rendszerek Szalai István Budapest Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 1 / 19

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "rendszerek Szalai István Budapest Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 1 / 19"

Átírás

1 Nemlineáris dinamika, oszcilláló reakciók, reakció-diffúzió rendszerek Szalai István Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 1 / 19

2 Olvasnivalók Encyclopedia of dynamical systems ( of dynamical systems) Prigogine-Stengers: Az új szövetség (Akadémiai Kiadó, 1995) Pontrjagin: Közönséges diffrenciálegyenletek (Akadémiai Kiadó, 1972) Tóth J., Simon L. P.: Differenciálegyenletek, Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba (Typotex, 2005) Tél-Gruiz: Kaotikus Dinamika (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002) Nemlineáris dinamika és egzotikus kinetikai jelenségek kémiai rendszerekben (egyetemi jegyzet, Szerkesztő: Dr. Bazsa György, Debrecen-Budapest-Gödöllő, 1992) Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 2 / 19

3 Olvasnivalók John Maynard Smith, Szatmáry Eörs: Az evolúció nagy lépései (Scientia Kiadó, 1997) Mérő László: Észjárások (Typotex, 1994), Az élő pénz (Tericum, 2004) Ropolyi László: Az Internet természete (Typotex, 2006) Roger Penrose: A császár új elméje (Akadémiai Kiadó, 1993) D. R. Hofstadter Gödel, Escher, Bach (Typotex, 1998) Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 3 / 19

4 Bevezetés Motiváció,,egy élettelen, de kellően összetett kémiájú bolygón nagyon valószínű, hogy az élet spontán módon kialakul, és egyre összetettebb és bonyolultabb formákba rendezi önmagát. Csak azt kell megérteni, hogy... milyen fizikai törvények tették az élet felé vezető első lépést nemcsak lehetségessé, de elkerülhetetlenné is. (Ian Stewart: A végtelen megszeĺıdítése, Helikon, 2008) Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 4 / 19

5 Bevezetés Motiváció,,egy élettelen, de kellően összetett kémiájú bolygón nagyon valószínű, hogy az élet spontán módon kialakul, és egyre összetettebb és bonyolultabb formákba rendezi önmagát. Csak azt kell megérteni, hogy... milyen fizikai törvények tették az élet felé vezető első lépést nemcsak lehetségessé, de elkerülhetetlenné is. (Ian Stewart: A végtelen megszeĺıdítése, Helikon, 2008) Milyen kémiai reakciók és milyen körülmények szükségesek komplex viselkedésmódok kialakulásához? Mennyire különlegesek, ritkák az ilyen kémiai reakciók? Hogyan szabályozható a dinamikai viselkedés? zalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 4 / 19

6 Bevezetés Dinamikai rendszerek,,általánosságban a dinamikai rendszerek időben változó, determinisztikus fizikai, vagy biológiai rendszerek matematikai modelljei. Folytonosan változó rendszerek esetén ezt az időbeli fejlődést tipikusan valamilyen differenciálegyenlet írja le, ezekről majd később lesz szó. Diszkrét dinamikai rendszernek azt nevezzük, ha van egy leképezésünk valamilyen halmazon, ahol a halmaz elemei a rendszer lehetséges állapotai (egyszerűbb esetben számok, de lehetnek vektorok vagy akár komplikáltabb dolgok is), és ezt iteráljuk. nemlinearis.blog.hu/2008/08/26/mik azok a dinamikai rendszerek 1 Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 5 / 19

7 Bevezetés Dinamikai rendszerek,,általánosságban a dinamikai rendszerek időben változó, determinisztikus fizikai, vagy biológiai rendszerek matematikai modelljei. Folytonosan változó rendszerek esetén ezt az időbeli fejlődést tipikusan valamilyen differenciálegyenlet írja le, ezekről majd később lesz szó. Diszkrét dinamikai rendszernek azt nevezzük, ha van egy leképezésünk valamilyen halmazon, ahol a halmaz elemei a rendszer lehetséges állapotai (egyszerűbb esetben számok, de lehetnek vektorok vagy akár komplikáltabb dolgok is), és ezt iteráljuk. nemlinearis.blog.hu/2008/08/26/mik azok a dinamikai rendszerek 1,,A dinamikai rendszerek elmélete egy matematikai elmélet (általában az anaĺızis körébe sorolják), amely egy állapottérrel leírt rendszer valamely álapotainak rögzített szabályok szerinti időbeli változásával foglalkozik. hu.wikipedia.org/wiki/dinamikai rendszer Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 5 / 19

8 ,,Egyszerű (lineáris) rendszerek F = mg sin θ sin θ θ θ = g l θ l T = 2π g zalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 6 / 19

9 ,,Egyszerű (lineáris) rendszerek A k 1 B k 2 C k 3 D c A = k 1 c A c B = k 1 c A k 2 c B c C = k 2 c B k 3 c C c D = k 3 c C c A = c 0 A e k 1t c B = c0 A k 1 (e k1t e k2t ) k 2 k 1 c C = ca 0 k e k 1t 1k 2 ( (k 2 k 1 )(k 3 k 1 ) e k2t (k 2 k 1 )(k 3 k 2 ) e k3t (k 3 k 1 )(k 3 k 2 ) ) zalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 7 / 19

10 ,,Egyszerű (lineáris) rendszerek Schrödinger egyenlet i t Ψ = ĤΨ Ĥ = 2 + V (r, t) 2m = 2 x + 2 y + 2 z Szuperpozíció elve (LCAO): φ i = r c ri χ r Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 8 / 19

11 ,,Egyszeru (linea ris) rendszerek Jellemzo k Egye rtelmu ok-okozati o sszefu gge sek. Az okozat ara nyos a kiva lto okkal. Kisza mı thato sa g. Elo rejelezheto se g. Az ege sz a re szek o sszesse ge. Szalai Istva n ELTE ( Eo tvo s Lora nd Tudoma nyegyetem Budapest 2011 ) 9 / 19

12 Háromtest probléma II. Oszkár svéd király (1888) Given a system of arbitrarily many mass points that attract each according to Newton s law, under the assumption that no two points ever collide, try to find a representation of the coordinates of each point as a series in a variable that is some known function of time and for all of whose values the series converges uniformly. Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 10 / 19

13 Háromtest probléma Henri Poincaré nyer és veszít A határidő előtt két héttel (1888 május 17.) leadja 158 oldalas bizonyítását a megoldás létezéséről. Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 11 / 19

14 Háromtest probléma Henri Poincaré nyer és veszít A határidő előtt két héttel (1888 május 17.) leadja 158 oldalas bizonyítását a megoldás létezéséről. Poincaré megnyeri a díjat (1889 január 27.), ami 2500 svéd korona. A bizonyítást az Acta Mathematica újság fogadja el közlésre. Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 11 / 19

15 Háromtest probléma Henri Poincaré nyer és veszít A határidő előtt két héttel (1888 május 17.) leadja 158 oldalas bizonyítását a megoldás létezéséről. Poincaré megnyeri a díjat (1889 január 27.), ami 2500 svéd korona. A bizonyítást az Acta Mathematica újság fogadja el közlésre. Poincaré 1989 november 30-án leálĺıtja a nyomtatást és a közli újabb 270 oldalas bizonyítását. Ebben megmutatja, hogy a problémának nincs általános megoldása és azt is hogy bizonyos kezdeti feltételeknél a megoldás,,megjósolhatalan. Az újranyomtatás 3500 svéd koronába kerül Poincarénak. zalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 11 / 19

16 Komplex (nemlineáris) rendszerek Kettős inga - kaotikus mozgás (egyszerű rendszerek bonyolult viselkedése) Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 12 / 19

17 Komplex (nemlineáris) rendszerek Szolitonok (lokalizált hullámok, amelyek mozgásuk, egymással való ütközésük során megtartják alakjukat) v = g(d + h) Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 13 / 19

18 Komplex (nemlineáris) rendszerek Szolitonok (lokalizált hullámok, amelyek mozgásuk, egymással való ütközésük során megtartják alakjukat) Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 14 / 19

19 Komplex (nemlineáris) rendszerek Faraday mintázatok - folyadékfelszínen kialakuló állandó lyukak F. S. Merkt, R. D. Deegan, D. I. Goldman, E. C. Rericha, and Harry L. Swinney PRL (92), 2004 Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 15 / 19

20 Komplex (nemlineáris) rendszerek Folyadékcseppek Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 16 / 19

21 Komplex (nemlineáris) rendszerek Pattogó folyadékcseppek Y. Couder, S. Protière, E. Fort, A. Boudaoud, Nature (437), 2005 Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 17 / 19

22 Komplex (nemlineáris) rendszerek,,egyszerű kémiai reakció által létrehozott hidrodinamikai áramlás NaOH + HCl = NaCl ρ(naoh)> ρ(hcl) C. Almarcha, P.M.J. Trevelyan, P. Grosfils and A. De Wit, Phys. Rev. Lett. (104) Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 18 / 19

23 Komplex (nemlineáris) rendszerek,,egyszerű kémiai reakció által létrehozott hidrodinamikai áramlás NaOH + HCl = NaCl ρ(naoh)> ρ(hcl) C. Almarcha, P.M.J. Trevelyan, P. Grosfils and A. De Wit, Phys. Rev. Lett. (104) D(HCl)> D(NaCl) D(NaOH) D(NaCl) Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 18 / 19

24 Komplex (nemlineáris) rendszerek Jellemzők Körkörös ok-okozati összefüggések, visszacsatolások. Kis különbségek a kezdeti feltételekben drámai változásokat okozhatnak. Kiszámíthatatlanság. Önszerveződés. Az egész nem csupán a részek összessége. zalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 19 / 19

biológiai mintázatok

biológiai mintázatok Ki festi a zebra csíkját? Önszerveződő kémiai és biológiai mintázatok Szalai István Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 1 / 30 Bevezetés

Részletesebben

Ritmikus kémia. Szalai István ELTE

Ritmikus kémia. Szalai István ELTE Ritmikus kémia Szalai István ELTE 2015 Ritmus - Idõbeli jelenségekben megnyilvánuló szabályos váltakozás - Térbeli formáknak, elemeknek szabályos vagy arányos elrendezõdése, tagoltsága (Magyar értelmezõ

Részletesebben

Rend, rendezetlenség, szimmetriák (rövidített változat)

Rend, rendezetlenség, szimmetriák (rövidített változat) Rend, rendezetlenség, szimmetriák (rövidített változat) dr. Tasnádi Tamás 1 2018. február 16. 1 BME, Matematikai Intézet Tartalom Mi a rend? Érdekes grafikáktól a periodikus rácsokig Nem periodikus parkettázások

Részletesebben

Válogatott fejezetek a matematikából

Válogatott fejezetek a matematikából Válogatott fejezetek a matematikából ---- ---- Simon Péter Válogatott fejezetek a matematikából Egyetemi jegyzet IK ISBN 978-963-489-068-3 Simon Péter --- simon_valogatott_matematika_borito.indd 1 2019.03.19.

Részletesebben

FRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ

FRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ FRAKTÁLOK ÉS A KÁOSZ Meszéna Tamás Ciszterci Rend Nagy Lajos Gimnáziuma és Kollégiuma, Pécs, meszena.tamas@gmail.com, az ELTE Fizika Tanítása doktori program hallgatója ÖSSZEFOGLALÁS A fraktálok olyan

Részletesebben

Hiszterézises káoszgenerátor vizsgálata

Hiszterézises káoszgenerátor vizsgálata vizsgálata Csikja Rudolf 2007. november 14. 1 / 34 Smale-patkó Smale-patkó Smale-patkó Cantor-halmaz A végtelen sorozatok tere 2 / 34 Smale-patkó L S R L R T B 3 / 34 Smale-patkó f(x, y) = A [ ] [ ] x

Részletesebben

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia, Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus

Részletesebben

Autonóm egyenletek, dinamikai rendszerek

Autonóm egyenletek, dinamikai rendszerek 238 8. Autonóm egyenletek, dinamikai rendszerek 8.8. tétel. (Andronov Witt) 5 6 Ha a Γ periodikus pálya karakterisztikus multiplikátorainak abszolút értéke 1-nél kisebb, akkor a Γ pálya stabilis határciklus.

Részletesebben

Idegen atomok hatása a grafén vezet képességére

Idegen atomok hatása a grafén vezet képességére hatása a grafén vezet képességére Eötvös Loránd Tudományegyetem, Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék Mahe Tisk'11 Vázlat 1 Kisérleti eredmények Kémiai szennyez k hatása a Fermi-energiára A vezet képesség

Részletesebben

Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba. Javítások és kiegészítések

Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba. Javítások és kiegészítések Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba. Javítások és kiegészítések Differenciálegyenletek Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba. Javítások és kiegészítések Tóth János

Részletesebben

Bevezetés a kaotikus rendszerekbe

Bevezetés a kaotikus rendszerekbe Bevezetés a kaotikus rendszerekbe. előadás Könyvészet: Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos Káosz, fraktálok és dinamika ` Fraktálok: szépség matematikai leírás Fraktálzene: Phil Thompson Me

Részletesebben

A differenciálegyenletek csodálatos világa

A differenciálegyenletek csodálatos világa A differenciálegyenletek csodálatos világa Besenyei Ádám badam@cs.elte.hu Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Matematikai Intézet Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest ELTE TTK Nyílt

Részletesebben

Kvantummechanikai alapok I.

Kvantummechanikai alapok I. Kvantummechanikai alapok I. Dr. Berta Miklós bertam@sze.hu 2017. szeptember 21. 1 / 41 Állapotfüggvény. Dinamikai egyenlet. Ψ(r, t) 2 / 41 Állapotfüggvény. Dinamikai egyenlet. Ψ(r, t) Ψ(r, t)-csak a hely

Részletesebben

Differenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.

Differenciálegyenletek numerikus integrálása április 9. Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek

Részletesebben

A spin. November 28, 2006

A spin. November 28, 2006 A spin November 28, 2006 1 A spin a kvantummechanikában Az elektronnak és sok más kvantummechanikai részecskének is van egy saját impulzusnyomatéka amely független a mozgásállapottól. (Úgy is mondhatjuk,

Részletesebben

DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN. 2003.11.06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1

DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN. 2003.11.06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1 DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN 2003..06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet Egy bemenetű, egy kimenetű rendszer u(t) diff. egyenlet v(t) zárt alakban n-edrendű diff. egyenlet

Részletesebben

Atomok és molekulák elektronszerkezete

Atomok és molekulák elektronszerkezete Atomok és molekulák elektronszerkezete Szabad atomok és molekulák Schrödinger egyenlete Tekintsünk egy kvantummechanikai rendszert amely N n magból és N e elektronból áll. Koordinátáikat jelölje rendre

Részletesebben

Matematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot.

Matematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot. 3. Fejezet Matematikai háttér A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot René Descartes Számtalan kiváló szakirodalom foglalkozik a különféle differenciálegyenletek

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

Univerzalitási osztályok nemegyensúlyi rendszerekben, Ódor Géza

Univerzalitási osztályok nemegyensúlyi rendszerekben, Ódor Géza Univerzalitási osztályok nemegyensúlyi rendszerekben, Ódor Géza odor@mfa.kfki.hu 1. Bevezetõ, dinamikus skálázás, kritikus exponensek, térelmélet formalizmus, renormalizáció, topológius fázis diagrammok,

Részletesebben

Differenciálegyenlet rendszerek

Differenciálegyenlet rendszerek Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján

Részletesebben

LIST OF PUBLICATIONS

LIST OF PUBLICATIONS Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp. 33 (2010) 21-25 LIST OF PUBLICATIONS Péter Simon [1] Verallgemeinerte Walsh-Fourierreihen I., Annales Univ. Sci. Budapest. Sect. Math., 16 (1973), 103-113. [2]

Részletesebben

Elhangzott tananyag óránkénti bontásban

Elhangzott tananyag óránkénti bontásban TTK, Matematikus alapszak Differenciálegyenletek (Előadás BMETE93AM03; Gyakorlat BME TE93AM04) Elhangzott tananyag óránkénti bontásban 2016. február 15. 1. előadás. Közönséges differenciálegyenlet fogalma.

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

EGYSZERŰ, SZÉP ÉS IGAZ

EGYSZERŰ, SZÉP ÉS IGAZ EGYSZERŰ, SZÉP ÉS IGAZ AVAGY EGY FIZIKUS (FIZIKATANÁR?) VILÁGKÉPE Trócsányi Zoltán Eötvös Loránd Tudományegyetem és MTA-DE Részecskefizikai Kutatócsoport 62. Országos Fizikatanári Ankét és Eszközbemutató,

Részletesebben

Prof. Kuczmann Miklós Szabályozástechnika. B.Sc. villamosmérnök szakos hallgatók számára verzió:

Prof. Kuczmann Miklós Szabályozástechnika. B.Sc. villamosmérnök szakos hallgatók számára verzió: Prof. Kuczmann Miklós Szabályozástechnika B.Sc. villamosmérnök szakos hallgatók számára 2018 verzió: 1.0.0. A Szabályozástechnika c. tárgy célja A tantárgy célja a rendszerelmélet és az irányítástechnika

Részletesebben

Differenciálegyenletek a mindennapokban

Differenciálegyenletek a mindennapokban Differenciálegyenletek a mindennapokban Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Kutatók éjszakája Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 1 / 15 Pénz, pénz,

Részletesebben

Analı zis elo ada sok

Analı zis elo ada sok Vajda Istva n Neumann Ja nos Informatika Kar O budai Egyetem 1 / 13 Specia lis differencia la si szaba lyok Logaritmikus differencia la s f (x)g (x) g (x) = e ln f (x) = e g (x) ln f (x) = f (x) g (x)

Részletesebben

Jelfeldolgozás. Gyakorlat: A tantermi gyakorlatokon való részvétel kötelező! Kollokvium: csak gyakorlati jeggyel!

Jelfeldolgozás. Gyakorlat: A tantermi gyakorlatokon való részvétel kötelező! Kollokvium: csak gyakorlati jeggyel! 1 Jelfeldolgozás Jegyzet: http://itl7.elte.hu : Elektronika jegyzet (Csákány A., ELTE TTK 119) Jelek feldolgozása (Bagoly Zs. Csákány A.) angol nyelv DSP (PDF) jegyzet Gyakorlat: A tantermi gyakorlatokon

Részletesebben

Gépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1)

Gépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1) Gépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1) 3. Óra Kőrös Péter Közúti és Vasúti Járművek Tanszék Tanszéki mérnök (IS201 vagy a tanszéken) E-mail: korosp@ga.sze.hu Web: http://www.sze.hu/~korosp http://www.sze.hu/~korosp/gepeszeti_rendszertechnika/

Részletesebben

Nemlineáris jelenségek és Kao2kus rendszerek vizsgálata MATHEMATICA segítségével. Előadás: 10-12 Szerda, 215 Labor: 16-18, Szerda, 215

Nemlineáris jelenségek és Kao2kus rendszerek vizsgálata MATHEMATICA segítségével. Előadás: 10-12 Szerda, 215 Labor: 16-18, Szerda, 215 Nemlineáris jelenségek és Kao2kus rendszerek vizsgálata MATHEMATICA segítségével Előadás: 10-12 Szerda, 215 Labor: 16-18, Szerda, 215 Célok: Ismerkedés a kao2kus dinamikával és ennek tanulmányozása. A

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =, Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2

Részletesebben

Wigner tétele kvantummechanikai szimmetriákról

Wigner tétele kvantummechanikai szimmetriákról Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet és MTA-DE "Lendület" Funkcionálanalízis Kutatócsoport, Debreceni Egyetem 2014. Október 30. Elméleti Fizika Szeminárium A tétel története Wigner tétele Tétel Legyen

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok 2. útmutató 2015/2016. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

PÁLYÁZAT. Eötvös Loránd Tudományegyetem. Természettudományi Kar, Kémiai Intézet. intézetigazgató. munkakör betöltésére

PÁLYÁZAT. Eötvös Loránd Tudományegyetem. Természettudományi Kar, Kémiai Intézet. intézetigazgató. munkakör betöltésére PÁLYÁZAT Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar, Kémiai Intézet intézetigazgató munkakör betöltésére Dr. habil Szalai István egyetemi docens ELTE TTK Kémiai Intézet, Analitikai Kémiai Tanszék,

Részletesebben

Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban. Mindkét csoport. Rövidítve.

Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban. Mindkét csoport. Rövidítve. TTK, Matematikus alapszak Differenciálegyenletek 1 (BMETE93AM15) Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban Mindkét csoport Rövidítve 1 gyakorlat 017 szeptember 7 T01 csoport Elsőrendű közönséges

Részletesebben

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. : Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel

Részletesebben

Az inga mozgásának matematikai modellezése

Az inga mozgásának matematikai modellezése Az inga mozgásának matematikai modellezése Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Természet és Matematika Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08.

Részletesebben

Példa sejtautomatákra. Homokdomb modellek.

Példa sejtautomatákra. Homokdomb modellek. Példa sejtautomatákra. Homokdomb modellek. Automaták egyszerű eszközök tulajdonságok: véges számú állapota van átmenet egyik állapotból a másikba érzékeli a környezetet esetleg megváltoztatja a környezetet

Részletesebben

A MATEMATIKA NÉHÁNY KIHÍVÁSA

A MATEMATIKA NÉHÁNY KIHÍVÁSA A MATEMATIKA NÉHÁNY KIHÍVÁSA NAPJAINKBAN Simon L. Péter ELTE, Matematikai Intézet Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tsz. 1 / 20 MATEMATIKA AZ ÉLET KÜLÖNBÖZŐ TERÜLETEIN Kaotikus sorozatok és differenciálegyenletek,

Részletesebben

Tartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)

Tartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) Tartalom 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) 2015 1 Állapotgyenletek megoldása Tekintsük az ẋ(t) = ax(t), x(0) = 1 differenciálegyenletet. Ismert, hogy a megoldás

Részletesebben

I. A DIGITÁLIS ÁRAMKÖRÖK ELMÉLETI ALAPJAI

I. A DIGITÁLIS ÁRAMKÖRÖK ELMÉLETI ALAPJAI I. A DIGITÁLIS ÁRAMKÖRÖK ELMÉLETI ALAPJAI 1 A digitális áramkörökre is érvényesek a villamosságtanból ismert Ohm törvény és a Kirchhoff törvények, de az elemzés és a tervezés rendszerint nem ezekre épül.

Részletesebben

Mágneses monopólusok?

Mágneses monopólusok? 1 Mágneses monopólusok? (Atomcsill 2015 február) Palla László ELTE Elméleti Fizikai Tanszék 2 Maxwell egyenletek potenciálok, mértéktranszformáció legegyszerűbb e.m. mezők A klasszikus e g rendszer A monopólus

Részletesebben

7. DINAMIKAI RENDSZEREK

7. DINAMIKAI RENDSZEREK 7. DINAMIKAI RENDSZEREK Különböző folyamatok leírására különböző tudományterületeken állítanak fel olyan modelleket, amelyek nemlineáris közönséges autonóm differenciálegyenlet-rendszerre vezetnek. Ezek

Részletesebben

Speciális mozgásfajták

Speciális mozgásfajták DINAMIKA Klasszikus mechanika: a mozgások leírása I. Kinematika: hogyan mozog egy test út-idő függvény sebesség-idő függvény s f (t) v f (t) s Példa: a 2 2 t v a t gyorsulások a f (t) a állandó Speciális

Részletesebben

Pere Balázs október 20.

Pere Balázs október 20. Végeselem anaĺızis 1. előadás Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2014. október 20. Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM MATEMATIKAI INTÉZET ALKALMAZOTT MATEMATIKUS MESTERKÉPZÉS SZAKLEÍRÁS

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM MATEMATIKAI INTÉZET ALKALMAZOTT MATEMATIKUS MESTERKÉPZÉS SZAKLEÍRÁS EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM MATEMATIKAI INTÉZET ALKALMAZOTT MATEMATIKUS MESTERKÉPZÉS SZAKLEÍRÁS BUDAPEST 2013 ALKALMAZOTT MATEMATIKUS MESTERSZAK (2013 ) Képzési idő: 4 félév A szak indításának tervezett

Részletesebben

Bevezetés a kvantum-informatikába és kommunikációba 2015/2016 tavasz

Bevezetés a kvantum-informatikába és kommunikációba 2015/2016 tavasz Bevezetés a kvantum-informatikába és kommunikációba 2015/2016 tavasz Kvantumkapuk, áramkörök 2016. március 3. A kvantummechanika posztulátumai (1-2) 1. Állapotleírás Zárt fizikai rendszer aktuális állapota

Részletesebben

Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén

Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Matematikai modellek, I. kisprojekt Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Unger amás István B.Sc. szakos matematikus hallgató ungert@maxwell.sze.hu, http://maxwell.sze.hu/~ungert

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

Molekuláris dinamika I. 10. előadás

Molekuláris dinamika I. 10. előadás Molekuláris dinamika I. 10. előadás Miről is szól a MD? nagy részecskeszámú rendszerek ismerjük a törvényeket mikroszkópikus szinten minden részecske mozgását szimuláljuk? Hogyan tudjuk megérteni a folyadékok,

Részletesebben

Csomós Petra. Loránd Tudományegyetem, Budapest. függvénytan, valós és komplex vonalintegrál)

Csomós Petra. Loránd Tudományegyetem, Budapest. függvénytan, valós és komplex vonalintegrál) Oktatási és témavezetői tevékenység Csomós Petra 1. Oktatás 2001.09 12. 2003.09 12. 2001.02 06. 2003.02 06. 2002.09 12. 2004.09 12. 2003.02 06. 2005.02 06. Analízis I. gyakorlat meteorológus és geofizikus

Részletesebben

ó Ü ő É ó ó ő Ó Ó í ő ó ő Ö É ó ő ú Ü í ó Ú ő Ó Ó í ó ő ó É ó É ó ö ö ű Ö ő Ó ő ó ó Éó Ó É Ó Ó Ő ó É ó ó Ó É Ó ó ö í Ó ö í ű Ó í í ö Ü ű ó í ó ö ű Ó Ö Ö ó Ö Ó í ö ü ű ú ü ú ő ó í ó ó Ú ú í í í ó Ö ü ő

Részletesebben

Á Á Á Á Á ö ő ü Ü ö ő ú ű ő ü ü ő ű ö ű ő ö ö ő ö ő ő ő ő ő ő ő ő ő ű ő ő ű ö ö ö ő ő Ü ő ő ű ö ő ő Ü ű ö ö ö ö ö ö ö ü ö ö ú ü ő ü ű ö ö ü ű ő ö ő ö ő ű ő ö ő ü ö ű ő ö ö Ü ö ö ő ő ö ő ű ő ő ü ö ő ő ú

Részletesebben

É ö í ö í í ű ö ö ú í í ú í ó Ó ö ú í ö ú í ű ö ü ó ü ó í ó ó ű ü í ű ö ó ó í ö Ü Ó í ó ű ó í ó ö ü ó í í ö ö í ó ö ú í ó ó í ó Ü ó í ü ű ö ü ó ó ö ö ö ö í ö ú Ó í í í ü ó ö ü í ó í Á Ó í ó ó ó ú Á ö í

Részletesebben

ű ü ű ű ű ű ö Á ö ö ú ú ö ö ö ü ö ö ö ű ö ú ú ű ö ö ü ö ö ú ö ü ü ö ü ö ű ö ö ü ö ö ü ö ü ü ü ö ö ö ö ű ö ű ü ö ö ü ű ö ü ö ű ü ű ö ö ú ű ö ú ö ö ü ű ű ö ű ü ö ű ö ö ö ú ö ü ö ö ö ö ú ü ü ö ö ü ö ö ö ö

Részletesebben

É á á á ö á á á á á á á á á ű á á á á á á á ű á á á ö á á á á á á á á á á á á á á á ű á ű á á á ö á á ú á á á á á ö ű á ű á á ü á á á É É ú É ü É ü Ú Á É ú Ú Á É Ü É Ú É Ú ű á ű á á ü Í Ú ü Á á É É ű á

Részletesebben

January 16, ψ( r, t) ψ( r, t) = 1 (1) ( ψ ( r,

January 16, ψ( r, t) ψ( r, t) = 1 (1) ( ψ ( r, Közelítő módszerek January 16, 27 1 A variációs módszer A variációs módszer szintén egy analitikus közelítő módszer. Olyan esetekben alkalmazzuk mikor ismert az analitikus alak amelyben keressük a sajátfüggvényt,

Részletesebben

Előfeltétel: legalább elégséges jegy Diszkrét matematika II. (GEMAK122B) tárgyból

Előfeltétel: legalább elégséges jegy Diszkrét matematika II. (GEMAK122B) tárgyból ÜTEMTERV Programozás-elmélet c. tárgyhoz (GEMAK233B, GEMAK233-B) BSc gazdaságinformatikus, programtervező informatikus alapszakok számára Óraszám: heti 2+0, (aláírás+kollokvium, 3 kredit) 2019/20-es tanév

Részletesebben

Bevezetés az informatikába

Bevezetés az informatikába Bevezetés az informatikába 6. előadás Dr. Istenes Zoltán Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Programozáselmélet és Szoftvertechnológiai Tanszék Matematikus BSc - I. félév / 2008 / Budapest Dr.

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Diszkrét matematika 1. estis képzés Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Hidrosztatikus körfolyamatok tervezése

Hidrosztatikus körfolyamatok tervezése Hidrosztatikus körfolyamatok tervezése bevezetés A hidrosztatikus körfolyamok tervezése az alkalmazott elemek elméleti és működésbeli sajátosságainak alapos ismeretén túl, rendszertechnikai tapasztalatot,

Részletesebben

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben Feladat: A háromtest probléma speciális megoldásai Arra vagyunk kiváncsiak, hogy a bolygó mozgásnak milyen egyszerű egyensúlyi megoldásai vannak három bolygó esetén. Az így felmerülő három-test probléma

Részletesebben

Biofizika. Sugárzások. Csik Gabriella. Mi a biofizika tárgya? Mi a biofizika tárgya? Biológiai jelenségek fizikai leírása/értelmezése

Biofizika. Sugárzások. Csik Gabriella. Mi a biofizika tárgya? Mi a biofizika tárgya? Biológiai jelenségek fizikai leírása/értelmezése Mi a biofizika tárgya? Biofizika Csik Gabriella Biológiai jelenségek fizikai leírása/értelmezése Pl. szívműködés, membránok szerkezete és működése, érzékelés stb. csik.gabriella@med.semmelweis-univ.hu

Részletesebben

CSATOLT REZGÉSEK Kedves barátom, Skrapits Lajos tanár úr emlékére

CSATOLT REZGÉSEK Kedves barátom, Skrapits Lajos tanár úr emlékére CSATOLT REZGÉSEK Kedves barátom, Skrapits Lajos tanár úr emlékére Schipp Ferenc ELTE IK umerikus Analízis Tanszék A szabadon esô rugó fizikája Húsz évvel ezelôtt az ELTE Általános Fizika Tanszék hagyományos

Részletesebben

Csomós Petra. Loránd Tudományegyetem, Budapest. függvénytan, valós és komplex vonalintegrál)

Csomós Petra. Loránd Tudományegyetem, Budapest. függvénytan, valós és komplex vonalintegrál) Oktatási és témavezetői tevékenység Csomós Petra 1. Oktatás 2001.09 12. 2003.09 12. 2001.02 06. 2003.02 06. 2002.09 12. 2004.09 12. 2003.02 06. 2005.02 06. Analízis I. gyakorlat meteorológus és geofizikus

Részletesebben

Diszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. (

Diszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. ( FELADATOK A LEKÉPEZÉSEK, PERMUTÁCIÓK TÉMAKÖRHÖZ Diszkrét Matematika 4. LEKÉPEZÉSEK Értelmezési tartomány és értékkészlet meghatározása : Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából ( zöld könyv ): XIII.

Részletesebben

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

TUDOMÁNYOS MÓDSZERTAN

TUDOMÁNYOS MÓDSZERTAN TUDOMÁNYOS MÓDSZERTAN Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk

Részletesebben

A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a

A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Függvények. Függvények A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a szabadon eső test sebessége az idő függvénye. Konstans hőmérsékleten

Részletesebben

Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény

Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Maxwell elméleti meggondolások alapján feltételezte, hogy a változó elektromos tér örvényes mágneses teret kelt (hasonlóan ahhoz ahogy a változó mágneses tér

Részletesebben

Készült a TÁMOP /2/A/KMR pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszékén

Készült a TÁMOP /2/A/KMR pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszékén TUDOMÁNYOS MÓDSZERTAN TUDOMÁNYOS MÓDSZERTAN Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval. Vajda István március 21.

Differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval. Vajda István március 21. Analízis előadások Vajda István 2009. március 21. A módszer alkalmazásának feltételei: Állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek megoldására használhatjuk. A módszer alkalmazásának feltételei:

Részletesebben

A MODELLALKOTÁS ELVEI ÉS MÓDSZEREI

A MODELLALKOTÁS ELVEI ÉS MÓDSZEREI SZENT ISTVÁN EGYETEM GÖDÖLLŐ MECHANIKAI ÉS GÉPTANI INTÉZET A MODELLALKOTÁS ELVEI ÉS MÓDSZEREI Dr. M. Csizmadia Béla egyetemi tanár, az MMK Gépészeti Tagozatának elnöke Budapest 2013. október. 25. BPMK

Részletesebben

SCHRÖDINGER-EGYENLET SCHRÖDINGER-EGYENLET

SCHRÖDINGER-EGYENLET SCHRÖDINGER-EGYENLET SCHRÖDINGER-EGYENLET A Scrödinger-egyenlet a kvantummecanika mozgásegyenlet, Newton II. törvényével analóg. Nem vezetető le korábbi elvekből, de intuitívan bevezetető. Egy atározott energiával és impulzussal

Részletesebben

Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével

Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével IgyR - 3/1 p. 1/20 Integrált Gyártórendszerek - MSc Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék IgyR - 3/1 p. 2/20

Részletesebben

Termék modell. Definíció:

Termék modell. Definíció: Definíció: Termék modell Összetett, többfunkciós, integrált modell (számítógépes reprezentáció) amely leír egy műszaki objektumot annak különböző életfázis szakaszaiban: tervezés, gyártás, szerelés, szervízelés,

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

DR. DEMÉNY ANDRÁS-I)R. EROSTYÁK JÁNOS- DR. SZABÓ GÁBOR-DR. TRÓCSÁNYI ZOLTÁN FIZIKA I. Klasszikus mechanika NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST

DR. DEMÉNY ANDRÁS-I)R. EROSTYÁK JÁNOS- DR. SZABÓ GÁBOR-DR. TRÓCSÁNYI ZOLTÁN FIZIKA I. Klasszikus mechanika NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST DR. DEMÉNY ANDRÁS-I)R. EROSTYÁK JÁNOS- DR. SZABÓ GÁBOR-DR. TRÓCSÁNYI ZOLTÁN FIZIKA I Klasszikus mechanika NEMZETI TANKÖNYVKIADÓ, BUDAPEST Előszó a Fizika című tankönyvsorozathoz Előszó a Fizika I. (Klasszikus

Részletesebben

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9. el?

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9. el? Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9. el?adás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs

Részletesebben

Ψ - 1/v 2 2 Ψ/ t 2 = 0

Ψ - 1/v 2 2 Ψ/ t 2 = 0 ELTE II. Fizikus 005/006 I. félév KISÉRLETI FIZIKA Optika 7. (X. 4) Interferencia I. Ψ (r,t) = Φ (r,t)e iωt = A(r) e ikl(r) e iωt hullámfüggvény (E, B, E, B,...) Ψ - /v Ψ/ t = 0 ω /v = k ; ω /c = k o ;

Részletesebben

Dekoherencia Markovi Dinamika Diósi Lajos. Elméleti Fizikai Iskola Tihany, augusztus szeptember 3.

Dekoherencia Markovi Dinamika Diósi Lajos. Elméleti Fizikai Iskola Tihany, augusztus szeptember 3. Dekoherencia Markovi Dinamika Diósi Lajos Elméleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3. Tartalomjegyzék 1 Projektív dekoherencia 2 Nyitott rendszer - Lindblad egy. 3 Dekoherencia

Részletesebben

Kvantum összefonódás és erősen korrelált rendszerek

Kvantum összefonódás és erősen korrelált rendszerek Kvantum összefonódás és erősen korrelált rendszerek MaFiHe TDK és Szakdolgozat Hét Szalay Szilárd MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont, Szilárdtest Fizikai és Optikai Intézet, Erősen Korrelált Rendszerek Lendület

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma

Részletesebben

8. DINAMIKAI RENDSZEREK

8. DINAMIKAI RENDSZEREK 8. DINAMIKAI RENDSZEREK Különböző folyamatok leírására különböző tudományterületeken állítanak fel olyan modelleket, amelyek nemlineáris közönséges autonóm differenciálegyenlet-rendszerre vezetnek. Ezek

Részletesebben

Molekuláris dinamika. 10. előadás

Molekuláris dinamika. 10. előadás Molekuláris dinamika 10. előadás Mirőlis szól a MD? nagy részecskeszámú rendszerek ismerjük a törvényeket mikroszkópikus szinten? Hogyan tudjuk megérteni a folyadékok, gázok, szilárdtestek makroszkópikus

Részletesebben

1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek 7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát,

Részletesebben

egyetemi állások a relativitáselmélet általánosítása (1915) napfogyatkozás (1919) az Einstein-mítosz (1920-tól) emigráció 1935: Einstein-Podolsky-

egyetemi állások a relativitáselmélet általánosítása (1915) napfogyatkozás (1919) az Einstein-mítosz (1920-tól) emigráció 1935: Einstein-Podolsky- egyetemi állások a relativitáselmélet általánosítása (1915) napfogyatkozás (1919) az Einstein-mítosz (1920-tól) emigráció 1935: Einstein-Podolsky- Rosen cikk törekvés az egységes térelmélet létrehozására

Részletesebben

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4.

Differenciálegyenletek. Vajda István március 4. Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:

Részletesebben

I. LABOR -Mesterséges neuron

I. LABOR -Mesterséges neuron I. LABOR -Mesterséges neuron A GYAKORLAT CÉLJA: A mesterséges neuron struktúrájának az ismertetése, neuronhálókkal kapcsolatos elemek, alapfogalmak bemutatása, aktivációs függvénytípusok szemléltetése,

Részletesebben

Differenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék

Differenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Differenciál - és integrálszámítás (Óraszám: 3+3) (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Debrecen, 2005 A tárgy neve: Differenciál- és

Részletesebben

Ingák. Számítógépes szimulációk fn1n4i11/1. Csabai István, Stéger József

Ingák. Számítógépes szimulációk fn1n4i11/1. Csabai István, Stéger József Ingák Számítógépes szimulációk fn1n4i11/1 Csabai István, Stéger József ELTE Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék Email: csabai@complex.elte.hu, steger@complex.elte.hu Bevezetés A harmonikus oszcillátor

Részletesebben

Infobionika ROBOTIKA. XI. Előadás. Robot manipulátorok III. Differenciális kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében

Infobionika ROBOTIKA. XI. Előadás. Robot manipulátorok III. Differenciális kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében Infobionika ROBOTIKA XI. Előadás Robot manipulátorok III. Differenciális kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom A forgatási mátrix időbeli deriváltja A geometriai

Részletesebben

Példa a report dokumentumosztály használatára

Példa a report dokumentumosztály használatára Példa a report dokumentumosztály használatára Szerző neve évszám Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítás 5 1.1. Események matematikai modellezése.............. 5 1.2. A valószínűség matematikai modellezése............

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben