Egy egyszer kölcsönható kvantummechanikai rendszer vizsgálata. TDK dolgozat. Nagyfalusi Balázs

Átírás

1 Egy egyszer kölcsönható kvantummechanikai rendszer vizsgálata TDK dolgozat Nagyfalusi Balázs BME 01

2 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés. Kölcsönhatás kezelése betöltésszám reprezentációban 5.1. Az izotróp három dimenziós harmonikus oszcillátor A kölcsönhatás-operátor mátrixának meghatározása A Lánczos-algoritmus Az impulzusmomentum operátor A s r ségmátrix meghatározása A s r ségmátrix egy dimenzióban Három dimenzióban Betöltések Entrópia A vizsgált rendszerek Hooke-atom Az 1/r -es potenciál Yukawa-potenciál Gauss-Potenciál Atomi egységek Eredmények 3.1. A kölcsönható rendszerek energiái Betöltések Az entrópiák Összefoglalás 9 1

3 1. fejezet Bevezetés A kölcsönható rendszerekben lejátszódó folyamatok vizsgálata a zika egyik legizgalmasabb területe. Az egyes részecskék közötti kölcsönhatások jelent sége még hangsúlyosabb a kvantummechanikában. A kölcsönhatást is magában foglaló modelleknek általában csak közelít megoldásait ismerjük, ezért van nagy jelent ségük az analitikusan is megoldható rendszereknek. Az egyik leggyakrabban vizsgált, analitikusan is megoldható modell, a Moshinsky-atom [], amelyben két harmonikus potenciálban mozgó részecske egymással is harmonikus potenciállal hat kölcsön. Bár a probléma eredeti felvetése több mint negyven esztend s, még manapság is számos cikkben használják egyszer modelként. Nagy és Pipek is ezen a modellen vizsgálja a másodrend s r ségmátrix Hartree-Fock jelleg particionálásának [3] és az elektronok közötti kölcsönhatás-integrál magfüggvény segítségével történ leírásának érvényességét [4]. A Moshinsky-atom állapotainak az összefonódottságát az utóbbi években az információelmélet eszközeivel vizsgálták [5, 6, 7], kiegészítve a modellt küls mágneses térrel is [8]. Egy másik gyakran vizsgált, egyszer kölcsönható modell a Hooke-atom, vagy harmonium, amelyben a küls harmonikus potenciálban mozgó elektronok Coulomb-kölcsönhatással hatnak kölcsön egymással. Ennek a modellnek is létezik bizonyos paraméter választás esetén analitikus megoldása [1, 9, 10, 11]. A szakdolgozatomban [14] a Hooke-atom sajátállapotainak meghatározására használt numerikus módszert dolgoztam ki, amely alkalmas a spektrum és a sajátfüggvények el állítására a modellben szerepl paraméterek tetsz leges választása esetén. A jelen dolgozatban a kölcsönhatások egy b vebb halmazát vizsgáljuk, amelyek általánosan az alábbi Hamilton-

4 operátorral írhatóak le: H = p 1 m + p 1 m + 1 mω r mω r + f ( r 1 r ), (1.1) ahol f ( r 1 r ) a részecskék közötti kölcsönhatás. Az 1.1. számú Hamilton-operátorral leírható problémák szeparálhatóak, ha bevezetjük az összeg-, és különbségi koordinátákat: R = r 1 + r r = r 1 r, P = i R, p = i r. (1.) Ezekben a változókban kinetikus és potenciális tag: P ( 1 m + P P ) m = m + p, illetve m 1 mω r mω r = 1 ( 1 mω R + 1 ) mω r. (1.3) Így a Hamilton operátor az új változókban: [ P H = m + 1 ( ω ) [ m R ] p + m + 1 ( ω m ) r + 1 f (r) ]. (1.4) Az els tag egy harmonikus oszcillátor, amelynek sajátállapotai ismertek. A részecskék közötti kölcsönhatást, amely számunkra kitüntetett jelent ség, a második tag tartalmazza. A rendszer energiáját a következ alakban írhatjuk fel: E = ω ( n + 3 ) + E r, (1.5) ahol E r a kölcsönhatási-tagot is tartalmazó második rész energiáját jelöli. Ahogyan már említettük, a számunkra érdekes tag a kölcsönhatást is tartalmazó második rész: H i = p m + 1 ( ω ) m r + 1 f (r) (1.6) A fenti Hamilton operátorral általában térbelileg lokalizált zikai folyamatokat írunk le. A számos rendszer közül, amelyet a fenti operátor modellez megemlíthetjük a már hivatkozott harmoniumot, a pozitróniumot, amely csak a kölcsönhatás el jelében tér el t le, a tér egy bizonyos tartományára lokalizált hidrogén atomot vagy két csapdázott atomot, amely valamilyan eektív potenciállal hat kölcsön. A numerikus munka során négyféle kölcsönható potenciált vizsgáltunk meg. Az els a Hooke-atom Coulomb-potenciálja (f(r) = 1 ), ennek r 3

5 ( ) egy módosítottja (f(r) = 1 ), és Yukawa- f(r) = e kr, illetve Gauss-típusú potenciál r r ( f(r) = e r ) r 0. A kölcsönható rendszer hullámfüggvényeinek korreláltságát a Neumann és a Tsallis entrópia [13] segítségével jellemezzük. Az entrópiák kiszámításához meghatározzuk az egyes kétrészecskés állapotok redukált s r ségmátrixát és a betöltésszámokhoz tartozó természetes pályákat. 4

6 . fejezet Kölcsönhatás kezelése betöltésszám reprezentációban A bevezetés az 1.4. egyenletében szerepl Hamilton-operátor szeparálható. Ha a harmonikus oszcillátor n-edik sajátállapotát Ψ n (R)-rel, és az általunk érdekesnek ítélt a kölcsönhatást is tartalmazó második rész (1.6) egy sajátállapotát Φ m (r)-rel jelöljük, akkor a teljes állapot Ψ n (R)Φ m (r) szorzat alakban áll el. A szorzat két tagja közül az els a részecskék felcserélésére nézve mindig szimmmetrikus, a második tag szimmetriáját pedig a Φ n (r) hullámfüggvény inverzióval szembeni viselkedése határozza meg. Ha a térbeli inverzió hatására Φ n (r) nem vált el jelet, akkor a teljes hullámfüggvény térbeli része szimmetrikus lesz, ezért az antiszimmetrikus S = 0 spin szingulett állapottal szorzódik, míg ellenkez esetben a térbeli rész antiszimmetrikus lesz és a szimmetrikus S = 1 triplett spin hullámfüggvényhez kapcsolódik. A teljes hullámfüggvényt tehát a Ψ n (R)Φ m (r)χ(s 1, s ) alakban írhatjuk fel, ahol χ(s 1, s ) a spinállapotfüggvény. Ebben a fejezetben összefoglaljuk az 1.4 operátor sajátérték problémájára kidolgozott módszerünket. Ennek lényege, hogy az operátort az izotróp három dimenziós harmonikus oszcillátor sajátállapotain fejtjük ki, majd a kapott mátrixot diagonalizáljuk. A kifejtéshez szükség van az f(r) kölcsönhatás mátrixelemeire is, amelyeket az r operátor spektrálfelbontása segítségével határozunk meg. Els lépésként foglaljuk össze a legfontosabb információkat a bázisként használt a harmonikus oszcillátorról. 5

7 .1. Az izotróp három dimenziós harmonikus oszcillátor A módszer alapja az izotróp három dimenziós harmonikus oszcillátor, amelyr l a következ alapvet információkat tudjuk. A rendszert leíró Hamilton-operátor a következ : H = P m + 1 mω R, (.1) amely szétbontható három darab független egydimenziós harmonikus oszcillátor összegére: H = 3 i=1 ( p i m + 1 ) mω ri. (.) A Hamilton-operátor sajátállapotait n x n y n z szorzat alakban adhatjuk meg, ahol n i az i irányú lineáris harmonikus oszcillátor n i -edik sajátállapota, amely koordináta reprezentációban: ψ n (r i ) = ( ) 1 n n! ri H n e r i x 0, (.3) πx 0 x 0 ahol H n (x) az n-edik Hermite-polinom. A továbbiakban a szorzat hullámfüggvényt az n x, n y, n z számhármassal fogjuk jelölni. A rendszer energiáját a három független harmonikus oszcillátor energiájának az összegeként kaphatjuk meg: H n x, n y, n z = E n n x, n y, n z (.4) ( E n = ω n + 3 ), ahol n = n x + n y + n z (.5) A sajátállapotok az alapállapottól eltekintve elfajultak lesznek. Az elfajulás mértéke megegyezik azzal a számmal, amely megmutatja, hogy n hányféleképpen állítható el n i természetes számok összegeként. A degeneráció mértéke harmonikus oszcillátor esetén (n+1)(n+) lesz. A három dimenziós harmonikus oszcillátor rinvariáns az O(3) három dimenziós forgáscsoporttal szemben, ezért sajátállapotait jellemezhetjük az L és L z operátorokhoz tartozó l, m kvantumszámokkal. A degeneráltság mértéke azonban nem kompatibilis az O(3) irreducibilis ábrázolásainak dimenzióival. Ez az inkompatibilitás annak a jele, hogy a rendszernek létezik egy a három dimenziós forgáscsoportnál b vebb, ú.n. dinamikus szimmetriacsoportja. [1]. Harmonikus oszcillátorra bevezethet ek a jól ismert léptet operátorok: a j = 1 ( rj + i p ) j, a + j = 1 ( rj i p ) j, j = x, y, z, (.6) x 0 p 0 x 0 p 0 6

8 A kommutációs relációjuk: ahol x 0 = mω, és p 0 = mω. (.7) [ aj, a + j ] = δi,j, j = x, y, z, (.8) hatásuk egy n x, n y, n z betöltés állapotra : a x n x, n y, n z = n x n x 1, n y, n z, (.9) a + x n x, n y, n z = n x + 1 n x + 1, n y, n z. (.10) Mindezek kihasználásával felírható a Hamilton-operátor a léptet operátorok segítségével: H = 3 i=1 [ ( ω a + i a i + 1 )] ( = ω a + a + 3 ), (.11) ahol a egy a három léptet operátor alkotta vektoroperátor. A léptet operátorok felhasználásával a megfelel mátrixelemek algebrai úton könnyedén megkaphatóak, és nincsen szükség az integrálok direkt kiszámítására... A kölcsönhatás-operátor mátrixának meghatározása Az f (r) kölcsönhatást tartalmazó rendszer energiaszintjeinek, és sajátállapotainak meghatározásához szükséges, hogy a kölcsönhatást is felírjuk a harmonikus oszcillátor sajátállapotainak bázisán. Ez azt jelenti, hogy szükségünk van az r operátorra a betöltésszám reprezentációban. Sajnálatos módon ezt közvetlenül nem megoldható, de az r operátor már el áll a kelt és eltüntet operátorokból: r = x 0 ( a + + a ) (.1) Ezen összefüggés segítségével el állítható az r operátor mátrixreprezentánsa. Ennek spektrálfelbontása segítségével el állítható az r mátrix. Mivel a bázisunk teljes függvényrendszert alkot, az eredeti r operátor függvényeire, és így a kapott r mátrixra is igaz, hogy az r operátorhoz tartozik. A numerikus munka során csak véges számú bázisfüggvényünk lehet, és ezért ez az összefüggés csak közelít leg igaz. 7

9 Az el z részben ismertetett tulajdonságok alapján a mátrixelemek a következ k lesznek: r x 1,x,y 1,y,z 1,z = n x1, n y1, n z1 x 0 ( a + + a ) nx, n y, n z = = x 0 n x 1, n y1, n z1 a + a + + a + a aa n x, n y, n z = = x 0 (nx + 1)(n x + ) δ nx1,nx + δ δ ny1,ny n + z1,nz + x 0 (n x + 1) δ nx1,n x δ ny1,n y δ nz1,n z + + x 0 (nx )(n x 1) δ nx1,nx δ δ ny1,ny n z1,nz +..., (.13) ahol csak az egyik komponenst részleteztük, de a másik kett hasonlóan számolandó. Miel tt továbblépnénk a spektrálfelbontásra megjegyezhetjük, hogy a teljes Hamiltonoperátorban nemcsak r hanem p függ tag is szerepel. Az impulzusoperátor spektrálfelbontására azonban nincsen szükség, mert az kvadratikusan szerepel. A p operátort pedig r -hez hasonlóan fel tudjuk írni: p = p 0 ( a + a ) A p operátor mátrixelemei ezután hasonlóan kiszámolhatóak. (.14) Az r és a p operátor kapott alakján jól látszik, hogy egy adott n j kvantumszámhoz tartozó állapot csak az n j, n j, n j + kvantumszámokkal jellemzett állapotokkal ad zérustól különböz mátrixelemet, ami összesen 7 mátrixelemet jelent egy sorban. Ugyancsak ebb l következik, hogy ha egy páros állapotot nézünk az csak párossal hat kölcsön, míg egy páratlan csak páratlannal, vagyis a különböz paritású alterek nem keverednek. Ez kisebb mátrixokat jelent, ami jócskán megkönnyíti a kés bbi számolást..3. A Lánczos-algoritmus A kölcsönhatás mátrixelemeit az r operátor spektrálfelbontásának segítségével határozhatjuk meg, amelyhez szükségünk van az operátor sajátértékeire, és sajátvektoraira. Az el z részben kapott r mátrix diagonalizálása a nagy méret miatt közvetlenül nehéz, ezért érdemes kihasználni a rendszer szimmetria tulajdonságait. A kifejtés méretének az illusztrálására tegyük fel, hogy az n = 100-as betöltött héjig akarjuk a számolást végezni. Ekkor 8

10 a diagonalizálandó mátrix sorainak a száma 100 n=1 (n+1)(n+) = lesz. Ha gyelembe vesszük a rendszer paritását, akkor is 8975-ös lesz a mátrixunk dimenzója. Akármilyen kevés nullától különböz elemünk is van, egy ilyen mátrix diagonalizálása közvetlenül nagy numerikus nehézségekkel jár. Erre a feladatra a Lánczos-algoritmus választottuk. A Lánczos-transzformáció eredménye egy olyan bázis, amelyen egy A operátor szimmetrikus tridiagonális alakú lesz: a 0 b b 1 a 1 b 0 Ã = 0 b a..... (.15) b n 0 0 b n a n Az együtthatóak a következ képpen számolhatjuk ki. Ha veszünk egy ortonormált rendszert ( u i u i = 1), és ezzel kiszámoljuk az A operátor mátrixelemeit, akkor a következ ket i kaphatjuk: u T i Au i = a i, u T i Au i+1 = b i+1, u T i 1 Au i = b i, A mátrixot pedig kifejthetjük a következ képpen: u T i Au j = 0 egyébként. (.16) A = i,j u j u j A u i u i = u 0 a 0 u 0 + u 0 b 1 u u 1 b 1 u 0 + u 1 a 0 u 1 + u 1 b 1 u +..., (.17) vagyis: A u 0 = u 0 a 0 + u 1 b 1 A u 1 = u 0 b 1 + u 1 a 1 + u b. A u n = u n 1 b n + u n a n + u n+1 b n+1, (.18) 9

11 amelyb l: u 0 A u 0 = a 0 (A a 0 E) u 0 = u 1 b 1 (A a0 E) u 0 = b 1 1 (A a 0 E) u 0 = u 1. (.19) b 1 Így megkaptuk az els sor együtthatóit, amelyekkel már tovább számolhatunk. Így az n. lépésben a következ t kell végrehajtanunk: a n = u n A u n b n+1 = (A a n E) u 0 b n u n 1 u n+1 = 1 b n+1 [ (A an E) u n b n u n 1 ]. (.0) A fenti algoritmus végrehajtható az r operátor mátrixreprezentánsán. Ebben az esetben lényeges könnyítést jelent a végrehajtáskor, hogy a mátrix egy sorában legfeljebb csak 7 nullától különböz elem van. Így a (.0)-ban szerepl egyenletek segítségével már aránylag gyorsan legenerálhatjuk az r mátrix tridiagonális alakját. Tehát egy szabadon választott u 0 kezd vektorból indulva a fent ismertetett rekurziós lépéseken keresztül el állíthatjuk az {u i } ortonormált vektorrendszert, amelyen az A operátor tridiagonális alakú lesz az a i, b i diagonális és odiagonális mátrixelemekkel. A transzformáció kulcsfontosságú része az u 0 kezd vektor megválasztása. Az 1.6. Hamilton-operátor invariáns a három dimenziós forgáscsoporttal szemben, ezért sajátfüggvényei csoportosíthatóak az L, és L z operátorok sajátállapotai szerint. Ha az u 0 kezd vektort az L és L z operátorok sajátvektorának választjuk, akkor az algoritmus tulajdonságainak köszönhet en a generálódó {u i }, ortonormált vektorrendszer többi tagja is az l irreducibilis reprezentáció m-edik sora is szerint transzformálódik, amelynek következtében a transzformáció után az 1.6. operátornak csak az (l, m) szektorát kapjuk, lényegesen csökkentve a diagonalizálandó mátrix méretét..4. Az impulzusmomentum operátor Ahhoz, hogy a Lánczos-algoritmust alkalmazhassuk, szükség van az impulzusmomentum operátor egy reprezentánsára a három dimenziós harmonikus oszcillátor bázisán. Belátható, 10

12 hogy a jól ismert harmonikus oszcillátor léptet operátorokkal a következ képpen írható fel az impulzusmomentum operátora: L = r p = i (a + a), (.1) A harmonikus oszcillátor bázison felírva az L z operátor megfelel mátrixelemei a következ képpen néznek ki: l x1, l y1, l z1 L z l x, l y, l z = i l x1, l y1, l z1 a + x a y a + y a x l x, l y, l z = = i δ lz1,l z (l x + 1)l y δ lx1,l x +1δ ly1,l y 1 i δ lz1,l z l x (l y + 1)δ lx1,l x 1δ ly1,l y +1. (.) Az izotróp három dimenziós harmonikus oszcillátor sajátállapotait három kvantumszámmal jellemezhetjük: n, l, m, ahol n a f kvantumszám, amely meghatározza az állapot energiáját, l és m pedig az L, és L z operátorok sajátállapotait jelölik. l = 0,,... n ha n páros l = 1, 3,... n ha n páratlan. (.3) Ha az L z operátort az n f kvantumszámmal jellemezhet altéren fejtjük ki, akkor az m = n, és m = n sajátértékhez tartozó sajátállapot egyértelm lesz. Az utóbbi sajátállapot vektorreprezentánsát a Lánczos-algoritmus kezd vektoraként választva az algoritmus a kívánt módon lefuttatható. A Lánczos-algoritmus végrehajtása után már egy szimmetrikus, tridiagonális r mátrixszal állunk szemben, amelynek a spektruma és sajátvektorai, és így tetsz leges f(r) függvény már könnyen kiszámolhatóak. A transzformáció során megkapott {u i } vektorrendszerrel pedig a p mátrix is a Lánczos-vektorok denálta bázisba transzformálhatóak. A külön kiszámolt kinetikus, és kölcsönhatási tag egyesítése után a sajátértékegyenlet megoldható, és megkapjuk a keresett sajátállapotokat..5. A s r ségmátrix meghatározása Az el z részben megmutattuk, hogy miként tudjuk az 1.6 Hamilton operátor sajátállapotait el állítani az izotróp háromdimenziós harmonikus oszcillátor sajátfüggvényeinek 11

13 lineáris kombinációjaként: Φ i = n c in n, (.4) ahol n az n x, n y, n z állapotot jelöli. Annak érdekében, hogy megvizsgáljuk az egyrészecskés állapotok összefonódottságát a teljes, kétrészecskés hullámfüggvényben, meghatározzuk az egyes sajátállapotok egyrészecskés redukált s r ségmátrixát: ρ i (r, r ) = Ψ 0(r + r )Ψ 0 (r + r )Φ i (r r )Φ i (r r )dr (.5) A dolgozatban azokat az állapotokat vizsgáljuk, amelyekben az 1.4 operátor els tagjának Ψ 0 hullámfüggvénye alapállapotban van. A gerjesztések csak a kétrészecskés hullámfüggvény a kölcsönhatást tartalmazó második tagjára korlátozódnak. Úgy gondoljuk, hogy ez a megszorítás lényegesen nem befolyásolja az eredményeket. A.5. s r ségmátrix nyoma egységnyi (T rρ = 1), diagonális része, ρ(r, r) az adott állapot megtalálási valószín ség-s r ségét adja. A s r ségmátrix sajátállapotait természetes pályáknak, a hozzájuk tartozó sajátértékeket betöltéssszámoknak hívjuk. A természetes pályák segítségével a redukált s r ségmátrixot felírhatjuk független s r ségmátrixok összegeként: ρ(r, r ) = n i i i, (.6) i ahol i a természetes pályákat, n i pedig a betöltéseket jelöli. Tiszta állapotban egyetlen természetes pálya segítségével el állíthatjuk a s r ségmátrixot, minden más pályához tartozó betöltés elt nik. A kölcsönhatásmentes alapállapot ilyen tulajdonsággal bír. A redukált s r ségmátrixot is kifejthetjük a három dimenziós harmonikus oszcillátor sajátfüggvényein. Ezt a mátrixot diagonalizálva megkaphatjuk a betöltéseket és a természetes pályákat. A.5. s r ségmátrixban szerepl hullámfüggvényeket összeg-, és különbségi koordinátákban határoztuk meg. A mátrixelemeinek meghatározásához vissza kell térnünk az eredeti r 1, r részecske koordinátákhoz. Az áttérés nem egyszer ezért el ször egy dimenzióban ismertetjük az egyes lépéseket, majd általánosítunk három dimenzióra. 1

14 .5.1. A s r ségmátrix egy dimenzióban Hullámfüggvény A s r ségmátrix elemeinek meghatározásához az R = r 1 + r összeg-, és r = r 1 r különbségi koordinátákról át kell térni az eredeti r 1, r koordinátákra. Vegyük gyelembe, hogy az R, r koordinátákban kapott kvázioszcillátorok frekvenciája az eredeti fele, és így a fellép konstansokat is transzformálnunk kell. Az új x 0, és p 0 az eredeti egységekben: x 0 = mω = x ered 0, p 0 = mω = pered 0 (.7) Els lépésként megmutatjuk, hogy az összeg és különbségi koordinátákban felírt alapállapotok szorzata egy konstans erejéig megegyezik az eredeti koordinátákban vett alapállapotok szorzatával: Ψ 0 (x 1 x )Ψ 0 (x 1 + x ) = = 1 ( mω ) 1/4 e mω(x 1 x ) 4 π ( mω ) 1/4 e mωx 1 operátor felhasználásával állít- A s r ségmátrix kifejtéséhez felhasznált állapotokat az a + r hatjuk el az alapállapotok szorzatára hattatva: π ( mω π ( mω π ) 1/4 e mω(x 1 +x ) 4 ) 1/4 e mωx = = 1 Ψ 0 (x 1 )Ψ 0 (x ). (.8) Ψ n (x 1 x )Ψ 0 (x 1 + x ) = 1 n! ( a + x1 x ) n Ψ0 (x 1 x )Ψ 0 (x 1 + x ) A számításokban a gerjesztést mindig a különbségi tagban végeztük, ezért itt is azt kell felírnunk, hogy a gerjesztést kifejez a + x 1 x operátorokkal. operátor hogyan írható fel az egyrészecskés a + r = 1 ( r i p ) ( = 1 x 1 x i (p 1 p ) x 0 p 0 = 1 [ ( 1 x1 x ered 0 = 1 ( a + x1 a + x ) i p 1 p ered 0 x ered 0 ) 1 ( x x ered 0 p ered 0 i p ) p ered 0 = )] = (.9) 13

15 A kétrészecskés lineáris harmonikus oszcillátor n-edik sajátállapota felírható az eredeti x 1, x koordinátákban: Ψ n (x 1 x )Ψ 0 (x 1 + x ) = 1 n! ( a + x1 x ) n Ψ0 (x 1 x )Ψ 0 (x 1 + x ) = = 1 1 n! ( 1 ) n ( a + x1 a + x ) n Ψ0 (x 1 )Ψ 0 (x ) = = ( ) n+1 n ( ) 1 1 n ( 1) j (a + x n! j 1 ) j (a + x ) n j Ψ 0 (x 1 )Ψ 0 (x ) = j=0 = = ( ) n+1 n ( 1 1 n j!(n ( 1) j j)!ψj (x 1 )Ψ n j (x ) = n! j) j=0 ( ) n+1 n (n ) 1 ( 1) j Ψ j (x 1 )Ψ n j (x ). (.30) j j=0 A megkapott állapotokból a korábban kiszámolt lineárkombinációs együtthatókkal már el állíthatjuk a vizsgált rendszer állapotfüggvényeit. Ω(x 1, x ) = = c n Ψ n (x 1 x )Ψ 0 (x 1 + x ) = n=0 n=0 ( ) n+1 n (n ) 1 c n ( 1) j Ψ j (x 1 )Ψ n j (x ). (.31) j j=0 A s r ség A redukált s r ségmátrix kiszámolásához alkossuk meg a kétrészecskés s r ségmátrixot deníció szerint az alábbi módon: Ω (x 1, x )Ω(x 1, x ) = 1 m=0, n=0 c mc n ( 1 ) n+m n j=0 m (n )( ) m ( 1) j k j k Ψ k(x 1 )Ψ m k(x )Ψ j (x 1)Ψ n j (x ), (.3) k=0 14

16 Ezután integráljuk ki a második változóra: Ω (x 1, x )Ω(x 1, x )dx = 1 ( ) n+m n 1 m c mc n m=0, n=0 j=0 k=0 Ψ k(x 1 )Ψ j (x 1) Ψ m k(x )Ψ n j (x )dx = = 1 m=0, n=0 c mc n ( 1 ) n+m n j=0 k=0 ( 1) j k (n j )( ) m k m (n )( ) m ( 1) j k j k Ψ k(x 1 )Ψ j (x 1)δ m k,n j =, (.33) végezzük el az összegzést m-re, majd cseréljük fel a kétféle összegzést gondosan gyelve azok tartományára: = 1 = 1 n=0 min(n,m) c n j+kc n j=0,k=0 n=j j=0,k=0 ( 1 ) n j+k (n j c n j+kc n ( 1 ) n j+k (n j )( n + k j k )( n + k j k ) Ψ k(x 1 )Ψ j (x 1) = ) Ψ k(x 1 )Ψ j (x 1). (.34) Így egy dimenzióban megkapjuk a redukált s r ségmátrixot, amelynek (j, k) eleme: ρ (j,k) (x 1, x 1) = 1 n=j.5.. Három dimenzióban c n j+kc n ( 1 ) n j+k (n j )( n + k j k ) Ψ k(x 1 )Ψ j (x 1). (.35) Az egy dimenzióban elvégzett számítás menete analóg módon elvégezhet három dimenzióban is. Els lépésben meghatározzuk a harmonikus oszcillátor hullámfüggvényeit, majd azok lineáris kombinációiból megkapjuk a vizsgált rendszer sajátállapotait. Az állapotfüggvények ismeretében pedig a s r ségmátrix kiszámolható. Hullámfüggvény A háromdimenziós oszcillátor alapállapota egy dimenzióval analóg módon: Ψ 0,0,0 (r 1 r )Ψ 0,0,0 (r 1 + r ) = ( 1 ) 3 Ψ 0,0,0 (r 1 )Ψ 0,0,0 (r ) (.36) 15

17 A gerjesztett állapotok hasonlóan alkothatóak meg, de immár három irányban tudunk gerjeszteni, azonban az egyes kelt operátorok alakja, és visszavezetésük az egy dimenzióval analóg módon véghezvihet, és a gerjesztés egyrészecske gerjesztésekkel leírható. Ψ n1,n,n 3 (r 1 r )Ψ 0,0,0 (r 1 + r ) = = ( 1 ) 3 ( 1 ) n n1 n n 3 3 j 1 =0 j =0 j 3 =0 i=1 ( ni j i ) 1 ni! ( 1)j (a + x 1 ) j 1 (a + x ) n 1 j 1 (a + y 1 ) j (a + y ) n j (a + z 1 ) j 3 (a + z ) n 3 j 3 Ψ 0,0,0 (r 1 )Ψ 0,0,0 (r ) = ( ) n+3 n1 1 n n 3 3 ( ) ni ( 1) j Ψ j1,j,j 3 (r 1 )Ψ n1 j 1,n j,n 3 j 3 (r ) j 1 =0 j =0 j 3 =0 i=1 A gerjesztett állapotokból el áll az állapotfüggvény: j i (.37) Ω(r 1, r ) = {n i }=0 {n i }=0 c n1,n,n 3 Ψ n1,n,n 3 (r 1 r )Ψ 0 (r 1 + r ) = c n1,n,n 3 ( 1 ) n n1 n n 3 j 1 =0 j =0 j 3 =0 3 i=1 ( ni j i ( 1 ) 3 ( 1) j Ψ j1,j,j 3 (r 1 )Ψ n1 j 1,n j,n 3 j 3 (r ). (.38) ) S r ség Ismét állítsuk el az állapotok szorzataként a s r ségmátrixot: Ω (r 1, r )Ω(r 1, r ) = i=1 {n i }=0 {m i }=0 ( )( ni mi i 1 k i ) c {m i }c {ni } ( ) n+m {n i } 1 {m i } {j i }=0 {k i }=0 ( 1) j k 3 Ψ k i (r 1,i )Ψ m i k i (r,i )Ψ ji (r 1,i)Ψ ni j i (r,i). (.39) i=1 16

18 Ezt is integráljuk ki a második változóban Ω (r 1, r )Ω(r 1, r )dr = 1 8 ( 1) j k 3 ( ni i=1 i 1 {n i }=0 {m i }=0 )( mi k i ) Ψ m 1 k 1 (x )Ψ n1 j 1 (x )dx } {{ } δ m1 k 1,n 1 j 1 c {m i }c {ni } 3 Ψ k i (r 1,i )Ψ ji (r 1,i) i=1 ( ) n+m {n i } 1 Ψ m k (y )Ψ n j (y )dy } {{ } δ m k,n j {m i } {j i }=0 {k i }=0 Ψ m 3 k 3 (z )Ψ n3 j 3 (z )dz =, } {{ } δ m3 k 3,n 3 j 3 majd végezzük el az indexek lehetséges összeejtéseit = {n i }=0 i=1 ( ni c {ni +k i j i } és cseréljük meg az összegzéseket = 1 8 i 1 {j i }=0 {k i }=0 ( ) n+k j min(n 1,m 1 ) 1 j 1,k 1 =0 min(n,m ) j,k =0 )( ) 3 ni + k i j i Ψ k i (r 1,i )Ψ ji (r 1,i) =, k i ( 1) j k 3 Ψ k i (r 1,i )Ψ ji (r 1,i). i=1 N {n i =j i } i=1 c 3 {n i +k i j i }c {ni,} A redukált s r ségmátrix (j, k) eleme részletesen kiírva: ϱ j,k(r, r ) = 1 8 ( 1)j 1+j +j 3 k 1 k k 3 N (n1 )( n1 + k 1 j 1 n 1 =j 1 n =j )( n i=1 ( ni j i min(n 3,m 3 ) j 3,k 3 =0 ( 1) j k )( ) ni + k i j i n 3 =j 3 c n 1 +k 1 j 1,n +k j,n 3 +k 3 j 3 c n1,n,n 3 )( n + k j )( n3 k i )( ) n3 + k 3 j 3 j 1 k 1 j k j 3 k 3 Ψ k 1 (x)ψ j1 (x )Ψ k (y)ψ j (y )Ψ k 3 (z)ψ j3 (z ). (.40).5.3. Betöltések A redukált s r ségmátrix diagonalizálásával megkaphatjuk a rendszerre jellemz betöltéseket. A betöltések megadják, hogy a rendszer milyen arányban oszlik meg a természetes 17

19 pályáin. A nagyobb betöltés pályán nagyobb, az alacsonyabbon kisebb valószín séggel taláunk elektront. Kölcsönhatás nélküli esetre a redukált s r ségmátrix és a betöltések könnyen meghatározhatóak. Alapállapotban a két oszcillátor együttesen leírható egy állapotfüggvénnyel. Az ebb l alkotott s r ségmátrix triviálisan egy darab egységnyi betöltést ad. A gerjesztett állapot ennél bonyolultabb. Az els gerjesztett állapot egy lehetséges állapotfüggvénye az alábbi lesz: [ ( ) + 1 ] ( ) 000. (.41) 3 Ha megalkotjuk a s r ségmátrixot, majd kiintegráljuk az els vagy másik változójában, akkor az alábbi mátrixot kapjuk: 1/ ρ = 0 1/6 1/6 1/6 0 1/6 1/6 1/6, (.4) 0 1/6 1/6 1/6 ahol az els oszlop tartozik a 000 -hoz, a háromszor hármas blokk pedig az egyszeresen gerjesztettekhez. A diagonalizálás után kapunk egy 1/-es értéket, ami a 000 állapothoz tartozik, és egy másik 1/-es betöltést amelyhez tartozó természetes pálya a három egységnyi gerjesztés egyrészecske állapot egyenl arányú keveréke. Érdekes módon a kölcsönhatásmentes gerjesztett állapotok nem lesznek tiszta állapotok az elfajultságuknak köszönhet en..6. Entrópia A s r ségmátrixból nemcsak a betöltéseket kaphatjuk meg, hanem az állapotok egymáshoz való viszonyáról is kaphatunk információt. A kölcsönhatás hatására az addig tiszta állapotban lev kvantumrendszer kevert állapotba került. Ezt a kevertséget, az állapotok összefonódottságának mértékét a különféle entrópiákkal mérhetjük. Mi az állapotaink jellemzésre az ú.n. Neumann-, illetve Tsallis-entrópiát választottuk. Ezeket a következ képpen deniálhatjuk: S N (ρ) = T rρ ln ρ, (.43) 18

20 Sq T s (ρ) = 1 1 q [T rρq 1]. (.44) Speciálisan mi q = -t választottunk, amikor S T s (ρ) = 1 T rρ. A fent deníciókból az is látszik, hogy mindkét entrópia pozitív, azonban a von Neumann entrópia tetsz leges pozitív értéket felvehet, addig a Tsallis maximálisan egy lehet. Egy tiszta állapot egyetlen hullámfüggvényb l épül fel, ezért s r ségmátrixában egyetleg nemzérus elem, egy egyes szerepel. Egy ilyen rendszer entrópiája, mindkét esetre zérus. Egy összefont rendszerre a s r ségmátrixnak több zérustól különböz eleme van, így a hozzá tartoz entrópia pozitív. Minél nagyobb az entrópia annál összefontabb a rendszer..7. A vizsgált rendszerek Eddig általánosan beszéltünk az f(r) kölcsönhatásról, de most nézzük meg a konkrét példákat Hooke-atom A legels választásunk a kölcsönhatásra az f(r) = k e r1 r volt. Az ilyen kölcsönhatással jellemzett rendszer az ú.n. Hooke-atom. Err l a rendszerr l már írtam a szakdolgozatomban is [14]. A teljes rendszer Hamilton-operátora eredeti koordinátákban a következ képpen néz ki: H Hooke = 1 m p mω r m p + 1 mω r e + k r 1 r. (.45) Az átírt koordinátákban az általunk vizsgált különbségi koordinátától függ tag: [ p H Hooke,r = m + 1 ( ω ) m r + k 1 ]. (.46) r.7.. Az 1/r -es potenciál Megtehetjük, hogy a Hooke-atom 1/r-es Coulomb-potenciálját, 1/r -esre cseréljük. Egy ilyen rendszer a következ Hamilton-operátorral írható le: H = p 1 m + 1 mω r 1 + p m + 1 mω r e + k (r 1 r ). (.47) Az átírt koordinátákban az általunk vizsgált különbségi koordinátától függ tag: [ p H Hooke,r = m + 1 ( ω ) m r + k 1 ]. (.48) r 19

21 .7.3. Yukawa-potenciál Vizsgálhatunk olyan rendszert is, amelyben az elektronok közötti kölcsönhatás Yukawapotenciál alakú. Ez lényegében a Coulomb-potenciál árnyékolt változata. Ez esetben a Hamilton-operátor a következ : H Yukawa = p 1 m + p m + 1 mω r mω r + α e k r1 r r 1 r. (.49) A számunkra érdekes rész az új koordinátával: [ p H Yukawa,r =.7.4. Gauss-Potenciál m + 1 mω r + α e kr r ]. (.50) Érdekes feladat a két Gauss-potenciállal kölcsönható elektron rendszerének vizsgálata.a Gauss-potenciál megfelel paraméterválasztásával közelíthetjük a δ(r 1 r ) kontaktpotenciált: H Gauss = p 1 m + p m + 1 mω r mω r + αe (r 1 r ) r 0, (.51) amely az új koordinátákban: [ p H Gauss,r = m + 1 ( ω ) m r + α ] r r e 0. (.5).8. Atomi egységek Amikor ilyen kis rendszerek vizsgálunk, akkor célszer az ebben a mérettartományban természetes egységeket használni. Ezeket kikeverhetjük az univerzális állandókból egy kis dimenzióanalízissel. A megfelel hosszúság, energia és körfrekvencia dimenziójú egységek az alábbiak: a 0 = kme, E 0 = ke a 0, ω C = ke a 0. (.53) A megkapott hosszskála az a 0 Bohr-sugár, az energiaskálánk pedig a Hartree. Ha ω-t ω C egységekben mérjük, vagyis ω = ω c ω, akkor a korábban deniált x 0, és p 0 a következ alakúvá válik: x 0 = mω = m ω ke a 0 = a 0 kme 1 ω = a 0 ω, p 0 = mω = = a 0 ω. (.54) 0

22 Vagyis kihasználva, hogy p = p 0 /, és r = r = x 0 / a Hamilton-operátorban szerepl oszcillátor tag abszolút értéke a következ képpen írható fel: p m = p 0 4m = 4ma 0 1 mω r 1 = mω c ω x 0 = ω 4 ωm ω = ω ke = ω 4 a 0 4 E 0 ( ke a 0 ) a 0 ω = ω ke = ω 4 a 0 4 E 0. (.55) Hasonlóan átírhatóak az el z részben felírt f(r) kölcsönhatások is, és így megkapjuk a megfelel mátrixreprezentásokat: ( ) ω ω H Hooke = E 0 4 (p + r ) + r 1, (.56) H r = E 0 ( ω 4 (p + r ) + ω 4 r ), (.57) H Yukawa = E 0 ( ω 4 (p + r ) + α E 0 ωe k a 0 ω (r) ), (.58) ( ) ω ) H Gauss = E 0 (p + r + α e 1 a 0 ω r (r ) 0. (.59) 4 E 0 1

23 3. fejezet Eredmények A különféle kölcsönhatásoktól való függést úgy vizsgáltuk, hogy bevezettünk egy paramétert, amellyel a kölcsönhatás er sségét tudtuk változtatni. Vagyis f(r) helyett af(r)- rel számoltunk különféle a-kra. A.8. részben felírtuk az általunk vizsgált Hamiltonoperátorokat atomi egységekben. Ha megvizsgájuk a Hooke-atom esetét, akkor az ω paraméter növelésével a kölcsönhatási tag 1/ ω-val elt nik. Tehát abban az esetben az a paraméter megfelel az oszcillátor frekvenciájának növelésének, amely a rendszer egy természetes skálája. Hasonló szemléletes jelentés más kölcsönhatásokra is adható a-nak A kölcsönható rendszerek energiái A módszer ellen rzéseként els ként nézzük a Hooke-atom esetét. Ezt a rendszert a szakdolgozatomban vizsgáltam, ott beláttuk, hogy a módszer eredményei konvergálnak az analitikus megoldáshoz. A eredmények jobb összehasonlítása érdekében egy közös ábrán (3.1) láthatóak a különböz l-ekhez tartozó energiaértékek. Ugyanerre az ábrára viszonyításképpen rátettük a Taut [1] által kiszámolt eredményt egy folytonos vonalként. Fontos megjegyezni, hogy a zikai értelme a folytonos görbének is csak az egész pontokban van. A Hooke-atom mellett hasonlóan ábrázoltuk az 1/r -es kölcsönható potenciál analitikus [15] és numerikus megoldásait. Jól látszik, hogy a számítási eredményeink szépen illeszkednek mindkét esetben a görbékre, a módszerünk az egzakt energianívókat adja vissza, még magasan gerjesztett állapotokra is. Miután ellen riztük a sajátenergiák pontosságát nézzük hogyan változik a rendszer energiája a kölcsönhatás bevezetett skálaparamétere függvényében. A kölcsönhatásmentes

24 ábra. Bal oldalon Hooke atom energiaértékek növekv l mellett, ω = (l+1), a jobb oldalon az 1/r -es kölcsönható potenciálhoz tartozó energiaértéket ábrázoltuk ω = 1 választással. Az egyes vonalak a különböz f kvantumszámokhoz tartozó energiákat jelölik. esetre (a = 0) a módszer visszaadja az oszcillátorra várt 3/ω-s illetve 5/ω-s energiákat. A 3.. ábrán a rendszer alapállapoti és els gerjesztett energiáját mutatjuk be a négy kölcsönhatás esetén a kölcsönhatás er sségének függvényében. A kölcsönhatások közül legkevésbé a Yukawa-, és Gauss-típusú potenciálok módosítják az energiát, míg a másik két esetben a kölcsönhatás er sítésével az energia folyamatosan n. 3.. ábra. Az energia kölcsönhatás függése az a paramétert l alapállapotban (bal ábra) és az els gerjesztett állapotban (jobb ábra) E 0 a nemkölcsönható energia, ω = 1, n max = 100. A Gauss-potenciálnál lehet ségünk van arra, hogy változtassuk a potenciál szélességét. A potenciál csúcsosítható, és szét is kenhet. Úgy változtattuk a Gauss-potenciál para- 3

25 métereit, hogy a potenciál alatti terület ne változzon. Ilyen feltételek mellett az r 0 0 határesetben kontakt potenciált kapunk. A továbbiakban válasszuk a területet egységnyire: αe ( r r 0 ) dr = 1, amely a következ megkötést jelenti a két paraméterre: ( παr0 ) 3 = 1, vagyis α = π r 0. A potenciál szélességét l, mint a potenciál egy paraméterét l való függést alapállapotra és az els két gerjesztett állapotra néztük meg. Az eredmény a 3.3. ábrán látható. A 3.3. ábra. Az energia változása a Gauss-görbe félérték-szélességének függvényében alap- illetve gerjesztett állapotokra n max = 100-as ω = 1-es paraméterválaszatás mellett meggyelés az, hogy mind nagyon széles, mind nagyon hegyes Gauss-potenciálra a nemkölöcsnható energiát kapjuk, az elektronok szabad részecskeként viselkednek. A határeseteket magyarázhatjuk úgy, hogy a hullámfüggvények bizonyos állapotokra koncentráltak, és ha azokon a kölcsönhatási járulék kicsi, akkor az energia a szabad eseté lesz. A köztes esetek között mindig látunk egy olyan esetet, amikor az energia maximális. Ezen szélesség a gerjesztés növelésével egyre növekszik, és egyre inkább elmosódik. 4

26 3.. Betöltések 3.4. ábra. Hooke-atom betöltései alap és gerjesztett állapotra, (ω = 1) A redukált s r ségmátrixból megkapjuk a természetes pályák betöltéseit A nemkölcsönható rendszer betöltéseit a.5.3. részben már megnéztük. Most nézzük, hogy a numerikus eredmények szerint hogyan változnak a betöltések a kölcsönhatás hatására. A 3.4. bal oldali ábrán a Hooke-atom alapállapoti betöltéseinek változása látható a kölcsönhatási paraméter pár értékénél. Az ábráról leolvasható, hogy gyenge kölcsönhatás esetén egyetlen nagy betöltés pálya van, míg a többi betöltés nagyságrendekkel kisebb. Ez az eredmény jól egybevág azzal a ténnyel, hogy nemkölcsönható esetben csak egyetlen egységnyi betöltést várunk. Azonban ahogy er södik a kölcsönhatás a nagy betöltés csökken és több kisebb betöltés pálya is megjelenik. Az alapállapotról tudjuk, hogy a teljesen szimmetrikus ábrázolás szerint transzformálódik, emiatt a hozzá tartozó redukált s r ségmátrix is invariáns lesz a három dimenziós forgáscsoporttal szemben, így a természetes pályák is osztályozhatóak az l, m kvantumszámok szerint. A 3.4. ábrán betöltések között megjelenik a l + 1-es degeneráció. Az ábráról szépen leolvashatóak a 3-szoros, és 5-szörös, és er sebb kölcsönhatásra még nagyobb degenerációjú pályák. A 3.4. jobb oldali ábráján az els gerjesztett állapot betöltéseinek változása látható. Ez a gerjesztett állapot már nem teljesen szimmetrikus, mint az alapállapot, ezért a hozzá tartozó s r ségmátrix sem lesz invariáns a 3D forgáscsoporttal szemben. A l + 1-es degenerációk helyett párosával fordulnak el a betöltések. Itt is meggyelhetjük, hogy visszakaptuk a nemkölcsönható esetben megkapott betöltéseket a gyengén kölcsönható esetre, és 5

27 3.5. ábra. Betöltései alap és gerjesztett állapotra Gauss-potenciálban, ( ω = 1) hogy a kölcsönhatás er sítése itt is növeli a kisebb betöltések számát. Hasonló ábrát kapunk a többi kölcsönhatásra is. Az elvárás ott is az, hogy a gyengén kölcsölható esetek adják vissza az egységnyi illetve kétszer feles betöltéseket. A Gausspotenciál esete a 3.5-ös ábrákon látható. A kölcsönhatás megjelenése jól beazonosítható a legnagyobb betöltés nagyságában. Amikor bekapcsoljuk a kölcsönhatást, akkor az csökkenni kezd, a csökkenés mértéke a 3.6-os ábrákon látható alap- illetve gerjesztett állapotra. Látszik, hogy a különböz kölcsönhatások máshogyan változtatják a betöltést. A legszembet n bb az, hogy a Yukawa-potenciálra a betöltések sokkal kevésbé változnak, mint a másik három esetre ábra. Legnagyobb betöltés változása alap-, és az els gerjesztett állapotban ( ω = 1) 6

28 3.3. Az entrópiák Az entrópiákat a betöltésekhez hasonlóan az alapállapotra és az els gerjesztett állapotra határoztuk meg. A 3.7. ábrán a kölcsönhatás er sségének függvényében ábrázoltuk a vizsgált négy kölcsönható rendszer Neumann-,illetve Tsallis-entrópiáját a kölcsönható alapállapotnak. Mindkét ábrán jól látszik, hogy a nemkölcsönható alapállapot entrópiája nulla, az állapotok nem keverednek. Azonban a kölcsönhatás bekapcsolásával ez már többé nem lesz így. Leolvasható, hogy a Gauss-kölcsönhatás keveredése indul a legmeredekebben, aztán mintha telítésbe menne. A legkisebb entrópiát a Yukawa-potenciál esetében kapjuk. Mindkét entrópia értéke jóval elmarad a másik három kölcsönhatásétól, sokkal fonódnak össze az egyrészecske állapotok. Érdekes észrevétel, hogy a Hooke-atomban az összefonódottság kezdetben a második leggyengébb, de a kölcsönhatás er sségét növelve nagyobb entrópiájú állapotokat hoz létre, mint az 1/r -es, vagy Gauss potenciál. Második lépésként vizsgáljunk egy gerjesztett állapotot. Ezen rendszerekhez tartozó Neumann-, illetve Tsallis-entrópa látható a 3.3. ábrán. Megállapítható itt is, hogy a nemkölcsönható gerjesztett állapot az alapállapottal szemben már nem tiszta. A Tsallis entrópiára S T s = 0,5-öt, míg a Neumann entrópiára S N = 0,69-et kaptunk, amely megegyezik az elméletleg várt ln -vel. A kölcsönhatás bekapcsolásával ismét elkezdett n ni az entrópia mind a négy esetre, a függvények menete pedig hasonlít az alapállapotban megállapítottakra ábra. Az alapállapot Neumann-, és Tsallis-entrópiája a kölcsönhatás er sségének függvényében, ω = 1 mellett 7

29 3.8. ábra. Az els gerjesztett állapot Neumann-, és Tsallis-entrópiája az a kölcsönhatási paraméter függvényében, ω = 1 mellett 8

30 4. fejezet Összefoglalás A dolgozatban két harmonikus potenciálban mozgó elektron viselkedését vizsgáltuk négy különböz kölcsönható potenciál esetében. Meghatároztuk a spektrumot és a hozzá tartozó sajátállapotokat, el állítottuk a redukált s r ségmátrixot. A s r ségmátrixból meghatároztuk a természtes pályák betöltéseit, és kiszámoltuk az állapotok Neumann, és Tsallis entrópiáit. Az entrópiák segítségével az egyrészecskés állapotok összefonódottságát vizsgáltuk a kétrészecskés hullámfüggvény alap-, és els gerjesztett állapotában a kölcsönhatás er sségének függvényében. 9

31 Irodalomjegyzék [1] M. Taut, Two electrons in an external oscillator potential: Particular analytic solutions of a Coulomb correlation problem, Phys. Rev. A, 48, 3561 (1993) [] M. Moshinsky, American Journal of Physics 36, 5 (1968) [3] I. Nagy, J. Pipek, Phys. Rev. A 83, (011) [4] I. Nagy, J. Pipek, Phys. Rev. A 81, (010) [5] C. Amovilli, N.H. March, Phys. Rev. A 69, (004) [6] H.G. Laguna, R.P. Sagar, Phys. Rev. A 84, 0150 (011) [7] H G Laguna and R P Sagar 01 J. Phys. A: Math. Theor [8] P.A. Bouvrie, A.P. Majtey, A.R. Plastino, P. Sánchez-Moreno and J.S. Dehesa,Eur. J. Phys. D 66, 15 (01) [9] J. Cioslowski, K. Pernal, J. Chem. Phys. 113,8434 (000) [10] J. Krawowski, L. Cyrnek, Annalen der Physik 13,181 (004) [11] R. Atrea, Chandra Shekhar Mohapatrac, P.K. Panigrahia, Physics Letters A 361, 33 (007) [1] M Lutzky, J. Phys. A: Math. Gen. 11, 49 (1978) [13] I. Bengtsson, K. Zyczkowski, Geometry of quantum states, Cambridge University Press (006) [14] Nagyfalusi Balázs, Hooke-atom, BSc szakdolgozat (011) [15] R. Crandall, R. Whitnell, R. Bettega, Am. J. Phys. 5, 438 (1984) 30