4 MIKOLA SÁNDOR FIZIKAVERSENY ásodik fordulójának egoldása 5 árcius 7 Gináziu 9 éfolya ) Egy test ízszintes talajon csúszik A test és a talaj közötti csúszási súrlódási együttható µ Egy ásik test α o -os súrlódásentes lejtőn csúszik felfelé A testek sebessége egy bizonyos pillanatban azonos o 84 /s a) Mekkora µ értéke ha az előző pillanat után azonos utat tesznek ég eg a egállásig és ekkora ez az út? b) Mekkora lesz a sebességük a egállásig tartó ozgás félidejében? c) Mekkora lesz a sebességük a egállásig egtett út felénél? (Zsigri Ferenc Budapest) a) A ízszintes talajon ozgó test gyorsulása µg a lejtőn ozgóé gsinα 5 /s nagyságú A ellékelt ábra a testek sebesség-idő grafikonját utatja Egy bizonyos időközben a egtett út érőszáa egegyezik a görbe alatti terület érőszááal A egállásig eltelt idő t o o /a ezzel a egtett út s t o o / ( o /)( o /a) o /a 76 7 csak akkor lehet a két test esetében azonos ha azonos a gyorsulásuk tehát µ sinα 5 b) A sebesség egyenletes csökkenése iatt félidőben a sebesség a kezdősebesség fele o / 4 /s c) A teljes s utat egadó nagy hároszög területének fele az s/ utat egadó kis hároszög területe Miel ezek hasonlók és a területek aránya a hasonlóság arányának négyzete ai / ezért a hasonlóság aránya / agyis félúton a sebesség 594 /s 6 /s / ) Vízszintes talajon nyugó 8 kg/ sűrűségű c oldalélű hoogén fakockát g töegű löedék üt át a töegközéppontján átenő ízszintes sebességgel A fakocka az ütközés helyétől 5 éterre áll eg a löedék pedig éterre ér talajt A csúszási súrlódási együttható értéke a fakocka és a talaj között 5 Az ütközést (azaz a hasábon történő áthaladást) tekintsük pillanatszerűnek a közegellenállást hagyjuk figyelen kíül! a) Mekkora olt a löedék sebessége az ütközés előtt? b) Hány százalékos olt a echanikai energiaeszteség az ütközés során? a) A fakocka töege M ρ V 8 kg ütközés utáni w sebessége a unkatétel alapján: µ Mgs Mw w µ gs 5 /s (Szkladányi András Baja) A löedék az ütközést köetően ízszintes hajítással ozog toább Ütközés utáni u sebessége a kineatikai egyenletekből kapható: g h t és d u t u d t d g h /s A löedék ütközés előtti sebessége a lendület-egaradás törénye alapján: Mw + u
4 MIKOLA SÁNDOR FIZIKAVERSENY ásodik fordulójának egoldása 5 árcius 7 Mw + u 4 /s b) A echanikai energiaeszteség: E E ech ech E E ech 6 J ech u + Mw Eech u + Mw E E 4 J ech ech Tehát a echanikai energia 7475%-a ész el az ütközés során -7475 ) Egy pici töegű ágnest a sík aslap F 4g nagyságú erőel onz A asleezt egdöntjük úgy hogy a ízszintessel 6 o -os szöget zárjon be A tetejéről sebességgel kell indítani a pici ágnest a asleez felső felületén hogy éppen eljusson az aljára Az aljáról sebességgel kell indítani hogy éppen feljusson a tetejére A : arány a) Mekkora a ágnes és a asleez közötti csúszási súrlódási együttható értéke? b) Mekkora a arány ha az előző folyaatok a asleez alsó felületén játszódnak le? : a) Alkalazzuk a unkatételt a négy ozgásra: W E ozg (Sion Péter Pécs) o h ( 4g + g cos 6 ) gh µ o sin 6 o h gh µ ( 4g + g cos 6 ) o sin 6 o h gh µ ( 4g g cos 6 ) o sin 6 o h gh µ ( 4g g cos 6 ) o sin 6 A fenti egyenleteket egyszerűsíte és rendeze adódik a köetkező négy egyenlet: 9 gh µ () 9 gh µ + () 7 gh µ () 7 gh µ + (4) Az () és () egyenleteket osszuk el egyással és használjuk fel a : arány értékét ( ): 9 µ + 9 µ Ebből: µ 85 9
4 MIKOLA SÁNDOR FIZIKAVERSENY ásodik fordulójának egoldása 5 árcius 7 b) Az (4) és () egyenleteket osszuk el egyással használjuk fel a csúszási súrlódási együttható értékét: 7 µ + 7 5 µ 5 4 4) Egy kerékpár kereke tisztán gördül a ízszintes talajon a) Mekkora sebességgel halad egyenletesen a izsgált kerékpár (sárédő nélküli) ha R 5 c sugarú első kerekének legfelső pontjáról egy kis sárdarab álik le ajd az úttestre eső kis sárdarab éppen a keréknek ugyanarra pontjára tapad issza aelyikről lerepült? b) Határozd eg a keréken azokat a kerületi pontokat aelyek sebességének nagysága az úttesthez képest egegyezik a kerékpár haladási sebességének nagyságáal! A fenti kérdésekre adott álaszaidban legyen ábra és száítás is! (Mező Taás Szeged) a) A kérdés egálaszolásához azt kell egizsgálni hogy a kerék legfelső pontjából kezdősebességgel ízszintesen elhajított sárdarabkának a talajra érkezésig egtett ízszintes elozdulás-koponensének nagysága (x) egegyezhet-e a kerék fél-kerületéel illete annak páratlan száú többszöröséel? A ízszintes hajítás ideje: x t g 4 R R y R t t g g A hajítás ízszintes elozdulás-koponense: R R x 4 g g Ennek kell a fél-kerület páratlan száú többszöröséel egegyeznie: ( ) x k + R π ahol k R 4 ( k + ) R π g ( ) x k + R g π R g π R g π 4 4 4
4 MIKOLA SÁNDOR FIZIKAVERSENY ásodik fordulójának egoldása 5 árcius 7 Tehát égtelen sok jól eghatározható sebesség esetén is létrejöhet a kérdezett eseény A kerékpár sebességének lehetséges értékei: 5 k/h 59 k/h 64 k/h 7 k/h 477 k/h 58 k/h b) Tisztán gördülés során a kerék talajjal érintkező pontja a talajhoz képest áll pillanatnyi forgástengely szerepet játszik Az ettől a ponttól R táolságra léő kerületi pontok sebessége a talajhoz képest: ω R Így a keresett pont (aiből kettő is an) a kerék középpontja és a kerék talajjal érintkező pontja egy szabályos hároszöget alkot A keresett pontnak két kerületi pont is egfelel aelyhez húzott sugár a függőlegessel éppen 6 fokos szöget zár be hátra- és lefelé és előre- és lefelé is 4
4 MIKOLA SÁNDOR FIZIKAVERSENY ásodik fordulójának egoldása 5 árcius 7 Szakközépiskola 9 éfolya ) A repülőtéren elhagyott csoagot találnak a biztonsági őrök A bobaeszély iatt két kis lánctalpas táirányítós robottal közelítik eg a csoagot A gyorsabb haladás érdekében a robotokat a repülőtéri ozgójárdára irányítják azonban csak az egyiket sikerül olyan járdára juttatni aely a csoag felé ozog a ásik iszont éppen ellenkezőleg Ha a ozgójárda ozgásiránya egegyezik a robot sebességének irányáal akkor a lánctalp felső középső pontjának sebessége a talajhoz képest 8 /s Ha a ozgójárda ozgásiránya fordított akkor a lánctalp felső középső pontjának sebessége ár csak /s a) Mennyi idő alatt halad égig a két robot az 56 hosszú futószalagon az elített esetekben? b) Mennyi időt nyert a kedező irányú járdán ozgó robot illete ennyit esztett a rossz útra téedt járű ahhoz képest intha a folyosó ozdulatlan talaján haladtak olna? (Kiss Miklós Gyöngyös) a) A nyugó talajon haladó robot lánctalpának felső ízszintes szakasza a robot sebességének kétszereséel halad Ez a sebesség adódik hozzá a ozgólépcső sebességéhez Így a középső pont sebessége egyirányú ozgás esetén: + l 8 /s; ellentétes ozgás esetén l /s Ebből a robot sebessége /s Így egyirányú haladás esetén a robot sebessége + 6 /s; szebeozgásnál 8 /s l Az 56 éteres táot (t s/) t 5 s illete t 7 s alatt teszi eg a két robot l b) A folyosó ozdulatlan talaján t 46 7 s időre lenne szükséges az 56 éteres táolság egtételéhez Így az egyik robot 7 s időt nyert a ásik s időt eszít a folyosón aló ozgáshoz képest ) Egy kísérletben két testet indítunk egyszerre: az egyiket a talajszintről függőlegesen felfelé /s kezdősebességgel a ásikat 6 -rel agasabbról lefelé Mekkora kezdősebességgel indítsuk a ásodik testet hogy a két test a talajtól 5 -re találkozzon? (Dudics Pál Debrecen) Függőlegesen felfelé hajítás elozdulása: y t gt 5 5 t t t 4 t + ( t ) Az egyenlet két egoldása: a) t s; ég felfelé eelkedik a test b) t s; ár isszafelé esik a test A lefelé dobott testnek a találkozásig 45 -t kell egtennie: a) 45 t + gt ( ) 4 /s b) 45 t + gt ( ) /s ) Két diák Kérdezz! felelek játékot játszik iközben az úttesten egyenletesen haladó autókat figyeli Válaszold eg a kérdéseiket te is! a) Mi az ABS és i a kipörgésgátló? b) Van-e az ilyen rendszerekkel felszerelt autó kerekének olyan kerületi pontja aelyik sebességének nagysága az úttesthez képest egegyezik az autó sebességének nagyságáal? c) Magyarázd eg hogy az a) kérdésben szereplő berendezések űködése fizikai szepontból iért előnyös és fontos! A b) kérdésre adott (pozití agy negatí) álaszodat részletesen (ábrát is készíte) indokold! 5 (Mező Taás Szeged) a) Az ABS a odern autók alapfelszereltségébe tartozó (Anti-lock Braking Syste) fékezéskor űködő berendezés ai a kerekek egcsúszását hiatott egakadályozni A kipörgésgátló is sok korszerű gépjárű tartozéka ez leginkább induláskor gyorsításkor űködik és szintén a kerekek egcsúszását igyekszik egakadályozni
4 MIKOLA SÁNDOR FIZIKAVERSENY ásodik fordulójának egoldása 5 árcius 7 b) Az autó kerekének inden egyes pontja rendelkezik ugyanazzal a sebességgel aiel a kocsi halad A tengelyen kíül léő pontjainak eellett ég a tengely körüli körozgásukból adódó kerületi sebessége is an Miel {többek között az a) kérdésben szereplő eszközöknek köszönhetően} csúszásentes a ozgás a keréknek az alsó a talajjal éppen érintkező pontja inden pillanatban áll Ebből köetkezik a k és a (kerületi és haladóozgás sebességének) egyenlősége A kérdés hogy an-e az autó kerekének olyan kerületi pontja aelyik esetén ennek a két egyással egyenlő nagyságú sebességektornak az összege ugyanakkora int aguk a ektorok? Igen an Azokban a helyzetekben aelyekben a ektori összegzés egyenlő oldalú hároszöget ad Az ábrán is látható hogy ez két kerületi pontban teljesül aelyhez húzott sugár a függőlegessel éppen fokos szöget zár be hátra- és lefelé és előre-és lefelé is k Σ k Σ c) Az elített eszközök a kerekek egcsúszását igyekeznek egakadályozni Ez azért előnyös ert a csúszási súrlódási erő indig kisebb int a tapadási erő lehetséges axiális értéke Miel a tapadási együttható indig nagyobb int a csúszási ( µ µ ) F µ F Ft ax µ Fny > és: s ny Így a gyorsítás és a fékezés hatékonysága nagyobb a csúszásentes esetben aikor a tapadási erő léphet fel Ez különösen fontos a fékezés esetén ahol a fékút így röidíthető és ezzel a balesetek egy része elkerülhető illete kanyarodáskor a kisodródást egelőzendő 4) Vízszintes talajon nyugó 8 kg/ sűrűségű c oldalélű hoogén fakockát g töegű löedék üt át a töegközéppontján átenő ízszintes sebességgel A fakocka az ütközés helyétől 5 éterre áll eg a löedék pedig éterre ér talajt A csúszási súrlódási együttható értéke a fakocka és a talaj között 5 Az ütközést (azaz a hasábon történő áthaladást) tekintsük pillanatszerűnek a közegellenállást hagyjuk figyelen kíül! a) Mekkora olt a löedék sebessége az ütközés előtt? b) Hány százalékos olt a echanikai energiaeszteség az ütközés során? Ugyanaz int a Gináziu 9 éfolya feladata (Szkladányi András Baja) 6
4 MIKOLA SÁNDOR FIZIKAVERSENY ásodik fordulójának egoldása 5 árcius 7 Gináziu éfolya ) Egy α o -os hajlásszögű lejtőre helyeztünk egy R c sugarú M kg töegű hengert aelyet az ábra szerint ízszintes fonállal a lejtőhöz kötöttünk Legalább ekkora legyen a henger és a lejtő között a súrlódás együtthatója hogy a henger tartós nyugaloban aradjon? (Holics László Budapest) I egoldás a) A feladatnak egfelelő iniális súrlódási együtthatót keresünk tehát aikor a tapadási súrlódás a axiális értékét eszi fel agyis S µ K ahol K a lejtő által a testre ható kényszererő A hengerre ható erőket az ábra utatja ahol F a fonálerő Mg a nehézségi erő S a súrlódási erő: A hengerre ható erők eredője és a rá ható forgatónyoatékok összege Írjuk fel az erők lejtő irányú és az arra erőleges erők összegét! Mg sin α F cosα S K Mg cos α F sinα A tapadó súrlódási erő a határesetben: S µ K Csak a fonálerőnek és a súrlódási erőnek an forgatónyoatéka aelyek összege : FR SR F S Négy egyenletünk an négy iseretlennel (F S K µ) Figyelebe ée az utolsó két egyenletet az első kettő így írható: Mg sinα F cosα F Az elsőből: ait a ásodikba íra: F Mg cosα F sinα µ Mg sinα F + cosα Mg sinα Mg sin α Mg cosα µ ( + cosα ) + cosα Mg-el egyszerűsíte µ ( + cosα ) al szoroza rendezés után: sin µ ( + cosα) cosα µ sin α innen: α sinα µ 68 cos α + cosα + sin α II egoldás Írjuk fel a lejtő irányú erők eredőjét figyelebe ée hogy az S súrlódási és az F fonálerő nagysága azonos: F cosα + F Mg sinα ahonnan sinα 5 F Mg N 67949 N + cosα + 866 és a kényszererő: K Mg cosα + F sinα N 866 + 6 7949 5 N (K Mg!) A súrlódási együttható innen (S F figyelebe ételéel): µ S F 6 7949 67949 K K 68 7
4 MIKOLA SÁNDOR FIZIKAVERSENY ásodik fordulójának egoldása 5 árcius 7 III egoldás Felhasznála a fonálerő és súrlódási erő nagyságának egyenlőségét az ábra alapján eredőjük iránya a ízszintessel β 5 o -os szöget zár be Az erők eredőjének zérus olta csak úgy lehetséges hogy ha a kényszererő és nehézségi erő eredője is ugyanekkora szöget zár be a ízszintessel (agyis egy egyenesbe esik a fonál- és a súrlódási erők eredőjének hatásonaláal) Vegyük észre hogy a K és Mg erők által bezárt szög 5 o aelynek a fele éppen 75 o A két erő eredőjének iránya akkor lehet a ízszinteshez iszonyíta 5 o ha 9 o -ból kiona a 75 o -ot éppen 5 o hajlásszöget kapok Ez pedig az ábra szerint fennáll Látható hogy ez csak akkor lehetséges ha Mg K-al Az előző egoldásból felhasznála S értékét a súrlódási együtthatóra 68-et kapunk ) Egy test egyenes pályán síkos jégen ízszintes síkban súrlódásentesen 5 /s sebességgel halad A test két részből áll aelyek közül az egyik kg a ásik kg töegű A két rész úgy an összeköte hogy közöttük egy elhanyagolható töegű összenyoott rugó található Aikor az összekötés elszakad akkor a rugó a ozgásirányra erőleges irányban löki szét a testeket A szétlökődés után a kg töegű test ozgásiránya fokos szöget zár be az eredeti ozgásiránnyal a) Mekkora szöget zár be a ásik darab ozgásiránya az eredeti sebesség irányáal? b) Mekkora az egyes darabok lendülete? c) Határozzuk eg hogy ekkora rugalas energia tárolódott a rugóban! (Wiedeann László Budapest) a) A belső erők az összes lendületet ne áltoztatják eg tehát a szétlökődés után is az eredeti ozgásirányra erőleges irányban az összes lendülete nulla Az első rész ozgásirányra erőleges lendülete: A ásik részre hasonlóan: I y tg β I y Ix tgβ I x I tg o y o Iy I x tg Ix A ozgásirányra erőleges lendületkoponensek egyenlők a szétlökődés után: I β β I o o o tg I tg tg tg tg 849 I b) Az egyes részek lendülete és sebessége a szétlökődés után: Ix / I I 4 64 kg/s 7 /s cosα I x / I I 48 kg/s 6 6 /s cos β c) A szétlökődés előtti és utáni teljes kinetikus energia: / / E ( + ) x 56 5 J E + 686 J A szétlökődés során az összes echanikai energia ne áltozik A rugóban tárolt potenciális energia: E E E 7 J pot 8 β o
4 MIKOLA SÁNDOR FIZIKAVERSENY ásodik fordulójának egoldása 5 árcius 7 ) Az ábrán látható ékony bal oldali égén zárt csöet függőleges síkban tartjuk A cső L 475 c hosszúságú szárai a ízszintessel -os szöget zárnak be A nyitott égén keresztül olyan lassan öntünk higanyt a csőbe hogy az a falon le tud csorogni tehát csak a bal oldali csőben léő L hosszúságú leegőoszlopot zárja el a külilágtól A külső légnyoás 76 Hgc (76 c agas higanyoszlop nyoásáal egyenlő) a hőérséklet C a) Milyen hosszú lesz a higanyszál által bezárt leegőoszlop? Ezt köetően a csöet függőleges síkban óatosan úgy forgatjuk el hogy ne ööljön ki belőle higany és a zárt égű szára ízszintes helyzetbe kerüljön ( ábra) b) Milyen hosszú lesz ekkor a higanyszál által bezárt leegőoszlop? c) Mekkora hőérsékletre kell elegíteni ebben a helyzetben a bezárt leegőt ahhoz hogy a higanyszál felső ége isét a cső nyitott égéhez kerüljön? A higanygőz nyoásától és a kapilláris nyoástól alaint a higany hőtágulásától eltekinthetünk ábra ábra (Szkladányi András Baja) a) A lecsorgó higany a cső alján lezárja a bal oldali csőszakaszban léő leegőt aelynek nyoása kezdetben egegyezett a külső légnyoással ajd izoter folyaat során összenyoja Aikor a jobb oldali csődarab egtelik higannyal az x hosszúságú bezárt leegőoszlop p nyoása (a nyoások Hgc egységben értendők): x p p + Alkalazzuk a Boyle-Mariotte törényt az összenyoódó leegőre: x p LA p + xa x + p x p L x p + p + p L 8c (A ásik egoldás negatí tehát fizikai szepontból ne lehetséges) b) Az elforgatás közben szintén állandó hőérsékleten zajlik a bezárt leegő toábbi összenyoása A folyaat égén az y hosszúságú bezárt leegőoszlop p nyoása: 9 ( L x + y) p p + Alkalazzuk újra a Boyle-Mariotte törényt: ( L x y) p LA + p + ya Egyszerűsítés után érdees az adatokat behelyettesíteni (Hgc és c egységekben):
4 MIKOLA SÁNDOR FIZIKAVERSENY ásodik fordulójának egoldása 5 árcius 7 76 47 5 79 + ( 47 5 8 + y) y Átalakítások után a köetkező egyenletet kapjuk: ( 76 + 4 75 ) 6 y + y Az egyenlet fizikailag is érteles egoldása y c c) A elegítés után a bezárt leegőoszlop hossza isét x nyoása pedig: p p L + Toábbra is az eredeti állapottal összehasonlíta alkalazhatjuk az egyesített gáztörényt: p L xa p LA + T T A bezárt leegőt tehát T 6 K 88 C hőérsékletre kell elegíteni 4) Vízszintes ékony szigetelő rúdon két a rúdra erőleges egyfora éretű de ne egyfora töegű szigetelő anyagból készült elhanyagolható astagságú kör keresztetszetű sík lap súrlódás nélkül ozoghat A lapokat a rúd a töegközéppontjukban döfi át és egy eredetileg nyújtatlan szigetelőből készült rugó köti őket össze a rúddal párhuzaosan A lapok közötti táolság sokkal kisebb int a körlapok sugara A lapokat egyenletesen pozití töltéssel feltöltjük és a rendszert légüres térben agára hagyjuk a) Mekkora a axiális sebesség kialakulásakor a rugó egnyúlása és az egyes lapok elozdulása? b) Mekkora lesz a lapok axiális sebessége? c) Milyen energia csökkenése fedezi a echanikai energiák nöekedését? Paraéteres száolással igazold a axiális sebesség kialakulásának folyaatára érényes az energia egaradásának törénye! ( A szórt ezőtől és inden eszteségtől tekints el!) Adatok: indkét lap töltése Q 6 N ε C a bal oldali lap töege 5 g a jobb oldali lap töege pedig a lapok felülete A 4 - a rugóállandó D 5 N/ Q + A D Q (Koncz Károly Pécs)
4 MIKOLA SÁNDOR FIZIKAVERSENY ásodik fordulójának egoldása 5 árcius 7 a) A ax ha az erők eredője zérus: D l E+ Q Q D l ε A Q l ε AD A töegközéppont helyben aradása iatt: l j x l b x b) Az előző egyenletek alapján: Miel a folyaatban: W E kin Q D l xj xj ε A D l D D l xj l xj xj D x j 5 j c/s I áll b c/s j c) Az elektrosztatikus ező energiájának csökkenése fedezi a echanikai energiák nöekedését A ezőt figyele: E D + E ech D( l) + 6j ( l) + ech j 4 ech D ( l) l + 6 j D E E ező ech ( l) E D E ező Q A ε l A ε Q l ε A E ( ) ező D l l D l
4 MIKOLA SÁNDOR FIZIKAVERSENY ásodik fordulójának egoldása 5 árcius 7 Szakközépiskola éfolya ) Adott pillanatban egy toronyból elejtünk egy kiséretű rugalas golyót Egy kis idő úla a toronyból leejtünk egy ásik golyót is Az első golyó t s idő alatt éri el a ízszintes talajt és onnan isszapattan Ezután a golyók először pontosan az indítási hely és a talaj közötti táolság felénél találkoznak A légellenállás elhanyagolható Mennyi idő telt el a két golyó leejtése között? (Kotek László Pécs) Legyen a torony agassága h! Az első golyó t idő alatt pattan fel a h/ agasságig a ásodik golyó pedig t idő alatt süllyed le a h/ agasságig A keresett t idő: t t + t t A golyók sebessége a találkozás pillanatában az energia-egaradás iatt azonos Legyen ez! A sebességekre igaz: Ezekből: A keresett t idő: gt gt gt gt t gt gt t t t t t + t t t ( t t ) A szabadesés út-idő összefüggése szerint: g h h g t t Ezekből: t t A két golyó leejtése között eltelt idő: t t t t ( ) t 7 s
4 MIKOLA SÁNDOR FIZIKAVERSENY ásodik fordulójának egoldása 5 árcius 7 ) Egy gondosan kiegyensúlyozott középen ékkel alátáasztott l hosszúságú szalaszál két égén egy-egy bogár helyezkedik el Az egyik égén ég egy g töegű pontszerű nehezék is függ az ezen a égén léő bogár töege g a ásik égén léőé g Az töegű bogár egy adott pillanatban 5 c/s állandó sebességgel ászni kezd a szalaszál közepe felé Mekkora sebességgel kell ásznia a felborulástól egijedt töegű bogárnak hogy a szalaszál ne billenjen le? (Holics László Budapest) I Megoldás A szalaszál akkor ne billen le ha a nehezék és a két bogár alátáasztásra onatkozó forgatónyoaték-összege zérus (a bal oldali forgatónyoatékok összege egyenlő a jobb oldali forgatónyoatékkal) Ha feltételezzük hogy létezik olyan állandó sebesség aelyre inden pillanatban előáll a forgatónyoaték-egyensúly akkor legegyszerűbben juthatunk a egoldáshoz ha a nehezebb bogárnak a szalaszál közepéig tartó ozgását esszük figyelebe Az ehhez szükséges idő: t l c 4 s c 5 s Ekkor az egyensúlyhoz csak a nehezék és a kisebb bogár nyoatékait kell figyelebe enni Ebben az esetben azonban a kis bogárnak ár (átásza a nagyobbikon) a túloldalon kell lennie ire a nagy a szál közepére ér A túloldali x táolságra: ahonnan A kis bogárnak tehát x gx gl l g c c g s l + x c + c c utat kell egtennie 4 s alatt Hogy ne billenjen fel a szalaszál a bogár sebessége kell legyen l + x c c 75 t 4 s s II Megoldás Általánosan: a indenkori egyensúlyra Egyszerűsítés és rendezés után: ( ) ( ) g g t g t l + l l M ( ) ( ) t t l + l l M l + l t l t l + l l t t M M A bal oldal összege tehát az idő kiesik és inden pillanatban érényes hogy t t M M g g c c 5 75 s s M
4 MIKOLA SÁNDOR FIZIKAVERSENY ásodik fordulójának egoldása 5 árcius 7 ) Egy függőleges izet tartalazó csatornában két egyenként 45 kg töegű henger alakú farönk található Méretük és anyagi inőségük azonos egyással és a csatorna faláal érintkeznek Az egyiket éppen ellepi a íz a ásik félig erül be a ízbe A súrlódás indenhol elhanyagolható Mekkora erőkkel nyoják a farönkök a függőleges falakat? (Kotek László Pécs) Legyen a teljesen beerülő farönkre ható felhajtóerő F a fal által kifejtett nyoóerő K a ásik rönk által kifejtett erő N a ásik rönkre a fal által kifejtett nyoóerő K! Írjuk fel indkét rönkre a ízszintes és függőleges irányú erők egyensúlyi feltételeit! K N α () cos () N sin g F α K N α () cos F α (4) + N sin g Könnyen látható hogy () és (4)-ből: Az ábra alapján: K K N cosα N sinα + g g N sinα g N sinα K K g ctgα x R ctg α R R A farönkök által a falakra kifejtett azonos erők: K F R x N g α N F/ K g K K g 5 N 4
4 MIKOLA SÁNDOR FIZIKAVERSENY ásodik fordulójának egoldása 5 árcius 7 4 Egy l c hosszúságú inga lengéseit izsgáljuk A graitációs ezőn kíül egy ízszintes irányú hoogén elektroos ező is jelen an Az elektroos térerősség nagysága E a pontszerűnek tekinthető ingatest töege 4 g elektroos töltése q > Fennáll toábbá hogy qe g a) Az inga elyik helyzetében lesz az ingatest sebessége a legnagyobb? b) Mekkora az ingatest legnagyobb sebessége? c) Mekkora erő ébred ekkor a fonálban? (Zsigri Ferenc Budapest) Az ingatest bárely helyzetében hat rá a lefele utató g nehézségi erő és a ízszintesen jobbra utató qe elektroos erő Ezek eredője qe g iatt g g nagyságú és (az ábra szerint) a függőlegessel α45 o -os szöget bezáró irányú tehát az inga fonalának eredeti irányára erőleges Olyan a helyzet intha a graitációs gyorsulás az elített irányú és g nagyságú lenne a) Az ingatest sebessége abban a helyzetben lesz a legnagyobb aikor az inga fonala párhuzaos lesz g -gal azaz 9 o -os elfordulás után aikor a függőlegessel isét 45 o -ot zár be az inga b) Alkalazzuk a unkatételt az indulástól a legnagyobb sebességű helyzetig Az új graitációs tér is konzeratí Az irányába történő elozdulás l g l ax ax g l gl c) g Ebben a helyzetben írjuk fel a ozgásegyenletet: Itt K jelöli a fonálerőt Ebből: K ( acp + g ) /s K g acp ax ( + g ) + g ( g + g g( + ) ( ) K acp ) g l N 5