Geoidmeghatározás a kollokáció módszerével

Átírás

1 Geodmeghaározás a olloácó módszerével aralom Bevezeés... Kovaraca függvéy... Nehézség redelleessége erpolácója LKN predcó... 4 redcó hbája... 4 LKN predcó... 4 LKN olloácó... 5 Kovaraca erjedés... 6 Alalmazás geodszámíásra... 7 A ehézség er ér LKN olloácóval öré meghaározásáa gyaorla eljárása... 8 Lépéseé olloácó... 8 Gyors olloácó rács adaora... 9 Számíás lépése... 9 Gyaorla példá... 9 Jegyze a Fza geodéza c. árgy hallgaó számára Budapes, Dr. óh Gyula egy. doces

2 Bevezeés A legsebb égyzees (LKN) olloácó a föld ehézség er ér meghaározásáa álaláos módszere, mely sasza megfoolásoo alapul. A módszer a fza geodézába eredeleg H. Morz alalmaza 963-ba ehézség redelleessége opmáls erpolácójára / exrapolácójára. Az eljárás. Krarup álaláosíoa esz leges ehézség er ere jellemz meységere, 969-be. Az eljárás az 970-es éve l álaláosa elerjed a fza geodézába és még ma s so esebe haszáljá, öbbe özö a geodszámíásba. Jó példa erre a svájc Swssopo HGeo004 jel legújabb agypoosságú (±-3 cm) geod modellje, amely ezzel az eljárással észül. Kovaraca függvéy A legsebb égyzees olloácó eljárásáa alapve fogalma a ovaraca függvéy. Ez a érbe eloszló valamely meységü sasza jellemz adja meg. Az egyszer ség edvéér azoba a ovábbaba feléelezzü, hogy az ado meység csa é oordáa-válozóól függ, ehá valamlye felülee eloszló meységr l va szó. éldául lye lehe a föld felszíére (egerszre) ászámío ehézség redelleessége éválozós g(, ) függvéye, ahol (, ) az ellpszod (gömb) földrajz oordááa jelöl. M a g- álagos agysága? A érdésre ado M { } = = 0 4 g dσ () π σ válasz ( M{ } a egységgömbre (földfelszíre) ve álagolás m velee) em elégí, mer ge agy vagy cs g- s lehee zérus álagúa, de em mdegy, hogy egy ado erülee a válozásu ±0 mgal vagy éppe ±0. mgal özö. Egyébé s, ha cs a g- gömbfüggvéy sorába = 0 foszámú ag, aor az () egyele szer várhaó éréü mdeéppe zérus lesz. ehá az álagos agyság jellemzésére a sasza szórással aalóg meységre lesz szüség. Ez a szóráségyze vagy varaca. Defícója az alább: { } = { } = var g M g g dσ. () 4π σ A varaca égyzegyöe a szórás (agolul Roo Mea Square, rms): { g} = var{ } = M { } rms. Ee érée jól jellemz a ehézség redelleessége álagos agyságá a eljes földfelszíre, amely b. ±35 mgal. A varaca fogalmáa álaláosíásával juu el a ovaraca függvéy fogalmához. Ez a g g' szorza álagos érée a és ' poo r ávolsága függvéyébe: { } = M { } r ' g = ( r) = covr (3) Rögö láhaó, hogy az r = 0 éré ovaraca a varaca: g { } = M { } ( 0) = var g

3 A ovaraca g és g sasza orrelácójá mér, vagys az, hogy meyre azoos el jel e és agyságúa egy ado r ávolságba lev g érée. Egy pus ovaraca függvéy (például a g ehézség redelleességeb l számíva) a öveez éppe éz : 0 (r) 0 / r. ábra Egy pus ovaraca függvéy Láhaó az ábráról az, hogy a ovaraca függvéy maxmáls 0 éréé az r = 0 helye vesz fel, azuá bzoyos ávolságba zérussá vál, majd pedg vszoylag s egaív éréeel a zérus éré örül gadoz. Az a ávolságo, ahol a ovaraca függvéy a ezde varaca felére csöe, orrelácós hossza evez. Ez egy foos meység, mer megmuaja, hogy meora adaerülere va szüség ahhoz, hogy bzoyos haáso saszalag egyelí djee. éldául a ehézség redelleessége ovaraca függvéye els zérushelye b. 30 -os gömb szögávolságál alálhaó, azuá pedg pozív és egaív éréeel gadoz a zérus éré örül. A gyaorla alalmazáso szempojából soszor el yös az, ha az ado meység orrelácós hossza vszoylag cs, mer így csöee lehe az a erülee, ahoa az ado meységre voaozó mérésere szüség va. Ez legöbbször úgy udju elér, hogy a méréseb l levou egy regoáls rede, és azuá már csa a maradéal foglalozu. éldául a ehézség redelleességeb l levoju az a haás, amely valamely geopoecáls modellb l (pl. EGM96) számíhaó egy ado fo- és redszámg. Eor ú. loáls ovaraca függvéy apu, amelyhez szoásos valamlye elméle vagy apaszala ovaraca modell llesze. éldául Hrvoe (96) a öveez apaszala ovaraca modell haároza meg az Oho öryé szabadleveg (free-ar) ehézség redelleességeb l: 0 ( r) =, 0 = 337 mgal, d = 40 m. + ( r / d) 3

4 Nehézség redelleessége erpolácója LKN predcó A g ehézség redelleessége predcójáa (álalába a predcóa) a célja: egy olya F függvéy megeresése, amelye segíségével esz leges poba meghaározhaó a g érée a,, pooba felve (smer) g érée segíségével: g = F,,, ). ( A gyaorlaba álalába F leárs függvéy, és eor a leárs predcó éplee ~ = α + + α = α. = Az együhaó meghaározása lesz a feladau. Ez a predcó hbájáa mmalzálásával érhejü el. redcó hbája Az ε = ~ predcós hba égyzee = ~ ε = ( ) = + α α, álaga a vzsgál erülere α gg { } = r ) M ( =, gg { } = r ) α = α M ( =, a ovaraca függvéyb l M { } = ( 0) = 0 a predcós hba M { } = m = 0 ε varacája pedg m α + α α. LKN predcó A legsebb égyzee szer (LKN) opmáls predcó azo az együhaó adjá, amelye a predcós hba m varacájá mmalzáljá. Így ehá a mmumfel- éel az összes szer dervál el ése adja: vagys m α = + α = 0, =,,, 4

5 α =. =,,, Ez db. egyele db. smerele együhaóra, melye a megoldása α, ahol = = ( ) () a verzée eleme jelöl. A pobel ehézség redelleessége LKN szer opmáls predcója (becslése) ehá végül a öveez alaba írhaó fel: ~ ( ) = α =. = = = Álaláosísu a fe eredméy esz leges x mérés eredméyre, és haszálju márxos jelölés. Jelölje x a mérés eredméye q elem veorá, és legye ŝ az erpolácós poba a predcóval meghaározo éré. Eor a predcó álaláos összefüggése szer xx sˆ = x (4) sx az opmáls LKN szer becslés. A legsebb égyzees predcóra levezee (4) összefüggés hasoló a hagyomáyos LKN szer II. csoporos egyelíéshez. Ha a mérés hbáa (mérés zaj ) - el jelöljü, az smerelee (paraméere) veorá X-szel, valam a súlymárx a mérés hbá D ovaraca márxáa az verzével egyel, aor az opmáls paraméer becslés Xˆ a öveez éppe írhaó fel: Xˆ A D = ( A) A D x, (5) = ahol x az ú. szaag veor. Az (5) becslés úgy s felfoghaó, m a mérés zaj opmáls sz rése az D m feléel melle. A egyelíés emlíe eseébe a mérés hbá modellje (javíás egyele) a = AX x egyeleel írhaó le. Ez a modell a predcóval b víve juu el a LKN olloácóhoz. LKN olloácó A legsebb égyzees (LKN) olloácó modellje szer az x mérés eredméy három ülöböz részb l ev d össze: x = AX + s +. (6) A fe egyelebe AX a modell red része, vagys az X smerele paraméere l és az smer A együhaó márxól függ leárs ag. A ehézség er ér modellezése eseébe ez gyara a ormál ehézség er ér, és/vagy valamlye raszformácós paraméere együese. A másod ag az s jel, amely em csa a mérés pooba léez, haem bármely vzsgál poba, ehá folyamaos függvéy. A ehézség er - ér eseébe például s gyara a poecálzavar vagy a g ehézség redelleessége függvéye. A mérés pooba szoásos -vel jelöl a jele s helye (dszrezácó), ehá a fe fejezés helye 5

6 x = AX + + (7) írhaó. Az összefüggése harmad agja () a mérés hbáa (mérés zaj ) jelöl. Kombálju az összes vélele jelleg meysége egy m+q mére s v = = [ s s s ] m q veorba! Ez aralmazza -, ha m>q és s-e els s =, u q ompoese azoos -vel: ahol u az m-q db. predáladó jel (pre-dcó=el re megmoda). Eze azo a poo, ahol cse mérés, de szereé megsmer a jel éréé. Ha a jel és a zaj orrelálalao, aor v ovaraca márxa blo-dagoáls márx lesz: vv ss = 0 ee verze pedg blooé vehe : 0, (8) ss 0 vv =, (9) 0 A legsebb égyzees olloácó alapgodolaa szer az X paraméere opmáls becslése és a em mér pooba az s jelre végze predcó a jel és zaj egyszerre öré mmalzácójával érhe el: v v = s vv ss s + = m. (0) Ez a mmalzácós felada a Lagrage-féle mulpláor módszerrel oldhaó meg (ee részlee a Dere (99): Kegyelí számíáso c. aöyvébe alálhaó meg). Ee felírásához vezessü be a öveez jelölésee (I az egységmárx): u ss =, u uu = Us = [ I 0 ] s, q m q = s = ss U. u A megoldás a paraméerere a = + jelöléssel X = ( A A) A x, () lleve a jelre végze predcó a em mér pooba s = s ( x AX ). () Fgyeljü meg, hogy a ()-es összefüggés aalóg a II. csoporos egyelíéssel, ha = D, lleve a apo ()-es egyele aalóg a predcóval, ha AX = 0. Kovaraca erjedés A ehézség er ér meghaározásaor egymással függvéyapcsolaba álló meységee vzsgálu. éldául, ha smerjü a poecálzavar függvéyé, aor ezzel 6

7 függvéyapcsolaba álla más ehézség er ér jellemz, úgym az N geodmagasság, a g ehézség redelleessége, a (, ) függ voal-elhajláso: N =, g =, γ r r ξ =, γr ϑ η =. (3) γr s ϑ λ Ha smerjü a poecálzavar (érbel) ovaraca-függvéyé, K( r, r', ψ ) -, aor ebb l ovaraca-erjedéssel levezehe bármely ehézség er ér paraméer ovaraca függvéye s. éldául az N geodmagasságo és g ehézség redelleessége ovaraca-függvéye Ng Q ( r, r' Q K, ψ Q ) = cov( N, ) = K. γ r' r' Eze a ovaraca-függvéye alapve szerepe jászaa a ehézség er ér meghaározásába, amor a legsebb égyzees olloácó módszeré haszálju. Alalmazás geodszámíásra A öveez példába az N geodmagasságoa íváju meghaároz valamely erülee a g ehézség redelleessége és a (, ) függ voal-elhajláso segíségével. Az egyszer ség érdeébe az alább feléelezéseel élü:. mde mérés a egerszre voaoz. csee ömege a geod fölö 3. gömb özelíéssel számolju a szüséges derválaa 4. geocerus (ömegözéppo) elhelyezés ellpszod refereca er eré veszszü fel a meghaározáshoz (azaz csee gömbfüggvéysorába = foú gömbfüggvéy-együhaó) Legyee adoa egyeé f db. mérés poba a g,, érée (összese ehá q = 3 f ). Mvel a refereca (ormál) ehézség er ere már levou a méréseb l, ezér AX = 0. Így a olloácó predcóra voaozó éplee egyszer bb lesz: s = x. (3) s Mos s = N(), mvel a geodmagasságoa szereé meghaároz em mér pooba. A mérése veora (raszpoálja) ehá x = ξ ξ η η ], és legyee a mérése [ f f f m g, m ξ, Ez esebe a predáladó poba a s Ng Ng Nξ Nξ Nη Nη = ], [ f f m η özéphbáal jellemzee és orrelálalao. s eresz-ovaraca márx az alább lesz: f ovábbá a zaj ovaraca márx álós márxé írhaó fel 7

8 mg = A mérés poo gg gg f ξg = ξg f ηg ηg f m g 0 m ξ m ξ 0 m η. mη auo- és ereszovaraca márxa így alaul: gg f gg ξg f ξg ηg f ηg gξ gξ f ξξ ξξ f ηξ ηξ f j j j j Ez a márx szmmerus, mvel a eresz-ovaracá s szmmerusa, pl. gξ ξg gξ ξg = = =. A gyaorlaba a f umerus probléma a (3)-as összefüggés szer a = + márx verálása. éldául 5000 mérés po eseébe a márx méree , amelye eleme 4 bájos egyszer poosságú számoé árolva és a szmmerá fgyelembe véve s b. 430 MB árhelyre va szüség. Ezér a gyaorlaba úgy járu el, hogy vagy a márx eleme blooé dszre írju és egyszerre csa egy bloo árolu a memórába, vagy pedg egy ado ávolságo úl elhayagolju a ovaracáa, és így rá ölö (sparse) márxo apu. A ehézség er ér LKN olloácóval öré meghaározásáa gyaorla eljárása gξ f gξ ξξ f ξξ ηξ f ηξ gη gη f ξη ξη f ηη ηη f gη f gη ξη f ξη ηη f ηη. A legsebb égyzees (LKN) olloácóval öré ehézség er ér modellezés gyaorla megoldására számos eljárás szülee. Eze özül mos csa e eü á rövde. Lépéseé olloácó Az eljárás alapgodolaa az, hogy a mérésee em egyszerre, haem egymás uá, lépéseé vsszü be a feldolgozás sorá. Így csöehe az veráladó márxo 8

9 méree, lleve egy már ész megoldás becslése ovább mérés adaoal fomíhaó, javíhaó. Erre észül a.. scherg álal 974-be FORRAN77 programyelve ír, és azóa s aíva fejlesze és arbaaro GEOOL szofver ( amely a GRAVSOF ehézség er ér modellez programcsomag része. A program a mérésee és a paraméeree ú. blooba árolja és szüség eseé folyamaosa a számíógép lemezegységére írja. Alapérelmezésbe blooé 39 paraméer és 5600 smerele árolhaó, és a program így maxmum b. 50 ezer smerele épes feldolgoz, de ez a ömbö méreée övelésével ovább b víhe. Gyors olloácó rács adaora Ez az eljárás haszálja az abból faadó el yöe, hogy a mérése egy szabályos ( ϕ, λ) oszásöz rács pojaba adoa. Ebbe az esebe az veráladó ovaraca márx specáls ú. blo oeplz/oeplz szereze lesz, am az jele, hogy blooé oeplz szereze márx. Egy márxo aor evezü oeplz szereze e, ha az alább alaú: 0 = 0 +, 0 lleve szmmerus oeplz, ha =. Egy szmmerus oeplz/oeplz sruúrájú márx verálása haéoya megoldhaó a GM (preojugál grades módszer) segíségével, lleve FF- (gyors Fourer raszformácó) alalmazva a számíás felgyorsíására (m velegéy: N log N ) Számíás lépése A ehézség er ér modellezésée gyaorla számíás lépése ehá álalába a öveez (zárójelbe a GRAVSOF megfelel programjá adju meg):. Valamlye geopoecál modell és erepmodell fgyelembevéelével maradé redelleessége számíása mde egyes ípusú mérés adara (GEOOL, ). Mde egyes mérés sorozara (adaípusoé) apaszala ovaraca függvéye meghaározása (EMOV) 3. Aalus ovaraca modell lleszése (OVFI) 4. Kolloácó (és predcó) a megado és erpoláladó poora, maradé geodmagasságo számíása (GEOOL) 5. A geopoecál modell és dre haás vsszaállíásával végleges megoldás N- re. (GOMB) Gyaorla példá. Geodszámíás 38 poba mér aszrogeodéza függ voal-elhajlás éréeb l A számíáshoz alapé 38 po aszrogeodéza (, ) függ voal-elhajlása szolgál. A mér függ voal-elhajlásoa GRS80-as redszerbe ászámíás uá az 9

10 EGM96 geopoecál modellb l 360 fog és redg számío függ voalelhajlásoal reduálu. A maradé függ voal-elhajláso auoovaraca függvéye a öveez ábrá láhaó: függ voal-elhajláso ovaraca függvéye (38 poba, EGM96 modell maradéo) 3 ξ η ovaraca (") szögávolság (fo) - Ezuá elészíeü a GEOOL program alább vezérl állomáyá:../gravsof/geocol >deflgeo.ou <<! f f f f f f f f f f f dvresar dveq f f f /fcol/egm96.edg f f f f f f f./egm96.dv f f f f f f f deflgeo.d! A olloácó eredméye (a modell vsszaállíása uá): 0

11 A megoldás elle rzü az OGS 340 szeze magassággal redelez pojá és a geodmagasságo ±4 cm-es szórással lleszede. Eél poosabb megoldás érheü el aor, ha em csa függ voal-elhajlás adaoa vou be a geodmeghaározásba, haem ehézség redelleességee és Eövös-ga mérésee s.. Geodszámíás gyors olloácó módszerével (3089 ehézség redelleesség felhaszálásával Magyarország erüleére) 3. Nehézség redelleessége számíása Eövös-ga méréseb l (44 88 grades mérésb l m erülee) Ez a megoldás eljese ölö ovaraca márx eseébe b. 5 GB árhelye géyele, vszo ra márxé a árgéy b. 300 MB-ra csöehe. Az alábbaba láhaó a rá ölö márx áredezés el és uá: A ra ovaraca márx emzérus eleme áredezés el. A emzérus eleme száma

12 A ra ovaraca marx emzérus eleme AMD (approxmae mmum degree) áredezés uá