1. R É S Z S O M O G Y I N É D R. M O L N Á R J U D I T

Átírás

1 V I L L A M O S S Á G TA N I I I. 1. R É S Z S O M O G Y I N É D R. M O L N Á R J U D I T

2 ÜTEMTERV A tantárgy követelményrendszerének ismertetése. Átmeneti jelenségek bevezetése. Stacionárius és tranziens megoldás. Tranziens megoldás differenciál egyenlettel. Időállandó fogalma. Laplace transzformáció fogalma. Laplace transzformáció tulajdonságai. Derivált és integrál transzformációja. Speciális vizsgálójelek, egységugrás, Dirac-delta. Alap függvények Laplace transzformáltja (ε(t),δ(t), t, sin(ωt) cos(ωt), stb.). Laplace transzformáció legfontosabb tételei. 1. zárthelyi

3 ÜTEMTERV Inverz Laplace transzformáció résztörtekre bontással. Kifejtési tétel. Operátoros impedanciák. Laplace transzformáció alkalmazása nem energiamentes kezdőállapot esetén. Bekapcsolás jelenség. Kikapcsolás jelenség. Átkapcsolási jelenség. 2. zárthelyi Megoldás periodikus gerjesztés esetén. Kezdeti és végérték tétel. Kapcsolat az idő- és a frekvenciatartomány között. Periodikus jelek Laplace transzformáltja. Átviteli függvény, súlyfüggvény, átmeneti függvény. Konvolúció tétel. Duhamel tétel. 3. zárthelyi A Fourier sor alkalmazása periodikus gerjesztésű áramkörök számításánál. Többhullámú feszültségek és áramok. A teljesítmény számítása. Többfázisú rendszerek.

4 A TÁRGY LEZÁRÁSÁNAK MÓDJA: AL ÁÍRÁS, GYAKJEGY Az aláírás és gyakjegy megszerzésének feltétele: A félév során megírandó 3 db zárthelyi dolgozat külön-külön legalább elégséges szintű megírása (5- dik, 9-dik és 13-dik hét előadásán). A zárthelyik elméleti kérdéseinek 40% alatti teljesítése esetén a zárthelyi sikertelennek minősül! Mindegyik zárthelyi 10 pontos, a félév során tehát 30 pont szerezhető. Az elégséges szint 60% (18 pont). Akinek az összpontszáma 18 pont alatt van, az utolsó héten megírásra kerülő pótzárthelyin szerezheti meg az aláírást és a gyakjegyet, ahol a maximális 30 pontból szintén 18 pont a megfelelt eredmény. Pontszám Értékelés

5 AZ AL ÁÍRÁS PÓTL ÁSA A félév végéig meg nem szerzett aláírást és gyakjegyet a kar dékánja által kijelölt időszakban, a tanulmányi és vizsgaszabályzatban előírtak szerint lehet pótolni. Az gyakjegypótló zárthelyi anyaga az évközi zárthelyik együttes anyagával egyezik meg. Gyakjegy birtokában lehet Villamosságtan szigorlatot tenni a félévben! Szigorlat: 1. Elméleti tétel 2. Gyakorlati tétel 5

6 AJÁNLOTT IRODALOM Demeter Károlyné - Dén Gábor: Villamosságtan Hollós Edit - Vágó István: Villamosságtan Demeter Károlyné: Villamosságtan II. Fodor György: Elméleti elektrotechnika I-II. 6

7 SOROS RL KÖRRE U DC KAPCSOLÁSA

8 SOROS RL KÖRRE U DC KAPCSOLÁSA STACIONÁRIUS/ÁLLANDÓSULT ÁLLAPOT t (induktivitás rövidzár, U L =0) A homogén egyenlet (U 0 =0) = TRANZIENS/ÁTMENETI ÁLLAPOT (nincs gerjesztés)

9 DIFFERENCIÁLEGYENLET MEGOLDÁSA y IH = y H + y P Lineáris inhomogén diff. egyenlet általános megoldása = homogén egyenlet általános megoldása + inhomogén egyenlet partikuláris megoldása

10 HOMOGÉN ÁLTALÁNOS MEGOLDÁS

11 INHOMOGÉN PARTIKULÁRIS MEGOLDÁS Konstansvariálás módszere

12 INHOMOGÉN PARTIKULÁRIS MEGOLDÁS Konstansvariálás módszere

13 INHOMOGÉN PARTIKULÁRIS MEGOLDÁS Konstansvariálás módszere

14 SOROS RL KÖRRE U DC KAPCSOLÁSA Kezdeti érték feltétel: i(0)=0 mert a feszültség rákapcsolásakor az áramerősség 0!

15 SOROS RL KÖRRE U DC KAPCSOLÁSA

16 SOROS RL KÖRRE U DC KAPCSOLÁSA L L

17 SOROS RL KÖRRE U DC KAPCSOLÁSA

18 SOROS RL KÖRRE U DC KAPCSOLÁSA T = τ = időállandó [sec]

19 SOROS RL KÖRRE U DC KAPCSOLÁSA T = τ = időállandó [sec]

20 SOROS RL KÖRRE U DC KAPCSOLÁSA

21 SOROS RL KÖRRE U DC KAPCSOLÁSA Az áramváltozás gyorsaságát és a tranziens folyamat gyakorlati időtartamát az időállandó szabja meg!

22 SOROS RL KÖRRE U DC KAPCSOLÁSA

23 SOROS RL KÖRRE U DC KAPCSOLÁSA

24 SOROS RC KÖRRE U DC KAPCSOLÁSA Ri + 1 C i dt U 0 = 0 t szerint deriválás Kezdeti érték feltétel: i(0)=u 0 /R átrendezés i + 1 RC i = 0

25 SOROS RC KÖRRE U DC KAPCSOLÁSA

26 SOROS RC KÖRRE U DC KAPCSOLÁSA

27 SOROS RC KÖRRE U DC KAPCSOLÁSA

28 LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ

29 LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ Differenciálegyenletek megoldása bonyolultabb áramkörök esetén sok időt vesz igénybe

30 LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ

31 MATEMATIKAI ALAPOK Egységugrás függvény!!!

32 MATEMATIKAI ALAPOK Egységugrás függvény

33 LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ TULAJDONSÁGAI LINEARITÁS: K K

34 LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ TULAJDONSÁGAI DERIVÁLT FÜGGVÉNY TRANSZFORMÁLTJA: Parciális integrálás! f (t) g(t) Deriválás = s-el való szorzás! Mi lehet az integrálás???

35 VIZSGÁLÓ FÜGGVÉNYEK - IDŐTARTOMÁNYBAN Egységugrás függvény Kapcsoló kiváltása! Dirac delta függvény 0

36 VIZSGÁLÓ FÜGGVÉNYEK - IDŐTARTOMÁNYBAN Egységugrás függvény (pl. hirtelen gázadás) Bemenő jel Rendszer válasza 1(t) vagy ε(t) Átviteli függvény Átmeneti függvény v(t) Dirac delta függvény (pl. gázfröccs) Bemenő jel Rendszer válasza δ(t) Átviteli függvény Súlyfüggvény w(t)

37 LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ TULAJDONSÁGAI LAPLACE TRANSZFORMÁLT DERIVÁLÁSA:

38 FÜGGVÉNYEK LAPLACE TRANSZFORMÁLTJA

39 FÜGGVÉNYEK LAPLACE TRANSZFORMÁLTJA + cosφ = eiφ + e iφ 2 ( s) 2 (ia) 2 s 2 + a 2 L sin at = = a a 2 + s 2 Nyilvánvalóan a = ω

40 FÜGGVÉNYEK LAPLACE TRANSZFORMÁLTJA ( (s a)) 2

41 ÖSSZEFOGLALVA

42 LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ TÉTELEI CSILLAPÍTÁSI TÉTEL: előjel fordul! ELTOLÁSI TÉTEL: ε(t τ) ε(t τ) előjel NEM fordul!

43 LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ TÉTELEI HASONLÓSÁGI TÉTEL: A jel nyújtása, vagy gyorsítása a jel frekvenciakomponenseinek fordított arányú változását eredményezi! pl. magnókazettát dupla sebességgel játsszuk le frekvenciatartománybeli alak szélesedni kezd de ugyanazon jelkomponensek futnak cincogás

44 INVERZ LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ

45 INVERZ LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ

46 INVERZ LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ KIFEJTÉSI TÉTEL Csak valódi racionális törtfüggvények esetén alkalmazható (M és N polinomok) A nevező fokszámának nagyobbnak kell lennie, mint a számlálónak A nevezőt képző polinomnak csak egyszeres gyökei lehetnek F s = M(s) N(s) = M(s) s s 1 s s 2 (s s n ) ahol s 1, s 2, s n : az N polinom gyökei F s = C 1 s s 1 + C 2 s s C n s s n résztörteket kell visszatranszformálni nem szorzótényezőket L 1 n k=1 C k s s k n = k=1 C k e skt ε t C együtthatókat hogy kapjuk meg?

47 INVERZ LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ KIFEJTÉSI TÉTEL F s = M(s) N(s) = M(s) s s 1 s s 2 (s s n ) = C 1 s s 1 + C 2 s s C n s s n /* s s 1 Á l t a l á n o s Í t v a M(s) N(s) (s s 1) = C 1 + C 2 s s 2 * s s C n s s n s s 1 ha s = s 1 csak C 1 marad a jobb oldalon M(s 1 ) lim s s1 s s 1 N(s) C k = lim s sk M(s)(s s k ) N(s) = M s 1 1 N s 1 = M s 1 N s 1 = C 1 Deriválás s szerint = M(s k ) lim s sk s s k N(s) = M(s k) N (s k ) bal oldal: 0/0 lim! L'Hospital-szabály L 1 M(s) N(s) = n M(sk ) N (s k ) eskt ε t k=1

48 INVERZ LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ KIFEJTÉSI TÉTEL - PÉLDA L 1 M(s) N(s) = n M(sk ) N (s k ) eskt ε t L 1 1 s 2 + 5s + 6 k=1 = = e 2t e 3t

49 INVERZ LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ KIFEJTÉSI TÉTEL GYORSABB VERZIÓ L 1 M(s) N(s) = n M(sk ) N (s k ) eskt ε t k=1 SZORZAT DERIVÁLÁSA s s 1 s s 2 s s n = 1 s s2 s s n + s s 1 1 s s n + + s s 1 s s s s 2 s s 3 s s n s s 1 1 s s 3 s s n s s 1 s s 2 1 s s n s s 1 s s 2 s s 3 1 s s 1 hiányzik s s 2 hiányzik s s 3 hiányzik s s n hiányzik s=s 1 csak az első sor 0 s=s 2 csak a második sor 0 s=s n csak az n-edik sor 0 L E T A K A R Á S

50 INVERZ LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ KIFEJTÉSI TÉTEL GYORSABB VERZIÓ L 1 1 (s + 2)(s + 3) gyökök meghatározása: s = 2 s = 3 letakarani azt a tagot, amelyik nullát adna az adott gyökkel a maradék kifejezésbe behelyettesítjük a gyök értékét M(s) behelyettesítés a képletbe: L 1 N(s) e 2t e 3t = n k=1 LETAKARÁSSAL e s kt ε t =

51 INVERZ LAPLACE TRANSZFORMÁCIÓ ELŐNYE Kapcsolás átrakása frekvenciatartományba Villamosságtan I. tudás inverz Laplace transzformáció = időtartományba történő visszatérés

52 V I L L A M O S S Á G TA N I I I. 2. R É S Z S O M O G Y I N É D R. M O L N Á R J U D I T

53 OPERÁTOROS IMPEDANCIÁK u t = R i(t) U s = R I(s) Ha az induktivitás kezdeti árama (I 0 ) és a kondenzátor kezdeti feszültsége (U 0 ) nulla (energiamentes kezdeti állapot): Bekapcsolási jelenség

54 OPERÁTOROS IMPEDANCIÁK

55 BEKAPCSOLÁSI JELENSÉG SOROS RL U s sl visszatranszformálás ábrázolás! visszatranszformálás

56 BEKAPCSOLÁSI JELENSÉG SOROS RC U s 1 sc visszatranszformálás ábrázolás!

57 NEM ENERGIAMENTES KEZDŐÁLLAPOT INDUKTIVITÁS

58 NEM ENERGIAMENTES KEZDŐÁLLAPOT INDUKTIVITÁS

59 NEM ENERGIAMENTES KEZDŐÁLLAPOT KONDENZÁTOR U s = U 0 s + 1 I s sc

60 NEM ENERGIAMENTES KEZDŐÁLLAPOT KONDENZÁTOR

61 KIKAPCSOLÁSI JELENSÉG RL i L (t)=i R2 (t) 2 i L (t) I L0 = U 0 R u L (t) Az induktivitás az energiáját az R 2 ellenálláson tudja leadni (hővé alakul át W L =1/2*L*(I L0 ) 2 ). Termelő: U & I iránya ellentétes!!!

62 KIKAPCSOLÁSI JELENSÉG RL i L (t)=i R2 (t) 2 i L (t) I L0 = U 0 R u L (t) u = L di dt

63 KIKAPCSOLÁSI JELENSÉG RL i L (t)=i R2 (t) 2 i L (t) I L0 = U 0 R u = L di dt

64 KIKAPCSOLÁSI JELENSÉG RC i c (t) u C (t) u R2 (t) u C (t)=-u R2 (t) A kapacitás energiája az R 2 ellenálláson hővé alakul. Termelő: U & I iránya ellentétes!!! i c t = U C0 R 2 e 1 R 2 C ε(t)

65 KIKAPCSOLÁSI JELENSÉG RC u C (t) u C (t)=u R2 (t) i= C du dt i c t = U C0 R 2 e 1 R 2 C ε(t)

66 BEKAPCSOLÁSI JELENSÉG DE NEM ENERGIAMENTES Millman tétel!

67 BEKAPCSOLÁSI JELENSÉG RLC D>0 D=0 Aperiodikus megoldás D<0 ha D > 0 U 0 L 1 L (s + s 1 )(s + s 2 ) = U 0 L 1 ( s 1 + s 2 ) e s 1t + 1 ( s 2 + s 1 ) e s 2t Csak tranziens van!

68 BEKAPCSOLÁSI JELENSÉG RLC ha D = 0 s 1,2 = R 2L U 0 L 1 L s + R 2L 2 = U 0 L t e R 2L t ábrázolás!

69 BEKAPCSOLÁSI JELENSÉG RLC α = R 2L α: csillapítási tényező ω 0 = 1 LC ω 0 : a kör saját csillapítatlan körfrekvenciája ω cs = ω 0 2 α 2 ω cs : a kör csillapított körfrekvenciája ha D < 0 L 1 U0 L s 2 + R L s+ 1 LC = teljes négyzetté alakítás csillapodó szinuszos jel Induktivitás és kapacitás között ismétlődő energialengés jön létre. Áram csökken induktivitás energiájának egy részét a kapacitásnak adja át villamos energia formájában benne felhalmozódik majd kisül visszaadja az energiát az induktivitásnak. DE az ellenállás egyre több energiát emészt fel csillapodás Periodikus megoldás exp burkológörbe

70 ÁTKAPCSOLÁSI JELENSÉG

71 ÁTKAPCSOLÁSI JELENSÉG PÉLDA 40 Bekapcsolás: L 1 s 1 sc +R Th U C (t=4ms)= 34,6 V τ = R Th C = 2 ms t = 4 ms i = 0,027 A 40 L 1 s 1 sc 1 sc + R Th i C t = 40 R Th e 1 R Th C t u C t = 40 40e 1 R Th C t 24,6 Átkapcsolás: L 1 s 1 i C (t) = 24,6 sc +R Th τ = R Th C = 2 ms t = 0 ms i C = 0,123 A R Th e 1 R Th C t

72 BEKAPCSOLÁSI JELENSÉG U AC GERJESZTÉSSEL τ = L R Ha az áram szöge φ 1 =0 azaz ψ = φ tranziens nem lép fel!

73 BEKAPCSOLÁSI JELENSÉG U AC GERJESZTÉSSEL Ha pl. 90 -nál kapcsolunk be és τ többszöröse a periódusidőnek az áram pillanatértéke a sin első negatív csúcsánál az állandósult áram legnagyobb pillanatértékének csaknem 2x-ese lesz!

74 KEZDETI ÉS VÉGÉRTÉK TÉTEL A lineáris invariáns hálózatok keresett feszültségeinek és áramainak értékét a t 0 pillanatra és t esetére az átmeneti jelenség számítása nélkül meg tudjuk határozni az alábbi összefüggéssel idő és frekvencia fordítottan arányos! A Laplace transzformációval történő számítás ellenőrzésére jó lehetőséget jelent!

75 KEZDETI ÉS VÉGÉRTÉK TÉTEL PÉLDA U s sl t = 0 t = lim s I(s) = lim s s s lim s I(s) = lim s s 0 s 0 U s(r + sl) = lim s U s(r + sl) = lim s 0 U (R + sl) = 0 U (R + sl) = U R i(t) U R

76 PERIODIKUS JELEK LAPLACE TRANSZFORMÁLTJA Egy periódus időfüggvénye: f T t = f t ε t f(t T)ε t T Egy periódus Laplace transzformáltja: F T s = F s F s e st = F(s)(1 e st ) A periodikus jel Laplace transzformáltja: F s = F T s 1 e st

77 PERIODIKUS JELEK LAPLACE TRANSZFORMÁLTJA Mi lehet a megoldás?

78 PERIODIKUS JELEK LAPLACE TRANSZFORMÁLTJA

79 PERIODIKUS JELEK LAPLACE TRANSZFORMÁLTJA

80 PERIODIKUS JELEK LAPLACE TRANSZFORMÁLTJA

81 PERIODIKUS JELEK LAPLACE TRANSZFORMÁLTJA

82 PERIODIKUS JELEK LAPLACE TRANSZFORMÁLTJA

83 ÁTVITELI FÜGGVÉNY Időtartomány Frekvencia tartomány Bemenő jel Rendszer válasza Bemenő jel Rendszer válasza u(t) v(t) U(s) V(s) Átviteli Átviteli függvény függvény Az átviteli függvény definíció szerint a kimeneti jel Laplace transzformáltja osztva a bemeneti jel Laplace transzformáltjával. Ha egy rendszernek ismerjük az átviteli függvényét, akkor könnyen meghatározhatjuk a különböző bementekhez tartozó válaszokat.

84 VÁLASZ EGYSÉGIMPULZUS BEMENETRE Időtartomány Frekvencia tartomány Bemenő jel Rendszer válasza Bemenő jel Rendszer válasza δ(t) Átviteli w(t) 1 Átviteli W(s) függvény függvény az átviteli függvény a súlyfüggvény Laplace transzformáltja W s = Y(s)

85 VÁLASZ EGYSÉGUGRÁS BEMENETRE Időtartomány Frekvencia tartomány Bemenő jel Rendszer válasza Bemenő jel Rendszer válasza ε(t) Átviteli v(t) 1/s Átviteli V(s) függvény függvény W s = Y(s) V s = 1 s Y s V s = 1 s W s W s = s V s a súlyfüggvény az átmeneti függvény deriváltja az átmeneti függvény a súlyfüggvény idő szerinti integrálja v t = 0 τw t dt vagy w t = dv dt

86 PÉLDÁK i(t) Feszültség számítása i(t) i(t) i(t) Feszültség számítása

87 V I L L A M O S S Á G TA N I I I. 3. R É S Z S O M O G Y I N É D R. M O L N Á R J U D I T

88 TÖBBHULLÁMÚ MENNYISÉGEK Mi van, ha periodikus a generátor U/I jele, de NEM szinuszos? pl: négyszög; egy, vagy kétüteműen egyenirányított szinuszos jel, stb. Lineáris terhelés Nem lineáris terhelés

89 Determinisztikus jelek: matematikai kifejezésekkel leírhatóak és matematikai összefüggésekkel kezelhetőek. Sztochasztikus jelek: matematikai módszerekkel csak részlegesen kezelhetőek. Statisztikai jellemzőkkel vázolhatók. A kváziperiodikus jel hasonlít a periodikus jelre, de csak bizonyos frekvencián van értelmezve. Tranziens jelek: egyszeri, nem periodikus folyamatok (Fourier és Laplace transzformáció).

90 FOURIER SORFEJTÉSI TÉTELE Periodikus függvény előállítható végtelen tagszámú szinuszos és koszinuszos függvények összegeként, amelyeknek körfrekvenciái az alap-körfrekvencia (legkisebb körfrekvenciájú tag körfrekvenciája) egész számú többszörösei. A periodikus jelet harmonikus komponenseire bontjuk. f n n f 1 f 1 : alapharmonikus frekvenciája

91 SZINUSZOS JEL ω f ( t) Asin( 2πf t φ)

92 ÖSSZETETT PERIODIKUS JEL

93 KVÁZI PERIODIKUS JEL

94 FOURIER TRANSZFORMÁCIÓ Szinuszos-koszinuszos leírásmód: f ( t) ( cos kωt sin kωt) F 0 k 1 A k B k Nehezen ábrázolható (kétértékű lenne a függvény) két együttható lesz ugyanarra a frekvenciára más leírásmód lenne célszerű! Egyszerűen megkapható a Fourier sor együttható sorozata.

95 AZ EGYÜTTHATÓK SZÁMÍTÁSA F o A k T 0 2π 1 1 = f ( t ) dt = f ( ωt ) d ( ωt ) T 2π T = f ( t ) cos kωt dt = f ( ωt ) cos kωt d ( ωt ) T π 2π 0 Lineáris középérték (DC összetevő) B k T 2 1 = f ( t ) sin kωt dt = f ( ωt ) sin kωt d ( ωt ) T π 0 2π 0 k = 1, alapharmonikus k > 1, felharmonikus

96 FOURIER TRANSZFORMÁCIÓ Abszolút érték és fázis leírásmód: C k A 2 k B 2 k C k : amplitúdó spektrum k arctg ρ k : fázis B A k k Sin-os és cos-os tag összevonása egy cos-os komponensbe. f ( t) F C cos ( kωt ρ 0 k 1 k k )

97 FOURIER SOR NÉHÁNY TULAJDONSÁGA Ha a periodikus f (t) függvény: f F A ( ) t ( cos kωt sin kωt) 0 k 1 k B k 1.) páratlan: f(-t) = -f(t) (csak képzetes komponense lesz a jelnek) F 0 = 0 A k = 0 (páratlan függvény Fourier-sorában cos(kωt) nem szerepel) 2.) páros: f(-t) = f(t) (csak valós komponense lesz a jelnek) B k = 0 (páros függvény Fourier-sorában sin(kωt) nem szerepel) 3.) A két félperiódus egymásnak tükörképe f(t + T/2) = -f(t) F 0 = 0 A 2n = 0 B 2n = 0 (kizárólag a páratlan indexű együtthatók lehetnek zérustól különbözőek)

98 ISMERT JELEK FOURIER-SORA

99 Négyszögjel (ptl) Fourier sora: T=10 ω = 2π T = 2π 10 az alapharmonikus Együtthatók számítása: B k = 2 1 π 0 π 1 sin kωt dωt = 2 π 2 4 [ cos kπ + cos(0 ] = kπ kπ cos kωt k π 0 = Alapharmonikus 2. Alap- és az első felharmonikus 3. Alap- és az első két felharmonikus 4. Alap- és az első kilenc felharmonikus 5. Alap- és az első száz felharmonikus 6. Alap- és az első ezer felharmonikus 5. 6.

100 HÉTKÖZNAPI PÉLDÁK FT ALKALMAZÁSÁRA Hangfeldolgozás (equalizer: különböző frekvenciák amplitúdóinak változtatása) Képfeldolgozás: Fourier-transzformáció segítségével frekvenciatérben végezhetünk képeken módosításokat: kiszűrhetjük vagy eltüntethetjük az éleket pusztán azzal, hogy kiemeljük vagy elnyomjuk a magas frekvenciákat (alul- es felüláteresztő szűrők).

101 HÉTKÖZNAPI PÉLDÁK FT ALKALMAZÁSÁRA Még a kiváló minőségű erősítők is torzítják a jeleket: Balra: 1 MHz frekvenciájú és 1 V amplitúdójú szinusz jel torzítatlannak tűnik Jobbra: frekvenciaspektrumán viszont már egyértelműen láthatók az alapharmonikus többszörösein megjelenő felharmonikusok. Az egyre csökkenő amplitúdójú felharmonikusok rendre a 2, 3 és 4 MHz-es frekvencián, az 1 MHz-es alapharmonikus frekvenciájának egész számú többszörösein jelennek meg!

102 NEM PERIODIKUS JELNÉL MI VAN? Egyszeri folyamatoknak tekinthetők T azaz a frekvencia spektrum besűrűsödik Fourier integrál alkalmas a jel leírására (minden frekvencián értelmezve van): F ( ω) f ( t) e jωt dt

103 NEM SZINUSZOS PERIODIKUS ÁRAMÚ HÁLÓZATOK SZÁMÍTÁSA Többhullámú feszültséggenerátor a periodikus jelet időben állandó és szinuszos, ill. koszinuszos jelek összegére bontjuk fel szuperpozíció elv alapján: sorba kapcsolt generátorok, melyek az egyes harmonikusoknak megfelelő szinuszos feszültséget és U DC -t szolgáltatják egyenáram alapharmonikus felharmonikusok i(ωt) U o u 1 (ωt) u k (kωt) u(ωt) Harmonikusokként rakjuk össze!!!

104 egyenáram alapharmonikus felharmonikusok Ellenállás Ohmos terhelés esetén az áram és a feszültség felharmonikusainak aránya megegyezik. I o = U R o I U R U R 1 k k 1 =... I k = = 1 I I U U k 1 U k I k = U 1 I 1 Induktivitás (X L az egyes harmonikusokra más és más) alapharmonikus I 1 = U 1 ωl... I k = U k kωl Kapacitás (X C is változik a frekivel) alapharmonikus felharmonikusok felharmonikusok I k I1= U ω C... I k = U kωc = 1 k I I I k 1 1 = 1 k k U U U U k 1 k 1 Egy periodikus feszültségjel hatására kialakult áram felharmonikusát az induktivitás fojtja/simítja. Röviden: növekvő frekvencia elnyomja/fojtja a harmonikus áramokat. Növekvő frekvencia megnöveli/kiemeli a harmonikus áramokat.

105 PERIODIKUS JEL EFFEKTÍV ÉRTÉKE Legyen u(t) és i(t) egy periodikus feszültség, ill. áram Fourier sora: A feszültség és áram effektív értéke a RMS alapján: Harmonikusok effektív értékei

106 TÖBBHULLÁMÚ FESZÜLTSÉGEK ÉS ÁRAMOK TELJESÍTMÉNYEI Hatásos teljesítmény: az egyes harmonikusok hatásos teljesítményeinek összege P = P o + P k = 1 k = U o I o + U k = 1 k I k cos φ Hatásos teljesítményt csak azonos rendszámú (összetartozó) U és I hoz létre!!! k

107 TÖBBHULLÁMÚ FESZÜLTSÉGEK ÉS ÁRAMOK TELJESÍTMÉNYEI Meddő teljesítmény: az egyes harmonikusok meddő teljesítményeinek összege Meddőteljesítményt csak azonos rendszámú (összetartozó) U és I hoz létre!!! Egyenáramú összetevő meddő teljesítményt NEM hoz létre! Látszólagos teljesítmény: effektív értékek szorzata Eltérés a szinuszos áramú hálózatoktól:

108 PÉLDA 1 Fogyasztó feszültségének és áramának időfüggvénye: P, Q, S =? harmonikusokként kell számolni! (fáziseltérések egyszerű leolvasása miatt egységesítés lehet szükséges: csak sin/cos

109 PÉLDA 1 Kapacitív jelleg!

110 PÉLDA 1

111 PÉLDA 2 Eredő áram, hatásos teljesítmény =? Megoldás: 1. Reaktanciák számítása a különböző körfrekvenciákra (rezgőkör van-e?). 2. Szuperpozíció tétel alkalmazása (3 fesz.gen soros kapcsolása). 3. Eredő áramok számítása általánosított Ohm törvénnyel (sajnos komplex lesz).

112 PÉLDA 3 50sin(2ωt + 90 ) Eredő áram, eredő látszólagos teljesítmény =? Megoldás: 1. Reaktanciák számítása a különböző körfrekvenciákra (rezgőkör van-e?). 2. Szuperpozíció tétel alkalmazása (3 fesz.gen soros kapcsolása). 3. Eredő áramok számítása általánosított Ohm törvénnyel (sajnos komplex lesz). 5sin(2ωt + 90 )

113 =? PÉLDA 4 alapfrekin Megoldás: 1. Reaktanciák számítása a különböző körfrekvenciákra (rezgőkör van-e?). ( ) 2. Szuperpozíció tétel alkalmazása (3 fesz.gen soros kapcsolása). 3. Eredő áram számítása általánosított Ohm törvénnyel (sajnos komplex lesz). 4. Áramosztó formula alkalmazása.

114 PÉLDA 5? = u C (t)=? és a kondenzátor feszültségének effektív értéke =? Megoldás: 1. Reaktancia számítása 2ω-ra 2. Szuperpozíció tétel alkalmazása (2 fesz.gen soros kapcsolása + az egyenfeszültségű gen.). 3. Feszültségosztó formula alkalmazása.