Lépcsős látens változós CreditRisk + modell

Átírás

1 0. TIZEDI ÉVFOLYAM 5. SZÁM 455 NAGY ATTILA Lépcsős látens változós CreditRis + modell A CreditRis + alapú modelle zárt alaját biztosító egyi feltételezése a defaultintenzitásoat vezérlő fatoro gamma-eloszlása. Azonban ez a megszorítás jelentős mértében leszűíti a fatoro megfelelő pontossággal reproduálható empirius orrelációs mátrixána örét. Giese [003] modelljében a fatoro orrelációját az eloszláso alaparamétereine egy látens változótól való függése biztosítja, ami a megfigyelt, tipiusan heterogén, pozitív elemeből álló ovarianciamátrixána egy, a diagonálison ívül azonos elemeet tartalmazó mátrixszal való özelítését teszi lehetővé. A modell itt bemutatott lépcsős vetorváltozós általánosítása rugalmasabb strutúrát eredményez, amivel az empirius ovarianciamátrix pontosabban reproduálható, csöentve a modellfeltételezésene a veszteségeloszlásra gyaorolt, torzító hatását. Az alacsony illesztési hiba eredményeént iüszöbölhető a ocázati mértée alloációjána ötöttebb modelle esetében tapasztalható inonzisztenciája is. BEVEZETÉS Publiálását övetően a CreditRis + -t számos ritia érte a modellezhető default-orreláció orlátozottsága miatt. A versenytárs terméehez viszonyított, alacsonyabb orreláció, illetve véonyabb farú veszteségeloszlás egyi oa a defaulto intenzitását vezérlő, gamma-eloszlású fatoro függetlenségéne feltételezése. A modell első, ezt a iötést feloldó valójában megerülő továbbfejlesztésében Bürgisser et al. [999] a többváltozós fatorstrutúrát egyetlen fatorral helyettesíti. Azonban ez az fatoros megözelítés mind a veszteségeloszlás vantiliseit, mind az alloált ocázatoat teintetve ellentmondásos eredményere vezethet (pl. a standard modellnél alacsonyabb vantilise). Giese [003] compound gamma modelljében a fatoroat feltételesen független változóal modellezi, amelye orrelációját az alaparamétere egy látens változótól való függése biztosítja. Ebben a eretrendszerben, szemben az fatoros modellel a default orrelációban a fatoro varianciái mellett explicit formában megjelenne fatoro ovarianciái is. Ugyanaor, a onstrucióból adódóan, egyetlen látens változóval csa azonos fatorovarianciá állítható elő, ami heterogén empirius ovarianciamátrixo esetén magas illesztési hibához vezet. A modell általánosításában minden fatort egy újabb látens változó bevonásával írun fel (innen a lépcsős modell elnevezés), ami rugalmasabban paraméterezhető ovarianciastrutúrát eredményez. A Standard CreditRis + modell felvázolása után, a ci másodi fejezetében fejtjü i a lépcsős modellt (valószínűségi generátorfüggvény, ocázati mértée alloációja, paraméterezés), a harmadi pedig egy tesztportfólión végzett számításo eredményeit tartalmazza.

2 456 HITELINTÉZETI SZEMLE. STANDARD CREDITRIS + Az N elemű portfólió vantált expozícióit v i -vel (i= N), a várható vesztesége onzerválását biztosító default valószínűségeet p i -vel jelölve, a portfóliószintű veszteséget az alábbia szerint definiálju: Y = vd i i,ahol D i ~Poisson(p i (S)) az i expozíció default indiátorána özelítése, S=(S,,S ) (<<N) a default intenzitásoat vezérlő független, gammaeloszlású omponenseet tartalmazó vetorváltozó. S ~Gamma(α, β ), E[S ]=, F S(s,...,s ) FS ( s) A feltételesen független default (szám)o eloszlásaina paramétereit a fatoro alábbi függvényeént írju fel: p(s). i = pi wis, (w i 0, w i = ) Bevezetve az expozícióspecifius ocázatoat reprezentáló (S 0 ) fatort, a default változó S-re vonatozó feltételes függetlensége mellett a veszteség valószínűségi generátorfüggvénye a övetező alaban írható fel (l. Credit Suisse First Boston [997]): v Q(z) = i pw i iz,(=0..m). = G Y(z) = exp Q 0() + Q 0(z) α ln( +β( Q () Q (z) )), = ahol i =.. LÉPCSŐS CREDITRIS + A Standard CreditRis + -ban a defaulto orrelációját az expozíció default-intenzitásait vezérlő, özös fatoro eredményezi. Giese modelljében a fatoro függőségét ehhez hasonló módon, egy özös, egységnyi várható értéű, mögöttes változó biztosítja, de az egyetlen szabad paraméter meglehetősen rugalmatlan strutúrát eredményez. A lépcsős modellben a fatoro alaparamétereit egy dimenziós látens vetorváltozó függvényeént írju fel úgy, hogy a -adi fator alaparamétere a vetorváltozó első omponensétől függ... Modellspecifiáció (A) Legyen T = (T,,T ) a fatoro alaparamétereit vezérlő látens vetorváltozó független, egységnyi várható értéű gammaeloszlású omponenseel. T r ~ Γγ ( r, δ r), r r γδ = (r=..), F T(t,...,t ) = FT ( tr) Az r-i változó szórását σ r -rel jelölve, adódi: és δ =σ és r, r= r r r r γ = σ

3 0. TIZEDI ÉVFOLYAM 5. SZÁM 457 (A) Az S (=..) fatoro hasonlóan a Standard CreditRis + -hoz egységnyi várható értéű, feltételesen független, gammaeloszlású változó, az alábbia szerint meghatározott alaparaméterrel: r r r= S T ~ Γ(α (T), β ), ahol α (T) : = a T, (a r 0, =.., r =..). ( ) r= r r= r Az egységi várható érté β : = a, a > 0 előírással biztosítható. (A3) A defaulto feltételesen független Poisson eloszlású változó, S-től függő paramétereel. D i S ~ Poisson(p i (S)), ahol p(s) i = pi wis, (w i 0, w i =, i [,N]). Felhasználva a fatoro és a defaulto feltételes függetlenségét, a veszteségi valószínűséggenerátor függvénye az alábbi várható értéént számítható: = T + +β β,r r = ( ) =... exp Q () + Q (z) a t ln( +β Q () β Q (z)) 0 0,r= r f (t )... f (t )dt...dt T T, ahol f Tr a T r változó sűrűségfüggvénye. Ha a látens vetorváltozó egyomponensű, visszaapju Giese modelljéne generá torfüggvényét.

4 458 HITELINTÉZETI SZEMLE Az eloszlás a hatványsoro logaritmusána és exponenciálisána hatványsorba fejtésével, valamint a polinomo összeadási és salárral szorzási műveleteivel számítható (l. Giese [003])... Modellezhető orreláció A fatoro fenti eretrendszerben modellezhető függőségi strutúrája a felhasznált többváltozós gamma-eloszlásból adódó variancia-ovariancia mátrixszal jellemezhető. = + = β +β r σr r= D (S ) D E S T E D S T a (=..) min(m,n) r= A onstrució rugalmassága szembetűnő a páronénti default orreláció alábbi, empirius varianciáal és ovarianciáal ( σ$, Cov(S,S m ),m=.., m) felírt alaját teintve. pp i j Corr(D i,d j) = wiw j σ $ + wimw jncov(s m,s n). ( pi)( p j) = m,n= m n Látható, hogy a fatorvarianciá illesztése önmagában nem elegendő a default orreláció pontos modellezéséhez. A Bürgisser-féle fatoros modellben (=) a diagonálison ívüli elemeet összegző tag eltűni, míg Giese modelljében elmosódi az empirius ovarianciá ülönbözősége, mivel az egyomponensű látens vetorváltozó azonos ovarianciáat eredményez (az empirius ovarianciáat ugyanazzal az értéel helyettesíti). Ezzel szemben a lépcsős modellben a ovarianciá számával megegyező számú paraméter áll rendelezésre az empirius értée reproduálásához. )..3. ocázatalloáció Egy portfóliómodell mindennapos ocázatezelési gyaorlatban való alalmazásána feltétele a ocázati mértée alloációjána gyors iszámíthatósága. A q (0,) onfidenciaszintű VaR q expozíciószintű alloációja az alábbi feltételes várható értéént definiálható (urt és Tasche [00]): A modellben használt ovariancia értée természetesen az empirius varianciá mellett a ovarianciától is függ, mivel a paraméterezés az empirius ovarianciamátrix özelítésével történi (l. GIESE [004]). Az fatoros modellben pedig a fator varianciája a portfólióna az empirius variancia-ovariancia mátrixszal számolt varianciájától függ (l. BÜRGISSER et. al [999]).

5 0. TIZEDI ÉVFOLYAM 5. SZÁM 459 { VaR = q} E Di i(var q) = v i E Di Y = VaR q = v ρ i P(Y = VaR ) Bevezetve a P(z)=(P (z ),,P (z )), P (z)=q (z) Q () jelölést, továbbá felhasználva, hogy a fenti generátor függvény reprezentálható az S vetorváltozó M S (u), u=p(z)) momentum generátorfüggvényével, a számlálóban szereplő várható érté a övetező alaba írható (l. Giese [003]): q { } i E D p w C(VaR v ) i VaR = q = i i u M (u = P(z)). S = 0 (A C ( ) operátor egy tetszőleges hatványsort az együtthatóira épez le.) Azaz, a várható érté számításához a momentum generátorfüggvény alábbiaban megadott u (=0,..,) szerinti deriváltjaira van szüség. M(u = P(z)) = G (z) u0 S Y q. = G Y(z) exp ln(a rβ) ln +σr aqrln( βqp q(z) ) ln( βp (z) ). r= q= ar 0 Hasonlóan a generátorfüggvényhez, a deriválta is hatványsorba írható az ott felhasznált műveleteel. Az expected shortfall, illetve a VaR oherens alloációja eze után a megfelelő valószínűsége összegzésével számítható. A szórás alloációját hagyományosan az adott modellben definiált fatoro varianciáival, ovarianciáival írju fel. A szórás, és így a vantilisalapú tőeövetelménye szórásalapú felbontása azonban önnyen modellfüggetlenné tehető a veszteségeloszlás varianciájána a fatoro empirius ovarianciamátrixával megadott alaját felhasználva. Az i expozíció szóráshoz való hozzájárulása a variancia expozíció szerinti deriváltjaént számítható (Tasche [000]), ami az empirius ovarianciamátrix esetén az alábbia szerint írható fel: - N Y EL Cov(S,S m) ELELm v i pi = = m= i= N EL = wipivi. i= σ = σ + +, ahol ρ v σ = σ = i i( Y) v i Y σy vp = vi + wiσ $ n- i i EL + Cov(S,S m) ( wimel + wiel ) m. σ Y = = m =

6 460 HITELINTÉZETI SZEMLE A modellfüggő alloáció az empirius ovarianciamátrixna a fatoro adott modellel reproduált ovarianciamátrixával való helyettesítésével adódna. A étfajta alloáció eredményéne eltérése felhasználható a modelle benchmarolásához..4. Paraméterezés A modell paraméterezése a látens változó varianciái és súlyai (σ r, a r, =,...,, r =,...,) optimális értééne meghatározását jelenti. Mivel az optimális értée definíció szerint minimalizáljá az empirius ovarianciamátrix (COV) és anna modellbeli reprezentációja (COV) egy választott ρ metriáját, a paraméterezés egy nemlineáris optimalizálási feladatra vezet. A paraméterezés testre szabásához bevezethető a portfólió egy választott additív jellemzőjéne (pl. várható veszteség) fatoro özti megoszlását tartalmazó (D=diag(d ), =..) súlymátrix, amivel a minimalizálási feladat a övetezőépp formalizálható: min( ρ ( D COV D, D COV( σ, A) D ), ahol σ= ( σ,..., σ ), A = [ a ] σ, A σ 0, a 0, D [S ]= σ$ (, r ) r r Megjegyzése: A varianciá egyezőségéne feltétele adott esetben elhagyható. Az a r 0 feltétel a ocázati hozzájáruláso számítása miatt szüséges. Az eloszlás legenerálható a D [S ] 0 (=,...,) feltétellel apott paramétereel is. r =..,r=...5. Általánosított generátorfüggvény A felírt generátorfüggvényt teintve, problémát jelent, ha a paraméterezés eredményeént valamely -ra β =0 adódi. Amennyiben minden [, ]-ra β =0-t apun, az expozícióspecifius ocázattól (S 0 ) elteintve, a generátor függvény G Y (z) re reduálódi, ami nyilván nem plauzibilis eredmény. A probléma áthidalásához vegyü észre, hogy rögzített β /a r mellett lim a ln β P (z) = P (z), ami az alábbi általánosított generátorfüggvényhez β 0 vezet: ( ) r G Y(z) = expp 0(z) ln r r ( ) +σ a ln β P (z) P (z) r= σr = = β 0 β= 0 A határátmenettel az adott fator pratiusan degenerált eloszlású lesz, ami a w i {0,} (i=..n, =0..) esetben a fatortól függő itettsége függetlenségével egyenértéű (vö. expozícióspecifius ocázato reprezentálása egyetlen onstans fatorral).

7 0. TIZEDI ÉVFOLYAM 5. SZÁM EMPIRIUS EREDMÉNYE A számításohoz használt tesztportfólió 5000 expozíciót tartalmaz, egyenletesen elosztva öt szetor (fator) özött (w i {0,}). Az expozíció mérete az első három szetorban, a negyediben és az ötödiben pedig 3 egységnyi. A itettsége default valószínűség szerinti megoszlása minden szetorban azonos. A tesztportfólió expozícióina megoszlása szetoro, expozíció méret és default valószínűsége szerint. táblázat Szetor Expozícióméret Default valószínűség % % 3%,, , A fatoro empirius orrelációs mátrixa és varianciái. táblázat Fator Variancia,0 0, 0, 0, 0, 0,3 0,,0 0, 0, 0, 0,3 3 0, 0,,0 0, 0, 0,3 4 0, 0, 0,,0 0, 0,4 5 0, 0, 0, 0,,0 0,4 Az -es metriával, D=diag() vel és a varianciá egyezőségéne feltételével specifiált paraméterezési feladat megoldásával pontosan reproduálható az empirius ovarianciamátrix (3. és 4. táblázat). 3. táblázat A paraméterezési feladat megoldása Fator Látens változó súlyai ,80 5,65 45, ,787,970 7,84 4 6,308 4,96 4,3 34, ,783 0,46 7,7,6 7,658 Varianciá 0,74 0,349 0,40 0,776 4,608

8 46 HITELINTÉZETI SZEMLE A fatoro illesztett orrelációs mátrixa 4. táblázat Fator 3 4 5,000 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00,000 0,00 0,00 0,00 3 0,00 0,00,000 0,00 0,00 4 0,00 0,00 0,00,000 0,00 5 0,00 0,00 0,00 0,00,000 A lépcsős modell valamennyi modellnél vastagabb farú eloszlást eredményez a fatoro heterogén ovarianciamátrixána pontos reproduálása miatt (5. táblázat). A Compound gamma modell fatoros modellnél alacsonyabb vantiliseit a diverzifiáltabb modellbeli fatorstrutúra magyarázza. 5. táblázat A ülönböző modelleel generált eloszláso jellemzői a portfólióméret százaléában Szórás VaR 95% 99% 99,5% 99,9% 99,95% 99,99% ES (99,9%) Standard CR + 0,67% 3,3% 3,93% 4,% 4,84% 5,% 5,70% 5,% fatoros CR + 0,79% 3,44% 4,7% 4,59% 5,30% 5,60% 6,7% 5,7% Compound gamma 0,79% 3,44% 4,6% 4,58% 5,8% 5,57% 6,% 5,69% Lépcsős modell 0,79% 3,46% 4,44% 4,89% 5,96% 6,44% 7,6% 6,66% A ovarianciamátrix reproduálásána pontossága a ocázati mértée alloációjára is hatással van (6. táblázat). Az fatoros modellben a szetorora alloált ocázato csa az expozíció méretei miatt ülönbözne. A compound gamma modellben a fatoro eltérő varianciái is befolyásoljá az alloációt, de a ovarianciá ülönbözősége csa a lépcsős modellben jut szerephez. A szórás orábban megadott modellfüggetlen felbontása nyilvánvalóan nem függ a ovarianciamátrix illesztési hibájától, így az teinthető benchmarna. A lépcsős modell az alacsony illesztési hiba eredményeént ezzel megegyező szórásfelbontást eredményez.

9 0. TIZEDI ÉVFOLYAM 5. SZÁM 463 ocázato alloációja 6. táblázat VaR(99,9%) ES(99,9%) Szórás Szetor fatoros CR + Compound gamma Lépcsős modell fatoros CR + Compound gamma Lépcsős modell fatoros CR + Compound gamma Lépcsős modell Modellfüggetlen 5,69% 7,7% 4,94% 0,76% 7,0% 4,36% 0,58% 6,45% 5,7% 5,7% 5,69% 7,7% 4,94% 0,76% 7,0% 4,36% 0,58% 6,45% 5,7% 5,7% 3 5,69% 7,7% 4,94% 0,76% 7,0% 4,36% 0,58% 6,45% 5,7% 5,7% 4 4,46% 39,09% 9,7% 33,86% 39,48% 5,30% 34,% 40,3% 40,0% 40,0% 5 4,46% 39,09% 55,90% 33,86% 39,48% 6,6% 34,% 40,3% 4,67% 4,67% Összes 00,00% 00,00% 00,00% 00,00% 00,00% 00,00% 00,00% 00,00% 00,00% 00,00% Generált eloszláso. ábra

10 464 HITELINTÉZETI SZEMLE és farai. ábra 4. ÖSSZEGZÉS A ciben bemutatott lépcsős CreditRis + modell Giese [003] compound gamma modelljéne vetorváltozós általánosítása, amelyben a -adi fatort a vetorváltozó első omponensétől függő, sztochasztius alaparaméterű változóént írju fel. A onstrució rugalmasan illeszthető ovarianciastrutúrát eredményez, amivel a fatoro empirius ovarianciamátrixa alacsonyabb illesztési hibával reproduálható, mint a ötöttebb modelleben. Enne eredményeént a tőeövetelményént használatos ocázati mértée pontosabban becsülhető, és iüszöbölhető a ocázati mértée alloációjána fatoros és compound gamma modellben tapasztalható inonzisztenciája. IRODALOMJEGYZÉ BÜRGISSER, P. URTH, A. WAGNER, A. WOLF M. [999]: Integrating correlations. Ris Vol., No. 7 (July 999), o. Credit Suisse First Boston [997]: Credit Ris +, A Credit Ris Management Framewor, com/pp_model_.htm GIESE, G. [003]: Enhancing CreditRis +, RIS, Vol. 6, No. 4 (April 003), o. GIESE, G. [004]: Dependent Ris Factors, CreditRis + in the Baning Industry. Springer, Berlin, o. URTH, A. TASCHE, D. [00]: Credit Ris Contributions to Value-at-Ris and Expected Shortfall, Ris, Vol. 6, No. 3. (March 003), o. TASCHE, D. [000]: Ris contributions and performance measurement. Woring paper, de/pers/tasche/