Közelítő módszerek általános elmélete Konkrét véges differencia sémák

Közelíő módszerek álaláos elmélee Kokré véges dereca sémák Szépszó Gabrella szepszo.g@me. Előadások ayaga: p://mbs.ele./~melo

Ismélés: dro-ermodamka egyeleek Mozgásegyeleek Koás egyele Termodamka egyele Nedvesség koás egyelee dv d p g v d dvv d dq dt dp c p d d d dq M d F S Állapoegyele p RT Közelíések: légkör vasagságáak elayagolása droszaks közelíés sb. ANALITIKUSAN TOVÁBBRA SEM OLDHATÓ MEG! Aalks megoldás áyába merks módszerek 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo

Sekélyvíz (sallow waer) egyeleek 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 3

Sekélyvíz (sallow waer) egyeleek A olyadék verkáls kerjedése elayagolaó a orzoálsoz képes verkálsa omogé összeyomaala súrlódásmees orgó közeg: 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 3

07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 3 A olyadék verkáls kerjedése elayagolaó a orzoálsoz képes verkálsa omogé összeyomaala súrlódásmees orgó közeg: y p z v w y v v v v d dv v p z w y v d d g z p d dw 0 0 z w y v D y v y g y v v v v v g y v Horzoáls mozgásegyeleek: Hdroszaks közelíés: Dvergeca-meesség: Sekélyvíz (sallow waer) egyeleek

07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 4 D leárs advekcós egyele: Gravácós-llám agoka aralmazó egyele: Leárs advekcó + gravácós-llám agoka aralmazó egyele: 0 c 0 0 H g 0 0 0 0 H g D y v y g y v v v v v g y v Vzsgáladó egyeleek

Közelíedő operáorok Időbel derválak: Térbel derválak: 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 5

Térbel és dőbel dszkrezácó Horzoáls koordáák (gömb koordáák síkbel leképezések) Véges dereca modellek (rácsok) Spekráls modellek (orzoáls ráyba orogoáls gv. redszer szer sorejés) Verkáls koordáák (elszíköveő yomás brd..) Eplc mplc és egyéb sémák p e r e m e l é e l e k =0 +6 + +8 +4 +30 +36 +4 o p o k 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 6

Eler és Lagrage- szemléle Eler-szemléle: rögzíe rács c 0 +d +d Lagrage-szemléle: a olyadékelem köveése d d 0 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 7

A olyoos elada

Folyoos elada Teksük a kövekező (... korrek kűzésű) eladao: L : R B B L : B D Baac - erek B leárs L B RL B. B B B L B A közelíő megoldásra kééle módszer-család:.) Véges-dereca módszer (amarosa).) Projekcós-varácós módszerek pl. Galjork módszer (később) 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 9

Alapogalmak Közelség y = A pl. Közelíés: a) bemeő adao közelíjük pl. () polomokkal Forer-sorral való közelíése (spekráls közelíés) b) az A operáor közelíjük pl. (véges derecák) b y ( ) d a 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 0

07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo R X X X : ;. 3 3 0 0 R X X : ;. 0 0 0 Teljes merks ér Baac ér Merks és ormál erek Normák: p b a p L p ab C d L ab C R p ) ( ) ( ma : ér c) : ér b) : a) Hlber-ér Már-ormák:. sp ma ma v v A A a A a A v j j j j 0

Hbák 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo

Hbák A merks modell megoldása sorá jelekező bák orrása:. A maemaka modell bája. Kdlás adaok bája 3. Közelíő módszer bája 4. Kerekíések sorá ellépő ba 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo

Hbák A merks modell megoldása sorá jelekező bák orrása:. A maemaka modell bája. Kdlás adaok bája 3. Közelíő módszer bája 4. Kerekíések sorá ellépő ba Ha a ba em szszemaks akkor a bák akkmlálódása elayagolaó 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo

Hbák A merks modell megoldása sorá jelekező bák orrása:. A maemaka modell bája. Kdlás adaok bája 3. Közelíő módszer bája 4. Kerekíések sorá ellépő ba Álagos szélsebesség-elérés [m/s] Időszak: 008/05/0 008//30; magasság: 00 m Ha a ba em szszemaks akkor a bák akkmlálódása elayagolaó 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo

07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 3 Korrekség Hogya ügg a megoldás a bemeő adaokól? ) ( 0) ( 0 0) ( 0 y y bemeő Példa em korrek eladara: ) ( ) ( A A y Korrekség = egzszeca + cás + sablás Bemeő ada: Eez arozó megoldás: ) ( A y y Belső lajdoság!

Sablás 0 y cos y cos 0 rváls megoldás e y e y A elada a Rayleg-Taylor sablás modellez: p://www.yobe.com/wac?v=qlm8p-eac Sablás: y megoldás sabl a y olyoosa ügg -ől. Kezde ks -ből agy y sablás ekkor a elada közvele megoldására em célszerű merks módszer alkalmaz 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 4

Sabl : y c a c ellekező esebe a kezde ba agyo megövekede (gyege sablás) A em korrek elada elyeesíeő korrek közel eladaal: p paraméerrel p 0 eseé a elada ar az erede eladaoz és a megoldás s ar az erede megoldásoz reglarzácó 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 5

A közelíés

Függvéyek rácso X a b () olyoos üggvéy Rács: d d k k a= + b= J üggvéy a rácso A rácso a d -él rövdebb llámosszak em íraók le. 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 7

() olyoos üggvéy üggvéy a rácso: A olyoos üggvéy ado poba becsüleő: * aol A rácso a d -él rövdebb llámosszak em íraók le. A közelíés jóságá példál Taylor-sorejéssel vzsgálajk. 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 8

Véges dereca módszerek L B B. B L B A véges dereca séma megadásáak lépése:.) Normál erek sorozaáak megadása: B B 0..) Véges dereca séma megadása: L v v B B L : B B. B v L B φ 3.) és B elemeek összeasolíása B 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 9

07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 0 Példák rácsra:.) Egyelees rács:.) Nem egyelees rács: 3.) Egyelees rács síko: 4.) Izomerks rács: a b a a b a b a ; ; : 0 b a 0 d y c b a 0 3 0 4 a b d c

Elvár / vzsgál lajdoságok Kompablás Korrek kűzés (sablás) Appromácó kozszeca Kovergeca 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo

Kompablás Mde -oz léezze egy operáor amelyre. valam. P kompablás eléel: Példa: B a b B Legye P ma. C C B P : B B és legyeek és eljesüljö mderre a - ra P 0 ma C a b leárs 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo.. a B B b P ()

Korrekség Korrekség = egzszeca + cás + sablás () () : B! v : L v (3) : v olyoosa ügg - ól. Belső lajdoság! L B v φ B Teá: oly a L : B B : v L egyeleese korláos B v L K. L - amely szer φ B Ekkor : v L L K 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 3

Appromácó Adoak: P P : : B B B L B P P és eljesík a kompablás eléel: B P P B P P 0 0. B v L L φ B 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 4

Deícók: B m. A véges d. séma az eleme m-ed redbe appromál a : L. Az L az L- m-ed redbe appromálja a B 3. A az -e m-ed redbe appromálja a P m P P L - re L m Kozszeca P L. P B L. B v φ 3. 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 5

Kovergeca Kovergeca: a véges dereca séma megoldása ar a poos megoldásoz azaz y v P 0 és y 0 v B P A kovergeca redje megegyezk az appromácó redjével: y m m vagy y K K -ól üggele 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 6

Gyakorla vzsgálaok

Gyakorla megvalósíás Kozszeca? Kovergeca Haékoyság?? Sablás 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 8

Kozszeca Kozszeca: 0 eseé a véges dereca-elada arso az erede eladaoz A gyakorlaba a derecál- és a dereca-egyele külöbségé vzsgáljk. 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 9

Példa: advekcós egyele (leárs D) F c F 0. A véges derecás egyele: F m F m F c m F m 0. A közelíés jósága (kozszeca redje) Taylor-sorejéssel vzsgálaó csokíás ba: Tr F 3 F c 3 6 3 + ---------- + ---------- + I I I I I I + ---------- + ---------- + I I F I I I I + ---------- + ---------- + m elsőredű másodredű 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 30

Sablás a gyakorlaba Sablás: a véges dereca séma belső lajdosága. A merks megoldás korláosságá szokák megköveel álaláosa a olyoos elada megoldása em korláos. Deícó: a merks séma bája rögzíe és eseé korláos marad az dőbe : az -edk dőlépcsőbe kelekező ba + = g áérés együaó Köveelméy: g dmezóba Több dmezóba g elye egy már áll és eek sajáérékeek kell (abszolúérékbe) -él em agyobbak le: N. 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 3

Eekvás Peraps some day e dm re wll be possble o advace e compaos aser a e weaer advaces ad a a cos less a e savg o makd de o e ormao gaed. B a s a dream. (L.F. Rcardso 9) Haékoyság: A számíógép véges kapacása álal szabo köveelméy. Ha agy poosságo szereék akkor ylvávalóa agy lesz a számíás géy s. = 0 + = 0 3 k k+ 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 3

Kovergeca A merks séma megoldása ar a poos megoldásoz a a (érbel és dőbel) rács elboása kellőe om. La-Rcmyer éel: KONZISZTENCIA + STABILITÁS = KONVERGENCIA egyeleek belső lajdoság megoldás 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 33

Kokré véges dereca sémák

Térbel véges dereca sémák Derválak ormáls elyeesíése Haározala együaók módszere

07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 36 d d L ) ( : b a C B b a B 3 P P a b a : / : 0 Példa.) : Derválak ormáls elyeesíése

07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 37 Derválak ormáls elyeesíése d d L A dervál közelíése: jobb oldal séma bal oldal séma középpo séma d.) c.) b.) a.) o - +

Derválak ormáls elyeesíése Appromácós red vzsgálaa Taylor-sorokkal: P L. P B v L B. φ 3. Lokáls appromácós red (ado poba) : L L. A lokáls appromácós red a-c.) eseé d.)-él pedg. 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 38

07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 39 Példa.) : 4 y k k k yy y k k k y y y y m c d a b k c a d y c b a C y y L Lássk be ogy a séma másodredű! Derválak ormáls elyeesíése

07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 40 Együaók megaározása megköveeljük a lokáls appromácós rede (más eléelek s eeők): 0 ebbe a poba 0 együaók sémába szereplő rácspook: q k k k a L 0 0 ) ( ) ( q k k k... ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( m q k k k L a L L 0 0 0 0 Haározala együaók módszere

Haározala együaók módszere Példa: alkossk egyedredű közelíés ()-re a j-edk rácspoba a köryező pook elaszálásával! j- j- j j+ j+ Kezdés: j k l m o j j j j j 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 4

Időbel derválak közelíése d d ( ) 0 ( ) 0 0 kezde-érék probléma ( )? ( ) d ez közelíjük 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 4

Eplc Eler I. Eler-módszer: ( ) () elsőredű eplc séma d d Sablás-vzsgála: 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 43

Emlékezeő: sablás Sablás: a véges dereca séma belső lajdosága. A merks megoldás korláosságá szokák megköveel álaláosa a olyoos elada megoldása em korláos. Deícó: a merks séma bája rögzíe és eseé korláos marad az dőbe : az -edk dőlépcsőbe kelekező ba + = g g: áérés együaó Köveelméy: g dmezóba Több dmezóba g elye egy már áll és eek sajáérékeek kell (abszolúérékbe) -él em agyobbak le: N. 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 44

Eplc Eler g g.) g 0 sablás eléel g.) 0 sabl ás 3.) kompleér ékű gv. ( csaol : egyele) 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 46

Eplc Eler Példa:.) Radoakív bomlás (de leee súrlódás elada) d 0 d (0) Megoldás : e sablás eléel : d.) Harmoks oszclláor: 0 : kérés sajárekv. d d v 0 d dv 0 d d v d 0 g g Isabl séma 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 47

Eler backward II. Eler backward séma: ( ) mplc elsőredű séma sablás Az eplc és mplc Eler-módszer elsőredbe poos sémák cél: a poosság övelése. 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 48

Leaprog séma III. Leaprog séma: ( ) dőbe cerál eplc másodredű poosság 0 - + 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 49

Leaprog séma III. Leaprog séma: ( ) dőbe cerál eplc másodredű poosság 0 - +? 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 49

Leaprog séma III. Leaprog séma: ( ) dőbe cerál eplc másodredű poosság 0 - +? A séma érzékey az dlásra: 0 ado de =() megadásáál óvaosa kell eljár. 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 49

. megoldadó probléma: a olyoos eladaál szükség va-e ké kezde eléelre? Fzka és számíás kezde eléel ogya adjk meg óbb? Leaprog séma Legye = 0 ekkor a ba agyságredje gyas 0... 0 Eler-séma (orward backward) az első dőlépcsőbe redű ba de csak deg járl ozzá a globáls báoz eá agyságred 0 Segédlépés az első dőlépcsőbe majd orward majd leaprog / agyságredű bá oz be 0 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 50

Sablásvzsgála ( ) Leaprog séma d Példa: d 0 sablás krérm:. 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 5

Leaprog séma. megoldadó probléma: a számíás módsz megjeleése m az? Nézzük meg a d d 0 egyelee! Jelölje a páros és a párala dőlépcsőbel érékeke: () () (Gyegé) csaol egyele-redszer: d 0 d d 0 d (') (') 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 5

Leaprog séma (' ' ) : ('-') : d( ) 0 d d( ) 0 d d d 0 módsz:. A kdlás derecálegyeleez arozk. Fkív számíás módsz dőlépéseké előjele vál Megoldás: a keő leárs kombácója a számíás módsz elorzíaja a megoldás. 0 - + Probléma: emleárs esebe a számíás módsz amplúdója az dővel ő erről később 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 53

07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 54 Eplc másodredű IV. Eplc kélépéses másodredű séma: ) ( ) ( / / / Eler segédlépés Abba külöbözk a leaprog sémáól ogy a segédlépés a kövekező dőlépcsőbe már em kerül elaszálásra. Rge-Ka módszercsalád 0 - + Ka Rge

07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 55 Eplc másodredű g Sablás aalízs: 0 g( ) g - / -

07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 56 Implc másodredű V. Másodredű mplc módszer: 0 g g g g g képzees

07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 57 Tovább dőbel véges dereca sémák Kalay E. 00: Amosperc Modelg Daa Assmlao ad Predcably c H : P :

Tovább dőbel sémák Kalay E. 00: Amosperc Modelg Daa Assmlao ad Predcably 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 58

Radoakív bomlás eladaa dm m 0 d m(0) Megoldás : m e Sablás eléel : Tszá lászk ogy eél agyobb dőlépcsőkre a ba em marad korláos! Sablás zka érelem? 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 60

Implc Eler séma Sablás eléel : 0 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 6

Leaprog séma Sablás aalízse: Ha g szá valós cs képzees rész (aogya s) akkor az egyk gyök mdg agyobb -él sablás! Számíás módsz! Oszclláló megoldás számíás módsz szűrése 07. szepember 8. p://mbs.ele./~melo 6