-egy pont ábrázolja. A ét dőpont özött mozgást leíró q (t) függvényene a q (1) -et és a q(2) -t összeötő folytonos vonal felel meg. Ez a mozgás pályája. Gondoljun el más lehetséges tehát a ényszerfeltételene megfelelő pályáat úgy, hogy a q (t)-hez mnden t dőpontban hozzárendelün egy más pontot. Enne oordnátát q (t)-vel jelöljü: q (t) = q (t)+δq. (24) A δq megváltozásoat végtelen csne tentjü, és megöveteljü, hogy a ényszerfeltételeet elégítsé. A ezdő és végpontot változatlanul hagyju, vagys δq (t 1 ) = δq (t 2 ) = 0. (25) A q (t) függvényeel leírt pályáat nevezzü varált pályána, a δq megváltozásoat pedg a q oordnátá varácójána. A Hamltonelv eze után a övetezőéppen fogalmazható meg: A valóságos pályán történő ntegrálásor az S hatásntegrál szélsőértéet vesz fel a varált pályáon számított ntegrálértéehez épest. 6
A valóságos pályána ez a tüntetett szerepe tesz lehetővé azo meghatározását. Nevezetesen, azoat a q (t) függvényeet eressü, amelye a hatásntegrált szélsőértéé tesz. A varácószámítás szernt enne az a feltétele, hogy az S hatásntegrál δs varácója legyen zérus. t2 f ( L δs = δq + L δq )dt = 0. (26) q q t 1 =1 Mvel (23) szernt a q (t)-hez az ugyanazon dőpontban vett q (t)-et rendeljü, tehát az dőt nem varálju, önnyen belátható, hogy δq = d dt δq. (27) Ezt (25)-be beírva, a (24) határfeltételeet és a δq varácó tetszőleges voltát fgyelembe véve, azt apju, hogy a hatásntegrál δs varácója aor tűn el, ha teljesülne a L d ( ) L = 0 ( = 1,2,...f) (28) q dt q Euler Lagrange-egyenlete. Eze a fentebb már megsmert Lagrange-féle másodfajú egyenlete. A Hamlton-elv tehát a mozgásfeladat megoldásaént a Lagrange-féle másodfajú egyenletere vezet, amelye egyenértéűe a Newton-féléel. Az elmélet mechana megalapozásánál választhatju azt az utat s, hogy a Newton-egyenlet helyett a Hamlton-elvet tentjü alaptörvényne. Enne az az előnye valamenny tárgyalásmóddal szemben, hogy a mozgástörvényne a oordnáta-rendszertől független, ún. nvaráns megfogalmazását tesz lehetővé. Másrészt - mént erre már utaltun -, a fza más fejezetene mozgástörvénye s felírható a Hamlton-elv alajában. Ez a tárgyalásmód az egész elmélet fzán véggvonuló unverzáls jellegű. Itt csupán megemlítjü, hogy a varácós elvne a relatvtáselmélet övetelményet s elégítő nvaráns megfogalmazása nemcsa a helyes mozgástörvényere vezet, hanem a rendszer dnama mennységet magába foglaló energa-mpulzus-tenzort s megadja. Ebben van a varácós elvne semmlyen más módszerrel össze nem hasonlítható heursztus ereje. A anonus egyenlete A mechana mozgástörvényet az eddg bemutatott eljárásoban özönséges másodrendű dfferencálegyenlete alajában adtu meg. Anny dfferencálegyenlet szerepel, amenny a rendszer szabadság foana a száma. Mndegy egyenlet megoldása ét ntegrálás állandót tartalmaz. Eze meghatározásához meg ell adnun a q és q ezdet értéet. Ez 2f adatot jelent. A rendszer mozgásállapotát tehát 2f adattal lehet egyértelműen jellemezn. A q oordnátá és aq sebessége ebben az értelemben2f független változót jelentene. A rendszerre jellemző Lagrange-függvényt enne megfelelően ezeel adju meg, L = L(q, q,t). Matemata szempontból a q mégsem független a q -tól, mert az előbb az utóbbna az dő szernt derváltja. Tulajdonéppen ez az oa anna, hogy nem 2f, hanem csa f darab mozgásegyenletün van, bár a mozgásállapot egyértelmű megadásához étszer enny adatra van szüségün. Most bemutatun egy olyan eljárást, amely 2f független változót használ 7
az állapot jellemzésére, és az egyenlete száma s 2f, de az egyenlete elsőrendűe leszne a orább másodrendűeel szemben. Mnden q oordnátához hozzárendelün egy mennységet a p = L (29) q defnícóval. A p -t a q -hoz anonusan onjugált mpulzusna, vagy másént fejezve, általános mpulzusna nevezzü. A p általában nem mpulzus dmenzójú mennység. Az elnevezés onnan ered, hogy ha derészögű oordnátáat használun, aor az azohoz a (29) alapján hozzárendelt anonus mpulzus tömeg sebesség dmenzójú mennység lesz. Az így értelmezett p általános mpulzusoat a q oordnátáal együtt független változóna tentjü, és a rendszer mechana állapotát a q és a p független változóal adju meg. Eze természetesen a t dő függvénye. Ebben a tárgyalásmódban a rendszert nem a Lagrange-függvénnyel, hanem a H = f =1 p q L(q, q,t) (30) éplettel értelmezett Hamlton-függvénnyel jellemezzü. H-t a q - és a p - függvényéne tentjü. Ezt úgy érjü el, hogy a sebességeet a (29) éplet segítségével fejezzü a p mpulzusoal. A rendszer állapotána változását ebben a tárgyalásmódban a q és p független változó dőfüggését meghatározó egyenlete írjá le. Ezehez az egyenletehez a övetező gondolatmenettel jutun. Felírju a H(q,p,t) Hamlton-függvény teljes dfferencálját étféleéppen. Egyszer a oordnátá és mpulzuso, valamnt az dő függvényalajából ndulva, másrészt a (30) éplet alapján. A ettő összehasonlításából, az Euler Lagrangeegyenleteet, valamnt a p (29) defnícóját tentetbe véve, a eresett mozgásegyenleteet apju: q = H, p p = H ( = 1,2,...,f), (31) q H t = L t. (32) A (31) elsőrendű dfferencálegyenleteet Hamlton-féle anonus egyenletene nevezzü. Eze a rendszer mozgásegyenlete ebben az ún. anonus tárgyalásmódban. Könnyen belátható, hogy egyenértéűe a Lagrange-egyenleteel és a Newton-féle mozgásegyenleteel s. A anonus egyenlete mellett gyaorlat szempontból az szól, hogy elsőrendű dfferencálegyenlete, és ezért önnyebben megoldható, mnt a orább másodrendű mozgásegyenlete. Másrészt, a vantummechana megalapozásánál jut fontos szerep a anonus tárgyalásmódna. Ott ugyans a anonus változópároal fogalmazható meg az elmélet, továbbá a rendszer vantumfza állapotána az dőbel változását olyan mozgástörvény írja le, amely a Hamlton-függvényből épezett ún. Hamlton-operátort tartalmazza. A vantumelméletben a Hamlton-operátorna nagyon fontos szerepe van. Ez s ndoolttá tesz, hogy a lasszus mechanában megfelelő hangsúlyt apjon a Hamlton-féle anonus tárgyalásmód. Érdemes megjegyezn hogy az előforduló esete nagy részében (dőfüggetlen potencálo esetén) a Hamlton-függvény megegyez a rendszer energájával. 8
Szmmetrá és megmaradás tétele Az elmélet mechana tanulmányoból smert, hogy a mozgásegyenleteből fontos megmaradás tétele övetezne. (Az első előadásban erről részletesen volt szó.) Az otatásban enne megvan az az előnye, hogy eze a megmaradás tétele általában egyszerű matemata alaban megfogalmazható, és mvel a mozgásegyenlete övetezménye, a mozgás fontos tulajdonságaról adna értées nformácóat anélül, hogy meg ellene oldanun a mozgásegyenleteet. Ez az előny ülönösen a özépfoú otatásban mutatoz meg, mert a mozgásegyenlete megoldása magasabb matemata smereteet gényel. Most megmutatju, hogy az mpulzus, az mpulzusnyomaté és az energa megmaradása szoros apcsolatban van a térne és az dőne bzonyos szmmetrával. E szmmetráon azt értjü, hogy a vzsgált fza rendszer mechana tulajdonsága nem változna meg a oordnáta-rendszer eltolásaor, elforgatásaor és az dő eltolása során. Eze a fontos és szép tétele Emmy Noether német matematusnő nevéhez fűződne, és a fza szarodalom Noether-tételene nevez őet. A tétele bzonyításához a Hamlton-féle tárgyalásmódot vesszü alapul, mert hasonlóéppen történ a szmmetrá és a megmaradás tétele apcsolatána vantumelmélet tárgyalása s. Megemlítem, hogy a Lagrange-egyenleteet s használhatnán, amelye természetesen ugyanarra az eredményre vezetnéne, de a vantumelmélet hasonlatosság matt részesítjü a anonus egyenleten alapulót előnyben. Feltételezzü, hogy N anyag pontot tartalmazó zárt rendszerről van szó. Fza állapotána jellemzésére az x derészögű oordnátáat és a p x mpulzus-omponenseet használju. Magát a rendszert a Hamlton-függvénnyel jellemezzü. Mozgásegyenleteül mnt említettü a anonus egyenleteet vesszü. Eze a szoásos jelöléssel: x = H p = H ( = 1,2,...,3N). (33) p x A ésőbbe szempontjából célszerű ezeet az egyenleteet vetoráls alaban felírn: r = p H p = r H ( = 1,2,...,N). (34) A szmbólummal a gradens operácót jelöltü. a) Vegyü elsőént a oordnáta-rendszer eltolását. A oordnáta-rendszert eltolju tetszőleges rányban állandó a távolsággal, amelyről feltesszü, hogy nfntezmálsan cs. A tömegponto helyvetorat az eltolt oordnáta-rendszerben r -vel jelöljü. Az r és r özött az r = r +a (35) apcsolat áll fenn. Ez fejez a oordnáta-rendszer eltolását leíró transzformácót. A zárt fza rendszer mozgásállapotát ez a transzformácó nem változtatja meg, mert a térne egy pontja sncs tüntetve, vagys bármelyet választhatju a oordnáta-rendszer ezdőpontjána. A térne ezt a tulajdonságát nevezzü a tér homogentásána. Eszernt a a rendszer Hamlton-függvénye független attól, hogy hol vesszü fel a oordnáta-rendszer ezdőpontját. Ez azt s jelent, hogy a H-na nvaránsna ell lenne az eltolás transzformácóval szemben. A H ala megváltozásána tehát el ell tűnne. Írju fel a H megváltozását: N δh = H(r,p,t) H(r,p,t) = r H a = 0. (36) 9
Mvel az r vetoro δr = a megváltozása nfntezmálsan cs, az a magasabb hatványat tartalmazó tagoat elhagytu. Az a vetor a feltevésün szernt tetszőleges, ezért a Hamlton-függvény csa aor lesz nvaráns az eltolással szemben, ha N r H = 0. (37) A (34) anonus egyenlete másod csoportja szernt ez azt jelent, hogy N p = 0. (38) Ebből ntegrálással a rendszer eredő mpulzusána állandóságát apju: p = N p = állandó. (39) Az mpulzus megmaradása tehát a tér homogentásával van szoros apcsolatban. Ha a Hamlton-függvény nem függ valamely oordnátától (azt mondju, hogy az llető oordnáta clus), aor a hozzá tartozó mpulzusomponens nem zárt rendszer esetén s állandó marad. b) Másodént a oordnáta-rendszer elforgatását tentjü. Elforgatju a derészögű oordnáta-rendszert az e egységvetorral jelölt rány örül s δϕ szöggel. A tömegponto helyvetora és mpulzusa az elforgatás során megváltozna a övetezőéppen: ahol r = r +δr, p = p +δp, (40) δr = δϕ e r, δp = δϕ e p. (41) A tér zotrop (vagys semmlyen rány nncs benne tüntetve), ezért a oordnáta-rendszer elforgatása a zárt rendszer mechana állapotát nem változtatja meg. A Hamlton-függvényne tehát a forgatással szemben s nvaránsna ell lenne. Eszernt a (40) transzformácó során beövetező ala megváltozásna el ell tűnne: δh = N ( r H δr + p H δp ) = 0. (42) A (41) fgyelembe vételével adód: δh = δϕ e Ez a anonus egyenlete alapján a övetező alaot vesz fel: N (r r H +p p H) = 0. (43) δh = δϕ e N ( r ṗ +p ṙ ) = 0. (44) 10
A p ṙ = 0, mert a vetoráls szorzat tényező párhuzamos vetoro. Mvel a δϕ tetszőleges, (44) csa aor teljesül, ha N (r ṗ ) = 0. (45) A bal oldal az N = r p mpulzusnyomaté dő szernt derváltjával egyenlő, ezért a (45) szernt: d N = 0, (46) dt amből övetez, hogy N = állandó. (47) A zárt rendszer mpulzusnyomatéána megmaradása tehát a tér zotrópájával van apcsolatban. Ha a testre ható ülső erő valamlyen rányra szmmetrus, aor az mpulzusnyomaténa erre az rányra való vetülete nem zárt rendszer esetén s állandó. Például a centráls erő hatása alatt mozgó test erőcentrumra vonatoztatott mpulzusnyomatéa állandó, noha a rendszer nem zárt. c) Végül tentsü az dő eltolását és az energa megmaradását. Az dő folyamában sncs tüntetve egyetlen dőpont sem, ezért ha eltolju az dőt valamlyen tetszőleges t 0 dőtartammal, a rendszer ezt nem érz meg. Vagys a jellemzésére szolgáló Hamlton-függvény nvaráns a t = t+t 0 transzformácóval szemben. A orábba szernt ez azt jelent, hogy a Hamlton-függvény megváltozásána el ell tűnne a fent transzformácó során. Tehát δh = H H δt = t t t 0 = 0. (48) Mvel t 0 tetszőleges, H = 0. t (49) Ez azt jelent, hogy zárt rendszer Hamlton-függvénye nem tartalmazhatja explcten az dőt. Képezzü H na az dő szernt teljes derváltját: dh dt = H N t + ( r Hṙ + p Hṗ ), (50) A anonus egyenlete, valamnt (49), (50) fgyelembevételével adód: N dh dt = ( r H p H p H r H) = 0. (51) A zárt rendszer Hamlton-függvénye tehát állandó: H = állandó. (52) Ha a rendszerre ülső erő nem hatna (zárt a rendszer), és a belső erő nem függne sem az dőtől, sem a sebességtől, aor a Hamlton-függvény megegyez a rendszer mechana 11
energájával. Így az dőeltolással szemben nvarancából övetez az energa megmaradása zárt rendszerere. Ha a rendszer nem zárt, de onzervatív és dőtől független ülső erő hatna rá, aor s gaz, hogy a Hamlton-függvény nem függ az dőtől explcten, és egyenlő a teljes mechana energával: H = K + V. Ezért (52)-ből adód, hogy onzervatív rendszerere s gaz az energa megmaradása. Összefoglalva tehát megállapíthatju, hogy a tér és az dő homogentása, valamnt a tér zotrópája szoros apcsolatban van az tt tárgyalt három geometra szmmetrával és a megfelelő mennysége megmaradás tételevel. Nagy Károly 12