A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?

Hasonló dokumentumok
A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?

METRIKA. 2D sík, két közeli pont közötti távolság, Descartes-koordinátákkal felírva:

ERŐ-E A GRAVITÁCIÓ? 1. példa:

ERŐ-E A GRAVITÁCIÓ? 1

Geometriai alapok Felületek

Bevezetés a görbe vonalú geometriába

A loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra.

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Lagrange és Hamilton mechanika

Emlékeztető: az n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség a Riemann-tenzor (Riemann, 1854): " ' #$ * $ ( ' $* " ' #µ

17. előadás: Vektorok a térben

Szeminárium. Kaposvári István október 01. Klasszikus Térelmélet Szeminárium

Serret-Frenet képletek

Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához

= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s

{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek

Egy pont földfelszíni helyzetét meghatározzák: a pont alapfelületi földrajzi koordinátái a pont tengerszint feletti magassága

ANALÍZIS II. Példatár

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

1 2. Az anyagi pont kinematikája

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Vontatás III. A feladat

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Stacionárius tengelyszimmetrikus terek a Kerr-Newman téridő

Felületek differenciálgeometriai vizsgálata

Az Einstein egyenletek alapvet megoldásai

Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső

Koordináta-geometria alapozó feladatok

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

1. FELADATSOR. x = u + v 2, y = v + z 2, z = z. u y + z. u x + y. v x + y. v y + z. w x + y. w y + z

Tehetetlenségi nyomatékok

Riemanngeometria 1 c. gyakorlat A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor

Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár & Óbudai Egyetem, Budapest június 20.

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.

Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény

VEKTOROK PÁRHUZAMOS ELTOLÁSÁNAK SZEMLÉLTETÉSE II. RÉSZ

Éldetektálás, szegmentálás (folytatás) Orvosi képdiagnosztika 11_2 ea

Gyakorló feladatok I.

Számítógépes Grafika mintafeladatok

t, u v. u v t A kúpra írt csavarvonalról I. rész

Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató. A hármas és háromszoros integrál

A gradiens törésmutatójú közeg I.

Nehézségi gyorsulás mérése megfordítható ingával

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról

A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

(a b)(c d)(e f) = (a b)[(c d) (e f)] = = (a b)[e(cdf) f(cde)] = (abe)(cdf) (abf)(cde)

T obbv altoz os f uggv enyek integr alja. 3. r esz aprilis 19.

Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Káprázás -számítási eljárások BME - VIK

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév

Vektorok és koordinátageometria

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Geometriai példatár 2.

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Hajder Levente 2017/2018. II. félév

Matematika (mesterképzés)

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika 2. ZH, december 05. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont)

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Gyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2)

5. előadás. Skaláris szorzás

Matematika III előadás

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása

NE HABOZZ! KÍSÉRLETEZZ!

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja

10. Koordinátageometria

Fiók ferde betolása. A hűtőszekrényünk ajtajának és kihúzott fiókjának érintkezése ihlette az alábbi feladatot. Ehhez tekintsük az 1. ábrát!

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Koordinátarendszerek

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Csillapított rezgés. a fékező erő miatt a mozgás energiája (mechanikai energia) disszipálódik. kváziperiódikus mozgás

Atomok és molekulák elektronszerkezete

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN

Matematikai geodéziai számítások 1.

Analízis III. gyakorlat október

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Szakdolgozat. Geodetikusok görbületének és torziójának vizsgálata a Sol homogén 3-geometriában. Virosztek Dániel. Konzulens:

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által

Infobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében

A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN

Átírás:

Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg] c 2 = M [m ] A Föld tömege M F =6x10 24 kg. = A Föld tömege M F =4.4mm. 1 HONNAN TUDJUK BELSŐ MÉRÉSSEL ELDÖNTENI, HOGY EGY FELÜLET GÖRBÜLT-E? EGY ALAPSZABÁLY: NE BÍZZUNK A TÉRKÉPBEN! A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje? 2 1

Térkép: Valóság: - sík felület; - a térképen a koordináták: x 1 = ϕ, x 2 =r 3 Térkép: Valóság: - görbült felület; - a térképen a koordináta-vonalak: szélesség (λ), hosszúság (ϕ) Északi irányt tartó hajó: egyenesen halad előre. Keleti irányt tartó hajó: kanyarodik! 4 2

GÖRBÜLT FELÜLET Geodetikus ( egyenes ) vonalak görbült felületen. Nem a vonalak tehetnek róla, hogy görbének látjuk őket, hanem mi, akik a térképet így konstruáltuk meg. 5 HONNAN TUDJUK BELSŐ MÉRÉSSEL ELDÖNTENI, HOGY EGY FELÜLET GÖRBÜLT-E? KULCS A MEGOLDÁSHOZ: EGY VEKTOR PÁRHUZAMOS ELTOLÁSA MÁS EREDMÉNYHEZ VEZET SÍKON, MINT GÖRBÜLT FELÜLETEN 6 3

VEKTOR PÁRHUZAMOS ELTOLÁSA Vektor párhuzamos eltolása síkon, adott vonal mentén. 7 Vektorok párhuzamos eltolása görbült felületen, adott zárt vonal mentén. 8 4

Vektorok párhuzamos eltolása görbült felületen, adott zárt vonal mentén. 9 Vektorok párhuzamos eltolása görbült felületen, adott zárt vonal mentén. 10 5

Vektorok párhuzamos eltolása görbült felületen, adott zárt vonal mentén. A végére kifordul az eredeti irányból?! 11 A párhuzamosan eltolt, zárt görbén végigvitt vektor állása függ az adott görbétől. 12 6

Mi a párhuzamos eltolás (laposlények számára is érthető) szabálya? Segítség: Vektorok párhuzamos eltolása síkon, egyenes ill. görbe vonal mentén. 13 Szabály: a görbe vonalat egyenes szakaszokkal közelítjük, és minden szakaszon ügyelünk a szög megtartására. Az eredeti pontba visszajutva a vektor tényleg nem az eredeti irányba áll! 14 7

Lennart Green (TED előadás) zárt görbe mentén végigvitt vektorra: felületi excesszus (δ 0) 15 HONNAN TUDJUK BELSŐ MÉRÉSSEL ELDÖNTENI, HOGY EGY FELÜLET GÖRBÜLT-E? VÁLASZ: EGY VEKTORT PÁRHUZAMOS ELTOLÁSSAL VÉGIGVISZÜNK EGY ZÁRT GÖRBÉN HA δ 0: GÖRBÜLT A FELÜLET, HA δ=0: SÍK A FELÜLET. 16 8

Gauss-görbület (2D felület egy adott pontbeli görbültségét kifejező szám): 1 K = R min R max R min és R max : az adott ponton át a felületre fektetett merőleges síkokkal vett metszetgörbék (előjelesen értelmezett) görbületi sugarai közül a legkisebb és a legnagyobb. K előnye: a felület tényleges görbültségét fejezi ki (nem módosul az értéke, ha a felületet deformációmentes alakváltozásnak tesszük ki) (pl. a feltekert újság: sík) K hátránya: (1) nem alkalmazható 3D, 4D, stb. sokaságokra, csak 2D felületre! (2) a K fenti definiálásához külső (nem laposlényi ) nézőpont kell (R min és R max fogalmát a laposlények nem értik) 17 KVANTITATÍV RÉSZLETEK Gauss-görbület (a felület adott pontjában értelmezett mennyiség): K 1/( R min R max ) Gauss-Bonnet tétel: " =! T KdT δ = Ω 18 9

GÖRBÜLT SOKASÁGOK 19 A GÖRBÜLET KIMUTATÁSA KÍSÉRLETILEG Foucault-inga - az inga lengési pályája (mint vektor ) párhuzamosan tolódik el α= 2 π sinλ (λ: a szélességi kör koordinátája) 20 10

A GÖRBÜLET KIMUTATÁSA KÍSÉRLETILEG Délirányt jelző kordé (指南車) Dr. Laczik Bálint, BME 21 A GÖRBÜLET KIMUTATÁSA KÍSÉRLETILEG Délirányt jelző kordé (指南車) Dr. Laczik Bálint, BME 22 11

METRIKA 2D sík, két közeli pont közötti távolság, Descartes-koordinátákkal felírva: dl 2 = dx 2 + dy 2 Általános alak (ha nem feltétlenül Descartes-koordinátákat használunk): dl 2 =...( dx 1 ) 2 +...( dx 2 ) 2 +...dx 1 dx 2 +...dx 2 dx 1 = = g 11 ( dx 1 ) 2 + g 22 ( dx 2 ) 2 + g 12 dx 1 dx 2 + g 21 dx 2 dx 1 = 2 2 "" = g ij dx i dx j = g ij dx i dx j i =1 j =1 g ij = g ij ( x 1,x 2 ) 23 1. 2D sík; Descartes-koordinátákkal felírva: dl 2 = dx 2 + dy 2 = g ij dx i dx j koordináták: "x 1 "= x "x 2 "= y " metrikus tenzor: g ij = 1 0 % $ ' # 0 1 [a g ij -k itt mind konstansok] $ 1 Gauss-görbület: K = = 1 ' ) = 0 % R min R max " # "( SÍK 24 12

2. 2D sík; polárkoordinátákkal felírva: dl 2 = dr 2 + r 2 d" 2 = g ij dx i dx j koordináták: "x 1 "= r "x 2 "= " " metrikus tenzor: g ij = 1 0 % $ # 0 r 2 ' [itt a g 22 függvény: g 22 ("x 1 ") = g 22 ( r) = r 2 ] $ 1 Gauss-görbület: K = = 1 ' ) = 0 % R min R max " # "( SÍK 25 3. 2D hengerfelület; hengerkoordinátákkal felírva: dl 2 = dz 2 + a 2 d" 2 = g ij dx i dx j koordináták: "x 1 "= z "x 2 "= " " metrikus tenzor: g ij = 1 0 % $ # 0 a 2 ' [a g ij -k mind konstansok] $ 1 Gauss-görbület: K = = 1 ' ) = 0 % R min R max a " #( SÍK! 26 13

4. 2D kúpfelület; kúpkoordinátákkal felírva: dl 2 = dr 2 + r 2 sin 2 " 0 d# 2 = g ij dx i dx j koordináták: "x 1 "= r "x 2 "= " # metrikus tenzor: g ij = 1 0 % $ 0 r 2 sin 2 ( [itt a g " 22 függvény: g 22 ( r) = r 2 sin 2 " 0 ] 0 ' $ Gauss-görbület: K = % 1 R min R max = 1... ( ) " # ' ) = 0 ( SÍK!* *kivéve a csúcsot, ahol K-nak szingularitása van. 27 5. 2D gömbfelület; gömbi koordinátákkal felírva: dl 2 = a 2 d" 2 + a 2 sin 2 "d# 2 koordináták: "x 1 "= " "x 2 "= " # metrikus tenzor: g ij = a 2 0 % ( $ 0 a 2 sin 2 "' [a g 22 függvény: g 22 (") = a 2 sin 2 "] # 1 Gauss-görbület: K = = 1 % ( = 1 GÖRBÜLT! $ R min R max a " a' a 2 28 14

n-dimenziós sokaság (pl. 2D felület, 3D tér, 4D téridő, stb.) metrikája: ds 2 = g 11 ( dx 1 ) 2 + g 22 ( dx 2 ) 2 +... + g 12 dx 1 dx 2 +... = n n "" = g ij dx i dx j = g ij dx i dx j i =1 j =1 A metrikát (a fenti egyenletet) a sokaság lakói mérésekre alapozva fel tudják állítani: 1. A sokaságot bekoordinátázzák az x 1, x 2,, x n (tetszőlegesen) felvett koordinátákkal. 2. Két közeli pont között megmérik a ds távolságot, és ugyanakkor regisztrálják a két pont közötti dx i koordináta-különbségeket is. 3. A 2-es lépést megismétlik sok közeli pontpárra. Összességében rengeteg adatot összegyűjtenek. 4. Ezekből az adatokból megállapítják a g ij = g ij ( x k ) függvényeket (a metrikus tenzor elemeit). De: hogyan tudják a lakók megállapítani, hogy sokaságuk görbült-e? 29 Theorema Egregium (Gauss, 1828): Recept a laposlények számára, hogy hogyan számolhatják ki K-t az általuk is kimérhető g ij = g ij x k függvényekből. K x 1,x 2 ( ) ( ) = 1 2g 2 " 2 g 12 $ % "x 1 "x # " 2 g 11 2 "x 2 2 g 22 ( ) # " 2 ("x 1 ) 2 ' ) ) + ( + g $ * 12 "g 11 -*, / "g - * 22, / # 2 "g -* 11, / "g - * 22, / + 2 "g 12 # "g -* 11, / 2 "g 12 # "g -' 22 4g 2, / % + "x 1. + "x 2. + "x 2. + "x 1. + "x 1 "x 2. + "x 2 "x 1 ) #.( # g $ * 22 "g 11 -*, / 2 "g 12 # "g - 22, / # "g 2 * - ' 11, / ) 4g 2 % + "x 1. + "x 2 "x 1. + "x 2. () # # g $ * 11 "g 22 -*, / 2 "g 12 # "g - 11, / # "g 2 * - ' 22, / ) 4g 2 % + "x 2. + "x 1 "x 2. + "x 1. () ahol 2 g " det g ij = g 11 g 22 # g 12 [csak 2D felületre alkalmazható!] 30 15