Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs Technológiai Kar. IIR szrtervezés. Radványi Mihály Gergely Sándor Alpár Antal

Átírás

1 Pámáy Péter Ktoliu Egyetem Iformáció Techológii Kr IIR rterveé Rdváyi Mihály Gergely Sádor lpár tl Digitáli elfeldolgoá 6

2 Trtlomegyé Trtlomegyé... Áltláo r...3 Átviteli függvéy otrució...5 luláteret r...8 Felüláteret r...8 Sáváteret r...9 Sáváró r...9 Folytoo ide r pproximáció... Butterworth öelíté... IIR rterveé...3 Impulu ivriá trformáció...3 Bilieári trformáció...5 Péld IIR r terveéére...9 H meghtároá pecifiációból:...9 H ámítá H-bl:... Impulu ivriá trformáció... terveé bilieári trformációvl:... Irodlomegyé...6

3 Áltláo r rádiótechi feldée orá gyo oor felmerült ele petráli mipulációá érdée. öépfreveciá regöröö át hgfreveciá el iegyelítééél, ámtlor elfordult, hogy el freveciáit ellet mipuláli. televíióá törtéetébe ülööe gy erephe utott ülöbö rftá, miet elleállá-odeátor-teerc hálótol ierült reliáli. 97-e éve eleé merült fel petrállíi, illetve freveciré digitáli iviteleéée godolt. Erre célr pib i tért hódító digitáli elfeldolgoó miroámítógépe, illetve miroveérl feldée dt eübe t eöt, mi lehetvé tette gyobb freveciá digitáli feldolgoáát. Mpág ite mide órottó eletroii, illetve ommuiáció eöe meg ell birói ré feldtávl, hie e élül ite elépelhetetle lee mobilommuiáció, háimoi, televíió, rádió, é még o má eletroii eöe mödée. Bioyo r ot, vró eleet, máo freveciát próbál eltávolíti elebl. Mi mot utóbbivl fogu foglloi: miét lehet egy dott bemeeti el petráli rteritiáát vló idbe mipuláli? RLC hálótoál tudu, hogy bemeeti feültég deriváláávl odeátor, illetve itegráláávl teerc meg tudu vlóíti ívát pecifiációt ielégít rrteritiát. digitáli eleél ob máépp ell godolodi, hie ebbe eetbe mid idbe, mid pedig értééletbe vtált eleet pu. Ilyeor beélü dirét ide megvlóítáról. digitáli elfeldolgoó rchitetúrá lehetéget d éleltet, oró, vlmit öedó implemetáláár, miel dirét idbe i el tudu végei petráli trformációt. Mid dirét, mid pedig lóg folytoo eetbe ret átviteli függvéyü ír le. átviteli függvéybl iver Lplce folytoo, vgy iver Z dirét trformációvl pu meg impuluvált vgy úlyfüggvéyt, mivel ité ól lehet ellemei dott rt. 3

4 Jele eetbe mi rr leü íváci, hogy miét lehet dott pecifiációt ielégít H lóg átviteli függvéyt otruáli, md ebbl ülöbö trformációl hogy lehet elállíti dirét ide r orói együtthtóit, illetve H átviteli függvéyét. 4

5 Átviteli függvéy otrució rterveé legel lépée pecifiáció rögítée. rvel célu, hogy bemeeti el freveci-rteritiáát pecifiációb meghtároott formár lítu. Specifiáció egy átviteli elleget értü, mi megd, hogy milye freveciát ereté iri áró trtomáy, illetve megtrti áteret trtomáy. áteret é áró trtomáyo elhelyeedée lpá égy gy coportb orolhtu ret. luláteret Felüláteret Sáváteret Sáváró célu, hogy oly rt terveü, mie átviteli rteritiá em lóg i üre volll htárolt rébl. átviteli rteritiát átviteli függvéy ír le, mie bolút értée d mplitúdó átvitelt, rgumetum öge pedig fáieltolá mértéét freveci függvéyébe. IIR r terveééél em veü figyelembe fáieltolát, c mplitúdó petrumot 5

6 optimliálu, é h eetleg fáirteriti gyo eltér megegedettl, or egy midet áteret rvel orrigálu. átviteli függvéyt övete lb ereü: M i... M i H N, N B b b... bn p M hol é B poliomo, melyee együtthtói vló, így i éruo é p póluo vló vgy ougált omplexe. tbilitá érdeébe póluo igorú egyégörö belül ell, hogy elhelyeedee. Elvárá rtl i, hogy miél lieáribb legye átvitel megdott htároo belül. telee lieári ép rteriti c végtele foámú rvel érhet el, eért et c öelítei tudu. Ee módere ú. pproximáció, mely lábbi érdére próbál vált di: Milye T, N, ö,,..., M, b bn értée eeté elégíti i e M,..., H ívát pecifiációt? IIR r terveéét folytoo ide lóg r terveéére veetü vi. folytoo ide r átviteli függvéyei egyrét egyerbbe, márét módere már idolgoott. Megfelel trformációl folytoo ide r átviteli függvéye, úlyfüggvéye impulu-vál, vgy ár mg lóg hálót i pecifiációt ielégít dirét ide rbe trformálhtó. Eért megéü, hogy miét lehet eeet trformációt elvégei. Céler beveeti átviteli téyet, mellyel ámoláo egy icivel leegyeröde ébbiebe: " bemeet" B " imeet" H E függvéy cillpítát htáro meg freveci függvéyébe folytoo ide r eeté. Tuldoági:, mert r terméetéél fogv imeeti el értée vgy egyel bemeet értéével, vgy pedig iebb. H átviteli függvéyhe holó rcioáli törtfüggvéy B : Hurwit-poliom, gyöeie vló rée egtív, vgyi bl félío helyeede el tbilitá mitt 6

7 7 : árótrtomáy htéoy ilítá végett gyöeit épete tegelyre helyeü bolút érté függvéyt épete tegely meté lábbi módo ámíthtu i: B B pproximáció elárá f ehéége el é hrmdi tuldoág együtte ielégítée. Ee megöyítée érdeébe veeü be / g lú, úgyeveett rteritiu függvéyt övete módo: g g Mivel: h g g Eel g váltál el tuldoág átviteli téyee utomtiu ielégül. rcioáli tört lú rteritiu függvéyt melyre éve már ic Hurwit megöté válu meg oly, hogy elégíte i pecifiációt. Ee módereit ébb fogu láti. feti egyeletet öö evere hov: B B g g g g Ebbl: g g B B -ed foú egyeletet megoldv, bl félír e gyööbl,...,, felépíthetü B Hurwit poliomot, ielégítve hrmdi feltételt: c B, hol c g g B B egyelet legmgbb htváyáho trtoó együtthtó égyetgyöe. gyöö iváltáá feti móderét hívu epráció. r tlóguo gyo oféle, ülöbö pecifiációho trtoó r dtit trtlmá. átviteli téye dti ívül, iolvhtó bellü RLC

8 reliált lóg hálót elemértéei i. tlóguob c luláteret ret tlálu, melye htárfreveciá midig. Vlóágo fiii freveci elírál bíró luláteret, felüláteret, áváteret, illetve áváró ret tlógu háltávl úgy tudu tervei, hogy pecifiációt trformálu ormliált freveci értéere, md tlógub iereü megfelel rt. tlóguból iolvott függvéyt ee utá vi ell trformálu, hogy eredeti pecifiáció eleget tev rt pu meg. lábbib eeet lépéeet fetü i réleteebbe. luláteret r Már tárgyltu, hogy IIR rterveéor luláteret rbl idulu i, é et ülöbö trformációl lítu pecifiáció megfelele. luláteret r eetébe egyere c trformációt llmu. árótrtomáy edete reltív egyégebe: >. áteret ávi tolerci, h é árótrtomáyb elírt miimáli cillpítá lpá megereü tlógub megfelel rt, é iolvu lóg átviteli téye prméterei. h Például t tlálu tlógub, hogy p t p C ς p p prmétere: C, ς,, p, ς,, p, vlóágo r átviteli téye: Felüláteret r t p h llmott trformáció: p h 8

9 9 árótrtomáy: > h Átviteli téye: p h t Sáváteret r llmott trformáció: p δ hol ávöép freveci é reltív ávéleég δ : h hf δ h hf árótrtomáyo élei: f f δ δ Ee öül iváltu iebbet igorúbbt, é le luláteret r áró trtomáy: { }, mi átviteli téye: p t δ Sáváró r elárá holó áváterethö, llmott trformáció: p δ árótrtomáyo öül mot i iebbet igorúbbt váltu. átviteli téye: p t δ

10 Folytoo ide r pproximáció tlóguo móderél láthttu, hogy luláteret rbl iidulv otruálhtu tetlege rteritiáú rt, eért h tudu, hogy hogy lehet ilyet tervei, leveethetü többi r elleget i. célu mot le, hogy oly árt öefüggét tlálu, mely egítégével meghtárohtu dott pecifiációt ielégít, folytoo ide r átviteli téyet. móder, mit llmi fogu, úgyeveett mximáli-lpo vgy Butterworth öelíté. dott tehát luláteret r dti: áteret trtomáy: [ ; h ] áteret ávb megegedett igdoá: [ db ] árótrtomáy: [ ; ] árótrtomáyb miimáli cillpítá: Céler beveeti h [ db ] ormliált freveci váltoót, mellyel áteret áv [ ;] trtomáy, áróáv edete pedig érté le. h ormliált váltoóvl iámított átviteli téyebe helyetteítét elvégeve eredeti freveciávb fog teleüli pecifiáció. Móderü godoltmeete övete le: heuritiu módo váltu egy rteritiu függvéyt, md bee lév prmétereet úgy váltu meg, hogy pecifiáció ielégülö. rteritiu függvéybl eutá iámítu B B g g egyelet öe gyöét. gyöö öül eprálv bl félír eet, megpu megegedett átviteli téyet, mi már megfelel fetebb felorolt égy tuldoág. Butterworth öelíté Válu rteritiu függvéyt htváyfüggvéye! átviteli téye így legye lábbi lú: hol r foám le. e, h

11 e prméter értéét mooto övev cillpítá függvéy áteret ává élé elírt, mximáli megegedett értéébl ámítu i: db lg lg e lg e e db üége foámot pedig árótrtomáy élé elírt miimáli cillpítából htárou meg: db lg lg e lg e l db e l freveciváltoót beveetve átviteli téye: Ee utá rteritiu függvéy: e g g e eve poliom éru foú: e e e : páro : pártl ámláló poliom g -ed foú: g e é é g g g : páro : pártl átviteli téye éruit övete egyeletbl pu meg: Et átredeve: Md -i gyööt vov: e e e π π e e e π e ϕ,,...,

12 hol: e π π ϕ gyöö tehát ugrú örö, ϕ fái ög értéee helyeede el. öe gyöbl,...,, idexhe trtoó ee bl félír, míg,..., idexehe trtoó obb félío lee. idex htár megváltáávl bl félíú gyöö eprálá egyere megoldhtóm így átviteli téye gyötéye l: B Kihálv, hogy gyöö ougált omplexe, páro eetbe: co ϕ H pártl: co ϕ Mivel átviteli téye átviteli függvéy recipro, továbbib et öefüggét felhálv veetü le folytoo ide rbl dirét ide IIR r egyeleteit. H

13 IIR rterveé Egy r terveééél feldtu, hogy oly dirét-ide hálótfüggvéyt ereü, mihe trtoó mplitúdó rteriti megfelel pecifiációb elírt. H imerü reder átviteli függvéyét, átlíthtu oly formár, mibl reder prméterei már iolvhtó. FIR rel elletétbe IIR r H átviteli függvéye póluot é éru helyeet egyrát trtlm. Eért holó lóg rhö, terveéü gyr pólu é éru helye leírából idul i. Mivel egy fiiilg megvlóíthtó é tbil IIR re em lehet lieári fái, terveé orá vál gyágávl fogu elorb foglloi é em fáil. folytoo ide r terveé már egy ól iimert terület, úgyhogy IIR r terveééél i legáltláobb móder, hogy viveetü feldtot egy folytoo ide r terveéére. legeheebb feldt pproximáció öelíté,eért dirét-ide átviteli függvéyt folytoo-ide trformáláávl fogu ámoli. lábbib erre ét módert imertetü; impulu ivriá trformációt é bilieári trformációt. Impulu ivriá trformáció IIR r terveééél már redeleéüre áll folytoo ide reder impuluvál h t, et mitvételeü T perióduidvel, e le dirét ide átviteli függvéyü: ugye freveci trtomáyb: h T h t T h H f F H [ f F ] hol H F folytoo ide freveci vál, F pedig mitvételi freveci. Vgy máéppe: t H e H T θ H? H d e T π T 3

14 E tehát freveci trtomáyb periódiu le, mitvételi tétele megfelele. Et módert elorb luláteret rre hálu, mivel ott megfelel mitvételi freveci felett átlpolódából dódó rteritii torulá elhygolhtó. H már megptu H átviteli függvéyt, mi eleget te pecifiációb leírt, ebbl ell meghtároi H -trtomáybeli függvéyt. Et étféleéppe tehetü: Vgy fvágó módr H t úgy hogy v iver Lplce trformálu, így megpu idtrtomáybeli h t -t, mit mitvételeü, md így pott ht -t Z trformálu: { H } h T h t T H Z{ h T } H h t L E megoldá, hbár célrveet, de elég hodlm lehet od-vi trformálgtáo mitt, úgyhogy iább éü meg mái módert. Ebbe eetbe i már meglév H -bl idulu i. H et prciáli törtere botá: hol N eve foám, H r N - póluo, r pedig tuáli oefficie. Ebbl h t iver Lplce-l: h t N ebbl mitvételeéel tt övetet pu: r e t h T N r e T N r hol T e Z-ír trformált pólu. Itt h < or < r <, h > or r >. E yit elet, hogy -í bl oldlát Z-í beli egyégörbe trformáltu, obb félíot egyégörö ívülre. De mior, or r i 4

15 , épete tegely potit egyégörvolr épeü, mi igából em ölcööe egyértelm leépé. Tehát megptu dirét ide reder átviteli függvéyét, et mot Z- trformálu: H végeredméy: N N h T r H N r r Tehát, h dott egy H függvéy, mi megfelel pecifiáció, or élül hogy áttéré idtrtomáyr, egyere ámolhtó H átviteli függvéy feti öefüggé lpá, hie r é ámolhtu. imert, -t pedig -ból átlpolódá miimliálá érdeébe érdeme miél iebb mitvételeéi idt válti, é éppe eért impulu ivriá módert c lul-, vgy áváteret rre lehet llmi. Bilieári trformáció IIR r terveéeor e legáltláobb elárá, hie itt em lép fel átlpolódából dódó hib. Eel trformációvl i S-íból épü Z- ír. egé leépét övete egyer ifeeé d meg: vgy -re redeve: gyr erepel egy T - oró i trformációb, de léyege e em váltott elhö holó e leépé i bl félíot egyégörö belülre obb félíot egyégörö ívülre, épete tegelyt pedig örvolr trformál, de ebbe eetbe c egyer épi le örvolr, így elerülü 5

16 frevecitrtomáybeli átlpolát. trformációt örtrtó i otá eért evei, mivel -beli ör -be i ör le. épete tegelyt végtele ugrú öre teitü: llmv feti trformációt meglév H átviteli függvéyre, megpu H -t: H H Mivel bilieári trformáció -beli tbil törtfüggvéybl -beli tbil törtfüggvéyt állít el, eért H -e i eleget ell teie iötéee. Kérdée t pere, hogy így megpott H frevecivál H e holít-e folytoo t ide freveciválho, mivel H e periodiu, viot em. feti öefüggéeet egymáb helyetteítve pu, hogy: H H e t H függvéybe helyetteíted érté: t H e t H e e e t t hol így: e T t tg t e T tg tg π, pedig mitvételi freveci t H e H tg H tg π e utóbbib t lehet megfigyeli, hogy míg w fiii freveci é öött váltoi, reltív freveci é vétele öött váltoi. E yit elet, hogy folytoo idbeli [; ] t leépé [; ]itervllumr trformál. Et gymérté frevecitorítát úgy tudu pecifiáció 6

17 T megfelelteti, hogy mgát pecifiációt torítu tg tg π - megfelele, md erre íru fel függvéyt, mi már eleget te torított H pecifiáció. Hogyh ee utá et bilieári trformációvl leépeü, frevecivál vitorul é megfelel övetelméyebe elírt. Tehát gyorltb llmdó elárá övete: dott pecifiáció w trtomáyb. Elör megereü r htárfreveciááho trtoó reltív freveciát: h h tg π Eutá, orább már leírt megfelele, pecifiáció torítá övetei, mégpedig úgy, hogy htárfreveciár ormálu freveci dtot, mplitúdót váltotlul hgyu: i h i tg π Így motmár megv pecifiáció trtomáybeli l. Mot erre oldu meg pproximáció feldtot, mi bból áll, hogy rtlóguból iereü övetelméyee megfelel H rrteritiát. Et célere el- é máodfoú gyötéye lb íru fel: H C p ς p p Ee átviteli függvéye htárfreveciá még egyég, hie így ormáltu egyi orábbi lépébe, éppe eért helyetteítéel vi ell állíti függvéyt, hogy megfelele eredeti pecifiáció. Eutá végeü el bilieári trformációt fet említett módo H re. utóbbi ét lépé egyerre i elvégehet övete helyetteítéel: h végül: h 7

18 H H h Eutá már c t ell eldöteü, hogy milye trutúráb ereté megvlóíti rt. 8

19 Péld IIR r terveéére H meghtároá pecifiációból: dott pecifiáció: Sáváteret rt ereté tervei -4MH öötti freveciávr lábbi dtol: 5 [db] 5 [db] π,5 h π,5 π 3,5 hf f π 4,5 mitvételeéi freveci: f [MH] H luláteret r átviteli téyee LP, or eü üége áváteret ré: LP. δ hol ávöép freveci é reltív ávéleég δ : h hf hf h δ hf h Vgyi h hf π, 958 [MH], illetve δ, 338, tehát: π,958 LP,958 π,958 árótrtomáyo élei: LP π 8,75. π 9

20 f δ f 6,45 δ 7,33 Ee öül iváltu iebbet igorúbbt, é le luláteret r áró trtomáy: {, } 6, 45 mi Milye luláteret rt hálu? LP? Céler beveeti ormliált freveci váltoót, mellyel áteret áv [ ;] trtomáy, áróáv edete pedig Butterworth öelíté: h Ilyeor tudu, hogy átviteli téyet erei. e prméter értée: érté le. h e lb ell üége foám: db e,47 l db e l,88 Eebl már iámolhtó: 3 e,88 π π π π ϕ 6 átviteli téye pedig pártl: LP coϕ 3,47,59,7 áltlu ereett áváteret r átviteli téyeét már fetebb iámolt behelyetteítéel pu:

21 LP π 8,75 π ,59,66 6,5 46,6 3 Mivel átviteli téye átviteli függvéy recipro, eért: H 6,5 5 97, , , ,3 4, 7 Néü meg, hogy é i e vló freveci trtomáyb: H víite tegelye már vló freveci f láthtó. π H ámítá H-bl: Impulu ivriá trformáció H -t övete öefüggébl pu: H N r hol r - H prciáli törteie oefficieei, - pedig H póluiból ámolhtó T e öefüggéel. Tehát meglév H függvéyt prciáli törtlb ereü: Ehhe elör iámolu H póluit:

22 md r - r lim H lpá: r r r r r r tehát felírhtá H T i-, pedig 9.897*^ *^ *^ *^ *^ *^-7 átviteli függvéy: -t rélettörtere botv. e öefüggébl: terveé bilieári trformációvl: Ebbe eetbe em ell prciáli törtere botu H -t, hem elvégeü Eor H: trformációt

23 pólui pedig: {{ },{ },{ },{ },{ },{ }} egyégörö belül v, tehát tbil. De h t megéü H é H e freveciválot, o em t egyee, mivel H e periódiu. H e t H t H e t H e e e függvéybe helyetteíted érté tehát: e T t tg t e t t hol T tg tg π így viot torul freveci, eért pecifiációt i toríti ell, mégpedig mide egye freveci dtot tg T öefüggé lpá. T Tehát úból meg ell erei egy H függvéyt, mi már eltorított pecifiáció megfelel: 5 [db] 5 [db] T tg π,5 T T h tg π,5 T T hf tg π 3,5 T 3

24 T f tg π 4,5 T mitvételeéi freveci: f [MH] H luláteret r átviteli téyee LP, or eü üége áváteret ré: LP. δ hol ávöép freveci é reltív ávéleég δ : h hf hf h δ hf h Vgyi h hf.56 [MH], illetve δ.394, tehát:.56 LP árótrtomáyo élei: f δ f δ 6.53 Ee öül iváltu iebbet igorúbbt, é le luláteret r áró trtomáy: {, } mi Butterworth öelíté: Ilyeor tudu, hogy átviteli téyet e lb ell erei. e prméter értée: db e,47 üége foám: Eebl már iámolhtó: l db e l

25 e,88 π π π π ϕ 6 átviteli téye pedig pártl: LP coϕ 3,47,59,7 áltlu ereett áváteret r átviteli téyeét már fetebb iámolt behelyetteítéel pu: LP ,9, Mivel átviteli téye átviteli függvéy recipro, eért: H : é mot erre H -re, mi már torított pecifiációt elégíti i, erre íru fel trformációt: T T H e i tbil, meg i felel pecifiáció, é torítát i elerültü. 5

26 Irodlomegyé Joh G. Proi, Dimitri G. Moli: Digitl Sigl Proceig Digitáli r Teleommuiáció o iformtiuo Miolci Egyetem Dr. Ele Kálmá: Jelfeldolgoó redere egyet BME, Hírdátechii Té Wiipedi Dr. YuMig Zhg: EE 4G Sigl & Sytem II Uiverity of Ketucy, College of Egieerig 6