A Z Á R A M L Á S T A N A L A P J A I

Átírás

1 %8'$3(67,0%6=$.,(*<(7(0 ÁRAMLÁSTAN TANSZÉK LAJOS TAMÁS A Z Á R A M L Á S T A N A L A P J A I (/$'È6,-(*<=(7 B U D A P E S T 1 9 9

2 B E V E Z E T É S (] D MHJ\]HW HJ\ NpWHV NLPHQHWHO& NtVpUOHWQHN LV WHNLQWKHW VLNHU O-e mintegy kétszáz oldalon úgy összefoglalni az emberi tudás egy nagy szegmensének, az áramlástannak a OpQ\HJHV UpV]HLW KRJ\ D] ROYDVy HOHJHQG VHJtWVpJHW NDSMRQ DQQDN PHJpUWpVpEHQ elsajátításában és ami a legfontosabb, megszeretésében és a mérnöki alkotómunkában való eredményes felhasználásában. 0LQWPLQGHQLVPHUHWN ]OpVDMHJ\]HWtUiVLVD]ÄHOKDOOJDWiVP&YpV]HWH D]WQHKp]XJ\DQLV meghatározni, hogy mi az, amit nem szükséges leírni, megtanítani és megtanulni. Az érdekes és fontos ismeretek nagy mennyisége és a terjedelmi korlátok közötti ellentmondást nekp] IHOROGDQL QHKH]HQ NHU OKHW HO D Yi]ODWRVViJ )LJ\HOHPEH YpYH D]RQEDQ KRJ\ H jegy]hw D] HODGiVRNNDO D WDQWHUPL pv ODERUDWyULXPL J\DNRUODWRNNDO HJ\ WW VHJtWL D felkészülést, és bízva az olvasó QiOOy PXQNiMiEDQ D V]HU] YiOODOWD D NHYpVEp UpV]OHWHV kifejtés kockázatát. $] iudpoivwdq RO\DQ LVPHUHWHNNHO IRJODONR]LN DPHO\HN QHPFVDN D P&V]DNL DONRWiVRN D PpUQ NL IHODGDWRN QDJ\ UpV]pEHQ MiWV]DQDN G QW V]HUHSHW GH KR]]iVHJtWHQHN DKKR] LV hogy mhjpuwv N D] po pv pohwwhohq WHUPpV]HW V]iPRV MHOHQVpJpW $ UHS OpVEHQ D hajózásban, az energetikában, a közúti közlekedésben, a szállításban, a vízépítésben, a környezetvédelemben, a vegyiparban, az épületgépészetben és az emberi tevékenység számos más területén fontos szerepe van a közegek áramlásával kapcsolatos ismereteknek. Ugyanakkor a meteorológia, az orvostudomány, a biológia, a hidrológia, az oceanográfia P&YHOpVH VHP NpS]HlKHW HO D] iudpoivwdq DONDOPD]iVD QpON O,JHQ VRN WHUPpV]HWL jelenség,dpho\vlgn ywd PHJUDJDGMD D] HPEHU NpS]HOHWpW D OiQJRN ORERJiVD D IRO\yN YL]pQHN iudpoivd D WHQJHU KXOOiP]iVD D IHOKN MiWpND D V]pO VXVRJiVD PLQG-mind a közegek áramlásával vannak kapcsolatban, mutatva a lehetséges változatok végtelen számát, az áramlási jelenségek bonyolultságát. Az áramlástant sokan azért is tartják figyelemreméltó tantárgynak, mert igen szépen és érdemben kapcsolja össze a fizikai jelenségek leírását a matematikai ismeretek alkalmazásával és a gyakorlati mérnöki feladatok megoldásával. Ilymódon ez a tantárgy hozzájárulkdw HJ\ RO\DQ PpUQ NL KDELWXV NLDODNXOiViKR] DPHO\ D J\DNRUODWL P&V]DNL feladatok igéq\hvhoppohwldssduiwxveluwrniedqw UWpQPHJROGiViWUpV]HVtWLHOQ\EHQDKRO az elmélet és a gyakorlat szerves kapcsolata valósul meg. Megköszönve Kristóf Gergely doktorandusz kolléga lelkes munkáját az ábrák elkészítéséehqpvd]dq\djv]hunhv]wpvpehqdv]hu]nlwduwivwpvw UHOPHWNpUYHHUHGPpQ\W és örömet kívánva az olvasó jóindulatába ajánlja a jegyzetet. Budapest, 1994 tavasz Lajos Tamás

3 1. Az áramlástan tárgya, a folyadékok sajátosságai 1.1. A folyadékok és a szilárd anyagok összehasonlítása Az áramlástan nyugvó és mozgó folyadékok egyes sajátosságaival ill. e sajátosságok J\DNRUODWL P&V]DNL DONDOPD]iViYDO IRJODONR]LN 1\XJYy IRO\DGpNWHUHNEHQ iowdlában a nyomásmegoszlás meghatározása a feladat, míg áramló közegekben a nyomásmegoszlás mellett legtöbbször a folyadék sebességének eloszlására vagyunk kíváncsiak. $ÄIRO\DGpNRN HWDQWiUJ\EDQHJ\DUiQWMHOHQWLNDFVHSSIRO\yVpVDOpJQHP&KDOPD]- állapotú közegeket,tj\ohjw EEV] UDOHYHJYHOpVDYt]]HOPLQWDP&V]DNLJ\DNRUODWEDQ legj\dnudeedqhoirugxoyiro\dgpnrnndoirjodonr]xqn 0L N O QE ]WHWL PHJ D IRO\DGpNRNDW D V]LOiUG WHVWHNWO" 9pJH]] QN HO HJ\ JRQGRODWL kisérletet. Az 1.1. ábrán bal oldalon két síklap közé helyezett, lapos szilárd testet 1.1. ábra látunk, amelyet alul és felül a lapokhoz ragasztunk. Jobb oldalon a két párhuzamos lap között folyadékréteg (pl. olaj) van. A szilárd test és a folyadékréteg lappal párhuzamos keresztmetszete A. AzDOVyODSU J]tWHWWDIHOV QPDJiYDO SiUKX]DPRVDQ HOPR]GtWKDWy Hassunk F HUYHODIHOV ODSUD $]W WDSDV]WDOMXN KRJ\ D V]LOiUG DQ\DJEDQ NHOHWNH] τ = FA csúsztatófeszültség hatására a szilárd anyag deformálódik. A deformációra MHOOHP] γ szög egy határig arányos a τ csúsztatófeszültséggel (Hooke-W UYpQ\ -HOHQWV deformáció általában csak az anyag szerkezetének tönkremenetelével valósítható meg. A folyadékrétegetn ]UHIRJyODSRNN ] ODIHOVUHFHUYHOKDWYDDIHOVODSXVHEHVVpJ& mozgásba jön, a IRO\DGpNLGEHQIRO\DPDWRVDQGHIRUPiOyGLN+DN O QE ]QDJ\ViJ~F HUWIHMW QNNLYDJ\N O QE ]ANHUHV]WPHWV]HW&V]LOiUGWHVWHNNHOYDJ\IRO\Ddékrétegekkel kísérletezünk, azt tapasztaljuk, hogy amíg a szilárd testnél a γ deformáció, a folyadéknál a deformáció sebessége, a dγ/dt arányos egyenesen a τ csúsztatófeszültséggel.

4 A kísérlet során azt tapasztalnánk, hogy D V]LOiUG IDOODO pulqwnh]iolyadék sebessége közvetlenül a falnál megegyezik a fal sebességével. Ezt az általánosan alkalmazott tapasztalatot a tapadás törvényének szoktuk nevezni. 5DM]ROMXN IHO ieud D NpW SiUKX]DPRV VtNRW VV]HN W D]RNUD PHUOHJHV H HJ\HQHV mentén a sebesvpjphjrv]oivw D]D] D]RQ VHEHVVpJYHNWRURN YpJSRQWMDLW VV]HN W görbét, amelyek talppontjai az e egyenesen vannak! A tapadás törvénye következtében D]iOOyODSKR]OHJN ]HOHEEOpYIRO\DGpNUpV]HNVHEHVVpJHY [ = PtJDIHOVODSN ]vetlen közelében a sebességhj\hqododsxvhehvvpjpyho0lo\hqdvhehvvpjphjrv]oivdnpwods között? 1.. ábra (NpUGpVPHJYiODV]ROiViKR]HOV] UKDWiUR]]XNPHJDγ és a v x közötti kapcsolatot! Megjegyzés: A differenciálhányados szokásos matematikai értelmezése egy differenciálható y=y(x) függvény egy rögzített pontjában, ha y a x növekményhez tartozó függvényérték megváltozás: OLP [ \ G\ = = \ = WJα, [ G[ ha αdu J]tWHWWSRQWEDQD]pULQWKDMOiVV] JHDSR]LWtY[WHQJHO\WOPpUYH$ dy itt egy dx szimbolikus jelölésedkdwiupuwpnqhnpvqhpdv]ipoioypvqhyh]kiq\dgrvd (OVVRUEDQ D P&V]DNL WXGRPiQ\RN WHU OHWpQ V]RNiVRV D értelmezése: OLP [ \ G\ = \ = WJα =, [ G[ dy dx kifejezés egy másik DPLDOiWV]DWWDOHOOHQWpWEHQHOYLOHJN O QE ]LND]HO]IHOtUiVWyO(V]HULQWDKDWiUpUWpNiOWDO U J]tWHWWpULQWLUiQ\WDQJHQVNpWNLFVLQ\GHösszetartozó dx és dy érték hányadosával is ki- IHMH]KHW$NLFVLQ\MHO]D]WMHOHQWLKRJ\H]HQpUWpNHNDJ UEHRO\DQNLFVLV]DNDV]iQDNYe- W OHWHL DPHO\ HOHJHQGHQ MyO közelíti az y=y(x) függvényt a rögzített pont környezetében. 4

5 Így értelmeztük a dy és dx differenciálokat, melyeknek hányadosa, szorzata stb. is értelmezett. A jelen jegyzetben ez utóbbi értelemben kezeljük a differenciálokat, illetve differenciálhányadosokat. Az 1.. ábrán az y helyen látható egy dy vastagságú folyadékréteg. A csak az y-wyoi JJ Y [ sebességkomponens y irányú változását a GY [ G\ differenciálhányados jellemzi. *RQGRODWEDQIHVV NPHJD]iUDPOiVEDQD]0MHO&G\KRVV]~ViJ~V]DNDV]WpVYL]VJiOMXN PHJ KRJ\ GW LG DOatt milyen dγ V] JJHO IRUGXO HO $] 0 V]DNDV] IHOV UpV]H Y[ +1GY[ G\ 6 G\, alsó része Y [ VHEHVVpJJHO PR]RJ $ V]DNDV] IHOV UpV]H GW LGWDUWDP alatt GY G\ G\ GW 1 6 -vel távolabbra jut, mint az alsó rész (ld. 1.. ábra$gwlgwduwdpud [ jutó elfordulást, dγ-t a fenti szorzat dy-nal való osztásával kapjuk meg. $]HJ\VpJQ\LLGUH jutó szögelfordulás, azaz a deformációsebesség a dt-vel való osztás után adódik: Gγ GY = [ GW G\ (1.1) $PLQWD]WD]HO]JRQGRODWNtVpUOHWEHQPHJiOODStWRWWXNDGγ/dt deformációsebesség és a τ csúsztatófeszültség között egyenes arányosság van. Ezért az (1.1)-et figyelembe véve felírható Newton viszkozitási törvénye: GY τ µ µ γ [ G [\ = = G\ GW (1.) (A τlqgh[hln ] OD]HOVDτ-t tartalmazó sík normálisának irányát, a második a τ irányát jelenti. τ yx WHKiW D] \ QRUPiOLV~ VtNRQ peuhg [ LUiQ\~ IHV] OWVpJHW MHO OL $ V~UOyGiVRV közegek tárgyalásánál látni fogjuk, hogy általános esetben a τ xy kifejezésében más sebességkomponens hely szerinti deriváltja is szerepel. Megjegyezzük továbbá, hogy a súrlódásos közegek deformációjánál a csúsztatófeszültségek mellett húzófeszültségek is keletkezhetnek, amelyekkel a 9. fejezetben foglalkozunk.) Az (1.)-ben µ egy, a folyadék tulajdonságaitól I JJpUWpN& DUiQ\RVViJL WpQ\H] D dinamikai viszkozitás, amelynek mértékegységét a µhj\hqohweow UWpQNLIHMH]pVH után az alábbi módon határozzuk meg: µ τ G\ GY NJ P =! " $ # = = [ V P P P V NJ PV (1.3) Definiáljuk a kinematikai viszkozitást, mint a dinamikai viszkozitás és a ρ [kg/m 3 ] V&U&VpJKiQ\DGRViW: µ ν = P V ρ (1.4) 5

6 Az (1.) ismeretében már megválaszolhatjuk a sebességmegoszlás alakjára vonatkozó kérdést. Esetünkben a τ csúsztatófeszültség az e egyenes mentén, azaz a két lap között állandó, így (1.)-EODGyGyDQGY x /dy is állandó, azaz a sebességmegoszlás lineáris. Ha megvizsgáljuk az (1.) kifejezést, további következtetéseket vonhatunk le: ha a deformációsebesség zérushoz tart, akkor a csúsztatófeszültség is elw&qln (]W ~J\ V]RNWXN mondani, hogy a szilárd anyagokkal ellentétben a folyadékok nyugvásbeli súrlódása zérus. (Ezért lehet persze csak igen lassan eltolni kézzel a parttól egy több tonnás hajót.) Másrészt, ha a τ csúsztatyihv] OWVpJ ]puxvwyo N O QE ]LN D] VV]HI JJpVEO GY [ G\ következik, azaz nyugvó folyadékban nem tartható fenn tartósan Q\tUyIHV] OWVpJ D Q\tUyIHV] OWVpJ KDWiViUD D IRO\DGpN LGEHQ IRO\DPDWRVDQ deformálódik. Ez az egyik fontos sajátosság, amely a folyadékokat a szilárd anyagoktól megkülönbözteti. További különbség, hogy szemben a szilárd anyagokkal a folyadékok WHWV]OHJHVPprWpNEHQGHIRUPiOKDWyNEHOVV]HUNH]HW NPHJYiOWR]iVDQpON O Itt jegyezzük meg, hogy a folyadékok és a szilárd anyagok közötti éles különbségtétel sok DQ\DJ HVHWpQ QHP N QQ\& IHODGDW 9DQQDN RO\DQ N ]HJHN XJ\DQLV DPHO\HN HJ\DUiQW UHQGHONH]QHN D IRO\DGpNRN pv D V]LOiUG DQ\DJRN MHOOHP]LYHO 9DQQDN WRYiEEi RO\DQ folyadékok is, amelyeknél a csúsztatófeszültség és a deformációsebesség között az (1.)-WO HOWpU NDSFVolat áll fenn. Ezeket nem-newtoni közegeknek nevezzük, és sajátosságaikat NpVEEDIejezetben tárgyaljuk. 1. A folyadékok néhány tulajdonsága Az 1.3. ábránoiwkdwygxjdww\~ydooh]iuwkhqjhuehqj]ydqdpho\qhn9 m 3 térfogatát és m [kg] tömegét ismerjük, így ezek hányadosaként számolható a v m 3 kg fajtérfogat, HEEO SHGLJDρ=1/v kg m 3 V&U&VpJ $ GXJDWW\~ PR]JDWiViYDO D J] WpUIRJDWiW változtatjuk, miközben mérjük p [Pa] nyomását. A T >.@ KPpUVpNOHWHW HJ\ KFVHUpO VHJtWVpJpYHOKEHYH]HWpVVHOYDJ\HOYRQiVVDOiOODQGypUWpNHQWDUWMXN. O QE ] 7=áll. mellett mozgassuk a dugattyút balfelé és mérjük a v fajtérfogat függvényében a p nyomást, majd a mérési eredményeket ábrázoljuk az 1.3. ábrán látható diagramban. $GRWWiOODQGyKPpUVpNOHWPHOOHWWFV NNHQWYHDJ]WpUIRJDWiWDQ\RPiVNH]GHWEHQQ YHk- V]LNPDMGiOODQGyYiYiOLN(NNRUDKHQJHUEHQIRO\DGpNFVHSSHNMHOHQQHNPHJD]D]DJ] VV]HQ\RPiV PpUWpNpWO I JJUpV]e kondenzálódik. Tovább csökkentve a térfogatot az 6

7 ösv]hvj]nrqghq]ioyglnpvfvdnfvhssiro\yvii]lvohv]dkhqjhuehqdpho\nlvwpuirjdtcsökkenésre nagy nyomás növekedéssel reagál, azaz a görbék igen meredekek lesznek ábra $N O QE ]7=áll. mellett kapott görbék két helyen törnek. E töréspontok összekötésével a diagram bal és jobb oldalán egy-hj\ KDWiUROyJ UEpW NDSXQN DPHO\HN D GLDJUDP IHOV részén egy u.n. kritikus pontban találkoznak. A görbék között a közeg mind cseppfolyós PLQG SHGLJ OpJQHP& D]RNWyO EDOUD FVDN FVHSSIRO\yV MREEUD SHGLJ FVDN OpJQHP& halmazállapotban van. Van egy olyan 7 NULW Ji]KPpUVpNOHWDPHO\QpODOpJQHP&-FVHSSIRO\yViWDODNXOiVUHMWHWWK felszabadulása nélkül megy végbe a S NULW nyomáson és Y NULW fajtérfogaton, és amelynél PDJDVDEEKPpUVpNOHWHQQHPOHKHWD]DGRWWJi]WFVHSSIRO\yVtWDQL9t]UH7 NU = 647 K, S NU = Pa.) Az 1.3. ábra MREE ROGDOiQ HOKHO\H]NHG KDWiUROyJ UEpQ pv D &6/ MHO& WHU OHWHQ D J] telített D]D] D J] D WpUIRJDW YiOWR]isára halmazállapot változással reagál. A jobb oldali KDWiUROyJ UEpWO MREEUD DQQDN N ]HOpEHQ OpY SRQWRNNDO MHOOHP]HWW ioodsrwrnqio túlhevíwhwwj]uoptjdkdwiuroyj UEpWOWiYROSO7>> esetén gázról beszélünk. 7 NULW $ OHYHJW DONRWy és 1 esetén a 7 NULW rendre >.@ pv >.@ WHKiW D P&V]DNL DONDOPD]iVRNQiO V]RNiVRV KPpUVpNOHWHNQpO 7>> 7 NULW. ËJ\ D OHYHJ Ji]QDN WHNLQWKHW amelyre jó közelítéssel érvényes az ideális gázra vonatkozó gáztörvény: SY = S 57 ρ =, ahol 5 = 5X 0 (1.5) (1.6) az adott gáz gázállandója, ami az univerzális gázállandó (R u = J/kg/K) és a PROW PHJ0NJNPROKiQ\DGRVD/HYHJUH0 >NJNPRO@WHKiW5 -NJ.$] 7

8 1.3. ábrán látható, hogy a CS+L-lel jelölt területen (ahol a gáz telített állapotban van) a 7= ioo görbék vízszintesek, azaz egydgrww7kppuvpnohwkh]dgrwwwhotwhwwj]q\rpivs g tartozik. Rajzoljuk fel a a vízre vonatkozó 7 u.n. tenziógörbét: 1.4. ábra! S J 1.4. ábra $ GLDJUDPEyO OiWKDWy KRJ\ NLV KPpUVpNOHWHQ LV OpWUHM KHW J]Ii]LV D]D] D IRO\DGpN IRUUiVEDM KHWKDHOHJHQGHn kicsiny a nyomás. A nyomás csökkenését okozhatja pl. az iudpoivl VHEHVVpJ PHJQ YHNHGpVH (OIRUGXOKDW WHKiW KRJ\ D] iudpoy IRO\DGpNEDQ D nyomás a telíwhww J]Q\RPiVLJ FV NNHQ H]pUW J]EXERUpNRN NHOHWNH]QHN $PLNRU H buborékok nagyobb nyomású helyre ker OQHN D J] NRQGHQ]iOyGLN D EXERUpNRN összeroppannak és a közelükehq OpY V]LOiUG DQ\DJ IHO OHWpQ SO V]LYDWW\~ ODSiWMiQ MHOHQWVURQFVROiVWRNR]QDN$JzEXERUpNRNNpS]GpVpWpV VV]HURSSDQiViWkavitációnak, a roncsolást kavitációs eróziónak nevezzük. $FVHSSIRO\yVpVOpJQHP&KDOPD]iOODSRW~N ]HJHNN ] WWLOHJIRQWRVDEEN O QEVpJHN EHPXWDWiVDpUGHNpEHQUDM]ROMXNI ODPROHNXOiNN ] WWKDWyHUWDN ] WW NOpYGWiYROViJ függvényében: 1.5. ábra. A diagramból látható, hogy a molekulák között DGWiYROViJWyOI JJHQYRQ]iVpVWDV]tWiVHJyaránt felléphet. A G semleges távolság, DPLNRUD]HU]pUXVHJ\V]HU&PROHNXOiNQiOiltalában [m], ami kb. a molekulák átmérmpyho HJ\HQO A cseppfolyós halmazállapotú közegek molekulái egymáshoz viszonylag közel vannak: G G. A távolság csökkené ábra. se esewpq PHUHGHNHQ Q YHNHGWDV]tWiVPHgmagyarázza, hogy miért növekszik olyan rohamosan a nyomás, ha csökkentjük a cseppfolyós halmazállapotú közegek térfogatát. (vö.: 1.3. ábra) A molekulák távolításakor khohwnh]yrq]yhuqdj\reewiyrovijhvhwpqurkdprvdq G -QHODUiQ\RVDQFV NNHQ0LXWiQDJi]RNV&U&VpJHNEQDJ\ViJUHQGGHONLVHEEPLQWD folyadékoké, a molekulák közötti átlagos távolság gázoknál a cseppfolyós közegeknél ér- 8

9 vényes G távolságnak kb. tízszerese. Ezért szemben a cseppfolyós halmazállapotú közegekkel a gázoknál a molekulák közötti vonzó-ydj\wdv]twyhud] WN ]pvhnwohltekintve elhanyagolható. $ OpJQHP& pv FVHSSIRO\yV N ]HJHN YLV]NR]LWiViQDN HUHGHWpW YL]VJiOYD MHOHQWV különbséget tapdv]wdoxqn7xgmxnkrj\dn ]HJHNEHOVHQHUJLiMDDPLWDKPpUVpNOHWWHO jellemzünk) a közeget alkotó molekulák rendezetlen mozgásával függ össze. A OpJQHP& közeg molekuláid] WN ]pvhnwohowhnlqwyhhj\pivwyoi JJHWOHQ OPR]RJKDWQDNDG -hoz képest jelentvwiyrovijrwv]dedg~wkrvv]dwphjwpyhnpw WN ]pvn ] WW$]iUDPOyJi]RN tehát viszonylag nagy sebességgel, rendezetlenül mozgó molekulákból álló halmazok, amelyek a rendezetlen molekula-sebességhez képest általában egy-két nagyságrenddel lassabban mozognak az áramlás irányában. Amit mi a gáz sebességének tekintünk (pl. Y [ a (1.) összefüggésben), az a gyorsan mozgó molekulák sebességének vektoriális átlaga. Tételezzük fel, hogy a Y [ változik az y mentén, azaz az egymás mellett haladó gázrétegek sebessége N O QE ] $ UHQGH]HWOHQ KPR]JiV N YHWNH]WpEHQ D QDJ\REE VHEHVVpJ& UpWHJEO D NLVHEE VHEHVVpJ&EH iwmxwy PROHNXOiN J\RUVtWMiN D] H UpWHJEHQ KDODGy PROHNXOiNDWPtJDNLVHEEVHEHVVpJ&HNDQDJ\REEVHEHVVpJ&UpWHJEHMXWYDODVVtWMiND]WA N O QE ] VHEHsséJ& UpWHJHN N ] WW D Ji]PROHNXOiN UHQGH]HWOHQ PR]JiVD N YHWNH]WpEHQOpWUHM YPolekuláris impulzuscsere a gázok viszkozitásának forrása. +DQDJi]KPpUVpNOHWHD]D]QDPROHNXOiNUHQGH]HWOHQPR]JiViQDNVHEHVVpJHQD N O QE ] UpWHJHN N ] WW iwops PRlekulák száma, ezért Q DYLV]NR]LWiV. Ha adott KPpUVpNOHW PHOOHWW D nyomás növekszik, nem várható a viszkozitás változása, ami a követke]npsshq PDJ\DUi]KDWy $ Q\RPiV D] HJ\VpJQ\L IHO OHWHQ LUiQ\W YiOWR]WDWy PROHNXOiNiOWDODIHO OHWHQNLIHMWHWWHUDPLDGRWWKPpUVpNOHWD]D]DJi]PROHNXOiNDGRWW rendezetlen seehvvpjh HVHWpQ D WpUIRJDWHJ\VpJEHQ OpY PROHNXOiN V]iPiWyO D]D] D V&U&VpJWOI JJ1aJ\REEQ\RPiVHVHWpQDJi]QDJ\REEV&U&VpJHN YHWNH]WpEHQDUiQ\RVDQ W EE PROHNXOD OpS iw XJ\DQ D] HOWpU VHEHVVpJ& UpWHJEH GH D QDJ\REE PROHNXOD-V&U&VpJ miatt rövidebb az ütközések között megtett út (a szabad úthossz), ezért kisebb mélységben KDWROQDNEHD]HOWpUVHEHVVpJ&UpWHJEHD]D]NLVHEEDPROHNXOiNN ] WWLLPSXO]XVFVHUH A cseppfolyós halmazállapotú közegek PROHNXOiL XJ\DQFVDN YpJH]QHN KPR]JiVW amelynek úthossza a molekulák közötti lényegesen kisebb távolság következtében sokkal csekélyebb, mint a gázoknál. A molekulák közötti kisebb távolság következtében a mole- NXOiNN ] WWLHUQHNMHOHQWVV]HUHSHYDQa viszkozitás kialakulásában. Ezt indokolja az a körülmény, hogy ellentétben a gázokkal DKPpUVpNOHWQ YHNHGWpYHODFVHSSIolyós közegek viszkozitása csökken 1 YHNY KPpUVpNOHW XJ\DQLV LQWHQ]tYHEE KPR]JiVWDPROHNulák közötti távolság növekedését évdn ] WW NKDWyYRQ]yHUFV NNe- 9

10 nését eredményezi. Cseppfolyós közegek mint láttuk igen kevéssé összenyomhatók, tehát a nyomásnak ezeknél sincs gyakorlati befolyása a viszkozitásra. )RJODOMXN VV]HDFVHSSIRO\yVpVOpJQHP&KDOPD]iOODSRW~N ]HJHNNHONDpcsolatos megállapításokat! cseppfolyós OpJQHP& Molekulák közötti távolág kicsi G nagy 10G 0ROHNXOiNN ] WWLHUV]HUHSH nagy szabad felszínt kicsi kitölti a képez rendelkezésre álló teret Nyomás növekedés hatása kicsi 1000 bar 5% nagy T=áll. esetén a térfogatra térf. csökkenést v az 1/p-vel okoz arányos (1.5) A viszkozitás forrása molekulák közötti PROHNXOiNKPR]JiVD YRQ]yHU miatti impulzuscsere A viszkozitás DKPpUVpNOHWQ YHNHGWpYHO csökken Q a nyomástól nem függ nem függ 1.3. Az ideális folyadék $IHQWLJRQGRODWPHQHWEOOiWKDWyKRJ\MHOHQWVN O QEVpJYDQDFVHSSIRO\yVpVOpJQHP& közegek felépítése, szerkezete között. Mégis, ha az áramlástani feladatok megoldása szempontjából tekintjük e közegeket, igen sok egyezést tapasztalunk. Így például az (1.) összefüggéssel leírt Newton viszkozitásiw UYpQ\DOHJJ\DNUDEEDQHOIRUGXOyFVHSSIRO\yVpVOpg- QHP&KDOPD]iOODSRW~N ]HJHNUHHJ\DUiQWpUYpQ\HV (]puwyrowohkhwvpjdiro\dgpnj\&mwirjdorpehyh]hwpvpuhydodplqwdn O QE ]KDOPDzállapotú folyadékokra egyaránt érvényes áramlástani összefüggések meghatározására. $YDOyViJRVFVHSSIRO\yVpVOpJQHP&KDOPD]iOODSRW~IRO\DGpNRNPRGHOOH]pVpUHEHYH]Htték az ideális folyadék fogalmát, amelynek legfontosabb sajátosságait a valóságos folyadékokkal összehasonlítva adtuk meg. 10

11 Valóságos folyadék Ideális folyadék PROHNXOiULVV]HUNH]HW& homogén (kontinuum) súrlódásos (µ 0) súrlódásmentes (µ = 0) összenyomható (ρ áll.) összenyomhatatlan (ρ = áll.) $ N YHWNH] IHMH]HWHNEHQ W EE D] LGHiOLV IRO\DGpNRNUD puypq\hv VV]HI JJpVW IRJXQN meghatározni, amelyek meghatározott esetekben jól használhatók valóságos folyadékok áramláviqdnohtuiviudp&v]dnlihodgdwrnpegoldására. Ahhoz kell szilárd tudás és intuició, KRJ\D]HJ\V]HU&VtWIHOWHYpVHNDONDOPD]iViQDNOHKHWVpJpWKHO\HVHQKDWiUR]]XNPHJpVD] elhanyagolások, közelítések hatását jól meg tudjuk becsülni. Becsléseink, feltevéseink helyességét a kísérletek, a gydnruodwlwdsdv]wdodwrnpxwdwminphj.pveedv~uoygivphqwhsség és az összenyomhatatlanság feltételeit már nem kötjük ki és ezáltal egyre bonyolultabb, de a valóságos közeg áramlását egyre tökéletesebben leíró megoldásokra jutunk. Felmerül a kérdés, hogy PLpUW YDQ V] NVpJ LO\HQ ÄW EEOpSFVV PHJROGiVUD HOKDQ\Dgolásokra és ezek hatásának becslésére. Azért, mert jelenlegi áramlástani ismereteink, a rendelkezésuhiooypdwhpdwlndlhv]n ]WiUpVV]iPtWiVLNDSDFLWiViOWDOiEDQQHPHOHJHQGKRJ\ a természetben YDJ\DP&V]DNLJ\DNRUODWEDQHOIRUGXOyiUDPOiVWDQLSUREOpPiNDWV]iPtWiVVDO pontovdq PHJROGMXN ËJ\ SO PpJ PLQGLJ WiYRO YDJ\XQN DWWyO D OHKHWVpJWO KRJ\ HJ\ személyauwyud KDWy iudpoivl HUHGHW&HUW V]iPtWiVVDO D P&V]DNL J\DNRUODW V]HPSRQWMiEyO szükséges mondjuk ±%-os relatív hibahatáron belül kiszámoljuk. 11

12 . Fizikai mennyiségek és leírásuk.1. Skalárterekkel leírható mennyiségek 6&U&VpJ $ YDOyViJRV N ]HJ V&U&VpJH ρ OLP Y = 9 ε P 9 NJ P, ahol m a 9 WpUIRJDWEDQ OpY közeg tömege, ε pedig egy, a vizsgált folyadéktér méreteihez képest kicsi, de a folyadékmolekulák közötti távolsághoz képest nagy méret. (Ha ε a molekula-távolság nagyságrend- MpEHHVPpUHWOHQQHDNNRUDV&U&VpJMHOHQWVHQLQJDGR]QDDWWyOI JJHQKRJ\pSSHQKiQ\ molekula tartózkodik a V térfogatban.) Az ideális folyadékot homogénnek tekintjük és ρv&u&vpjpwdprghooh]hwwydoyvijrvn ]HJ ρ v V&U&VpJpYHOYHVV] NHJ\HQOQHNDPLiOWDOiEDQD]rKHO\YHNWRUpVDWLGI JJYpQ\HA V&U&VpJHW iowdoiqrvdq D ρ = ρuw skalártér, azaz a ρ = ρ[ \ ] W négyváltozós függvény írja le. Nyomás Vegyünk fel nyugvó folyadékban egy felületelemet ill. az azt jelohp] A felületelem vektortdpho\phuohjhvdiho OHWHOHPUHDEV]RO~WpUWpNHDUiQ\RVDIHO OHWHOHPQDJ\ViJiYDOpV zárt felület esetén kifelé mutat). A A felületelemre FHUKDW Nyugvó valóságos (súrlódásos) folyadékban az (1.) összefüggés értelmében nem tartható fenn csúsztatófeszültség, ezért F-QHN PHUOHgesnek kell lennie a felületre. (Ugyanez érvényes ideális közegben is, függetlenül attól, hogy nyugszik-e vagy áramlik.) $] HJ\VpJQ\L IHO OHWUH KDWy DUUD PHUOHJHV.1. ábra HUW Q\RPiVQDN >1P ] ill. [Pa]) nevezzük, DPLDNNRUSR]LWtYKDD]HUDIHO OHWEHEHIHOp mutat. (Súrlódásos közegek áramlása esetén a folyadék deformáció következtében is keletkezikiho OHWUHPHUOHJHVHU,O\HQNRUDQ\RPiVDIRO\DGpNWpUEHQNHOHWNH]IIHV] OWVpJHN átlagának ellentettje, ld. 9. fejezet.) 9DOyViJRV N ]HJHNQpO D Q\RPiV D KPR]JiVW YpJ] PROHNXOiN pv D IHO OHW N ] WWL N lcsönhatás következményeként jön létre.

13 Az.1. ábrán látható, a nyugvó folyadékban gondolatban elhatárolt, háromszög alakú kis KDViEIHO OHWpQKDWyHUNHJ\HQV~O\EDQYDQQDNDPLNRUDKDViERWHJ\SRQWUD]VXJRUtWMXN $KDViEUDKDWyWpUHUVVpJ/SODV~O\HU/XJ\DQLVDIHO OHWLHUNK ]NpSHVWHOW QLNPLXWiQ D]DMHOOHP]PpUHWN EpYHOPtJDIHO OHWLHUDQQDNQpJ\]HWpYHODUiQ\RVDQFV NNHQ(]W D]HJ\HQV~O\WHJ\]iUyGyYHNWRUKiURPV] JIHMH]LNLDPHO\QHNROGDODLPHUOHJHVHNDKDViE odalaira, következésképpkdvrqoydkdviekiurpv] JDODN~NHUHV]WPHWV]HWpKH](EEONövetkezik, hogy [ F i ] rendre arányos A i -vel, azaz a nyomás értéke egy pontban a felület irányításától független, skaláris mennyiség. A nyomás áltaoiedqdkho\pvd]lgi JJYpQ\HWHKiWDS Sr,t) skalártérrel azaz a p =p(x,y,z,t) négyváltozós függvénnyel írható le. Hasonlóan skalártérrel írható le a T=T(r,t) KPpUVpNOHW megoszlás is. A skalártereket szintfelületekkel (szintvonalakkal) jellemezzük, amelyek a tér (ill. sík) azon pontjait kötik össze, amelyekben a fizikai változó értéke azonos. (Pl. az izobárok az állandó nyomású pontokat.) A skalárterek hely szerinti változásának jellemzésére egy vektormennyiséget használunk, amelynek x, y és z komponensei a leírt fizikai mennyiség x, y és z irányú változásának rohamosságával arányosak: S JUDG S S [ L S \ M S ] N S = = + + = U DKRO = [ L + \ M + ] N A gradiens vektor a skalártér legrohamosabb változásának irányával párhuzamos, a skalártér növekedésének irányába mutat, hossza arányos a változás rohamosságával, PHUOHJHVDV]LQWIHO OHWUHV]LQWYRQDOUD +DDWpUNpWN ]HOOpY$pV%SRQWMiWD s vektor köti össze, amelynek talppontja az A pontban van, a p skalártér p változását a B és A pont között lineáris közelítésben a S S S S JUDG S V [ [ S \ \ S = % $ = + + ] ] (.1) skalárszorzat adja meg. 13

14 .. Vektorterekkel leírható mennyiségek Sebességtér A sebesség vektor viowdoiedqdkho\pvd]lgi JJYpQ\HH]pUWHJ\YHNWRU-vektor függvénnyel (vektortérrel) írható le: Y = Y L+ Y M+ Y N = Y1U W6. [ \ ] A vektortér meghatározható a v x, v y és v z vektorkomponens leírásával, azaz három skalártérrel is: Y = Y [\]W Y = Y [\]W Y = Y [\]W. [ [ \ \ ] ] Tekintsük a.. ábrát, ahol az r vektorhoz tartozó v vektort ábrázoltuk. Hogyan változik a sebesség, ha r-rel elmozdulunk? Határozzuk meg tehát a sebességvektortér r-hez tartozó v megváltozását! A feladat megoldására felhasználhatjuk a skalártér jellemzésére.. ábra tanult módszert, azaz képezhetjük az egyes vektorkomponensek, mint skalárterek gradiensét, és ezek segítségével számolhatjuk a v sebességvektor komponenseinek változását a r elmozdulásvektor mentén: Y [ Y [ Y [ Y[ JUDGY[ U = [ + \ + ]. [ \ ] (.) Hasonlóképpen felírva a Y \ és Y ] megváltozását, látjuk, hogy a v sebesség változás vektor az alábbi módon írható fel: Y! " $ # Y [ Y [ Y [ [ + \ + ] [ \ ] Y \ Y \ Y \ [ + \ + ] = [ \ ] Y ] Y ] Y ] [ + \ + ] [ \ ]! Y [ Y [ Y Y \ Y \ Y [ \ Y [ [ [ ] Y \ \ \ ] Y ] ] ] ] "! $ # [ \ ] " $ # (.3) v D r. A sebességtér hely szerinti változását tehát a D deriválttenzorral jellemezhetjük, amely mivel három sebességkomponens változhat három koordináta irányban kilenc mennyiséget tartalmaz. 14

15 A sebességteret két további mennyiséggel is jellemezhetjük. (Ezeket a deriválttenzor invariánsainak is szokták nevezni, hiszen koordináta-transzformáció esetén a D valamennyi tagjának értéke változhat, de ezek egyes kombinációinak értéke nem.) Y Y [ \ Y ] Az egyik ilyen (skalár) invariáns a vektortér divergenciája, GLYY = + + [ \ ], DPHO\QHNDN YHWNH]IL]LNDLLQWHUSUHWiFLyWOHKHWDGQLDGLYv egy skalár mennyiség, amelynek értéke az áramlási tér adott pontjában megmutatja, hogy HJ\VpJQ\L LG DODWW egységnyi térfogatból mennyivel több folyadéktérfogat lép ki, mint be. Mértékegysége: GLYY = P VP = V. Tekintsük a.3. ábrán látható térben rögzített, zárt felületet, amelyen közeg áramlik át. 9L]VJiOMXNPHJKRJ\PiVRGSHUFHQNpQWPHQQ\LYHOW EEN ]HJiUDPOLNNLDIHO OHWEOPLQW be. A da felületelem vektorral jellemzett felületen másodpercenként GT = Y G$ = Y G$ FRVα P V térfogatáram áramlik át. Ha v és da közötti szög.3 ábra α < 90, akkor dq > 0, azaz a két vektor skaláris szorzata kiáramlás esetén ad pozitív értéket. Ha kiszámoljuk a YG$ integrált a teljes zárt felületre, akkor a kapott q [m 3 /s] mennyiség megmutatja, hogy $I másodpercenként mennyivel több folyadéktérfogat lépett ki az $IHO OHWEOPLQWEH Tekintsünk most egy dv térfogatelemet az A felület által határolt V térfogatban. A divv fizikai interpretációjából adódóan dq= divv dvd]hohplwpuirjdweyolghj\vpjehqw UWéQ többletkiáramlás értékét adja meg. Képezve az egész térfogatra vonatkozó GLY Y G9 integrált, ismét a másodpercenkénti többletkiramlás adódik. Ha az azonos mennyiségeket 9I kifeje- ]LQWHJUiORNDWHJ\PiVVDOHJ\HQOYpWHVV] N I YG$ = I $ 9 GLYYG9 (.4) a v sebességtérre alkalmazott Gauss-Osztrogradszkij tételt kapjuk. A derivált tenzor másik (vektor) invariánsa a rotv rotáció vektor, amelyet az alábbi determináns formális kifejtésével képezhetjük: 15

16 L M N URW Y = Y = = [ \ ] Y Y Y [ \ ]! Y Y ] \ \ ] Y [ Y ] ] [ Y \ Y [ [ \ " $ #. (.5) A rotv vektor szoros kapcsolatban van az áramlási tér fontos sajátosságával, a folyadékrészek forgási szögsebességével, Ω-val: rotv = Ω. (.6) 9HJ\ QNIHOHJ\HJ\V]HUHVHQ VV]HI JJ$IHO OHWHWDPHO\HWD*]iUWJ UEHYHV]N U O* irányítása pozitív az A felület felöl nézve.) A rotv vektortér A felület mentén vett integrálja és a vvhehvvpjwpu$iho OHWHWN U OYHY*J UEHPHQWLLQWHJUiOMDDΓ cirkuláció közötti kapcsolatot a I Γ= YGV= I * $ URWYG$ (.7) Stokes-tétel teremti meg. A vektorterek, így a sebességtér leírásához mint láttuk általában három négyváltozós I JJYpQ\UHYDQV] NVpJ/pQ\HJHVHJ\V]HU&VtWpVWMHOHQWHQHKDDYHNWRUWpUOHírásához egy QpJ\YiOWR]yVI JJYpQ\VNDOiUWpULVHOpJOHQQH$JUDGLHQVP&YHOHWVHJtWVpJpYHOEiUPHO\ϕ GLIIHUHQFLiOKDWyVNDOiUWpUEOHOiOOtWKDWyD Y = JUDGϕ vektortér. Létezik-e valamennyi vektortér esetén olyan ϕ VNDOiUWpUDPLWSRWHQFLiOQDNQHYH] QNDPHO\EOD]DGRWWYHNWRrtér a gradvp&yhohwwhoohtukdwy" Sajnos nem. Tudjuk, hogy csak a vektorterek egy része, a potenciálos vektorterek rendelkeznek ezzel a sajátossággal. Matematikai tanulmányaink során megismert NKRJ\HJ\V]HUHVHQ VV]HI JJWDUWRPiQyban megadott vektortérre esetünkben v sebességtérre az alábbi három állítás ekvivalens: létezik potenciálfüggvény a cirkuláció bármely zárt G görbére Γ = I Y GV= * a vektortér örvénymentes azaz rot v = 0 (ld. (.7) Stokes-tétel). (O]HNEODGyGyDQSRWHQFLiORVVHEHVVpJWpUHVHWpQDIRO\DGpNUpV]HNQHPIRURJQDN (UWHUHN Hasonlóképpen, vektorterek írják le a g HUWHUHNHW DPHO\HN YHNWRUDL D WpUHUVVpJ- YHNWRURND]HJ\VpJQ\LW PHJUHKDWyHUQDJ\ViJiWLUiQ\iWpVLUiQ\tWiViWPXWDWják. A 16

17 WpUHUVVpJ PpUWpNHJ\VpJH D IHQWLHN DODSMiQ J = 1 NJ = PV. Kérdés hogy a Föld ne- Kp]VpJL HUWHUH DPHO\QHN DEV]RO~W puwpnh V]pOHVVpJL N U QN Q NE 1NJ D]D] NJ W PHJUH1V~O\HUKDWSRWHQFLiORV-e? Határozzuk meg a JGV vonalintegrált tetsz *I leges zárt G görbe mentén. Az integrál egy zárt görbe mentén mozgó egységnyi tömegen a nehézvpjlhuwpuiowdonlihmwhwwpxqndqdj\vijiwkdwiur]]dphjdplq\loyiqydoydq]puxv 7HKiWD) OGQHKp]VpJLHUWHUHPLQWW EEPiVHUWpUSRWHQFLiORV Jelöljük U [m/s]-val az HUWpUSRWHQFLiOMiWpViOODSRGMXQNPHJKRJ\DEEDQD]LUiQy- EDQ Q YHNHGMpN DPHO\LN LUiQ\EDQ D] HUWpU HOOHQpEHQ PXQNiW NHOO YpJH]QL KD HJ\ tömeget elmozdítunksod) OG QI OIHOp(PHJiOODSRGiVEyODWpUHUVVpJ-vektor g és az U potenciál között a g = gradu (.8) kapcsolat következik. $ ) OG QHKp]VpJL HUWHUH felfelé mutató z koordináta mellett J = J N J alakban írható, ahol J J =9.81 N/kg. $QHKp]VpJLHUWpU U g potenciáljadplhj\vpjq\lw PHJ&WHVWKHOy- ]HWLHQHUJLiMiYDOHJ\HQOHEEHQD]HVHWEHQ 8 = J ] + NRQVW J J (.9) DODNEDQtUKDWy+DD]I JJOHJHVNRRUGLQiWDOHIHOpPXWDWDNLIHMH]pVMREEROGDOiQD]HOjel megváltozik.) $WRYiEELNpWJ\DNUDQHOIRUGXOySRWHQFLiORVHUWpUUHOa tehetetlenségi és centrifugális HUWpUUHOFVDNDNNRUNHOOV]iPROQLKDHJ\HQHVmentén gyorsuló vagy forgó koordiná- WDUHQGV]HUEO YL]VJiOMXN D MHOHQVpJHW (Nem az számít tehát, hogy a vizsgált folyadék gyorsul vagy forog-hkdqhpdnrruglqiwduhqgv]huioodsrwddpho\eodmhohqvpjhwyl]vjiljuk.) Az x koordináta irányban a= ai gyorsulással mozgó koordinátarendszerben hat egy avval ellentétes irányú és azonos nagyságú JW = DLWHKHWHWOHQVpJLHUWpU(QQHNDSo- WHQFLiOMiWDN YHWNH] VV]HI JJpVVHOV]iPtWKDWMXN 8 W = D [ + NRQVW (.10) 17

18 Egy ω szögsebességgel forgó koordináta-rendszerben a cenwulixjiolvhuwpuwpuhuvvpj vektora sugár irányú vektor: J F = U ω. E vektortér potenciálját az 8 F U ω = +NRVW (.11) összefüggés írja le. 18

19 3. Kinematika és a folytonosság tétele 3.1. A folyadék mozgás leírása A kinematika a folyadékok mozgásával foglalkozik figyelmen kívül hagyva a folyadékra KDWyHUNHW A szilárd testek mozgását úgy írjuk le, hogy a test egy vagy több pontjának helyét adjuk PHJD]LGI JJYpQ\pEHQA folyadékoknál analóg módon járhatunk el. Az egyes folyadékrészeket a t=0 pillanathoz tartozó helyzetükkel jelöljük meg (amelyet az V helyyhnwrukdwiur]phjpvdwlgi JJYpQ\pEHQPHJDGMXNDIRO\DGpNUpV]HNKHO\pW 4 U = U V W 9. (3.1) A folyadékrész sebességét és gyorsulását az rlgv]hulqwlhovpvpivrglngliihuhqfliokányadosa adja meg rögzített V mellett: U U Y = D = W W. Ezt a módszert Lagrange leírási módnak nevezzük. E módszer nehézkesnek mutatkozott, ezért ritkán használják. A továbbiakban a legelterjedtebb Euler-féle leírási módot alkalmazzuk, amely a folyadékrészek sebességét adja meg a hely (r)pvd]lgwi JJYpQ\pEHQ Y = Y1U W6. (3.) $]iudpoivrnmhohqwvupv]pqpo mint látni fogjuk a sebességvektortér nem függ az idwo VWDFLRQiULXViUDPOiVRN(J\HEHNPHOOHWWWHKiWD]pUWLVHJ\V]HU&EEH]DOHtUiVLPyGPLQWD] HO]PHUWVWDFLRQiULXViUDPOiVRNQiOellentétben a Lagrange leírási móddal, a független YiOWR]yNV]iPDDWHOW&QpVpYHOHJJ\HOFV NNHQ 3.. Néhány meghatározás $N YHWNH]NEHQQpKiQ\J\DNUDQDONDOPD]RWWiUDPOiVWDQLIRJDOPDWKDWiUR]XQNPHJ $IRO\DGpNUpV]SiO\iMDHJ\NLV]HPHOWSRQWV]HU&IRO\DGpNUpV]HJ\PiVWN YHWSLOODQD- WRNEDQHOIRJODOWKHO\HLW VV]HN WJ UEH

20 Az áramvonal olyan görbe, amelyet egy adott pillanatban a sebességvektor minden pontjában érint: Y GV=, ahol dsd]iudpyrqdohohplkrvv]~vij~gdudemiwmhoohp] vektor. (Az áramvonal egy adott pillanatban a sebességvektorok burkológörbéje.) A nyomvonal a tér egy pontján egymás után áthaladó folyadékrészeket egy adott pil- ODQDWEDQ VV]HN WJ UEH,O\HQQ\RPYRQDOSODMiUP&YHNV]pOFVDWRUQDNLVpUOHWHLQpOOptrehozott füstcsík, vagy egy kéményeonlopsi VW]iV]OyKDSRQWV]HU&QHNWHNLQWM NDNé- PpQ\NL POQ\tOiViW $] iudpiho OHWHW HJ\ NLMHO OW YRQDOUD LOOHV]NHG iudpyrqdodn DONRWMiN DPHO\HNHW D sebességvektorok érintik. Ezért az áramfelületen nincsen átáramlás. Bármely áramlásba helyezett felület, amelyen nincs átáramlás (pl. egy szilárd testé), áramfelület. Az áram- FVVSHFLiOLViUDPIHO OHWDPHO\QpOD]iUDPYRQDODNHJ\]iUWJ UEpUHLOOHV]NHGQHN (ld ábra) 3.3. Stacionárius és instacionárius áramlások Az áramlások igen fontos sajátosságalgi JJpV ND]D]KRJ\MHOOHP]LNVHEHVVpJQ\o- PiVV&U&VpJI JJHQHN-HD]LGWO 6WDFLRQiULXVLGiOOyiUDPOiVEDQDMHOOHP]NYSρ7QHPI JJHQHND]LGWO, így a sebességteret a Y = Y16 U alakú vektortér írja le, azaz a sebességvektorok az áramlási tér egyes pontjaiban adott koordináta-uhqgv]hueoqp]yhlgehqqhpyiowr]qdn,qvwdflrqiulxviudpoivrnqiodvhehvvpjwpud]lgwolvi JJ Y = Y1U W6 (J\HV iudpoivrn DWWyO I JJHQ OHKHWQHN VWDFLRQiULXVDN YDJ\ LQVWDFLRQiULXVDN KRJ\ milyen koordináta-uhqgv]hueo YL]VJiOMXN D]okat. Így pl. egy tavon egyenletes sebességjho KDODGy FVyQDN N U OL iudpoiv D] DEV]RO~W UHQGV]HUEO SO D SDUWUyO Qp]YH instacionárius, hiszen a korábban nyugvó folyadékrészek a csónak közeledtére mozgásba jönnek. Ha viszont az áramlást a csónakhoz rögzített koordináta-uhqgv]hueo YL]VJiOMXN akkor e mozgó koordináta-rendszer egyes pontjaiban a (csónakhoz képesti) relatív sebesség LGEHQQHPYiltozik, azaz az áramlás stacionárius. Az instacionárius áramlás egyes esetekben stacionáulxvviwhkhwdnrruglqiwa-rendszer helyes megválasztásával. 0

21 3.1. ábra A 3.1. ábrahj\jolfhulqqhow OW WWFVEHQV OO\HGJ PEN U OLiUDPOiVWPXWDWEHDPHO\HW DIRO\DGpNEDQOHEHJHJ\NHVNHQ\IpQ\ViYYDOROGDOUyOPHJYLOiJtWRWWPDJQp]LXPUHV]HOpN tesz láthatóvá. A bal oldali kpshq D KRVV]DEE H[SR]tFLyV LGYHO P&N G IpQ\NpSH]JpS HJ\ WWPR]RJDJ PEEHODMREEROGDOLNpSHQiOO$]iUDPOiVUDMHOOHP]NpVEEWiUJ\DOW Reynolds-V]iPNLFVLD]D]DN ]HJPR]JiViWINpQWDV~UOyGiVEyOV]iUPD]yHUNEHIRO\á- VROMiN$J PEWOMREEUDOitható fekete sáv a gömb árnyéka.) Az expozíció alatt elmozduló szemcsék alkotta vonalak iránya és hossza az áramlási sebesség irányát és nagyságát mutatja. Látható, hogy a koordináta-rendszer megválasztásától D]D] DWWyO KRJ\ D IpQ\NpSH]JpS ioo-e vagy mozog MHOHQWVHQ I JJ D] iudpnps pv D] áramlás jellege is. Együttmozgó koordináta-rendszer esetén (bal oldali kép) az áramlás sta- FLRQiULXVKLV]HQHJ\NpVEELLGSRQWEDQNpV] OWNpSXJ\DQLO\HQOHQQH$]iOOyNRRUGLQiWD- UHQGV]HUEOQp]YHD]iUDPOiVLQVWDFLRQiULXVDNpVEENpV] OWNpSHQDJ PEpVDN U O WWH OpYiUDPNpSOHMMHEEOiWV]yGQD 9DQQDNRO\DQiUDPOiVRNDPHO\HNQpODWpUN O QE ]SRQWMDLEDQD]iUDPOiVLVHEHVVpJHJ\ LGEHQ ioodqgy N ]pspuwpn N U O LQJDGR]LN (]HNHW kvázistacionárius áramlásoknak nevezzük. Belátható, hogy stacionárius áramlás esetén az áramvonal, a pálya és a nyomvonal egybeesik.(]d]hj\ehhvpvdgohkhwvpjhwduudkrj\vwdflrqiulxvhvhwehqaz áramlás láthatóvá tételével végzett vizsgálatoknál az áramlásba bevezetett füstcsíkkal ami egy 1

22 nyomvonal YDJ\D]iUDPOyYt]IHOV]tQpQ~V]ySDUDIDGDUDEUyOKRVV]~H[SR]tFLyVLGYHO készített képpel ami a pályát mutatja DEHQQ QNHWOHJLQNiEEpUGHNOáramvonalakról kapjunk felvilágosítást. 3.. ábra A 3.. ábrán egy vízáramlásba helyezett szárnyprofil körüli áramlást tesznek láthatóvá a V]iUQ\ HOWWL SRQWRNEDQ D] iudpoived YH]HWHWW IHVWpNFVtNRN DPHO\HN D] HO]HN DODSMiQ nyomvonalak. Tekintettel azonban arra, hogy az áramlás stacionárius, a nyomvonalak egybeesnek az áramvonalakkal és a pályával is. Lehetnek olyan instacionárius áramlások, ahol az áramvonal, a pálya és a nyomvonal egyehhvlnkddvhehvvpjyhnwrurnluiq\dlgehqqhpyiowr]lnsohj\hqhvfvehqj\ruvxoy áramlás esetén), de e vonalak instacionárius áramlásban általában különe ]HN A potenciálos örvény Eddigiekben megszerzett tudásunkat alkalmazzuk egy speciális áramlási formára, amelynek MHOOHP]L ioodqgy V&U&VpJ& VV]HQ\RPKDWDWODQ N ]HJVWDFLRQiULXVVtNiUDPOiVNRQFHQWrikus kör alakú áramvonalak (3.3. ábra). Síkáramlásnak nevezzük azokat az áramlásokat, amelyeknél van olyan sík, amelyre merleges sebességkomponens értéke zérus, és amely síkkal párhuzamos valamennyi síkban az áramkép azonos. Legyen ez a sík az (x, y) sík. Ez esetben akkor beszélhetünk síkáramlásról, ha 3.3. ábra

23 Y Y [ \ Y] = pv = = ] ] (3.3) Mivel koncentrikus körök az áramvonalak (ill. koncentrikus hengerek az azok által alkotott iudpiho OHWHN D]D] D N ] WW N OpYiUDPOiVLNHUHV]WPHWV]HWDNHU OHWPHQWpQiOODQGypV ρ = ioodiro\wrqrvvijnpveewiuj\dow) összefügjpvpeodgyglnkrj\dgrwwuvxjdu~ körön az áramlási sebesség abszolút értéke v = v = állandó. Tehát a sebesség abszolút értéke csak a sugár (r) függvénye és nem függ a ϑnhu OHWLV] JWOY = YU. *I I I I I YGV= YGV+ YGV + YGV+ YGV = =. (3.4) 9HJ\ QNI OHJ\UVXJiURQOpYHOHPLGUYDstagsággal és dϑ (3.3. ábra) középponti szöggel jellemzett da elemi felületet, amelyre írjuk fel a Stokes-tételt (.7)! A cirkuláció számításáqiodiho OHWHOHPHWN U OYHY*J UEpW~J\MiUMXNN U OKRJ\DWHU OHWDEDONH] QNIHOp essen (pozitív körüljárási irány): $EDOROGDOPiVRGLNpVQHJ\HGLNLQWHJUiOMD]pUXVpUWpN&KLV]HQv ds$]hovlqwhjuiohvetén v és ds vektor α=0 -t zár be, a harmadik integrálnál pedig 180 -ot. Ezért az alábbi írható: YGV= 1U+ GU6Gϑ Y1U+ GU6 UGϑ Y1U6. *I Figyelembe véve, hogy Y U + GU = GY Y U + GU GU után a I * EHKHO\HWWHVtWpVpVDP&YHOHWHNHOYpJ]pVH 16 YGV UG GY GY = ϑ GU + GU GϑY U + GU Gϑ GU GU GU (3.5) VV]HI JJpVWNDSMXNDPHO\QHNMREEROGDOLKDUPDGLNWDJMDKDUPDGUHQG&HQNLFVLQ\, ezért a PiVLNNHWWWDJPHOOHWWHOKDQ\DJROKDWy A Stokes-WpWHOMREEROGDOiQV]HUHSOLQWHJUiOHVHW QNEHQtJ\tUKDWy I URW Y G$ = 1URW Y6 U Gϑ GU. ] G$ (3.6) 3

24 Itt jegyezzük meg, hogy ha a (.5) determinánst a síkáramlásra tett (3.3) kikötések mellett fejtjük ki, az adódik, hogy síkáramlásban a rotv vektornak csak az áramlás síkjára me- UOHJHV]LUiQ\~NRPSRQHQVHN O QE ]KHW]pUXVWyO Y \ Y [ 1URW Y6 = ] [ \. (3.7) (Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha meggondoljuk, hogy egy síkáramlásban milyen tengely körül foroghatnak a folyadékrészek.) A (3.5) és (3.6 VV]HI JJpVHNHWHJ\HQOYpWpYHpVr dϑ dr-rel elosztva minkét oldalt adódik: GY Y 1URW Y6 = +. ] GU U (3.8) A (3.8) összefüggés természetesen csak a levezetés elején felsorolt feltételek fennállása esetén érvényes. A (3.8) összefüggés alapján már meghatározható, hogy milyen Y = YU sebességmegoszlás esetén örvénymentes URW Y = az áramlás. Ez esetben ugyanis létezik sebességi potenciál. Ezt az áramlást potenciálos örvénynek nevezzük. GY Y GU = OQ Y = OQ U + OQ.RQVW Y U. =. U (3.9) 7HJ\ N HJ\HQOYp D VV]HI JJpV MREE ROGDOiW ]puxvvdo pv ROGMXN PHJ D GLIIHUHQciálegyenletet! $IHQWLNHUHWH]HWW VV]HI JJpVQHNPHJIHOHOVHEHVVpJPHJRV]OiVRNHVHWpQD]iUDPOiV UYpnyessége a tengely kivételével mindenütt zérus, ami a (.6) összefüggés miatt azt is jelenti, hogy a folyadékrészek a potenciálos örvény tengelyének kivételével nem forognak. (Ha ki- HQJHGM NDYL]HWDNiGEyODNpVEEWiUJ\DODQGy&RULROLV-HUWpUN YHWNH]WpEHQDOHIRO\yNö- U OHJ\ UYpQ\DODNXONL+DHJ\NLVGDUDESDStUWD] UYpQ\ÄWHQJHO\pWO WiYRODEED]iUDmló víz felszínére dobunk, láthatjuk, hogy miközben a lefolyót megkerüli a papírdarab, nem, vagy csak kissé fordul el tengelye körül. Ez az áramlás tehát hasonló az imént meghatározott potenciálos örvényhez.) 4

25 Vegyünk fel a középpont körül egy r sugarú kört és számítsuk ki rajta a (.7) összefüggésben definiált Γ cirkulációt, azaz a sebesség vonalintegrálját! Mivel a B kör (ld.3.3. ábra) áramvonal, rajta Y GV: I. Γ= YGV= UπY= U π = π.. U % (3.10) Ha a zárt görbe tartalmazza a középpontot, akkor Γ = π., egyébként Γ =. Milyen lehet a potenciálos örvény ϕ [m /s] sebességi potenciálja? Miután Y = JUDGϕ, a ϕ = ioo. szinwiho OHWHNQHN DPHO\UH D NRQFHQWULNXV N U DODN~ iudpyrqdodndw pulqwvhehs- VpJYHNWRURNPHUOHJHVHNVXJiULUiQ\~D][\VtNUDPHUOHJHVVtNRNQDNNHOOOHQQL N/egyen ϕ =. ϑ. Számítsuk ki a sebességi potenciál gradiensét! Y JUDG ] H U H. = ϕ = ϕ ϕ ϕ ] + U + H = Uϑ ϑ U H ϑ (3.11) tehát visszakaptuk a potenciálos örvény sebességmegoszlását. Merev test-v]hu&hqirujyiro\dgpnesetén az áramvonalak ugyancsak koncentrikus körök, a sebességmegoszlást pedig a v= ω r összefüggés írja le. A (3.8) összefüggést alkalmazva 1 6 = ω adódik, ami (ld. (.6) összefüggés) várakozásainknak PHJIHOHOHQ URW Y ] szolgáltatja a folyadékrészek forgási szögsebességét: Ω =ω Kis folyadékrész mozgása 3.4. ábra A 3.4. ábrán láthatók a példaképpen felvett Y = \L vektortérrel leírható áramlás áramvonalai és a sebességmegoszlás. Hogyan mozog a folyadékban gondoodwedq HOKDWiUROW HOHPL PpUHW& folyadékhasáb? Ehhez nyilvánvalóan tudnunk kell, hogy a hasáb csúcsai hogyan mozdulnak el a középponthoz képest, azaz ha ismerjük Y16-et, U hogyan határozzuk meg Y U+ GU 1 6 értékét. Erre a.. fejezetben látható módon a ' derivált tenzor használható (ld... ábra és (.3) összefüggés): Y1U+ GU6 Y1U 6 + ' GU. (3.1) 5

26 6 Írjuk fel ' derivált tenzor mátrixát az x,y,z koordináta -rendszerben: ' Y [ Y \ Y ] Y [ Y \ Y ] Y [ Y \ Y ] [ [ [ \ \ \ ] ] ] =! " $ # # # # # # #. Végezzük el az alábbi átalakítást! ' ' ' ' ' = , ahol ' DWUDQV]SRQiOWPiWUL[iEDQIiWOyUDW NU ] WWGHULYiOWWHQ]or. ËUMXNIHODMREEROGDOHOVV]LPPHWULNXVWDJMiWpVMHO M N$ 6 -sel: A D D v x v y v x v z v x v x v y v y v z v y v x v z v y v z v z S x x y x z y x y y z z x z y z = + = ! " $ # # # # # # # 1 1 * 4 9. A (3.14) összefüggés jobb oldalának második tagját jelöljük $ Ω -val. A D D v y v x v z v x v x v y v z v y v x v z v y v z x y x z y x y z z x z y Ω = =! " $ # # # # # # # * 4 9. Látható, hogy a (3.16) tenzor mátrixának elemei a rotv vektor komponensei (ld. (.5) összefüggés): $ URW Y URW Y URW Y URW Y URW Y URW Y ] \ ] [ \ [ Ω =! " $ # # # # (3.13) (3.14) (3.15) (3.16)

27 Ha elvégezzük az $ Ω GUP&YHOHWHW $ GU = URWY GU Ω (3.17) vektorszorzat adódik. Tekintettel arra, hogy a sebességtér örvényessége és a folyadékrészek forgási szögsebessége Ω között szoros kapcsolat van (ld. (.6) összefüggés), a (3.17) öszszefüggés az alábbi módon írható fel: $ GU = Ω GU Ω. (3.18) Alkalmazzuk a (3.15), (3.16) tenzorokat a 3.4. ábrán látható áramlásra (ami síkáramlás, így DIHOWpWHOHNN YHWNH]WpEHQDGHULYiOWWHQ]RUQDNFVDNQpJ\]pUXVWyON O QE ]HOHPH lehet): " =! $ # " =! $ # = Ω! ' $ pv $ 6 " $# ábra Alkalmazzuk az $ 6 és az $ Ω WHQ]RURNDWDQpJ\]HWNHUHV]WPHWV]HW&IRO\DGpNKDViEWHQJelyét a P 1, P, P 3 és P 4 pohnnho VV]HN WHOHPL GU G[L G\ M vektorokra (ld ábra). Eredményül a GY = + 1GU6 = G[L+ G\ M stb. 7, GY Ω 7 elemi sebesség megváltozás vektorokat kapjuk, amelyek megmutatják, hogy a hasáb éleinek sebessége mennyire WpUHODWHQJHO\pQHNVHEHVVpJpWO3OD3 1 MHO&pOpVDKDViEN ]pssrqwmiqdnvhehvvpjhnözött az $ és $ tenzorok alkalmazásával az alábbi különbségek adódnak: 6 Ω GY6 7 =!! GYΩ 7 = " $#! " $#! G[ G\ " $# =! "! G\ G[ " $# G[ G\ G\ $# = G[ " $#. 7

28 A sebesség megváltozás vektorokat ábrázolva látjuk (3.5. ábra), hogy a GY V 7 vektorok ha- 7 vektorok a hasábot forgat- tására a hasáb alakja megváltozik, eltorzul, ugyanakkor a GY Ω ják. $]HO]HNEHQPHJKDWiUR]RWW VV]HI JJpVHNHWIHOKDV]QiOYDtUKDWy Ω Y U+ GU = Y U + $ GU + $ GU 6 (3.19) A (3.19) összefüggés a 3.5. ábradodsmiqd]n YHWNH]NpSSLQWHUSUHWiOKDWy az áramlási térben a folyadékrész középpontjának pillanatnyi sebességvektorával párhuzamosan elmozdul (transzláció): YU alakját és méretét változtatja (szögdeformáció és tágulás): $ GU 6 merev test-v]hu&hqhoirugxourwifly$ GU Ω A folyadékrész mozgásában játszott szerepe miatt $ 6 tenzort alakváltozási sebesség tenzornak, $ Ω -t pedig örvénytenzornak nevezzük. 4 9, azaz URWY = (a folya- Ha a ' derivált tenzor szimmetrikus, akkor $ = ' ' = Ω dékrészek nem forognak). Ebben az esetben létezik a v sebességtér ϕ potenciálja (ld... fejezet), amellyel Y = JUDGϕ+DD]iUDPOyN ]HJV&U&VpJHρ ioodqgydnpveelhnehqwirgyalt folytonosság tételének (3.5) összefüggése értelmében GLYY = (azaz a derivált WHQ]RUIiWOyMiEDQOpYHOHPHN VV]HJH]pUXV(]HVHWEHQ GLY JUDG ϕ = ϕ =, azaz ϕ ϕ ϕ [ + \ + ] = (3.0) /DSODFH GLIIHUHQFLiOHJ\HQOHW tumd OH D VHEHVVpJL SRWHQFLiOW $ V]iPRVMHOHQVpJKYH]HWpV szivárgás stb.) leírására használt egyenletet a peremfeltételek ismeretében megoldva meghatározható a ϕ sebességi potenciál, abból pedig a sebességtér. 8

29 3.6. A folytonosság (kontinuitás) tétele Lehet-HWHWV]OHJHVDIRO\DGpNUpV]HNPR]JiVD"0HJYDOyVtWKDWy-e a természetben bármilyen Y = Y U W 1 6 sebességtér? Nyilvánvalóan nem: a folyadékrészek mozgásának eleget kell tennie az anyagmegmaradás törvényének, amelyet az áramlástanban a folytonosság vagy kontinuitás tételének nevezünk. E tétel azt a fontos tapasztalatot fejezi ki, hogy tömeg nem keletnh]khwpvqhpw&qkhwho Tekintsük a 3.6. ábrán látható, az áramló közegben lé- YDWpUEHQU J]tWHWW]iUWA felületet, amelyen a közeg átáramlik. Írjuk fel, hogy másodpercenként mennyivel több tömeg áramlik ki a felületen, mint be (ld... fejezet divergenciával foglalkozó része): TP =I ρ YG$ NJ V 3.6. ábra. (3.1) $ Nyilvánvaló, hogy a tömeg többletkiáramlás csak a térirjdwedqopyw PHJURYiViUDD]D]D V&U&VpJFV NNHQpVHPHOOHWWPHKHWYpJEH$]A felület által határolt VWpUIRJDWEDQOpYWömeg másodpercenkénti változását a I 9 ρ W G9 NJ V (3.) integrál adja meg. Miután a da felületi normális kifelé mutat, a (3.1) integrál pozitív értéke esetén fogy a tömeg a V térfogatban a (3.) integrálnak negatívnak kell lenni, tehát a (3.1) és (3.) integrál összege zérus. A (3.1) integrált a Gauss-Osztrogradszkij-tétel (.4) alkalmazásával alakítsuk át térfogati integrállá és a fentiek figyelembevételével tegyük HJ\HQOYp D (3.) integrál ellentettjével: I I ρ G9 = ρ Y G$ = GLY1ρY6G9 W I. 9 $ 9 (3.3) A (3.3) egyenlet keretezett része a folytonossági tétel integrál alakja.a bal oldalra hozva a jobb oldali második integrált és figyelembe véve, hogy ugyanarra a V térfogatra végezzük el az integrálást, írható: ρ " I + GLY1ρY6 G9. W 9! $# = (3.4) 9

30 $ IHQWL LQWHJUiO FVDN DNNRU OHKHW ]puxv WHWV]OHJHV 9 LQWHJUiOiVL WDUWRPiQ\ HVHWpQ KD D] integrandusz zérus. Ilymódon megkaptuk a folytonosság tételét differenciális alakban: 1 6. ρ + GLY ρy = W (3.5) Alkalmazzuk a folytonosság tételét a 3.7. áb- ránoiwkdwyiudpfvuh/hj\hqd]iudpoivvwa- cionáulxv &pov]hu&hq D IRO\WRQRVViJ WpWHOH (3.3) összefüggésben megadott integrál alakját használjuk. Miután feltevésünk szerint ρ / t = 0, a (3.3) összefüggés bal oldala zérus, ezért: 3.7. ábra ρ YG$ = $I, (3.6) ahol az A az áudpfvsdoivwmieyo$ p ) valamint $ és $ be-pvnlopsnhuhv]wphwv]hweo ioo 0LXWiQ D] iudpfv SDOiVWMD iudpiho OHW DPelyen nincs átáramlás (v da), ezért a (3.6) összefüggés az alábbi módon írható: I I ρ YG$ + ρ YG$ =. $ $ (3.7) Tekintettel arra, hogy YG$ = Y G$ FRVα, ahol α a két vektor által bezárt szög, (3.7) összefüggéssel adódik: I I ρ Y G$ FRVα + ρ Y G$ FRVα = $ $ (3.8) Tételezzük fel, hogy a be-pvnlopsnhuhv]wphwv]hwehqdvhehvvpjphuohjhvd]$ 1 és A felületre, azaz cosα a belépésnél 1, a kilépésnél 1, továbbá azt, hogy az $ keresztmet- V]HWEHQDV&U&VpJiOODQGyρ, ugyanígy az A keresztmetszetben ρ. Ilyen feltételek mellett a (3.8) összefüggés a ρ Y $ = ρ Y $ (3.9) alakra hozható, ahol Y és Y az átlagsebesség az $ és $ keresztmetszetben. A (3.9) összefüggés azt fejezi ki, hogy stacionárius áramlás esetén a TP NJ V tömegáram az áramfveiupho\nhuhv]wphtszetében azonos. Látható, hogy e gyakran használt összefüggés használatához milyen sok feltételnek kell teljesülnie. 30

31 ÈUDPFV YHWDONRWQDNDP&V]DNLJ\DNRUODWEDQDONDOPD]RWWFV YHNKLV]HQEHOVIHO OHW N Q QLQFVHQIRO\DGpNiWOpSpV+DHJ\N UNHUHV]WPHWV]HW&FVNHUHV]WPHWV]HWpEHQD]iWODJVebesség Y pvdfviwppumh ' -UO ' -UHYiOWR]LND VV]HI JJpVEODGyGyDQD v átlagsebesség a Y = Y ρ' ρ ' (3.30) összefüggéssel számolható ki. Ha a sebesség a keresztmetszetben változik, akkor a térfogatáramot (és abból a v átlagsebességet) a sebességmegoszlás NHUHV]WPHWV]HWHQ W UWpQ LQWHJUiOiViYDO 3.8. ábra lehet meghatározni. Tekintsük a 3.8. ábrátdkrohj\'iwppum&, kör keresztmetv]hw&fvoiwkdwydpho\ehqdvhehvvpgmegoszlást egy n-ed fokú forgási paraboloid írja le (a v max és a v(r) különbsége az r sugár n-edik hatványával arányos): Y U = Y U 5 Q. PD[ (3.31) Hogyan lehetne kiszámítani a v átlagsebességet? Írható: T Y Y = ' π P V, (3.3) ahol qv m 3 / s DWpUIRJDWiUDPDFVNHUHV]WPHWV]HWHQHJ\VpJQ\LLGDODWWiWiUDPOyIRO\adéktérfogat). A térfogatáramot a 3.8. ábránoiwkdwyn UNHUHV]WPHWV]HW&FVHVHWpQD]DOiEEL módon írhatjuk fel: I5 Q TY = Uπ Y PD[ 1U 56 GU (3.33). Q Az integrálást elvégezve TY = Q 5 π Y PD[ adódik, azaz a Y = Y Q + Q + PD[. (3.34) Másodfokú paraboloid (n = ) esetén az átlagsebesség a maximális sebesség fele. 31

32 -HOOHP]NORNiOLVpVNRQYHNWtYPHJYiOWR]iVD A folytonosság kifejezésének második tagja a szorzat deriválási szabályai szerint felbontható: 1 6 ρ + Y JUDGρ + ρ GLY ρy = W (3.35) 3.9.ábra ÉrtelPH]] N D VV]HI JJpV HOV NpW WDJMiW Tekintsük a 3.9. ábrát, ahol egy dv térfogatú elemi folyadékrész látható. A folyadékrész v áramlási sebességgel mozog. Jellemezze a P pontban az áramlási sebességet a vyhnwrudv&u&vpjkho\v]hulqwlyiowr]iviw pedig a.1. IHMH]HWQHNPHJIHOHOHQDJUDGρ vektor. Legyen instacionárius az áramlás, tehát ρ / t 0. VizsgálMXNPHJKRJ\GWLGHOWHOWpYHO PHQQ\LWYiOWR]LND]HO~V]yHOHPLIRO\DGpNUpV]V&U&VpJH A dρv&u&vpjyiowr]ivnpwrnudyh]hwkhwylvv]d a/ PLYHO D V&U&VpJ D] LGWO I JJ ρw DV&U&VpJ D 3 SRQWEDQ GW LG DODWW G ρ O ρ = W GW értékkel változik; b/ D]HOHPLIRO\DGpNUpV]D]iUDPOyN ]HJJHOHJ\ WWGWLGDODWWds = v dt utat tesz meg és HJ\RO\DQ3 KHO\UHMXWDKRODV&U&VpJ Gρ = JUDGρ GV = JUDGρ Y GW értékkel tér el a P SRQWEDQOpYWOOGIHMH]HW N $]DDODWWLV&U&VpJYiOWR]iVUDDNNRULVVRUNHU OQHKDDN ]HJQHPiUDPODQDD]D]DG9Wprfogat a helyén maradna. Ezért a Gρ O -HWDV&U&VpJ lokális megváltozásának nevezzük, amelynek csak akkor van szerepe, KDDV&U&VpJ LGEHQ YiOWR]LN D]D] KD D] iudpoiv instacionárius). $EDODWWLV&U&VpJYiOWR]iVRNDD]HOHPLWpUIRJDWHOPR]GXOiVDHOiUDPOiVDHJ\RO\DQKHO\UH DKRODV&U&VpJHOWpUH]pUWDGρ N -WDV&U&VpJkonvektív megváltozásának nevezzük. A folyadékrészv&u&vpjpqhngwlgwduwdpdodwwlwhomhvphjyiowr]ivdwhkiw ρ Gρ = Gρ G W GW O + ρ N = + Y JUDGρ GW (3.36) 3

33 DPLEO Gρ ρ = + Y JUDGρ GW W (3.37) $HJ\HQOHWEDOROGDOiQDNHOVNpWWDJMDWHKiWD Gρ GW -WDIRO\DGpNUpV]V&U&VpJpQHN LGV]HULQWLWHOMHVPHJYiOWR]iViWIHMH]LNL $IL]LNDLMHOOHP]NORNiOLVpVNRQYHNWtv megváltozása az áramlástan fontos gondolata, ami W EEV] UHOIRJNHU OQLDWRYiEELDNEDQ 33

34 4. Euler-egyenlet, Bernoulli-egyenlet, örvénytételek 4.1. A folyadékrészek gyorsulása $ IRO\DGpNUpV]HN PR]JiViW D] D]RNUD KDWy HUNNHO VV]HI JJpVEHQ D NLQHWLND tárgyalja. MiXWiQ1HZWRQ,,D[LyPiMDV]HULQWDIRO\DGpNUpV]HNUHKDWyHUNNHOJ\RUVXOiVXNYDQNDpcsolatban, e fejezetben a folyadékrészek gyorsulásának leírásával foglalkozunk. $IRO\DGpNUpV]J\RUVXOiViWNLIHMH] VV]HI JJpVWIHOtUKDWMXNDIHMH]HWEHQ tanult felbon- WiVIHOKDV]QiOiViYDOOG VV]HI JJpV(J\VNDOiUWpUUHOOHtUKDWyMHOOHP]RWWDV&U& ség, itt az áramlási sebesség Y Y vagy Y ] NRPSRQHQVH HJ\VpJQ\L LGUH YRQDWNR]y [ \ megváltozását a lokális és a konvektív megváltozás összegeként az alábbi módon írhatjuk fel: GY GW Y = + YJUDGY[ W. [ [ (4.1) $ VV]HI JJpVDIRO\DGpNUpV][LUiQ\~VHEHVVpJNRPSRQHQVpQHNHJ\VpJQ\LLGUH jutó megváltozását, azaz x irányú gyorsulását fejezi ki. Az összefüggés jobb oldalának HOVWDJMDDlokális gyorsulás, a második a konvektív gyorsulás. Hasonló összefüggés írható fel v y és v z sebességkomponensekre is. Elvégezve a (4.1) összefüggés jobb oldalán a két vektor skalár szorzását, a folyadékrészek gyorsulásának x,y és z komponensét az alábbi módon írhatjuk fel: GY GW Y Y [ Y [ = + Y [ + Y \ + Y W [ \ [ [ ] Y [ ] GY GW Y Y \ Y \ = + Y [ + Y \ + Y W [ \ \ \ ] Y \ ] (4.) GY GW Y Y ] Y ] = + Y [ + Y \ + Y W [ \ ] ] ] Y ] ] Felismerjük, hogy a gyorsulásvektor (4.) összefüggésben megadott alakja a dv v dt = t +Dv (4.3) kifejezéssel ekvivalens.