STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR. alapfogalmak egy ismérv szerinti elemzés két ismérv szerinti elemzés standardizálás indexszámítás idősorok

STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR alapfogalmak egy ismérv szerinti elemzés két ismérv szerinti elemzés standardizálás indexszámítás idősorok

1. ALAPFOGALMAK 1.1. Egy iskolai büfé napi vevőszámának alakulása az elmúlt 20 napban az alábbi volt. Határozzuk meg a móduszt és a kvartiliseket. 1000 2000 7000 9000 11500 3500 1000 5000 3000 12000 5000 1500 3000 8000 9000 2500 3000 1500 8500 3000 1.2. Az alábbi táblázat egy város havi gázfogyasztóinak eloszlását tartalmazza, a fogyasztók számát ezer főben megadva. Havi fogyasztás f f g g (köbméterben megadva) 0-49 3 50-99 4 100-149 15 150-199 0 200-249 0,25 a) töltsük ki a hiányzó részeket. b) Adjuk meg a móduszt és a mediánt! c) Adjuk meg az átlagot és a szórást! d) Vegyük a legalább száz köbmétert fogyasztó felhasználókat. Mekkora esetükben az átlag? Mekkora a szórás? 1.3. Az alábbi táblázat egy bevásárlóközpont üzlethelyiségeinek alapterület szerinti megoszlását tartalmazza. alapterület f i f i 0-99 4 100-199 9 200-299 12 300-399 34 400-50 g i g i a) Töltsük ki a hiányzó adatokat! b) Mekkora a tipikus üzlethelyiség alapterülete? c) Mekkora az átlagos üzlethelyiség alapterülete? Mekkora a szórás? www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 2

1.4. Egy évfolyam négy különböző szakán az alábbiak ismertek: Szak Nők 100 férfira jutó nők száma szakonként A 30% 120 B 20% 130 C 18% 110 D 32% 140 Össz. 100% - Határozzuk mag a 100 férfira jutó nők számát a teljes évfolyamra. Határozzuk meg a 100 nőre jutó férfiak számát! 1.5. Egy város lakosainak száma 2009-ben 760 ezer, míg 2011-ben 758 ezer. Az alábbiakat tudjuk: év Orvosok száma 2009=100% Háziorvosok száma (%) Egy háziorvosra jutó lakosok száma (%) Háziorvosok részaránya 2010=100% (%) 2009 100 105 7 2010 100 100 6,8 2011 120 83 6 Töltsük ki a hiányzó részeket! 1.6. Egy szupermarket valamelyik pénztáránál fél óra alatt 20-an fizettek az alábbi összegekért: 1100 2000 7300 9200 11500 3500 5000 1000 3000 12000 5000 1600 3000 8000 9000 2500 3000 1500 8500 3000 Állapítsuk meg az adatsor néhány alapvető statisztikai mutatóját. Ezek a módusz, a medián, a kvartilisek, majd helyezzük el az adatokat egy gyakorisági sorban 2500 forintonkénti osztályközökkel. Készítsük el a statisztikai sorok típusait. 1.7. Az elmúlt 20 évben a villamos által elgázolt járókelők száma évente a következőképpen alakult: 10, 11, 8, 7, 12, 9, 8, 6, 12, 8, 5, 3, 4, 2, 4, 1, 0, 5, 1, 1 Adjuk meg a kvartilis-eloszlást, a kvintilis-eloszlást és a decilis-eloszlást. (A kvartilis-eloszlás négy egyenlő csoportra osztja a növekvő sorrendbe rendezett adatokat, a kvintilis-eloszlás öt, és így tovább.) www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 3

1.8. Egy bank ügyfeleinek betétállományát tartalmazza a következő táblázat. Készítsük el a mennyiségi sorok különböző fajtáit, adjuk meg a mediánt, a kvartiliseket, a kvintiliseket. Bankbetét értéke (USD) f i 0-1000 4 510 1001-2000 13 430 2001-3000 27 650 3001-4000 31 200 4001-5000 26 710 5001-6000 14 310 6001-20 000 Össz. 137 810 1.9. Egy szupermarket pénztárainál fizető vásárlók vásárlás végösszege szerinti megoszlása valamely napon az alábbi volt. Készítsük el a mennyiségi sorok különböző fajtáit, adjuk meg a mediánt és a kvintiliseket. A vásárló által fizetett végösszeg (forint) f i 0-1 000 720 1 001-2 000 1 940 2 001-5 000 1 790 5 001-10 000 490 10 001-20 000 288 20 001-30 000 76 30 001-40 000 254 40 001-50 000 604 50 001-60 000 18 60 001-15 Total 6 195 1.10. Egy újságárus havi lapeladásait tartalmazza a következő táblázat. Napok Eladott száma mennyiség 2 215 4 217 2 218 5 220 8 222 7 225 3 230 Mekkora az átlagos napi lapeladás? Határozzuk meg a mediánt és a móduszt. www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 4

2. EGY ISMÉRV SZERINTI ELEMZÉS 2.1. Az alábbi táblázat egy város lakásainak méret szerinti megoszlását tartalmazza. Lakásméret (négyzetméterben megadva) Lakások száma (1000 darabban) 0-19 21 21 20-49 33 54 50-99 60 114 100-199 36 150 200-10 160 Számítsuk ki a móduszt, mediánt, átlagot és szórást. f i f i 2.2. A statisztika vizsga 5 feladatából a vizsgázók által teljesen megoldott feladatok eloszlása. Számítsuk ki a móduszt, mediánt, átlagot és szórást. Megoldott feladatok száma Vizsgázók száma f i f i 0 60 60 1 70 130 2 80 210 3 vagy több 40 250 2.3. Húsz napon át figyelték egy alpesi kisváros sípályáinak összesített napi forgalmát. A kapott értékek a következők voltak: 1000 2000 7000 9000 12500 3500 1000 5000 3000 13000 5000 1500 3000 8000 9000 2500 3000 1500 8500 3000 Állapítsuk meg az adatsor néhány alapvető statisztikai mutatóját, a móduszt, mediánt, átlagot. Készítsünk leveles-ág ábrát illetve doboz-ábrát. Helyezzük el az adatokat egy gyakorisági sorban 2500-as osztályközökkel. Szemléltessük hisztogrammal a forgalom mértékét. www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 5

2.4. Az alábbi táblázat egy üzem által gyártott, illetve elszállítás előtt raktározott üveges pálinkák mennyiségét tartalmazza. Töltsük ki. Mármint a hiányzó részeket a táblázatban. Állapítsuk meg az átlagosan előállított mennyiséget és az átlagos raktárkészletet. Előállított mennyiség Raktározva (a hónap elején) jan.=100% előző hónap=100% db marc.=100% előző hónap=100% db jan. - 125 - febr. 120 110 1100 marc. 3500 apr. 150 3750 87,5 2.5. Egy bank ügyfeleinek betétállományát tartalmazza a következő táblázat. Készítsük el a mennyiségi sorok különböző fajtáit, adjuk meg a mediánt, a kvartiliseket, a kvintiliseket. Ábrázoljuk az eloszlást hisztogrammal és doboz-ábrával. Bankbetét értéke (USD) Betétesek száma f i 0-1000 4 510 1001-2000 13 430 2001-3000 27 650 3001-4000 31 200 4001-5000 26 710 5001-6000 14 310 6001-20 000 Össz. 137 810 2.6. Egy szupermarket pénztárainál fizető vásárlók vásárlás végösszege szerinti megoszlása valamely napon az alábbi volt. Készítsük el a mennyiségi sorok különböző fajtáit, szemléltessük az eloszlást hisztogrammal és Lorenz-görbével! A vásárló által fizetett végösszeg (forint) f i 0-1 000 720 1 001-2 000 1 940 2 001-5 000 1 790 5 001-10 000 490 10 001-20 000 288 20 001-30 000 76 30 001-40 000 254 40 001-50 000 604 50 001-60 000 18 60 001-15 Total 6 195 www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 6

2.7. Az alábbi táblázat a lakosság életkor szerinti megoszlását tartalmazza Németországban és Törökországban. Hasonlítsuk össze a két megoszlást a középértékekkel, a doboz-ábrával illetve hisztogrammal. Németország Törökország ÉLETKOR NÉPESSÉG (%) NÉPESSÉG (%) 0-14 13,5 26,9 15-34 25 45 35-64 41,5 21,9 65-75 15 5,2 75-5 1 2.8. Egy cég dolgozóinak fizetésük szerinti megoszlása a következő: Fizetés Létszám (USD) 0-1000 110 1001-2000 215 2001-2500 40 2501-3000 20 3001-15 Jellemezzük a fizetések megoszlását helyzetmutatókkal, szóródási mutatókkal, alakmutatókkal. 2.9. Egy városban a lakások alapterület szerinti megoszlása a következő: Lakásméret (négyzetméter) Lakások száma (ezer darab) 0-20 10 21-50 45 51-70 140 71-100 80 101-150 21 150-1 összesen 300 Határozzuk meg a szórást, relatív szórást, az eloszlás aszimmetriáját a P és F mutatókkal. www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 7

3. KÉT ISMÉRV SZERINTI ELEMZÉS 3.1. A népesség legmagasabb iskolai végzettségük és nemük szerinti megoszlása reprezentatív felmérés alapján 2001-ben Magyarországon az alábbi volt. Állapítsuk meg a nem és a legmagasabb iskolai végzettség közti kapcsolat szorosságát. Legmagasabb iskolai végzettség Nő Férfi Total 8 általános vagy kevesebb 84 82 166 Érettségi, vagy 1892 2055 3947 szakiskolai Felsőfokú 586 561 1147 Total 2562 2698 5260 3.2. A következő táblázat egy város szállodáinak ár és besorolás szerinti megoszlását tartalmazza. Elemezzük az ismérvek közti kapcsolatot. Árak (EUR/fő/éj) Szálloda típusa ** *** **** Total 0-50 37 8 1 46 51-100 15 40 3 58 101-150 10 33 12 55 151-200 4 22 15 41 Total 66 103 31 200 3.3. Néhány ország középfokú iskolai képzésének egy diákra jutó oktatási ráfordítása illetve az éves egy főre jutó GDP adatai láthatók az alábbi táblázatban. Állapítsuk meg a két ismérv közti kapcsolat szorosságát, adjuk meg a regressziós egyenest. X Y ország GDP/fő (EUR) Oktatási ráfordítás (Középfokú képzés diák/eur) Ausztria AT 28 978 76 900 Belgium BE 30 349 61 000 Csehország CZ 15 216 33 800 Franciaország FR 26 656 57 600 Görögország GR 17 941 59 200 Hollandia NL 28 669 61 500 Lengyelország PL 10 135 30 700 Magyarország HU 13 767 33 000 Németország DE 28 232 65 300 Svájc CH 31 987 60 400 www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 8

3.4. A következő táblázat egy cég alkalmazottainak havi béreit tartalmazza három országban. Elemezzük az ismérvek közti kapcsolatot. Bérek (EUR) Ország DE AT HU Total 500-699 5 40 120 165 700-899 10 110 530 650 900-1099 70 650 230 950 1100-12 150 15 177 Total 95 950 895 1940 3.5. Egy 40 lakásos társasház átlagos napi gázfogyasztása a téli időszakban a lakások szobáinak száma szerint a következő: Szobák száma Fogyasztás (köbméter) 1 2 3 Total 3 4 1-5 4 8 2-10 5 2 7 2 11 6-10 4 14 Total 14 20 6 40 Mennyiben magyarázza a szobák száma az elfogyasztott gáz mennyiségét? 3.6. A következő táblázat néhány ország egy főre jutó GDP adatait illetve a nők első házasságkötésük kori életkorát tartalmazza. Állapítsuk meg a két ismérv közti kapcsolat szorosságát, adjuk meg a regressziós egyenest. ország X GDP/fő (EUR) Y Nők életkora házasságkötéskor Ausztria AT 28 978 26,6 Belgium BE 30 349 29,8 Csehország CZ 15 216 28,9 Franciaország FR 26 656 31,6 Görögország GR 17 941 26,9 Hollandia NL 28 669 26,9 Lengyelország PL 10 135 25,3 Magyarország HU 13 767 29,7 Németország DE 28 232 31 Svájc CH 31 987 29,4 2 d X d Y 38, 8 dx dy 56 484 2 Ismeretes, hogy 579 956 336 www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 9

3.7. Egy város lakosairól készült felmérés alapján az alábbi adatok álnak rendelkezésre: Alkalmazottak száma (ezer fő) Bruttó jövedelem (USD) átlag szórás Pénzügyi szféra 120 2000 520 Szolgáltatói szféra 140 1500 340 Állami szféra 90 1000 210 Termelői szféra 130 980 220 Összesen 480 Mekkora a felsorolt szektorok átlagbére? Mekkora a szórás? Egy lakos foglalkozása hány százalékban magyarázza bruttó jövedelmének nagyságát? 3.8. Egy kábelgyárban megvizsgálták a 150 dolgozó neme és iskolai végzettsége közötti kapcsolatot. Az alábbi adatokat kapták: A dolgozók 80%-a férfi. A férfiak 15%-a szakképzett, míg 25%-uk csak 8 általánost végzett. A szakképzettek közül minden harmadik nő. A gimnáziumi végzettségűekre teljesül a függetlenség feltétele. Adjuk meg az iskolai végzettség és nem szerinti megoszlást. Jellemezzük a kapcsolat szorosságát. 3.9. Egy városban a családi házban lakók átlagosan 80 percet, míg a társasházban lakók 72 percet töltenek naponta utazással. Milyen szoros a kapcsolat a lakás típusa és az utazással eltöltött idő között, ha minden ötödik lakos családi házban lakik és az összes lakos utazással töltött idejének szórása az átlag 10%-a? 3.10 A népesség legmagasabb iskolai végzettsége és munkája szerinti megoszlása egy 1000 fős reprezentatív felmérés alapján az alábbi volt. Legmagasabb Munka típusa iskolai végzettség Total Nehéz Könnyű Szellemi Fizikai fizikai 8 általános 92 23 10 125 Érettségi, vagy 47 280 163 490 Felsőfokú 6 74 305 385 Total 145 377 478 1000 a) Adjuk meg a peremeloszlások alapján a munka típusa és az iskolai végzettség közötti kapcsolat eloszlását abban az esetben, ha a két ismérv független lenne. b) Állapítsuk meg, a munka típusa és az iskolai végzettség közötti kapcsolat szorosságát. www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 10

4. STANDARDIZÁLÁS 4.1. Egy gyár dolgozóinak bérei a következőképpen alakultak 2010-ben és 2011-ben. Vizsgáljuk meg az átlagos bérváltozást standardizálással. Gyár dolgozói Dolgozók átlagbére (EUR) Létszám összetétele 2010 2011 2010 2011 vezetők 5000 5200 4 0,75% szellemi 2000 2300 36 8% fizikai 1100 1250 350 91,25% Össz. 4.2. Egy cég dolgozóinak a fizetését tartalmazza az alábbi táblázat. Hasonlítsuk össze a férfi és női dolgozók átlagbérének különbségét standardizálással. Termelés helye férfiak Alkalmazottak száma Egy főre jutó átlagkereset (USD) nők Kifizetett teljes bérköltség Egy főre jutó átlagkereset (USD) vezetők 10 5 200 15 000 5 000 középvezetők 50 4 000 24 500 3 500 beosztottak 350 1 200 748 000 1 100 személyzet 25 750 36 000 750 Total 435 823 500 4.3. Az egyik egyetem két büféjében húsz napon át figyelték a vásárlások értékét. I. büfé II. büfé vásárló Vásárlók Átlagos Vásárlók Átlagos Száma (fő) Vásárlás (EUR/fő) Száma (fő) Vásárlás (EUR/fő) Hallgató 1200 2 1600 1,8 Oktató 400 2,5 600 2,2 Egyéb 400 3 800 2,7 Össz. 2000 3000 Hasonlítsuk össze a két büfében a vásárlások átlagos költségét és az erre ható tényezőket! www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 11

4.4 Két borgazdaság termelési adatait tartalmazza a következő táblázat. Elemezze a szőlők termésátlagának különbségét standardizálással! Szőlőfajta Termőterület (ha) Termésátlagok I. II. Különbsége II.-I. (kg/ha) B 1 B 2 k V 2 V1 800 furmint 250 600 1000 hárslevelű 100 250 600 oremus 150 150 400 összesen 500 1000 800 4.5. Egy üzem dolgozóinak bérei a következőképpen alakultak 2010-ben és 2011-ben. Vizsgáljuk meg az átlagos bérváltozást standardizálással. Üzem dolgozói Bérek összetétele (EUR) 2010 Havonta kifizetett összes bér 2011 Átlag bér Létszám összetétele 2010 2011 vezetők 50 000 5200 10 5% szellemi 20 000 2300 10 8% fizikai 880 000 1250 800 89% Össz. 950 000 1000 4.6. Egy biztosító biztosítási káreseteire vonatkozó adatait tartalmazza az alábbi táblázat 2011-ben illetve a bázis évnek választott 2001-ben. Állapítsuk meg, hogyan változott meg a kifizetések átlagos összege és milyen hatások következtében. Üzletágak A kifizetett teljes összeg megoszlása 2011-ben Egy biztosítási káresetre fizetett átlagos összeg (EUR) 2001 2011 Élet- baleset- 30% 800 1000 betegbiztosítás Lakásbiztosítás 50% 1200 2000 (lakossági) Ipari ingatlanok 20% 100 000 160 000 és eszközök Össz. 100% 1100 4.7. Egy gyorsétterem forgalmi adatai a 2010-es és a 2009-es évben az alábbiak voltak: Egy vásárlóra által fizetett összeg A forgalom megoszlása 2010 2009 2010-ben V 1 V házhozszállítás 2500 2400 10 000 Helybeni fogyasztás 1800 1500 6000 összesen 2200 2000 16 000 Hasonlítsuk össze a forgalmi adatokat standardizálással. 0 www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 12 B 1

4.8. A következő táblázat egy alpesi városka szállodaárait tartalmazza. Hasonlítsuk össze az átlagos árszint változását standardizálással. 2010 2011 Szálloda típus Vendégéjszakák száma (ezer db) Ár (EUR/fő) Vendégéjszakák száma (ezer db) Ár (EUR/fő) *** 1200 50 1600 52 **** 400 70 600 70 ***** 400 80 800 84 Össz. 2000 3000 4.9. Egy kft háromféle termék előállításával foglalkozik. A termelésre vonatkozó adatok az alábbiak: Termékek Összes termelési költség megoszlása 2011-ben (%) Önköltség (ezer forint/db) 2010-ben Változás 2010-ről 2011-re (ezer forintban) A 10 +1 B 30 20-2 C 50 25 +5 összesen 22 +2 Elemezzük a termékcsoport átlagos önköltségének változását és az arra ható tényezőket. 4.10. Egy terméket két üzemben állítanak elő üzemek Termelési költség Termelés önköltség 2010-ben (ezer forint) Változás 2010=100% 2010-ben (db) 2011-ben Forint/db Változás 2010=100% A-üzem 36 700 124% 800 47 710 104 B-üzem 42 720 87% 960 48 950 110 összesen Elemezzük az önköltség alakulására ható tényezőket standardizálással 4.11. Egy terméket három különböző üzemben állítanak elő. üzem Önköltség változása 2010=100% Termelés költségének változása 2010=100% Termelés költsége 2010 (%) A 107 107 24 B 105 110 32 C 106 108 44 összesen 102 100 Hogyan változott az előállított termék önköltsége 2010-ről 2011-re? Elemezze az önköltség változására ható tényezőket. www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 13

4.12. Egy városban a síelési szezon három időszakból, előszezonból, főszezonból és utószezonból áll. Elemezzük az egy vendég által átlagosan eltöltött vendégéjszakák számának változását 2010-es szezonról a 2011-es szezonra standardizálással. szezonok Vendégéjszakák számának megoszlása 2011-es szezonban Egy vendég által átlagosan eltöltött éjszakák száma 2010-es szezon 2011-es szezon Főszezon 60% 5 5,1 Előszezon 15% 4,4 4 Utószezon 25% 3,2 3,6 Össz. 100% 4,3 4.13. Egy üzemben háromféle terméket állítanak elő. Elemezzük az egy termékre jutó átlagos előállítási költség változását standardizálással. termékek A termelés összértékének megoszlása 2011-ben (EUR) Az egyes termékek előállítási költsége a 2010-es százalékában A 52% 102% B 36% 104% C 12% 105% Össz. 100% 103% www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 14

5. INDEXEK 5.1. Az alábbi táblázat az 5, 4 és 3 csillagos szállodák szobaárait és az egy hónapra jutó vendégéjszakák számát tartalmazza. Állapítsuk meg, hogy a szektorban mekkora volt az infláció, mely szállodatípusokban volt az áremelkedés infláció alatti, melyekben azok feletti. Állapítsuk meg a volumenindexet és értelmezzük az eredményt. Szobaárak éjszakánként (átlag) Vendégéjszakák havi száma (átlag) 2010 2011 2010 2011 5 csillagos 100 000 120 000 350 300 4 csillagos 60 000 68 000 600 500 3 csillagos 25 000 30 000 700 650 5.2. Egy irodaház háromféle irodatípussal rendelkezik, premium, classic+ és classic. A négyzetméterenkénti bérleti díj és a forgalom alakulását 2010 és 2011-ben az alábbi táblázat tartalmazza. Ezen kívül tudjuk még, hogy 2010-ben a havi átlagos bevétel irodatípusonként 10 000, 16 000 és 12 000 euró volt. irodatípus Ár (p) Bérelt négyzetméterek Változása (2010=100%) (EUR, négyzetméterenként) 2010 2011 (havi átlag) premium 10 9 90% classic+ 8 6 80% classic 5 5 95% 5.3. Egy könyvesbolt értékesítési adatai 2010-ben és 2011-ben az alábbiak, 2010-ben az árbevétel 611 000 USD volt. Árbevétel megoszlása 2011-ben 2011-es árak (2010=100%) 2011-es volumen (2010=100%) könyv 60% 104% 110% cd-dvd 30% 106% 100% térkép 10% 108% 98% össz. 100% Hány százalékkal változott a bolt árbevétele termékcsoportonként és együttesen? Hány százalékkal változtak az árak és a volumenek együttesen? Hány dollárral nőtt a bolt árbevétele az árváltozás miatt? www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 15

5.4. Az alábbi táblázat egy városban működő három taxi társaság km árait tartalmazza. Tudjuk továbbá, hogy az összforgalom értéke 2010-ről 2011-re 10%-al emelkedett. Társaság neve A forgalom értékének Árak változása megoszlása %-ban 2010 2011 (2010=100%) A 40 50 105 B 20 25 108 C 40 25 110 Számítsuk ki a bázis- és tárgyidőszaki árindexeket és a Fischer-féle volumenindexet! 5.5. Egy étterem háromféle sört forgalmaz, eladási adataik 2010-ben és 2011-ben az alábbiak: 2010-hez viszonyított változás %-ban Forgalom értéke Ár Forgalom értéke 2010-ben (EUR) p q 0 0 A 140% 105% 20 000 B 120% 112% 12 000 C 140% 110% 15 000 Számítsuk ki a kétféle súlyozású árindexet és a Fischer-féle volumenindexet. 5.6. Az alábbi táblázat egy áruház éves eredményeit tartalmazza 2007-től 2011-ig az egyes évek árain számolva. i q j P p q 2007 2008 2009 2010 2011 2007 230 250 262 260 261 2008 231 254 264 263 262 2009 233 255 265 265 264 2010 235 258 267 264 265 2011 240 261 267 266 267 a) Számítsuk ki a 2007-es súlyozású bázis-árindexsor elemeit. b) Számítsuk ki a 2009-es súlyozású bázis-volumenindexsor elemeit. c) Számítsuk ki a változó súlyozású Laspeyres-féle lánc-árindexsor elemeit. d) Számítsuk ki a változó súlyozású Paasche-féle lánc-árindexsor elemeit. e) Számítsuk ki a változó súlyozású Paasche-féle lánc-volumenindexsor elemeit. f) Számítsuk ki a lánc-értékindexsor elemeit www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 16

5.7. Egy szupermarket értékesítési adatai 2010-ben és 2011-ben az alábbiak, 2010-ben az árbevétel 850 000 USD volt. Árbevétel megoszlása 2011-ben 2011-es árak (2010=100%) 2011-es volumen (2010=100%) élelmiszer 58% +6% +4% illatszer 16% +8% -5% vegyiáru 26% +7% -4% össz. 100% Hány százalékkal változott a bolt árbevétele termékcsoportonként és együttesen? Hány százalékkal változtak az árak és a volumenek együttesen? Hány dollárral nőtt a bolt árbevétele az árváltozás miatt? 5.8. Egy cipőbolt forgalmára vonatkozó adatok az alábbiak: Termékek A forgalom értéke 2010-ben (millió forint) 2010/2011 Árváltozás Volumenváltozás (%) (%) Férfi cipő 2300 105 101 Női cipő 2870 109 103 Gyerek cipő 1760 102 100 összesen Hány százalékkal változott a forgalom termékcsoportonként és együttesen? Mennyivel nőtt a bolt forgalma együttesen? Hogyan változott a bolt árszínvonala 2010-ről 2011-re? Hogyan változott a volumen? 5.9. Egy áruház éves értékesítése néhány évben az alábbi volt: év Értékesítés az adott évi áron számolva (millió forint) 2008 2009 2010 2011 2008 420 425 426 428 2009 421 422 423 425 2010 415 418 420 420 2011 410 411 416 417 Határozzuk meg a lánc értékindex-sor elemeit! Határozzuk meg a változó súlyozású lánc volumenindex-sor elemeit Paasche-formában! 5.10. Egy cég termelési értéke 2008-ban 400 millió forint volt. 2010-re a termelés értéke 10%-al, volumene (Paasche) 2%-al emelkedett. Hány forinttal emelkedett a termelés értéke az árak változása miatt? www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 17

6. IDŐSOROK 6.1. Az alábbi táblázat egy üzem által gyártott, illetve elszállítás előtt raktározott üveges pálinkák mennyiségét tartalmazza. Töltsük ki. Mármint a hiányzó részeket a táblázatban. Állapítsuk meg az átlagosan előállított mennyiséget és az átlagos raktárkészletet. Előállított mennyiség Raktározva (a hónap elején) jan.=100% előző hónap=100% db marc.=100% előző hónap=100% db jan. - 125 - febr. 120 110 1100 marc. 3500 apr. 150 3750 87,5 6.2. Egy részvény árfolyamának alakulását 20 napig figyeltük. Illesszünk az adatokra három napos mozgóátlagolású trendet, majd lineáris trendet. Számítsuk ki a változás átlagos napi mértékét és hasonlítsuk össze a lineáris trend megfelelő paraméterével. nap Részvény ára (USD) 1. 90 2. 91 3. 88 4. 87 5. 87 6. 86 7. 88 8. 91 9. 93 10. 94 11. 93 12. 95 13. 97 14. 98 15. 97 16. 100 17. 99 18. 102 19. 98 20. 95 www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 18

6.3. Egy új termék piacra történő bevezetésének adatai az alábbiak voltak. év 1000 emberből a termékkel rendelkezők száma I. negyedév II. negyedév III. negyedév IV. negyedév 2008 y 1 10 y 2 12 y 3 14 y 4 15 2009 y 5 17 y 6 19 y 7 20 y 21 8 2010 y 9 23 y 10 25 y 11 28 y 12 30 2011 y 13 35 y 14 39 y 15 43 y 16 46 Illesszünk az adatokra lineáris, majd exponenciális trendet és döntsük el, hogy melyik illeszkedik jobban. Mindkét esetben vizsgáljuk meg a szezonalitást. 6.4. Egy cég részvénykibocsátásba kezd. Az árfolyam alakulása az első három hétben az alábbi volt: nap Részvény ára (USD) 1. 50 2. 52 3. 54 4. 57 5. 58 6. 56 7. 60 8. 64 9. 65 10. 68 11. 64 12. 65 13. 67 14. 70 15. 72 Illesszünk az adatokra exponenciális trendet, állapítsuk meg a szezonalitást és próbáljuk előrejelezni a következő egy hétre az árfolyamokat. www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 19

7. TESZT KÉRDÉSEK ALAPFOGALMAK 1. Az alábbi ismérvek közül melyik nem nominális? A) A település neve B) irányítószáma C) Típusa D) Mindegyik nominális 2. Az alábbi ismérvek közül melyiket mérjük arányskálán? A) Hőmérséklet B) Vizsgajegy C) Név D) Testsúly 3. Egy évfolyam hallgatóinak száma 2008-ról 2011-re 10%-al nőtt. Az egyes évek láncviszonyszámai: 2008: 1,02 2009: 1,01 2010: 1,03 Hány százalékkal nőtt évente átlagosan az évfolyam létszáma? A) 2% B) 103,2% C) 3,2% D) 1,019% 4. Egy évfolyam hallgatóinak száma 2008-ról 2011-re 10%-al nőtt. Az előző évek láncviszonyszámai: 2005: 1,02 2006: 1,03 2007: 1,01 2008: 1,01 Hány százalékkal nőtt évente átlagosan az évfolyam létszáma 2005től 2011-ig? A) 3,4% B) 2,7% C) 3,2% D) Nem állapítható meg 5. Az egyik évfolyamon a 100 hallgatóra jutó oktatók száma 1,3. Egy másik évfolyamon, ahol kétszer annyi hallgató van, ez 1,1. Mennyi a 100 főre jutó oktatószám a két évfolyamon együttvéve? A) 1,2 B) 1,15 C) Nem állapítható meg D) 1,167 www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 20

6. Az egyik évfolyamon a 100 fiúra jutó lányok száma 110. Egy másik évfolyamon, ahol kétszer annyi hallgató van, ez 130. Mennyi a 100 főre jutó lányok száma a két évfolyamon együttvéve? A) 120 B) 123,3 C) Nem állapítható meg D) 122,6 7. Egy könyvesbolt hó eleji árukészlete 1000 darabban megadva: Jan: 26 febr: 28 márc: 27 ápr: 31 máj: 25 Az átlagos raktárkészlet az első negyedévben: A) 27 B) 28 C) 27,83 D) 22,3 8. Az alábbi ismérvek közül melyiket nem ordinális skálán mérjük? A) Iskolai végzettség B) Osztályzat C) Irányítószám D) Szállodák *-os besorolása 9. A Budapestre érkező turisták száma A) Diszkrét, nominális B) Folytonos C) Diszkrét D) Intervallum skálán mérhető 10. A bank a kamatszintet 4%-osról 6%-osra emelte. A kamat tehát A) 2%-al nőtt B) 50%-al nőtt C) 4%-al nőtt D) 6%-al nőtt 11. A bank a kamatszintet 5%-osról 6%-osra emelte. A kamat tehát A) 1%-al nőtt B) 50%-al nőtt C) 1%ponttal nőtt D) 50%ponttal nőtt www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 21

12. A bank az 5%-os kamatszintet 20%-al emelte, majd 4%ponttal csökkentette. Mekkora most a kamat? A) 21% B) 5% C) 5,76% D) 2% EGY ISMÉRV SZERINTI ELEMZÉS 1.Egy utazási irodában minden út árát 5000 forinttal megemelték. Hogyan változott az átlag és a szórás? A) Az átlag is és a szórás is 5000-el emelkedett B) Az átlag változatlan maradt, a szórás 5000-el nőtt C) az átlag 5000-el nőtt, a szórás változatlan maradt D) Egyiket sem lehet ebből megmondani 2. Egy másik alkalommal 10%-os áremelést hajtottak végre. Hogyan változott ekkor az átlag és a szórás? A) Az átlag és a szórás is 10%-al nőtt B) Az átlag 10%-al nőtt, a szórás változatlan maradt C) Az átlag változatlan maradt, a szórás 10%-al nőtt D) Az átlag és a szórás 5-5 százalékkal nőtt 3. Az interkvartilis terjedelemről szóló állítások közül melyik igaz? A) Mindig tartalmazza a móduszt B) Mindig tartalmazza az átlagot C) mindig tartalmazza az adatok 50%-át D) mindig tartalmazza az adatok minimumát 4. Egy 30 fős csoportot életkora szerint osztályozunk. Melyik állítás igaz az alábbiak közül? A) Mindig létezik decilis eloszlás. B) Nem mindig létezik decilis eloszlás, de mindig létezik kvartilis eloszlás C) Ha létezik kvintilis eloszlás, létezik decilis eloszlás D) Ha létezik decilis eloszlás, létezik kvintilis eloszlás 5. A Lorenz-görbe egybeesik a 45 fokos egyenessel, ha az osztályközös gyakorisági sorban A) Minden osztályközébe ugyanannyi elem tartozik B) Minden osztályköz relatív gyakoriság egyenlő C) Minden osztályköz relatív értékösszege megegyezik a relatív gyakorisággal D) Minden osztályköz relatív értékösszege egyenlő www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 22

6. Két ország mobiltelefon szolgáltatóinak árbevételéről az alábbiakat tudjuk. Az A országban 3 szolgáltató van és az árbevétel relatív szórása 10%, míg a B országban négy szolgáltató van, amelyek az árbevételen 2% 35% 6% és 57% arányban osztoznak. Melyik országban nagyobb a koncentráció? A) Az A országban, mert ott kevesebb szolgáltató van B) A B országban, mert ott több szolgáltató van C) Az A országban, mert a Herfindahl-index ott magasabb D) a B országban, mert a Herfindahl-index az A országban alacsonyabb 7. Egy országban 3 mobilszolgáltató működik, és a koncentráció mértéke HI=0,4 Mekkora a relatív szórás? A) 44,7% B) 40% C) 12% D) Nem állapítható meg 8. Egy cég 100 dolgozójának átlagos bruttó bére 1000 dollár. Mekkora a szórás, ha a koncentráció HI=0,1? A) 100 B) 400 C) 300 D) Nem állapítható meg 9. Egy doboz-ábra készítése során azt tapasztaljuk, hogy a módusz és az átlag is az interkvartilis terjedelmen kívül esik. Mekkorák lehetnek az alsó és felső kvartilisek, ha a módusz 100 az átlag 150? A) 10 és 130 B) 105 és 145 C) 90 és 130 D) 90 és 160 10. Egy arány skálán mérhető ismérvértékek doboz-ábrájának készítése során azt tapasztaljuk, hogy az alsó kvartilis 100 a felső pedig 200. Az átlag és a módusz ekkor lehet A) 10 és 250 B) 10 és 350 C) 10 és 290 D) 90 és 210 11. Az alábbi állítások közül melyik hamis? Ha egy eloszlás jobbra elnyúló, akkor A) Előfordulhat, hogy az átlag és a medián egybeesik B) Előfordulhat, hogy a módusz és a medián egybeesik C) Nem fordulhat elő, hogy az átlag nagyobb, mint a módusz D) Előfordulhat, hogy az átlag kisebb, mint a medián www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 23

KÉT ISMÉRV SZERINTI ELEMZÉS 1.Egy főiskolán a tanárok átlagosan 900 forintot költenek ebédre, a hallgatók 1100 forintot. Mekkora az ebédre költött átlagos összeg lehetséges értéke, ha 10 hallgatóra átlag 10 tanár jut? A) 850 B) 1100 C) 1050 D) 900 2. Az alábbi állítások közül melyik igaz? A) Ha két ismérv független, akkor feltételes eloszlásaik gyakoriságai megegyeznek. B) Ha két ismérv független, akkor van olyan feltételes eloszlás, ahol minden gyakoriság azonos. C) Ha a kapcsolat sztochasztikus, minden feltételes eloszlás gyakorisága nullától Különböző. D) Ha minden feltételes eloszlás százalékosan megegyezik, a két ismérv független. 3. Az alábbi állítások közül melyik igaz? A) Akkor sztochasztikus a kapcsolat, ha minden feltételes eloszlás különböző. B) Akkor sztochasztikus a kapcsolat, ha minden feltételes eloszlás egyforma. C) Ha az egyik ismérv szerinti hovatartozás mindig meghatározza a másik ismérv szerinti hovatartozást, akkor a két ismérv kapcsolata függvényszerű. D) Ha az egyik ismérv szerinti hovatartozás mindig meghatározza a másik ismérv szerinti hovatartozást, akkor a két ismérv kapcsolata függvényszerű. 4. Egy kontingencia tábla minden oszlopa százalékosan megegyezik az oszlop szerinti peremeloszlással, ám a sorok nem egyeznek meg sorok szerintivel. Ekkor A) A két ismérv független B) A két ismérv közötti kapcsolat sztochasztikus C) Nem létezhet ilyen tábla D) A kapcsolat függvényszerű 5. Egy kontingencia tábla minden oszlopa százalékosan megegyezik az oszlop szerinti peremeloszlással. Ekkor A) A két ismérv független B) A két ismérv közötti kapcsolat sztochasztikus C) Nem létezhet ilyen tábla D) A kapcsolat függvényszerű www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 24

6. Egy cég dolgozóiról kimutatást készítettek a nem és életkor szerinti megoszlásról. Az derült ki, hogy a 650 dolgozó esetében a khí-négyzet értéke 300. Ekkor A) Az ismérvek között függvényszerű kapcsolat van B) Az ismérvek között nincs kapcsolat C) Az ismérvek között gyenge kapcsolat van D) Az ismérvek között szoros kapcsolat van 7. Egy másik cégnél ugyanilyen vizsgálat során az derült ki, hogy a 750 dolgozó esetében nincs kapcsolat a két ismérv között. A nők közül kétszer annyian keresnek havi 800 dollárnál kevesebbet, mint a férfiak közül. Összesen hányan keresnek 800 dollár alatt a vállalatnál? A) A rendelkezésre álló adatokból nem mondható meg B) A dolgozók harmada keres 800 dollár alatt C) Senki sem keres 800 dollár alatt D) Mindenki 800 dollár alatt keres 8. Felmérést készítettek egy 2300 fős vállalatnál, a bérek és az iskolai végzettség közötti kapcsolat szorosságáról. Az derült ki, hogy R=0,7. Ekkor az iskolai végzettség ismerete A) 70%-al csökkenti a dolgozó bérével kapcsolatos bizonytalanságot B) 30%-al csökkenti a dolgozó bérével kapcsolatos bizonytalanságot C) 50%-al csökkenti a dolgozó bérével kapcsolatos bizonytalanságot D) 30%-ban magyarázza a bérek mértékét 9. Egy minőségi és egy mennyiségi ismérv közti kapcsolat szorosságát vizsgáljuk. Melyik állítás igaz? A) Ha a belső szórás nulla, akkor a két ismérv független B) Ha a külső szórás nulla, a két ismérv független C) Ha a teljes szórás nulla, a két ismérv független D) Ha az R érték nulla, a két ismérv független 10. Egy minőségi és egy mennyiségi ismérv közti kapcsolat szorosságát vizsgáljuk. A minőségi ismérv ismerete hány százalékban csökkenti a mennyiségi ismérvvel kapcsolatos bizonytalanságot, ha a belső szórás 2 a külső szórás pedig 3? A) A rendelkezésre álló adatokból nem lehet megmondani B) 30%-al C) 69%-al D) 13%-al 11. Két arányskálán mérhető ismérv kapcsolatát regressziós egyenessel szemléltetjük. A regressziós egyenes meredeksége -1,2 és a tengelymetszete 362. Ha tudjuk, hogy az egyik ismérv átlaga 350, akkor a másik ismérv átlaga A) Nem fordulhat elő ilyen eset B) Az átlag 20 és 130 közé esik C) Az átlag 10 D) Az átlag 712 www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 25

12. Egy minőségi és egy mennyiségi ismérv közti kapcsolat szorosságát vizsgáljuk. A minőségi ismérv szerinti képzett csoportok azonos elemszámúak, részátlagaik 12 20 és 30, a főátlag pedig 25. Ezen kívül ismeretes, hogy a belső szórás 5. A minőségi ismérv ismerete hány százalékban csökkenti a mennyiségi ismérvvel kapcsolatos bizonytalanságot? A) 30%-al B) 74%-al C) 73%-al D) A rendelkezésre álló adatokból nem mondható meg 13. Egy minőségi és egy mennyiségi ismérv közti kapcsolat szorosságát vizsgáljuk. A minőségi ismérv szerinti képzett csoportok különböző elemszámúak ugyan, de szórásaik azonosak, mindegyiké 3. Ezen kívül ismeretes, hogy a külső szórás 5. A minőségi ismérv ismerete hány százalékban csökkenti a mennyiségi ismérvvel kapcsolatos bizonytalanságot? A) 26,5%-al B) 34%-al C) 73,5%-al D) A rendelkezésre álló adatokból nem mondható meg STANDARDIZÁLÁS 1. Egy munkahelyen a nők átlagbérét 10%-al a férfiakét 5%-al emelték, az összes dolgozó átlagbére mégis csökkent. Ekkor A) Az adatok egymásnak ellentmondanak így ez nem lehetséges B) A férfi dolgozók száma nőtt C) A magasabb jövedelmű dolgozók száma csökkent D) A magasabb jövedelmű dolgozók részaránya csökkent 2. Két üzemben gyártanak egy bizonyos alkatrészt. Mindkét üzem alkalmaz hagyományos és modernebb technológiát is a gyártás során. A hagyományos technológiával készült termékek önköltsége nagyobb. Az egyik üzemben az önköltség 6 dollár a másikban 7 dollár, de az első üzem termelési összetételével számolva 8 dollár. A) Az első üzemben nagyobb az olcsóbb modern technológia aránya, hiszen ott csak 6 dollár az előállítási költség B) A második üzemben nagyobb a drágább hagyományos technológia aránya. C) Az első üzemben nagyobb a drágább hagyományos technológia részaránya D) A második üzemben drágább a termelés, így nagyobb a drágább hagyományos technológia részaránya. www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 26

3. Egy zöldséges háromféle almát árul. Egy év alatt 10%-al emelkedett az almák átlagára, pedig mindegyik almafajta ára csak 2%-al emelkedett. Ekkor I értéke: A) 1,08 B) 0,078 C) 1,078 D) 0,08 4. Egy terméket két üzemben állítanak elő, önköltsége egy év alatt 2 dollárral emelkedett, ugyanakkor mindkét előállító üzemben csökkent az önköltség. Mi lehet ennek a magyarázata? A) Ahhoz, hogy az önköltség emelkedjen, legalább az egyik üzemben emelkednie kellene, így az állítás hamis. B) A drágább üzem termelése nőtt. C) A drágább üzem aránya a termelésen belül nőtt. D) A drágább üzem termelése csökkent. 5. Az elmúlt hónapban a Brent az Urals és az amerikai WT kőolajárai mind emelkedtek. Az emelkedés mértéke 10% 7% és 5%. Egy finomító mindhárom fajtából szokott vásárolni attól függően, hogy melyikből mennyit tud beszerezni. Előfordulhat-e, hogy beszerzési költségei 12%-al emelkednek? A) Nem, hiszen az áremelkedés a 10% a 7% és az 5% súlyozott átlaga. B) Nem, ha ezentúl mindegyiket az első helyről szerzi be, az áremelkedés akkor is cask 10%-os lehet. C) Igen, ha a beszerzésen belül nő a jobban dráguló fajták aránya. D) Igen, ha a beszerzésen belül nő a drágább fajták aránya. 6. Az A országban az éves halálozási mutató 0,12% a B országban pedig 0,15%. Az A ország halálozási arányszáma a B ország kormegoszlásával súlyozva 0,1% lenne. Melyik országban nagyobb az idősek aránya? A) A B országban nagyobb a halálozási mutató, ezért ott. B) A B országban, mert az A ország mutatója még a B ország kormegoszlásával súlyozva is jobb. C) Az A országban, mert a B ország 0,1%-os kormegoszlásával súlyozva már 0,22% a halálozás. D) Az A országban, mert a B ország kormegoszlásával számolva javul a halálozási mutató. www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 27

INDEXEK 1. Az elmúlt hónapban a Brent az Urals és az amerikai WT kőolajárai mind emelkedtek. Az emelkedés mértéke 9% 7% és 5%. Egy finomító mindhárom fajtából szokott vásárolni, méghozzá rendre 50% 30% 20% arányban. Mennyivel emelkedik átlagosan a beszerzés költsége? A) Átlagosan 7%-al emelkedett B) Átlagosan 21%-al emelkedett C) Átlagosan 7,6%-al emelkedett D) Átlagosan 6,7%-al emelkedett 2. A fogyasztói árindex vizsgálatakor a bázisidőszaki 1,03 a tárgyidőszaki 1,025. Ekkor A) 0,5%-al csökkentek a tárgyidőszak árai B) 0,5%-al csökkent a tárgyidőszak fogyasztása C) A tárgyidőszakban csökkent a fogyasztás a drágább termékek esetében D) A tárgyidőszakban csökkent a fogyasztás a jobban dráguló termékek esetében 3. Egy vasúttársaság kétféle jegyet árul járataira. Mindkét jegyfajta árát 6%-al emeli, a jegyek átlagára így 5%-al nő. A) A bázisidőszaki súlyozású árindex 1,05 B) Az értékindex 1,05 C) A bázisidőszaki súlyozású árindex 1,06 D) Az értékindex 1,06 4. Az A és B ország valutáinak vásárlóerejét összehasonlítva azt kapjuk, hogy az A ország fogyasztásával súlyozva egy A országi valuta 160 B országit ér, míg a B ország fogyasztásával súlyozva 150-et. Ekkor A) A Fischer-index szerint 1000 B országi valuta 6,45 A országit ér B) A Fischer-index szerint 100 B országi valuta 1,6 A országit ér C) A Fischer-index szerint 100 B országi valuta 1,55 A országit ér D) A hivatalos A országi árfolyam 150 és 160 között van www.easymaths.hu STATISZTIKA 1. PÉLDATÁR 28