Fizikai geodézia és gravimetria / 17. A KOLLOKÁCIÓ ALKALMAZÁSA A FIZIKAI GEODÉZIÁBAN.

Átírás

1 MSc Fza geodéza és gravmera / 7. BMEEOAFML0 A KOLLOKÁIÓ ALKALMAZÁSA A FIZIKAI GEODÉZIÁBAN. A legsebb égyzees (LKN) olloácó a föld ehézség erőér meghaározásáa álaláos módszere, mely sasza megfoolásoo alapul. A módszer a fza geodézába eredeleg H. Morz alalmaza 963-ba ehézség redelleessége opmáls erpolácójára / exrapolácójára. Az eljárás T. Krarup álaláosíoa eszőleges ehézség erőere jellemző meységere, 969-be. Az eljárás az 970-es éveől álaláosa elerjed a fza geodézába és még ma s so esebe haszáljá, öbbe özö a geodszámíásba. Jó példa erre a svájc SwssTopo HGeo004 jelű legújabb agypoosságú (±-3 cm) geod modellje, amely ezzel az eljárással észül. Kovaraca függvéy A legsebb égyzees olloácó eljárásáa alapveő fogalma a ovaraca függvéy. Ez a érbe eloszló valamely meységü sasza jellemző adja meg. Az egyszerűség edvéér azoba a ovábbaba feléelezzü, hogy az ado meyység csa é oordáa-válozóól függ, ehá valamlye felülee eloszló meyységről va szó. éldául lye lehe a föld felszíére (egerszre) ászámío ehézség redelleessége éválozós (φ, λ) függvéye, ahol (φ, λ) az ellpszod (gömb) földrajz oordááa jelöl. M a - álagos agysága? A érdésre ado M { } = = 0 4 Δ g dσ () π σ válasz ( M{ } a σ egységgömbre (földfelszíre) ve álagolás művelee) em elégíő, mer ge agy vagy cs - s lehee zérus álagúa, de em mdegy, hogy egy ado erülee a válozásu ±0 mgal vagy éppe ±0. mgal özö. Egyébé s, ha cs a - gömbfüggvéy sorába = 0 foszámú ag, aor az () egyele szer várhaó éréü mdeéppe zérus lesz. Tehá az álagos agyság jellemzésére a sasza szórással aalóg meységre lesz szüség. Ez a szóráségyze vagy varaca. Defícója az alább: var { } = M { } = Δ g dσ. () 4π σ A varaca égyzegyöe a szórás (agolul Roo Mea Square, rms): rms { Δ g} var{ } = M { } =. Ee érée jól jellemz a ehézség redelleessége álagos agyságá a eljes földfelszíre, amely b. ±35 mgal.

2 A varaca fogalmáa álaláosíásával juu el a ovaraca függvéy fogalmához. Ez a ' szorza álagos érée a és ' poo r ávolsága függvéyébe: { } = M { } r ' g ( r) = covr = (3) Rögö láhaó, hogy az r = 0 éréű ovaraca a varaca: Δ g Δ { } = M { Δ } ( 0) = var g A ovaraca g és g sasza orrelácójá mér, vagys az, hogy meyyre azoos előjelűe és agyságúa egy ado r ávolságba levő g érée. Egy pus ovaraca függvéy (például a g ehézség redelleességeből számíva) a öveezőéppe éz : 0 (r) 0 / ζ r. ábra Egy pus ovaraca függvéy Láhaó az ábráról az, hogy a ovaraca függvéy maxmáls 0 éréé az r = 0 helye vesz fel, azuá bzoyos ávolságba zérussá vál, majd pedg vszoylag s egaív éréeel a zérus éré örül gadoz. Az a ávolságo, ahol a ovaraca függvéy a ezde varaca felére csöe, ζ orrelácós hossza evez. Ez egy foos meység, mer megmuaja, hogy meora adaerülere va szüség ahhoz, hogy bzoyos haáso saszalag egyelíődjee. éldául a ehézség redelleessége ovaraca függvéye első zérushelye b. 30 -os gömb szögávolságál alálhaó, azuá pedg pozív és egaív éréeel gadoz a zérus éré örül. A gyaorla alalmazáso szempojából soszor előyös az, ha az ado meyység orrelácós hossza vszoylag cs, mer így csöee lehe az a erülee, ahoa az ado meységre voaozó mérésere szüség va. Ez legöbbször úgy udju elér, hogy a méréseből levou egy regoáls rede, és azuá már csa a maradéal foglalozu. éldául a ehézség redelleességeből levoju az a haás, amely valamely geopoecáls modellből (pl. EGM96) számíhaó egy ado fo- és redszámg. Eor ú. loáls ovaraca függvéy apu, amelyhez

3 szoásos valamlye elméle vagy apaszala ovaraca modell llesze. éldául Hrvoe (96) a öveező apaszala ovaraca modell haároza meg az Oho öryé szabadlevegő (free-ar) ehézség redelleességeből: 0 ( r) =, 0 = 337 mgal, d = 40 m. + ( r / d) Nehézség redelleessége erpolácója LKN predcó A g ehézség redelleessége predcójáa (álalába a predcóa) a célja: egy olya F függvéy megeresése, amelye segíségével eszőleges poba meghaározhaó a g érée a,, pooba felve (smer) g érée segíségével: = F,,, ). ( A gyaorlaba álalába F leárs függvéy, és eor a leárs predcó éplee ~ = α + + α = α Δ g. = Az α együhaó meghaározása lesz a feladau. Ez a predcó ε hbájáa mmalzálásával érhejü el. redcó hbája Az ε = ~ predcós hba égyzee + ε = ( ~ álaga a vzsgál erülere = ) = α α α gg { g } = ( r ) M Δ =,, α = α gg { g } = ( r ) M Δ =, a ovaraca függvéyből M g { Δ g } = Δ ( 0) = 0 a predcós hba { } m = 0 M ε = varacája pedg m α + α α. 3

4 LKN predcó A legsebb égyzee szer (LKN) opmáls predcó azo az α együhaó adjá, amelye a predcós hba m varacájá mmalzáljá. Így ehá a m- mumfeléel az összes α szer dervál elűése adja: m α vagys = + α = 0, =,,, α =. =,,, Ez db. egyele db. smerele α együhaóra, melye a megoldása = = ( ) α, ahol ( ) a verzée eleme jelöl. A pobel ehézség redelleessége LKN szer opmáls predcója (becslése) ehá végül a öveező alaba írhaó fel: Δ g ~ = α = Δ g. = = = ( ) Álaláosísu a fe eredméy eszőleges x mérés eredméyre, és haszálju márxos jelölés. Jelölje x a mérés eredméye q elemű veorá, és legye ŝ az erpolácós poba a predcóval meghaározo éré. Eor a predcó álaláos összefüggése szer xx sˆ = x (4) sx az opmáls LKN szer becslés. A legsebb égyzees predcóra levezee (4) összefüggés hasoló a hagyomáyos LKN szer II. csoporos egyelíéshez. Ha a mérés hbáa (mérés zaj ) -el jelöljü, az smerelee (paraméere) veorá X-szel, valam a súlymárx a mérés hbá D ovaraca márxáa az verzével egyelő, aor az opmáls paraméer becslés Xˆ a öveezőéppe írhaó fel: Xˆ T A D T = ( A) A D x, (5) ahol x az ú. szaag veor. Az (5) becslés úgy s felfoghaó, m a mérés zaj opmáls szűrése az T D = m feléel melle. A egyelíés emlíe eseébe a mérés hbá modellje (javíás egyele) a = AX x egyeleel írhaó le. Ez a modell a predcóval bővíve juu el a LKN olloácóhoz. 4

5 LKN olloácó A legsebb égyzees olloácó modellje A legsebb égyzees (LKN) olloácó modellje szer az x mérés eredméy három ülöböző részből evőd össze (lásd az ábrá): x = AX + s +. (6) A fe egyelebe AX a modell red része, vagys az X smerele paraméereől és az smer A együhaó márxól függő leárs ag. A ehézség erőér modellezése eseébe ez gyara a ormál ehézség erőér, és/vagy valamlye raszformácós paraméere együese. A másod ag az s jel, amely em csa a mérés pooba léez, haem bármely vzsgál poba, ehá folyoos függvéy. A ehézség erőér eseébe például s gyara a T poecálzavar vagy a ehézség redelleessége függvéye. A mérés pooba szoásos -vel jelöl a jele s helye (dszrezácó), ehá a fe fejezés helye x = AX + + (7) írhaó. Az összefüggése harmad agja () a mérés hbáa (mérés zaj ) jelöl. Kombálju az összes vélele jellegű meysége egy m+q méreű [ s s s ] s v = = m q veorba! Ez aralmazza -, ha m>q és s-e első q ompoese azoos -vel: s =, u ahol u az m-q db. predáladó jel (pre-dcó=előre megmoda). Eze azo a poo, ahol cse mérés, de szereé megsmer a jel éréé. Ha a jel és a zaj orrelálalao, aor v ovaraca márxa blo-dagoáls márx lesz: ss 0 vv =, (8) 0 ee verze pedg blooé veheő: ss 0 vv =, (9) 0 A legsebb égyzees olloácó alapgodolaa szer az X paraméere opmáls becslése és a em mér pooba az s jelre végze predcó a jel és zaj egyszerre öréő mmalzácójával érheő el: 5

6 T T v v = s vv ss T s + = m. (0) Ez a mmalzácós felada a Lagrage-féle mulpláor módszerrel oldhaó meg (ee részlee a Dereő(99): Kegyelíő számíáso c. aöyvébe alálhaó meg). Ee felírásához vezessü be a öveező jelölésee (I az egységmárx): u ss =, u Us I s T = = [ 0 ], s = = ss U uu. u q m q A megoldás a paraméerere a = + jelöléssel T T X = ( A A) A x, () lleve a jelre végze predcó a em mér pooba s = s ( x AX ). () Fgyeljü meg, hogy a ()-es összefüggés aalóg a II. csoporos egyelíéssel, ha = D, lleve a apo ()-es egyele aalóg a predcóval, ha AX = 0. Kovaraca erjedés A ehézség erőér meghaározásaor egymással függvéyapcsolaba álló meységee vzsgálu. éldául, ha smerjü a T poecálzavar függvéyé, aor ezzel függvéyapcsolaba álla más ehézség erőér jellemző, úgym az N geodmagasság, a ehézség redelleessége, a (ξ, η) függővoal-elhajláso: T T T T N =, Δ g = T, ξ =, η =. (3) γ r r γr ϑ γr sϑ λ Ha smerjü a T poecálzavar (érbel) ovaraca-függvéyé, K( r, r', ψ ) -, aor ebből ovaraca-erjedéssel levezeheő bármely ehézség erőér paraméer ovaraca függvéye s. éldául az N geodmagasságo és ehézség redelleessége ovaraca-függvéye Ng K Q ( r, r' Q, ψ Q) = cov( N, ) = K. γ r' r' Eze a ovaraca-függvéye alapveő szerepe jászaa a ehézség erőér meghaározásába, amor a legsebb égyzees olloácó módszeré haszálju. Alalmazás geodszámíásra A öveező példába az N geodmagasságoa íváju meghaároz valamely erülee a ehézség redelleessége és a (ξ, η) függővoal-elhajláso segíségével. Az egyszerűség érdeébe az alább feléelezéseel élü:. mde mérés a egerszre voaoz. csee ömege a geod fölö 3. gömb özelíéssel számolju a szüséges derválaa 4. geocerus (ömegözéppo) elhelyezésű ellpszod refereca erőeré vesszü fel a meghaározáshoz (azaz csee T gömbfüggvéysorába = foú gömbfüggvéy-együhaó) 6

7 Legyee adoa egyeé f db. mérés poba a, ξ, η érée (összese ehá q = 3 f ). Mvel a refereca (ormál) ehézség erőere már levou a méréseből, ezér AX = 0. Így a olloácó predcóra voaozó éplee egyszerűbb lesz: s = x. (3) s Mos s = N(), mvel a geodmagasságoa szereé meghaároz em mér pooba. A mérése veora (raszpoálja) ehá x T = ξ ξ η η ], [ f f f és legyee a mérése m g, m ξ, Ez esebe a predáladó poba a m η özéphbáal jellemzee és orrelálalao. s eresz-ovaraca márx az alább lesz: s Ng Ng Nξ Nξ Nη Nη = ], [ f f f ovábbá a zaj ovaraca márx álós márxé írhaó fel mg = A mérés poo gg gg f ξg = ξg f ηg ηg f m g 0 m ξ m ξ 0 m η. mη auo- és ereszovaraca márxa így alaul: gg f gg ξg f ξg ηg f ηg gξ gξ f ξξ ξξ f ηξ ηξ f Ez a márx szmmerus, mvel a eresz-ovaracá s szmmerusa, pl. gξ ξg gξ ξg j = j = j = j. A gyaorlaba a fő umerus probléma a (3)-as összefüggés szer a = + márx verálása. éldául 5000 mérés po eseébe a márx méree , amelye eleme 4 bájos egyszerű poosságú számoé árolva és a szmmerá fgyelembe véve s b. 430 MB árhelyre va szü- gξ f gξ ξξ f ξξ ηξ f ηξ gη gη f ξη ξη f ηη ηη f gη f gη ξη f ξη ηη f ηη. 7

8 ség. Ezér a gyaorlaba úgy járu el, hogy vagy a márx eleme blooé dszre írju és egyszerre csa egy bloo árolu a memórába, vagy pedg egy ado ávolságo úl elhayagolju a ovaracáa, és így rá ölö (sparse) márxo apu. A ehézség erőér LKN olloácóval öréő meghaározásáa gyaorla eljárása A legsebb égyzees (LKN) olloácóval öréő ehézség erőér modellezés gyaorla megoldására számos eljárás szülee. Eze özül mos csa eő eü á rövde. Lépéseé olloácó Az eljárás alapgodolaa az, hogy a mérésee em egyszerre, haem egymás uá, lépéseé vsszü be a feldolgozás sorá. Így csöeheő az veráladó márxo méree, lleve egy már ész megoldás becslése ovább mérés adaoal fomíhaó, javíhaó. Erre észül a.. Tscherg álal 974-be FORTRAN77 programyelve ír, és azóa s aíva fejlesze és arbaaro GEOOL szofver ( amely a GRAVSOFT ehézség erőér modellező programcsomag része. A program a mérésee és a paraméeree ú. blooba árolja és szüség eseé folyamaosa a számíógép lemezegységére írja. Alapérelmezésbe blooé 39 paraméer és 5600 smerele árolhaó, és a program így maxmum b. 50 ezer smerele épes feldolgoz, de ez a ömbö méreée övelésével ovább bővíheő. Gyors olloácó rács adaora Ez az eljárás haszálja az abból faadó előyöe, hogy a mérése egy szabályos ( Δ ϕ, Δλ) oszásözű rács pojaba adoa. Ebbe az esebe az veráladó ovaraca márx specáls ú. blo Toeplz/Toeplz szerezeű lesz, am az jele, hogy blooé Toeplz szerezeű márx. Egy márxo aor evezü Toeplz szerezeűe, ha az alább alaú: 0 T = 0 +, 0 lleve szmmerus Toeplz, ha =. Egy szmmerus Toeplz/Toeplz sruúrájú márx verálása haéoya megoldhaó a GM (preojugál grades módszer) segíségével, lleve FFT- (gyors Fourer raszformácó) alalmazva a számíás felgyorsíására (művelegéy: N log N ) Számíás lépése A ehézség erőér modellezésée gyaorla számíás lépése ehá álalába a öveező (zárójelbe a GRAVSOFT megfelelő programjá adju meg): 8

9 . Valamlye geopoecál modell és erepmodell fgyelembevéelével maradé redelleessége számíása mde egyes ípusú mérés adara (GEOOL, T). Mde egyes mérés sorozara (adaípusoé) apaszala ovaraca függvéye meghaározása (EMOV) 3. Aalus ovaraca modell lleszése (OVFIT) 4. Kolloácó (és predcó) a megado és erpoláladó poora, maradé geodmagasságo számíása (GEOOL) 5. A geopoecál modell és dre haás vsszaállíásával végleges megoldás N-re. (GOMB) Gyaorla példá. Geodszámíás 38 poba mér aszrogeodéza függővoal-elhajlás éréeből A számíáshoz alapé 38 po aszrogeodéza (ξ, η) függővoal-elhajlása szolgál. A mér függővoal-elhajlásoa GRS80-as redszerbe ászámíás uá az EGM96 geopoecál modellből 360 fog és redg számío függővoalelhajlásoal reduálu. A maradé függővoal-elhajláso auoovaraca függvéye a öveező ábrá láhaó: függõvoal-elhajláso ovaraca függvéye (38 poba, EGM96 modell maradéo) 3 ξ η ovaraca (") szögávolság (fo) - Ezuá elészíeü a GEOOL program alább vezérlőállomáyá:../gravsof/geocol >deflgeo.ou <<! f f f f f f f f f f f dvresar dveq f f f

10 ../fcol/egm96.edg f f f f f f f./egm96.dv f f f f f f f deflgeo.d! A olloácó eredméye (a modell vsszaállíása uá): A megoldás elleőrzü az OGS 340 szeze magassággal redelező pojá és a geodmagasságo ±4 cm-es szórással lleszede. Eél poosabb megoldás érheü el aor, ha em csa függővoal-elhajlás adaoa vou be a geodmeghaározásba, haem ehézség redelleességee és Eövös-ga mérésee s.. Geodszámíás gyors olloácó módszerével (3089 ehézség redelleesség felhaszálásával Magyarország erüleére) Ehhez a megoldáshoz 3089 álag ehézség redelleessége haszálu fel, amelye,5,5 felboású rácso álla a redelezésüre. Az alalmazo geopoecáls modell az EGM96-os geopoecáls modell vol, amely 360 fog és redg aralmaza az együhaóa. Ezuá az adaoa reduálva a modellel meghaározu a maradé ehézség redelleessége ovaraca függvéyé. A loáls apaszala ovaraca függvéy ábrájá láhaó, hogy az első zérushely b. 35 m-él 0

11 alálhaó, ehá a geopoecáls modell alalmazása valóba jeleőse lecsöeee az adao orrelácós hosszá. A megoldáshoz felhaszálu a magasság adao m m-es rácsra voaozó adabázsá. Az elészül geodmegoldás elleőrzve 43 GS/szezés poo az elérése szórása ± 9 cm-es vol. Az EGM96-os geopoecáls modellel reduál 3089 álag ehézség redelleességből számío loáls apaszala ovaraca függvéy Magyarország erüleére. A 4.5 -os gömb szögávolságo úl rész eseébe a agyobb gadozáso a becsléshez felhaszálhaó adapo páro számáa csöeése ma jeleeze 3. Nehézség redelleessége számíása Eövös-ga méréseből (44 88 grades mérésből m erülee) Ez a megoldás eljese ölö ovaraca márx eseébe b. 5 GB árhelye géyele, vszo ra márxé a árgéy b. 300 MB-ra csöeheő. Az alábbaba láhaó a rá ölö márx áredezés elő és uá: A ra ovaraca márx emzérus eleme áredezés elő (a emzérus eleme száma ) és az AMD (approxmae mmum degree) áredezés uá

12 4. HGTUB007 magyarország vázgeod megoldás Ez egy llesze aszrogravmera, gradomera, GS/szezés vázgeod megoldás LKN olloácó segíségével. A felhaszál geopoecáls modell a GM98R / GGM0B geopoecáls modell vol 70 fog és redg. A felhaszál ovább adao a öveező vola: 6678 álag szabadlevegő ehézség redelleesség 3 méreű bloora 76 ( 38) aszrogeodéza függővoal elhajlás 745 Eövös-ga ehézség grades összeevő 95 GS/szezés po 67 EGG97 vázgeod magasság (az országo ívül) DTM adao: SRTM3

13 A ovaraca függvéy modellezéséhez a Forsberg (987) álal fejlesze érbel logarmus ovaraca modell haszálu 4 ( h, h ) = 0 α l D + h + h + s + (D + h + h ), = amely a poo h, h magasságaól, s vízszes ávolságáól függ. 0 a ehézség redelleessége varacája, az α - pedg egész számo (, 3, 3, ), ovábbá D = D + ( )T. A modell α és D álladó ereszül végső soro csa a öveező három szabado válaszhaó paraméeről függ: 0, D és T. A adao alapjá meghaározo loáls apaszala és modell ovaraca függvéye, valam az elészül geodmegoldás az alább ábráo láhaó. Megemlíjü végül az az aszrogeodéza és GS/szezés megoldás, amely már a legújabb agy felboású EGM008-as geopoecáls modellel észül a BME 3

14 Álaláos és Felsőgeodéza Taszéé 009-be, Szűcs Eszer dplomamuája ereébe. Jegyze a Fza geodéza c. árgy hallgaó számára Budapes, Dr. Tóh Gyula egy. doces 4