MECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája

Átírás

1 Egészségügyi mérnökképzés MECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája készítette: Németh Róbert

2 Igénybevételek térben I. Az alapelv ugyanaz, mint síkban: a keresztmetszet egyik oldalán levő szerkezetrészre ható erőket redukáljuk a keresztmetszetbe. üggvényként való ábrázolásuk axonometrikusan, vagy vetülettel oldható meg.

3 Igénybevételek térben II. Az erő felbontása: Normálerő: a km. síkjára merőleges Nyíróerő(k): a km. síkjában (két komponens) A nyomaték felbontása: Csavarónyomaték: a tartó tengelyével párhuzamos Hajlítónyomaték(ok): a km. síkjában (két komponens)

4 Igénybevételek térben III. (Központos) húzás-nyomás (Tiszta) nyírás Csavarás Hajlítás Egyenes erde Külpontos (hajlítással egyidejű) húzásnyomás Hajlítással egyidejű nyírás Nyírás és csavarás

5 Rúdszerkezetek igénybevételei Rúdszerkezet: egyes elemek hossza lényegesen nagyobb a többi kiterjedésnél Térbeli rúdszerkezet Síkbeli rúdszerkezet: Keret: erők és eltolódások a rudak közös síkjában (1 hajlítónyomaték) Tartórács: erők és eltolódások a rudak közös síkjára merőlegesen (2 nyomaték)

6 elületszerkezetek igénybevételei elületszerkezet: egyes elemek vastagsága lényegesen kisebb a többi kiterjedésnél Az igénybevételek a metszett felületben működő megoszló erők eredőjeként, mint vonal mentén megoszló (fajlagos) erőkként értelmezhetők, így mértékegységük lehet pl. kn/m, ill. knm/m

7 Sík szerkezetek igénybevételei Tárcsa: erők a síkban hatnak Normálerő Nyíróerő Lemez: erők a síkra merőlegesen hatnak Nyíróerő Hajlítónyomaték Csavarónyomaték

8 elületszerkezetek igénybevételei Lemezművek: tárcsa- és lemezszerű viselkedés egymásra hatása pl.: hajtogatott legyezőszerű alak Héjak: az igénybevételek azonosak, de a köztük levő összefüggés bonyolultabb.

9 Szilárdságtan bevezetés I. Szilárd test: korlátozottan alakváltozásra képes anyag A szilárdságtan tárgya a szilárd test: alakváltozások elmozdulások feszültségek

10 Szilárdságtan bevezetés II. A kapcsolódó fizikai tulajdonságok a szilárdsági tulajdonságok Az anyaggal szemben támasztható szilárdságtani követelmények: szilárdsági (teherbírási) merevségi (használhatósági) stabilitási

11 Szilárdságtani jelenségek Húzókísérlet l 0 erő-megnyúlás diagram l l 0

12 Szilárdságtani jelenségek Húzókísérlet l 0 Tapasztalatok: Nagyobb keresztmetszet nagyobb erő Hosszabb l 0 nagyobb megnyúlás Más anyag esetleg más görbe fajlagosítás Keresztmetszetre Egységnyi hosszra

13 Szilárdságtani jelenségek Húzókísérlet l 0 feszültségalakváltozás diagram A egy anyagra ez már ~ azonos l l 0 l 0

14 Szilárdságtani jelenségek A feszültség-alakváltozás diagramot még befolyásolja: Anyag A A A l l 0 l 0 l l 0 l 0 l l 0 l 0 Terhelés-tehermentesítés ciklusai A A A A l l 0 l 0 l l 0 l 0 l l 0 l 0 l l 0 l 0

15 Szilárdságtani jelenségek Erőbevezetés módja befolyásolja az erőjátékot /2 /2 Saint-Venant-elv: az erőbevezetés módja csak annak környezetében befolyásolja a feszültségeket, attól távolabb már nem

16 Szilárdságtani jelenségek Példák további kísérletekre: Nyomókísérlet Hasító Hajlító-húzókísérlet Nyíró

17 Szilárdságtan bevezetés II. A kapcsolódó fizikai tulajdonságok a szilárdsági tulajdonságok Az anyaggal szemben támasztható szilárdságtani követelmények: szilárdsági (teherbírási) merevségi (használhatósági) stabilitási

18 Szilárdságtan feladatai Az alakváltozásra képes rúd keresztmetszeti igénybevételeiből a keresztmetszet mentén megoszló erők (feszültségek) Az alakváltozások és az elmozdulások számítása Egyensúlyi helyzet jellemzése

19 Szilárdságtan bevezetés III. A vizsgált anyag: olytonos függvényekkel leírható kontinuum, mely a teret gyűrődés- és hézagmentesen tölti ki. Viselkedése, mikroszerkezete szerint lehet: homogén, vagy inhomogén, izotróp, anizotróp vagy ortotróp, időfüggetlen, vagy időfüggő hőmérsékletfüggetlen, vagy hőmérsékletfüggő a terhelési történettől független, vagy függő stb.

20 Vizsgált változók, egyenletek Elmozdulások Külső erők (terhek) Geometriai egyenletek Egyensúlyi egyenletek Alakváltozások Anyagegyenletek eszültségek (belső erők)

21 (Mechanikai) eszültségek I. A test részei egyensúlyban vannak. Az n normálisú elemi felület mentén megoszló erő: eszültségvektor: p n = lim A 0 Q A =d Q da nagysága és iránya is n irányától függ tenzor A-t az eredeti, vagy a megváltozott helyzetben nézzük? (nemlinearitás)

22 eszültségek II. eszültségvektor felbontása: normál- és nyírófeszültségre p n = n n n n, n n Komponensek számítása: n = p n n n= n n n = p n n = nt t nyírófeszültség indexelése: első (egyetlen) index: felület normálisa második index (ha van): irány

23 ajlagos nyúlás: Alakváltozások I. x = l 0 ajlagos szögtorzulás:,,, xy = xy xy = y l x x l y

24 Anyagegyenletek I. Anyag homogén izotróp lineárisan rugalmas időfüggetlen anyag Teher statikus, kvázi-statikus

25 Rúdmodell Tengely, keresztmetszetek Anyag z-vel párhuzamos, ill. xy-síkban Sík keresztmetszetek elve Megmerevítés elve Kis elmozdulások

26 Rudak keresztmetszeti jellemzői Terület A= A Statikai nyomaték S x = A da Tehetetlenségi nyomaték I x = A y da, S y = A y 2 da, I y = A x da x 2 da, I 0 = A Centrifugális nyomaték I xy =C xy = A r 2 da=i x I y xy da(ha x vagy y szimmetriatengely, akkor 0)

27 Súlypont S x =S y =0 ' A x S = A ' A y S = A x ' da da = S y ' A y ' da da = S x ' A

28 Steiner-tétel Koordinátarendszer eltolása S x =S y =0 (súlypont) 2 I x ' =I x A t x 2 I y' =I y A t y C x ' y ' =C xy A t x t y

29 Inerciaszámítás Koordinátarendszer elforgatása I x, I y,c xy,α adott I, I,C =? I = A 2 da, etc. =x cos y sin = x sin y cos I = I x I y 2 I x I y 2 cos 2 C xy sin 2

30 őinerciák I. I, I harmonikus függvények szélsőértékek d I d =0 ahol C =0 tan 2 0 = 2C xy I x I y, tehetetlenségi főirány 0 k 90 is megoldás I 0 főtehetetlenségi nyomaték, I 1 I 2 Megjegyzések: C 12 =0! A szimmetriatengely főirány

31 őinerciák II. I 1,2 = I x+ I y 2 ± ( I x I y 2 )2 2 + C xy Tehetetlenségi Mohr-kör

32 Normálfeszültségek - igénybevételek Sík km.:ε z =α x+ β y+ γ σ z =E ε z =a x+ b y+ c N = A M x = A σ z da M y = A σ z y da σ z xda c A=N a C xy + b I x =M x a I y + bc xy = M y [ C xy I ] 1 x = I y C xy 1 [ C 2 xy I x I y C xy I x I y C xy ]

33 Normálfeszültségek c= N A a= M xc xy + M y I x b= M x I y M y C xy C 2 xy I x I y C 2 xy I x I y σ z = N A + M xc xy + M y I x x+ M x I y M y C xy y C 2 xy I x I y C 2 xy I x I y Speciális eset: x és y főirány (C xy =0) σ z = N A + M y I y x+ M x I x y= N A + M x I x y M y I y x

34 Semleges tengely Def.: ahol a normálfeszültség nulla: 0= N A + M x I x y M y I y x egy egyenes egyenlete Speciális eset: normálerő zérus 0= M x I x y M y I y x y= M y I x M x I y x Nem párhuzamos a nyomatékvektorral ferde hajlítás N csak eltolja ezt az egyenest

35 Hajlítás és húzás-nyomás Legyen C xy =0 és M y =0: σ z = N A + M x I x A semleges tengely M x -szel párhuzamos egyenes hajlítás N és M x eredője egy nem a súlypontban ható erő külpontos húzás-nyomás Speciális eset: M x =M y =0: y Központos húzás-nyomás σ z = N A

36 Hooke-tv. alapján: Alakváltozások ε z = σ z E = N E A + M x C xy + M y I x E (C 2 xy I x I y ) x+ M x I y M y C xy E(C 2 xy I x I y ) x és y együtthatói: y κ y = M xc xy + M y I x E (C 2 xy I x I y ) görbületek (y-, x-tengelyre) a keresztmetszet alakváltozása Egyenes hajlítás esetén: κ x = M x I y M y C xy E (C 2 xy I x I y ) κ x = M x E I x

37 Rúd megnyúlása: Alakváltozások Δl= l ε z dl= l N EA dl Csak a normálerőtől függ Ha a normálerő állandó és a rúd prizmatikus: Δl= N l E A

38 Külpontos húzás-nyomás eladatrészek: Külpontos igénybevételek súlypontba redukálása Súlypontba redukált igénybevételekből feszültségek számítása, szuperponálása eszültségdiagramok Szélsőértékek keresése Semleges tengely

39 Semleges tengely, belső mag Korábbról: 0= N A + M x I x y M y I y x e x elhasználva az erő külpontosságát: e y 0= A + e y I x y e x I y x 0= 1 A + e y I x y e x I y x csak az erő helyétől függ, nagyságától nem

40 Semleges tengely, belső mag Pólus-antipólus 0= 1 A + e y I x y e x I y x egy ponthoz tartozó semleges tengely bármely pontján működtetve egy másik erőt az így kapott semleges tengely átmegy az ponton f ' ' ' f f ' ' '

41 Semleges tengely, belső mag Belső mag: A keresztmetszet kerületén levő pontokhoz tartozó semleges tengelyek által meghatározott síkidom

42 Semleges tengely, belső mag Belső mag tulajdonságai: Erő a belső mag határán: semleges tengely érinti a keresztmetszetet Erő a belső magon belül: csak azonos előjelű feszültségek Erő a belső magon kívül: egyidejűleg húzó- és nyomófeszültségek

43 Mintapélda

44 Nyírófeszültségek, igénybevételek Nyíróerőből: Tiszta nyírás esetén Hajlítással egyidejű nyírás esetén Csavarónyomatékból (csavarásból) Kör(gyűrű) keresztmetszetben Középponttól távolodva lineárisan növekvő Egyéb keresztmetszetben: Gátolatlan csavarás öblösödés Gátolt csavarás normálfeszültség

45 Tiszta nyírás eszültség: τ= T A Alakváltozás: γ= τ G = T G A

46 Hajlítással egyidejű nyírás Nyíróerő változó hajlítónyomaték változó normálfeszültség Metszet egyensúlya: iz : τ yz Reciprocitás: τ zy =τ yz = S xt y b I x Zsuravszkij-képlet

47 Kör(gyűrű) csavarása eszültség: τ z = M cs I 0 r, ahol I 0 a poláris inercia Szögtorzulás: γ z = τ z G = M cs G I 0 r A keresztmetszet alakváltozása: κ z = M cs G I 0 fajlagos elcsavarodottság