Mészáros József. Játékelmélet

Átírás

1 Mészáros József Játékelmélet

2

3 Mészáros József Játékelmélet Gondolat Kiadó Budapest 2003

4 Minden jog fenntartva. Bármilyen másolás, sokszorosítás, illetve adatfeldolgozó rendszerben való tárolás a kiadó el zetes írásbeli hozzájárulásához van kötve. c Mészáros József, 2003 A kiadásért felel Bácskai István Szöveggondozó Koltai Mária Fedélterv Pintér László A kiadási munkálatokat a Books In Print végezte ISBN

5 El szó Az olvasó az utóbbi években a Budapesti M szaki és Gazdaságtudományi Egyetemen tartott Játékelmélet a társadalomtudományokban el adás leírt változatát tartja a kezében. A jegyzet bevezet jelleg ismereteket ad. A szerz igyekezett nem technikai jelleg el adásokat tartani, és ilyen jegyzetet írni. Magyar nyelven több játékelmélet jegyzet is olvasható, így: Forgó Ferenc- Szép Jen : Bevezetés a játékelméletbe, Szidarovszki Ferenc-Molnár Sándor: Bevezetés a játékelméletbe m szaki alkalmazásokkal, valamint Filep László: Bevezetés a játékelméletbe jegyzete. Az els két jegyzet er sen technikai jelleg és mind a három jegyzet húsz évvel ezel tt íródott. Az utóbb évtizedekben számos új alkalmazásra került sor és a játékelméleti irodalma is rendkívüli mértékben kib vült. A téma iránt érdekl d olvasóknak a technikaibb jelleg bevezetések közül gyelmébe ajánlom: Aumann, Robert: Lectures on Game Theory; Fudenberg, Drew and Jean Tirole: Game Theory; Osborne, Martin J. and Ariel Rubinstein: A Course in Game Theory könyveit. A nem technikai jelleg bevezet könyvek iránt érdekl d knek pedig olvasásra ajánlom: Axelrod, Robert: The evolution of cooperation; Binmore, Ken: Fun and games; Gardner, Roy: Games for Bussiness and Economics; Morrow, James D.: Game Theory for Political Scientists könyveit. A jegyzet I. fejezetében a kétjátékosos játékok segítségével áttekintjük az alapfogalmakat. A továbbiakban a szokásos tárgyalást követve megismerjük a teljes információs játékok alapfogalmait. A függelékben néhány alkalmazási területet tekintünk át. A gazdasági játékok fejezetben összegy jtve újraolvashatóak a jegyzetben elszórt példák. Mindenkinek jó munkát, jó olvasást kívánok! i

6 ii

7 Tartalomjegyzék El szó Tartalomjegyzék Bevezetés 1 I Játékok két játékossal 9 1 Játékok normál alakban szerepl s teljes információs szimultán lépéses játékok Iterált dominancia A játék nyeregpontja Kevert stratégiák Verseng játékok Szekvenciális játékok A játék extenzív formája II Játékok több játékossal 33 1 Nem kooperatív játékok normál alakban Kevert stratégiák A játékok normál alakja Korrelált egyensúly Nash tétel 43 iii i iii

8 iv TARTALOMJEGYZÉK 3 A játékok extenzív formája Extenzív játékok normál alakban Részjáték Indukció visszafelé Racionalizálhatóság 55 5 Információfüggvény Tudásfüggvény Ismeret és megoldási koncepció Bayes-i játékok Ismételt játékok Végtelenszer ismételt játékok Végtelen játék diszkontálás nélkül Nash egyensúly diszkontálással Részjáték Nash visszacsapás Véges ismétl dés játékok Alkalmazás Ismételt Cournot-játék Nash visszacsapás Répa és bot stratégia Evolúciós egyensúly Szelekció a válasz dinamikája Mutáció Kooperatív játékok átvihet nyereménnyel Piaci játék átvihet nyereménnyel Megoldási koncepciók Alkudozási (bargaining) halmaz Kernel A játék "sejtmagja" (nucleolus) Shapley érték Hatalom

9 TARTALOMJEGYZÉK v III Függelék Preferenciák és Pareto elvek Az egyéni preferenciák Maximális elemek Választási függvény Racionalitás Kvázitranzitív racionalitás Egyérték függvények Pareto elvek A választók egyes csoportjaira vonatkozó deníciók Döntéselmélet Döntéselmélet bizonytalanság esetén Gazdasági játékok Cournot játék (szimultán termelési verseny) Lineáris Cournot modell 2 céggel Cournot játék több céggel (N 2) Ismételt Cournot játék Stratégiák ismétl déses játékok esetén Bertrand játék (szimultán árverseny) Domináns megoldás keresése Ismételt Bertrand játék Stackelberg játék Részjáték kielégít Nash egyensúly Társadalmi választások elmélete Arrow tétele Feltevések Választási függvények Preferenciák közötti feltételek Preferenciákon belüli feltételek Manipulálhatóság Elosztási igazságosság Alkudozáselmélet 163

10 vi TARTALOMJEGYZÉK Irodalom 167 Tárgymutató 172

11 0 Bevezetés

12 Bevezetés Döntéselmélet vs. játékelmélet Amikor az egyének (csoportok) más egyének(csoportok)-kel szembeni viselkedésükr l döntenek, szembesülniük kell azzal, hogy magatartásuk befolyásolja a többiek döntését, magatartását. Egy interakciót stratégiai játéknak nevezünk, ha a szerepl k tudatában vannak ennek a hatásnak, s t magatartásuk során gyelembe is veszik. (A játékos tisztában van azzal, hogy a másik is tisztában van azzal, hogy is tisztában van azzal stb.). A stratégiai játékot így egyel re úgy képzelhetjük el, mint egy, a szerepl k közötti interakciót ahol is a szerepl k magatartásuk kialakítása során gyelembe veszik az ellenérdekelt fél általuk ismert, illetve lehetségesnek vélt magatartását is. Gondoljunk csak a sakkjátékosra: a jó sakkozó több lépésre el re gondolatban gyelembe veszi az ellenfél lehetséges lépéseit, majd az egész folyamatot végiggondolva dönt az aktuális lépésr l. Hasonlóan egy hadvezér egy csata megvívásakor igyekszik az ellenfél vezérének fejével is gondolkodni. A játékelmélet tárgyalása során a lehetséges játékosok számát nem sz kítjük le csak kett re. Stratégiai játékról tehát akkor beszélünk, ha ellenérdek felek között érdekkoniktus áll fenn, a felek rendelkezhetnek ismeretekkel, feltételezésekkel a többiek céljáról, lehetséges döntési alternatívákról, de ez az informáltság nem feltétlenül szimmetrikus. Minden játékos az egyéni céljainak megfelel en saját helyzetét próbálja optimalizálni. Próbáljuk egy kicsit formálisabban szemlélni a fentieket. Mi a játékelmélet? Játsszuk a következ t: Mindenki a teremben tippeljen egy számra 1 és 100 között oly módon, hogy tippjének a lehet legközelebb kell kerülnie a többiek tippjei átlagának 2/3-ához. (0,1) Definíció: Játékelméleten a racionális szerepl k stratégiai interakcióinak 1

13 2 Bevezetés elemzését értjük. A fenti denícióban használt kifejezések némi magyarázatra szorulnak: Csoport: Egy játékban egynél több döntéshozó szerepel, ket hívjuk játékosoknak. Ha csak egy játékos van, nem játékról, hanem döntési problémáról beszélünk. Interakció: Ha legalább egy játékos döntései közvetlenül befolyásolják egy másik játékos magatartását a csoporton belül. Ellenkez esetben a játék független döntési problémák sorozata. Stratégia: Olyan cselekvések, ahol az egyes egyének számításba veszik ezt a kölcsönös függ séget. Racionalitás: A kölcsönös összefüggés gyelembevételével az egyes játékosok a legjobb cselekvésüket választják. E feltevést a kés bbiekben enyhítjük, gazdasági vagy biológiai játékokban gyengébb racionalitásfogalmat szokás használni. (0,1) Példa: Tegyük fel, hogy 10 ember vendégl be megy. Mindenki külön zeti a saját fogyasztását. Ez egy döntéselméleti probléma. Ha el re megállapodnak a számla közös zetésében és utólagos felosztásában, akkor ez játékelméleti kérdés. A játékelmélet a közgazdaság tudományban, a szociológiában, a politológiában és a pszichológiában gyakran alkalmazott diszciplína. Néhány példa: A kereskedelem mértéke függ az egyes államok vámpolitikájától. Milyen vámpolitikát érdeke az egyes államoknak választaniuk, hogy a gazdaság a lehet legtöbbet protáljon? Az árak függenek az egyes termel k kibocsátásától. Mi az optimális kibocsátás? A közjószágok el állítása függ a többiek kooperativitásától. Mi számukra az optimális magatartás? Hogyan szavazzunk? A játékok osztályozása Stratégiai játékok nagyon sok helyzetben fordulhatnak el. Az alábbiakban néhány szempont alapján kísérjük meg osztályozni a játékokat.

14 Bevezetés 3 1. A játékosok lépései egyidej ek, vagy egymást követ ek. A sakkban a játékosok egymás után lépnek, el bb a fehér, utána a fekete, egy árverésen a résztvev k egy id ben teszik meg az els ajánlatokat, egymástól függetlenül. A különbségtétel a szekvenciális és az egyidej lépéses játékok között azért lényeges, mert a két játékfajta más gondolkodásmódot igényel. A szekvenciális játék esetén a játékosok a következ képpen gondolkodnak: Ha most ezt lépem, hogyan fog(nak) az ellenérdek (ek) reagálni? A jelen lépés a többiek jöv beni lépései következményeinek kalkulációján alapszik. A szimultán lépéses játék esetén a lépéssel kapcsolatos döntések az ellenérdek felek jelenlegi lépésével kapcsolatos várakozásaikon alapulnak, és igaz ez fordítva is az ellenfeleikre. A szekvenciális játékok esetén fontos kérdés, hogy mi az el nyösebb, els nek lépni avagy másodiknak, ennek a kérdésnek az eldöntése gyakran nem is olyan egyszer. 2. A játékosok érdekkoniktusának természete. Az igen egyszer játékok esetén mint például a sakk van nyertes és vesztes. A kártyajáték esetén az egyik fél nyereménye a másik fél vesztesége. Ezeket a játékokat zérus összeg játékoknak nevezzük. Általánosabban vizsgálva ezekben az esetekben egy adott, el re meghatározott nyeremény játékosok közötti elosztásáról van szó, így a lehetséges nyeremény összege nem feltétlenül zérus. Ebben az esetben konstans összeg játékról beszélünk. A hétköznapi életben, a gazdasági tevékenység során többnyire nem egy el re meghatározott torta felosztásáról van szó. A játékban részt vev k magatartásától függ gyakran a torta mérete is, és akár minden játékos lehet nyertes. Hasonlóan elképzelhet olyan helyzet is, amelyben minden részt vev vesztessé válhat, például egy nukleáris háború esetén. Az ilyen játékokat szokás negatív összeg játékoknak nevezni. A játékok közül számos esetben a játékosok választhatnak a kooperáció és a koniktus között, és gyakran az elemzés tárgya az, hogy milyen feltételek mellett érdemes ezt vagy azt az alternatívát választani. Ez az eset egyébként a játék összegét l függetlenül el fordulhat. 3. A játékosok informáltsága. A sakk esetén a játékosok pontosan ismerik helyzetüket (bábuik helyzetét) a lehetséges lépéseiket, illetve az ellenfél lehetséges lépéseit. Ezeket a játékokat teljes információs játékoknak nevezzük. Általában ez a helyzet kivételes, többnyire néhány játékos olyan információval is rendelkezik, amellyel a többiek nem. A kártyajátékok többsége esetén a

15 4 Bevezetés játékosok ismerik saját lapjukat, és próbálnak következtetni a többiek lapjaira, illetve megtéveszteni a többieket saját lapjaikat illet en. Az összes játékos tisztában van ezzel, így a következtetéseik esetén mindenki igyekszik számba venni a többiek megtéveszt szándékait is. A megtéveszt információk kisz rését hívjuk "signaling"-nak, a kevésbé informált játékosok információszerzési stratégiáját pedig "screening"-nek. A játékosok informáltsági állapotának osztályozását mutatja be a következ táblázat: A játékelméletben szokásos osztályozása a lehetséges információs állapotoknak: Közös tudás, azaz mindegyik játékos tisztában van azzal, hogy a többi játékos is teljes információval rendelkezik, s t azt is tudja, hogy a többi játékos ezt róla is tudja, és így tovább a végtelenségig. Teljes információ. Mindegyik játékos tudja, hogy a többi játékos rendelkezésére milyen stratégiák és azokhoz kapcsolódó kizetések állnak. Perfekt információ. Minden játékos meggyelheti az összes többi játékos minden lépését. Szimmetrikus információ. Minden játékos rendelkezésére azonos információ áll. Magáninformáció. Az egyes játékosok rendelkeznek olyan, a játékkal kapcsolatos információval, amely csak az rendelkezésükre áll. Teljes emlékezet (Perfect recall). Egyik játékos sem felejti el a saját lépéseit a múltban. Visszacsatolás (Closed loop). Az ismétléses játékban a játékosok minden részjáték végén jelzést kapnak a többiek lépéseir l. Visszacsatolás nélkül (Open loop). Az ismétléses játékban a részjátékok lefutása után a játékosok csak a saját lépéseikr l, döntéseikr l rendelkeznek információval. Azt az információt, amelyik minden játékos rendelkezésére áll közös tudásnak nevezzük. Ez a közös "tudás" (common knowledge), jóval több, mint az egyéni tudások összege, ezt jól jellemzi a következ közismert anekdota: Közös tudás Tekintsük a közismert példát, amely megvilágítja, hogy az egyének tudásának összege nem pontosan azonos a közös tudással, hanem a közös tudás azt jelenti, hogy mindenki tudja, és így a végtelenségig:

16 Bevezetés 5 Egy szigeten él 40 házaspár. A helyi szokásoknak megfelel en ha egy asszony felfedezi, hogy a férje h tlen volt, kötelessége a felfedezést követ éjfélig a falu f terén megszégyeníteni férjét. A példázatnak megfelel en a faluban minden asszony viszonyt tart fenn az összes férval, miközben azt gondolja, hogy a saját férje h séges. Ez már régóta így folyik. Egy napon érkezik egy idegen, aki átlátva a helyzetet kijelenti: van egy férj, aki h tlen. Természetesen csak a számára felismert tényt mondta ki, hiszen a meglév gyakorlatot nevezte néven. Aznap éjfélkor mindenki ott van a f téren, és ekkor válik közös tudássá az, hogy mindenki h tlen. Tekintsünk el bb egy egyszer esetet. Legyen csak két házaspárunk, és mind a két hölgynek a másik férjjel van kapcsolata. Megjelenik az idegen, és kijelenti, hogy valaki h tlen. Az els asszony tudja, hogy h tlenkedett a másik férjével, tehát arra vár els nap éjfélkor, hogy a másik asszony kiviszi a f térre a férjét és megszégyeníti. Ez nem történik meg, hiszen a másik asszony is hasonlóan gondolkodik. Így els nap éjfélkor nem történik semmi, második nap éjfélkor viszont mindenki rájön arra, hogy mivel els nap nem történt semmi, ezért az férje is h tlenkedik. A feladatot el bb három házaspárra terjesszük ki, és hasonló megfontolással beláthatjuk az el z eket, majd teljes indukcióval általánosíthatjuk. 4. A játék szabályai rögzítettek vagy manipulálhatóak? A sakk, a sportjátékok szabályai rögzítettek, gyakran bíró kényszeríti ki a szabályok betartását. A gazdasági, politikai játékok nem ilyen egyszer ek, a játékosok gyakran érdekeiknek megfelel en megkísérlik a szabályok változtatását, módosítását. Gyakran fontos elemezni, hogy a játék szabályai mennyire manipulálhatóak, illetve betartásuk mennyire érdeke a játékosoknak ez különösen a politikai játékok estén érdekes. 5. Lehetséges-e a játékosok közötti kooperáció, és ha igen, mennyiben? A játékosok stratégiai interakciói a közös érdek és a koniktus keverékéb l állnak. Gyakran megéri a játékosoknak egyezségeket kötni az együttm ködésr l. Számos esetben az egyes játékosok számára el nyös ezeket az egyezségeket egyoldalúan megszegni, abban bízva, hogy a többiek ezt nem teszik. A többi játékos egyezségkövet magatartására vonatkozóan különböz feltevésekkel élhetünk és ett l függ en alakítjuk ki stratégiánkat. Amennyiben az egyezségek nem kikényszeríthet ek, általában nem jön létre kooperáció. Azokat a játékokat, ahol az egyezségek kikényszeríthet ek, kooperatívnak nevezzük, azokat ahol nem, nem kooperatívnak. 6. A játék egyszeri vagy többször megismétlése.

17 6 Bevezetés Számos játék esetén a játékosok egyszer találkoznak, lejátsszák a játékot, kiki megkapja a nyereményét (veszteségét), és távoznak. Gyakran azonban nincs így, a játékosok többször egymás után játsszák ugyanazt a játékot. A gazdasági életben, szervezetekben, egy családban ez gyakran el fordulhat. Ekkor ismétl déses játékról beszélünk. Az ismétl déses játékok esetén fontos különbség, hogy véges számú, avagy végtelen az ismétl dések száma. Véges ismétl déses játék esetén különbséget teszünk aszerint, hogy az ismétl dések száma egy el re meghatározott, rögzített szám, avagy ezt nem ismerjük, csak annyit tudunk, hogy a játék befejez dik, de hogy mikor, azt nem. 7. Véges vagy végtelen játékok. Ha a játékosok száma véges, és a véges számú játékos bármelyikének véges számú stratégia áll rendelkezésére, akkor véges játékról beszélünk. Ha akár a játékosok, akár az egyes játékosok stratégiahalmazai közül valamelyik végtelen, akkor végtelen játékról beszélünk. Minden látszat ellenére nagyon gyakran el fordulnak végtelen játékok. Gondoljuk meg, hogy például egy olajnomító optimális kibocsátását modellezzük, ekkor végtelen sok stratégiánk van. 8. Evolúciós (tanuló) játékok. Gyakran, még relatíve egyszer játékok esetén is a játékok kimenetele jelent s mértékben függ a játékosok felkészültségét l. A játékelmélet megismeréséhez el ször ismerkedjünk meg néhány, a kés bbiekben használt alapfogalommal: Játékosok. A játékosok tetsz leges (megszámlálható számosságú) egyének vagy csoportok halmaza. Stratégiák A stratégiának egyszer en a játékosok el tt álló döntési alternatívákat hívjuk. A stratégiák nyilván függenek a játék szerkezetét l, hiszen ha egyszeri szimultán játékról van szó, akkor a stratégiák a rendelkezésre álló döntési alternatívákat jelentik. Amennyiben egy szekvenciális játékról van szó (azaz a játékosok egymás után lépnek), akkor az egymás után következ lépéssorozatok jelentik az egyes stratégiákat. Azaz ebben az esetben a játékot egy gráal jellemezhetjük. Azaz a stratégián egy döntési alternatívát vagy döntési alternatívák egy sorozatát értjük.

18 Bevezetés 7 Kizetések Egy adott játék esetén egy játékos célja a gy zelem, de néha nem olyan egyszer meghatározni, hogy mit is jelent ez. Gyakran célunk az, hogy például egy adott terméket hamarabb dobjunk a piacra, vagy jobb min ségben, mint a konkurencia, azaz csak ritkán lehet a gy ztesvesztes kategóriában gondolkodni. Kizetésnek egy adott stratégiakombináció (azaz egy adott saját stratégiaválasztás és az ellenfelek adott stratégiaválasztása) melletti eredményt értjük, mely lehet numerikus érték, de nem feltétlenül az. Egy gazdasági játékban lehet a kizetés az általunk elért prot, de az is, hogy a konkurens vállalat cs dbe megy. A kizetések értelmezéséhez, meghatározásához érdemes a hasznosságfüggvények irodalmát áttekintenünk. Ezt az olvasó az 1.sz. függelékben találja. Racionalitás A társadalomtudományokban a racionalitás fogalmát nagyon sok értelemben szokás használni, mi a továbbiakban egy nagyon korlátozott értelemben használjuk. A játékosok ismerik a rendelkezésre álló alternatíváikat (stratégiákat), az egyes stratégiákhoz tartozó kizetéseket, a kizetéseket képesek legalább gyenge értelemben rendezni, és ezen rendezés alapján el tudják dönteni, hogy melyik (melyek) a számukra legkedvez bb(ek), és azt akarják elérni. (A racionalitásról a 2.sz. függelék tartalmaz b vebb olvasnivalót.) A leírtakból világos, hogy a fenti koncepció semmilyen morális feltevést következtetést nem tartalmaz a cselekvésr l, se azt nem gondoljuk, hogy játékosaink önz k, sem azt nem, hogy altruisták. A fenti koncepció a játékosok id horizontjáról sem tételez fel semmit, nem gondoljuk, hogy rövid távra és azt sem, hogy hosszú távra diszkontálnak. Ez a koncepció csak egyfajta konzisztenciát jelent: minden játékos a saját értékrendszerének megfelel en konzisztensen cselekszik. Természetesen gyakran a játékosok különböz értékrendszerrel rendelkeznek, és nem feltétlenül ismerik egymás értékrendszerét. Ez a kérdés azonban ebben a koncepcióban már az informáltság és nem a racionalitás kérdése. A racionalitás feltételezése a cselekv kr l igen er s feltevés, és gyakran nem is teljesül, de számunkra (és a közgazdaságtan számára is) rendkívül fontos, hogy a kés bbiekben számolni tudjunk. A játék szabályai A játékelmélet tárgyalása során feltételezik, hogy a játékosok tisztában vannak azzal, mi az a játék, amelyben részt vesznek, s t tudják ezt a többi játékosról

19 8 Bevezetés is, és a többi játékos is tudja ezt, azaz a játék szabályai a közös tudás részét képezik. A játék szabályai tartalmazzák: a játékosok meghatározását, az egyes játékosok stratégiáit, az egyes játékosok kizetéseit az összes lehetséges releváns stratégiakombinációra és azt, hogy a játékosok racionálisak. Az általunk használt meghatározásba nem férnek bele az olyan játékok, ahol nem lehet tudni, ki is a játék résztvev je, és ki nem, ahol nincsenek egyértelm en meghatározva az egyes stratégiák és azok követelményei. Ez a deníció igen sz kít, de azt gondolom, hogy egy jegyzet erejéig elegend. Egyensúly A következ kben az egyensúly fogalmi keretei között járunk el. Mit jelent ez? Az egyes stratégiai kombinációk közül azok valósulnak meg, amelyek a legjobb válaszok a többiek lehetséges lépéseire. Ez, mint a közgazdaságtanból már tudjuk, nem feltétlenül jelenti azt, hogy a döntéshozó mindig a legjobban jár, s t gyakran senki sem jár jól. Egyensúlynak egy olyan állapotot tekintünk, ahol senkinek sem éri meg az adott stratégiakombinációtól eltérnie.

20 I. rész Játékok két játékossal 9

21

22 1. fejezet Játékok normál alakban (1,1) Példa Tekintsük a következ játékot: két játékos, A és B snóbliznak, azaz hol egyik, hol másik kezükben dugnak el pénzérméket. Ha A bal kezébe dugja a pénzt, és B jobb kezébe, akkor A zet B-nek 2 forintot, ha A jobb kezébe dugja a pénzt, B a bal kezébe, akkor B zet A-nak 2 forintot. Ha mindketten a bal kezükbe dugják a pénzt, akkor A zet B-nek 3 forintot, ha mindketten a jobb kezükbe, akkor pedig B zet A-nak 3 forintot. A fenti játékot összefoglalhatjuk az alábbi táblázatban: A\B bal jobb bal ( 3, 3) ( 2, 2) jobb (2, 2) (3, 3) ahol a zárójelben lév els szám A, míg a második szám B nyereményét jelenti. Egy normál formában megadott játékon a következ t értjük: 1. A játékosok halmazát N = {1,..., n} 2. Mindegyik játékos rendelkezik döntési alternatívák egy halmazával, jelölje ezt S i. A megel z példában: hogy a bal vagy a jobb kezet választja, azaz S 1 = S 2 = {b, j} 3. A játék lehetséges kimenetelei, azaz az összes lehetséges stratégiai kombináció: S = S i. A megel z példában (b, b)(b, j)(j, b)(j, j), 2 2 = 4 i kimenet van. 11

23 12 1. JÁTÉKOK NORMÁL ALAKBAN 4. A játékosok preferenciákkal rendelkeznek a lehetséges kimenetekkel kapcsolatban. A fenti példában, mivel pénzre megy a játék, elég egyszer a helyzet, a több pénz többre értékelt. Számos esetben a kimenetek nem feltétlenül számszer síthet k, ekkor azt várjuk el, hogy a játékosoknak legyen rendezése a kimenetek felett. A preferenciákat hasznosságfüggvényekkel reprezentálhatjuk (lásd 1. sz. függelék). Így u i : S R Ekkor szokás u i -t kizet függvénynek nevezni. A fentieket formális denícióba rendezve: (1,1) Definíció: Egy G játékot normál formában megadott játéknak nevezünk, ha 1. a játékosok adottak, és számuk véges N={1...n} N <, 2. i, i N-re S i = {s 1 i,..., sn i } stratégiahalmaz, 3. u i u i : i S i R kizet függvény. Tekintsük példánkat normál formában megadott játékra: (1,2) Példa zérus összeg játékra Két játékos sakkozik, a gy ztes kap 1 pontot, a vesztes 1 pontot, a remi esetén egyikük sem kap pontot. (1,2) Definíció: Egy játékot kétszemélyes zérus összeg játéknak nevezünk, ha N = 2 és u 2 = u 1. (1,3) Definíció: Véges összeg játék: Egy játékot kétszemélyes véges összeg játéknak nevezünk, ha N = 2 és u i < i. (1,1) Megjegyzés: Matematikai értelemben a véges összeg játékok zérus összeg játékká transzformálhatóak. Természetesen ez társadalmi értelemben nem igaz, az emberek szociális magatartását nagyon is befolyásolhatja, hogy zérus összeg - e a játék vagy sem.

24 SZEREPLŽS TELJES INFORMÁCIÓS SZIMULTÁN LÉPÉSES JÁTÉKOK szerepl s teljes információs szimultán lépéses játékok (1,1) Példa folytatás Hogyan érdemes játszani? A játékos számára a jobb kéz választása el nyösebb, hiszen jobb kézzel nyer, míg a bal kéz választása esetén mindig veszít. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a jobbkéz-stratégia dominálja a balkéz-stratégiát. (1,4) Definíció: az i N játékos ŝ i S i stratégiája dominálja az S i stratégiát, ha u i (ŝ i, s i ) u i (s i, s i ) s i -re és u i (ŝ i, s i ) > u i (s i, s i ) legalább egy s i -re. (1,5) Definíció: az i N játékos ŝ i s i stratégiája er s értelemben dominálja az s i stratégiát, ha: (1,1) Példa folytatás Ekkor a mátrix így alakul u i (ŝ i, s i ) > u i (s i, s i ) s i -re. A \ B bal jobb jobb (2, 2) (3, 3) hiszen A játékos a bal-stratégiát soha nem fogja választani, így B játékos számára csak a veszteség minimalizálása marad: a bal-stratégiával 2 forintot, míg a jobbal 3 forintot veszít. Azaz a bal-stratégia dominálja döntésre a jobbkézstratégiát. Azaz a játék egyensúlypontja a (jobb, bal)-stratégia. (1,6) Definíció: Egy ŝ = (ŝ 1,..., ŝ n ) stratégiavektort Nash egyensúlynak nevezünk, ha u i (ŝ) u i (s i, ŝ i ) i I és s i S i -re. (1,7) Definíció: Egy ŝ = (ŝ 1,..., ŝ n ) i I stratégiavektort szigorú értelemben vett Nash egyensúlynak nevezzük, ha u i (ŝ) > u i (s i, ŝ i ) i I és s i S i -re. A példa táblázatából jól látható, hogy a (jobb, bal)-stratégiából egyik félnek sem érdeke elmozdulni, hiszen csak rosszabb helyzetbe kerülhet. Ezt a megoldásmódot hívjuk a dominált stratégiák eliminációjának.

25 14 1. JÁTÉKOK NORMÁL ALAKBAN (1,3) Példa. Fogolydilemma Két b nöz t súlyos b ntény elkövetésével vádolnak, és külön-külön tartják ket fogva. Bizonyíték ellenük csak csekély mértékben áll rendelkezésre. Mindkét fogoly számára két alternatíva áll rendelkezésre: vallani vagy tagadni; ha valaki vall, akkor a b ntársát vádolja, és saját maga ártatlansága mellett érvel. Így a kizet mátrix (a büntetés mértékére) a következ képpen alakul: A \ B vall nem vall vall (4 év, 4 év) (0 év, 5 év) nem vall (5 év, 0 év) (1 év, 1 év) A táblázat számaiból világosan következik, hogy a vall-stratégia dominálja a nem vall-stratégiát, hiszen 4 < 5 és 0 < 1 az eredmény. Így mind a két b nöz vallani fog és (4, 4) év büntetést kapnak, amely nagyobb, mint az (1, 1) év. Azaz, ha a játékosok nem kooperálnak, vagy nem hihetnek a másik kooperativitásában, akkor egy ilyen inferior állapot áll el. Tekintsük általánosságban, ha a fenti példába nem éveket, hanem hasznosságokat írunk, akkor: A \ B nem kooperál kooperál nem kooperál (p, p) (t, s) kooperál (s, t) (r, r) ahol s < p < r < t és 2r < s+t ekkor létrejön a fogolydilemma, azaz a játékosok domináns stratégiája a dezertálás (a nem kooperálás). Általában a többszerepl s fogolydilemma 1 játékokat szokás közjószág-, közlegel vagy társadalmicsapda-játékoknak nevezni. (1,4) Példa fogolydilemmára Két különböz droggal üzletel drogkeresked megállapodik, hogy prolt b vítenek, és a rendelkezésükre álló drog egy részét elcserélik egymással. Korábban nem ismerték egymást, és kés bb sem fognak találkozni. A cserét rendkívül gyorsan kell lebonyolítani, azaz próbára nincs id, kérdés, hogy érdemes-e csalniuk, azaz valóban drog helyett hamisat adni a cserénél. A drog piaci értéke legyen 4 egység, önköltsége 1 egység. A \ B igazi hamis igazi (3, 3) (1, 4) hamis (4, 1) (0, 0) 1 A foglolydilemma nevet Albert Tucker adta 1950-ben a hasonló típusú játokoknak.

26 1.2. ITERÁLT DOMINANCIA 15 Ha igazit cserélnek igazira (4 1), azaz 3 egységnyi haszon keletkezik, ha hamisat igazira, akkor a hamis drogot adó 4 egység hasznot, míg a másik fél 1 egységnyi veszteséget realizál. A táblázatból jól látszik, hogy a hamis stratégia dominálja az igazi stratégiát. (1,5) Példa. Nemek háborúja A közismert játék többféle történettel ismert. Egy pár együtt szeretné tölteni az estét, a feleség színházba, a férj meccsre szeretne menni, de el nyben részesítenék az együtt töltött estét Iterált dominancia fér \ n színház meccs színház (1, 2) (0, 0) meccs (0, 0) (2, 1) Gyakran a játék megoldása során a legfontosabb probléma, hogy milyen feltevéssel élhetünk a másik játékosról. Egyel re feltételezzük, hogy mindenki racionálisan cselekszik. (1,8) Definíció: Tegyük fel, hogy i játékos elgondolással rendelkezik ellenfelér l. Az elgondolás azt jelenti, hogy a másik játékos az egyes stratégiáit milyen valószín séggel játssza meg, azaz µ i egy eloszlás. Ekkor i játékos racionális µ i elgondolással, ha s i maximalizálja a s i u i (s i, s i )µ(s i ) kifejezést. A fogolydilemmával (1,3) Példa láttuk, hogy a racionális játékos sohasem kooperál. Tekintsük most a következ játékot. 1 \ 2 s 1 2 s 2 2 s 3 2 s 1 1 (2,2) (1,1) (4,0) s 2 1 (1,2) (4,1) (3,5) 1. Ha 2. racionális, s 2 2-t nem játssza játékos tudja ezt, ha felteszi, hogy 2. racionális, így nem játssza a s 2 1-t szintén felteszi, hogy 1. racionális. Ha ezt felteszi, akkor tudja, hogy nem fogja s 2 1-t. Így neki nem értelmes s 3 2-t játszani.

27 16 1. JÁTÉKOK NORMÁL ALAKBAN 4. Így csak (s 1 1, s1 2 ) stratégiapár marad. A fenti példából világossá válik, hogy nemcsak az a fontos, hogy én racionális vagyok, hanem az is, hogy ellenfelem az. S t, az ellenfelemnek tudnia kell, hogy én racionális vagyok, és azt is, hogy tudom, hogy racionális. S t, tudom, hogy tudja, hogy én racionális vagyok, azaz a racionalitás a közös tudás része. (1,9) Definíció: Iterált dominancia 1. lépés, legyen S 0 i = S i 2. lépés, legyen k. lépés, legyen legyen: S i S 1 i = {s i s k i s i s 0 i u i (s i, s i ) > u i (s i, s i ) s i S 0 i} S k+1 i = {s i S k i s i S k i u i (s i, s i ) > u i (s i, s i ) s i S k i} i=1 S k i (az eljárás véges lépésben befejez dik, ha S i < i). Ha S = 1, akkor a játékot iterált dominanciával megoldhatónak nevezzük. (1,2) Megjegyzés: hasonló eljárással konstruálható az iterált gyenge dominanciával való megoldhatóság. (1,3) Megjegyzés: vigyázat, a gyenge dominanciával való iterálás nem útfüggetlen! (1,6) Példa. Tekintsük az alábbi játékot: 1\2 s 1 2 s 2 2 s 1 1 (3,4) (4,3) s 2 1 (5,3) (3,5) s 3 1 (5,3) (4,3) s 3 1 {s 2 1, s 1 1} = 1/2 s 1 2 s 2 2 s 1 1 (3,4) (4,3) s 3 1 (5,3) (4,3) s 1 2 s 2 2 = 1/2 s 1 2 s 1 1 (3,4) s 3 1 (4,3) s 3 1 s 1 1 = 1\2 s1 2 s 3 1 (5,3) 1\2 s 1 2 s 2 2 s 1 1 (3,4) (4,3) s 2 1 (5,3) (3,5) s 3 1 (5,3) (4,3) s 3 1 {s 2 1, s 1 1} = 1 2 s 1 2 s 2 2 s 2 1 (5,3) (3,5) s 3 1 (5,3) (4,3) s 2 2 s 1 2 = 1\2 s 2 2 s 2 1 (3,5) s 3 1 (4,3)

28 1.2. ITERÁLT DOMINANCIA 17 S 3 1 > s 2 1 = 1\2 s2 2 s 3 1 (4,3) (1,7) Példa. Cournot-verseny A Cournot-verseny bizonyos esetekben iterációval megoldható. Legyen a keresleti függvény lineáris. Kiindulásként feltehetjük, hogy a cégek bármennyi terméket gyárthatnak Si = R. Az optimális mennyiség azonban jól láthatóan 0 és a c 2b közé esik. Ezen intervallumon kívüli termelés negatív protot hoz, így eliminálható. A következ lépésben, mivel F csökken, a sz kebb intervallumra folytatjuk az eljárást stb. Belátható, hogy a fenti eljárás konvergens. (1,4) Megjegyzés: Véges stratégiahalmazokra az S, mivel az egyes lépések után mindig marad elem. Ha a stratégiahalmazok nem ilyenek, a helyzet nem ilyen egyszer. Bizonyos feltevésekkel élve azonban S elérhet. (1,8) Példa. Bertrand-verseny (árverseny) Két vállalat van a piacon, annak a termékét veszik meg, akinek a p i ára alacsonyabb (egyenl ár esetén megoszlik közöttük a kereslet). Az el z példa jelöléséhez hasonlóan a kibocsátás q i, a költség c i (q i ). c i (0) = 0, az összkereset Q(P ), inverze P (Q). Így N = {1, 2} s i = p i s i = R + u i (p 1, p 2 ) 0 ha p i > p j p i Q(s i ) c i (Q(s i )) ha s i < s j ) ha si = s j ( s i Q(s i ) 2 c Q(si ) i 2 (1,9) Példa. Cournot-verseny: legyen a keresleti függvény lineáris c i (q i ) = cq i p = a bq a kizet függvény u i (q i ) = (a c)q i bq i q i b 2 q i Ebb l deriválva kapjuk a széls értéket: (a c)bq j qbq i = 0

29 18 1. JÁTÉKOK NORMÁL ALAKBAN Így a "legjobb válasz": Nash egyensúly { (a c) BR i (q j ) = max 2b q } j 2, 0 (1,1) Állítás: Ha s Nash megoldás, akkor s S. Bizonyítás: Indirekt módon bizonyítunk. Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz. Ekkor k, hogy s S1 k... n, de Sk s S1 k+1... Sn k+1. Az iterált eljárásból adódóan s i Sk i S i, melyre: u i (s i, s i ) > u i (s i, s i ) s i S k i. Így s i S i, melyre u i (s i, s i ) > u i(s i, s i), ez ellentmond annak, hogy s Nash egyensúly. (1,10) Példa. Cournot-verseny Határozzuk meg a Cournot-versenyre a Nash egyensúlyt! (1,1) Lemma. (q1, q 2 ) Nash egyensúly pontosan akkor, ha qi BR i (q i ) i-re BR i -ket újramásolva BR i (q j ) = { α c 2β q j 2 ha q j α c β 0 különben a Nash egyensúly a q 1 = BR 1 (q 2 ) és q 2 = BR 2 (q 1 ).

30 1.2. ITERÁLT DOMINANCIA 19 A szimmetria miatt: q 1, q 2 = q, így q = α c β q 2 q = 2(α c) 3β Többszörös Nash egyensúly Tekintsük az alábbi játékot: (1,11) Példa 1 \ 2 s 2 1 s 2 2 s 1 1 (2,2) (0,0) s 1 2 (0,0) (2,2) Jól látható, hogy a játéknak két Nash egyensúly-pontja van: (s 1 1, s 2 1) és (s 1 2, s 2 2). (1,5) Megjegyzés: A társadalomban gyakran fordulnak el hasonló esetek, ezeket általában normákkal, szabályokkal kezeljük. A közlekedésben lehet jobbra hajts és balra hajts elvet érvényesíteni, mind a kett m ködik, de nem egyszerre. A következ kben megismerünk három, a közgazdaságtanban alapvet játékot, melyek a kés bbi fejezetekben újra meg újra elemzéseink tárgyai lesznek: (1,12) Példa. Cournot-verseny (termelési verseny) Két cég versenyez a piacon. A kibocsátást jelöljük q i -vel, és a költségfüggvényünk legyen c i (q i ). A két termék lényegében ugyanaz, az összkereslet Q(P ), inverze pedig P (Q). Az ár a két termék kibocsátásának függvénye. A termel k protjuk maximalizálására törekednek. N = {1, 2} s i = q i s 1 = s 2 = R+ u 1 (q 1, q 2 ) = q 1 p(q 1 + q 2 ) c 1 (q 1 ) azaz u 2 (q 1, q 2 ) = q 2 p(q 1 + q 2 ) c 2 (q 2 ) u i (q 1, q 2 ) = p(s 1 + s 2 )s i c i (s i )

31 20 1. JÁTÉKOK NORMÁL ALAKBAN (1,13) Példa. Stackelberg-verseny. (Szekvenciális termelési verseny) Az els cég q 1 -t termel. A második cég ezt meggyeli, és q 2 -t termel. s 1 = q 1 S 1 = R + s 2 R + R S 2 pedig a függvénytér. u(s 1, s 2 ) = p(s 1 + s 2 (s 1 ))s 1 c(s 1 ) u 2 (s 1, s 2 ) = p(s 1 + s 2 (s 1 ))s 2 (s 1 ) c 2 (s 2 (s 1 )) (1,6) Megjegyzés. a fenti példák a standard mikroökonómiai könyvekben elemzettek. Ha tökéletes piaci versenyt tételezünk fel, akkor a vállalatok csak az árakon keresztül tudják befolyásolni a piacot. Ekkor, ha nincs interakció a cégek között, a protmaximalizálás döntési problémává válik A játék nyeregpontja (1,10) Definíció: Az 1. játékos biztos nyereménye: α 1 = sup s 1 S 1 inf u(s 1, s 2 ). s 2 S 2 (1,11) Definíció: Az 1. játékos s 1 S 1 stratégiáját prudensnek nevezzük, ha α 1 = inf s 2 S 2 u(s 1, s 2 ). (1,12) Definíció: A 2. játékos biztos vesztesége: α 2 = inf s 2 S 2 sup u(s 1, s 2 ). s 1 S 1 (1,13) Definíció: az s 2 S 2 stratégia prudens, ha sup u(s 1, s 2) = α 2. s 1 S 1 (1,2) Állítás: minden kétszemélyes zérus összeg játékra: α 1 α 2. Bizonyítás: egyszer en adódik a denícióból. (1,14) Definíció: ha G kétszemélyes zérus összeg játékra α 1 = α 2, akkor ezt G értékének nevezzük, ha α < α 2, akkor azt mondjuk, G-nek nincs értéke.

32 1.3. A JÁTÉK NYEREGPONTJA 21 (1,14 ) Példa: 1 \ 2 Fej Írás Fej +1,1 1,1 Írás 1,1 +l,1 Jelen esetben α 1 = 1, α 2 = 1, tehát a játéknak nincs értéke. (1,15) Definíció: egy (s 1, s 2 ) S 1 S 2 stratégiapárt nyeregpontnak nevezünk, ha s 1 S 1, és s 2 S 2 : u(s 1, s 2) u(s 1, s 2) u(s 1, s 2) u(s 1, s 2 ) (1.1) (1,1) Tétel: A G játéknak v értéke és (s 1, s 2 ) nyeregpont pontosan akkor, ha (s 1, s 2 ) prudens, és ekkor v = u(s 1, s 2 ). Ha G-nek nincs értéke, akkor nyeregpontja sincs. Bizonyítás: Tegyük fel: v = α 1 = α 2 és (s 1, s 2 ) prudens stratégiák. Ekkor a prudensség deníciója miatt: és (1.1) és (1.2). sup u(s 1, s 2) = v = inf u(s 1, s 2 ) (1.2) s 1 S 1 s 2 S 2 u(s 1, s 2) v u(s 1, s 2) mivel v = u(s 1, s 2) Fordítva: Tegyük fel: (s 1, s 2 ) G nyeregpontja, ez a következ t jelenti: sup s 1 S 1 u(s 1, s 2) = u(s 1, s 2) = inf s 2 S 2 u(s 1, s 2 ) (1.3) α deníciója miatt: sup u(s 1, s 2) α 2 és s 1 S 1 inf u(s 1, s 2 ) α 1. s 2 S 2 (1.3)-ból α 2 u(s 1, s 2 ) α 1. Mivel α 1 α 2 mindig igaz, ezért u(s 1, s 2 Ekkor ) = v. s 1, s 2 prudens stratégiák. Q.E.D. (1,15) Példa. Párbaj Két párbajozó pisztolyával egy adott távolságról megindul egymás felé konstans sebességgel (legyen t = 0-ban ez a távolság: 1, t = 1-ben pedig 0). A találati pontosságot jelölje a i (t) és legyen fordítottan arányos a távolsággal, ha a távolság

33 22 1. JÁTÉKOK NORMÁL ALAKBAN 0, a találati valószín ség legyen 1. Ha valamelyik fél eltalálja a másikat, +1 a nyeresége, ha t találják el, 1, és ha senki sem talál, 0. Formalizálva a példát: S 1 = S 2 = [0, 1], s i stratégia a következ t jelenti: i játékos t = s i id pontban l, ha a másik nem l tt még, ha a másik fél l tt, és nem talált, akkor t = 1-ig kell várni a lövéssel, amikor már bizonyos a találat. Így G = (S 1, S 2, u), ahol: u(s 1, s 2 ) = 2a 1 (s 1 ) 1 ha s 1 < s 2 a 1 (s 1 ) a 2 (s 2 ) ha s 1 = s 2 1 2a 1 (s 1 ) ha s 1 > s 2 Ha például s 1 = s 2, akkor a kizet függvény értéke: p = q 1 (s 1 )(1 a 2 (s 2 )) valószín séggel csak 1 talál, míg 2 nem. Jól látható, hogy a játéknak van értéke és nyeregpontja: mivel a játék szimmetrikus s 1 = s Kevert stratégiák α 1 = 2a 1 (s 1) 1 = 1 2a 2 (s 2) α 1 = α 2 = 2a 1 (s ) 1 = 1 2a 2 (s ) (1,16) Példa (Montmort lovag példája) Egy apa a következ játékot ajánlja a ának. Az apa eldug egy aranypénzt valamelyik kezébe, a únak ki kell találni, hogy melyikbe. Ha a ú eltalálja jutalmat kap. Ha az apa a bal kezébe dugta, és eltalálja, 1 aranyat, míg ugyanez jobb kéz esetén 2 arany. Mátrixba írva: ú \ apa bal jobb Bal (1, 1) (0, 0) Jobb (0, 0) (2, 2) A feladatban egyik stratégia sem dominálja a másikat, azaz eddigi megoldásmódunk, a dominált stratégiák eliminációja nem m ködik. Ebben az esetben válasszuk a következ megoldást. Tekintsük úgy, mintha sokszor játszanánk le a játékot, és átlagos nyereményünket akarnánk maximalizálni, azaz minden stratégiához rendeljünk valószín séget, és azt vizsgáljuk, hogy ez a valószín ség mekkora legyen, hogy az átlagos nyereményünk maximális legyen. Tekintsük az alábbi mátrixot:

34 1.4. KEVERT STRATÉGIÁK 23 ú \ apa bal 2 jobb 2 b 1 (a, α) (b, β) j 1 (c, γ) (d, δ) ha az apa p valószín séggel b 2 -t játszik, míg a ú b 1 -t, akkor a ú várható nyeresége: u 1 (b 1 ) = pa + (1 p) b ha pedig j 1 -t játszik a ú, akkor a nyereség: Tekintsük újra a mátrixot: A ú várható nyereménye: u 1 (j 1 ) = pc + (1 p)d. ú \ apa b 2 j 2 P 1 p b 1 w wp a w(1 p)b j 1 (1 w) (1 w)p c (1 w)(1 p)d u 1 (w, p) = wu 1 (b 1 )+(1 w)u(j 1 ) = w[pa+(1 p)b]+(1 w)[pc+(1 p)d] (1.4) A ú nyereménye a w függvénye, így w-ben kell a széls értéket keresnünk: p-re megoldva u 1 w = [pa + (1 p) pc + (1 p)d = 0 (1.5) p = Hasonlóan az apára kiszámolva adódik w = d b a b + d c. (1.6) γ δ β α + γ δ. Az eredeti feladatba visszahelyettesítve: p = w = 2/3. Tekintsünk néhány közismert bimátrix játékot: (1,17) Példa. Galambhéja játék 2 Két állat egy id ben érkezik a táplálékhoz, amely mindkett jüknek nem elegend. Mindkét állat számára két stratégia áll rendelkezésre. Megkísérli 2 A játék eredeti leírását lásd Maynuel Smith, 1982.

35 24 1. JÁTÉKOK NORMÁL ALAKBAN megszerezni a teljes táplálékot (héja) vagy békésen megosztozni (galamb). Ha mindketten a galamb stratégiáját követik, akkor ugyan jól nem laknak, de valamennyi táplálékhoz jutnak. Ha egyik galamb-stratégiát követ, akkor a héjastratégiát követ jól jár, övé lesz az egész élelem. Ha mindketten "héják" akkor komoly sérülést okozhatnak egymásnak a táplálékért folytatott küzdelem során. Jellemezzük az alábbi kizet mátrix-szal a játékot: A \ B galamb héja galamb (1, 1) (0, 2) héja (2, 0) (10, 10) (1.3)-as képletbe helyettesítve: p = w = = 11, 1 azaz valószín séggel 1 galamb-stratégiává és 11 valószín séggel a héja-stratégia jelenti az optimális stratégiát. (1,18) Példa. Csirke-játék (game of chicken) A játék egy James Dean lmb l közismert: két atal lopott autóval versenyez. Egy szakadék felé rohannak, és miel tt a szakadékba esne az autó, kiugranak. Az veszít, aki korábban ugrik ki. Ábrázoljuk a játékot! (Tekintsünk el attól, hogy lehet-e kizetéseket rendelni a feladathoz.) Legyen K = kiugrik T = továbbhalad I\ II K T K (10, 10) (25, 25) T (25, 25) (10, 10) A feladatnak jól láthatóan nincs domináns megoldása Verseng játékok (1,16) Definíció: Egy G = {{1, 2}, S, i } szigorúan verseng, ha bármely a S, b S a 1 b pontosan akkor b 2 a (1,7) Megjegyzés: a fenti deníció speciális esete a zérus összeg játék. (1,17) Definíció: Legyen G = {(1, 2), S, u} szigorúan verseng játék, ekkor s 1 S 1 maxminimáló 1 játékosra, ha: min s 2 S 2 u 1 (s 1, s 2 ) min s 2 S 2 u 1 (s 1, s 2 ) s 1 S 1

36 1.5. VERSENGŽ JÁTÉKOK 25 és hasonlóan s 2 S 2 maxminimáló 2 játékosra, ha: min u 2 (s 1, s 2) min u 2 (s 1, s 2 ) s 2 S 2. s 1 S 1 s 1 S 1 (1,8) Megjegyzés: a maxminimáló maximalizálja azokat a kizetéseket, amelyeket a játékosok garantálni tudnak maguknak. Így például az s 1 a megoldása a max s 1 min u 1 (s 1, s 2 )-nek. s 2 (1,3) Állítás: legyen G(N, S, u) N = 2, szigorúan verseng játék. Ekkor: min s 2 max min s 2 S 2 s 1 S 1 Az s 2 S 2 megoldása a max s 2 -nek. max s 1 Bizonyítás: tetsz leges függvényre igaz: u 2 (s 1, s 2 ) = min s 2 S 2 max s 1 S 1 u 1 (s 1, s 2 ) minu 2 (s 1, s 2 ) s 1 pontosan akkor, ha megoldása a min( f) = max f arg max f = arg min( f) A fenti összefüggésekb l triviálisan adódik: (1,4) Állítás: Legyen G = (N, S, u) szigorúan verseng játék. Ekkor: 1. Ha (s 1, s 2 ) G Nash egyensúlya, akkor s 1 maxinimáló 1-re és s 2 maxminimáló 2-re 2. Ha (s 1, s 2 ) G Nash egyensúlya, akkor: max s 1 min s 2 u 1 (s 1, s 2 ) = min max u 1 = u 1 (s s 2 s 1 1, s 2) és Nash egyensúly ugyanazt a kizetést eredményezi. 3. Ha max s 1 min s 2 u 1 (s 1, s 2 ) = min s 2 max s 1 u 1 (s 1, s 2 ), s 1 maxminimáló 1-re és s 2 maxminimáló 2-re, akkor G Nash egyensúlya.

37 26 1. JÁTÉKOK NORMÁL ALAKBAN Bizonyítás: el ször 1. és 2. Legyen (s 1, s 2 ) G Nash egyensúlya. Ekkor: u 2 (s 1, s 2 ) u 2(s 1, s 2) s 2 S 2 vagy mivel u 2 = u 1 u 1 (s 1, s 2 ) u 1(s 1, s 2) s 2 S 2 mivel u 1 (s 1, s 2 )=min s 2 u 1 (s 1, s 2) max s1 min s2 (s 1, s 2 ) hasonlóan u 1 (s 1, s 2 ) u 1(s 1, s 2 ) s 1 S 1 és u 1 (s 1, s 2 ) min s 2 u 1 (s 1, s 2 ) s S 1 így u 1 (s 1, s 2 ) max s 1 min s2 u 1 (s 1, s 2 ) u 1 (s 1, s 2 )=max s 1 min s2 u 1 (s 1, s 2 ) s S 1 és így s 1 maxminimáló 1-re Hasonlóan belátható, hogy s 2 maxminimáló 2-re. 3. igazolásához, legyen u = max min s 1 s 2 u 1 (s 1, s 2 ) = min s 2 így max s 1 u 1 (s 1, s 2 ). Az el z állítás miatt: max s2 min s1 u 2(s 1, s 2 ) = u. Mivel s 1 maxminimáló 1-re: u 1 (s 1, s 2 ) v s 2 S 2, és s 2 maximinimáló s 2 u 2 (s 1, s 2 v s 1 S 1 ebb l adódik Nash egyensúlya. u 1 (s 1, s 2) = u és u 2 = u 1 így (s 1, s 2), G (1,9) Megjegyzés: az állításból következik, hogy a szigorúan verseng játékok Nash egyensúlyai felcserélhet k, azaz ha (s 1 1, s1 2 ) és (s2 1, s2 2 ) Nash egyensúlyok, akkor (s 1 1, s2 2 ) és (s2 1, s1 2 ) is azok. min(s 1, s 2 s 2 ), akkor ez a játék ér- (1,10) Megjegyzés: ha min s 2 téke. max s 1 (s 1, s 2 ) = max s 1

38 2. fejezet Szekvenciális játékok 2.1. A játék extenzív formája A játék fájának elemei: 1. Élek 2. A csomópontokon a játékosok megfeleltetése 3. Élek 4. Az élek és a játékosok döntéseinek megfeleltetése 5. A csomópontok és élek sorrendje 6. Az élek valószín ség-eloszlása (2,1) Definíció: c, A fa gyökere egy olyan csomópont, amelyet nincs megel z csomópont, azaz mindegyik csomópontot megel zi. (2,2) Definíció: Végs csomópont, amelynek nincs rákövetkez je. Feltevéseink (kés bb enyhítjük ket): 1. A csomópontok száma véges 2. Egy gyökér létezik 3. A gyökért l az egyes végs csomópontokig csak egy út vezet 27

39 28 2. SZEKVENCIÁLIS JÁTÉKOK (2,1) Megjegyzés: Az egyes játékosok döntéseik során a múltra különböz mértékben emlékezhetnek, és így döntéseik is eltér ek lehetnek. (2,3) Definíció: Játék teljes emlékezettel: egy játékot teljes emlékezet játéknak nevezünk, ha: 1. egy játékos sohasem felejti el korábbi döntéseit, 2. egy játékos sohasem felejti el azt az információt, melyet korábbi döntéseinél birtokolt. (2,2) Megjegyzés: teljes emlékezet szekvenciális játékra jó példa a sakk, ahol a játékosok egymás után lépnek, és korábbi lépéseik ismertek el ttük. (2,1) Példa A következ kben megismerkedünk az úgynevezett Százlábú játékkal, melyet még a kés bbiekben tovább elemzünk. Két játékosunk van: (A, B), mindegyik játékos 1-1 forintot helyez maga elé. Mindkét játékosnak két döntési alternatívája van, vagy folytatja a játékot (F ), vagy leállítja (L). Amennyiben valamelyik játékos a leállítás mellett dönt, a játék befejez dött, és mindenki megtartja az addig szerzett nyereményét. Amennyiben valaki a folytatás mellett dönt, zet 1 forintot, míg a másik játékos kap 2 forintot. A játék véget ér, ha valaki eléri a 100 forintot. Ábrázoljuk a játékot! (2,3) Megjegyzés: A játékot tetsz leges kiindulás pontból lejátszhatjuk, például:

40 2.1. A JÁTÉK EXTENZÍV FORMÁJA 29 (2,2) Példa Két játékos pénzfeldobást játszik, A tippel: fej vagy írás, B tippel fej vagy írás. Ha (fej, fej) vagy (írás, írás) az eredmény, akkor B ad A-nak 2 forintot, egyébként pedig A ad B-nek 2 forintot. (2,2/b) Példa: Két játékos pénzfeldobást játszik, el ször A tippel: fej vagy írás. másodszor B tippel (ismerve A tippjét) fej vagy írás Ha (fej, fej) vagy (írás, írás) az eredmény, akkor B ad A-nak 2 forintot, egyébként pedig A ad B-nek 2 forintot. (2,4) Megjegyzés: a (2,2) példájából látszik, hogy míg az els példában a játékosok egyszerre döntenek, addig a második esetben a döntéseknek van sorrendje. Azaz míg ezt a játékot az eddig használt mátrix alakba írjuk: A \ B F I F I (2,2) (2,2) (2,2) (2,2) addig a második játékot jobban leírja a gráf alak:

41 30 2. SZEKVENCIÁLIS JÁTÉKOK (2,4) Definíció: (Részjáték) Γ extenzív alakú játék részjátéka Γ, ha i) a Γ játék T csomópontjainak T halmazára, ha egy csomópontot tartalmaz, akkor a követ it is. ii) Γ maga is extenzív játék. (2,3) Példa Szekvenciális galamb-héja játék, az els madár már táplálkozik, így az odaérkez második madárnak két stratégiája van: marad vagy távozik. A jelen lév 1. madár ekkor vagy galamb- vagy héja-magatartást vehet fel. Ekkor 1 valódi részjáték van:

42 2.1. A JÁTÉK EXTENZÍV FORMÁJA 31 (2,5) Definíció: Indukció hátrafelé, a Γ játék részjátékain deniáljuk a részjáték tulajdonságot, ez részben rendezés. Válasszuk ki azokat a részjátékokat, melyek már nem tartalmaznak részjátékot, oldjuk meg ket, és így egyszer sítsük a játékot. Folytassuk az eljárást mindaddig, amíg az lehetséges. (2,1) Tétel (Kuhn): Minden véges kétszemélyes zérus összeg extenzív játéknak van értéke, és mindegyik játékosnak van legalább egy prudens stratégiája. Bizonyítás: A bizonyítás a gráf hosszára történ indukcióval történik: legyen l a fa leghosszabb ága. Ha l = 1, a tétel triviálisan teljesül. Tf az állítás igaz l-ig. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy 1. játékos húz el ször, és legyenek a (m 1... m t ) a követ csomópontok. Bármelyik csomópontból induló részfa hossza bizonyosan rövidebb, mint l + 1. Az indukciós feltevés miatt mindegyik részjátéknak is van értéke, legyen ez v r. Ekkor az eredeti G játék értéke v = sup. Ez 1. játékos számára biztos, 2. 1 r t játékost bármelyik részjátékban bizonyosan legfeljebb v veszteség érheti.

43 32 2. SZEKVENCIÁLIS JÁTÉKOK (2,5) Megjegyzés: A gráfelméletben szokás a G irányított gráfot egy (M, σ) párnak tekinteni, ahol M a csúcsok halmaza, és jelöli az adott csúcsot megel z csúcsokat.

44 II. rész Játékok több játékossal 33

45

46 1. fejezet Nem kooperatív játékok normál alakban Jelölje N = {1,..., n} S = {S 1... S n } u : S 1 S n R n a játékosok számát, a stratégiahalmazt, a kizet függvényt. (1,1) Definíció: Legyen G egy n személyes játék normál alakban: ekkor a biztos nyeresége: G = {N, S i, u i } α i = sup inf u i (s i, s i ). s i S i s i S i (1,2) Definíció: s i S i prudens stratégiája i játékosnak, pontosan akkor, ha inf u i (s i, s i ) = α i. s i S i (1,3) Definíció: egy G játékot lényegtelennek nevezünk, ha (α 1,..., α n ) kizetés Pareto-értelemben nem dominált, azaz s S N : α i u i ( s) i és α i < u i ( s) legalább egy i-re. 35

47 36 1. NEM KOOPERATÍV JÁTÉKOK NORMÁL ALAKBAN (1,1) Megjegyzés: Próbáljunk egy tortát játékosaink között elosztani. Tegyük fel, hogy i játékos optimálisan játszva, függetlenül a többiek játékától legalább α i méret szeletet nyer, i Nα i = 1. Ekkor (α 1,..., α N ) a torta optimális felosztása. A hasznosságok viszont nem felcserélhet k a játékosok között. (1,4) Definíció: Nash egyensúly Egy stratégiai játék Nash egyensúlyán a következ t értjük: G(N, S, ( )) egy s S ahol i-re (s i, s i ) i (s i, s i ) s i S i. (1,5) Definíció: valamely s i stratégiavektorra az i játékos legjobb válasza: BR i (s i ): BR i (s i ) = {s i S i : (s i, s i ) (s i, s i ) s i S i } a B-t ekkor i legjobb válasz függvénynek nevezzük. (1,2) Megjegyzés: a fenti fogalommal Nash egyensúly egy s stratégiavektor, melyre: s i BR i (s i ) i N. (1,1) Példa Fogolydilemmára tekintsük a korábbi fogolydilemmát Kevert stratégiák (1,2) Példa Tekintsük a következ k papírolló játékot. A játékban két játékos játszik a fenti három stratégiából választva egyet. Az így keletkez stratégia párokra a következ k igazak: a papír er sebb, mint a k, mert képes becsomagolni, a papír gyengébb, mint az olló, mert az olló elvágja a papírt, a k er sebb, mint az olló, mert a k kicsorbítja az ollót. A kizet mátrix tehát: 1 \ 2 K P O K (0,0) (1,1) (1,1) P 1,1) (0,0) (1,1) O (1,1) (1,1) (0,0) Vegyük észre, hogy ez egy szimmetrikus zérus összeg játék. A játéknak nincs Nash egyensúlya a "tisztán játszott" stratégiák között.

48 1.1. KEVERT STRATÉGIÁK 37 (1,6) Definíció: Legyen G egy stratégia játék, G = (N, S, u) i játékos kevert stratégiája egy valószín ség-eloszlás S i -n Ha s i <, akkor a kevert stratégia σ i S i R +, melyre σ i (s k ) = 1. s k s i (1,7) Definíció : Jelölje Σ i az S i fölötti valószín ség-eloszlások halmazát. Jelölje Σ = Σ 1... Σ n -t. Jelölje u i (σ, σ i ) az i-edik játékos kizetését, ha i σ i -t, míg a többiek σ i -t játszanak. (1,3) Megjegyzés: Ha S <, akkor a kevert b vítés kizet függvénye a régi kizet függvények lineáris kombinációja u i (σ i ) = s i S i σ i (s i )u i (σ i, u(s i )). (1,8) Definíció: σ -t kevert stratégia Nash egyensúlynak nevezünk, ha u i (σ i, σ i) u i (σ i, σ i) i N és σ i Σ i. (1,1) Állítás: σ pontosan akkor Nash egyensúly, ha: u i (σ i, σ i) u i (s i, σ i) i N és s i S i. (1,9) Definíció: Legyen G véges játék, akkor σ i kevert stratégia támogatásának nevezzük azon tiszta stratégiák halmazát, melyre σ i > 0, és supp(σ i ) -vel jelöljük. Azaz: supp(σ i ) = {s i S i σ i (s i ) > 0}. (1,2) Állítás: Ha σ kevert stratégia Nash egyensúly és s i, s i supp(σ i ), akkor u i (s i, σ i) = u i (s i, σ i). Bizonyítás: Indirekt úton bizonyítjuk. Tegyük fel: u i (s i, σ i) > u i (s i, σ i ) s i, s i supp(σ i ) tekintsük a következ kevert stratégiát: σ i (s i ) = σi (s i ) + σ i (s i ) ha s i = s i 0 ha s i = s i σi (s i) különben

49 38 1. NEM KOOPERATÍV JÁTÉKOK NORMÁL ALAKBAN az új stratégiához kapcsolódó kizetés és a régi kizetés különbsége: (1,3) Példa: 1\ 2 s 1 2 s 2 2 s 3 2 s 1 1 (1,1) (0,2) (0,5) s 2 1 (0,1) (4,0) (1,6) s 3 1 (0,2) (1,1) (2,1) u i ( σ i, σ i) u i (σi, σ i) = = u i (s i, σ i) σ i (s i ) u i (s i, σ i)σ i (s i ) = s i S i s i S i = u i (s i, σ i)[ σ i (s i ) σi (s i )] = s i S i = u i (s i, σ i)σ i (s i ) u i (s i, σ i)σ i (s i ) > 0 1\ 2 s 1 2 s 3 2 s 1 1 (1,1) (0,5) s 2 1 (0,1) (1,6) s 3 1 (0,2) (3,1) 1\ 2 s 1 2 s 3 2 s 1 1 (1,1) (0,5) s 3 1 (0,2) (3,1) A példában nincsenek domináns stratégiák. Azonban egyszer számítással adódik, hogy például 1/2(s 1 2 +s3 2 ) > s2 2. Ezért s 2 2 eliminálható. Hasonlóan 1/2(s s3 1 ) > s2 1. (1,3) Állítás: Legyen σ G-Nash egyensúlya, tegyük fel σ (s i ) > 0, akkor s i stratégiát nem eliminálja a dominált stratégiák eliminációja, azaz: s i S i. (1,10) Definíció: A dominált stratégiák iteratív eliminációján a következ t értjük: Si 0 = S i Si k+1 = {s i s k i σ i Σ(s k i ) u i (σ i, s i ) > u i (s i, s i ) s i S i} k S i k=1 S k i S = S 1... S N (1,4) Megjegyzés: Az eljárás nem minden esetben konstruálható meg. Például a k papírolló játékra iteratív elimináció nem konstruálható. (1,11) Definíció: A kevert stratégiákra a legjobb válasz megfeleltetésen az alábbiakat értjük és, BR i -vel jelöljük:

50 1.2. A JÁTÉKOK NORMÁL ALAKJA 39 i) BR i : Σ i Σ i ii) BR i (σ i ) = arg max σ i Σ i u i (σ i, σ i (1,4) Állítás: σ Nash egyensúly pontosan akkor, ha σ i BR i (σ i) i N-re. Bizonyítás : el ször belátjuk, hogy s i stratégia a kevert b vítésben, mely nem a legjobb válasz σ i-re. Ekkor u i linearitása miatt i növelni tudja kizetését oly módon, hogy s i helyett a legjobb választ játssza, mivel σi nem legjobb válasz σ i-re. Fordítva: tegyük fel σ i, melyre a kizetés nagyobb, mint σi -ben. Ekkor u i linearitása miatt kell olyan stratégiának lennie, melynek kizetései magasabbak, így σi -ban nem minden stratégia legjobb válasz. (1,5) Megjegyzés: az egyensúlyi kevert stratégiában szerepl stratégiáknak ugyanazt a kizetést kell eredményezniük A játékok normál alakja Korrelált egyensúly Gyakran a Nash egyensúly nem kielégít. Például a koordinációs játékokban nemek harca stb. ha azzal a feltevéssel élhetünk, hogy az egyes játékosok valamelyes információval rendelkeznek, sokkal kielégít bb megoldásra juthatnunk. (1,4) Példa: Legyen két játékosunk, akik különböz jelzéseket észlelnek, melyek befolyásolják a másik magatartását, az észlelésük kapcsolódó azaz korrelált, de nem teljes mértékben. A küls jelek három állapotot vehetnek fel: x, y, z. Az els játékos azt tudja, hogy {x} vagy {y, z}, míg a második játékos {x, y} vagy {z}. Ekkor a játékosok a fenti információk birtokában választják meg stratégiáikat. (1,5) Példa: Tekintsük a következ példát: 1\ 2 s 1 2 s 2 2 s 1 1 (9,9) (6,10) s 2 1 (10,6) (0,0)

51 40 1. NEM KOOPERATÍV JÁTÉKOK NORMÁL ALAKBAN Tiszta Nash egyensúly: (10,6), (6,10). Kevert stratégia Nash egyensúly ( 6 7, 1 ) 7 8,57 várható nyereménnyel. Bízzunk meg egy harmadik személyt sorsolással, dobjon fel egy érmét, ha fej (s 2 1, ), ha írás s1 2 (s1 1, s2 2 ), akkor a várható nyeremény 8. Tekintsük az alábbi eloszláscsaládot: ( ) ekkor 9 2γ 1+γ + 6 1\ 2 s 1 2 s 2 2 s 1 1 γ 1 γ/2 s γ/2 0 ( ) ( ) 1 γ 1+γ 10 2γ 1+γ + 0 ( ) 1 γ 1+γ igaz, ha γ [0, 3/4] ha γ = 3/4, akkor a nyeremény 8,75, ami nagyobb, mint a kevert Nash egyensúly. (1,12) Definíció: Egy G(N, S, u) stratégiai játék korrelált egyensúlyán a következ t értjük: (Ω, π) véges valószín ségi mez t, ahol Ω eseménytér és π valószín ségi mérték Ω-n, i N játékosra az Ω P i partícióját (az i játékos információ partíciója), i N játékosra a σ i : Ω S i valamely p i P i, úgy, hogy i N-re p i P ekkor: σ i (ω) = σ(ω ) ha ω p i és ω p i τ i : Ω S i, ahol τ i (ω) = τ i (ω ), ha ω = p i és ω p i ω Ω π(ω)u i (σ i (ω), σ(ω)) ω Ω π(ω)u i (σ i (ω), τ i (ω)) (1,6) Megjegyzés: Ω és partíciója e deníció szerint nem exogén, hanem része az egyensúlynak. Másfel l a deníció annak kimondása, hogy minden pozitív el fordulású eseményre az i játékos reakciója optimális, az i játékos tudása is a többi játékos stratégiáit gyelembe véve. (1,5) Állítás: Minden G(N, S, u) játék kevert stratégia Nash egyensúlyhoz létezik olyan korrelált egyensúly ((Ω, π), (P i ), (σ i )), melyre minden i N játékosra az s i stratégiákhoz kapcsolódó eloszlás egyenl σ i -vel.

52 1.2. A JÁTÉKOK NORMÁL ALAKJA 41 Bizonyítás: Legyen Ω = S és legyen π(s) = N α j (s i ) j=1 i N és b i s i legyen p i (s i ) = {s S : s i = s i } és legyen P i = {p i (a i )}. Legyen σ i (s) = s i s S. Ekkor ((Ω, π), (P i ), (σ i )) korrelált egyensúly, hiszen a deníció kívánalmai teljesülnek. (1,6) Állítás: Legyen G = (N, (s i )(u i )) stratégiai játék, G bármely korrelált egyensúlyi kizetésnek konvex kombinációja is korrelált egyensúlya G-nek. Bizonyítás: Legyenek u 1,..., u k korrelált egyensúlyi kizetések és (λ 1,..., λ k ) R λ 0 i és k λ k = 1, k minden értékhez legyen ((Ω k, π k )(p k i )(σk i )) kor- i=1 relált egyensúly, melyhez az u k kizetés tartozik. Az általánosság megszorítása nélkül feltehtjük, hogy Ω k diszjunkt. Legyen Ω = Ω k és ω Ω-ra π(ω) = λ k π k (ω); k i-re P = k P k i és σ i (ω) = σ k i (ω) akkor k i=1 λ i u i korrelált egyensúlyi kizetés. (1,6) Példa: Legyen N = 3 és a kizetések az alábbiak: 3 s 1 3 s 2 3 s 3 3 1\ 2 s 1 2 s 2 2 s 1 2 s 2 2 s 2 1 s 2 2 s 1 1 0,0,3 0,0,0 2,2,2 0,0,0 0,0,0 0,0,0 s 1 2 1,0,0 0,0,0 0,0,0 2,2,2 0,1,0 0,0,3 Ekkor: a Nash egyensúlyokhoz kapcsolódó kizetések: (1,0,0); (0,1,0); (0,0,0). ( A korrelált egyensúly esetén: 1 2 (s1 1 + s2 1 ); 1 2 (s2 2, s2 2 ), ) s2 3 a 3. játékos nem érdekelt abban, hogy 1. és 2. információhoz jussanak stratégiáik koordinálása érdekében.

53 42 1. NEM KOOPERATÍV JÁTÉKOK NORMÁL ALAKBAN

54 2. fejezet Nash tétel (2,1) Tétel: G véges stratégiai játéknak van Nash egyensúlya a kevert b vítésben. A bizonyítás Kakutani xpont-tételével történik, ezért el ször deniálunk néhány fogalmat. (2,1) Definíció: Egy S R n halmaz konvex, ha tetsz leges s 1 -re és s 2 -re és λ [0, 1]-re λs 1 + (1 λ)s 2 S, azaz a halmaz tartalmazza tetsz leges két pontját összeköt szakaszt. (2,2) Definíció: Egy S R n halmaz zárt, ha tetsz leges sorozatra: {s i } i=1 s i s i -b l következik s S, azaz tartalmazza a határpontjait. (2,3) Definíció: Egy halmaz kompakt, ha korlátos és zárt. (2,4) Definíció: Egy r : X Y megfeleltetés gráfja az {(x, y) y r(x)} halmaz. (2,5) Definíció: Egy megfeleltetés gráfja zárt, ha a gráf zárt halmaz. (2,1) Megjegyzés : ha a megfeleltetés függvény, akkor a zártság azonos a folytonossággal. (2,2) Tétel (Kakutani-xpont tétele). Egy r X X megfeleltetésnek x X x r(x) xpontja, ha: 43

55 44 2. NASH TÉTEL 1. X R n konvex, kompakt és nem üres, 2. r(x) nem üres bármely x-re, 3. r(x) konvex x-re, 4. r gráfja zárt. Bizonyítás: (Nash tételé) El ször 2 2-es játékokra látjuk be Nash tételét. A 2 2-es játékok esetén a játékosok stratégiáit az alábbiak szerint írhatjuk: s k 1 = αs (1 α)s 2 1 s 2 2 = βs (1 β)s 2 2 így az (s k 1, sk 2 ) stratégiát (α, β) [0, 1] [0, 1] paraméterrel határozhatjuk meg. Minden játékos a legjobb válasz stratégiáját válsztja (ismeretei szerint), azaz a BR 1 (β), BR 2 (α)) párt játsszák. Így konstruáltunk egy leképezést az egységnégyzetb l az egységnégyzetbe: BR(α, β) = BR 1 (β) BR 2 (α) (2,1) Állítás: az s kevert stratégia pontosan akkor Nash egyensúly, ha s a BR xpontja, azaz s BR(s ). Bizonyítás: bizonyítjuk, hogy BR egy kompakt és konvex halmaz önmagára való leképzése, és a Kakutani tétel feltételei teljesülnek. BR[0, 1] 2 [0, 1] 2 és az egységnégyzet kompakt és konvex, BR(s) nem üres, ez következik abból, hogy BR 1 (S 2 ) és BR 2 (S 1 ) nem üresek. Ez igaz, mert az els játékos kizetése u 1β (α) = αβu 1 (s 1 1, s 1 2) + α(1 β)u 1 (s 1 1, s 2 2) + (1 α)βu 1 (s 2 1, s 1 2) + +(1 α)(1 β)u 1 (s 2 1, s 2 2) az u 1β függvény α-ban folytonos, és az [0, 1], amelyik zárt intervallum, ezért u 1,β felveszi széls értékeit az intervallumon. Így van legalább egy α, mely maximalizálja az 1. játékos kizetését. A 3. feltétel azt jelenti, hogy ha az 1. játékos a legjobb válaszát játssza: α1 s1 1 + (1 α 1 )s2 1 és α2 s1 1 + (1 α 2 )s2 1 és a 2 játékos βs (1 2, akkor az a β)s2 λα1 + (1 λ)α 2 0 < λ < 1-re szintén legjobb válasz, azaz BR(β) konvex. Mivel mind α 1, mind α 2 legjobb válasz, ezért ugyanazt a kizetést adják 1 játékosnak. Ez azt jelenti, hogy lineáris kombinációjuk is konstans. Ezért BR 1 (B) konvex.

56 A 4. feltétel követelménye az, hogy BR gráfja zárt. Tekintsük a következ sorozatot: S n = (α n, β n ) és ŝ n = ( α n, β n ) BR(s n ). Mindkét sorozat tartson s n = (α, β ), és ŝ n( α, β )-hoz. Belátjuk, hogy ŝ BR(s). Az 1. játékosra: u 1 ( α n, β n ) u 1 (α, β n ) bármely α [0, 1]. Az u folytonos mind α-ban, mind β-ban. Ezért: u 1 ( α, β ) u 2 (α, β ) α [0, 1]. Ebb l következik, hogy α BR 1 (β), és így ŝ BR(s ). Így a gráf zárt. Így alkalmazhatjuk a Kakutani-tételt, és bármely 2 2 játéknak van Nash egyensúlya. A következ kben kiterjesztjük a bizonyítást: Jelölje: Σ 1 = {(α 1,..., α n 1 ) 0 α 1 1,..., 0 α n 1 1 és n 1 i=1 azaz a stratégiákat Σ 1 szimplex elemeivel jellemezzük. (2,2) Állítás: Σ 1 konvex és kompakt. Bizonyítás: 45 α i 1}, Konvex lineáris kombinációk lineáris kombinációja is, lineáris kombináció. Kompakt korlátos, mivel α i -re 0 α i 1 zárt, tekintsük α j 1,..., αj n 1 sorozatot, α j Σ 1, melyre α j tart α -hoz. Ekkor α 0 és n 1 αi 1 mint a határérték megtartja az egyenl tlenséget. i=1 Belátjuk a Kakutani-tétel feltételeinek teljesülését: 1. Σ i nem üres, mivel egyik játékos stratégia halmaza sem üres. Mivel Σ i kompakt, a Σ = Σ 1 Σ N is kompakt. Ezért BR : Σ Σ nem üres, konvex és kompakt halmazon történ hozzárendelés. 2. i játékosra tekintsük az alábbi kizetést: u i,s i (s i ) s i Σ i. Mivel Σ i kompakt és u i,s i folytonos, ezért a kizetések halmaza kompakt, így létezik maximuma. Így a BR i (Σ i ) nem üres.

57 46 2. NASH TÉTEL 3. Legyen s 1 i és s 2 i az i játékos két legjobb válasza s i -re, ekkor s 1 i és s 2 i kizetése i-nek azonos, így lineáris kombinációjuk értéke is ugyanakkora. 4. Tegyük fel, hogy s n sorozat és sn BR(s n ). Mindkét sorozat konvergál s és ŝ -hoz. Minden játékosra: u i (ŝ n i, s i ) u i (s i, s n i) s i Σ i. A kizet függvény lineáris és ezért folytonos. Ezért határértéket véve: u i (ŝi, s i u i (s i, s i) s i Σ i. Ebb l ŝ i BR i(s i ) és ezért ŝ BR(s ), azaz a gráf zárt. A feltételek teljesülése miatt alkalmazható a Kakutani-tétel, létezik xpont, azaz létezik a Nash egyensúly.

58 3. fejezet A játékok extenzív formája (3,1) Példa: Stackelberg-verseny Tegyük fel, hogy A vállalat kifejlesztett egy új technológiát, és elkezdi a gyártást q 1 mennyiséggel. B cég is hasonló fejlesztésen dolgozik, a gyártás megkezdése el tt észleli, hogy a másik cég már elkezdte a termék gyártását, így választja meg q 2 gyártott mennyiségét. Tegyük fel q i {1, 2, 3}, és a piaci kereslet 3 termék, a gyártási költség 0. Ekkor a játékot így ábrázolhatjuk: (3,1) Definíció: Egy Γ játék extenzív formában megadott, ha 1. N adott és N <. 2. A csomópontok véges T halmaza, melyek egy fa gráfot határoznak meg, adott a Z végs csomópontok halmaza (ahonnan már nem indul ki él), t T \Z csomóponthoz adottak függvények az alábbi módon: 47

59 48 3. A JÁTÉKOK EXTENZÍV FORMÁJA i) i(t) játékos aki lép, ii) a lehetséges lépések halmaza A(t), iii) az n(t, a) a rákövetkez csomópontok halmaza, melyek a lehetséges lépésekb l adódnak. 3. Kizet függvények u i Z R. 4. Információ-partíció: csomóponthoz x, h(x) a csomópontok azon halmaza, melyeket az i játékos ismer. A fenti partíció kielégíti x h(x) i(x ) = i(x), A(x ) = Ax és h(x ) = h(x). (3,2) Példa: Szekvenciális snóbli ha jelezni kívánjuk, hogy a rákövetkez játékos nem ismeri az el z játékos lépését, akkor a következ jelölést használjuk:

60 49 Legyenek a nem végs csomópontok Tekintsük a deníciót: 1. N = 2, 2. s 1 = s 2 = {F, I}, 3. a fa deniálja a végs csomópontokat, és x 2 és x 3, x 1 rákövetkez je, 4. h(x 1 ) = x 1 és h(x 2 ) = h(x 3 ) = {x 2 x 3 }. (3,1) Megjegyzés: A deníciót szokás más formában is kimondani: (3,2) Definíció: Teljes információs G játékon extenzív formában a következ t értjük: a) a játékosok (N) b) sorozatok halmaza (H), melyek kielégítik az alábbi követelményeket: i) : H. ii) : Ha (a k ) k=1...k H és L < K, akkor (a k ) k=1...l H. iii) : Ha egy végtelen sorozatra (a k ) k=1... -re (a k ) k=1...l H L, akkor (a k ) k=1... H. (3,2) Megjegyzés: a H elemeit történéseknek hívjuk, egy történés egyes pontjai pedig az ott választott stratégiák. (3,3) Definíció: egy (a k ) k=1...k H végs történet, ha végtelen, vagy (a k ) k=1,...k H, melyre (a k ) k=1...k+1 H. Jelölje Z a végs történetek halmazát.

61 50 3. A JÁTÉKOK EXTENZÍV FORMÁJA c) Egy P : H\Z N függvény, azaz P (h) egy játékos, aki a h történet után dönt. d) i N-re egy preferencia reláció Z-n. A játékot szokás Γ-val jelölni. (3,4) Definíció: ha H < a játékot végesnek nevezzük, ha h H véges hosszú, akkor azt mondjuk, hogy a játék véges horizontú. (3,3) Megjegyzés a H a kezd pont, a történet kezdete, akkor a P ( ) az a játékos, aki az els lépést megteszi Extenzív játékok normál alakban (3,5) Definíció: Jelölje H i egy extenzív formájú játék esetén az i játékos információinak halmazát: H i = {S T s = h(t) valamely t T, i(t) = i}. Legyen A i az i játékos lehetséges döntéseinek halmaza bármely információ halmaza mellett. (3,6) Definíció: Az i játékos tiszta stratégiája egy extenzív játék esetén s i : H i A i függvény, melyre s i (h) A(h) h H i. (3,4) Megjegyzés: A stratégia ebben az értelemben egy teljes cselekvési terv. (3,7) Definíció: Γ kevert stratégiája a tiszta stratégiák fölötti randomizáció. (3,8) Definíció: Γ kevert viselkedési stratégiája: σ i : H i (A i ), melyre supp(σ i (h)) A(h) h H i (azaz részben információs halmaz esetén külön-külön randomizálunk). (3,5) Megjegyzés: A kevert stratégia és a kevert viselkedési stratégia általánosságban nem azonos, csak a teljes emlékezet játékok esetében. (3,3) Példa: Szekvenciális snóbli (folytatás) s 1 = {F, I} a 2. játékosnak 4 stratégiája van, mivel két döntésb l választhat két információhalmaz esetén. Így

62 3.2. RÉSZJÁTÉK 51 1\ F F F I IF II F 11 +1,1 1,1 1,1 I 1,1 1,1 1,1 1,1 azaz a 2. játékosra F F azt jelenti, hogy F-et választ mindkét csoportban, F I azt jelenti, hogy Fejet választ az 1. játékos Fej húzását észrevéve, és Írást választ 1. íráshúzást észrevéve. (3,4) Példa: Stackelberg-verseny (folytatás) Az 1. cég q 1 kibocsátást választ, a 2. cég q 2 (q 1 )-t. Ha három lehetséges kibocsátási szint van, akkor 1.-nek 3, míg 2.-nak 3 3 = 9 stratégiája van. Legyen most q i [0, 1] és p = 1 q 1 q 2 és c = 0. Bármely q 1 [0, 1]-re Nash egyensúly, melyben az els cég q 1 -t termel. Legyen: s 1 = q 1 s 2 = { 1 q 1 2 ha q 1 = q 1 1 q 1 ha q 1 q 1 azaz, ha s 1 q 1, akkor a 2. cég annyit termel, hogy lenyomja az árakat 0-ra. Az s 1 = q 1 jól láthatóan Nash egyensúly, hiszen 1.-nek nem éri meg eltérni, mert 2. stratégiája eredményeképp ekkor nyeresége Részjáték (3,9) Definíció: Egy Γ extenzív formájú játék Γ részjátékán a következ t értjük: 1. A G csomópontjának részhalmazát T, mely ha egy x csomópontot tartalmaz, akkor a követ it is, t T t h(t), akkor t T 2. különben pedig G maga is extenzív formában megadott gráf. (3,5) Példa:

63 52 3. A JÁTÉKOK EXTENZÍV FORMÁJA ebben az esetben 2 részjáték van, a játék maga és a Ennek a részjátéknak pedig nincs valódi részjátéka, mivel ha lenne, akkor a 2 játékos információhalmaza különálló lenne, amit deníciónk nem enged meg. (3,10) Definíció: Egy s stratégia a Γ j játék részjáték kielégít egyensúlya, ha a G bármely részjátékának Nash egyensúlya. (3,6) Példa: Stackelberg-játék (folytatás) Belátjuk, hogy az egyetlen részjáték-kielégít egyensúly a q 2 = 1/2 q1(q 2 ) = 1 q 2 2 A részjáték-kielégít egyensúly, Nash egyensúly is, amikor az 1. cég q 1 -t dönt. Ekkor q1 (q 1) = arg max q 1 [1 (q 2 + q 2 )]. Ebb l q1 (q 2) = 1 q 1 2.

64 3.3. INDUKCIÓ VISSZAFELÉ 53 Hasonlóan az 1. cég a saját legjobb válasz görbéjén játszik. A részjáték-kielégít egyensúly Nash egyensúly az egész játékra is, így q 2 legjobb válasz q 1-re: így u 2 q 0 2 u 2 (q 1, q 2) = q 2 (1 (q 2 + q 0 1(q 2 )) = q 1 1 q 1 2 = 1/2-ben veszi fel maximumát Indukció visszafelé A játék megoldásához gyakran hátulról visszafelé fejtve jutunk el. (3,11) Definíció: Egy extenzív formáról azt mondjuk, hogy teljes információs, ha minden információhalmaz csak egy csomópontot tartalmaz. (3,6) Megjegyzés: A játékosok tökéletesen meggyelik a korábbi lépéseket. (3,1) Állítás. Minden teljes információs véges szekvenciális játéknak létezik részjáték-kielégít egyensúlya. Bizonyítás: A részjátéknak létezik Nash egyensúlya, ezt helyettesítsük be az így csökkentett játékba, és tovább megoldva a játékot, igazoltuk az állítást. (3,7) Példa. Tekintsük a következ játékot: A 2. játékos indierens s 3 2 és s 4 3 között. Ekkor végtelen sok részjáték-kielégít egyensúly van: s 0 1 = s1 1 s 2 = (s1 2 + αs3 2 + (1 α)α3 2 ) 0 α 1.

65 54 3. A JÁTÉKOK EXTENZÍV FORMÁJA (3,2) Állítás: Ha a végállapotok fölött mindegyik játékos szigorú értelemben vett rendezéssel rendelkezik, akkor a részjáték-kielégít egyensúly egyértelm. (3,1) Tétel: (Kuhn) Minden véges Γ játéknak létezik részjáték-kielégít egyensúlya. Bizonyítás: Hátrafelé történ indukcióval: Legyen a Γ részjátékainak halmaza. Γ üres, hiszen Γ Γ. Deniáljunk egy részben rendezést Γ-n. Legyen Γ 1 és Γ 2 részjáték Γ 1 Γ 2, ha Γ 2 részjátéka Γ 1 -nek. 1. lépés: válasszuk ki azokat a részjátékokat, melyre Γ, hogy Γ > Γ 1 2. lépés: oldjuk meg ezeket a játékokat, a Nash tétel miatt léteznek megoldások (hiszen végesek). 3. lépés: A Nash egyensúly egyensúlyi kizetéseit helyettesítsük be ezen játékok kizetési helyeire. 4. Ismételjük meg at, addig, amíg létezik részjáték. (3,7) Megjegyzés: az eredmény nem egyértelm, azaz több részjáték-kielégít egyensúly is lehetséges, ha a játéknak több Nash egyensúlya van.

66 4. fejezet Racionalizálhatóság A következ kben játékosaink várakozásairól, a többi játékos magatartásáról nem feltételezzük, hogy tökéletesek, azt tesszük fel, hogy a közös tudás része mindössze az, hogy a várakozásoknak megfelel magatartás szintjén racionális mindenki. A fentiekb l érzékelhet, hogy ez gyengébb megoldási koncepciót eredményez, mint a Nash egyensúly. Legyen továbbra is G = (N, (S i )(u i )) stratégiai játék. (4,1) Definíció: i játékos vélekedése egy valószín ségi mérték µ i. S i -n ahol S i = j N {i} (4,1) Megjegyzés: A fenti deníció lehet vé teszi azt, hogy a játékosok többiekkel kapcsolatos várakozása feltegye, hogy egyesek magatartása korrelált. (4,2) Definíció: s i S i i játékos legjobb válasza az adott vélekedés mellett, ha nincs olyan stratégia, melynek kizetése nagyobb lenne ezen várakozás mellett. (4,3) Definíció: Egy s i S i racionalizálható a G(N, S, u) játékban, ha: ( (X T j ) j N ) S j. 1. halmazok t=1 XT j S j j és t 2. i játékos vélekedése: µ 1 i, mely támogatása az x 1 i részhalmaza 3. j N t 1 és s j Xj t µ t+1 j (s j ) a játékos várakozása, melynek támogatottsága az X j t+1 részhalmaza és teljesül 4. s i az i játékos legjobb válasza µ 1 i várakozás mellett 55

67 56 4. RACIONALIZÁLHATÓSÁG 5. X 1 i = és j N \ {i} az X 1 i halmaza mindazon s j S j stratégiák halmaza, melyekre s i a µ 1 i támogatásában, melyre s j = s j. 6. j N játékosra és t 1-re stratégia a j játékos legjobb válasza (a j ) várakozás mellett µ t+1 j 7. t 2 és j N az x t j halmaz mindazon s i S j stratégiák halmaza, melyekhez valamely k N \ {j} és s k X t 1 k és s k µ t k (s k) támogatásban, melyre s j = s j. (4,2) Megjegyzés: Az X 1 j j N \ {s i } a j játékos azon stratégiáinak halmaza, melyekhez az i játékos pozitív valószín séget rendel a saját várakozása µ 1 i mellett, az i-n kívüli játékosok azon stratégiáival kapcsolatban, akik i játékos s i stratégiaválasztását gondolják. (4,3) Megjegyzés: Illusztrálandó a deníciót tekintsük a következ t: Legyen három játékosunk, akiknek két stratégiájuk lehetséges: A és B. Tegyük fel, hogy 1. játékos A stratégiája racionalizálható, és az 1. játékos µ 1 1 vélekedése pozitív valószín séget rendel a 2. és 3. játékosok (A, A) vagy (B, B) játékához. Ekkor x 1 2 = x1 3 = {A, B}. A 2. játékos µ2 2 (A) és µ2 2 (B) várakozásai igazolják stratégiaválasztását, amelyet az 1. játékos játékával kapcsolatos várakozása alapján hozott. Hasonlóan igazak µ 2 3 (A) és (B)-re. µ2 3 Ez a négy várakozás nem feltétlenül azonos például az 1. játékos várakozásaival kapcsolatban, és nem feltétlenül rendel pozitív valószín séget az A stratégiához. Az x játékos mindazon stratégiáit tartalmazza, melyekhez pozitív valószín séget rendelt. µ 2 2(A), µ 2 3(A), µ 2 2(B), µ 2 3(B). A fenti bonyolult deníciót átfogalmazva: (4,4) Definíció: Legyen G(N, S, u), ekkor s i S i stratégia racionalizálható, ha j N-re Z j S j halmaz, melyre 1. s i Z i. 2. s j Z j a legjobb válasz a j játékos µ j (s j ) várakozására, melynek támogatottsága Z j részhalmaza.

68 (4,4) Megjegyzés: Ha (Z j ) j N és (Z j ) j N kielégíti a deníciót, akkor (Z j Z j ) j N -is. Ezért a racionalizálható stratégiák halmaza a j NZ j legnagyobb részhalmaza, melyre (Z j ) j N kielégíti a deníciót. (4,1) Állítás: A fenti két deníció ekvivalens. Bizonyítás: Ha s i S i racionalizálható az els deníció szerint, akkor legyen: Z i = {s i } { t=1 x t i } és Z j = { t=1 x t i } j N \ {i}. Ha a 2 deníció igaz, akkor legyen µ 1 i = µ i(s i ) és µ t j (s j) = µ j (s j ) j N és t 2 ekkor s t j, melyet az els denícióban konstruálunk Z j részhalmazai, és eleget tesznek a kívánalmaknak. (4,5) Megjegyzés: A második denícióból világos, hogy olyan stratégia, melyet valamely kevert stratégia Nash egyensúlyban pozitív valószín séggel játszanak, racionalizálható (legyen Z j a j játékos kevert stratégiájának támogatása). (4,2) Állítás: Minden olyan stratégia, melyet valamely véges G(N, S, u) játék korrelált egyensúlyában pozitív valószín séggel játszanak, racionalizálható. Bizonyítás: válasszuk a korrelált egyensúlyt, és legyen Z i i N-re azon stratégiák halmaza, melyet pozitív valószín séggel választ i a korrelált egyensúlyban. Ekkor bármely s i Z i a legjobb válasz az S i fölötti eloszlásokra, melyeket a többi játékos azon stratégiái generálnak, melyeket annak feltevésével játszanak, hogy i s i -t játszik. Ennek az eloszlásnak a támogatása Z i részhalmaza, mivel s i racionalizálható. (4,1) Példa: Tekintsük a fogolydilemmát. 1\ 2 Koop Nem Koop Koop Nem Koop mivel van domináns stratégia, a (Nem Kooperál, Nem Kooperál), az el z állítás miatt a többi lehetséges stratégiapár nem racionalizálható. 57

69 58 4. RACIONALIZÁLHATÓSÁG

70 5. fejezet Információfüggvény Jelölés Ω = (ω 1,..., ω n ), jelölje a külvilág állapotait, melyek bizonytalanságával szembesülnek szerepl ink döntéshozatalukkor. (5,1) Példa: Két szerepl nk van, legyen Ω = {ω 1 = esni fog ma, ω 2 = borult lesz az id, ω 3 = jó id lesz} mindegyik esemény egyenl valószín (eddigi ismereteink szerint). (5,1) Definíció: Ω állapottéren Θ i : {θ i (ω) ω Ω} egy leképezés, melyre i) ω θ i (ω) ii) ha ω θ i (ω), akkor θ i (ω ) = θ i (ω), ekkor θ-t információfüggvénynek nevezzük. (5,1) Megjegyzés: a θ(ω) részhalmazok kifeszítik Ω-t. Úgy gondolkodunk, hogy θ i (ω) az i-edik játékos tudása az Ω természeti állapotról. Az i tulajdonság garantálja, hogy a játékos ismerethalmazának eleme a tényleges állapot. (ii) pedig konzisztenciakritérium; tegyük fel, hogy ω θ i (ω) és ω θ i (ω ), de ω θ i (ω). Ekkor ω állapotban ω inkonzisztens, tehát ω nem lehet tényleges természeti állapot. (5,2) Példa (folytatása): Az 1. játékos informáltsága legyen: Θ 1 = {{ω 1, ω 2 }, {ω 3 }}, azaz a játékos jól informált arról, hogy az id járás jó, de nem tud a rossz id k között különbséget tenni. (5,2) Definíció: a θ információfüggvény felosztó (particionális), ha Ω tér particiója, hogy tetsz leges ω Ω-ra, θ(ω) halmaz része annak a particiónak, melynek eleme. (5,1) Állítás: (5,1) és (5,2) deníció ekvivalens. 59

71 60 5. INFORMÁCIÓFÜGGVÉNY Bizonyítás: ha felosztó, akkor teljesül i) és ii), ha i) és ii), akkor ha ω θ i (ω) θ i (ω ), ekkor ii) miatt θ(ω) = θ(ω ) = θ(ω ), i) miatt ω Ωθ(ω) = Ω, így θ felosztó Tudásfüggvény (5,3) Definíció: E Ω eseménynek nevezzük. (5,2) Megjegyzés: egy döntéshozó, aki tudja, hogy θ(ω) E, tudja, hogy ω-ra E el fordul. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy ω állapotban a döntéshozó ismeri E-t. (5,4) Definíció: adott θ-ra i döntéshozó tudásfüggvénye K i (E) = {ω Ω : θ i (ω) E}, azaz bármely E eseményre K(E) azon állapotok halmaza, melyekben a döntéshozó ismeri E-t. (5,2) Állítás: Minden tudásfüggvény kielégíti az alábbi tulajdonságokat: 1. K(Ω) = Ω 2. ha E F K(E) K(F ) 3. ha K(E ) K(F ) = K(E F ) 4. K(E ) E 5. K(E) K(K(E)) 6. Ω \ K(E) K(Ω \ K(E)) Bizonyítás: Adódik a (5,3) és (5,4) Deníciókból. (5,3) Megjegyzés: Lehetséges a fordított út is, azaz nem az információfüggvénnyel deniálni a tudásfüggvényt, hanem fordítva: legyen ω-ban i döntéshozó információfüggvénye a következ : θ i (ω) = {E Ω : ω K i (E)}. (5,5) Definíció: (Az egyszer ség kedvéért) legyen N = 2 Egy E eseményt a játékosok közös tudásának nevezzük, ω Ω állapotban, pontosan akkor, ha ω eleme az alábbi végtelen sorozat mindegyik halmazának: K 1 (E), K 2 (E), K 1 (K 2 (E)), K 2 (K 1 (E)), etc.

72 5.1. TUDÁSFÜGGVÉNY 61 (5,4) Megjegyzés: ez azt jelenti, hogy ha a két játékos tudja E-t, akkor azt is tudják, hogy a másik tudja, etc. Szokás a fenti deníciót más formában is kimondani. (5,6) Definíció: Egy F Ω, amely magától értet d a két játékos között, ha ω F-re θ i (ω) F i-re. Egy E esemény közös tudás a játékosok között ω Ω természeti állapotban, ha F magától értet d esemény, melyre ω F E. (5,3) Példa. A második játékos információfüggvénye Θ 2 = {{ω 1 }, {ω 2 }, {ω 3 }} ebben az esetben {ω 1, ω 2 } közös tudás, ha a természeti állapot ω 1 vagy ω 2. (5,1) Lemma: Az alábbiak ekvivalensek: i) K i (E) = E. ii) E magától értet d a játékosok között. iii) E = Θ i. i Bizonyítás: Tegyük fel, hogy i) igaz, akkor ω E θ i (ω) E ebb l következik ii); iii)-b l triviálisan következik i). (5,3) Állítás: (5,5) és (5,6) deníció ekvivalens. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy E közös tudás ω-ban. Így E K i (E) K j (K i (E)). Mivel Ω véges, és eleme a végtelen regressziós láncnak, így F, melyre K i (F ) = F, így F magától értet d. Fordítva: Tegyük fel, E esemény közös tudás a (5,6) Deníció szerint. Ekkor F E K i (F ) = F K i (E) etc. és F eleme a mindegyik K i (K j (E ))- nek, így ω. (5,4) Példa. Piszkos arcok N = n játékos van egy teremben, mindenki láthatja a többiek arcát, de a sajátját nem. Legalább egy arc piszkos. Deniáljuk el ször Ω természeti állapotok halmazát. Ha n játékos van, akkor 2 n 1 a lehetséges állapotok száma (mivel legalább egy arc piszkos). Egy-egy állapot ω := (P, P, T,..., P ),

73 62 5. INFORMÁCIÓFÜGGVÉNY ahol (p = piszkos, t = tiszta), jelölje ω a piszkos arcok számát, így ω 1. Egy-egy játékos látja a többiek arcát ω i, de a sajátját nem, azaz: θ i (ω) = {p, ω i ), (t, ω i }. Minden játékos halmaza kételem, kivéve ha ω = 1. "Legalább egy piszkos arc van"? közös tudás. A játék akkor fejez dik be, ha valaki magáról tudja, hogy tiszta vagy piszkos az arca: azaz θ i (ω) = 1. Mi történik, ha senki nem emeli fel a kezét az els fordulóban? Mindenki felújítja információit, és megállapítja, hogy több mint egy piszkos arcnak kell lennie. Ha a játék (a természeti állapot) k piszkos arcot tartalmaz, akkor a játék k fordulós lesz. (5,5) Megjegyzés : A feladatból jól látható, hogy a megoldás a közös tudáson múlik. (5,5) Példa. Két seregtest egymástól távolabb táborozik, nem messze az ellenségt l. Ha külön-külön támadnak, elvesztik a csatát, együttes támadás esetén gy znek. Egyik seregrész sem akarja ezért kockáztatni az önálló támadást. Az egyik seregrész parancsnoka tárgyalásba bocsátkozott az ellenséggel. A két seregtestparancsnok a tárgyalások megkezdése el tt megegyezett, hogy ha a tárgyalások eredménytelenül zárulnak, támadnak. Ekkor a tárgyaláson részt vett parancsnok futárt küld közös támadás haditervével a másik parancsnoknak. Annak valószín sége, hogy a futárt elfogják: p, p > 0. Bekövetkezik-e a közös támadás? A 2. sereg parancsnoka megkapja az üzenetet, err l futárt kell 1.-nek küldenie, különben az nem lehet bizonyos abban, hogy 2. megkapta az üzenetet, és így nem fog támadni. Miután 1. megkapta az üzenetet, futárt kell 2.-nak küldeni, hogy megkapta az üzenetet, mert ennek hiányában 2. nem lehet biztos, és ezért nem támad, etc. Mivel egyetlen információs állapotban sem válik közös tudássá a támadás, így az elmarad. (5,7) Definíció: µ i (ω)-t egy valószín ségi mértéket S i -n (S i = j N\{i} i játékos vélekedése ω állapotban a többi játékos stratégiaválasztásáról. A fenti apparátussal fogalmazzuk újra Nash tételét: Ω a környezet, amelyben a játékosok játszanak. i) s i (ω) az i játékos stratégiája ω állapotban. S j ) az

74 5.2. ISMERET ÉS MEGOLDÁSI KONCEPCIÓ 63 ii) µ i (ω) i játékos vélekedése ellenfelei stratégiáiról. iii) θ i (ω) i játékos ismerete ω-ban. Így a stratégiahalmazt kib vítjük a vélekedések halmazával, és kapjuk az (s, µ) S M párt. (5,4) Állítás: Tegyük fel, hogy ω Ω állapotban i játékos i) ismeri a többi játékos stratégiáit: θ i (ω) {ω Ω s i(ω ) = s i (ω), ii) vélekedése konzisztens a tudásával: a µ i (ω) támogatása {s i (ω ) s i : ω θ i (ω)}, iii) racionális: s i (ω) i legjobb válasza µ i (ω)-ra. Ekkor s(ω) G Nash egyensúlya Ismeret és megoldási koncepció (5,5) Állítás: Tegyük fel, hogy ω Ω állapotban i N játékosra teljesülnek az alábbiak: 1. i ismeri a többi játékos stratégiáit: θ i (ω) {ω Ω : s i (ω ) = s i (ω) 2. vélelmei konzisztensek az ismereteivel: µ i (ω) {a i (ω ) s i : ω θ i (ω)} 3. i racionális, azaz: s i (ω) az i játékos legjobb válasza µ i (ω)-ra. Ekkor: s i (ω)) i N G játék Nash egyensúlya. Bizonyítás : 3. miatt s i (ω) i legjobb válasza vélekedése mellett, mely 1 valószín ség esemény 2. miatt {s i (ω ) s i : ω θ i (ω)} és 1. miatt a fenti halmaz s i (ω)}. (5,6) Állítás: Tegyük fel N = 2 ω Ω mindegyik játékosra teljesülnek az alábbiak: 1. ismeri a többi játékos vélekedéseit: θ i (ω) {ω Ω, µ j (ω ) = µ j (ω)} j i

75 64 5. INFORMÁCIÓFÜGGVÉNY 2. a vélekedései konzisztensek az ismereteivel: µ i (ω) {s i (ω)} 3. tudja, hogy a többi játékos racionális bármely ω θ i (ω)-ra s j (ω ) a j játékos legjobb válasza µ j (ω )-re (j i) Ekkor az (α 1, α 2 ) kevert stratégia (α 1, α 2 ) = (µ 2 (ω), µ 1 (ω)) kevert stratégia Nash egyensúly. Bizonyítás: Legyen s i i játékos stratégiája α i = µ j (ω) támogatással. Ekkor 2. miatt ω θ; (ω), melyre s i (ω ) = s i; 3.-ból következik, hogy s i i legjobb válasza µ i (ω )-re, mely 1. miatt µ i (ω). (5,7) Állítás: Tegyük fel, hogy N = 2 és ω állapotban közös tudás hogy: 1. a játékosok vélekedései konzisztensek ismereteikkel, 2. a játékosok racionálisak. Ekkor s i (ω) eleme a dominált stratégiák eliminációjának, végeredményének az Si -nek Bayes-i játékok Az eddigi jelölésekkel adottak n i N játékosok S i stratégiákkal, valamint Ω állapothalmaz. Tegyük fel, hogy mindegyik játékos rendelkezik valamilyen valószín ségeloszlással Ω fölött, az ω események bekövetkeztét illet en. (5,8) Definíció: Jel (Signal)-függvény: jelölje τ i ; τ i (ω) az i játékos ω állapotbeli döntés el tti ismereteit. Jelölje T i az összes lehetséges τ i (ω) érték halmazát, ekkor T i -t az i játékos típusai halmazának nevezzük. Feltesszük, hogy Ha i játékos t i T i jelzést észleli, τ 1 i (5,9) Definíció: Egy Bayes-i játék. 1. i N N <, p i (τ 1 i (t i )) > 0 t i T i. (t i ) a posteriori hit.

76 5.3. BAYES-I JÁTÉKOK ω Ω Ω <, 3. i N s i stratégiák, 4. i T i jel (signal)-halmaz és τ i Ω T i jel (signal)-függvény, 5. p i eloszlás Ω-n i játékos a priori vélekedése p o (τ 1 i (t i )) > 0 t i T i, 6. i játékosra i preferencia reláció az S Ω-n. (5,6) Megjegyzés: A fenti deníció megengedi, hogy az egyes játékosok különböz vélekedéssel rendelkezzenek a természeti állapotról. S t, ha a természeti állapotok közé soroljuk a többiek ismeretét, a fenti deníció alkalmas olyan játékok elemzésére is, amikor az egyes játékosok a többiek ismereteivel nincsenek tisztában. (5,10) Definíció: Bayes-i játékok Nash egyensúlya Adott G = (N, Ω, S, T, Θ, )-re a játék Nash egyensúlyán a következ t értjük: 1. (i, t i ) i N, t i T i, 2. (i, t i ) párra adott s i stratégiahalmaz, 3. s (i,ti ) s pontosan akkor, ha L i (s, t i ) i L i (s, t i ), ahol L i eloszlás S Ωn: ((s (j, τ j (ω))) j N, ω) θ i (ω) θ i (τ 1 i (t i )) ha ω τ 1 (t i ) 0 különben (5,7) Megjegyzés: A Bayes-i játékok Nash egyensúlyában minden játékos a számára legjobb stratégiát választja az adott szignál és a többi játékosról alkotott adott szignál melletti vélekedés mellett..

77 66 5. INFORMÁCIÓFÜGGVÉNY

78 6. fejezet Ismételt játékok Egyes stratégiákat szokás elnevezni; azokat a stratégiákat, amelyeknél a többiek lépéseit l függetlenül játszunk, feltétlen stratégiának nevezzük. Ezek lehetnek állandóak (azaz mindig ugyanazt játsszuk) és rotációsak, ahol valamilyen el re rögzített szabály szerint változtatjuk stratégiáinkat (például két stratégia esetén állandóan cserélgetünk). Azokat a stratégiákat, melyek a másik játékos(ok) el z lépéseit l teszik függ vé a saját rákövetkez lépést, feltételes stratgéiáknak szokás nevezni. Ezek között szokás elkülöníteni a ravasz (trigger) stratégiákat és ezeken belül a grim, a Tit for Tat és a répabot stratégiákat. A ravasz stratégia addig kooperatív, amíg a többiek is, utána egy büntetési periódust iktat be. A grim stratégia büntetési szakasza végtelen, azaz, ha a kooperáció megszakad, akkor végleg, a Tit for Tat stratégia esetén, ha a partnerünk nem kooperál, akkor mi sem, de ha a partner elkezd kooperálni, akkor mi is. A répabot stratégia esetén a büntetés egy periódus hosszú Végtelenszer ismételt játékok Azokat a játékokat, amelyeket csak egyszer játszanak le, egyszer lejátszott játékoknak (one shot game), azokat a játékokat, amelyeket egymás után többször játszunk le, ismétl déses játékoknak nevezzük. Szokás az így el állt játékot szuperjátéknak is nevezni. Tekintsük a fogolydilemmát. A végtelen játékok esetén az eredeti játékból származtatjuk az új szuperjáték stratégiahalmazát és kizet függvényeit. (6,1) Definíció: Legyen s i (t) az i játékos stratégiája a t-dik periódusban; legyen s(t) = (s 1 (t),..., s n (t)) stratégiavektor a t-dik periódusban, legyen h(t) a stratégiavektorok sorozata a t periódusig, azaz h(t) = (s(1),..., s(t)). 67

79 68 6. ISMÉTELT JÁTÉKOK (6,1) Megjegyzés: Így h(t) tartalmazza a t periódusig megtett összes lépést. (6,2) Megjegyzés: a stratégia ekkor egy leképzés a t {1, 2,...} és az összes lehetséges történetb l. (6,2) Definíció: Legyen i játékos kizet függvényeinek sorozata periódusonként v i = (v i (1),... v i (t),...). Ekkor az i játékos kizet függvénye a szuperjátékban u i (v i ). (6,3) Megjegyzés: u i (v i )-re általában két meghatározás szokásos: 1. u i (v i ) = δ t 1 v i (t), t=1 ahol δ az úgynevezett diszkonttényez (kés bb pontosan deniáljuk). A diszkonttényez jelenthet id preferenciát vagy folytatási valószín séget. 2. Szokás az átlagos hasznosság meghatározás: ( ) 1 u i (v i ) = lim T v i (t). T T t= Végtelen játék diszkontálás nélkül (6,3) Definíció: megengedhet kizetések halmaza C = {w w az egyszer játék kizetéseink konvex burkolója}. (6,1) Példa Tekintsük a következ fogolydilemma játékot: ekkor \ B Koop Nem Koop Koop (3,3) (0,4) Nem Koop (4,0) (1,1)

80 6.2. VÉGTELEN JÁTÉK DISZKONTÁLÁS NÉLKÜL 69 Ebben az esetben mindegyik játékos az N C stratégiát választva legalább 1 egység nyereményhez jut. Így ennél kevesebbel egyikük sem elégszik meg. Az ismétl déses játékra is deniáljuk az i játékos minimax kizetését: (6,4) Definíció: u m i := min max u i (δ). (δ 1,δ i 1,δ i+1 ) (6,4) Megjegyzés: az i játékos ezt a kizetést mindenképpen tudja garantálni, egyszer en a legjobb választ játszva. (6,5) Definíció: Legyen: D := {w w c és w i u m i i} D a lehetséges és individuálisan racionális kizetés. (6,2) Példa Az el z példát folytatva: δ i

81 70 6. ISMÉTELT JÁTÉKOK (6,6) Definíció: E = {w létezik Nash egyensúly a w átlagos kizetéssel.} (6,1) Tétel (folklór*). Egy egyszer játékot ismételjünk végtelenszer. Tegyük fel, hogy a játékosok az átlagos haszon kizet függvényt alkalmazzák. Ekkor: E = D. Bizonyítás: A bizonyítás 3 lépésb l áll: 1. lépés: E D; E és D deníciójából triviálisan következik. 2. lépés: Tekintsünk egy tetsz leges olyan stratégiasorozatot, mely w D átlagos kizetést eredményez. Ekkor olyan tiszta Nash egyensúlya a szuperjátéknak, ahol a stratégiák e sorozata egyensúlyi. Ezt konstruktív úton látjuk be: Tekintsük a következ stratégiákat. Ha a játék t 1 perióduson át megfelelt h (t)-nek, akkor folytassuk t periódusban is. Ha nem volt azonos h (t)-vel, akkor vizsgáljuk meg h(t) történetet, és tekintsük az els eltérést. Legyen ez i, akkor j i-re a játék s m i = arg min max u i(δ). (δ 1,...,δ i 1,δ i+1,...δ N ) Belátjuk, hogy ez Nash egyensúly. Ha a játékosok egyensúlyi stratégiájukat választják, az eredmény h, és az átlagos kizetés i-re w i u m i (mivel w D). Ha i eltért, akkor feltéve, hogy a többi játékos egyensúlyi stratégiát játszik, i számára létezik kedvez bb, mint u m i minden periódusban. Ez azt jelenti, hogy i átlagos kizetése nem nagyobb, mint u m i. Így az eltérés nem kedvez i-nek. 3. lépés: w D-re stratégiasorozat, melynek átlagos kizetése: w. (6,5) Megjegyzés: A tétel tanulsága: ami szerz déssel elérhet, elérhet önmagát kier szakoló egyezséggel is. Az egyensúlyi pálya, amit lejátszanak, tárgyalások útján határozható meg. Természetes, hogy a játékosok az eciens peremig el akarnak jutni, ehhez egyezségek kellenek, az gyakran a tárgyalások során alakul ki, hogy hova jutnak el Nash egyensúly diszkontálással Most azt az esetet vizsgáljuk, amikor a játékosok a kizet függvény konstruálása során diszkonttényez t vesznek gyelembe. Azaz: u i (v i ) = δ t 1 v i (t). t=1

82 6.3. NASH EGYENSÚLY DISZKONTÁLÁSSAL 71 Az egyszer ség kedvéért tegyük fel, hogy δ minden játékos számára ugyanaz: δ (0, 1). (6,6) Megjegyzés: δ-t interpretálhatjuk úgy is, mint az id preferencia-tényez ρ és a λ játék folytatásának valószín sége annak a valószín sége, hogy ha a játék t periódusig tartott, akkor folytatódik, azaz eléri (t + 1)-t, így δ = ρλ. Tegyük fel, hogy a játék T-ben befejez dött, és az elért kizetés zérus (ez csak normalizálás kérdése). Ekkor: [ k=1 prob(t = k) [ λ k 1 (1 λ) k=1 (λρ) t 1 v i (t) t=1 ] k ρ t 1 v i (t) t=1 ] k ρ t 1 v i (t) (6,3) Példa: A már vizsgált fogolydilemmát elemezzük a fenti értelmezési keretben: Játékosaink kövessék a következ stratégiákat: 1 periódusban kooperáljanak (C) t > 1 periódusban { NC ha h(t) legalább egy NC tartalom C egyébként δ legyen a diszkonttényez. A fenti stratégia Nash egyensúly: ha a játékosok kitartanak a stratégia mellett, a kizetés: A diszkontált kizetés: t=1 t=1 v i (t) = 3 t. 3δ t 1 = 3 1 δ. Vizsgáljunk most egy másik stratégiát. Az els játékos válassza az 1. periódusban az NC (nem kooperatív) stratégiát. Ez a játékos tudja, hogy a másik NC-t fog játszani ekkor (hiszen ismeri a stratégiáját). Így számára is csak az N C stratégia választása marad. Így a kizet függvény: 4 t = 1 v i (t) = 1 t > 0

83 72 6. ISMÉTELT JÁTÉKOK ekkor a diszkontált kizetése mivel: 4 + δ t 1 = 4 + δ 1 δ t=2 3 1 δ 4 + δ 1 δ ha δ 1/3. Azaz csak megfelel en nagy δ kényszeríti ki a kooperációt. (6,7) Megjegyzés: Ha δ 1, akkor fenntartható az egyénileg racionális kooperatív stratégia. Ha δ 1, akkor viszont a kizetések korlátlanok. Alakítsuk át a kizet függvényt: u i (v i ) = (1 δ) δ t 1 v i (t) τ=1 ekkor a kizetést úgy tekintjük, mint súlyozott átlagot: u i (v i ) = t v i (t) t=1 t = (1 δ)δ t 1 és ahol t = 1. Ekkor az elérhet diszkontált kizetések halmaza C. Ha δ 1, akkor ez átlagos kizet függvény kritériumhoz konvergál. Ebben az esetben (6,2) Tétel (folklór) w D w i > u m i i δ < 1, hogy δ (δ, 1) w kizet vektor, valamely Nash egyensúlyhoz. t=1 Bizonyítás: Az el z folklórtétel bizonyításához hasonló Részjáték Az az egyensúly, amit eddig konstruáltunk, nem részjáték-kielégít. Az ellenfél kényszerítése nem hihet, hiszen ha eltérünk az optimális stratégiától, magunk is rosszul járunk. (6,1) Állítás: Az ismételt játék Nash egyensúlya részjáték-kielégít. Bizonyítás: A konstruált stratégiasorozat, a részjátékra is Nash egyensúlyi, hiszen a részjáték a játék végtelensége miatt ekvivalens az eredeti játékkal.

84 6.5. NASH VISSZACSAPÁS Nash visszacsapás (6,7) Definíció: A játékosok a kooperációt úgy próbálják kikényszeríteni, hogy az elemi játék egyensúlyát ismétlik meg. Tekintsünk egy elemi játékot, melynek van legalább egy Nash egyensúlya. Deniáljunk valamely Nash egyensúlyra s a következ t: σ N i (t, h(t)) = s i t, h(t) Szeretnénk egy egyensúlyi sorozatot h kikényszeríteni: Próbáljuk a következ t: ha a t 1 perióduson keresztül h történt, folytassuk, ha nem, akkor válasszuk a fenti σ-t. (6,2) Állítás: A fenti konstrukciójú stratégia részjáték-egyensúlyi. Bizonyítás: Minden Nash egyensúlyi stratégia egyben részjáték-egyensúlyi is végtelen játékra. A σ Nash egyensúly bármely h egyensúlyi történet esetén. Mivel bármely részjáték ekvivalens az eredetivel, ezért a konstrukció Nash egyensúlyt eredményez. (6,4) Példa: Módosítsuk az eddigi fogolydilemma példa kizet mátrixát: A \ B C NC C (3,3) (0,4) NC (4,1) (1,0) E játék Nash egyensúlya a (NC, C) stratégiapár. Ez A-nak a maximális ki- zetést adja. Így lehetetlen 1 játékost bármilyen más stratégia választására kényszeríteni Véges ismétl dés játékok Azt gondoljuk, hogy a véges ismétl dés játékok tulajdonképpen részei a végtelen ismétl déses játékoknak. Ez nincsen így. Számos esetben kihasználtuk, hogy a részjáték végtelen. (6,3) Tétel: Legyen G egy véges ismétl déses játék. Tegyük fel, hogy elemi játéknak van Nash egyensúlya, és az egyértelm. Ekkor részjáték-kielégít Nash egyensúlya G-nek, mely tartalmazza az elemi játék egyensúlyát.

85 74 6. ISMÉTELT JÁTÉKOK Bizonyítás: a játék periódus számára történ indukcióval. T = 1 az ismételt játék az elemi játék, aminek van egyértelm Nash egyensúlya. Tegyük fel, hogy az állítás igaz T 1-ig. Tekintsük a T-szer ismételt játékot. Minden olyan részjáték, amelyik a második periódusban kezd dik, tartalmaz (T 1)-szer ismételt játékot, amelynek van részjáték-kielégít Nash egyensúlya. Így az els periódus cselekvései nem befolyásolják a következ periódusokat. Ezért az els periódus egyensúlya is a legjobb válaszokból áll. Ez pedig azt jelenti, hogy az els periódusban is az elemi játék Nash egyensúlya jön létre. (6,5) Példa: Vizsgáljuk az alábbi kizet függvénnyel megadott játékot: A \ B b 1 b 2 b 3 a 1 (4,4) (0,0) (10,5) a 2 (0,0) (3,3) (0,0) a 3 (5,0) (0,0) (1,1) A játék szimmetrikus. A játéknak két Nash egyensúlya van: (a 2, b 2 ) és (a 3, b 3 ), (a 1, b 1 ) Pareto legjobb, de nem Nash egyensúly. Játsszuk le a játékot kétszer diszkontálás nélkül a következ stratégiával: az 1. periódusban a 1 a 2 ha az 1 periódusbn (a 1, b 1 ) a 2. periódusban a 3 különben Ez a stratégia világosan Nash egyensúly és részjáték-kielégit is, hiszen mindegyik valódi részjátékra Nash egyensúlyt eredményez. (6,4) Tétel (folklór) Bármely véges ismétl dés játék esetén, ha az alapjátéknak van Nash egyensúlya, és az egyértelm, akkor az ismételt játéknak is van egyértelm részjáték-kielégít Nash egyensúlya. Bizonyítás: Indukcióval: t = 1 az ismételt játék az alapjáték, így a feltétel miatt az állítás igaz. Tegyük fel, hogy az állítás igaz t 1-re, ekkor minden t-edik periódusban induló játék tartalmazza a t 1-szer ismételt játékot, melynek van egyértelm egyensúlya. Ez az egyensúly legjobb válasz az alapjátékban, így ennek részjátékkielégít egyensúlynak kell lennie az egész játékra. (6,5) Tétel: (Selten) Ha véges ismétl déses játék alapjátékának van egyértelm egyensúlya, akkor ez az egyensúly a játék megoldása minden periódusban.

86 6.7. ALKALMAZÁS Alkalmazás Ismételt Cournot-játék N = 2, a vállalatok a kibocsátást szabályozzák. A kibocsátás költsége konstans: c. Az ár: q(p ) = a bq. Legyen q m = a c 3b a monopoltermelés és u m = (a c)2 4b a monopolhaszon. Legyen q c = a c 3b a duopólium termelése és u c = (a c)2 9b az egyes cégek haszna. (6,8) Megjegyzés: a Cournot-egyensúly egyértelm, a véges játékokra lehetetlen a kooperáció, ezért végtelen játékot vizsgálunk Nash visszacsapás Legyen: h(t) minden cég qm 2 -t termel minden periódusban. Legyen δ a diszkonttényez mindkét cég számára. Az egyensúlyban mindkét cég kizetése: τ=1 u m 2 δt 1 = 1 1 δ (a c) 2. 8b Tegyük fel, hogy az egyik cég qm 2 kibocsátására a másik cég olyan stratégiát 9 (a c) választ, hogy az maximalizálja protját. Ekkor a maximum prot: 2 64 b. Minden ezt követ periódusban a fenti cég kapja továbbra is a statikus Cournot hasznát u c -t. Így az összes haszna: 9 64 (a c) 2 b + δ 1 δ Ekkor az eredeti stratégia egyensúly ha: (a c) 2. 9b ebb l 9 64 (a c) 2 b + δ 1 δ (a c) 2 9b δ δ (a c) 2 8b (6,9) Megjegyzés: A fenti példa rámutat arra, hogy a kooperáció alkalmas δ- mellett fenntartható.

87 76 6. ISMÉTELT JÁTÉKOK Répa és bot stratégia (6,8) Definíció: A szimmetrikus répabot egyensúlya egy Cournot-játéknak két kibocsátási szinttel jellemzett, ahol: q L < q H. u i (q i, q j ) jelölje az i cég protját q i, valamint q j kibocsátás mellett. Tegyük fel, hogy a q L -t és q H -t úgy választottuk, hogy u i (q L q L ) > u i (q H, q H ). Deniáljuk a stratégiát a következ módon: 1. s Rb (1, h(1)) = q L azaz kezdjünk q L -lel. 2. ha s Rb (t 1, h(t 1))-t deniáltuk minden lehetséges történetre, akkor q L ha q i (t 1) = σ(t 1, h(t 1)) s Rb (t, (h(t 1), q(t 1))) q H különben azaz a kibocsátás szintje az el z játék kibocsátásától függ. Ha a cégek az el írt mennyiséget termelték az el z periódusban, akkor a következ kibocsátás alacsony, máskülönben magas. (6,9) Megjegyzés: Ha mindkét játékos ezt a stratégiát választja, akkor a játék lefutása a következ : Az egyensúlyi történet esetén (q L, q L ) végig ezt játsszák. Ha valaki eltér egy t 1 periódusban ett l, akkor a következ periódusban (q H, q H ) következik, majd visszatérnek az alacsony kibocsátáshoz. Ez a stratégia bizonyos értelemben a büntetésben kooperatív, hiszen q H -t játszik. Ha a büntetési id szak után sem tér vissza az alacsony kibocsátás, akkor a büntetés folytatódik. (6,3) Állítás: δ > 1/2-re a kooperáció kikényszeríthet. Bizonyítás: A stratégia konstrukciója miatt két eltérést kell vizsgálni: q L -re q H -ra s RB (t, h(t)) = q L ; s RB (t, h(t)) = q H u i (BR i (q L ), q L ) u i (q L, q L ) δ[u i (q L, q L ) u i (q H, q H )] u i (BR i (q H ), q H ) u i (q H, q H ) δ[u i (q L, q L ) u i (q H, q H )]

88 6.7. ALKALMAZÁS 77 A répa a duopólium-kibocsátás, a bot a versenykibocsátás: így q L = a c 4b q H = a c 2b behelyettesítve: adódik: δ 1/2. a c 16b (a c) 2 64b (a c)2 δ 8b (a c)2 δ 8b (6,10) Megjegyzés: mivel 1/2 < 9/17 ez a stratégia már alacsonyabb δ-ra is hatékony, mint a Nash visszacsapás.

89 78 6. ISMÉTELT JÁTÉKOK

90 7. fejezet Evolúciós egyensúly Az evolúciós játékok mögött a biológiai evolúció koncepciója húzódik, azaz az egyedek biológiailag meghatározott módon követik az egyik avagy másik stratégiát, és túlélési valószín ségük különböz mérték az egyes stratégiáknak megfelel en. Közgazdasági példával élve a gazdasági élet szerepl i tanulnak az egyes eseményekb l, és ennek megfelel en korrigálják magatartásukat. A korrekciós mechanizmus lassabb azonban, mint a játék üteme. A következ kben a fentiek nagyon egyszer esetét vizsgáljuk: Legyen G szimmetrikus játék, azaz N = n, S i = S j = {s 1,..., s n } i, j. Tegyük fel továbbá, hogy az egyes játékosok megoldásaikat csak a tiszta stratégiák körében keresik. A játékosok a saját vélekedéseikb l tanulnak. Az evolúciós játékok két koncepcióra épülnek: mutáció, szelekció. A mutáció a rendszerbeli zaj, ez a zaj kitéríti mindig valamelyik játékost a követett stratégiájából, azaz perturbálja a problémát. A szelekció az egyes kedvez bb kizetés stratégiák fennmaradását jelenti Szelekció a válasz dinamikája A következ kben tegyük fel, hogy a játékban nincs mutáció. Jelöljük azon n játékosok arányát x i -vel, akik s i stratégiát játszanak: i=1 x i = 1. Ekkor s i stratégia átlagos kizetése u(s i, x), ahol x = (x 1,..., x n ), (mivel a játék szimmetrikus u 1 (s i, s j ) = u 2 (s j, s i ) = u(s i, s j )) az összes stratégia átlagos 79

91 80 7. EVOLÚCIÓS EGYENSÚLY kizetése. n x i u(s i, x) = u(x, x) i=1 Az s i stratégia jobb, mint az átlag, akkor u(s i, x) > u(x, x). (7,1) Definíció: A szelekciós mechanizmus: x i arány pontosan akkor növekszik, ha s i jobb mint az átlag, azaz: sgn(ẋ i (t)) = sgn[u(s i, x) u(x, x)]. (7,2) Definíció: A szelekció dinamikája: ẋ i x i = u(s i, x) u(x, x) ha x i = 0 t = 0-ban, akkor legyen x i = 0 minden id periódusban, ha senki sem játssza s i stratégiát, akkor ez így is marad. (7,1) Állítás: n i=1 x i = 1 minden id periódusban. Bizonyítás: ẋi = x i u(s i ; x) x i u(x, x) = u(x, x) u(x, x), így x i = const, mivel x i = 1 kiinduláskor ezért const = 1. (7,3) Definíció: Egy σ stratégiát stabil állapotnak nevezünk, ha x i = σ(s i )-re dx dt = 0. (7,2) Állítás: Ha σ stratégia a szimmetrikus kevert Nash egyensúly, és mindegyik játékos játssza, akkor stabil állapot. Bizonyítás: A Nash egyensúlyban minden játékos indierens stratégiái támogatásában. Így: u(s i, x) = u(x, x). (7,1) Példa: Tekintsük a következ játékot: 1 \ 2 s 1 2 s 2 2 s 1 1 (0,0) (1,1) s 1 2 (1,1) (0,0)

92 7.1. SZELEKCIÓ A VÁLASZ DINAMIKÁJA 81 ẋ s1 x s1 = s s2 2x s1 x s2 = (1 x s1 )(1 2s s1 ). Könnyen látható, hogy ẋ s1 > 0 ha 0 < x s1 < 1/2 és ẋ s1 < 0 1/2 < x s1 < 1, ebb l adódik x s1 = 1/2 stabilitása. (7,4) Definíció: Egy "stabil" állapot stabil, ha ε > 0-hoz δ > 0 hogy ha a folyamat δ távolságra indul a "stabil" állapottól, akkor mindig ε tartományban marad. (7,5) Definíció: Egy σ "stabil" állapot aszimptotikusan stabil, ha δ > 0, hogy a folyamat σ-hoz konvergál, ha legfeljebb δ távolságra indul az egyensúlyi állapotból. (7,6) Definíció: Egy σ "stabil" állapot globálisan stabil, ha a folyamat a "stabil" állapothoz konvergál bármely kezd állapotból, ahol x i > 0 s i -re. (7,1) Tétel: Ha a "stabil" állapot stabil, akkor Nash egyensúly. Bizonyítás: indirekt bizonyítjuk. Ha nem Nash egyensúly, akkor s i, melyre u i (s i, σ) u(σ, σ) = k > 0. Ekkor ε > 0, hogy α-ra ε-nál kisebb távolságra: Ebb l: u(s i, x) u(s i, σ) < k/4 és u(x, x) u(σ, σ) < k/4. u(s i, x ) u(x, x) > k/2. Mivel σ stabil, ezért ha x σ-hoz elég közel van, konvergál. Így x(0) = (1 1/2δ)x + 1/2δs i -vel számolva dx i dt = x k i(u(s i, x) u(x, x)) x i 2 δ/2k 2 Ez ellentmondás. (7,2) Példa: tekintsük a k papírolló játékot. ebb l x(t). K P O K (0,0) (1,1) (1,1) P (1,1) (0,0) (1,1) O (-1,1) (1,-1) (0,0)

93 82 7. EVOLÚCIÓS EGYENSÚLY Vizsgáljuk x K és x P arányokat x O (1 x K x P ) u(x, x) = x K [ x P + x O ] + x P [x K x 0 ] + x 0 [ x K + x P ] = 0 ẋ K x K = x P + x O ẋ P x P = x K x O A kevert stratégia Nash egyensúly (1/3s K, 1/3s P, 1/3s O ) az egyedüli "stabil" állapot. Némi vizsgálat után adódik, hogy ez nem stabil Mutáció (7,7) Definíció: Az x állapot evolúcióra stabil halmaz (ESS), ha y x ε, melyre: u(x, (1 ε)x + εy) > u(y, (1 ε)x + εy) 0 < ε < ε. (7,1) Megjegyzés: a stabil halmaz "immúnis" mutációra, hiszen a mutáció kizetése alacsonyabb. (7,3) Állítás: x ESS pontosan akkor, ha y x vagy: 1. u(x, x) > u(y, x) vagy 2. u(x, x) = u(y, x) és u(x, y) > u(y, y) (7,4) Állítás: Ha x ESS, akkor Nash egyensúly. Bizonyítás: Egyszer en adódik a denícióból. (7,5) Állítás: Ha x szigorú Nash egyensúly, akkor ESS. Bizonyítás: Egyszer en következik a denícióból. (7,3) Példa: Tekintsük a fogolydilemma játékot: a fenti két állítás miatt a dezertálás stratégiapár lesz az ESS-is. (7,4) Példa: Tekintsük a galamb héjajátékot: a kevert stratégia Nash egyensúly a fenti állítások miatt az ESS.

94 8. fejezet Kooperatív játékok átvihet nyereménnyel Az eddig szokásos jelölésekkel élve legyen G(N, S, u) egyszer játék. (8,1) Definíció: a játékosok egy C 1 N k halmazát koalíciónak nevezzük C 1 {i 1,..., i c1 } (8,1) Megjegyzés: A C koalíció egyetlen játékosnak számít a játékban. A legrosszabb eset a C koalícióban részt vev játékosok számára az, ha a többi játékos összefog ellenük, és egy C 2 koalícióba tömörül, ekkor egy kétszemélyes játékot kapunk: C 1 C 2 = N C 1 C 2 =. (8,2) Definíció: Ha a G játék játékosai rendre C 1,..., C n koalícióba tömörülnek C i C j = C i = N, akkor a C k = {i 1k... i nk } koalíció stratégiahalmaza a i S i1k... S ink Descartes szorzat kizet függvénye a k u ij. j=1 A továbbiakban vizsgáljuk a két koalíciós esetet, azaz a C és az N \ C koalíciókat. Ekkor a kétszemélyes játékoknál szokásos fogalmakat újra bevezethetjük. (8,3) Definíció: Legyen G(N, S, u) kooperatív játék, ekkor: legyen m 1 = max min u 1 (s 1, s 2 ) s 1 s 2 m 2 = max s 2 83 min s 1 u 2 (s 1, s 2 )

95 84 8. KOOPERATÍV JÁTÉKOK ÁTVIHETŽ NYEREMÉNNYEL (8,4) Definíció: Egy kétszemélyes játék karakterisztikus függvényén a lehetséges halmazhoz rendelt maximin értéket értjük. A karakterisztikus függvényt ν-vel jelöljük és ν( ) = 0. (8,2) Megjegyzés: Kétszemélyes zérus összeg játék esetén a maximin és a minimax megegyezik (lásd: nyeregpont), nem zérus összeg játék esetén pedig a maximin a biztosan megszerezhet kizetés. (8,3) Megjegyzés: (8,1) Állítás: ν(n) = max s i S i [ n ] u i (s 1,..., s n ) i=1 i = 1,..., n. ν(m M ) ν(m) + ν(m ) M, M N, M M =. Bizonyítás: triviálisan adódik a denícióból. (8,2) Állítás: k M k N és M k M j = j k, akkor: ( ) ν M k k k ν(m k ). Bizonyítás: Teljes indukcióval az el z állításból adódik. (8,1) Példa: Három játékos snóblizik, ha az eldugott pénzérmék: 1. páros számút dugott el, 2. páros számút dugott el, 3. páros számút dugott el akkor senki sem zet 1. páros számút dugott el, 2. páros számút dugott el, 3. páratlan számút dugott el, akkor 3. zet 1.-nek és 2.-nak 1-1 forintot 1. páros számút dugott el, 2. páratlan számút dugott el, 3. páratlan számút dugott el, akkor 1. zet 3.-nak és 2.-nek 1-1 forintot 1. páros számút dugott el, 2. páratlan számút dugott el, 3. páros számút dugott el, akkor 2. zet 1.-nek és 3.-nak 1-1 forintot 1. páratlan számút dugott el, 2. páros számút dugott el, 3. páros számút dugott el, akkor 1. zet 2.-nak és 3.-nak 1-1 forintot 1. páratlan számút dugott el, 2. páros számút dugott el, 3. páratlan számút dugott el, akkor 3. zet 1.-nek és 2.-nak 1-1 forintot

96 1. páratlan számút dugott el, 2. páratlan számút dugott el, 3. páros számút dugott el, akkor 2. zet 1.-nek és 3.-nak 1-1 forintot 1. páratlan számút dugott el, 2. páratlan számút dugott el, 3. páratlan számút dugott el, akkor senki sem zet Így a kizet függvény 85 ekkor 3 s 3 1 s \ 2 s 2 1 s 2 2 s 2 1 s 2 2 s 1 1 (0,0,0) (1,2,1) (1,1,2) (2,1,1) s 2 1 (2,1,1) (1,1,2) (1,2,1) (0,0,0) u 1 (s 1 1, s 1 2, s 1 3) = u 1 (s 2 1, s 2 2, s 2 3) = 0 u 1 (s 1 1, s 1 2, s 1 3) = u 1 (s 1 1, s 2 2, s 1 3) = u 1 (s 2 1s 2 2, s 1 3) = u 1 (s 2 1, s 1 2, s 1 3) = 1 u 1 (s 2 1, s 1 2, s 1 3) = u 1 (s 1 1, s 2, s 2 3) = 2 Hasonlóan u 2 és u 3 -ra. Ha koalíciót alkot 1. ellen, akkor 1 \ 2 3 s 1,1 s 1,2 s 2,1 s 2,2 s 1 (0,0) (1,1) (1,1) (2,2) s 2 (2,2) (1,1) (1,1) (0,0) Az 1-re s 1 és s 2 szimmetrikus, ezért ν(1) = 0 hasonlóan a többi játékosra, azaz ebben az esetben nem érdemes koalíciót kötni. (8,5) Definíció: Egy karakterisztikus függvénnyel megadott játék Egy G játékot karakterisztikus függvénnyel megadott játéknak nevezünk, ha adott ν(m) valós érték függvény M N-re. (8,6) Definíció: Egy karakterisztikus függvénnyel megadott játékot konstans összeg nek nevezünk, ha: ν(m) + ν(n M) = ν(n) M N-re. (8,4) Megjegyzés: a fenti konstansösszeg ség fogalom független a korábbiakban használatostól, azaz a normál alakban megadott játéknál használható! A kett között semmilyen kapcsolat nincs!

97 86 8. KOOPERATÍV JÁTÉKOK ÁTVIHETŽ NYEREMÉNNYEL (8,1) Tétel: Legyen ν az N részhalmazain deniált valós érték függvény, melyre: 1. ν( ) = 0 2. M, M N M M = : ν(m) + ν(m ) ν(m M ) akkor G, melynek ν a karakterisztikus függvénye. 3. Ha M N-re: ν(m) + ν(n \ M) = ν(n) is igaz, akkor G konstans összeg játék, melynek ν karakterisztikus függvénye. Bizonyítás: (SzépForgó alapján): Megkonstruáljuk G-t. Legyen: ν, melyre 1. és 2. teljesül. Legyen G, ahol S i az M N mindazon részhalmazaiból áll, ahol i M. A játékos stratégiát úgy választ, hogy kiválaszt egy M halmazt. Jelölje ezt s M. Ekkor a kizet függvény legyen a következ : { 1 M i ν(m i) ha M j = M i j M i M i s i u i (s M1,..., s Mn ) = ν i ({i}) egyébként (i = 1,..., n) Az egyszer ség kedvéért nevezzük az i játékost az [s M1,..., s Mn ] stratégia n-esre nézve kitüntetettnek, ha M j = M i minden j M i -re. Ellenkez esetben nem kitüntetett. Legyen ν az el bb deniált G játék karakterisztikus függvénye és M N tetsz leges. Igazolni fogjuk, hogy ν(m) = ν(m) minden M N-re. Az M = esetben nyilván ν(m) = ν(m) = 0. Legyen M, és tegyük fel, hogy M j = M minden j M-re, azaz minden j M játékos az s M stratégiát választotta. Tekintsük ekkor a G M = S j, S k ; u j, j M k N M j M j N M (kétszemélyes) koalíciós játékot. Ebben a játékban az s Mj (j M) stratégiák az M-be tartozó játékosok egy s M stratégiáját képezik. Legyen s L az N M koalíciójátékosok egy tetsz leges stratégiája. Ekkor a kizet függvények értelmezése alapján fennáll j M u j (s M, s L ) = j M u k 1 ν(m) = ν(m). M Nyilvánvalóan fennáll a ν(m) ν(m) egyenl tlenség a G M értékére. játék ν(m)

98 Az N \M koalíciót tekintve itt is tegyük fel, hogy minden k N \M-re M k = N M, azaz minden k N M játékos az s N M stratégiát választja. Legyen s L ez a közös stratégia. Legyen s M az M koalíció egy tetsz leges stratégiája. Legyen továbbá j M egy kitüntetett játékos az (s M, s L ) stratégia n-esre vonatkozóan (ugyanis s M M számú stratégiát s L pedig N M számú egyforma stratégiát jelent), és legyen r M j tetsz leges. Ekkor szükségképpen r M, ugyanis ha r N M lenne, akkor az s L stratégia értelmezése szerint M r = N M és így M j = M r = N M lenne, ami azonban j M j (j M) miatt lehetetlen. Ebb l következik, hogy ha j M kitüntetett játékos az (s M, s L ) stratégia n-esre, akkor M j M. Világos továbbá, hogy ha j 1, j 2 M kitüntetett játékosok s (M,L )-ra nézve, akkor M j1 és M j2 vagy azonosak, vagy diszjunkt halmazok. A mondottak alapján az M halmaz felbontható diszjunkt halmazok összegére: M = M j1 M j2... M jα {r 1 }... {r β }, ahol a j 1,..., j α játékosok kitüntetett játékosok, az r 1,..., r β játékosok pedig nem kitüntetettek (M, L )-ra nézve. Az M koalícióban részt vev játékosok kizet függvénye a következ képp alakul: u j (s (M, s L )) = ν(m j1 ) ν(m jα ) + ν{r 1 } ν{r β }. j M Ez az érték azonban a tétel b) feltétele következtében nem nagyobb ν(m)- nél. Ebb l pedig azonnal látható a ν(m) ν(m) egyenl tlenség. Minthogy M tetsz leges halmaz volt, a korábbi egyenl tlenséggel együtt ν(m) = ν(m) adódik minden M N-re. Rátérünk a tétel második állításának igazolására. Feltevésünk szerint fennáll a ν(m)+ν(n \M) = ν(n) egyenl ség minden M N-re. A tétel els részéhez deniált kizet függvények a tétel második részének bizonyításához nem megfelel ek. Ehhez új kizet függvényeket adunk meg, amelyekben felhasználjuk az el z ket is: u i(s M1,..., s Mn ) = u i (s M1,..., s Mn ) + 1 n (i = 1,..., n). ( ν(n) 87 ) n u i (s M1,..., s Mn ) Azonnal látható, hogy n u i = ν(n), azaz az új kizet függvényekkel konstans i=1 összeg (koalíciós) játék áll el. Azt kell csupán megmutatnunk, hogy az ehhez a játékhoz tartozó ν karakterisztikus függvény megegyezik ν-vel. A ν ( ) = ν( ) = 0 egyenl ség most is nyilvánvaló. i=1

99 88 8. KOOPERATÍV JÁTÉKOK ÁTVIHETŽ NYEREMÉNNYEL Legyen M N tetsz leges, és tegyük fel, hogy minden j M-re M j = M, azaz az M-ben lev játékosok kitüntetettek. Ekkor az így el álló M és az N M koalíció tetsz leges s L stratégiájára fennáll: j M u j(s M, s L ) = ν(m) + M n ( ν(n) ) n u i (s M, s L ). Hasonlóan, mint el bb, az N halmazt is felírhatjuk diszjunkt részhalmazok összegeként N = M k1... M kρ {r 1 }... {r σ }, ahol k 1,..., k ρ a kitüntetett játékosokat, r 1,..., r σ pedig a nem kitüntetett játékosokat jelölik az (s M, s L ) stratégia n-esre vonatkozóan. Ekkor fennáll a n u i (s M, s L ) = ν(m k1 ) ν(m kρ ) + ν({r 1 }) ν({r σ }) ν(n) i=1 egyenl tlenség. Ebb l azonnal a és végül a u j(s M, s L ) ν(m), j M ν (M) ν(m) egyenl tlenség adódik minden M N-re. Minthogy a (koalíciós) játék konstans összeg, ezért ν (N M) = ν(n) ν (M), fennáll továbbá a ν(n M) = ν(n) ν(m) egyenl ség, így a ν (M) ν(m) egyenl tlenséget nyerjük minden M N-re. Ezt összevetve az el bbi egyenl tlenséggel a ν (M) = ν(m) egyenl séget nyerjük minden M N-re. (8,7) Definíció: Egy ν karakterisztikus függvénnyel megadott játékban egy x(x 1,..., x n ) vektort elosztásnak (imputation) nevezünk, ha 1. x i = ν(n) i N 2. x i ν({i}) i (8,5) Megjegyzés: az elosztás fogalma azt jelenti, hogy minden játékos legalább akkora nyereményt kap, mint egyedül kapott volna (2.). Csodás nyeremény szaporítás pedig nincs (1.). i=1

100 (8,8) Definíció: Egy ν karakterisztikus függvénnyel megadott játékot lényegesnek nevezünk, ha ν(n) > i Nν({i}). Ellenkez esetben azt mondjuk, hogy a játék nem lényeges. (8,3) Állítás: Ha M, M N M M = -re ν(m)+ν(m ) = ν(m M ), akkor a játék nem lényeges és fordítva ν(n) = i Nν({i}), akkor M M N M M -re Bizonyítás: Adódik a denícióból. ν(m) + ν(m ) = ν(m M ) (8,6) Megjegyzés: A nem lényeges játékokban nem érdemes kooperálni. (8,7) Megjegyzés: Egy lényeges játéknak végtelen sok elosztása van. Egy nem lényeges játéknak viszont csak egy (ν({i})). (8,9) Definíció: Egy ν karakterisztikus függvénnyel megadott játék x és y elosztások M N koalíció. Ekkor azt mondjuk, hogy x dominálja az y-t M-re nézve: x M y, ha 1. x i > y i i M 2. x i ν(m) i M (8,8) Megjegyzés: 1.-b l következik, hogy M koalícióban mindenki jobban jár x-szel, mint y-nal. 2.-ból következik, hogy az elosztás ténylegesen elérhet. (8,9) Megjegyzés: a denícióból következik, hogy M = N esetén egyik elosztás sem dominálhatja a másikat. (8,10) Definíció: Egy ν játékban x elosztás dominálja y elosztást, ha M N M, melyre x M y. (8,2) Tétel: Legyen x elosztás ν karakterisztikus függvény és M N (M 0) koalíció. x i < ν(m) i M pontosan akkor igaz, ha y, amelyre x M y. Bizonyítás: (SzépForgó alapján) 89

101 90 8. KOOPERATÍV JÁTÉKOK ÁTVIHETŽ NYEREMÉNNYEL Elégségesség, ha y M x, ekkor: ν(m) y i > i. i M i Mx Szükségesség: Tegyük fel, hogy x i < ν(m), ekkor = ν(m) i Mx i > 0. Fennáll továbbá a ν(n) ν(m) ν(n M) így a = ν(n) ν(m) Legyen y i = j N M x i + M, j N M ν({j}) 0 egyenl tlenség is. ha i M ν({j}) egyenl tlenség és ν({i}) + N M, ha i N M, ahol M és N M az M, illetve az N M halmazban lev játékosok számát jelöli. Azonnal látható, hogy i Ny i = ν(m) + ν(n) ν(m) = ν(n) és y i > x i, ha i M. y = [y 1,..., y n ] ezáltal egy olyan elosztás, amelyik dominálja x-et. (8,11) Definíció: jelölje I(ν) a karakterisztikus függvényhez tartozó elosztások halmazát. (8,12) Definíció: Legyenek ν 1 és ν 2 karakterisztikus függvények, ekkor a hozzájuk tartozó játékokat izomorfnak nevezzük, ha f : I(ν 1 ) I(ν) egyértelm leképezés, hogy x M y f(x) M f(y) fennáll M N-re. (8,13) Definíció: Legyenek ν 1 és ν 2 karakterisztikus függvények, ekkor a hozzájuk tartozó játékokat stratégiailag ekvivalensnek nevezzük, ha léteznek olyan α > 0 és β 1... β n konstansok, hogy ν 1 (M) = αν 2 (M) + i M β i. (8,4) Állítás: az ekvivalens fogalom ekvivalenciarelációt indukál. (8,3) Tétel: két karakterisztikus függvénnyel megadott játék pontosan akkor ekvivalens, ha izomorf. (8,14) Definíció: Egy ν karakterisztikus függvénnyel megadott játékot normalizáltnak nevezünk, ha: 1. ν({i}) = 0 i N 2. ν(n) = 1

102 91 (8,5) Állítás: minden normalizált játék lényeges. Bizonyítás : Adott ν({i}) és ν(n) ismeretében a: egyenletrendszer megoldható. 0 = αν({i}) β i α > 0 1 = αν(n) + i=1β i (8,6) Állítás: Legyen ν tetsz leges karakterisztikus függvénnyel megadott lényeges játék. Ekkor az ekvivalens játékok osztályában pontosan egy normalizált játék van. Bizonyítás: következik az el z állításból. (8,7) Állítás: A normalizált játékok halmaza konvex. Bizonyítás: Adódik a denícióból. (8,15) Definíció: Egy karakterisztikus függvénnyel megadott játék magjának nevezzük azon elosztások halmazait, melyeket más elosztás nem dominál. Jelöljük ν magját (core) C(ν)-vel. (8,4) Tétel: Egy ν játék magja azon x vektorok halmaza, melyre: 1. x i ν(m) M N 2. i M x i = ν(n). i N Bizonyítás: következik a (8,2) Tételb l. (8,10) Megjegyzés: a tétel miatt lehetséges a mag denícióját átfogalmazni: A játék magja azon lehetséges kizetések halmaza, (x i ) i N, melyekre nincs olyan M koalíció és M lehetséges kizetés (y i ) i M, hogy y i > x i i M. (8,8) Állítás: C(ν) zárt konvex halmaz. Bizonyítás: következik az el z tételb l. (8,9) Állítás: Ha egy nem lényeges n személyes játék karakterisztikus függvénye, akkor a játék magja egyetlen eloszlásból áll.

103 92 8. KOOPERATÍV JÁTÉKOK ÁTVIHETŽ NYEREMÉNNYEL Bizonyítás: a játék nem lényeges, így: i Nν({i}) = ν(n). Ez el z tétel miatt x i = ν({i}) az egyetlen eleme a magnak. (8,10) Állítás: Ha ν egy lényeges konstans összeg játék, akkor C(ν) =. Bizonyítás: Legyen x C(ν). Ekkor j N\{i} x j ν(n \ {i}) i. A játék konstans összeg, azaz: ν(n \ {i}) = ν(n) ν({i}), ekkor: j N\{i} x j + ν({i}) ν(n) i N. Az x elosztás ezért: x i ν({i}). A ν lényeges, így: i N x i i N Ez ellentmondás, hiszen ekkor x dominált. ν({i}) < ν(n). (8,2) Példa: Tekintsünk egy háromszemélyes normalizált zérus összeg játékot. Ekkor vagy 1. és 2. alkot koalíciót 3. ellen és (1.,2.) nyereménye 1, 3. vesztesége -1, így az elosztás (1/2, 1/2, 1). 1. és 3. alkot koalíciót 2. ellen, ekkor az elosztás (1/2, 1). 2. és 3. alkot koalíciót 3. ellen, ekkor az elosztás ( 1, 1/2). Ekkor jól látható, hogy egyik elosztás sem dominálja a másikat. (8,16) Definíció: Egy normalizált játék egyszer, ha M N koalícióra ν(m) = 0 vagy ν(m) = 1 teljesül. Ha ν(m) = 0 M-t vesztes, ha ν(m) = 1 nyertes koalíciónak nevezzük. (8,11) Megjegyzés: A játék magját lineáris egyenl tlenségek határozzák meg, így további megállapítások a lineáris egyenl tlenségek elemzéséb l adódnak. (8,17) Definíció: Jelölje C az összes koalíciók halmazát. Bármely M C-re legyen R M a M dimenziós euklideszi tér, és legyen 1 M R M a karakterisztikus vektor, azaz (1 M ) i = { 1 ha i M 0 különben

104 (8,18) Definíció: (λ s ) s C együtthatókat λ s [0, 1] kiegyensúlyozott súlyoknak nevezzük, ha i játékosra: λ s 1 s = 1 N. s C i s (8,2) Példa: Legyen N = 3 (λ s ) λ s = 1/2, ha s = 2 és λ s = 0 különben, kiegyensúlyozott súlyhalmaz. (8,19) Definíció: egy G(N, ν) kiegyensúlyozott, ha kiegyensúlyozott súlyra. λ s ν(s) ν(n) s C (8,5) Tétel: (BonderaShapley): Egy G átvihet összeg kooperatív játék magja pontosan akkor nem üres, ha kiegyensúlyozott. Bizonyítás: Legyen G a fenti. Legyen x elosztás C és (λ M ) M C kiegyensúlyozottság. Ekkor: M C λ M ν(m) M C λ M x(m) = i N x i i M λ M = i N x i = ν(n). Fordítva: Tegyük fel, hogy G kiegyensúlyozott, ekkor nincsenek olyan súlyok, hogy λ M ν(m) > ν(n) M C így a {(1 N, ν(n) + ε) R N +1 ε > 0} konvex halmaz, diszjunkt az: { y R N +1 : y = M C λ M (1 M, ν(m)) ahol λ M 0 M C így (λ M ) M C kiegyensúlyozott súlyok és M C λ M ν(m) > ν(n). Ekkor a két konvex diszjunkt halmaz között létezik elválasztó hipersík és olyan nem nulla vektor: (α N, α) R N R, melyre (α N, α)y 0 > (α N, α)(1 N, ν(n) + ε) }, 93

105 94 8. KOOPERATÍV JÁTÉKOK ÁTVIHETŽ NYEREMÉNNYEL y-ra és ε > 0. Az (1 N, ν(n)) a kúpban van, ezért α < 0. Legyen x = α N α. Mivel (1 M, ν(m)) M C-re a kúpban van, x(m) = x1 M ν(m) és ν(n) 1 N x = x(n). Az x-hez egy megfelel nem negatív vektort adva kapjuk ν(n) = x(n)-t, így megkaptunk egy elosztást, mely benne van a játék magjában. (8,4) Példa: Tegyük fel, hogy 3 játékos egységnyi nyereményen osztozik. Oly módon, hogy ha kett közülük koalíciót alkot, kap α [0, 1]-t, míg a harmadik semmit sem kap. Ekkor: N = {1, 2, 3} ν(n) = 1, ν(s) = α ha s = 2 és ν({i}) = 0 i N a játék magja C(ν) mindazon felosztások, melyre x(n) = 1 és x(s) α s = 2-re. Így a C(ν) pontosan akkor, ha α 2/ Piaci játék átvihet nyereménnyel (8,20) Definíció: Piaci játék átvihet nyereménnyel a következ képpen adott: i) N N < játékosok (ágensek) ii) l N T az input termékek száma iii) i N-re ω i R l + iv) i N f i : R l + R + az i játékos termelési függvénye (f folytonos, növekv, konkáv) Egy inputvektor R l + elemei, (z i ) i N inputvektorra: z i = ω i i N i N egy allokáció. Ebben az esetben az ágensek érdekeltek lehetnek a kooperációban, ha termelésük és inputjaik komplementerek, akkor az inputok cseréjére szükségük lehet. Jelölje a fenti játékot: G(N, l, (ω i ), (f i )) Az egyes lehetséges koalíciók nyeresége: ν(m) = max (x i ) i M { f i (z i ) z i R l + és z i = } ω i i M i M

106 8.1. PIACI JÁTÉK ÁTVIHETŽ NYEREMÉNNYEL 95 ekkor a piac magjának a játék magját nevezzük. (8,21) Definíció: A piac kompetitív egyensúlya a (p, (z i ) i N) pár, ahol p R l + az input árvektor és zi pedig a max (f i (z i ) p (z i ω i )) megoldása. z i R l + (8,22) Definíció: Ha (p, (z i ) i N) kompetitív egyensúly, akkor f i (z i ) p (z i ω i ) az i játékos egyensúlyi kizetése. Elemezzük tovább a játékot! A játékosok termelési függvényei legyenek azonosak, és csak egy input legyen. Legyen: ω = ω i az átlagos forrás. Ha N f konkáv, akkor inputmennyiség ω i N maximalizálja az outputot. Legyen p f deriváltja ω -ban. Legyen g olyan, hogy g(ω ) = f(ω ) és g (ω ) = p. Ekkor ((g(ω i )) i N eleme a magnak, hiszen (( ) ) (( ) ) ν(m) = M f ω i / M M g ω i / M = = i M g(ω i ) i M i M és (( ) ) ν(n) = N f ω i / N = N f(ω ) = i N = (N g(ω ) = g(ω i ). i N A (g(ω i )) i N kizetést akkor lehet elérni, ha minden játékos p -on cseréli be inputját outputra, (egységnyi input p outputba kerül). Ha ezen az áron létrejön a csere, akkor az i játékos a max z (f(z) p (z ω i )) kifejezést z-re megoldva ω -ban maximalizálhatja a kizetést. Azaz (p, (ω ) i N ) i N, a piac kompetitív egyensúlya.

107 96 8. KOOPERATÍV JÁTÉKOK ÁTVIHETŽ NYEREMÉNNYEL Megoldási koncepciók (8,23) Definíció: Stabil halmaz (Neumann és Morgenstein) Egy V I(ν) halmazt a ν játék Neumann megoldásának nevezünk, ha 1. bármely x, y V -re x y (bels stabilitás). 2. x V elosztáshoz y V, melyre y x (küls stabilitás). (8,12) Megjegyzés: Egy adott játéknak csak egy magja létezik. Míg stabil halmaza több is lehet, vagy egy sem. Neumann úgy érvelt, hogy egy adott stabil halmazhoz tartozó különböz elosztások különböz magatartásnak felelnek meg. (8,11) Állítás: A játék magja minden stabil halmaz részhalmaza. Egyetlen stabil halmaz sem valódi részhalmaza egy másik stabil halmaznak. Ha a játék magja stabil halmaz, akkor ez az egyetlen stabil halmaz. Bizonyítás: Az els két állítás következik a stabil halmaz deníciójának küls stabilitás követelményéb l. A harmadik állítás pedig az el bbi állítás következménye Alkudozási (bargaining) halmaz Vizsgáljuk most a koalícióképz dést. Egy adott koalícióban egy játékosnak akkor ésszer részt vennie, ha kizetései meghaladják egy más koalícióban elérhet kizetéseit. Így egy adott koalícióban részt vev játékosok megfenyegethetik egymást, majd ki-ki lehet ségei szerint ellenfenyegetéssel élhet. Ezt a gondolatmenetet formalizáljuk a következ kben. (8,24) Definíció: Legyen x egy elosztás a G játékban: (y, M) párt ahol y egy M lehetséges kizetés és M egy koalíció i játékos j elleni fenyegetésének nevezzük, ha i M és j M és y k > x k k M. (z, K) párt ahol z egy K lehetséges kizetés és K egy koalíció j ellenlépésének nevezzük i (y, s) j elleni fenyegetésére, ha q K, i / K z k x k k K \ M és z k y k k K M. (8,25) Definíció: A G koalíciós játék alkudozási halmazán az x elosztások halmazát értjük, melyekre: bármely i játékos bármely j játékos elleni (y, M) fenyegetésére j-nek van ellenlépése.

108 8.2. ALKUDOZÁSI (BARGAINING) HALMAZ 97 (8,13) Megjegyzés: A fenti gondolatmenet a következ t jelenti: az egyik játékos úgy véli, hogy az adott elosztás mellett túl keveset kap, míg vélekedése szerint egy másik játékos túl sokat. Ekkor i megkísérel egy másik koalíciót alkotni, mely kizárja a másik játékost, és ahol már mindenki jobban jár. A kizárni kívánt játékos ekkor (ha van ellenlépése) válaszolja, hogy akkor én nélküled formálok koalíciót, ahol mindenki legalább olyan jól jár, mint korábban, az általad megnyerni kívántak pedig megkapják, amit kínáltál nekik. (8,5) Példa (folytatás): Három játékosunk van, egyszer többségi játékot játszanak. Mint azt már bemutattuk, a játék magja üres, stabil halmaza számos van Ȧz alkudozási halmaz egyelem {1/3, 1/3, 1/3}. Legyen x egy elosztás, tegyük fel, hogy (y, M) i fenyegetése j-vel szemben. Ekkor M = {i, h}, ahol h a 3. játékos és y h < 1 x i (ha y i > x i = y(m) = ν(m) = 1). Ahhoz, hogy j-nek legyen ellenlépése (y, M)-re, szükséges, hogy i, j és h játékosra y h < 1 x j, ha y h < 1 x i, ebb l viszont következik, hogy 1 x i 1 x j vagy x j x i i, j így x = (1/3, 1/3, 1/3) Kernel (8,26) Definíció: Legyen x egy G kooperációs játék elosztása, legyen M tetsz leges koalíció, ekkor az M koalíció többletén (excess) a következ t értjük: e(m, x) = ν(m) x(m). (8,14) Megjegyzés: Ha e(m, x) > 0, akkor az azt méri, hogy mekkora összegr l kellene M-nek lemondani, hogy x elosztás bevezethet legyen és fordítva, ha e(m, x) < 0, akkor ez az érték, amit M-nek meg kell kapnia, hogy x bevezethet legyen. Szokás az els esetben M társadalmi rend érdekében tett áldozatáról a másodikban pedig követelésér l beszélni. Módosítsuk a (8,26) Deníciót: (8,27) Definíció: Egy M koalíció i fenyegetése j ellenében x mellett, ha i M, j / M, x j > ν({j}). Egy K koalíció j ellenlépése i e(k, x) > e(m, x). M fenyegetése j ellen, ha j K, i / K és (8,28) Definíció: A "kernel" (bélen). G játék "kernel"-én az összes olyan elosztást értjük, melyre bármely i játékos M fenyegetése bármely j ellen x mellett, j-nek van ellenlépése M-re.

109 98 8. KOOPERATÍV JÁTÉKOK ÁTVIHETŽ NYEREMÉNNYEL (8,29) Definíció: Tetsz leges i, j játékosra és x elosztásra, mindazon koalíciók maximális többlete, melyek tartalmazzák i-t, de j-t nem: s ij (x) = max{e(m, x) : i M M C és j N \ M}. (8,30) Definíció: a G játék "kernel"-je. Mindazon elosztások x X melyekre, a játékosok bármely párjára: (i, j) : s ji (x) s ij (x) vagy x j = ν({j}). (8,12) Állítás: (8,28) Deníció és (8,30) Deníció ekvivalens. Bizonyítás: Triviális, adódik az el z denícióból. (8,15) Megjegyzés: a játék magja és az alkudozási halmaz, az egyes játékosok kizetéseinek összehasonlításáról semmilyen feltevést nem igényelt. A kernel deníciója él ezzel a feltevéssel, így alkalmazhatósága is erre hagyatkozik. (8,16) Megjegyzés: a kernel denícióját úgy interpretálhatjuk, mint azokat a megegyezéseket, melyekben a játékosok úgy ítélik meg, hogy sem túl nagy áldozatot nem hoznak, sem túl nagy el nyhöz nem jutnak, legalább is nem éri meg az egyensúlyt felborítani. (8,13) Állítás: A kernel az alkudozási halmaz részhalmaza. Bizonyítás: Legyen G egy koalíciós játék, legyen x egy elosztás a kernelben, legyen (y, M) egy fenyegetés: i M, j N \ M y(m) = ν(m) és y k > x k k M. Ha x j = ν({j}), akkor (z, {j}) z j = ν({j}) ellenlépés (y, M)-re. Ha x j = ν({j}), akkor mivel x a kernel eleme: s ji (x) s ij (x) ν(m) x(m). Legyen K az a koalíció, melyre: j K, i / K és s ji (x) = ν(k) x, akkor ν(k) x(k) y(k) x(k), így ν(k) y(m K) + y(m \ K) + x(k \ M) x(k \ M) > y(k M) + x(k \ M), mivel y(m \K) > x(m \K). Így z K lehetséges kizetés z k x k k K \M és z k y k k K M, ezért (z, K) ellenlépés (y, M)-re. (8,6) Példa: A fenti állítás miatt a 3 játékos többségi játékának kernele {(1/3, 1/3, 1/3)}, hiszen az alkudozási halmaz egyelem, és mivel nem üres, így csak ez az elem lehetséges.

110 8.3. A JÁTÉK "SEJTMAGJA" (NUCLEOLUS) A játék "sejtmagja" (nucleolus) A sejtmag deniálásánál a kernel deníciójából indulunk ki. A kernel esetében a fenyegetést az egyes játékosok tették, míg a nucleolus esetében a fenyegetést a koalíció teszi. (8,31) Definíció: Egy (M, y) párt, ahol M N koalíció és y egy elosztás x elleni fenyegetésnek nevezünk, ha e(m, x) > e(m, y) (azaz y(m) > x(m)). Egy K koalíció ellenlépése az (M, y) fenyegetésre, ha e(k, y) > e(k, x) és e(k, y) e(m, x). (8,32) Definíció: Egy G koalíciós játék sejtmagján mindazon eloszlások halmazát értjük, amelyre minden fenyegetéshez (M, y) létezik egy ellenlépés. (8,33) Definíció: Tetsz leges x elosztáshoz deniáljuk az M 1,..., M 2 N 1 koalíciósorozatot, e(m l, x) e(m l+1, x) l = 1, 2 N 1, és legyen E(x) a többletvektor, melyet az alábbiak szerint deniálunk: E l (x) = e(m l, x) l = 1,..., 2 N 1, legyen a C halmaz (az összes koalíciók halmaza) olyan partíciója P 1 (x),..., P K (x), melyre két koalíció M és M pontosan akkor kerülnek egy cellába, ha e(m, x) = e(m, x). Tetsz leges M P k (x)-re legyen e(m, x) = e k (x), oly módon e 1 (x) > e 2 (x) >... > e k (x). Ekkor azt mondjuk, hogy E(x) lexikograkusan kisebb mint E(y), ha E l (x)< E l (y) a legkisebb olyan l-re, melyre E l (x) E l (y), (vagy ami ezzel ekvivalens: k olymódon, hogy k < k. P k (x) = P k (y) és e k (x) = e k (y)) akár (y) vagy e k (x) < e k e k (x) = e k (y) és ( P k (x) < P k (y) ). (8,14) Állítás A "sejtmag" azon elosztások halmaza, melyekre az E(x) vektor lexikograkusan minimális. Bizonyítás: Legyen x olyan elosztás, melyre E(x) lexikograkusan minimális. Belátjuk, hogy x "sejtmag" eleme: tegyük fel, hogy (M, y) egy fenyegetés x-re, hogy e(m, y) < e(m, x). Legyen k a maximális, melyre: e k (x) = e k (y) és P k (x) = P k (y). Mivel E(y) lexikograkusan nem kisebb, mint E(x), így vagy e k (y) > e k (x) vagy e k (y) = e k (x) és P k (x) P k (y). Bármelyik esetben

111 KOOPERATÍV JÁTÉKOK ÁTVIHETŽ NYEREMÉNNYEL K koalíció, melyre K P k (y), melyre e k (y) = e(k, y) > e(k, x). Így e(k, y) < e(m, x), így K ellenlépés (M, y)-ra. Mivel mivel e(m, y) < em(x) M / e l (y) e k (x) k 1 k=1 P k (x) és e k (x) e(m, x), így e(k, y) e(m, x). Tegyük most fel, hogy x a sejtmagban van, és E(y) lexikograkusan kisebb, mint E(x). Legyen k az a legkisebb érték, melyre P k (x) = P k (y) k < k és vagy e k (y) < e k (x) vagy e k (y) = e k (x), és P k (y) P k (x). Bármelyik esetben M P k (x), melyre e(m, y) < e(m, x). Legyen λ (0, 1) és z(λ) = λx + (1 λ)y, ekkor e(j, z(λ)) = λe(j, x) (1 λ)e(j, y), bármely J C. Azt állítjuk, hogy (M, z(λ)) egy olyan fenyegetés, melyre nincs ellenlépés. Ez egy fenyegetés, mivel e(m, z(λ)) < e(m, x). Ahhoz, hogy K ellenlépés legyen, kell: e(k, z(λ)) > e(k, x) és e(k, z(x)) e(m, x). Így ha e(k, z(λ)) > e(k, x), akkor e(k, y) > e(k, x), melyb l K / és e(m, x) > e(k, x). Mivel T / k k=1 e(k, y). Így e(m, x) > e(k, z, (λ)). Azaz nincs ellenlépés. (8,15) Állítás: a sejtmag a kernel részhalmaza. P k (x) k k=1 P k (y), ezért e(m, x) = e k (x) e k (y) Bizonyítás: Legyen x egy elosztás, mely nem eleme a "kernel"-nek. Belátjuk, hogy ekkor a sejtmagnak sem eleme. Ha a kernelnek nem eleme, akkor i, j játékos, melyre s ij (x) > s ji (x) és x j > ν({j}). Mivel x j > ν({j}) ε > 0, melyre y = x + ε1 {i} 1 {j} elosztás ahol 1 {k} a k-dimenziós egység vektor legyen ε elég kicsi, hogy s ij (y) > s ji (y). Az e(m, x) < e(m, y) pontosan akkor igaz, ha i M, de j / M és e(m, x) > e(m, y)-ra fordítva. Legyen k a legkisebb olyan k, melyre M P k (x) és e(m, x) e(m, y). Mivel s ij (x) > s ji (x), a P k (x) legalább egy olyan koalíciót tartalmaz, melynek i eleme, de j nem. Mivel k < k P k (y) = P k (x) és e k (y) = e k (x). Ha a P k (x) olyan koalíciót tartalmaz, melyre akár mind i, j eleme, akár egyik sem, akkor e k (y) = e k (x) és P k (y) P k (x). Ha az el z ek nem teljesülnek, akkor s ij(y) > s ji (y) és e k (y) < e k (x). Mindkét esetben E(y) lexikograkusan kisebb, mint E(x) és x nem eleme a sejtmagnak. (8,16) Állítás: A G koalíciós játék sejtmagja nem üres halmaz.

112 8.3. A JÁTÉK "SEJTMAGJA" (NUCLEOLUS) 101 Bizonyítás: Az E k függvény k-ban folytonos. Ez a denícióból következik: E k (x) = min max M C k 1 M C\T e(m, x) ahol: C 0 = { } és C k k 1 a k koalíciók halmaza. Mivel E 1 folytonos x 1 = arg min E 1(x) nem üres és kompakt. Így k 1 egészre x k+1 = arg min x X Innen indukcióval minden ilyen halmaz kompakt és nem üres, és így X 2 N 1 sejtmag. x X 2 E k+1 (x). (8,17) Állítás: Az alkudozási halmaz és a kernel bármely G koalíciós játékra nem üres. Bizonyítás: az állítás következik az el z állításból és abból, hogy a sejtmag halmaza a kernelnek, ami részhalmaza az alkudozási halmaznak. (8,18) Állítás: A G játék sejtmagja egyelem. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy x és y elosztások elemei a sejtmagnak, E(x) = E(y), belátjuk, hogy ekkor x = y. Tegyük fel, hogy M koalíció, melyre E(M, x) E(M, y), és tekintsük 1/2x + 1/2y = z elosztást. Mivel E k (x) = E k (y) k e k (x) = e k (y) és (P k (x)) = (P k (y)) k. Mivel azonban e(m, x) e(m, y) k minimális érték, hogy P k (x) P k (y). Ha P k (x) P k (y), akkor P k (z) P k (x), ha P k (x) P k (y) =, akkor e k (z) < e k (x) = e k (y). Bármely esetben E(z) lexikograkusan kisebb, mint E(x), ez ellentmond annak, hogy x a sejtmag eleme.

113 KOOPERATÍV JÁTÉKOK ÁTVIHETŽ NYEREMÉNNYEL

114 9. fejezet Shapley érték (9,1) Példa: Tekintsünk egy háromszemélyes, nem konstans összeg játékot, mely karakterisztikus függvénye az alábbi: ν(1) = 1 ν(2) = ν(3) = 0 ν(1, 2) = 5 ν(1, 3) = 4 ν(2, 3) = 3 ν(1, 2, 3) = 15 A fenti karakterisztikus függvényb l látszik, hogy a játékosok a "nagykoalícióval" járnak a legjobban. Ekkor a nyeremény felosztása történhet szolidarisztikusan, ami (1/3, 1/3, 1/3) arányban, de lehet, hogy ezt egyes játékosok méltánytalannak tartják. Miért? Ha 1. és 3. koalíciót alkot, akkor 1. potenciális nyereménye 3-mal, míg 2.-é 2-vel n tt. Ekkor, miel tt elkezdenének osztozkodni, jön 2. és felajánlja 1.- nek a koalíciókötést, hiszen ekkor mind a ketten jobban járnak. Ekkor 3. újra felajánlja csatlakozását, hiszen ekkor a pótlólagos nyeremény 10 egység stb. A három játékos tárgyalási pozícióját mérjük a koalícióhoz csatlakozás kapcsán felmerül igénnyel. A játékosok között 3!=6 koalíció alakulhat ki a csatlakozás sorrendjét is gyelembe véve: Tegyük fel, hogy ezek létrejöttének megkísérlése egyenl valószín ség. A 6 103

115 SHAPLEY ÉRTÉK esetb l 1. kétszer indítja a koalíciókötési folyamatot, ekkor: ν(1) ν( ) = 1 a nyereménye. Folytatva a koalíciókötési folyamatot, az els esetben 2. próbál csatlakozni a koalícióhoz: ν(1, 2) ν(2) = 5 0 = 5 Ha a 3. csatlakozik, akkor: ν(1, 3) ν(3) = 4 0 = 4 a 2. játékos maximális haszna. a 3. játékos maximális haszna. A nagykoalíció kialakulása esetén el bb a 3. játékos csatlakozik a {1, 2} koalícióhoz Hasonlóan 2(1, 2, 3) ν(3) = 15 0 az {1, 2} lehetséges maximális haszna. ν(1, 3, 2) ν(2) = 15 0 az {1, 3} lehetséges maximális haszna. A fenti gondolatmenetet többi játékosra is végigkövetve kiszámíthatjuk az összes játékos várható követelését. Ezek a következ k: Az 1. játékos: 1 3 [ν(1) ν(0)]+ 1 6 [ν(1, 2) ν(1)]+ 1 6 [ν(1, 3) ν(1)]+ 1 [ν(1, 2, 3) ν(1)]= 3 = 1 3 [1 0] [5 1] [4 1] [15 1] = 39 6 A 2. játékos: 1 3 [ν(2) ν(0)]+ 1 6 [ν(1, 2) ν(2)]+ 1 6 [ν(2, 3) ν(2)]+ 1 [ν(1, 2, 3) ν(2)] = 3 = 1 3 [0 0] [5 0] [3 0] [15 0] = 38 6 A 3. játékos: 1 3 [ν(3) ν(0)]+ 1 6 [ν(1, 3) ν(3)]+ 1 6 [ν(2, 3) ν(3)]+ 1 [ν(1, 2, 3) ν(3)]= 3 = 1 3 [0 0] [4 0] [3 0] [15 0] = 37 6 Ekkor ( 39 6, 38 6, 37 ) 6 elosztást a játék Shapley értékének nevezzük.

116 (9,1) Definíció: Legyen N (N) az N-n értelmezett összes lehetséges véges játékhoz rendelt karakterisztikus függvények halmaza. 105 (9,2) Definíció: A N (N) halmazon értelmezett ϕ(ν) = [ϕ 1 (ν),... ϕ n (ν)] függvényt Shapley elosztásnak (függvénynek) nevezzük, ha teljesülnek az alábbi feltételek: 1. Szimmetria: π N N permutációra és ν J(N)-re, ha ν[π(c)] = ν(m) M C, akkor ϕ π(i) (ν) = ϕ i (ν) i N. 2. Dummy játékos: Ha valamely i N játékosra: ν(m) = ν(m {i} + ν(i) M C, i M akkor ϕ i (ν) = ν(i). 3. Additivitás: ν 1, ν 2 J(N)-re: ϕ(ν 1, ν 2 ) = ϕ(ν 1 ) + ϕ(ν 2 ). (9,1) Megjegyzés: a deníció követelményeit az alábbiak szerint értelmezhetjük: 1. ha két játékos nem különböztethet meg a játékban, akkor értékeik is ugyanazok, 2. ha i játékos minden koalíció nyereségét csak ν({i})-vel tudja növelni, akkor értéke is legyen ez, 3. ha két egymástól függetlenül lejátszott játékot mint egy játékot tekintünk, akkor az érték legyen additív. (9,1) Tétel: A N (N) karakterisztikus függvényekkel adott játékhalmazon pontosan egy ϕ létezik, amely kielégíti at és ez a következ alakú: ϕ i (ν) = M N ( M 1)!(n M )! n! (ν(m) ν(m {i})) (i N). Bizonyítás: (SzépForgó alapján) A bizonyítást több lépésben végezzük. Mindenekel tt N minden nem üres L részhalmazához hozzárendelünk egy játékot a következ képpen: ν L (M) = { 1, ha L M 0, ha L M.

117 SHAPLEY ÉRTÉK Az így értelmezett ν L függvény kielégíti a (9,2) Deníció 1. és 2. feltételét. Ugyanis ν L ( ) = 0, továbbá, ha M P = (P N), akkor ν L (M) + ν L (P ) ν L (M P ). Így ν L (M) valóban játékot értelmez. Az így értelmezett játékot röviden ν L játéknak nevezzük. a) Minden ν N (N) játék el állítható ν L játékok lineáris kombinációjaként ν = L N λ L ν L, ahol λ L = λ L (ν) = R L( 1) L R ν(r). Ennek belátásához legyen M N tetsz leges. Ekkor λ L adott értékének felhasználásával =L N λ L ν L (M) = L M λ L = L M i= R R L ( 1) L R ν(r) = R M( R L M( 1) L R ν(r)) = M ( ) ( 1) i R M R ν(r) i R R M = R M(1 1) M R ν(r) + ν(m) = ν(m), ahol deníció szerint λ = 0 értékkel számoltunk. Ezzel az a) állítást igazoltuk. b) Igazolni fogjuk a ϕ(cν L ) (c 0) függvény egyértelm ségét. Legyen ϕ egy a N (N)-en értelmezett értékfüggvény, továbbá ν N (N) tetsz leges. Az a) tulajdonság alapján ν = L N λ L ν L. Minthogy ν L ( N (N)) egy játék, ezért λ L ν L is az, ha λ L 0. Ebb l következik, hogy ν felírható két játék különbségeként: ν = λ L >0 λ L ν L ( λ L )ν L = ν + ν λ L <0 és így a 3. feltétel szerint ϕ(ν + ) = ϕ(ν) + ϕ(ν ) miatt ϕ(ν) = ϕ(ν + ) ϕ(ν ).

118 107 A 3. feltétel ismételt alkalmazásával adódik, hogy ϕ(ν) = λ L >0 ϕ(λ L ν L ) λ L <0 ϕ( λ L ν L ). Legyen i / L tetsz leges, de rögzített eleme N-nek. Ekkor cν L ({i}) = 0 (c 0) ν L (M) alapján. Ha M N tetsz leges és i M, akkor nyilván L M-b l L M ({i}) következik, és így cν L (M) = cν L (M {i}) = cν L (M {i}) + cν L ({i}) fennáll minden M-re, amelyre i M. Ezáltal a 2. feltétel szerint minden M-re, amelyik tartalmazza i-t, érvényes a ϕ i (cν L ) = cν L ({i}) = 0 egyenl ség, és ez érvényes minden i-re, amelyre i / L. Legyen j, l L két tetsz leges játékos L-ben. Nyilvánvalóan létezik N-nek olyan π permutációja, amelyre π(l) = L és π(j) = l. Ekkor bármely M N esetén L π(m) akkor és csak akkor áll fenn, ha L M. Ezáltal cν L (π(m)) = cν L (M) fennáll minden M N-re. Az 1. feltétel szerint ekkor ϕ j (cν L ) = ϕ l (cν L ). Ez azt jelenti, hogy bármely j L-re ϕ j (cν L ) értéke ugyanaz a szám, legyen ez α. Minthogy [ϕ 1 (cν L ),..., ϕ n (cν L )] a cν L játék egy elosztása kell legyen, ezért n ϕ i (cν L ) = cν L (N) = c = L α, i=1 azaz α = c. Ezzel a b) állítást is igazoltuk. L c) Ebben a pontban a ϕ függvény egyértelm ségét bizonyítjuk. A bizonyítás az el z ek alapján már csak egyszer algebrai átalakításokat igényel. Felhasználjuk továbbá a binom együtthatók következ összegképletét: n j=t ( 1 n t j ( 1)j t j t ) = (n t)!(t 1)! n! Számítsuk ki ϕ i (ν) értékét (j N) felhasználva b)-t. Tetsz leges i N-re fennáll ϕ i (ν) = λ L >0 λ L L λ L <0 λ L L = i L λ L L = 1 L i L, (1 t n). ( 1) L R ν(r) = R L

119 SHAPLEY ÉRTÉK = i R N 1 L ( 1) L R R L N = = i R N i R N = + i R N i/ R N n j= R ν(r)+ i/ R N ( 1 n R j ( 1)j R j R j= R n 1 j ( 1)j R (n R )!( R 1)! n! ν(r) [ (n R )!( R 1)! ν(r) n! = i R N (n R )!( R 1)! n! 1 L ( 1) L R R (i) L N ( n R 1 j R 1 i/ R N ) ν(r) ) ν(r) (n R 1)! R ν(r) n! (n R )!( R 1)! ν(r {i}) n! [ν(r) ν(r {i})]. ν(r) Ezzel a ϕ i, illetve a ϕ függvény egyértelm ségét igazoltuk. d) Végül igazoljuk, hogy ϕ kielégíti az értékfüggvény feltételeit. El ször is be kell látnunk, hogy [ϕ 1 (ν),..., ϕ n (ν)] a ν játék elosztása. M N ϕ i (ν) = M N ( M 1)!(n M )! n! ( M 1)!(n M )! [ν(m) ν(m {i})] n! ν({i}) = ν({i}) n m=1 = ν({i})n 1 n = ν({i}). (m 1)!(n m)! n! ] ( n 1 m 1 Továbbá egy elosztás komponenseinek összege ki kell adja a ν(n) értékét. n ϕ i (ν) = i=1 n i=1 i M N = =M N λ M M = =M N i M λ M ν M (N) = ν(n). λ M M = =M N Az utolsó két lépésben ν L (M) deníciója és ν felbontása került felhasználásra. λ M )

120 9.1. HATALOM 109 Rátérünk az 1. feltételre. Legyen π az N halmaz egy permutációja, amelyben ν(π(m)) = ν(m) fennáll minden M N-re. Ekkor ϕ π(i) (ν) = M N = M N M N ( M 1)!(n M )! [ν(m) ν(m {π(i)})] = n! ( M 1)!(n M )! [ν(π(m) ν(π(m {i}))] = n! ( M 1)!(n M )! [ν(m) ν(m {i})] = ϕ i (ν). n! A 2. feltétel teljesülése ϕ π(i) (ν) deníciója alapján látható be, ugyanis ekkor az egyenl tlenségek helyett mindenütt egyenl ség érvényes. Végül a 3. feltétel teljesülése közvetlenül a ϕ i (ν) explicit alakjából adódik. Ezzel a tételt teljesen igazoltuk Hatalom A Shapley érték gyakori alkalmazási területei a hatalmi indexek számítása, politikai, illetve szavazó testületekben: A hatalmi index deniálásakor csak a gy ztes koalíciónak tulajdonítunk értéket. A gy ztes koalíciók közül pedig a minimális koalíciókat tartjuk szem el tt. El ször vizsgáljuk az egyszer szavazási játékokat! Minden egyes játékos rendelkezzen azonos szavazási er vel! Így ν(s) = 0 ha s m ν(s) = 1 ha s m. Egy koalíció létrejötténél vizsgáljuk azt a helyzetet, amikor valamely játékos csatlakozásával válik nyertessé az adott koalíció. (9,3) Definíció: Egy játékost pivot játékosnak nevezünk, ha a kronologikusan az utolsó csatlakozó egy minimális gy ztes koalícióhoz. Jelölje p a pivot játékosságot. (9,4) Definíció: A ShapleyShubik indexen a következ kifejezést értjük: ϕ i = p i n!

121 SHAPLEY ÉRTÉK ahol p i azon (sorrendek) permutációk száma, ahol i pivot játékos. (9,2) Megjegyzés: A deníció jól láthatóan a Shapley index alkalmazása egy speciális esetre. (9,3) Megjegyzés: egy N f s testületben, ha mindenki egyenl szavazattal rendelkezik: ϕ i = 1/n. Így például egy 3 f s testületben 3!=6 sorrend lehetséges. Ekkor: 1(2)3 2 a pivot játékos 1(3)2 3 a pivot játékos 2(1)3 1 a pivot játékos 2(3)1 3 a pivot játékos 3(1)2 1 a pivot játékos 3(2)1 2 a pivot játékos Így: ϕ 2 = ϕ 2 = ϕ 3 = 1/3. (9,2) Példa: Gyakran a szavazók különböz súlyú szavazattal rendelkeznek, ekkor érdekesebb megállapításra juthatunk. Vizsgáljuk a jelenlegi (2003) Országgy lést: az MSZP (M) 178 képvisel vel rendelkezik a FIDESZ (F) 164 képvisel vel rendelkezik az SZDSZ (S) 20 képvisel vel rendelkezik az MDF (D) 24 képvisel vel rendelkezik Összesen: 386 képvisel A törvényhozás m ködése egyszer többség játék, a kormányzáshoz = 194 szavazat szükséges. Összesen 4! = 24 sorrend lehetséges MḞSD FṀSD SṀFD DṀFS MḞDS FṀDS SṀDF DṀSF MṠFD FSṀD SFṀD DFṀS MṠDF FSḊM SFḊM DFṠM MḊFS FDṀS SDṀF DSṀF MḊSF FDṠM SDḞM DSḞM ahol ( ) jelöli a pivot elemet. Ekkor az MSZP 12 esetben, a FIDESZ 4 esetben, az MDF 4 esetben és az SZDSZ is 4 esetben pivot elem. Így a szavazási er megoszlása: MSZP: 1/2, FIDESZ, MDF, SZDSZ -1/6, -1/6, -1/6.

122 9.1. HATALOM 111 (9,3) Példa: Paradoxonok 1958-ban az Európa Közösségnek 6 tagállama volt. A tagállamok különböz szavazatszámmal rendelkeztek, ami részben a lakosság számától függött, egy-egy döntés meghozatalához az összes szavazat 2/3-a volt szükséges. Az adatokat az alábbi táblázat tartalmazza: Ország Lakosság száma Szavazat millió f Franciaország 60 4 Németország 65 4 Olaszország 55 4 Belgium 10 2 Hollandia 10 2 Luxemburg 0,5 1 A táblázat adatai alapján felháborító aránytalanságot észlelünk, Luxemburg alapvet en felülreprezentált! Vizsgáljuk meg az adatokat alaposabban! Egy olyan szavazási játékról van szó, ahol a gy ztes koalíció szükséges szavazatszáma: [ 17 2 ] = 12 (szimbolizálja a fels egészeket). 3 Ekkor a lehetséges szavazatok száma 6! = 720 a megfelel értékek pedig A fenti táblázatot újra meggyelve: ( 14 60, 14 60, 14 60, 9 60, 9 ) 60, 0. Ország Szavazatok % Er % Franciaország 23,5 23,3 Németország 23,5 23,3 Olaszország 23,5 23,3 Belgium 11,8 15,0 Hollandia 11,8 15,0 Luxemburg 5,9 0 Az irodalomban szokás más indexeket is használni. (9,5) Definíció: Tekintsük a gy ztes koalíciók halmazát, ekkor i játékost lényegesnek nevezzük, ha távozván egy gy ztes koalícióból vesztessé válik a koalíció. Ekkor: β i = n i -t Banzhaf indexnek nevezzük, ahol j n j

123 SHAPLEY ÉRTÉK n i azon koalíciók száma, ahol i lényeges, j száma. n j az összes lényeges koalíciók (9,4) Megjegyzés: A ShapleyShubik indexnél abból indultunk ki, hogy minden sorrend egyenl valószín permutáció, így a "pivot"-ság valószín ségét számítjuk. A Banzhaf index esetén annak valószín ségét számoljuk, hogy az összes kombináció esetén mikor "lényeges" az adott játékos. (9,6) Definíció: Abszolút Banzhaf index β i = n i 2 n 1 ahol n i azon koalíciók száma, ahol i lényeges. (9,7) Definíció: DeagenPackel index:. Vizsgáljuk a minimális gy ztes koalíciókat ezekben a kondíciókban, mindenki lényeges. Ekkor: ρ i = 1 N M N ν(m) M. (9,4) Példa: tekintsük a következ egyszer többségi játékot: (50, 49, 1) Ekkor: a Shaply-Shubik index (2/3, 1/6, 1/6) a Banzhaf index (3/5, 1/5, 1/5) a Deagen-Packel index (1/2, 1/4, 1/4) (9,5) Megjegyzés : Szokás a hatalmi indexeket az alábbiak szerint meghatározni: 1. az index egy olyan függvény K, mely játékosra nem negatív K(i) 0 i N, 2. a K függvény értékei csak a gy ztes koalíciók halmazaitól függnek, ha i és j ebben az értelemben szimmetrikus, akkor K(i) = K(j), 3. K(i) = 0 pontosan akkor, ha nincs olyan minimális gy ztes koalíció aminek i tagja, 4. ha i-nek több szavazata van, mint j-nek (w i > w j ) = K(i) > K(j), 5. K(i) = 1. i N

124 III. rész Függelék 113

125

126 1. fejezet Preferenciák és Pareto elvek Az emberek gyakran kerülnek olyan helyzetbe, mikor a cselekvésük terepe nem egyértelm en adott, azaz választaniuk kell különböz lehet ségek között. Ahhoz, hogy választani tudjanak, valamiképpen értékelniük kell az alternatívákat. El kell dönteniük, hogy számos szempont alapján ugyan, de melyiket választják. Az alternatívák értékelését általában a következ képpen szokás elvégezni: el ször többnyire páros összehasonlítást teszünk, azaz a szóba jöv lehet ségeket párosával hasonlítjuk össze. Képzeljük magunkat egy politikai választás színterén, számos párt csatázik a választók jogaiért. Jelöljük ket az egyszer ség kedvéért A, B, C, D, E. Választónk, miel tt elmegy szavazni, megfontolja, hogy kire is adja szavazatát. El ször összehasonlítja A-t a többi alternatívával: két alternatíva viszonyában négy lehet ség áll fenn: i) vagy A-t jobbnak ítéljük B-nél, azaz A-t preferáljuk B-vel szemben, ii) vagy B-t ítéljük A-nál jobbnak, azaz B-t preferáljuk A-val szemben, iii) vagy egyenl jónak ítéljük ket, azaz indierensek vagyunk a két alternatíva viszonyában, iv) vagy nem tudjuk ket összehasonlítani. Választónk elvégzi a fenti megfontolást, így lesz egy sor páros összehasonlításunk (ha n alternatívánk van, akkor n(n 1)/2 összehasonlítást kell elvégezni). Ezeket a fenti összehasonlításokat aztán megpróbálja választónk a maga számára összerendezni. Könnyen lehet, hogy el ször ellentmondásokat fedez fel a véleményalkotásban. Mondjuk: A-t jobbnak ítélte B-nél, B-t pedig E-nél, E-t pedig A-nál. Ez azért nem jó, hiszen hogyan adja le ebben az esetben a szavazatát, hiszen sem A-ra nem szavazhat, mert E jobb nála, tehát E-re kell 115

127 PREFERENCIÁK ÉS PARETO ELVEK szavaznia, de E-re sem szavazhat, mert B jobb E-nél, tehát B-re kell szavaznia, de A jobb, mint B, és folytatódik elölr l. Ilyenkor választónknak újra megfontolás tárgyává kell tennie minden szempontot, és újra értékelnie, végül eljut egy listához, melyen körülbelül ez áll: A a legjobb, mert jobb mint B, C, D, E, C a második legjobb, mert jobb, mint B, D, E, E a harmadik legjobb, mert jobb mint B, D, D a negyedik legjobb, mert jobb mint B, B a legrosszabb. Vizsgáljuk meg a fenti listát; ebben a listában mindegyik alternatíva párt összehasonlította választónk, ekkor azt mondjuk, hogy preferenciája teljes. Minden pár viszonyában azt is el tudta dönteni, hogy melyik a jobb, ilyenkor azt mondjuk, hogy preferenciája aszimmetrikus. S t, ha egyik alternatívát jobbnak találta a másiknál, és az utóbbit egy harmadiknál, akkor minden esetben az els alternatívát jobbnak ítélte a harmadiknál. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy választónk képes volt er s értelemben rendezni az alternatívákat. Természetesen választónk más gondolatmenettel is élhet, az elemeket a "legalább olyan jó" elve szerint is összehasonlíthatja, azaz: A legalább olyan jó, mint B stb. Ha polgárunk a fenti elv szerint páronként mindegyik alternatíváról el tudja dönteni, hogy legalább olyan jó, mint a másik, akkor azt mondjuk, hogy az adott alternatívákat rendezte. Létezik-e legjobb elem? Ahhoz, hogy választónk a páronkénti összehasonlítás után eldöntse, hogy végül is melyik pártra szavaz, szükséges, hogy az összehasonlítási elv szerint létezzen "legjobb" elem. Hiszen tapasztalhattuk, hogy ennek léte nem magától értet d. Fontos megvizsgálni, hogy milyen elem, elemek, mikor léteznek. El ször is fontos egy apró, de lényegi különbséget észrevennünk; a hétköznapi nyelv nem elég kifejez ahhoz, hogy eldöntsük, mit is jelent a "legjobb" szó, azt, hogy nincsen nála jobb, avagy azt, hogy mindegyik rajta kívüli elem nála "rosszabb" (az adott összehasonlítási elv szerint). E könyv a kés bbiekben ezt az utóbbi meghatározást fogadja el. Azaz azt, hogy a legjobb elem az az alternatíva, amelyiket bármely rajta kívülivel összehasonlítva annál jobb. Ha például összehasonlítási elvünk a "legalább olyan jó", akkor ez azt jelenti, hogy ha az A legjobb elem, akkor A-t mind B, C, D, E-vel összehasonlítva A legalább olyan jó, mint bármelyikük.

128 1.1. AZ EGYÉNI PREFERENCIÁK 117 Visszatérve kérdésünkre: milyen feltételek között létezik legjobb elem? Mit kell elvárnunk az összehasonlítási elvt l? Az elemi relációalgebra megadja kérdésünkre a választ, ha képesek vagyunk mindegyik elemet a másikkal összemérni, és összehasonlítási elvünk olyan, hogy az adott alternatívát önmagával is összekapcsolja (például a "legjobb olyan jó" elv ilyen, hiszen A párt legalább olyan jó, mint A párt, de a "jobb" elv már nem ilyen: A párt nem jobb, mint A párt), és minden el forduló alternatívahármasra úgy vagyunk képesek dönteni, hogy ha egyrészt jobbnak találjuk a másiknál, a másikat a harmadiknál, akkor szükségképpen az els t jobbnak találjuk a harmadiknál, azaz eljárásunk tranzatív azaz választónk rendezni tudta az alternatívákat, akkor bizonyosan létezik legjobb elem, azaz választónk el tudja majd dönteni, hogy kire szavazzon. Mint az a fejezet következ feléb l kiderül, ennél gyengébb feltétel is elegend. Az egyéni preferenciák keletkezése Mi nem foglalkozunk az egyéni preferenciák eredetével, adottságnak kezeljük ket, nem vizsgáljuk, hogy a számos szempont hogyan függ össze kulturális, vallási és egyéb tradíciókkal stb. Számunkra az egyén azon képessége, hogy az el tte megnyíló alternatívákat valamilyen értelemben képes összehasonlítani, adottsága. Kés bb az egyénekr l azt is feltesszük, hogy képesek más egyén helyzetébe képzelni magukat, és azt a helyzetet sajátjukkal összehasonlítani, illetve más ember helyzetével összemérni egy választandó alternatíva bekövetkezése esetén. (Megjegyezzük, hogy ez majd minden konstruktivista etika alapfeltevése.) 1.1. Az egyéni preferenciák Rendezések (1,1) Definíció: az X halmazon értelmezett bináris reláción egy R X X halmazt értünk. (1,2) Definíció: értelmezzük R-re az alábbi tulajdonságokat: 1. teljesség: x, y X x y (x, y) R vagy (y, x) R 2. reexivitás: x X : (x, x) R 3. irreexivitás: x X : (x, x) R 4. tranzitivitás: x, y, z X : [(x, y) R (y, z) R] (x, z) R 5. szimmetria: x, y X : (x, y) R (y, x) R 6. aszimmetria: x, y X : (x, y) R (y, x) R 7. antiszimmetria: x, y X : (xry yrx) x = y

129 PREFERENCIÁK ÉS PARETO ELVEK (1,3) Definíció: R szimmetrikus része I(R) vagy röviden I. a következ I, (R) = {(x, y) X X (x, y) R (y, x) R} R aszimmetrikus része P (R) vagy röviden P, a következ P (R) = {(x, y) X X (x, y) R (y, x) / R} 8. kvázitranzivitás: x, y, z X :[(x, y) P (R) (y, z) P (R)] 9. aciklusosság: (x, z) P (R) t N x 1,..., x t X : [ τ [1,..., t 1] : : (x τ, x τ+1 ) P (R)] (x t, x 1 ) P (R) 10. hármas aciklusosság: x, y, z X :[(x, y) P (R) (y, z) P (R)] 11. konzisztencia: (z, x) / P (R) t N x 1,..., x t X [(x 1, x 2 ) P (R) τ {2, 3,..., t 1} : (x τ, x τ+1 ) R] (x t, x 1 ) / R (1,4) Definíció: Rendezésnek nevezzük azt az R X X-t, melyre (1), (2), (4) (azaz teljes, reexív és tranzitív). (1,5) Definíció: Kvázirendezésnek nevezzük azt az R X X-t, melyre (2) és (4) (azaz reexív és tranzitív) (szokás még gyenge preferenciarelációnak nevezni). (1,6) Definíció: R X X-t a következ képpen nevezzük, ha 1. (2), (4), (7) részben rendezés 2. (2), (4), (7), (1) lánc 3. (4), (6) er s részben rendezés 4. (4), (6), (1) er s rendezés 5. (2), (4), (5) ekvivalencia (1,1) Állítás: i) tranzivitás konzisztencia, kvázitranzivitás, aciklicitás, hármas aciklusosság ii) konzisztencia aciklusosság, hármas aciklusosság iii) kvázitranzivitás aciklusosság, hármas aciklusosság iv) aciklusosság hármas aciklusosság (1,2) Állítás: R pontosan akkor i) szimmetrikus, ha R = I(R), ii) aszimmetrikus, ha R = P (R).

130 1.2. MAXIMÁLIS ELEMEK 119 (1,7) Definíció: Adott R 1, R 2, akkor R 1 R 2 a két reláció kompozíciója: R 1 R 2 = {(x, y) X X] z X; (x, z) R 1 (z, y) R 2 }. (1,8) Definíció: Adott ( R (τ)) R (1) = R R τ = RR (τ 1), (τ 2) akkor τ=1 T (R) R (τ) -t R tranzitív lezárásának nevezzük. τ=1 (1,3) Állítás: Az el z ekben deniált T lezárás operátor, azaz i) T (R) R ii) R 1 R 2 T (R 1 ) T (R 2 ) iii) T [T (R)] = T (R) iv) T ( ) =. (1,4) Állítás: R bináris reláció pontosan akkor tranzitív, ha R = T (R). (1,1) Tétel: T (R) a legkisebb R-t tartalmazó, tranzitív halmaz Maximális elemek (1,9) Definíció: adott R X X legyen S X µ R (S) = {x X : y S (x, y) R} σ R (S) = {x µ R (S) : y µ R (S) : (y, x) R} G(S, R) = S µ(s) = {x S y S (x, y) R} a legjobb elemek halmaza M(S, R) = {x S y S : (y, x) / P (R)} a maximális elemek halmaza. (1,1) Megjegyzés: szokás G(S, R) = C(S, R)-nek is jelölni. (1,2) Tétel: i) S σ R (S) = G(S, R) ii) M(S, R) G(S, R) és M(S, R) = G(S, R) ha R teljes és reexív (1,3) Tétel: ha R X X aciklikus és S X, S S <, akkor M(S, R). (1,5) Állítás: G(S, R) ha S < S és R teljes, reexív és aciklusos.

131 PREFERENCIÁK ÉS PARETO ELVEK (1,6) Állítás: R X X X < -re M(X, R). (1,7) Állítás: ha R kvázirendezés C(S, R), akkor C(S, R) = M(S, R). (1,8) Állítás: ha R kvázirendezés S-n S <, akkor x, y : [x, y M(S, R) xiy] [C(S, R) = M(S, R)]. (1,10) Definíció: R 2 -t R 1 kiterjesztésének nevezzük, ha R 1 R 2 P (R 1 ) P (R 2 ). (1,11) Definíció: R 1 és R 2 kompatibilisek egymással, ha vagy R 2, R 1 kiterjesztése, vagy fordítva. (1,12) Definíció: (S, R) induktív, ha A S-re, A, melyen R teljes és reexív R supremum S-ben azaz S σ R (A). Zorn lemma: Tegyük fel, hogy R kvázi rendezés és (S, R) induktív, ekkor R-re maximális elem S-ben. Kiválasztási axióma: legyen F nem üres diszjunkt halmazok halmaza. Ekkor A halmaz, mely pontosan egy elemet tartalmaz F minden eleméb l. Jólrendezési elv: Legyen S egy halmaz. Ekkor egy bináris rendezés S-en, hogy S minden nem üres részhalmazának van maximális eleme. (1,4) Tétel: A Zorn lemma, a Kiválasztási axióma és a Jólrendezési elv ekvivalensek. (1,5) Tétel: R kvázirendezésnek R rendezés kiterjesztése. (1,6) Tétel: (Suzumura) R X X, R-nek pontosan akkor van rendezés kiterjesztése, ha R konzisztens Választási függvény (1,13) Definíció: C(S, R) X-n értelmezett függvény úgy, hogy a C(S, R) halmaz nem üres S X, S -re.

132 1.3. VÁLASZTÁSI FÜGGVÉNY 121 (1,1) Megjegyzés: minimális feltétele C(S, R) létének, a teljesség és a reexivitás. (1,9) Állítás: Ha R X X rendezés, akkor C(S, R). (1,10) Állítás: ha R X X, X < reexív és teljes, akkor C(S, R) pontosan akkor deniált X-n, ha R aciklusos X-n. Racionalitás Mi a racionalitás? A társadalomtudományban igen gyakran használt fogalom a racionalitás, amelyen a legkülönböz bb fajta jelentéseket szokás érteni. A továbbiakban csak a cselekvéselmélet racionalitás fogalmát kívánjuk használni. (Elég itt csak Max Weber, Herbert Simon vagy Jürgen Habermas racionalitás fogalmára, racionalitás értelmezésére utalni.) Jóformán néhány cselekvéselmélet, annyi racionalitás fogalom. A fenti elméletek ugyanolyan okból támaszkodnak a racionalitásra, mint mi, az emberi cselekvéssel kapcsolatos szükséges minimális feltevés okából. Ezen elméletek két aspektusa lesz fontos számunkra. A fogalom értelmezésének egyik aspektusa valamilyen konzisztenciakövetelmény, racionálisnak mondunk egy cselekvést, egy intézményi m ködést, egy szabályt, ha önmagának nem mond ellent. (Nem keveredik circulus vitiosusba, nem fordul el benne a 22-es csapdája stb.). A fogalom másik aspektusa, amelyre szükségünk lesz, az valamiféle maximalizáló elv, azaz a cselekv t, az intézményt, a szabályt akkor mondjuk racionálisnak, ha a jobb és a rosszabb lehet ség közül a nem rosszabbat választja. A fogalom fenti két aspektusán kívül természetesen a cselekvéselméletek még számos aspektusát elemzik a racionalitásnak, és az általunk vizsgált aspektusokat is természetesen sokkal árnyaltabban vizsgálják. Egyel re azonban számunkra elég e fogalom ilyen szint vizsgálata. Racionalitás mint konzisztencia A továbbiakban a konzisztenciakövetelményt a választási eljárással kapcsolatban tárgyaljuk (minden további nehézség nélkül a következ k átfogalmazhatók a választóra is). Képzeljük el a következ helyzetet: alternatíváink különböz csoportosításban kerülnek el, és egy-egy csoportból kiválasztunk egyet-egyet, természetesnek t nik az a feltevés, hogy a válogatgatási eljárás mögé egy válogatási koncepciót képzeljünk. E koncepciót szeretnénk valamiféle bináris relációval esetleg rendezéssel leírni. Ha ez sikerül, akkor azt mondjuk, hogy ez a reláció racionalizálja a választási eljárást. Számunkra az az elgondolás, hogy koncepcióként rendezést szeretnénk elképzelni, természetesnek t nik, hiszen a rendezés egyfajta konzisztens magatartást

133 PREFERENCIÁK ÉS PARETO ELVEK (tranzitivitás) jelent. Így próbálunk egy koncepciót létrehozni, mely koncepció különböz válogatási szabályokból kiindulva próbál egy "racionalizálási" koncepciót kidolgozni. A kinyilvánított preferenciák A közgazdaságtanban igen elterjedt koncepció, mellyel a fogyasztói magatartást szándékoznak leírni (Samuelson 1949, Arrow 1959). El ször deniáljunk egy választási szabály által létrehozott preferenciát: azt mondjuk, hogy x alternatíva R c értelemben preferált y-nal szemben, ha létezik olyan alternatívaegyüttes az alternatívák különböz halmazainak egy meghatározott halmazában, mely esetén x-t választották és y-t választották volna, R c értelemben pedig akkor mondjuk x-t preferáltnak, ha x-t választották, bár y-t is választhatták volna, de mégsem választották. E denícióval kapcsolatot létesítünk a válogatási módszer és egy bináris reláció között. A válogatási elvekre számos követelményt deniáltak, e követelmények mindegyike valamilyen konzisztenciakritériumot fogalmaz meg, vagy úgy, hogy ha egy alternatívát valamely alternatívával szemben preferálunk, akkor az ellenkez jét ugyanakkor ne tegyük, vagy úgy, hogy ha egy alternatívát választunk, akkor az általunk ennél az alternatívánál jobbnak ítélt alternatívát is válasszuk, ha képesek vagyunk az összes alternatívaegyüttesb l választani, akkor ezek a követelmények ekvivalensek, s t a követelmények azt jelentik, hogy a válogatási szabály mögött egy rendezés áll. A fentieknél gyengébb és nagyon értelmesnek látszó követelményeket is elvárhatunk, ilyen többek között a Cherno Axióma és az útfüggetlenség. Az el bbit Sen úgy interpretálta, ha egy játékban a világbajnok pakisztáni, akkor a világbajnoknak Pakisztán bajnokának is lennie kell, az utóbbit, az útfüggetlenséget pedig a következ képpen interpretálhatnánk, ha két csoportból külön választunk, majd a választottakból újra választunk, akkor az így választottnak meg kell egyeznie az összességb l kiválasztottal. A fenti gyengébb kívánalmak és még néhány kiegészít kívánalom azt jelenti, hogy válogatási eljárásunk mögött egy többé-kevésbé (kvázi-) tranzitív reláció áll. Pareto elvek A Pareto elvek a konzisztencia második aspektusával, a "maximalizálással" kapcsolatosak. A Pareto elvet számos formában szokás kimondani, itt a leggyakrabban szerepl megfogalmazás módok kerülnek ismertetésre. Az általános Pareto elv a következ : ha mindenki preferálja x-et y-nal szemben, akkor a köz sem támogathatja y-t x-szel szemben olyan esetben, mikor

134 1.4. RACIONALITÁS 123 mindkét alternatíva választható. Az elv egyfajta áttételes maximalizálást jelent, hiszen kimondja, hogy a közösség választásának pozitív módon kell az egyének választására reagálnia. A Pareto elv teljesülése helyett szokásos egy kissé átfogalmazva Pareto optimális állapotról (vagy Pareto eciens állapotokról beszélni). Ilyenkor a következ képp gondolkodunk. Az adott alternatíva esetén egy állapotot Pareto optimálisnak nevezünk, ha nincsen nála Pareto értelemben jobb állapot a választható alternatíva halmazban. Pareto optimális állapot több is lehet, avagy egy sem. Tekintsünk példát a fentiekre, fogalmazzuk át kritériumunkat a következ képpen: egy állapot Pareto értelemben jobb a másiknál, ha egy ember kivételével mindenki közömbös, és ez az egy ember viszont x-et y-nal szemben el nyben részesíti, ha mármost olyan helyzet áll el, hogy a társadalom egyik fele x-et részesíti el nyben y-nal szemben, a másik fele pedig pont fordítva, akkor a Pareto optimális állapotok halmaza üres. Megjegyezzük, hogy a "Pareto értelemben jobb" tulajdonság egy bináris relációt határoz meg az alternatívák halmazán. A választók egyes csoportjainak befolyását a közösségi döntésre fogalmazzuk meg az alábbiakban. Így az alábbiak a Pareto elvek bizonyos általánosításainak is tekinthet k. A Pareto elvek az egyéni preferenciák és a társadalmi választás közötti pozitív kapcsolatot fogalmazzák meg. A következ fogalmak pedig a választók egy kisebb (akár egyszemélyes) csoportjára mondanak ki feltételt. A választók egy csoportját dönt nek nevezzük két adott alternatíva viszonyában, ha az adott csoport tagjainak preferenciája érvényesül, bármi is legyen a csoporton kívüli egyének véleménye. Globálisan dönt nek pedig akkor, ha az adott csoport tagjai dönt ek bármely alternatívapárra. A blokkolóság fogalma ennél gyengébb követelményt határoz meg: az egyének egy csoportját blokkolónak nevezzük x és y pár viszonyában pontosan akkor, ha meg tudják akadályozni az y alternatíva egyedüli megválasztását, bármi legyen is a csoporton kívüliek véleménye. Globálisan blokkolónak pedig akkor, ha az adott csoport tagjai blokkolóak bármely alternatívapárra. A fenti meghatározások jól láthatóan a Pareto elvek általánosításai, például igen egyszer en látható, hogy az er s Pareto elv ekvivalens azzal, hogy a választók összessége globálisan dönt Racionalitás (1,14) Definíció: Legyen S = {S : S X S } és S =.

135 PREFERENCIÁK ÉS PARETO ELVEK (1,15) Definíció: az (X, S) párt választási térnek nevezzük. (1,16) Definíció: C választási függvény, mely S S-re egy C(S) S C(S) halmazt rendel, azaz R X X, S : C(S) = G(S, R). (1,17) Definíció: R gyenge preferenciarelációt C választási függvény racionalizációjának nevezzük (X, S)-n pontosan akkor, ha S S : C(S) = C(S, R) ha C-hez ilyen R, akkor azt mondjuk, C racionális választási függvény. (1,18) Definíció: C választási függvényt C-racionálisnak (ill. M-racionálisnak) nevezzük ha R gyenge preferencia reláció, melyre S S, C(S) = {x : x S; (x, x) R x S} (ill. C(S) = {x : x S : (x, x ) / P (R) x S}). (1,2) Megjegyzés: az M-racionalitás és a Pareto elvek kapcsolatára még visszatérünk. (1,1) Példa: (Suzumura 1983) Nem racionális választási függvény: Legyen X = { x,y,z} S = {S 1, S 2 } S 1 = (x, y) S 2 = X és C : C(S 1 ) = X C(S 2 ) = S 2. Tegyük fel, hogy R, mely C racionalizációja, akkor C(S 1 ) = {x} miatt (x, y) P (R) vagy (y, y) / R és y C(S 2 ) ezért (y, y) R és (y, x) R, ami ellentmondás. (1,19) Definíció: C teljesen racionális, ha racionális egy R rendezéssel. (1,20) Definíció: a C választási függvény, és (X, S) által indukált kinyilvánított preferencia R c = S S[C(S) S] R c = S S[C(S) {S \ C(S)}]. (1,21) Definíció: Gyenge Axiómája a kinyilvánított preferenciáknak (W A) x, y X : (x, y) R c (y, x) / R c. (1,22) Definíció: Er s Axiómája a kinyilvánított preferenciáknak (S.A) x, y X : (x, y) T (R c) (y, x) R c.

136 1.4. RACIONALITÁS 125 (1,23) Definíció: Gyenge Megfelelési Axióma: (W CA) S S : [x S { y C(S) : (x, y) R c }] x C(S). (1,24) Definíció: Er s Megfelelési Axióma (SCA) S S : [x S { y C(S) : (x, y) T (R c )}] x C(S). (1,25) Definíció: Arrow Axiómája: (AA) S 1, S 2 S : S 1 S 2 [S 1 C(S 2 ) = S 1 C(S 2 ) = C(S 1 )]. (1,7) Tétel: SCA SA SA W A W A W CA W A AA (1,26) Definíció: Jelölje S F az X összes nem üres részhalmazainak halmazát. (1,8) Tétel: C az (X, S F )-n pontosan akkor teljesen racionális, ha kielégíti AA-t. (1,9) Tétel: Ha C az (X, S F )-n deniált, akkor a következ állítások ekvivalensek 1. Teljes racionalitás 2. SA 3. W A 4. SCA 5. W CA 6. AA Kvázitranzitív racionalitás (1,27) Definíció: Cherno axiómája: (CA) S 1, S 2 S S 1 S 2 [S 1 C(S 2 ) = S 1 (S 2 ) C(S 1 )]. (1,3) Megjegyzés: CA teljesül minden racionális választási függvényre. (1,28) Definíció: Superset axióma (SU A) S 1, S 2 S : [S 1 S 2 &C(S 1 ) C(S 2 )] C(S 1 ) = C(S 2 ). (1,29) Definíció: Útfüggetlenség I. (P I/I)

137 PREFERENCIÁK ÉS PARETO ELVEK S 1, S 2 S : C(S 1 S 2 ) = C(C(S 1 ) C(S 2 )). (1,30) Definíció: Útfüggetlenség II. (P I/II) S 1, S 2 S : C(S 1 S 2 ) = C(C(S 1 ) S 2 ). (1,31) Definíció: C függvény bázisrelációja: R c = {(x, y) X X : xc({x, y})}. (1,32) Definíció: Általánosított Condorcet tulajdonság (GC) S S : G(S, R c ) C(S). (1,10) Tétel: (Plott 1973) C(X, S F )-n akkor P I/I P I/II. (1,11) Tétel: (Blair 1976) C (X, S F )-n akkor P CA SUA (azaz az útfüggetlenség ekvivalens a Cherno Axiómia és a superset axiómia teljesülésével). (1,12) Tétel: (Blair 1976) C (X, S F )-n akkor C kvázitranzitív racionális pontosan akkor, ha teljesül rá az CA és SUA és GC. (1,13) Tétel: C (X, S F )-n kvázitranzitív racionális, ha teljesül rá P és GC. (1,14) Tétel: C (X, S F )-n pontosan akkor racionális, ha aciklikusan racionális Egyérték függvények (1,15) Tétel: ha C (X, S F )-n képe egyelem halmaz S S-re, akkor AA CA. Az egyérték függvények esetére foglalja össze Suzumura táblázata az el bbiekben tárgyalt tulajdonságok összefüggését, ha C (X, S F )-n deniált SA F R QT R W A W CA SCA AA (CA + SUA + GC)

138 1.5. PARETO ELVEK Pareto elvek (1,33) Definíció: Pareto elv (P ) (R 1,..., R n ) prolra és x, y X-re, ha x, y Akkor [x S y / C(S)] igaz S S. i N P (R). (1,34) Definíció: Er s Pareto elv (SP ) : (R 1,..., R n ) prolra és x, y X (x, y) P ( i N R i ), akkor [x S y / C(S)] S S. (1,35) Definíció: Gyenge Pareto elv (W P ) : (R 1,..., R n ) prolra és x, y X ha (x, y) P (R i ), akkor [{x S y C(S)} x C(S)] X S. i N (1,36) Definíció: Bináris Pareto elv (BP ) (R 1,..., R n ) és {x, y} X-re ha (x, y) P (R i ), akkor {x} = C({x, y}). i (1,37) Definíció: Er s bináris Pareto elv (SBP ) (R 1,..., R n )-re és x, y X-re ( ha (x, y) P R i ), akkor {x} = C({x, y}). i (1,38) Definíció: Gyenge bináris Pareto elv (W BP ) (R 1,..., R n )-re és x, y X-re ha (x, y) P (R i ), akkor x C{x, y}). i (1,11) Állítás: SP P W P. (1,16) Tétel: Ha C teljesen racionális, akkor i) P BP ii) SP BSP iii) W P BW P A választók egyes csoportjaira vonatkozó deníciók (1,39) Definíció: Egyének egy M N csoportját dönt nek nevezzük x és y viszonyában pontosan akkor, ha

139 PREFERENCIÁK ÉS PARETO ELVEK (x, y) P (Ri a ) {x} = C a ({x, y}) i M a = (R a 1,..., R a n). (1,40) Definíció: Egyének egy M N csoportját majdnem dönt nek nevezzük x és y viszonyában pontosan akkor, ha (x, y) P (Ri a ) (y, x) (R a 1,..., Ra n). i M i N\M P (Ri a ) {x} = C a ({x, y}) a = (1,41) Definíció: Azt mondjuk, hogy M N blokkoló (x, y) viszonyában pontosan akkor, ha (x, y) P (Ri a ) x C{x, y}) (R1, a..., Rn). a i M (1,42) Definíció: Azt mondjuk, hogy M N majdnem blokkoló (x, y) viszonyában pontosan akkor, ha: (x, y) P (R i ) (y, x) P (R i )] x C({x, y}) (R 1,..., R n ). i M i N\M (1,4) Megjegyzés: a fenti fogalmakat szokás lokális dönt, majdnem dönt stb. nevezni. (1,5) Megjegyzés: a blokkoló helyett szokás semidönt szót használni, lásd Kelly (1978). (1,43) Definíció: M N, X X, M dönt (blokkoló) az adott F kiválasztási szabályra, ha M dönt (blokkoló) (x, y) X X párra. (1,44) Definíció: M N globálisan dönt a C szabályra pontosan akkor, ha M dönt (x, y) X X. (1,6) Megjegyzés: látható, hogy fogalmunk a Pareto elvek általánosítása, így igaz. (1,12) Állítás: gyenge Pareto elv azonos azzal, hogy N az egyének halmaza globálisan majdnem dönt. (1,13) Állítás: Er s Pareto elv azonos azzal, hogy N globálisan dönt.

140 2. fejezet Döntéselmélet (2,1) Definíció: Egy döntési problémán a következ t értjük: 1. az eredmények véges halmazait A = {a 1,..., a n } 2. és A egy rendezését. (2,2) Definíció: Rendezés egy olyan reláció, melyre igaz: i) teljes, ii) tranzitív. (2,3) Definíció: Hasznosságfüggvény u : A R az (A, ) döntési problémával konzisztens, ha a, b A: a b akkor és csak akkor, ha u(a) u(b). (2,1) Tétel: Ha A <, akkor létezik u hasznosságfüggvény, mely konzisztens. Bizonyítás: Rendezzük az eredményeket ekvivalencia osztályokba, mivel az eredmények száma véges, ezért az ekvivalens osztályoké is az. Ezeket az osztályokat a teljesség és a tranzitivitás miatt szigorúan növeked sorrendbe állíthatjuk. (2,1) Megjegyzés: a hasznosságfüggvény nem egyértelm. Egy hasznosságfüggvény tetsz leges monoton transzformációja újabb hasznosságfüggvényt eredményez. (2,4) Definíció: Egy (A, ) döntési problémában a döntéshozót racionálisnak nevezzük, ha a a A-t választja, amely maximalizálja a hasznosságát (vagy ami ezzel ekvivalens a A a a). 129

141 DÖNTÉSELMÉLET (2,2) Megjegyzés: Amennyiben A végtelen, akkor a hasznosságfüggvény folytonosságát kell megkívánnunk, ehhez A-n topológiát kell deniálni Döntéselmélet bizonytalanság esetén (2,5) Definíció: Az A halmaz egy eloszlásán a következ t értjük: {(a 1, p 1 ),..., (a n, p n )...} úgy, hogy n p i = 1 0 p i 1. i=1 (2,3) Megjegyzés: A < esetén is átlépünk a végtelen döntési térbe, hiszen az eloszlások száma végtelen. (2,6) Definíció: Tegyük fel, hogy u hasznosságfüggvény A-n. Ekkor a P eloszláshoz rendelt várható hasznosság: u(p) = n u(a i )p i. i=1 (2,7) Definíció: P keverékeloszláson a következ t értjük: p = {(p 1, q 1 ), (p 2, 1 q 1 )} azaz q 1 valószín séggel p 1 eloszlást, míg 1 q 1 valószín séggel p 2 eloszlást választjuk. (2,4) Megjegyzés: a keverékeloszlás és az egyszer eloszlás eredménye lehet ugyanaz az eloszlás, de p p. 1. Axióma: Minden keverékeloszlás ekvivalens egy egyszer eloszlással a véges A-n. 2. Axióma: Monotonitás: tegyük fel, hogy p 1 eloszlást preferáljuk p 2 -vel szemben. Ekkor a keverékeloszlásra {(L 1, α), (L 2, 1 α)} preferált {(L 1, β), (L 2, (1 β)}-vel szemben, ha α > β.

142 2.1. DÖNTÉSELMÉLET BIZONYTALANSÁG ESETÉN Axióma: Tetsz leges a < b < c a, b, c A p eloszlás p = {(a, α), (c, 1 α)} hogy a döntéshozó indierens p és b között. 4. Axióma: Ha p 1 preferált p 2 -vel szemben, akkor tetsz leges p 3 -ra és tetsz leges keverék ekre igaz: {(p 1, α), (p 3, 1 α)} {(L 2, α), (L 3, 1 α)}. (2,5) Megjegyzés: A társadalmi választások elméletében ezt az irreveláns alternatívák függetlenségének nevezzük. (2,2) Tétel: (Neumann, Morgenstern) Feltéve 14 létezik várható hasznosságfüggvény. Bizonyítás: Legyen b a legjobb és w a legrosszabb kimenet (ezek léteznek, hiszen A véges). A 3. Axióma miatt α a a-ra, hogy p = {(b, α), (w, 1 α)}. Tudunk úgy hasznosságfüggvényt deniálni, hogy u(a) = α. 1. Axióma miatt ez az érték egyértelm. Így ki tudjuk számolni a várható hasznosságot. Most már csak azt kell belátni, hogy a várható hasznosság függvény konzisztens. Legyen p 1, p 2 olyan, hogy p 1 p 2. Ekkor p 1 = {(a 1, p 1 ), (a 2, p 2 ),..., (a n, p n )} és p 2 = {(a 1, q 1 ), (a 2, q 2 ),..., (a n, q n )}. Konstruáljunk keverékelosztást, mely az alábbiak szerint érhet el: és p 1 = p 2 = {( {( b, b, ) ( n p i u(a i ), w, 1 i=1 ) ( n q i u(a i ), w, 1 i=1 )} n p i u(a i ) i=1 )} n q i u(a i ) i=1 2. Axióma miatt: n p i u(a i ) i=1 i=1 n q i u(a i ) F u(p 1 ) F u(p 2 ). azaz (2,6) Megjegyzés: a NeumannMorgenstern hasznosságfüggvények ma a közgazdaságtan alapját képezik, bár számos paradoxon forrása. (2,1) Paradoxon. Allaisparadoxon

143 DÖNTÉSELMÉLET Vizsgáljuk az alábbi döntési helyzetet: a1: biztosan nyerünk 3000 forintot a2: 80 százalék valószín séggel nyerünk 4000 forintot 20 százalék valószín séggel 0 forintot. Általában a1 preferált a2-vel szemben. Tekintsük a következ t: b1: 90 százalék valószín séggel nyerünk 3000 forintot b2: 72 százalék valószín séggel nyerünk 4000 forintot avagy: c1 25 százalék valószín séggel nyerünk 3000 forintot c2 20 százalék valószín séggel nyerünk 4000 forintot. Könnyen látható, hogy b és c alternatívapárokat a-ból nyerünk egy irreleváns alternatíva hozzákeverésével, b esetén a 10 százalék semmit sem nyerünk és 90 százalék a, míg c esetén 75 százalék semmit sem nyerünk. Jól látható, hogy a döntéshozók a 4. Axiómával általában nem konzisztensek. A biztos és a valószín ségi eseménytér közötti átjárás nem azonos a "hétköznapi" és a "matematikai" ész számára. (2,2) Paradoxon 1. Döntési szituáció: 600 ember néz olyan fert zés elé, amely halálos lehet. a1 szérum 400 embert biztosan megment, míg 200 számára nem hatásos. a2 szérum 1/3 valószín séggel senkinek nem használ és 2/3 valószín séggel mindenkinek. 2. Döntési szituáció: 600 ember néz olyan fert zés elé, amely halálos lehet. b1 szérum 200 embert megöl, és 400-at bizonyosan megment. b2 szérum 2/3 valószín séggel senkit sem öl meg, és 1/3 valószín séggel mindenkit. Jól látható, hogy a két döntési helyzet ekvivalens, mégis a helyzet nagymértékben befolyásolja preferenciánkat.

144 3. fejezet Gazdasági játékok Legyen 2 termel nk, a kereslet Q(P ) (inverze P (Q)) monoton csökken, az i cég q i -t termel c i (q i ) költségen c i ( ) = 0. Szimultán kibocsátási verseny (Cournot) q i kibocsátás s i q i S i = R + u i (s 1, s 2 ) = P (s 1 + s 2 )s i c i (s i ). Szimultán árverseny (Bertrand) A cégek szimultán módon választják ki p i áraikat, a vev k az olcsóbb terméket választják (egyenl ség esetén arányosan vásárolnak a termel kt l), ekkor s i = p i S i = R + p i ár normál alakban s i = p i S i = R + u i (s 1, s 2 ) = 0 ha s i > s j s i Q(s i ) c i (Q(s i )) ha s i < s j s i Q(s i ) 2 c ( Q(si ) 2 ) ha s i = s j Szekvenciális kibocsátási verseny (Stackelberg) Az 1. cég q 1 kibocsátást választ. A 2. cég ezt észleli, és q 2 -t választ. Normál alakban s 1 = q 1 S 1 = R + s 2 : R + R + függvény S 2 függvénytér. u 1 (s 1, s 2 ) = P (s 1 + s 2 (s 1 ))s 1 c 1 (s 1 ) u 2 (s 1, s 2 ) = P (s 1 + s 2 (s 1 ))s 2 (s 1 ) c 2 (s 2 (s 1 )) 133

145 GAZDASÁGI JÁTÉKOK 3.1. Cournot játék (szimultán termelési verseny) Lineáris Cournot modell 2 céggel c i (q i ) = cq i p = a bq deriválva (a c) bq i 2bq i = 0 u i (q i ) = (a c)q i bq i q i bq 2 i { (a c) BR(q) = max q } 2b 2, 0 (3,1) Állítás: ha q i [q 0, q 1 ], akkor q i < BR i (q 1 ) és q i > BR i (q 0 ) dominált. Bizonyítás: Legyen q i < BR i (q 1 ). Legyen ekkor D(q i ) = u i (BR(q 1 ), q i ) u(q i, q i ) (a c)(br(q 1 ) q i )) + b[q i (q i γ i (q 1 ) + q 2 i (BR(q 1 )) 2 ] D(q 1 ) > 0 és dd(q i dq i = b(q i BR i (q 1 )) < 0 így q i < q 1, D(q i ) > 0 ezért q i -t BR i (q 1 ) dominálja, a q i > BR i (q 0 )-ra is hasonlóan igaz az állítás. (3,2) Állítás: A fenti játék domináns megoldása a q = a c. 3b Bizonyítás: Iterált eliminációval: Legyen S = [0, ) 1. lépés: [0, BR(0))0, ahol BR(0) = a c 2b 2. lépés: [BR 2 (0), BR(0)] 3. lépés: [BR 2 (0), BR 3 (0)].... Az intervallumok alsó határa BR 2t (0), fels határa pedig: BR 2t+1 (0), ahol ( ) t ( a c BR t (0) = 1 2. b 2) j=1

146 3.1. COURNOT JÁTÉK (SZIMULTÁN TERMELÉSI VERSENY) 135 A fenti sorozatok konvergensek, és közös határértékük, így ez a megoldás. ( Kiszámítva: 1 ) j = 1, így 2 3 j=1 BR (0) = a c 3b Lineáris Cournot 2-nél több azonos típusú céggel A fenti állítást fogalmazzuk át! Jelölje q i a többi cég összkibocsátását: q i = j,j iq j. Ekkor az iteratív elimináció: Stratégiahalmaz S = [0, ) Els lépés [0, BR()] Második lépés [BR(N.1)BR(0), BR(0)]. (N 1)BR(0) a c b így BR(N 1)BR(0) = 0, azaz az iteráció során nem történik semmi. Csak abban lehetünk biztosak, hogy az egyes cégek nem termelnek a monopolkibocsátásnál többet Cournot játék több céggel (N 2) Legyen q i i kibocsátása c ( q i ) a termelési költség mint eddig q = (q 1,..., q N ), Q = N q i Q i = i=1 a Q termelés P (Q) egyensúlyi áron értékesül: kizetések u i (q) = P q i + j i q j N j=1 j i q i c i (q i ). Ekkor S = R +. Tegyük fel a továbbiakban, hogy u i (q) kvázikonkáv q i -ben i-re megoldva: max P (q i + Q i )q i c i q i q i q j

147 GAZDASÁGI JÁTÉKOK ebb l P (Q)q i + P (Q) c i )(q i ) = 0 dq i dq i = ha c > 0 és P 0 akkor megoldás és P (Q)q i + P (Q) P (Q)q i + 2P (Q) c i (q i) 1 < dq i d_ i < 0. Ekkor ismét a c i (q i ) = cq i, p = a bq ismét megkaphatjuk BR i (Q i ) = a c 2b ebb l a szimmetrikus játék Nash egyensúlya: q = a c 2b a c q = b(n + 1) (N 1)q Ismételt Cournot játék Legyen N = 2, ekkor q m = a c 2b q d = a c 3b, (a ud c)2 = 9b Q i 2 amib l és p = c + 1 (a c). N + 1 u m = (a c)2 4b a monopoltermelés és prot, a duopólium termelése és protja. (3,1) Megjegyzés: a fenti egyensúly és egyértelm, ezért véges játékban ez az egyensúly. Így a továbbiakban végtelen játékokat tekintünk: Tekintsük azt, hogy mindkét cég qm -t termel a továbbiakban, azaz h( ) = 2 q m 2 Ėgyensúly esetén mindkét cég: t=1 u m 2 δt 1 = 1 1 δ (a c) 2 8b kizetést kap. Tegyük fel, hogy e stratégiától egyik játékos eltér, ekkor a BR stratégia eredménye: 9 kizetés, 64 (a c)2 b

148 3.2. STRATÉGIÁK ISMÉTLŽDÉSES JÁTÉKOK ESETÉN 137 így a játékos összhaszna: 9 64 Egyensúly van akkor, ha 9 64 (a c) 2 b (a c) 2 b + δ 1 δ + δ 1 δ (a c) 2 9b δ (a c) 2. 9b 1 1 δ (a c) 2 (3,2) Megjegyzés: A Bertrand játéknál δ > 1, így ott egyszer bb a kooperáció 2 elérése Stratégiák ismétl déses játékok esetén (3,1) Definíció: szimmetrikus répabot stratégia ismételt Cournot játékra q L és q H : q L < q H. Legyen u 0 (q i, q j ) i protja mint eddig, tegyük fel, hogy u i (q L, q L ) > u i (q H, q H ). Legyen ekkor s rb (t, h(t)) a következ 1) s rb (1, h(1)) = q L (alacsony kibocsátással indulunk) t) s rb (t, h(t)) = ha 8b q i (t 1) = s rb (t 1, h(t 1))q i akkor s rb (t, h(t 1), q(t 1) = q L különben s rb (t, (h(t 1), q(t 1))) = q H azaz ha az el z periódusban mindkét cég az el írt stratégiát követi, akkor a t-edik peródusban is az, ha ett l egy vagy két cél eltér, akkor magas. Tegyük fel, mindkét játékos ezt a stratégiát játssza: ha valamelyik cég q H -t választja, akkor mindkét cég a következ periódusban q H -t, aztán visszatérnek q L -hez stb. Megvizsgáljuk, hogy az s rb mikor vezet részjátékkielégít Nash egyensúlyhoz. A játék szerkezete miatt két esetet kell vizsgálni: s rb (t, h(t)) = q L s rb (t, h(t)) = q H

149 GAZDASÁGI JÁTÉKOK ha q L, akkor: ha q H, akkor u i (BR i (q L ), q L ) u i (q L, q L ) δ[u i (q L, q L ) u i (q H, q H )] u i (BR i (q H ), q H ) u i (q H, q H ) δ[u i (q L, q L ) u i (q H, q H )] (3,3) Megjegyzés: a botstratégia 0 protot ad egy periódusra. Így: (a c) 2 ebb l 16b (a c)2 δ 8b δ 1 2. Mivel 1/2 < 9/17, így ez a stratégia kisebb δ-val is m ködik, mint a Nash visszacsapás Bertrand játék (szimultán árverseny) Domináns megoldás keresése Legyen p i N és c i (q i ) = c i q i azonos lineáris költségfüggvény. Els iteráció: elimináljuk 0-t (a p i = c dominálja), második iteráció: 1-t (ha a p 0 = c dominálja), n-dik iteráció n-t (ha a p i = c dominálja). Így az ár nem lehet kisebb, mint az egységre es termelési költség. (3,4) Megjegyzés: Ha p i R + és c i (q i ) = c i q i c i > 0 továbbra nincs domináns megoldás. Legyen p 1, p 2 > 0, p i (0, min(p 1, p 2 )). Ekkor u i (p 1, p i ) = u i (p 2, p i ) = 0. A játéknak azonban van gyenge domináns megoldása: 1. A p 1 < c gyengén dominált a p 2 = c által. Ha p i < p 1, akkor p 1 és p 2 is 0 kizetést eredményez. Ha p i p 1, akkor p 1 negatív, míg p 2 = 0 kizetést eredményez. 2. A p 1 = c gyengén dominált a p 2 = c + ε által. A p 1 kizetése 0 o i -re és p 2 kizetései pedig pozitívak a p i > p 2 -re.

150 3.3. BERTRAND JÁTÉK (SZIMULTÁN ÁRVERSENY) A p 1 > p m (ahol p m a monopolár) gyengén dominált p m által. Ha p i < p m, a kizetések 0-k. Ha p i p a p m kizetése, meghaladja p 1 -t. Mivel Q(p)(p c) p-ben szigorúan monoton növeked [c, p m ]-n, azért nincs olyan p 1 (c, p m ], mely gyengén dominált lenne. Ha p 2 > p 1, p 1 kizetése magasabb, ha p i (p 1, p 2 ). Ha p 1 > p 2, akkor p 1 kizetése magasabb, ha p i > p 1. Azaz az elimináció után a (c, p m ] intervallum marad. (3,3) Állítás: Legyen N 2 c i (q i ) = cq i (azonos lineáris költségfüggvény), ekkor egyensúly, mikor a teljes kibocsátást p = c áron megvásárolják, másfel l p c-re nincs olyan egyensúly, mikor a teljes kibocsátás vev re talál. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy (p 1, p 2, p N ) Nash egyensúly legyen p = min p i i az általánosság megszorítása nélkül legyen p 1 = p. Az állítás amint p = c. Tegyük fel, hogy ez nem igaz. Ekkor p > c (p < c lehetetlen hogy a c ekkor dominálná p-t). Ekkor ha: p 2 > p. Ekkor a 2. cég kizetése 0, viszont p 2 (c, p) pozitív kizetést ad, így az eredeti állapot nem lehetett egyszer p 2 = p. Ekkor a 2. cég kizetése (p c)0(p)/2. Ha p1 2 (c, p) 2. kizetése (p 2 c)(p 1). Mivel 2 Q folytonos 2c p1 2 = P ε-t választva javítani tud helyzetén. Tehát ez sem lehetett egyensúly. Így p = c. Belátjuk, hogy p = c egyensúly, ha p i = c minden prot 0. Ha csökken valahol az ár, akkor a kizetés negatív lesz. Ha n valahol az ár, akkor annak a cégnek az eladásai megsz nnek. Így nem érdemes eltérni, ezért a p = c egyensúly. (3,4) Állítás: Legyen továbbra is c i (q i ) = c i q i, és rendezzük a cégeket c i k szerint: c 1 < c 2 <... < c N. Ha c 1 < c 2 Nash egyensúly. Bizonyítás: Legyen p mint el bb és az el z bizonyítást alkalmazhatjuk.

151 GAZDASÁGI JÁTÉKOK Ismételt Bertrand játék Az alapjáték a szokásos: N 2, u(p) = (p c)q(p), feltesszük u(p) monoton növeked [0, p m ]. (3,5) Megjegyzés: A Nash visszacsapás stratégia p = c 0 kizetést ad. Az alapjáték megoldása egyértelm, ezért ez a véges ismétl déses játék egyensúlya is. Így a továbbiakban a végtelen ismétl déssel foglalkozunk. Tegyük fel, hogy a cégek a [c, p m ] intervallumból választanak árat. Az egyensúlyban a kizetés: t=1 u(p) N δt 1. Ha a cég az egyensúlyi ár fölé megy, megsz nnek eladásai, így kizetése 0. Így ezt nem érdemes megtennie. Ha lefelé tér el a határköltség alá, akkor negatív eredményt termel. Így: t=1 u(p) N δt 1 u(p) ebb l 1 1 δ N δ N 1 N Azaz a fenti δ mellett lehetséges a kooperáció. (3,6) Megjegyzés: ha N = 2 δ = 1 2 ha N δ 1! (3,7) Megjegyzés: Ebben a játékban δ csak N függvénye, azaz sem c-t l, sem p-t l nem függ Stackelberg játék Ekkor: S 1 = R + S 2 : R + R függvénytér kizet függvény: u i (q 1, q 2 ) = u i (q 1, q 2 (q 1 ))

152 3.4. STACKELBERG JÁTÉK 141 Nash egyensúly q 1 := max u 1 (q 1, q q 2 (q 1 )) 1 q 2 := max u 2 (q q 1, q 2 (q 1 )) 2 ebb l: q 2 (q 1 ) BR 2 (q 1 ), ahol BR 2 a Cournot játék legjobb válasza Részjáték kielégít Nash egyensúly Bármely q 1 más-más részjátékot deniál, azaz q 1 = max q 1 u 1 (q 1, BR 2 (q 1 )) (3,8) Megjegyzés: az 1. játékos a Cournot játékhoz képest többet termel, és több nyereséghez is juthat, mint 2. játékos. Azaz a Stackelberg játék az els lépést tev nek el nyös.

153 GAZDASÁGI JÁTÉKOK

154 4. fejezet Társadalmi választások elmélete 4.1. Arrow tétele Mindenfajta választási eljárás alapvet konstrukciós kérdése, mit tekintsünk választási eljárásnak, és mit várjunk el t le. Gondolatmenetünk az egyének, alternatívák közötti választáskor követettel analóg. El ször deniáljuk azt az eljárást, amit a kés bbiekben társadalmi választási függvénynek nevezünk. Azaz egy olyan eljárást, mely egy tetsz leges alternatívahalmazból ennek a halmaznak egy részét választja ki. Koncepciónk szerint az egyéni rangsorok halmazához rendelünk egy ilyen függvényt, és így e függvény fogja meghatározni a közösségi ítéletet. Fontos már most az, hogy milyen feltevésekkel élünk, mind az egyéni rangsorokat, mind a függvényt illet en. A feltevések kett sek, részint az értelmezési tartományt és az értékkészletet érintik, részint a leképezés tulajdonságaira rónak ki feltételeket. Sorban haladva a legáltalánosabb a kollektív döntési eljárás, mely az egyének rangsoraihoz egy társadalmi választási függvényt rendel mindenféle megszorítás nélkül. A társadalmidöntés függvénynek nevezett eljárás már szorosabb elvárásokat tartalmaz, az egyének rendezéseit képezi le társadalmi rangsorra, mely rangsor teljesen reexív és aciklikus reláció. A társadalmi jóléti függvény (Arrow eredetileg ezzel a fogalommal dolgozott, könyvének e függvény áll a centrumában), az egyéni rendezéseket képezi le a társadalmi rendezések terébe Feltevések A leképezéssel szemben, mint azt már megjegyeztük, nemcsak az értelmezési tartományra és az értékkészletre direkt módon kirótt feltételek formájában teszünk feltételeket, hanem egyéb feltevésekkel is fogunk élni e leképezésre vonatkozóan. E feltevések a "józan paraszti ész" feltevései, természetesnek t nnek olyanok, 143

155 TÁRSADALMI VÁLASZTÁSOK ELMÉLETE amelyeket el szoktunk várni egy választási eljárástól. 1. Feltevés: A társadalmi jóléti függvényt az egyéni sorba rendezések összes logikailag lehetséges kombinációjára fogalmazzuk meg. E feltevést akár mint az állampolgárok szabadságának elvét is aposztrofálhatjuk, azaz mindenki tetszése szerint sorolhatja az alternatívákat, és az alternatívák közül bármelyiket. 2. Feltevés: (irreleváns alternatívák függetlensége) Ha két preferenciarangsor halmaz azonos egy adott halmazon, akkor az általuk generált választási eljárás eredményének is azonosnak kell lennie e halmazon. Mint ahogy az egyes egyéneknél, a társadalom által végrehajtott valamely adott alternatívahalmazból történ választásnak is függetlennek kell lennie az adott halmazon kívüli alternatívák létét l. Például tételezzük fel, hogy létrehozunk egy választási rendszert, amelyben minden egyén az összes jelöltet saját tetszésének megfelel en rangsorolja, és valamilyen el re kijelölt eljárással a gy ztes jelöltet kiválasztjuk a listák alapján. Tegyük fel, hogy a választások bizonyos számú jelölt részvételével lezajlanak (mindenki kitöltötte a listáját), és akkor valamely jelölt meghal. A társadalmi választásnak úgy kell történnie, hogy ha el vesszük az összes egyén preferencia listáját, és mindenhonnan kitörlik a meghalt egyén nevét, és csak a megmaradó neveket veszik gyelembe a gy ztes személyének kijelölésére szolgáló eljárás során, ekkora megmaradt jelöltek egymás közötti sorrendjének függetlennek kell lennie az elhaltra vonatkozó preferenciáktól. Azaz szeretnénk függetleníteni a választás eredményét attól a véletlen tényt l, hogy e jelölt a választás el tt avagy után halálozott-e el. Más megfogalmazásban: ha az egyéni sorba rendezések két halmazát tekintjük oly módon, hogy minden egyén számára ezen általunk vizsgált alternatívákra vonatkozó sorba rendezése egész id alatt változatlan, akkor megkövetelhetjük, hogy a társadalom által végrehajtott választás is ugyanaz legyen, ha az els sorba rendezéskor ugyanolyan módon adottak az egyéni értékelések, mint a másodiknál. Ezt a matematikai statisztikában szokás Savage féle sure thing principle-nek nevezni (b vebben lásd Mészáros 1990), azaz a feltételes valószín ségek függetlenségi elvének. E feltétel fontosságára a Borda pontok módszere esetén még visszatérünk, de addig is érdemes a következ megfontolást tennünk: e feltétel azt jelenti, hogy a társadalmi választás általános érelemben szavazó típusú, azaz ha X egy olyan halmaz, amely két alternatívát tartalmaz, x-et és y-t,

156 4.1. ARROW TÉTELE 145 akkor feltételünk kimondja, hogy az x és y közötti választást kizárólag a közösség tagjainak x-re, illetve y-ra vonatkozó preferenciája határozza meg, vagyis ha tudjuk, hogy a közösség tagjai preferálják x-et y-nal szemben, akkor már tudjuk a közösség döntését. A páros összehasonlításokkal hozott társadalmi választások ismeretei pedig meghatározzák az egész társadalmi rangsorolást és ezáltal bármely alternatíva halmazból történ választást. 3. Feltevés: a diktatúra kizárásának feltétele Mindenfajta demokráciának már a fogalomból következ feltétele az, hogy ne legyen olyan egyén, akinek az akarata minden egyén akaratától függetlenül automatikusan közakarattá transzformálódik át. Azaz eljárásunkkal szembeni minimális követelmény az, hogy a választók véleménye ténylegesen gyelembe vev djék, hogy a közakarat függjön az egyének akaratától. Az egyéni akaratok és a közakarat összekapcsolását pedig a Pareto elv szolgálja, amely mintegy pozitív módon biztosítja, hogy egyfajta egyensúlyként (avagy optimumként) határozódjék meg a társadalmi döntés. 4. Feltevés: (Gyenge Pareto elv) Ha minden választó egy alternatívát el nyben részesít egy másikkal szemben, akkor a két alternatíva viszonyában az els t (az el nyben részesítettet) kell választani. Arrow tétele e négy feltevés összeegyeztethetetlenségét mondja ki. A tételnek számos átfogalmazása létezik, eredetileg Arrow sem egészen így mondta ki. A fenti formában a legelterjedtebb megfogalmazni, mivel a Feltevések azonosak vagy nagyon hasonlóak a más tudományágakban szokásosakhoz; a Pareto elv a közgazdaságtudományban és az etikában használatoshoz, az irreleváns alternatívák függetlensége pedig a matematikai statisztikában használatoshoz. Arrow tételének számos átfogalmazása közül érdemes Woodall-ét (Woodall 1987) megismerniük, akik politológiával foglalkoznak, ez a következ feltételek inkonzisztenciáját állítja: 1. Egy egyébként megválasztandó jelölt támogató táborának növekedése ne akadályozza meg a jelölt megválasztását. 2. Kés bbi preferenciák ne befolyásolják a korábbiakat. 3. Ha csak egyelem preferenciák (azaz csak egy alternatíva választott) vannak kinyilvánítva, akkor azt a jelöltet kell kiválasztani, akinek több szavazata van, mint más jelöltnek.

157 TÁRSADALMI VÁLASZTÁSOK ELMÉLETE 4. Ha azon szavazócédulák száma, melyeknél x-et jelöltek meg els nek és y-t a másodiknak, összegezve azokkal, ahol y az els és x a második nagyobb mint az összes szavazócédula fele, akkor legalább x vagy y egyikét meg kell választani. Arrow tételét sokféleképpen lehet bizonyítani, most egy teljesen indukciós indirekt bizonyítást közlünk, majd a (X) fejezetben más úton is bebizonyítjuk a tételt. A tétel megismerése után már nem is t nik olyan meglep nek, hogy miért nincs is igazából jó választási eljárás Választási függvények (4,1) Definíció: Társadalmi választási függvény (SCF ) egy olyan függvény, mely S S-hez egy kiválasztott C(S) halmazt határoz meg. (4,2) Definíció: Kollektív döntési eljárás (CCR) egy F leképezés, mely (R 1,..., R n ) prolhoz pontosan egy társadalmi választási függvényt rendel (X, S)-n. (4,3) Definíció: Társadalmi döntési függvény (SDF ) egy olyan CCR, melynek képtere az olyan SCF-ek, melyek X fölött értelmezettek, értelmezési tartománya pedig az egyéni rendezések tere. (4,4) Definíció: Társadalmi jóléti függvény (SW F ) egy olyan CCR, mely képe rendezés, értelmezési tartománya pedig az egyéni rendelések. (4,1) Megjegyzés: Az el z fejezet tételeit felhasználva a fenti deníciókat a következ képp fogalmazhatjuk át: Mindegyik leképezés egy R n R. Leképezés csak az értelmezési tartományok és a képterek mások: CCR (a preferenciareláció): (preferenciarelációk) SDF (rendezések): (reexív, teljes aciklikus relációk) SW F (rendezések ): (rendezések) (azaz egy SW F egy rendezéseken értelmezett teljesen racionális CCR).

158 4.1. ARROW TÉTELE Preferenciák közötti feltételek 1. Feltétel: Korlátlan értelmezési tartomány (U) az F CCR az összes pro- lon értelmezett. 2. Feltétel: Az irreleváns alternatívák függetlensége: ha adott (R α 1,..., Rα n) és (R β 1,... Rβ n) és S S, hogy R α i (S) = Rβ i (S) i N, akkor F ((Rα 1,..., Rα n)) S = F ((R β 1,..., Rβ n)) S. 2*. Feltétel: Bináris irreleváns alternatívák függetlenségének feltétele Ha adott (R1 α,..., n), Rα (R β 1,..., Rβ n) prolok és x, y X, hogy ({x, y}) i N, akkor Ri α({x, y}) = Rβ i F ((R1 α,..., Rα n)) (x,y) = F ((R β 1,..., Rβ n)) (x,y). (4,1) Tétel: ha F SW F, akkor a két feltétel: 2. és 2*. ekvivalensek Preferenciákon belüli feltételek (4,5) Definíció: Egy i 0 N egyént diktátornak nevezünk pontosan akkor, ha i 0 globálisan dönt az F CCR-re. (4,6) Definíció: Egy N α N csoportot oligarchiának nevezünk pontosan akkor, ha 1. N globálisan dönt F-re (x, y) i N α P (R i ) {x} = F ({x, y}) 2. i N α globálisan blokkoló F-re (x, y) i N α P (R i ) {x} F ({x, y}). (4,2) Megjegyzés: a fentieknek megfelel en, ha F megengedi diktátor létét, akkor diktatórikusnak, ha megengedi oligarchia létét, akkor oligarchikusnak nevezzük. 3. Feltétel: A diktatúra kizárásának feltétele (D) F nem diktatórikus. Arrow Tétele: F, SW F melyre teljesül, ha X 3 U korlátlan értelmezési tartomány I irreleváns alternatívák függetlensége

159 TÁRSADALMI VÁLASZTÁSOK ELMÉLETE P Pareto elv D F nem diktatórikus Bizonyítás: (4,1) Lemma: Ha J N : J globálisan majdnem dönt F SW F mellett és F-re U, I, P, akkor J diktátor. Jelölés: Jelölje D j (x, y) azt, hogy J x és y viszonyában x javára majdnem dönt és D j (x, y) pedig a dönt séget. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy : x, y XD j (x, y), legyen z X \ {x, y} és i N{j}. Tegyük fel, hogy xp j y yp j z és, hogy yp i x yp i z. Tekintsük akkor: [D(x, y) xp j y yp j x] xp y és [yp j z yp i z] yp z a Pareto feltevés miatt, de ebb l: [xp y yp z] xpz a P tranzitivitása miatt, és az igaz a J-n kívüli személyek preferenciáira tett bármi feltevés nélkül. Így az I feltétel miatt xp z független kell hogy legyen a kiinduló feltevésekt l, ezért xp j z xp z ez pedig azt jelenti, hogy az el z lemmából D j (x, y) D j (x, z) Manipulálhatóság Ebben az alfejezetben az eddig megismerteket alkalmazzuk a szavazások területére. Választóinkkal kapcsolatban természetesen adódik a feltevés, hogy szeretnék, hogy számukra kedvez alternatíva legyen a gy ztes, és eszerint szeretnék szavazási stratégiájukat megválasztani. Mint az el z mondatból világos, máris a játékelmélet területér l ismer s fogalmak, játékosok, stratégiák kerültek elénk. A leggyakoribb játékelméleti fogalom az egyszer játék, ennek deniálásához csak a játékosok és a közülük gy ztesek csoportjainak meghatározására van szükség. A szokásos játékelméleti fogalmakkal a diktatórikusságot akként határozhatjuk meg, hogy létezik egy egyén, akinek a tagságától függ, hogy egy koalíció gy ztes lesz-e, avagy sem. Arrow tételét bizonyítjuk, megmutatva, hogy e fogalmi keretben milyen egyszer en belátható a tétel. Választóink kedvez bb pozícióba kerülésükhöz stratégiákat választanak, jelen egyszer esetünkben ez annyit jelent, hogy preferenciáikat manipulálják, és

160 4.2. MANIPULÁLHATÓSÁG 149 bizonyos szituációkban mást mondanak, mint amit gondolnak. Azaz valódi preferenciáik helyett valódi vagy vélt el nyök reményében más preferenciát mondanak. Ez bizony nem túl dicséretes magatartás. Többeknek eszébe jutott, hogy a közösségi döntési eljárást úgy kellene megalkotni, hogy legalábbis ne jutalmazza az ilyen magatartást, azaz legyen stratégiabiztos abban az értelemben, hogy ha valaki nem az "igazi" preferenciáját mondja, ne járhasson jobban, mint ha igazat mond. Sajnos ismét negatív eredményhez jutunk. Gibbard és Satterthwaite tétele kimondja, hogy ha egy társadalmi választási eljárás nem manipulálható, és az eljárás legalább három alternatívát számba vesz, akkor diktatórikus. S t, ennél általánosabb állítás is igaz. Ha bevezetjük az ellenlépéssel nem manipulálhatóság fogalmát, amely azt jelenti, hogy ha valaki manipulál, az jogosan számíthat mások részér l is olyan manipulációra, amely után nem jár jobban, akkor igaz az el z tételhez hasonló állítás, ha egy eljárás képe legalább három alternatívát tartalmaz és az eljárás ellenlépéssel nem manipulálható, akkor diktatórikus. Tekintsünk egy példát, amely érzékelteti a fentieket: (4,1) Példa: (Kelly 1987) Legyen X = x, y, z és N = 1, 2, rendelkezzék a következ táblába foglalt preferenciákkal és a táblázat kockáiban jelölt kizet függvényekkel (oldal 1, felül 2) Az y x z x z y 2 x x y y z z 1 y z x z x y z y z x y x xyz x x y y z z xzy x x y y z z 1 yxz x x y y z z yzx x x y y z z zxy x x y y z z zyx x x y y z z prolra a szabály manipulálható 1. által, hiszen ha yzx-t hazudja, akkor y lesz a végeredmény, ami jobban megfelel neki. Tegyük fel, hogy ezt a 2. játékos is észreveszi, és ezért is lódít ez zxy-t mond akkor az eredmény z. A példának két következménye van:

161 TÁRSADALMI VÁLASZTÁSOK ELMÉLETE 1. a 2. játékos ellenlépése az 1. számára rosszabb végeredményre vezetett x helyett z-re amely számára a legrosszabb, azaz rosszabbul járt, mintha nem manipulált volna; számára 2. ellenlépése hihet, mivel e lépéssel 2. jobban jár, y helyett z-t kap így érdeke az ellenlépést megtenni. Így példánk manipulálható, de ellenlépéssel nem manipulálható. (4,7) Definíció: A továbbiakban egy egyszer játékon a következ ket értjük: N, W ahol N = {1, 2,..n} a játékosok halmaza és W a gy ztes koalíciók halmaza (koalíción M N M értjük), és teljesül N, W -re a monotonitás. (4,8) Definíció: monotonitás [M W és T M] T W. (4,9) Definíció: egy G egyszer játék proper, ha M W N \ M / W. (4,10) Definíció: egy G egyszer játék er s, ha M / W N \ M W. (4,11) Definíció: egy G egyszer játék gyenge, ha V = {M M W } =, és akkor V elemeit vétójátékosoknak nevezzük. (4,12) Definíció: G egyszer játék diktatórikus, ha j N, melyre M W j M. (4,1) Állítás: G pontosan akkor diktatórikus, ha er s és gyenge. (4,13) Definíció: Ha G = N, W vétójátékos nélküli, ekkor jelölje ν(g) = {min{σ σ W és {M M σ} = } ekkor ν(g) a G játék Nakamura száma. (4,2) Tétel: (Nakamura 1979) Legyen N, W egyszer játék vétójátékosok nélkül és X <, ekkor C(R N ) pontosan akkor, ha X < ν(g). (4,3) Tétel: (Arrow lehetlenségi tétele): Legyen F : R N R SW F, ha teljesül az irreleváns alternatívák függetlensége, és legalább 3 alternatíva van, akkor F diktatórikus. Bizonyítás: Legyen x, y X x y és M egy koalíció, mivel F dönt, ezért N dönt minden alternatívapárra. Legyen D az összes olyan koalíció halmaza,

162 4.2. MANIPULÁLHATÓSÁG 151 mely dönt valamely alternatívapár viszonyában. Legyen V D V M M D. V. Bizonyítani kell, hogy V =1. Legyen j V, U = V \ {j} és W = N V, x, y X, hogy V dönt x és y-ra. Legyen z X \ {x, y}, és legyen R, hogy R j {x, y, z} = (x, y, z) és R u {x, y, z} = (z, x, y) és R w {x, y, z} = y, z, x. Mivel V dönt x és y viszonyában xf (R)y. Mivel U / D yf (R N )z. Így xf (R N )z és {j} dönt x és z viszonyában. Így V = {j} és j dönt z z X \ {x} Hasonlóan megmutatjuk, hogy j minden különböz alternatívapárra dönt. Legyen z, w X \ {x}, z w. Legyen R olyan, hogy R j {x,z,w} = (w, x, z) és R w {x,z,w} = (z, w, x). Mivel j dönt x és z-re xf (R)z és mivel F Pareto wf (R)x, és mivel wf (R)z, és j dönt w, z-re. Legyen R olyan, hogy R j {x,z,w} = (w, z, x) és R w {x,z,w} = (z, x, w). Mivel j dönt w, z-re wf (R)z és mivel F Pareto zf (R)x. Így wf (r)x és j dönt w, x-re. Így j dönt minden alternatívapárra. Legyen R, x, y X x y belátjuk, hogy j diktátor. Tf xr j y meg kell mutatni, hogy xf (R)y. Legyen z X \ {x, y}. Az irreleváns alternatívák függetlensége miatt feltehet xr j zr j y és zr i x és zr i y i W. Mivel j dönt x, z-re xf (R)z és mert Pareto zf (R)y. Így xf (R)y. (4,14) Definíció: x, y X és S W, ekkor x dominálja y-t (R N értelmében S segítségével) x Dom(R N, S)y ha xr i y i S x dominálja y-t (R N értelmében) x Dom(R N )y, ha T W, melyre x Dom(R N, T )y. (4,15) Definíció: A játék magja jel: C(N, W, X, R N ) az X-beli nem dominált alternatívák halmaza (szokás csak C(R N )-ként jelölni). (4,3) Megjegyzés: Ha x C(R), akkor az koalícióra stabil, azaz nincs gy ztes koalíció x felett. Ekkor például ha x egyensúlypont és g X y C(R), akkor y marad, míg R fennáll. Dom(R) lehet ciklikus is, ekkor C(R N ) =. (4,2) Példa: (Condorcet Paradoxon). Legyen N = {1, 2, 3} W = {M M N, M 2}, ekkor M, W egy egyszer 3 személyes többségi játék. Legyen X = {a, b, c} és (R 1, R 2, R 3 ) a következ R 1 R 2 R 3 a c b b a c c b a

163 TÁRSADALMI VÁLASZTÁSOK ELMÉLETE Ekkor a Dom(R N )b, b Dom(R N )c, c Dom(R N )a C(R N ) =. (4,2) Állítás: G egyszer játék és X <, akkor C(R N ) pontosan akkor, ha Dom(R N ) aciklikus R N -re. Jelölés: jelölje P ar(r N ) a Pareto optimális alternatívák halmazát (x P ar(r N ) : x X és y X y x : yp i x i N). (4,3) Állítás: P ar(r N ) egy SCF. (4,16) Definíció: legyen H egy SCF H Pareto, ha R N -re H(R N ) P ar(r N ). (4,17) Definíció: legyen H egy SCF π permutáció N n π H szimmetriája, ha R N = (R 1,..., R n )-re H(R N ) = H(R π(1),..., R π(n) ) jelölje SY M(H) H összes szimmetriájának csoportját. (4,18) Definíció: Egy H SCF anonim, ha SY M(H) = S n, ahol S n jelöli N összes permutációját. (4,19) Definíció: Legyen π X permutációja R = (R 1,..., R n ), akkor jelölje σ(r) azt a gyenge rendezést, melyre x, y X π(x)π(r)π(y) xry. (4,20) Definíció: egy H SCF neutrális, ha X π permutációjára és R = (R 1,..., R n )-re H(π(R 1 ), π(r n )) = H(R N ). (4,4) Állítás: Par (, ) anonim és neutrális. (4,21) Definíció: Legyen R N és legyen x X R1 N, ekkor azt mondjuk, hogy R1 N -ból RN x pozíciójának javításával adódik, jelölje R N (x) R1 N, ha a, b X \ {x} és i N a X és i N ar i b ar i 1b xp i a xp i 1a és xi i a xr i ia. (4,22) Definíció: Egy SCF monoton, ha (R 1,..., R n ), x H(R N ) és R N (x) R N 1 ekkor x H(R N 1 ) és H(RN 1 ) M(RN ).

164 4.2. MANIPULÁLHATÓSÁG 153 (4,23) Definíció: Egy H SCF er sen monoton, ha R N, x X és R N (x) R N 1, akkor H(R N 1 ) {x} H(RN ). (4,24) Definíció: H SCF-re teljesül az er s pozitív kapcsolat (SP A) tulajdonság, ha R N és x H(R N ), ha R1 N és i N és y X-re xp i y xpi iy és xi iy xri, i akkor x H(R1 N). (4,5) Állítás: Egy H SCF pontosan akkor er sen monoton, ha SP A. (4,4) Tétel: (Peleg) Legyen F egyérték SCF, ha F er sen monoton és R(F ) 3, akkor F diktatórikus. (4,25) Definíció: Γ = (Σ 1,..., Σ n π) játékforma (GF ), ahol Σ i i = 1,..., n nem üres véges halmaz és π egy Σ N X függvény. (4,4) Megjegyzés: Σ i az i-edik játékos stratégiája és π a kizet függvény, Γ-t egy általános választási eljárásnak tekinthetjük, ahol N társadalom tagjai X-b l választanak, világos, hogy F SCF ekvivalens egy (R 1,..., R n, F ) játékformával. (4,26) Definíció: Legyen Γ(Σ i, π) és R 1,..., R n ), ekkor a Γ és (R 1,..., R n )-nel kapcsolatos játékon a következ t értjük normál formában: g(γ, R N ) = (Σ 1,..., Σ n π, R 1,..., R n ). (4,27) Definíció: Legyen R N, Q N equilibrium pont (e.p) g-re, ha i N F (Q N )R i F (Q N\{i}, T i ) T i R. (4,28) Definíció: Legyen M 2 N, U, legyen Γ egy GF és R N e N Σ N, egy M egyensúlypontja g(γ, R N )-nek, ha M M és y M Σ M i M, hogy π(e N )R i π(e N\M, y M ). Jelölje a g(γ, R N )M egyensúlypontja halmazát e.p. (M, Γ, R N ). (4,29) Definíció: Γ = (Σ 1,..., Σ n, π) egy GF és R N. Ha M 1 = {{i} i N} ekkor M 1 -t a g(γ, R N ) Nash e.p.-jának nevezzük. (4,5) Tétel: (GibbardSatterthwaite) Legyen F egyérték SCF. Ha F nem manipulálható és R(F ) 3, ekkor F diktatórikus, ahol R(F ) = {x x = F (R N ) R N R, ahol R jelöli az S feletti rendezések halmazát. Bizonyítás: két lépésben történik, el ször feltesszük, hogy F a szigorú rendezéseken értelmezett, majd ennek segítségével bizonyítjuk a tételt.

165 TÁRSADALMI VÁLASZTÁSOK ELMÉLETE I. Tf F a szigorú rendezések terén értelmezett. Peleg tétele miatt elég bizonyítani, hogy F er sen monoton, tf az ellenkez jét, akkor R N. F (R) = t, R N, R N -b l kapjuk x pozíciójának javításával és F (R1 N ) = z z t, x. Így y X i N és 1 < h n, hogy R j = Rj, ha j i és x = t h (R) = t h 1 (Ri ) y = t h 1(R) = t(rh ) és R i X \ {x, y} = Ri x \ {x, y} válasszuk szét a következ eseteket. i) z y így zr i t pontosan akkor, ha zri t, tf zr it, akkor R nem egyensúlyi pont a g(f, R N )-re (mivel F (R N )R F (R )), hasonlóan ha tr i z R N nem egyensúlyi pont g(f, R N )-ra. ii) z = y akkor, ha x t, ekkor zr i t zri t mint el bb, x = t, ekkor zr i t és R N nem egyensúlyi pont g(f, R)-re. II. Tegyük fel, hogy F = F L H ekkor F nem manipulálható, ekkor I. gondolatmenetével belátható, hogy F diktatórikus legyen j a diktátor F - ra, ekkor be kell látnunk, hogy j diktátor F-re is. Tekintsük R N -t és legyen z = F (R N ) és B = {x x R(F )} és xr j y y R(F ), be kell látni, hogy z B. Indirekt módon tf z / B legyen R N L N, melyre BR j (X \ B) és (X \ B)Ri (ahol B i j BR(X \ B) jelöli, hogy b B-re és a X \ B bra). Mivel j diktátor F -ra, F (R N B. Legyen w k = F (R1, R k, R k+1,..., R k ) k = 0,... n. Világos w 0 = F (R N ) = z / B és w n = F (R N ) B. Mivel t 1 t n, hogy w t 1 / B és w t B. Legyen Rk N = (R1,..., R k, R k+1,..., R k ) k = 1,..., n), ha t = j, akkor Rt 1 N nem egyensúlyi pont g(γ(f ), Rt 1 N )-re, mivel xp jy x B és y R(F ) B). Ha t j, akkor Rt N nem egyensúlyi pont a g(γ(f ), Rt N )-re. Így az ellentmondást megmutattuk. (4,30) Definíció: Legyen M N koalíció i / M, akkor azt mondjuk, hogy M-nek ellenlépése van i R manipulációjával szemben az R prolra, ha R prol, hogy 1. k / M R k = és R 2. F (R n )P i (F (R ). n (4,31) Definíció: Egy ellenlépés hihet, ha i R-b l R -ra történ manipulálása az R ellenlépésre j M-re F (R n )P j F (R n ), és F (R n )P j F (R n).

166 4.2. MANIPULÁLHATÓSÁG 155 (4,32) Definíció: egy F CCR nem manipulálható ellenlépéssel, ha R N -re és V i -re, ha F i által manipulálható, akkor S koalíció, amelynek van hihet ellenlépése. (4,6) Tétel: Legyen F SCF, ha ellenlépéssel nem manipulálható és R(F ) 3, akkor F diktatórikus.

167 TÁRSADALMI VÁLASZTÁSOK ELMÉLETE

168 5. fejezet Elosztási igazságosság Az igazságosság fogalmát nagyon gyakran használjuk anélkül, hogy ennek szabatos meghatározását megkísérelnénk. E fogalmat számos értelemben szoktuk használni, számos kontextusban deniálhatjuk. A következ kben az eddig követett gondolatmenetbe beágyazva kívánjuk az igazságosság fogalmát meghatározni. Azaz vannak különböz egyéneink különböz helyzetekben, az egyének mind saját helyzetükr l, mind más egyének helyzetér l ítéletet alkotnak, egyes helyzeteket rosszabbnak, másokat jobbnak tartanak. Egyes egyének átkerülnek más helyzetekbe, ekkor hogyan tudnánk azt meghatározni, hogy ez utóbbi helyzet közösségi szinten igazságosabb állapotot eredményezett-e avagy sem. Ez a kérdés mindenfajta etika alapkérdése. A következ kben szerényen vázoljuk három "jól deniált" koncepció alapjait. Vezessük be az általánosított hasznosságfüggvény fogalmát, azaz azt a függvényt, mely az egyének saját helyzetével és más egyének helyzetével kapcsolatos ítéletét fejezi ki. Azaz az egyének a lehetséges alternatívákat összemérik részint aszerint, hogy abban a pozícióban milyennek ítélik a saját helyzetüket és más egyének helyzetét. Próbáljuk számba venni azokat az elveket, amelyeket mindenfajta el zetes etikai felkészültség nélkül elvárnánk: Ilyen elv az általános alkalmazhatóság, azaz az, hogy igazságosság elvünk képes legyen bármilyen helyzetben dönteni. A függetlenség elve: ha két helyzetre vonatkozóan az egyéni ítéletek ugyanazok, akkor az igazságossági elv se különböztesse meg ket. Pártatlanság, amely azt fogalmazza meg, hogy a személyek között igazságossági elvünk nem tesz különbséget. Így igazságfogalmunk társadalmi állapotokat (vagy állapotok rendszerét) ha- 157

169 ELOSZTÁSI IGAZSÁGOSSÁG sonlítja össze, és állítja róluk, hogy igazságosabbak vagy kevésbé igazságosak egy másik állapotnál (állapotrendszernél), és így ezen lehetséges állapotokat rendezi gyenge értelemben (ha ténylegesen is rendezésr l van szó, akkor teljes igazságossági elvr l beszélünk). Mindenfajta igazságossági elv egyik alapkoncepciója az emberek felcserélhet ségének, a viszonyok megfordíthatóságának elve, "amit nem akarsz magadnak, ne tedd másnak". Ez a mi fogalmainkkal azt jelenti, hogy az igazságelv ne legyen érzékeny az egyének permutációjára. Suppes elve ezt úgy fogalmazza meg, hogy egy állapotot legalább olyan igazságosnak tart, mint egy másikat, ha létezik az egyéneknek olyan felcserélése, hogy az egyéni hasznosságokban nem következik be romlás, és ha legalább egy egyénnél javulás következik be, akkor azt mondjuk, hogy az egyik állapot Suppes-i értelemben igazságosabb a másiknál. Tekintsünk egy példát: Legyen három személyünk és két állapotunk és az egyének értékelése a következ : A 2 3 B 3 1 C 3 1 azaz A az 1. állapotbeli helyzetét rosszabbnak ítéli, mint 2.-beli helyzetét, ellenben B és C 1. állapotbeli helyzetét ítéli jobbnak, akkor feltéve, hogy a fenti ítéletek általánosak abban az értelemben, hogy mindenkié azonos az adott helyzetben, belátható, hogy az egyéneket nem tudjuk a Suppes-i elvnek megfelel en egymás között felcserélni, azaz a két állapotot nem tudjuk rendezni, így a Suppes-i elv nem teljes igazságelv. Az els látásra igen szimpatikus elv egy árnyoldalát mutatja Sen példája. Tegyük fel, hogy két egyénünk van, egy hindu és egy muzulmán. Mint ismeretes, a hindu a disznóhúst fogyaszthatja, a marhát nem, a muzulmán pedig fordítva. Képzeljük el a következ helyzetet: Muzulmán Hindu 1. állapot 2 disznó 0 marha 0 disznó 2 marha 2. állapot 0 disznó 1 marha 1 disznó 0 marha Világos, hogy a 2. állapot (Pareto értelmében) jobb, mint az 1. állapot, hiszen mindenki jobban jár. Suppes elve azonban nem így jár el, mivel a muzulmán számára a legjobb helyzet 1 disznó 2 marha, a hindu számára pedig a 2 disznó 0 marha, így Suppens elve az 1. állapotot jobbnak ítéli a 2.-nál, ami nyilvánvaló képtelenség. A példából is látszik, hogy Suppes elvének alaphibája, hogy nem tételezi fel azt, hogy ha más helyzetét megítéljük, akkor azt a másik ember néz pontjából

170 159 tegyük. Ha ezt feltesszük, akkor könnyen láthatjuk, hogy Suppes elve is a 2. helyzetet ítéli jobbnak. Rawls igazságossági elve a fenti koncepciótól néhány alapkérdésben eltér. Rawls híres két princípiája ekként hangzik: 1. Each person is to have equal right to the most extensive basic liberty compatible with a similar liberty for others 2. Social and economic inequalities are to arranged so that they are both (a) to-the greatest benet to the least advantaged (b) attached to oces and positions open to all under conditions of fair equality of opportunity. Rawls koncepciója szerint mindkét elvet alkalmazni kell. Az els elv a polgári szabadságjogokat fogalmazza meg, míg a második, amelyet mint maximin szabályt szokás idézni, a jövedelem (és általában az életlehet ségek) felosztásáról szól és egyfajta esély egyenl ség követelmény. Rawls ezt dierenciaelvnek nevezi, és ezt fogalmazza meg, hogy a jobb helyzet egyének helyzetének javulása csak akkor igazságos, ha együtt jár a legrosszabb helyzet ek helyzetének nagyobb mérték javulásával, azaz az esélyegyenl ségek növekedése igazságtalan Rawls szerint. A két elvet Rawls útmutatása szerint lexikograkusan kell alkalmazni (azaz az els a fontosabb). Rawls elve nem beszél az összesség jólétér l, és a koncepció ordinális, így nem érzékeny a szintekre, így igen könny példákat mutatni az elv fonákságaira. Legyen 2 egyénünk: A, B, és két állapotunk 1., 2., és hasznosságértékelések a következ k: A Az elv szerint 1. és 2. ugyanolyan igazságos, hiszen B állapotában nem történt változás, míg Pareto értelemben (mivel egyik jobban jár, a másik pedig nem jár rosszabbul) 2. jobb. Hasonló példa a következ : 3 egyén: A, B, C; állapot: 1., 2. A B C Rawls elve szerint 2. igazságosabb, mint 1., mivel C helyzete javult. Az utilitárius koncepció a társadalmi összhasznosságot méri, érzékeli, így nem érzékeny az egyenl tlenségekre, a javak és lehet ségek felosztására, és így hasonlóan a Rawls-i elvhez, könny példát mutatni a fonákságokra. B

171 ELOSZTÁSI IGAZSÁGOSSÁG A B A 2. állapot, mivel ebben az összhasznosság nagyobb, Bentham-i értelemben igazságosabb, mint 1. Ha össze akarjuk hasonlítani a két teljes igazságossági elvet, a Rawls-it és a Bentham-it, akkor hangsúlyoznunk kell a kiindulópontok különbségeit. Míg Rawls koncepciója az állapotok ordinális összehasonlíthatóságából indul ki, addig a Bentham-i koncepció az állapotok összemérhet ségét teszi fel. A Rawls-i elv a javak, források, egyének közötti elosztásáról szól, és nem beszél a javak összességének b vülésér l mint célról, a Bentham-i elv ennek pont a duálisa, a javak összességének b vülése mint cél az elv sarkköve, és semmit nem mond a javak elosztásáról. A fenti két ok miatt (ordinalitás és egyéni felosztás) Rawls elve mindenfajta folytonosságot (és így stabilitást) nélkülöz. Tekintsünk egy egyszer példát ennek érzékeltetésére. Tegyük fel, hogy mindenki "jóléte" jelent sen b vülhet és csak egy csekély számú szegény réteg helyzete nem javul, ezt Rawl elve nem engedi meg azzal, hogy nem deniálja a köz javát, kizárja a "jólét" és az "egyenl ség" közötti átjárást, átválthatóságot. A fenti fejtegetés megfordítottja igaz Bentham elvére. A két elv így olyan távoli egymástól, hogy egy olyan igazságosságelvet, mely mindkét elv f követelményeit: a kardinális teljes összehasonlíthatóságot, másrészt valamiféle egyenl ségelvet, az általános alkalmazhatóságot, a függetlenséget és a pártatlanságot kielégítse, nem lehet konstruálni. (5,1) Definíció: Pareto elv a kiterjesztett hasznosságfüggvényeken i) Pareto elv (u 1,... u n ) U és x, y X ha (x, y) ekkor [x S y C(S)] S S. ii) Er s Pareto elv (u 1,... u n ) x, y X ha (x, y) P ekkor [x S y C(S)] S S. i N P (R i ), ( ) R i i N (5,2) Definíció: Igazságosság: egy w : U X leképzést igazságossági elvnek nevezünk, ha képe kvázirendezés X-n, azaz az u X N-r l w(u) X-re képez leképzés. Ha w(u) rendezés X-n u U-ra, akkor w-t teljes igazságossági elvnek nevezzük.

172 161 (5,3) Definíció: Suppes-i igazságossági elv (W S ) (x, y) w s (u) π Π N i N, u(x, i) u(y, π(i)) x, y X. (5,1) Állítás: w s igazságossági elv (azaz képe kvázirendezés, reexív és tranzitív), de nem teljes igazságossági elv. (5,4) Definíció: Bentham-i igazságossági elv (w B ): (x, y) w B (u) n i=1 u(x, i) n u(y, i), x, y X. i=1 (5,5) Definíció: Rawls-i igazságossági elv (w R ): (x, y) w R (u) i) (u(x, 1),..., u(x, n)) (u(y, 1), u(y, n)), vagy ii) (u(x, 1),..., u(x, n)) = (u(y, 1), u(y, n)). i)-nél (x, y) P (w R (u)), ii)-nél (x, y) I(w R (u)), ahol és = a következ t jelenti: u 1 = (u u 1 n) (u u 2 n) = u 2 r N { i {1,..., r 1}u 1 i = u 2 i u 1 r > u 2 r és u 1 = u 2 i N : u 1 i = u 2 i. (5,6) Definíció: Azonosság elve: x, y X [ i{(x, i)r i (y, i) j(x, i)rj(y, i)}]. (5,1) Tétel: (Sen 1970) Az azonosság elvének feltevése mellett a Pareto elv összeegyeztethet a Suppes-i igazságossági elvvel és x, y X xp y xw s y. (5,1) Megjegyzés: a fenti állítás az azonosság elvének feltevése nélkül nem igaz. (5,7) Definíció: Pártatlanság (IM) u U-ra w(u) w s (u) kiterjesztése, azaz w s (u) w(u) és P (w s (u) P (w(u)).

173 ELOSZTÁSI IGAZSÁGOSSÁG (5,8) Definíció: Ordinális összehasonlíthatóság (OL), ha u 1 és u 2 olyanok, hogy f monoton növ valósfüggvény, melyre u 1 (x, i) = f(u 2 (x, i)) (x, i) X N akkor w(u 1 ) = w(u 2 ). (5,9) Definíció: Kardinális összehasonlíthatóság (CU): ha f lineárisfüggvény a fenti denícióban, akkor kardinális összehasonlíthatóságról beszélünk. (5,10) Definíció: Általános alkalmazhatóság (U) w u U-ra értelmezett. (5,11) Definíció: Függetlenség: (I) ha u 1, u 2 olyanok, hogy x S i N u 1 (x, i) = u 2 (x, i), akkor w(u 1 ) = w(u 2 ). (5,2) Tétel: (Suzumura 1978) w B az egyetlen teljes igazságossági elv, amely kielégíti az általános alkalmazhatóság, függetlenség, pártatlanság és a kardinális összehasonlíthatóság feltételeit. (5,12) Definíció: SenHammond egyenl ség: Ha u és x, y X olyanok, hogy j és k N, melyre: u(y, j) > u(x, j) > u(x, k) > u(y, k) és i N \ {j, k} : u(x, i) = u(y, i) akkor (x, y) w(u). (5,3) Tétel: (Hammond 1979) w R az egyetlen teljes igazságossági elv, mely kielégíti az általános alkalmazhatóság, a függetlenség, a pártatlanság és a Sen Hammond egyenl ség elveit. (5,4) Tétel: (Sen 1970) adott x, y X-re xw s y zw R y és w s w B.

174 6. fejezet Alkudozáselmélet Képzeljük el a következ kben, hogy ama bizonyos "tortát" kell elosztani. A torta elosztásában részt vev k most viszont nem várnak valamiféle objektív elosztási módszerre, hanem megkísérlik maguk között elosztani a tortát, azaz nem valamiféle igazságkritérium alapján vélik a tortát elosztandónak, hanem a maguk aspirációit másokkal alkudozva próbálják érvényesíteni. Egy alkudozási folyamat mindig valamilyen helyzetb l indul ki, és ezt a status quót kívánják a játékosok a saját érdekeiknek megfelel en módosítani. Nyilvánvalóan mindenki javítani kíván helyzetén (azaz racionális ebben az értelemben). Kíséreljük meg a fenti alkudozási folyamatot valamiképpen megoldani! Induljunk ki Zeuthen eredeti megfontolásából, melynek a kölcsönös engedmény a kulcsa, képzeljünk el két felet, a munkaadót és a munkavállalót, legyen kiindulási pontunk a (0,0) azaz az a helyzet, amikor nincs megállapodás. Mindegyik játékos el áll javaslatával mind a saját megkívánt helyzetére, mind a másik fél helyzetére vonatkozóan (jelölje ezeket (x 1, x 2 ) ill. (y 1, y 2 )), tegyük fel, hogy mindkét javaslat Pareto eciens. Ekkor (x 1 y 1 )/x 1 hányados a két javaslat különbségének aránya. Az els játékos nyereségéhez képest Zeuthen evvel a hányadossal kívánta mérni az els játékos engedményét, az els játékos akkor tesz koncessziót Zeuthen szerint, ha: (x 1 y 1 )/x 1 (y 2 x 2 )/x 2 és fordítva a második félre. A következ lépésben a második játékos tesz koncessziót, és így az eljárás lépésenként konvergál, mégpedig a játékelméletb l oly jól ismert Nash megoldáshoz. Nash megoldása a felek relatív hasznainak szorzatát maximalizálja, azaz a status quóhoz képest elért el nyeik sorozatát. (Abban az értelemben analóg a már megismert utilitárius elvvel, hogy valamiféle összességi maximumot keres, nem tör dve és nem is vizsgálva az egyes felek céljait, magatartását.) 163

175 ALKUDOZÁSELMÉLET Kalai és Smorodinsky megoldása szerint a lehetséges alternatív megoldások között a feleknek vannak kit zött céljaik (és e célokat ideális pontnak nevezzük), melyek számukra az elérhet maximális nyereséget jelentik. Ekkor megoldásnak azt a pontot választják, melyre a felek lehetséges maximális nyereségének és a status quo távolságának aránya a megoldás és a status quó távolságához minden fél számára azonos. Gauthier, Kalai és Smorodinsky gondolatmenetét ötvözte Rawls-éval, azaz azt, hogy a játékosok egymást gyelve a lehet legkisebb koncessziót kívánják tenni a maximin elvvel. (Gauthier megmutatta, hogy a maximális engedmény minimalizálása ekvivalens a minimális engedmény maximalizálásával.) Így egy megoldást Gauthier megoldásnak nevezünk, ha a (Kalai és Smorodinsky értelemben vett) koncessziókat minimalizálja. Egalitáriusnak egy megoldást akkor nevezünk, ha a játékosok relatív el nyei egymás skalárszorosai, ha pedig ez a skalár 1, akkor szimmetrikus egalitárius megoldásról beszélünk, ami azt jelenti, hogy mindenki egyenl részt kap. A fenti megoldási koncepciók esetenként jelent sen különböz végeredményre vezethetnek, és némileg eltér tulajdonságokkal karakterizálhatók, egyben azonban közösek: mindegyikük a status quóhoz mért relatív helyzetre fogalmazza meg állítását, így a jobb pozícióból induló szükségképpen abszolút értelemben többet kap az osztozkodásnál. Érdemes megjegyeznünk azonban azt, ha a felek között érdekkoniktus van, azaz minden egyes lehetséges megoldásalternatívára van olyan fél, aki számára van kedvez bb megoldás (azaz igazi alkudozási helyzet van), akkor nincs olyan alkudozási megoldás, mely az egyének számára racionális (azaz nem járnak rosszabbul, mint a kiindulási helyzetükben), és független a status quótól. A fent ismertetett megoldások semmit nem állítanak a hétköznapi helyzetekben követett alkudozási magatartásról. A fenti elméleti keretek és a hétköznapi magatartás kapcsolatáról csak napjainkban indultak meg vizsgálatok. (6,1) Definíció: Alkudozási helyzeten a következ t értjük: adott N = {1,..., n} és (d, S) pár 1. S kompakt, konvex R n (S az elérhet hasznosságvektorok halmaza), 2. d S (d a hasznosságvektor a status quó pontban), 3. u S, melyre d < u. (6,2) Definíció: Legyen B n az n játékos alkudozási helyzetének halmaza, akkor a megoldás f egy A B n, f : A R n függvény, melyre f(d, S) S (d, S) A.

176 (6,1) Példa: S jelölje az egyes egyének hasznosságát egy adott alternatíva megvalósítása esetén, és legyen d a status quó pont. 165 (6,3) Definíció: Adott (d, S)-re és u R n -n u-t individuálisan racionálisnak mondjuk, ha u d (u i d i i = 1,...), u er sen individuálisan racionális, ha u > d, azt mondjuk, hogy u Pareto optimális, ha u S és w S, ha w u, akkor w = u; azt mondjuk, hogy gyengén racionális, ha w S w > u. (6,4) Definíció: Jelölje B n n játékos alkudozási helyzetének halmazát B1 n Bn, melyre i) x S x d (racionalitás) ii) (x S d y x) y S, melyre iii) ha d < y S akkor i, j N x S B n 0 Bn 1 x k = y k x N \ {i, j} és x i < y i és x j > y j. (6,5) Definíció: Azt mondjuk, hogy a megoldás gyenge Pareto optimális, ha (d, S) B, f(d, S) gyengén Pareto optimális. (6,6) Definíció: A megoldás er sen vagy gyengén individuálisan racionális (d, S) B f(d, S) individuálisan (er sen, vagy gyengén) racionális S-ben d-nél. (6,7) Definíció: Legyen π Π permutáció, f megoldás szimmetrikus (anonim), ha (d, S) B ahol π(s) = (π(u) u S. π(f(d, S)) = f(π(d), π(s)), (6,8) Definíció: Nash megoldás: n személyes nem szimmetrikus Nash megoldás a következ függvény f : B n R, mely α R n α > 0-ra (d, S) B n f(d, S) az egyetlen olyan pont, mely maximalizálja a n (u i d i )-t S-ben. (6,1) Tétel: (Nash 1950) Egy megoldás Pareto optimális, er sen individuálisan racionális, teljesül az irreleváns alternatívák függetlensége, és skála an transzformációtól független pontosan akkor, ha nem szimmetrikus Nash megoldás. (6,9) Definíció: Utilitárius megoldás: egy megoldást utilitáriusnak nevezünk, ha λ R súly, hogy (d, S) párra i=1 f(d, S) = arg max[ λ, (u d) ] = arg max[ λ, y ]

177 ALKUDOZÁSELMÉLET ahol, a skalárszorzás jele. (6,10) Definíció: Egalitárius megoldás: f egalitárius megoldás, ha f Pareto optimális, és ha λ súly (d, S) B, és λ i (f i (d, S) d i ) = λ j (f j (d, S) d j ) i, j N. Ha λ = 1, akkor f-t szimmetrikus egalitárius megoldásnak nevezünk. (6,11) Definíció: f megoldás mozgatásinvariáns, ha a R n (d, S) B f(a + d, a + S) = a + f(d, S). (6,12) Definíció: f megoldás homogén, ha α > 0 (0, S) B 0 f(0, αs) = αf(0, S). (6,13) Definíció: Azt mondjuk, hogy ha adott (a, S) B Q 0 és (b, T ) B0 P és Q < P, hogy (b, T ) (a, S)-b l adódik új ágensek bevezetésével, ha i) a i = b i i Q ii) u S pontosan akkor, ha w T u i = w i i Q. (6,14) Definíció: Azt mondjuk, hogy f megoldás ágensekben monoton, ha (a, S) B Q 0 és (b, T ) B0 P -re, mely (a, S)-b l adódik új ágensnek bevezetésével, f Q i (d, S) f i P (b, T ) i Q. (6,2) Tétel: (Thompson 1983) Egy megoldás B-n pontosan akkor elégíti ki a gyenge Pareto optimalitást, az irreleváns alternatívák függetlenségét, ágensekben monoton, folytonos és szimmetrikus, ha szimmetrikus egalitariánus megoldás. (6,15) Definíció: Jelölje I(I 1,..., I n ), ahol I i = sup{s i (S 1,..., S n ) S + }, ahol S + = {x S : x > d}, ekkor I-t ideális pontnak nevezzük. (6,16) Definíció: KalaiSomrodinsky megoldás: (S, d) alkudozási helyzet I ideális ponttal, akkor µ(s, d) S maximális, melyre µ i d i I i d i = µ j d j I j d j i, j N. (6,3) Tétel: Egy B 0 -on értelmezett megoldás pontosan akkor Pareto optimális, szimmetrikus, invariáns az an transzformációkon és ágenseken monoton, ha a KalaiSmorodinsky megoldás.

178 167 (6,17) Definíció: Gauthier megoldáson azt az x S-t értjük, melyre min i N x i d i y j d j > min y x y S +. I i d i j N I j d j (6,1) Megyjegyzés: A Gauthier megoldás nem mindig létezik. (6,1) Állítás: Ha (S, d) B és µ(s, d) er sen Pareto optimális, akkor a Gauthier megoldás és azonos a KalaiSmorodinsky megoldással. (6,18) Definíció: SenHammond egyenl ség f megoldás A-n és (S, d) A I ideális ponttal y S, ha x S, melyre i, j N i j és y i d i I i d i > x i d i I i d i > x j d j I j d j > y j d j I j d j k N \ {i, j} y k d k I k d k = x k d k I k d k. és y f(s, d) (6,4) Tétel: (KlemischAhlert 1988)! megoldás B n 0-ban, mely invariáns az an transzformációkra gyengén Pareto optimális és teljesül rá SenHammond egyenl ség, és azonos a Gauthier megoldással. (6,5) Tétel: (Klemisch-Ahlert 1988) Ha S > 2, azaz az alternatívák száma nagyobb kett nél, akkor alkudozási megoldás, mely kielégíti az an transzformációkra történ invarianciát, a gyenge egyéni racionalitást és a függetlenséget az irreleváns alternatíváktól. (6,19) Definíció: Adott S és u esetén pontosan akkor mondjuk azt, hogy érdekkoniktus van, ha y S i N, hogy y i max{s i : (s 1,..., s n ) u(s)}. (6,20) Definíció: Azt mondjuk, hogy a g megoldás független a status quó ponttól, ha d 1, d 2 D-re g(d 1 ) = g(d 2 ), ahol D a status quó pontok halmaza. (6,6) Tétel: (Klemisch-Ahlert 1988), Ha adott alkudozási szituációban érdekkoniktus van, akkor megoldás, mely kielégíti a gyenge egyéni racionalitás és a status quo függetlenség feltételeit.

179 ALKUDOZÁSELMÉLET

180 Irodalom [1] Aumann, Robert: Lectures on Game Theory. Westview Press, [2] Aumann, Robert J. and Sergiu Hart: (editors), Handbook of Game Theory with Economic Applications I., II., III, Amsterdam, London, New York and Tokyo: Elsevier, 1992, 1995, [3] Axelrod, Robert: The evolution of cooperation. New York: Basic Books, [4] Barry, Brian: Theories of Justice. Berkeley, CA: University of California Press, [5] Bicchieri, Cristina: Rationality and Coordination. Cambridge: Cambridge University Press, [6] Bicchieri, C. and M. Dalla Chiara, eds. Knowledge, Belief, and Strategic Interaction. Cambridge: Cambridge University Press, [7] Binmore, Ken: Fun and games. New York: D.C Heath, [8] Binmore, Ken: Playing fair: game theory and the social contract. Cambridge MA: MIT Press, [9] Binmore, Ken: Just Playing. Cambridge, MA: MIT Press, [10] Danielson, Peter, ed:. Modeling Rationality, Morality, and Evolution. New York: Oxford University Press, [11] Dixit, Avinash and Barry Nalebuff: Thinking Strategically. New York: W.W.Norton, [12] Dixit, Avinash and Skeath Susan: Games of Strategy. New York: W.W.Norton, [13] Filep László: Játékelmélet. FILUM,

181 170 Irodalom [14] Forgó Ferenc & Szép Jen : Bevezetés a játékelméletbe. KJK [15] Fudenberg, Drew and Jean Tirole: Game Theory. Cambridge, MA: MIT Press, [16] Fudenberg, Drew and David K. Levine, The Theory of Learning in Games, Cambridge MA and London: MIT Press, 1998 [17] Gardner Roy: Games for Business and Economics, John Wiley 1995 [18] Gauthier, David: Morals by agreement. Oxford: Oxford University Press, [19] Gibbons, Robert: Game theory for applied economists. Princeton: Princeton University Press, [20] Gintis, Herbert: Game Theory Evolving. Princeton: University Press, [21] Hargreaves Heap, S. and Y. Varoufakis (1995). Game theory: A critical introduction. London: Routledge [22] Harsanyi, John: Rational behavior and bargaining equilibrium in games and social situations. Cambridge, Cambridge University Press, [23] Harsanyi, John, Reinhard Selten: A General Theory of Equilibrium Selection in Games. Cambridge, MA: MIT Press, [24] Jeffrey, Richard: The Logic of Decision, 2nd. edn. Chicago: University of Chicago Press, 1983 [25] Kahnenman, D., P. Slovic, and A Tversky. Judgement under Uncertainty. Cambridge: Cambridge University Press, [26] Kalai, Ehud and Meir Smorodinsky: "Other Solutions to Nash's Bargaining Problem". Econometrica 43 (1975): [27] Kreps, David: Game Theory and Economic Modelling. Oxford: Oxford University Press, [28] Kuhn, Harold (ed): Classics in Game Theory. Princeton: Princeton University Press, [29] Luce, Robert Duncan and Howard Raiffa. Games and decisions. New York: Willey, 1957.

182 Irodalom 171 [30] McMillan, John, Games, Strategies and Managers, New York and Oxford: Oxford University Press, 1992 [31] Maynard Smith, John, Evolution and the Theory of Games, Cambridge, New York and Melbourne: Cambridge University Press, 1982 [32] Morrow, James D., Game Theory for Political Scientists, Princeton NJ: Princeton University Press, 1994 [33] Moulin, Herve: Game Theory for the Social Sciences. 2nd.ed New York: New York University Press, [34] Myerson, Roger: Game Theory: Analysis of Conict. Cambridge, MA: Harvard University Press, [35] Ordeshook, P.C.: Game theory and political theory. Cambridge, UK: Cambridge University Press, [36] Osborne, Martin J. and Ariel Rubinstein, Bargaining and Markets, San Diego: Academic Press, 1990 [37] Osborne, Martin, Ariel Rubinstein: A Course in Game Theory, Cambridge: MIT Press, [38] Rapoport, A: Two-person game theory. Ann Arbor, MI: University of Michigan Press, [39] Savage, Leonard: The foundations of statistics. New York: Dover, [40] Schelling, Thomas. The Strategy of Conict. Cambridge, MA: Harvard University Press, [41] Shubik, Martin: Game Theory in the Social Sciences. Cambridge, MA: MIT Press, [42] Smith, Maynard: Evolution and Theory of Games. Cambridge: Cambridge University Press, [43] Szidarovszky Ferenc, Molnár Sándor: Bevetés a játékelméletbe m szaki alkalmazásokkal. M szaki Kiadó [44] Tirole, Jean: The Theory of Industrial Organization, Cambridge, MA: MIT Press, 1989 [45] von Menachem, and Maja Bar-Hillel: "On Dividing Justly". Social Choice and Welfare 1 (1984): 1-24.

183 172 Irodalom [46] Zagare, F., Game theory: Concepts and applications. Quantitative Applications in the Social Sciences Series No. 41. Thousand Oaks, CA: Sage Publications, 1984.

184 Tárgymutató x elosztás dominálja y elosztást, 89 általános alkalmazhatóság, 162 hatalmi index, 109 KalaiSomrodinsky megoldás, 166 a játék extenzív formája, 27 abszolút Banzhaf, 112 alkudozási helyzet, 164 Allaisparadoxon, 131 anonim, 152 Bayes-i játékok, 64 Bayes-i játékok Nash egyensúlya, 65 Bentham-i igazságosság, 161 Bertrand-verseny, 17 Condorcet Paradoxon, 151 Cournot-verseny, 17, 19 DeagenPackel, 112 diktatórikus játék, 150 dominál, 13 dominált stratégiák iteratív eliminációja, 38 egalitárius megoldás, 166 egy Bayes-i játék, 64 egyszer játék, 92, 150 ellenlépés hihet, 154 elosztás, 88 er s játék, 150 evolúcióra stabil halmaz, 82 evolúciós egyensúly, 79 extenzív játékok normál alakban, 50 függetlenség, 162 fogolydilemma, 14 Gauthier megoldás, 167 GibbardSatterthwaite, 153 gyenge játék, 150 Hammond 1979, 162 hasznosságfüggvény, 129 igazságosság, 160 indukció hátrafelé, 31 indukció visszafelé, 53 információfüggvény, 59 ismételt Cournot-játék, 75 iterált dominancia, 15, 16 játék extenzív formában, 47, 49 játékok extenzív formája, 47 közös tudás, 60 kétszemélyes zérus összeg játék, 12 Kakutani, 43 karakterisztikus függvény, 84 kardinális összehasonlíthatóság, 162 kernel, 97 kevert stratégia Nash egyensúly, 37 kevert stratégia, 22, 36 kiegyensúlyozott súlyok, 93 KlemischAhlert, 167 koalíció, 83 konstans összeg játék, 85 kooperatív játékok átvihet nyereménnyel, 83 korrelált egyensúly, 39,

185 174 TÁRGYMUTATÓ Kuhn, 31, 54 lényegtelen játék, 35 legjobb válasza az adott várakozás mellett, 55 magától értet d, 61 magja, 91 mutáció, 79, 82 Nash egyensúly, 13, 36 Nash tétel, 43 Nash visszacsapás, 73 normál formában megadott játék, 11 nyeregpont, 20, 21 ordinális összehasonlíthatóság, 162 pártatlanság, 161 piaci játék átvihet nyereménnyel, 94 prudens, 20 prudens stratégia, 35 részjáték, 51, 72 racionalizálhatóság, 55 Rawls-i igazságosság, 161 SCF neutrális, 152 sejtmag, 99 SenHammond egyenl ség, 162 Shapley eloszás, 105 ShapleyShubik index, 109 Signal-függvény, 64 stabil állapot, 81 stabil halmaz, 96 Stackelberg-játék, 52 Stackelberg-verseny, 20, 47, 51 stratégia racionalizálható, 56 stratégiailag ekvivalens játék, 90 Suppes-i igazságosság, 161 Suzumura 1978, 162 szekvenciális játékok, 27 szelekció, 79 szelekció dinamikája, 80 szelekciós mechanizmus, 80 szigorúan verseng, 24 többlet, 97 tétel (folklór), 70, 72, 74 tudásfüggvénye, 60 utilitárius megoldás, 165 véges összeg játék, 12 végtelen játék diszkontálás nélkül, 68 végtelenszer ismételt játékok, 67 vélekedés, 55

186 TÁRGYMUTATÓ 175

187 176 TÁRGYMUTATÓ

188 Jelölések G játék normál alakban N játékosok halmaza i,..., n játékosok u i játékos kizet függvénye S stratégiahalmaz s i i játékos stratégiája µ i i játékos vélekedése a többi játékos magatartásáról i i játékos rendezése a kimenetek felett BR i i játékos legjobb válasza σ i i játékos kevert stratégiája Σ i i játékos kevert stratégiáinak halmaza Γ T Z h θ Θ K δ I ν N τ e ϕ π játék extenzív formában Γ csomópontjainak halmaza Γ végpontjainak halmaza a játék története információfüggvény információfüggvények halmaza tudásfüggvény diszkonttényez elosztások halmaza karakterisztikus függvény karakterisztikus függvények halmaza jelfüggvény (signal) többlet (excess) Shapleyfüggvény permutáció

189 Fogalomtár aspiration level backwards induction bargain bargaining game base game beleif best reply best response branch certain information characteristic function coalition coalitional game common knowledge commons dilemma complete information completely mixed strategy connected graph constant-sum game contingent strategy cooperative game core decision node decision tree deterrence discounting dominant strategy dominated strategy duopoloy game edge equilibrium equilibrium point essential game excess supply expected payo expected value extensive form focal point forward induction game tree game grand coalition grim aspirációs szint indukció hátrafelé alku alkudozási játék alapjáték (ismétl déses játékok esetén) vélekedés legjobb válasz legjobb válasz húzás biztos információ karakterisztikus függvény koalíció koalíciós játék közös tudás közjószág-dilemma teljes információ teljesen kevert stratégia összefügg gráf konstans összeg játék feltételes stratégia kooperatív játék mag döntési csomópont döntési fa elrettentés diszkontálás domináns stratégia dominált stratégia duopólium játék él egyensúly egyensúlyi pont lényeges játék többletkínálat várható kizetés várható érték extenzív alak gyújtópont indukció (el re) a játék fája játék nagy koalíció rendíthetetlen (szigorú)

190 imperfect information imputation incomplete information inessential game initial mode kernel knowledge mixed strategy multi-stage game mutual node non-cooperatíve game non-zero-sum game normal form nucleolus one-shot game outcome payo function payo matrix payo perfect information perfect recall power proper subgame public good pure strategy saddle point sequential equilibrium Shapley value simultancous moves solution starting node strategy prole strategy set strictly competítive subgame successive deletion of dominated strategies symmetric game trigger two-person game utility function zero-sum game nem tökéletes információ elosztás nem teljes információ lényegtelen játék kiinduló él bél (mag) tudás kevert stratégia ismétléses játék (többlépéses) kölcsönös csomópont (gráfé) nem kooperatív játék nem zérus összeg játék normál alak sejtmag egylépéses játék kimenet kizet függvény kizetési mátrix kizetés perfekt (teljes) információ teljes emlékezet hatalom valódi részjáték közjószág tiszta stratégia nyeregpont szekvenciális egyensúly Shapley-érték szimultán lépés megoldás kiinduló csomópont stratégiavektor stratégiahalmazok szigorúan versenyz részjáték a domináns stratégiák szukcesszív eliminációja szimmetrikus játék ravasz játék 2 játékossal hasznosságfüggvény zérus összeg játék