Egydimenziós akusztikai Doppler-effektus. , 1 c (2)

Átírás

1 gozzon Tanítómesteréhez ohrhoz fordlt tanásért ohr nem mondta meg hogy mit sináljon sak a köetkezôkérdést tette fel neki: Vajon Nygat-Erópa szabad lehetne-e a szojet fenyegetés árnyékában ha nem fejlesztették olna ki az atombombát? Wheeler számára ohr kérdése egyértelmûen megmtatta a köetendôtat Lemondott párizsi ösztöndíjáról és satlakozott a magfúziót ktató atterhorn Projethez Wheeler elôszeretettel foglalkozott a graitáióal és Einstein általános relatiitáselméletéel graitáiós összeomlás elméletéel kapsolatos ma már oly népszerû kifejezés a fekete lyk egyértelmûen az ôneéhez fûzôdik Hozzá kell tennem hogy ezt nem ô találta ki Egy konferenián beszélt a graitáiós összeomlásról amikor alaki bekiabált a hallgatóság körébôl ezzel a kifejezéssel Wheelernek annyira megtetszett hogy ezentúl már ôis ezt a kifejezést propagálta z addig használt a graitáió miatt teljesen összeomlott sillag kifejezés rettenetesen hosszú olt és ahogy Wheeler megjegyezte: Elég néhányszor egymás tán kimondani ezt a hosszú dolgot hogy aztán kétségbeesetten keressél alami mást helyette Persze itt sak ezeknek a hatalmas graitáiós onzással rendelkezô sillagoknak az elneezésérôl és nem a felfedezésérôl beszélünk fekete lykszerû sillagok létezését már közel kétszáz éel elôttük feletették elsôként John ihell angol sillagász 784-ben majd agy az ôhatására agy tôle függetlenül írt gyanerrôl a híres frania matematiks Pierre-Simon Laplae is 796-ban ontos azt is megemlíteni hogy kiáló tanár és legalább annyira kiáló tankönyíró olt Tanítányai közül Rihard eynmant emelem ki Könyei didaktiksak szép és közérthetônyelen szólnak az olasóhoz Különösen a Graitáió ímû könye [2] lett sikeres; két kollegájáal Charles isnerrel és Kip Thorne-nal együtt írta az 970-es éek elején és nemzedékeket tanított az általános relatiitáselméletre Szerette a szaakat és szeretett játszani elük sok mondására emlékeznek z egyik leghíresebb közülük: z idôaz ami megakadályozza hogy minden egyszerre történjék [3] Végül egy keeset az indlásáról floridai Jaksonille-ben született de hamarosan altimore-ba költöztek ott nôtt fel Édesapja könytáros olt és sokat tett a könyek és az olasás népszerûsítéséért Wheeler érdeklôdését a természettdományok iránt alószínûleg édesanyjától örökölte Doktorátsát a Johns Hopkins Egyetemen szerezte Életének legnagyobb részében a Prinetoni Egyetemen dolgozott kiée néhány éet amelyet a Teasi Egyetemen töltött stinban és a korábban már említett háború alatti mnkáját a anhattan-terben és a késôbbi hidrogénbomba-projektben Utolsó találkozásnkkor épp szokásos szabadságára készült aine-államba ahol a saládjknak an nyaralója Kérdeztem mit fog ott sinálni köetkezôt álaszolta: Látod a kezemet a lábamat? indegyiket boldogan odaadnám ha megtdhatnám mi az a kantm? i az hogy létezés? kettôkell hogy összefüggjön de hogyan? nyaralónkban an egy kô amelyet a fiam és a felesége hozott nekem Görögországból thén külárosából ahol Platón és risztotelész sétált és beszélgetett Egy olyan géprôl álmodozom amelybe beletehetném ezt a köet és a gép kiadná ezeknek a fantasztiks embereknek a beszélgetését indenemet odaadnám azért hogy hallhassam ôket! Hargittai agdolna agyar Tdományos kadémia Irodalom ohr N Wheeler J: The ehanism of Nlear ission Phys Re 56 (939) isner CW Thorne KS Wheeler J: Graitation WH reeman San raniso akay L: Ditionary of Sientifi Qotations IOP Pblishing ristol IZIK TNÍTÁS Z ELEKTROÁGNESES ÉS Z KUSZTIKI DOPPLER- EEKTUS ELEZÉSE GEOETRII DIGROKKL okor Nándor E izika Tanszék középiskolás diákok és az elsôées egyetemi hallgatók amikor a hllámtannal ismerkednek gyakran találják zaarba ejtônek az elektromágneses és az aksztiks Doppler-formlák közötti különbséget Geometriai diagramoknak alamint az esemény fogalmának felhasználásáal egyszerûen rá lehet ilágítani a kétféle Doppler-effekts közötti matematikai különbségek fizikai okaira Egydimenziós elektromágneses Doppler-effekts Tekintsük elôször az elektromágneses Doppler-effektst egy térbeli dimenzióban z ábra egy 2-dimenziós ( és t ) téridô-diagramot mtat arra az esetre amikor a fényforrás ( ) és a megfigyelô( ) 42 IZIKI SZELE 2008 / 4

2 meredekség: / Dt t * D * * ábra z elektromágneses Doppler-effekts téridô-diagramja forrás ( ) nygalmi rendszerét használjk; az ábrán szereplôösszes táolság és idôtartam ebben az ineriarendszerben értendô fényjelek sebességgel terjednek megfigyelô() relatí sebességgel mozog amelyre < tengelyek olyan módon annak kalibrála hogy a forrás által jobbra kibosátott fényjelek ilágonalai +45 -os egyenesek (szaggatott onalak az ábrán) és két egymás táni kibosátási esemény és a hozzájk tartozó észlelési események táolodik egymástól az -tengely mentén forrás és a megfigyelômozgása is idôszerû ilágonallal írható le (azaz ilágonalk mindenütt a lokális fénykúp belsejében halad) ez megfelel annak a köetelménynek hogy és sebességük kisebb a fény ákmbeli sebességénél Ezen a ponton kihangsúlyozandó az a tény hogy ineriarendszerünk teljesen tetszôlegesen álasztható miel a fénysebesség bármelyik ineriarendszerben és sak a forrás és a megfigyelôegymáshoz képesti sebessége számít Ilyen módon az egyszerûség kedéért és az általánosságból semmit sem eszíte álaszthatjk a forrás nygalmi rendszerét agyis =0és = amint az ábra mtatja z ábra (t) és (t) pontjai két egymás táni kibosátási eseményt (pl egymás táni fényimplzsok agy szomszédos hllámfrontok elindítását) jelképezik hozzájk tartozó észlelési eseményeket az (t) és (t) pontok ábrázolják kényelem kedéért kalibráljk a t -és-tengelyeket olyan módon hogy bármely fényimplzs ilágonala ±45 meredekségû egyenes onal legyen (+45 ha az implzs jobbra és 45 ha balra halad) Ezt elérhetjük példál úgy ha az -tengelyen az = métert álasztjk egységnek a t -tengelyen pedig a t = ( méter)/ (3 0 8 méter/másodper) = másodperet z ábrán tehát a +45 meredekségû szaggatott onalak a forrástól a megfigyelôhöz haladó fényimplzsok ilágonalai z és kibosátási események téridôbeli koordinátáit felhasznála az és észlelési események között eltelt idôígy írható (lásd ábra): amibôl t = t * Dt D * */ = t t meredekség: / Dt * * () t = t (2) ahol t az és kibosátási események között eltelt idôtartam a nygó rendszerben (a forrás ineriarendszerébôl) mére t és a t (az és események között eltelt a megfigyelô rendszerében mért sajátidôkapsolatát az idôdilatáió adja meg: t = (2) és (3) egyenletek összeetésébôl: = t 2 2 = t (3) (4) indkét oldal reiprokát ée megkapjk a megfigyelt és a kibosátott frekenia közötti kapsolatot: = f (5) Egy hasonló téridô-diagram segítségéel azt is könnyû megmtatni (ez a diákoknak házifeladatként feladható) hogy ha a forrás a megfigyelô felé mozog a (4) és (5) képletekben szereplôplsz és mínsz elôjel felserélôdik z egydimenziós esetre az általános képlet tehát: = f ± (6) ahol a felsôelôjelek az egymástól táolodó forrás és megfigyelô míg az alsó elôjelek az egymáshoz közeledôforrás és megfigyelôesetén érényesek (Egyszerû házi feladatként az is feladható hogy a diákok hasonló téridô-diagramot használa a megfigyelô nygalmi rendszerében tárgyala ezessék le a (6) képletet) Egydimenziós aksztikai Doppler-effekts Eztán készítsünk a fentiel analóg téridôdiagramot az aksztikai Doppler-jelenségre iel mind a forrás mind a megfigyelôlassabban mozog a hang sebességénél (különben nins Doppler-effekts) ebben az esetben a hang sebessége az ami a természeti határsebesség mikor tehát az aksztiks téridô-diagramot készítjük a t -és-tengelyeket úgy kalibráljk hogy a ±45 meredekségû egyenesek a hangimplzsok ilágonalai legyenek Ezt elérhetjük példál úgy ha az -tengelyen az = métert álasztjk egy- IZIK TNÍTÁS 43

3 meredekség: / meredekség: / Dt t 2 ábra z aksztikai Doppler-effekts téridô-diagramja terjedési közeg nygalmi rendszerét használjk; az ábrán szereplôösszes táolság és idôtartam az ebben a onatkoztatási rendszerben mért értéket jelenti (Itt azonban miel a sebességek kisik a nygó rendszer a forrás mozgó onatkoztatási rendszere és a megfigyelô mozgó onatkoztatási rendszere mind gyanazokat az idôtartamokat mérik!) tengelyek olyan módon annak kalibrála hogy a közeg onatkoztatási rendszerében az izotróp sebességgel terjedô hangjelek ilágonalai ±45 -os egyenesek (a hangsebesség sak ebben a onatkoztatási rendszerben izotróp!) forrás () balra mozog sebességgel a megfigyelô() pedig jobbra sebességgel amelyekre < és két egymás táni kibosátási esemény és a hozzájk tartozó észlelési események ségnek a t -tengelyen pedig a t = ( méter)/(340 méter/másodper) = másodperet ( = 340 méter/másodperes hangsebességet feltételeze) Doppler-effekts feltétele hogy mind a forrás mind a megfigyelôilágonala mindenütt a lokális hangkúp belsejében haladjon Ezen a ponton kihangsúlyozandó az a tény hogy sak egyetlen olyan ineriarendszer an amelyben a hangimplzsok minden irányban gyanazzal az sebességgel haladnak és amelyben ±45 -os ilágonallal ábrázolhatók: ez az az ineriarendszer amelyben a terjedési közeg nygalomban an 2 ábra egy aksztikai téridô-diagram arra az egydimenziós esetre amikor a hangforrás és a megfigyelô táolodik egymástól az -tengely mentén fentiekhez hasonlóan (t) és(t) két egymás táni kibosátási esemény (pl két hangimplzs agy két egymást köetôhllámfront elindítása) (t) és (t) pedig a hozzájk tartozó észlelési események int az ábra mtatja az és között eltelt idô: = t Átrendeze kapjk: D * = t t * D * * Dt = t m D * */ D / meredekség: / = Dt (7) (8) indkét oldal reiprokát ée kapjk az aksztikai Doppler-effekts ismert képletét: = (9) Könnyû megmtatni hogy közeledôforrás agy közeledômegfigyelôesetén a (9) képletben szereplô megfelelô elôjel ellenkezôjére áltozik z egydimenziós esetre az általános képlet tehát: = ± (0) ahol felsôelôjelek a táolodó forrás/megfigyelôesetében az alsó elôjelek a közeledô forrás/megfigyelô esetében érényesek z elektromágneses és az aksztikai Dopplerképletek leezetésének összehasonlítása Ezen a ponton pedagógiai szempontból hasznos felkérni a diákokat sorolják fel az alapetôkülönbségeket a kétféle leezetéshez használt téridô-diagramok és algebrai lépések között Ez segíti ôket összpontosítani az elektromágneses és az aksztiks hllámok alamint a relatiisztiks és a klassziks kinematika közötti alapetôfizikai különbségekre felsorolandó különbségek a köetkezôk: Ineriarendszer z elektromágneses hllámterjedés szempontjából nins preferált ineriarendszer inden ineriarendszer egyenértékû és a fény sebességét mindegyik ineriarendszerben bármilyen irányban gyanolyan értékûnek mérjük Ez a meglepôkísérleti tény tette lehetôé hogy az általánosságról aló bármilyen lemondás nélkül olyan egyszerûsített téridô-diagramot tekintsünk amelyben a megfigyelônygszik ( ábra) z ineriarendszerek egyenértékûségébôl köetkezik az is hogy sak a forrásnak a megfigyelôhöz képesti relatí sebessége fog szerepelni a égsô(6) képletben z aksztiks esetben azonban an preferált ineriarendszer: az a rendszer amelyben a hllámterjedés közege nygalomban an Ez az egyetlen onatkoztatási rendszer amelyben a hang sebessége izotróp és -al egyenlô Úgy döntünk hogy téridôdiagramnkat erre az ineriarendszerre rajzoljk fel (2 ábra) z általánosság megôrzése égett a számításainkban külön-külön figyelembe kell ennünk a forrás mozgását és a megfigyelômozgását (lásd 2 ábra) Nem az egymáshoz képesti relatí sebességük hanem külön-külön mindkettôjük abszolút sebessége azaz ebben a preferált ineriarendszerben (a terjedési közeghez rögzített rendszerben) mért sebességük jelenik meg a (0) égsôképletben Természetes határsebesség z ábrá n a természetes határsebesség a fény ákmbeli sebessége ind a fényforrás mind a megfigyelôilágonalának a lokális fénykúpon belül kell elhelyezkednie kísérleti eredmények azt mtatják hogy a minden fizikai objektm számára alapetô határsebesség iel tehát < a (6) képlet mindig tényleges fizikai tartalommal bíró értéket ad -re 44 IZIKI SZELE 2008 / 4

4 2 ábrán a természetes határsebességet a hang sebessége adja ind a hangforrás mind a megfigyelôilágonalának a lokális hangkúpon belül kell elhelyezkednie z hangsebesség nem alapetôhatársebesség; a természet mind a hangforrás mind a megfigyelôszámára megengedi túllépését (0) képletben azonban a agy értékek fizikailag értelmetlen (negatí zérs agy égtelen) -értékekhez ezethetnek Ezek olyan eseteknek felelnek meg amikor lökéshllámok alaklnak ki és/agy a hanghllámok nem érik el a megfigyelôt Doppler-képlet ilyen esetekben nem alkalmazható a b * * t D * * y Idôdilatáió z elektromágneses esetben az és események között eltelt idôtartam függ attól melyik ineriarendszerben mérjük Ez az idôtartam a forrás onatkoztatási rendszerében mére t a megfigyelôé- ben mére pedig t két mért érték közötti kapsolatot az idôdilatáió (3) képlete adja meg z aksztikai esetben a jelenségben szereplôöszszes sebesség (lényeges módon az határsebességet is beleérte) sokkal kisebb a fénysebességnél: << z idôdilatáiós hatást tehát biztonsággal elhanyagolhatjk; gyanazokat az idôtartamokat mérjük a közeg a forrás és a megfigyelôonatkoztatási rendszerében egyaránt (7) egyenletben ezt használtk ki Háromdimenziós elektromágneses Doppler-effekts Nem sak az egydimenziós hanem az általános háromdimenziós mozgás esetére is konstrálható téridôdiagram amelybôl az elektromágneses Doppler-képlet általános alakja könnyen leezethetô iel a forrásnak és a megfigyelônek sak a relatí sebessége számít bármelyiket tekinthetjük nygónak Tegyük fel ismét hogy a forrás an nygalomban (helyesebben: írjk le a jelenséget a forrás nygalmi onatkoztatási rendszerében) Tegyük fel toábbá hogy a forrás és a megfigyelôelegendôen nagy táolságra an egymástól így a tárgyalt megfigyelési idôtartam alatt párhzamos fénysgarak érik a megfigyelôt Ekkor az általánosságból semmit sem eszíte álaszthatjk az -tengelyt úgy hogy egybeessen a megfigyelô mozgási irányáal; és álaszthatjk az y -tengelyt úgy hogy a hllám terjedési irányát meghatározó k hllámszámektor az (y) síkban feküdjön Ilyen módon az általános 3 térbeli dimenziós eset 2 térbeli dimenzióra redkálható jelenség tehát teljes egészében leírható egy 3 (2 térbeli + idôbeli) dimenziós (yt) téridô-diagrammal az ábra 2-dimenziós (t) téridô-diagramjának analógiájára z érdeklôdôbb diákoknak házi feladatként feladható hogy konstrálják meg papíron (aonometriks nézetben) ezt a 3-dimenziós téridô-diagramot és ezessék le belôle az elektromágneses Doppler-effekts általános képletét 3 ábra 3-dimenziós elektromágneses Doppler-effekts térbeli diagramja iel sak a relatí sebesség számít a forrás () ésa megfigyelô() között a forrást tekinthetjük nygalomban leônek és két egymás táni kibosátási esemény és a hozzájk tartozó észlelési események térbeli diagram ezeknek az eseményeknek sak a helyét ábrázolja idôkoordinátájkat az algebrai leezetésben külön figyelembe kell enni Itt azonban ismét meg kell jegyezni hogy az aksztikai Doppler-effektsnál a forrás és a megfigyelôsebessége külön-külön eendôfigyelembe Teljesen általános esetben még az sem biztos hogy a hllámot szállító közeg nygalmi rendszerében néze a forrás és a megfigyelôpályaegyenese egy síkba esik jelenség teljes téridôbeli leírásához tehát egy 4-dimenziós (yzt) diagramra lenne szükség Téridô-diagram helyett ezért használjnk most egy egyszerû 3-dimenziós térbeli diagramot amelyen a forrás és a megfigyelô(yz) pályáját [nem pedig az (yzt) ilágonalkat] fogjk ábrázolni grafiks megjelenítésbôl kimaradó idôkoordinátát természetesen figyelembe esszük az algebrai leezetésben int kiderül a térbeli diagram segítségéel ismét tanlságos összehasonlítást égezhetünk az elektromágneses és az aksztikai eset között 3 ábra az elektromágneses Doppler-effekts térbeli diagramját mtatja a forráshoz rögzített ineriarendszerben z -al és -el jelölt két egymás táni kibosátási esemény gyanazon a helyen (bár különbözôidôpontokban) zajlik tehát gyanaz a pont jelzi ôket az ábrán hozzájk tartozó két észlelési esemény és eltesszük hogy az és közötti térbeli táolság elég kisi a forrás és a megfigyelôközötti táolsághoz képest agyis a tekintett megfigyelési idôtartam alatt a forrás iránya a megfigyelôhöz képest egyetlen Φ szöggel jellemezhetô z ábrán szaggatott onallal jelölt két fénysgár úthosszkülönbsége: b a = t t = () fenti zárójel elsôtagjában a (3) idôdilatáiós összefüggést alkalmaztk a második tagban pedig kihasználtk hogy ineriarendszerünkben a forrás nygalomban an 2 2 t IZIK TNÍTÁS 45

5 Ugyanez a táolság úgy is kifejezhetô mint b a = t osφ = 2 2 osφ (2) 4 ábra (a 3 ábrán bemtatott elektromágneses eset analógiájára) az általános 3-dimenziós aksztikai Doppler-effekts térbeli diagramját ábrázolja hllámot szállító közeg ineriarendszerében a forrás és a megfigyelô pályája nem szükségképpen fekszik azonos síkban Ez ellentétben áll az elektromágneses esettel ahol agy a forrásról agy a megfigyelôrôl feltehettük hogy nygszik (lásd az Ineriarendszer megjegyzést az -dimenziós tárgyalásnál) eltesszük hogy mind az és kibosátási események közötti táolság mind az és észlelési események közötti táolság elegendôen kisi a forrás és a megfigyelôközötti táolsághoz képest azaz a Φ és Φ szögek nem áltoznak észreehetômértékben a megfigyelési idôtartam alatt két hangjel által megtett úthosszak különbsége: () és (2) egyenletek jobb oldalát egyenlôé tée és a kapott egyenletet t -re megolda kapjk: és reiprokát ée megkapjk az elektromágneses Doppler-effekts képletének ismert általános alakját: 4 ábra 3-dimenziós aksztikai Doppler-effekts térbeli diagramja a hllámot szállító közeg ineriarendszerében Ebben az ineriarendszerben a forrás () és a megfigyelô() mozgása általános irányokkal eendôfigyelembe és két egymás táni kibosátási esemény és a hozzájk tartozó észlelési események térbeli diagram ezeknek az eseményeknek sak a helyét ábrázolja idôkoordinátájkat az algebrai leezetésben külön figyelembe kell enni S 2 = t 2 osφ a = f b O osφ * 2 2 Háromdimenziós aksztikai Doppler-effekts z * t D * * y (3) (4) b a = t t = t (5) ár t és t is a hllámterjedési közeg ineriarend- szerében mért idôtartamok mégis egyenlôé tehetôk t -mel illete t -fel (amelyek a megfigyelô illete a forrás ineriarendszerében mért idôtartamok) mert az idôdilatáió szerepét itt el lehet hanyagolni (lásd az Idôdilatáió megjegyzést az -dimenziós esetre) Ugyanez a táolság kifejezhetôúgy is mint b a = t osφ t osφ = = osφ t osφ (6) (5) és (6) egyenletek jobb oldalát egyenlôé tée és a kapott egyenletet t -re megolda kapjk: = t osφ osφ (7) amelynek a reiprokát ée megkapjk az aksztikai Doppler-effekts képletének általános alakját: egjegyzés = osφ osφ (8) z aksztikai Doppler-effekts általános esetének teljes grafikai megjelenítéséhez 4-dimenziós téridô-diagramra lenne szükség iel ilyen diagramot nem tdnk a táblára rajzolni kénytelenek agynk beérni egy 3-dimenziós térbeli diagram megrajzolásáal (lásd 4 ábra) és lemondani az idôkoordináta grafiks megjelenítésérôl Ez a szegényesebb geometriai megjelenítés is hasznos lehet pedagógiailag az elektromágneses és az aksztiks Doppler-képletek különbségeinek megértéséhez de az ábrákról bizonyos lényeges onások óhatatlanl hiányoznak mikor a diákok a két eset közötti különbségeket sorba eszik (z elektromágneses és az aksztikai Doppler-képletek leezetésének összehasonlítása pontban az -dimenziós esetre felírt lista analógiájára) nins példál semmi izális támpont ami a Természetes határsebesség megjegyzésre (és a hozzá tartozó diszksszióra a lökéshllámokról és az informáió eljtásáról a megfigyelôhöz) talna az ábrákból Elképzelhetô hogy a keesebb többet ér : ha sak az -dimenziós eset tárgyalására szorítkoznk a diákok általánosabb köetkeztetések leonására lesznek képesek Irodalom E Taylor J Wheeler: Téridôfizika Typote dapest 2006 wwwmathpagesom/rr/ 46 IZIKI SZELE 2008 / 4