Analóg és digitális mennyiségek

nalóg és digitális mennyiségek nalóg mennyiség Digitális mennyiség z analóg mennyiségek változása folyamatos (bármilyen értéket felvehet) digitális mennyiségek változása nem folyamatos, hanem ugrásszerű (csak diszkrét értékeket vehet fel) Pócsi L. 200 2

Pócsi L. 200 3

Decimális (tízes) számrendszer mindennapi életben a tízes vagy decimális számrendszert használjuk. Már az ókori egyiptomiak is használták, de csak akkor vált teljessé, mikor i.sz. 400 körül a hinduk bevezették a 0 át és számjegyként használták. rab közvetítéssel jutott Európába és először 202 ben Fibonacci ismertette. Általánosságban egy N számot a következő zárt matematikai összefüggés határoz meg: N a n r n a n r n... a r a 0 r 0 a r a 2 r 2... a m r m a n 0 és r- közé eső egész szám r a számrendszer alapszáma m, n egész számok Pócsi L. 200 4

ináris (kettes) számrendszer kettes számrendszer alapja r 2, vagyis csak két elemet használ a számok ábrázolására (0 és ). számjegyeit biteknek is nevezik. (bit inary Digit) bináris számrendszer tökéletesen összeegyeztethető a kétállapotú jeleket alkalmazó elektronikus áramkörökkel. ináris szám formája: N 00,0 (2) Szimbolikusan ábrázolva: z eredmény : 43,625 (0) 3 2 0 2 3 4 5 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 0 2 N 5 Pócsi L. 200

Decimális ináris átalakítás lakítsuk át a 628 (0) számot kettes számrendszerbe! 628 : 2 34 0 57 78 39 9 9 4 0 0 2 0 : 2 : 2 : 2 : 2 : 2 : 2 : 2 : 2 0 : 2 0 kiolvasott bináris szám: MS Most Significant it 00000 (2) Kiolvasás innen felfelé LS Least Significant it Pócsi L. 200 6

ináris Decimális átalakítás lakítsuk vissza decimális számmá az 00000 (2) bináris számot! Pócsi L. 200 7 (0) 0 2 3 4 5 6 7 8 9 628 4 6 32 64 52 2 0 2 0 2 2 0 2 2 2 2 0 2 0 2 N N N Jegyezzük meg a 2 hatványait legalább 0 ig: 2 0, 2, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, 2 6, 2 7, 2 8, 2 9, 2 0, 2, 4, 8, 6, 32, 64, 28, 256, 52, 024

Törtszámok átalakítása lakítsuk át a 0,625 (0) törtszámot bináris törtszámmá! Kiolvasás innen lefelé 0,625 2 0,25 0,5 0 2 2 kiolvasott bináris szám: 0,0 (2) N 2 0 2 2 2 3 N 0,5 0,25 0,625 (0) Pócsi L. 200 8

Gyakorlófeladatok lakítsd át a következő decimális számokat bináris számmá! 255; 35; 455; 500; 000 egész számok 68,25; 92,6; 53,95 tört számok lakítsd át a következő bináris számokat decimális számmá! 0000; 000; 0000; 0000; 00000 00,0;,; 00;00; 00,000 Pócsi L. 200 9

Oktális (nyolcas) számrendszer számrendszer alapszáma r 8. felhasznált számjegyek 0 7 ig terjednek. Átalakításakor a szám bináris megfelelőjéből indulunk ki. z LS felől 3 bitnyi csoportokra osztjuk a bináris számot, és egyenként decimális számmá alakítjuk. Ezek lesznek az oktális szám számjegyei. 43 ( 0) 00(2) LS 5 3 53 (8) Pócsi L. 200 0

Hexadecimális (tizenhatos) számrendszer hexadecimális számrendszer elterjedt a digitális technikában főként a mikroszámítógépek világában. számrendszer alapszáma r 6. Ez annyit jelent, hogy 6 szimbólumot használ egy számjegy ábrázolásához. Ebből az első tíz a decimális számrendszer 0 9 ig terjedő számjegyei. következő hat számjegyet (0 5),, C, D, E, F betűszimbólumok jelölik. Ezért a hexadecimális számrendszert alfanumerikusnak is nevezik. Pócsi L. 200

Hexadecimális (tizenhatos) számrendszer Átalakítása során hasonlóan a nyolcas számrendszernél megismert módon az adott szám bináris megfelelőjéből indulunk ki. z LS felől 4 bitnyi csoportokra osztjuk a bináris számot, és egyenként decimális számmá alakítjuk. Ezek lesznek a hexadecimális szám számjegyei. Kiegészítés az MS elé írt 0 -kal 43 ( 0) 00(2) 0000 (2) LS 2 2 2 (6) Pócsi L. 200 2

Pócsi L. 200 3

z információkódolása z INFORMÁCIÓ valamely jelenségre vonatkozó értelmes közlést jelent, általános megfogalmazásban az INFORMÁCIÓ bizonyos fokú tájékozatlanságot szüntet meg. z DT az információnak a konkrét megjelenési formája. z információ szimbólumok sokaságából áll. Egy szimbólumhalmaz meghatározott rendszere alkotja a KÓDOT, amelyet KÓDSZVK alkotnak. Két szimbólumhalmaz egymáshoz rendelését KÓDOLÁSNK nevezzük. kódokat karakterkészletük szerint két csoportra osztjuk:. Numerikus kódok (csak számokat tartalmaznak) 2. lfanumerikus kódok (betűket és számokat is tartalmaznak) Pócsi L. 200 4

ináris kódolásúszámrendszerek CD inary Coded Decimal vagyis binárisan kódolt decimális számot jelent. (8 4 2 súlyozású) Egy decimális szám minden számjegyét külön átalakítjuk bináris számmá. 359 (0) 00 00 00 (CD) Háromtöbbletes kód (Excess 3, Stibitz kód ) decimális számokhoz a náluk hárommal nagyobb szám bináris megfelelőjét rendeljük hozzá. Sajátossága, hogy minden kódszó tartalmaz legalább egy darab egyest és a kód önkomplementáló. 359 (0) 00 000 00 (Stibitz) Pócsi L. 200 5

ináris kódolásúszámrendszerek iken kód: olyan négybites kódrendszer, ahol az egyes bitek súlyozása 2-4-2-. kódszavak a 0 4 tartományban megegyeznek a CD kódszavakkal. súlyozása miatt a legnagyobb szám a decimális 9. Gray kód: alapváltozata 4 biten a decimális számjegyeket kódolja úgy, hogy az egymást követő kódszavak csak egy bitben térjenek el egymástól. Nagyon jól használható időzítési problémákból adódó kódhibák kivédésére. Pócsi L. 200 6

ináris kódolásúszámrendszerek Johnson kód: szintén egylépéses kód, ahol a tiszta 0 értékű kód után az LS felől minden lépésben feltöltődik egyesekkel, majd a tiszta est tartalmazó kód után nullákkal töltődik és visszatérünk a kiinduló kódhoz. Pócsi L. 200 7

Hibaellenőrzőés hibajavítókódok digitális adatok átvitele során külső zavarok okozta kódhibák léphetnek fel. Egy sérült kódszó akár egy másik értelmes de eltérő jelentésű kóddá is változhat, ezért nagyon fontos, hogy az ilyen átviteli hibákat fel tudjuk fedezni és esetleg ki is javítani. Erre csak akkor van lehetőségünk, ha a kódolt hasznos információ mellé kiegészítő ellenőrző információt is beépítünk a kódba. (Redundáns információ) z így kialakított kódrendszerek két csoportba sorolhatók:. Hibaellenőrző kódrendszerek (Error Detecting Code) 2. Hiba javító kódrendszerek (Error Correcting Code) Valamely kódban felismerhető ill. javítható hibák számának mértéke az un. Hamming féle h távolság. Két kódszó Hamming távolsága megegyezik a két kód eltérő bitjeinek számával. Pócsi L. 200 8

Paritás ellenőrzőbit bináris kód minden egyes kódszavát egy redundanciát létrehozó paritásbittel egészítjük ki. paritásbit tehát megnöveli a kódszavak hosszát, így kétszer annyi kódszó áll elő mint amennyi az információ kódolásához kellene. kódrendszer Hamming távolsága 2. paritásbittel való kiegészítés kétféleképpen lehetséges:. Páros paritás esetén a kódszóban található egyesek darabszámát a paritásbit párosra egészíti ki, vagyis ha a kódszó eredetileg páros számú est tartalmazott akkor a paritásbit 0, egyébként. 2. Páratlan paritás alkalmazásakor a kódszóban található egyesek darabszámát a paritásbit páratlanra egészíti ki. hiba csak akkor fedezhető fel ha páratlan darabszámú es változott meg! Pócsi L. 200 9

Pócsi L. 200 20

Logikai algebra George oole (85 864) angol matematikus fektette le a logikai törvényszerűségek matematikai nyelven történő leírásának alapjait. Emiatt a logikai algebrát oole algebrának is nevezik. oole algebrában a logikai igaz (true) állításnak az, a logikai hamis (false) állításnak a 0 érték felel meg. Így a bináris számrendszerrel nagyon könnyen leírhatók a logikai folyamatok. logikai algebra változói olyan mennyiségek amelyek csak 0 vagy értéket vehetnek fel. változókat általában az abc nagy betűivel jelöljük. Egy változó igaz értékét magával a betűvel, míg hamis értékét a betű fölé húzott vonással jelöljük. igaz hamis Pócsi L. 200 2

Logikai függvények logikai feltételek és hatásukra bekövetkező események közötti kapcsolat matematikailag logikai függvényekkel írhatók le. emeneti független változók X X 2 X 3... X n Függvény kapcsolat (logikai) F F 2 F 3... F n Kimeneti függő változók logikai algebra alapfüggvényei a NEM, ÉS, VGY kapcsolatok. NEM tagadás jelölése a felülvonás a változó betűjele fölött ÉS kapcsolat jelölése a szorzásjel ( ) pl.: VGY kapcsolat jelölése az összeadás jele () pl.: E három függvényt tartalmazó logikai rendszereket NÉV rendszernek nevezzük! Pócsi L. 200 22

Logikai függvények Igazságtáblázat olyan táblázat, amelyben egy logikai függvény a lehetséges összes bemeneti kombinációra adott kimeneti értékét tartalmazza. logikai függvények adott bemeneti kombinációra adott válaszát az igazságtáblázatából olvashatjuk ki. NOT vagy negáció Jelölése: F Α Igazságtáblázata: NEM függvény F 0 0 Pócsi L. 200 23

Logikai függvények ND vagy konjukció Jelölése: F Igazságtáblázata: ÉS függvény F 0 0 0 0 0 0 0 OR vagy diszjunkció Jelölése: F Igazságtáblázata: VGY függvény F 0 0 0 0 0 Pócsi L. 200 24

Logikai függvények NND függvény Jelölése: F Igazságtáblázata: NOR függvény Jelölése: F Igazságtáblázata: NEM ÉS függvény NEM VGY függvény F 0 0 0 0 0 F 0 0 0 0 0 0 0 Pócsi L. 200 25

Logikai függvények Kizáró VGY függvény XOR (exclusive OR) vagy NTIVLENCI Jelölése: F F 0 0 0 0 0 0 Megengedő ÉS függvény EOR vagy EKVIVLENCI Jelölése: F F 0 0 0 0 0 0 Pócsi L. 200 26

Logikai függvények jellemzői Kommutativitás (felcserélhetőség): az ÉS ill VGY kapcsolatban szereplő változók felcserélhetőségét jelenti. vagy sszociativitás (csoportosíthatóság): lehetővé teszi, hogy a függvényben szereplő azonos műveleteket tetszőleges sorrendben végezzük el. (C ) C ( ) Disztributivitás (szétválaszthatóság): e szerint mindegy, hogy először a VGY és azután az ÉS kapcsolatot végezzük el, vagy fordítva. ( C) ( ) ( C) Pócsi L. 200 27

. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Logikai algebra alaptételei 0 0 0 0 De Morgan azonosságok: 28 Pócsi L. 200

Logikai függvények szabályos alakja logikai függvények szabályos (kanonikus) alakjának alkalmazásával egy függvénykapcsolat csak egyféleképpen írható fel. lapfogalmak Term: független változók csoportja, amelyeket azonos logikai kapcsolattal kötünk össze. Minterm: a változók között ÉS kapcsolat van és minden változó ponált vagy negált alakban csakis egyszer szerepelhet. Maxterm: a változók között VGY kapcsolat van és minden változó ponált vagy negált alakban csakis egyszer szerepelhet. Diszjunktív szabályos (normál) alak: olyan logikai függvény amely mintermek VGY kapcsolatából áll. Konjuktív szabályos (normál) alak: olyan logikai függvény amely maxtermek ÉS kapcsolatából áll. Pócsi L. 200 29

Logikai függvények egyszerűsítése műszaki gyakorlatban alapkövetelmény, hogy a logikai hálózatokat a lehető legkevesebb áramkörrel kell létrehozni. Ennek érdekében a logikai függvényeket a lehető legegyszerűbb alakra kell hozni. z egyszerűsítéshez használhatjuk a már megismert oole algebra alaptételeit, ekkor algebrai egyszerűsítésről beszélünk. Pl.: egyszerűsítsük a következő függvényt: F 3 C C C 3 F ( C ) C ( ) Pócsi L. 200 30

Logikai függvények grafikus egyszerűsítése MINTERM táblák MXTERM táblák Pócsi L. 200 3

Kapuáramkörök ntivalencia Pócsi L. 200 32

Kombinációs hálózatok tervezése kimenetek állapota csak a bemeneti változók értékétől függ! kimenetek állapota a bemeneti változók értékén felül a kimeneti változók előző értékeinek is függvénye! Pócsi L. 200 33

Kombinációs hálózatok megadási módjai. Szöveges megadási mód (működési leírás) 2. Táblázatos leírásmód (igazságtáblázat) 3. Logikai vázlat (kapuáramkörökkel, szimbólumokkal) 4. lgebrai alak (pl.: F ) 5. Grafikus megadás (K V táblában) Feladatmegoldás következik! Pócsi L. 200 34

Funkcionálisan teljes rendszerek z előzőekben láthattuk, hogy INVERTER, ÉS, VGY kapuk felhasználásával tetszőleges logikai hálózat megvalósítható. Ezért a NÉV rendszert funkcionálisan teljes rendszernek nevezzük. Hátrányos tulajdonsága viszont, hogy szinte minden hálózat háromféle kapuáramkört tartalmaz, ami a gyakorlati (gazdaságossági) szempontokból nem előnyös. NÉV rendszeren kívül két funkcionálisan teljes rendszer létezik: a) Tisztán NND kapukból álló NND RENDSZER b) Tisztán NOR kapukból álló NOR RENDSZER Valójában ez azért lehetséges, mert NND vagy NOR függvényekkel előállítható a NEM, ÉS, VGY kapcsolatok mindegyike. Pócsi L. 200 35

INVERTER, VGY, ÉS kapcsolatok NND függvény : F Igazságtáblázata Inverter készítése F F 0 0 0 & F 0 0 & F Pócsi L. 200 36

INVERTER, VGY, ÉS kapcsolatok ÉS kapcsolat : F NND : F Negáljuk egyszer F tehát kész az ÉS kapcsolat & F & F Pócsi L. 200 37

INVERTER, VGY, ÉS kapcsolatok VGY kapcsolat: F F negáljuk kétszer F & & & F Pócsi L. 200 38

NND hálózat kialakítása tisztán NND alakú függvény legkönnyebben a MINTERM KV táblából kiolvasott diszjunktív alakú függvényből alakítható ki. z átalakításhoz a függvényt kétszer negáljuk (értéke nem változik) és a De Morgan azonosságokat alkalmazva a negációt felbontjuk, így kialakul a NND függvény! Lássuk a gyakorlatban: F C D kétszer negáljuk F C D Felbontjuk az egyik negációt és értelmezzük a tagok közti VGY kapcsolatra F C D ( Realizáljuk ) Pócsi L. 200 39

Feladatmegoldás Készítsük el az F 3 rendszerben és NND rendszerben is! 3 (0,, 3, 6, 7) függvényt NÉV kiolvasott függvény: F C Negáljuk kétszer a NND alak eléréséhez: F C F C ez NND alak! Pócsi L. 200 40

Feladatmegoldás Pócsi L. 200 4

MXTERM tábla és a konjuktív alak MXTERM tábla a MINTERM tábla inverze (negáltja)! MINTERM MXTERM Pócsi L. 200 50

Minterm Maxterm átalakítás z átalakítás fő szabálya, hogy a MINTERM táblában található egyesek ( ) pozíciójába a MXTERM táblában nullákat ( 0 ) írunk, és természetesen a nullák helyére egyeseket. z így kapott MXTERM K V táblából a függvény konjuktív alakját olvashatjuk ki. Konjuktív alak: a változók között VGY kapcsolat, TERMek között ÉS kapcsolat van. Pócsi L. 200 5

Maxterm Minterm átalakítás z átalakítás fő szabálya, hogy a MXTERM táblában található egyesek ( ) pozíciójába a MINTERM táblában nullákat ( 0 ) írunk, és természetesen a nullák helyére egyeseket. z így kapott MINTERM K V táblából a függvény diszjunktív alakját olvashatjuk ki. Diszjunktív alak: a változók között ÉS kapcsolat, TERMek között VGY kapcsolat van. Pócsi L. 200 52

Függvény kiolvasás MXTERM táblából Olvassuk ki az alábbi MXTERM táblából az egyszerűsített konjuktív alakú függvényt! F ( C) ( D) ( D) Pócsi L. 200 53

MXTERM sorszámos alak MXTERM sorszámos alak a MINTERM sorszámos alakhoz hasonlóan az adott táblázatban található egyesek ( ) celláinak sorszámát sorolja fel! Mivel a táblák egymásba könnyen átalakíthatók, ezért egy függvény bármely alakjából eljuthatunk a diszjunktív és a konjuktív egyszerűsített alakhoz egyaránt. MXTERM sorszámos alak formája: F 4 Π 4 ( 0,, 5, 8, 2, 3, 5) Pí Pócsi L. 200 54

NOR hálózat kialakítása NOR kapu is univerzális építőelem, hasonlóan a NND kapuhoz. Ez azért lehetséges mert a három logikai alapművelet mindegyike kialakítható tisztán NOR kapukból álló hálózatból. NOR rendszer tehát funkcionálisan teljes rendszer! Pócsi L. 200 55

INVERTER, VGY, ÉS kapcsolatok NOR függvény : F Igazságtáblázata Inverter készítése F F 0 0 0 0 F 0 0 0 0 & F Pócsi L. 200 56

INVERTER, VGY, ÉS kapcsolatok VGY kapcsolat : F NOR : F Negáljuk egyszer F tehát kész a VGY kapcsolat F F Pócsi L. 200 57

Pócsi L. 200 58 INVERTER, VGY, ÉS kapcsolatok ÉS kapcsolat: F kétszer negáljuk F F F Ez már NOR alak

NOR hálózat kialakítása tisztán NOR alakú függvény legkönnyebben a MXTERM KV táblából kiolvasott konjuktív alakú függvényből alakítható ki. z átalakításhoz a függvényt kétszer negáljuk (értéke nem változik) és a De Morgan azonosságokat alkalmazva a negációt felbontjuk, így kialakul a NOR függvény! Lássuk a gyakorlatban: F ( ) ( C D) kétszer negáljuk F ( ) ( C D) Felbontjuk az egyik negációt és értelmezzük a tagok közti ÉS kapcsolatra F C D ( Realizáljuk ) Pócsi L. 200 59

Feladatmegoldás ( ) 3 3 Készítsük el az F Π 0,, 4, 6, 7 rendszerben és NOR rendszerben is! függvényt NÉV kiolvasott függvény: F ( ) ( ) ( C) Negáljuk kétszer a NOR alak eléréséhez: F ( ) ( ) ( C) F ( ) ( ) ( C) ez NOR alak! Pócsi L. 200 60