1.A mechanika feladata és felosztása:

Átírás

1 1.A mechanika feladata és felosztása: A fizika részét képezi a mechanika, amely az anyagok, testek helyváltoztatásával és a helyváltoztatás okaival foglalkozik. Két nagy terület: klasszikus mechanika: (Galilei és Newton alapoz, kb. 300 év) A földi és égi jelenségek mechanikai mozgásával foglalkozik, ha a sebesség jóval kisebb a fény sebességénél. ; kinematikára és dinamikára oszlik relativisztikus mechanika: (század vég) Einstein relativitás elméletére épül, a mechanikai mozgásokat sebességük megkötése nélkül tárgyalja. Lehetővé teszi az atomon belüli mikrorészecskék mozgásának leírását. Műszaki mechanika: a mechanikának a műszaki szempontból fontos kérdéseivel foglalkozó része. Kinematika: a mozgásoknak térben és időben való leírásával foglalkozik. Lényegében a mozgás geometriája, de az idő figyelembevételével. Dinamika: az erők hatása alatt álló, mozgásban vagy nyugalomban lévő testekkel foglalkozik. Kinetika: az erők hatása alatt álló, mozgásban lévő testeket vizsgálja. Sztatika: a testek nyugalmi állapotával, az erők egyensúlyával és mindezek feltételeivel, illetve okaival foglalkozik. Sztatikán többnyire a merev testek sztatikáját értik. Az alakítható testek sztatikájának szokásos neve: szilárdságtan, illetve rugalmasságtan.

2 2. A klasszikus mechanika alaptételei, Newton törvényei 1. térbeli merev befogás: 6 szabadságfoka van egy pontnak a térben, tehát 6 db reakcióerő van (3 tengelyelfordulás és forgás) 2. merev befogás síkban: 3 szabadságfok 3 reakcióerő - megakadályozza az x és y irányú mozgást - nem tud elfordulni az illeszkedési pont körül (befogási pont) 3. álló csukló (fix csukló): olyan kialakítású kapcsolat, amely bármekkora erővel szemben megakadályozza az elmozdulást 4. mozgó csukló: csak egy ismeretlen, egy irány - mindig a támasztásra merőleges reakcióerő ébredhet - Az erőkre a vektoriális összegzés szabálya érvényes, az erő vektormennyiség, beszélhetünk ezért összetevő és eredő erőről. - Két erő egyensúlyának szükséges és elégséges feltétele az, hogy a két erő közös hatásvonalú legyen, - az erők vektorai egymás ellentétes vektorai legyenek. - Merev testre ható erőrendszer hatása nem változik, ha egy egyensúlyi erőrendszert adunk hozzá, vagy távolítunk el belőle. Következmény: a merev testre ható erő hatásvonalán eltolható. - Akció reakció elv: Az erők párosával jelentkeznek. Feltesszük, hogy hatásvonaluk azonos. Az I. II. és IV. axióma deformálható testekre is érvényes. A III. axióma alkalmazása nem merev testek esetében tévedésre vezethet. Newton féle axiómák: 1. A tehetetlenség törvénye: Minden test megtartja nyugalmi állapotát vagy egyenes vonalú egyenletes mozgását mindaddig, amíg valamilyen erő annak megváltoztatására nem kényszeríti. Azaz a nyugalmi állapot addig nem változik meg, amíg a testre egyensúlyban lévő erők hatnak. (A testeknek azt a tulajdonságát, hogy külső hatás hiányában sebességüket, ill. nyugalmi állapotukat megtartják, tehetetlenségnek nevezzük.) Akkor van értelme és jelentése, ha megadjuk a vonatkoztatási rendszert, amelyben a mozgást leírjuk. 2. A dinamika alapegyenlete: Az erő nagysága arányos az általa létrehozott gyorsulás nagyságával, iránya pedig egyező a gyorsulás irányával. (Az arányossági tényezőt, - melyet a test tömegének nevezünk úgy kell megállapítani, hogy kifejezze azt a tapasztalatot, hogy azonos nagyságú gyorsulás létrehozásához azonos méretű, de különböző anyagi minőségű testek esetén különböző nagyságú erőre van szükség.) Az axióma matematikai alakja: F=ma Az anyagi pontra ható erő vektora tehát a test tömegének és gyorsulásvektorának szorzatával egyenlő. Az axiómát az erő definíciójának is felfoghatjuk. Egységnyinek tekinthetjük azt az erőt, amely 1 kg tömegű testen 1 m/s 2 gyorsulást okoz. me.: N

3 3. A kölcsönhatás törvénye: (=hatás-ellenhatás törvénye/akció-reakció tétel) Minden erővel szemben hat egy ugyanolyan nagyságú, közös hatásvonalú, de ellentétes irányú erő. Ez a két erő (erő és ellenerő) mindig két különböző testre hat. (hatásvonal: Az az egyenes, ami mentén az erő hat.) Mindkét testnek van a másikra hatása és mindkettő el is szenvedi ezeket a hatásokat. A két erő ún. nulla-párt alkot. Az erők mindig nulla-párok formájában lépnek fel. 4. Az erőhatások függetlenségének tétele: Az egyidejűleg ható erők összességét röviden erőrendszernek nevezzük. Az anyagi pont úgy mozog, mintha egyetlen, F erő hatna rá. Az erőrendszer hatása anyagi pont esetén egyetlen egy erővel helyettesíthető, melyet az egyek erők vektoriális összegével nyerünk. A helyettesítő erőt az erőrendszer eredőjének nevezzük. Ez azt is kimondja (a 2. axiómával együtt), hogy az erő, mint fizikai mennyiség, vektormennyiség.

4 3. Az erő pontra és tengelyre vonatkozó nyomatéka Az erő egy tetszőleges A pontra vonatkozó nyomatékát a pontból az erő hatásvonalára bocsátott helyvektornak és az erővektornak vektoriális szorzatával definiáljuk. M A =r*f Pontra vett nyomaték vektormennyiség, merőleges az r és F vektorok által alkotott síkra ( a három vektor jobbra forduló rendszert alkot) és megállapodás szerint arra a pontra helyezzük, amelyikre vonatkozik. A vektor nagysága: M A = M A = F*r*sinα = F*k Erőkar: az erő nagyságának és az A pontnak az erő hatásvonalától mért legrövidebb távolsága. Nyomaték (M) me.: Nm Az erő tengelyre vonatkozó nyomatéka alatt a tengely valamely pontjára számított nyomatékvektornak a tengely irányú vetületét értjük. Legyen a tengely irányát megadó egységvektor e ekkor M e =M A e = (rxf)e E szerint a tengelyre vett nyomaték skalármennyiség és a három vektor r, F, e sorrendjének megfelelő vegyes szorzatával egyenlő. M e pozitív, ha az e és M A által bezárt szög hegyesszög, ilyenkor az e irányításával szembe nézve a nyomaték az óramutató járásával ellentétesen forgat. Nincs egy erőnek tengelyre vett nyomatéka, ha: metszi a tengelyt (nincs erőkar) Nyomatéki tétel: egy erő nyomatéka megkapható a vetületeinek előjeles nyomatékösszegéből.

5 4. A kényszerek és csoportosításuk Aktív erőnek nevezzük azokat az erőket, amelyek a test nyugalmi helyzetéből kimozdítani igyekeznek, a passzív, reakció vagy kényszererők pedig azok, amelyeket a vizsgált test elmozdulását megakadályozó testek fejtenek ki. Kényszer minden olyan test, ami egy másik testet szabad mozgásában akadályozza, korlátozza. - mechanikai szempontból erőt jelentenek, amit kényszererőnek vagy reakcióerőnek nevezünk - ismertetőjele azoknak az egymástól független erő összetevőknek a száma, amelyet közvetíteni képes 1. térbeli merev befogás: 6 szabadságfoka van egy pontnak a térben, tehát 6 db reakcióerő van (3 tengelyelfordulás és forgás) 2. merev befogás síkban: 3 szabadságfok 3 reakcióerő - megakadályozza az x és y irányú mozgást - nem tud elfordulni az illeszkedési pont körül (befogási pont) 3. álló csukló (fix csukló): olyan kialakítású kapcsolat, amely bármekkora erővel szemben megakadályozza az elmozdulást 4. mozgó csukló: csak egy ismeretlen, egy irány - mindig a támasztásra merőleges reakcióerő ébredhet kiegészítés: A szerkezet egyes részeit tagoknak, a tagok közötti kapcsolatot kinematikai párnak vagy kényszernek nevezzük. A kényszerekben ébredő erőket reakció- vagy kényszererőknek nevezzük. Tartószerkezetek esetén a kényszerek biztosítják a szerkezet nyugalmát, azaz az általuk kifejlesztett passzív erőrendszer egyensúlyozza ki a szerkezetre ható erők rendszerét. A testek, ill. szerkezetek nem korlátozott mozgáslehetőségeinek, szabad mozgáskomponenseinek számát szabadságfoknak, a korlátozottakét kötöttségnek vagy kötöttségi foknak nevezzük. álló csukló: Az a síkbeli kényszer, amely az érintkezési pont transzlációját megakadályozza, de a merev testnek az érintkezési pont körüli elfordulását nem. merev befogás/befogás: A test tetszőleges erőrendszer esetén is nyugalomban marad, azaz mindhárom mozgáskomponense gátolt.

6 5. Különböző erőtípusok, az erő és a nyomaték megadása, ábrázolása, az erőpár Alapvetően két típus van (természetben való előfordulásának megfelelően): Térfogati vagy tömegerő: Ha a testek távol vannak egymástól, akkor az egyik testnek a másikra kifejtett hatását a következőképpen értelmezhetjük. Gondolatban bontsuk fel mindkét testet nagyon kicsi V térfogatú s ennek megfelelően kicsi tömegű részecskékre, anyagi pontok rendszerére. Az anyagi pontok között már tudjuk értelmezni a ható erőt. Az a két pontot összekötő egyenes mentén hat, ennek megfelelően az egyik test V térfogatú részecskéjére ható F erőt úgy foghatjuk fel, hogy az a másik test összes részecskéjének hatásaként jött létre. Így a vizsgált test minden pontjához rendelhetünk egy f erőt, melyet fajlagos térfogati- vagy tömegerőnek nevezünk. (Szalai statika, 20. o., képlet) SI-beli egysége: [Nm -3 ]. Felületi erő: Ha két test érintkezik egymással, az érintkezési felületen ún. felületi erők ébrednek. Válasszunk ki az akár görbültnek tekintett érintkezési felületen egy A nagyságú területdarabot, s ha erre a másik test F erővel hat, akkor a vizsgált testre ható p = df/da mennyiséget fajlagos felületi erőnek vagy teherintenzitásnak nevezzük [Nm -2 ] Vonal mentén megoszló erő: Ha két test érintkezési felületének egyik mérete a másikhoz képest elhanyagolhatóan kicsi, azaz az érintkezési felület sávszerű, bevezethetjük a vonal menti megoszló erő fogalmát. Ha a görbe, amely a vizsgált test felületének egy tetszőleges vonala, s hosszúságú szakaszán F erő hat, akkor a q = df/ds mennyiséget vonal menti megoszló terhelésnek, ill. teherintenzitásnak nevezzük. Egysége SI-ben: [Nm -1 ] Koncentrált erő: Ha mindkét felületi méret elhanyagolhatóan kicsi (pl. a vizsgált test méreteihez képest), gyakorlatilag pontszerűnek tekinthető, eljutunk a koncentrált erő fogalmához. Az r helyvektorú pontban ható F erőt F=F(r) alakban adhatjuk meg. A térfogati, a felületi és a vonal menti megoszló erőt sorra úgy is definiálhatjuk, mint az egységnyi térfogatra, egységnyi felületre és egységnyi hosszra eső koncentrált erőt. Az erő bármelyik típusról van is szó vektormennyiség, melyet tehát hatásvonala, értelme és nagysága jellemez. A definíciók azonban azt is mutatják, hogy az erő szorosan helyhez kötött mennyiség. Támadáspontnak nevezzük azt a pontot, amelyen az erő hat. Az erő, mint fizikai mennyiség tehát kötött vektorral jellemezhető. A testre ható erők együttesét röviden erőrendszernek nevezzük. Test alatt a legegyszerűbb esetben anyagi pontot értünk, a mereven összekapcsolt anyagi pontok rendszerét anyagi pontrendszernek, egy bizonyos térfogatot folytonosan kitöltő anyagi pontrendszert merev testnek, A valamilyen módon összekapcsolt merev testek rendszerét szerkezetnek nevezzük. A vizsgált testre ható idegen testek hatását külső erőnek, a testen belül, azok egyes elemei között fellépő erőket pedig belső erőnek hívjuk. Más csoportosítás szerint aktív erőnek nevezzük azokat az erőket, amelyek a test nyugalmi helyzetéből kimozdítani igyekeznek, a passzív, reakció vagy kényszererők pedig azok, amelyeket a vizsgált test elmozdulását megakadályozó testek fejtenek ki.

7 6. Az erőrendszerekkel kapcsolatos fogalmak, az erőrendszerek csoportosítása A testre ható erők együttesét röviden erőrendszernek nevezzük. Test alatt a legegyszerűbb esetben anyagi pontot értünk, a mereven összekapcsolt anyagi pontok rendszerét anyagi pontrendszernek, egy bizonyos térfogatot folytonosan kitöltő anyagi pontrendszert merev testnek, A valamilyen módon összekapcsolt merev testek rendszerét szerkezetnek nevezzük. A vizsgált testre ható idegen testek hatását külső erőnek, a testen belül, azok egyes elemei között fellépő erőket pedig belső erőnek hívjuk. Más csoportosítás szerint aktív erőnek nevezzük azokat az erőket, amelyek a test nyugalmi helyzetéből kimozdítani igyekeznek, a passzív, reakció vagy kényszererők pedig azok, amelyeket a vizsgált test elmozdulását megakadályozó testek fejtenek ki. Ha a test közvetlenül a ható erők fellépése előtt nyugalomban volt, s nyugalmát az erők működése alatt is megtartja, a ható erők rendszerét egyensúlyi erőrendszernek nevezzük. Egyenértékűnek vagy equivalensnek nevezzük azokat az erőrendszereket, amelyek hatása megegyezik. Az egyenértékűség fogalmának csak a merev testek statikájában és kinetikájában van értelme és jelentősége, ezért azt célszerűbb a következőképpen definiálni: Két vagy több erőrendszer egyenértékű, ha létezik egy olyan erőrendszer, amely különkülön mindegyikkel egyensúlyi erőrendszert alkot. Egy erőrendszer eredő erőrendszere alatt az eredetivel egyenértékű legegyszerűbb erőrendszert értjük. Az erőrendszerek támadáspontjukat tekintve lehetnek közös támadáspontúak az anyagi pontra értelemszerűen csak ilyen erők hatnak és különböző támadáspontúak, röviden szétszórtak. Hatásvonalukat tekintve lehetnek párhuzamos és különböző hatásvonalúak. A hatásvonalak eshetnek egy egyenesbe, egy síkba vagy a tér tetszőleges irányába. Ilyenkor közös hatásvonalú, síkbeli, ill. térbeli erőrendszerről beszélünk. A fenti csoportosítások kombinálhatók is egymással. Így pl. az anyagi pontra ható erőrendszer csak közös támadáspontú, de közös hatásvonalú, síkbeli és térbeli is lehet. A testre ható erőrendszer az előbbieken túl lehet síkbeli párhuzamos vagy szétszórt, ill. térbeli párhuzamos vagy szétszórt.

8 7. Az anyagi pontra ható, közös metszéspontú erőrendszer egyensúlya, eredője és kiegyensúlyozása Vetületi tétel: az erőrendszer egyes erőinek a vetülete megegyezik az erőrendszer eredőjének ugyanazon tengelyre vett vetületével. Egyensúly feltétele közös metszéspontú erők esetén: - a három erő közös metszéspontban metszi egymást - a három erő egy síkban legyen - a három erőből felvett vektorsokszög nyíl folytonosan záródik

9 8. Három erő egyensúlyának feltétele, Cullmann szerkesztés, Ritter-féle számító eljárás Egyensúly feltétele közös metszéspontú erők esetén: - a három erő közös metszéspontban metszi egymást - a három erő egy síkban legyen - a három erőből felvett vektorsokszög nyíl folytonosan záródik Ritter-féle számító eljárás: Az egyenletrendszer megoldásának elkerülése azonban jobb, ha nyomatéki egyensúlyi egyenleteket használunk. Ezt a módszert Ritter-féle számítóeljárásnak nevezzük. Ha pl. az α hatásvonalon működő kiegyensúlyozó erőt akarjuk meghatározni, akkor célszerűen a másik két ismeretlen erő hatásvonalának metszéspontján vesszük fel a vonatkoztatási pontot. Ezt a P α -val jelölt pontot az α hatásvonalon működő erő nyomatéki főpontjának nevezzük. A nyomatéki egyensúlyi egyenletben csak a kiegyensúlyozandó erő és az ismeretlen F α fog szerepelni: M P =F α d α -Fd F =0 amelyből a keresett F α egyszerűen kifejezhető. A γ β és hatásvonalakon működő kiegyensúlyozó erőket a P β és P γ nyomatéki főpontokra írt egyensúlyi nyomatéki egyenletekből lehet a fentiekhez hasonlóan kifejezni. Szerkesztéssel az ún. Culmann-féle eljárással oldhatjuk meg. Itt visszavezetjük a feladatot két közös metszéspontú erőrendszerre. Hozzuk metszésre az adott erő hatásvonalát valamelyik adott hatásvonallal és keressük meg a másik két hatásvonal metszéspontját is (5.1.3/a. ábra). A két metszéspontot összekötő egyenest segédegyenesnek nevezzük. Ezután egyensúlyozzuk az F erőt a hatásvonalán metsződő adott hatásvonal és segédegyenes mentén haladó erőkkel (5.13/b. ábra). A segédegyenes működő erőt pedig helyettesítsük a hatásvonalán metsződő másik két erővel (5.13/b. ábra). A segéderő a valóságban nem létezik, ahogy a neve is mutatja, csak segédeszköz. A feladat megoldása egyértelmű, hiszen mindkét metszéspontban két-két ismeretlen erőkomponens szerepel. A két vektorháromszöget egyetlen vektorábrába szoktuk összerajzolni. Vegyük észre, hogy, amennyiben helyesen vesszük fel az erők értelmét (az egyensúlyozásnak, ill. a helyettesítésnek megfelelően), a vektornégyszög folytonos nyílértelemmel záródik, ami az egyensúly egyik feltétele általános síkbeli erőrendszer esetén. A másik feltételt, a nyomatéki kiegyensúlyozást azzal biztosítjuk, hogy a segéderő bevezetésével a feladatot két közös metszéspontú síkbeli erőrendszerre vezettük vissza. Ha az adott erőt összetevőkre akarjuk bontani, akkor a számítással vagy szerkesztéssel kapott erők értelmét az ellenkezőjére kell változtatni.

10 10. Síkbeli párhuzamos erőrendszer eredőjének meghatározása számítással Párhuzamos erőrendszernek nevezzük a párhuzamos hatásvonalú erők rendszerét. Feltesszük, hogy a hatásvonalak egy síkban vannak, vagyis síkbeli párhuzamos erőrendszerről van szó. A párhuzamos erőrendszer eredője vagy totális eredő erő vagy totális eredő nyomaték. Síkbeli erőrendszer eredője vagy totális eredő erő, vagy totális eredő nyomaték. Síkbeli erőrendszer esetén a koordinátarendszer két tengelyét (pl. x, y-t) célszerűen az erők hatásvonalának síkjában vesszük fel. Egy erő megadásához támadáspontján kívül két skaláradat szükséges. Az erő két, F ix, F iy komponense, vagy az erő F i nagysága is hatásvonalának egy tengellyel (pl. az x tengellyel) bezárt α i szöge. Fy=Ry=-F1-F2-F3 Mo=-x1*F1-x2*F2-x3*F3=-xR*Ry xr= Mo/Ry Fy 0 Mo 0 Fy 0 Mo=0 Fy=0 Mo 0 Fy=0 Mo=0 az eredő egyetlen erő az eredő egyetlen erő, de a hatásvonala átmegy a viszonyítási ponton az eredő egy erőpár, melynek nyomatékértéke az eredő nyomaték az erőrendszer egyensúlyban van

11 11. Síkbeli általános erőrendszer eredője és egyensúlya számítással F x =R x = F i cosα i F y =R x = F i s i nα i R= R x 2 +R y 2 α R =invtg(t x /R x ) M o = (xifiy-yifix)= R=x R *Ry=y R *R x x R = M o /R y Egyensúly feltétele F y = F x = M o =0

12 12. Súlypont, síkidomok súlypontszámítása A tömegvonzásból származó párhuzamos erők középpontját súlypontnak nevezzük. A súlypontnak fontos szerepe van a műszaki gyakorlatban. Ez teszi lehetővé, hogy a testek súlyát egyetlen egy adattal jellemezzük és testek olyan jellemző pontjáról beszéljünk, amely a súlyponttól ugyan elvonatkoztatott, mégis rokonságban van. Más megfogalmazás: Minden hatásvonalat, amely át megy a súlyponton, súlyvonalnak nevezünk. Két súlyvonal metszéspontja egyértelműen meghatározza a síkidom súlypontját. A súlypont a súlyvonalak metszéspontja és egyben a testnek az a pontja, melyben a testre ható nehézségi erők egyetlen erővel helyettesíthetők. A súlypont helyét szerkesztéssel is meghatározhatjuk annak alapján, hogy a súlypont az eredő hatásvonalának egy pontja. A merev testet jellegétől függően felosztjuk olyan térfogat-, terület-, vagy vonaldarabokra, amelyeknek ismerjük a súlypontját. Ezekben a súlypontokban a részidomok jellemzőivel arányos nagyságú erőket működtetünk egy tetszőleges iránnyal párhuzamosan. Az így kapott párhuzamos erőrendszer eredőjének hatásvonalát szerkesztéssel meghatározzuk Ezután az erőket támadáspontjuk, azaz az egyes súlypontok körül elforgatjuk (általában derékszöggel) és ennek az elforgatott erőrendszernek a hatásvonalát is meghatározzuk. Síkbeli feladatnál a két hatásvonal metszéspontja adja a geometriai középpontot. füzetből: súlypont: Egy adott síkidom keresztmetszeti jellemzője. A síkidom területének és a síkidom súlypontjának a szorzata egy adott tengelyre nézve Mindig létezik egy olyan - a testhez rögzített pont, melyre a súlyerőrendszer nyomatéka (a test bármely helyzetében) zérus. Ez a pont a test súlypontja.

13 13. A súlypontszámítás tételei, összegzési kiegészítési tétel Valamely test síkra (tengelyre) vett sztatikai nyomatéka egyenlő az egész test jellemzőjének és a test súlypontjának a síktól (tengelytől) mért távolságának szorzatával. Súlyponton átmenő síkra (tengelyre) a test sztatikai nyomatéka nulla. Valamely test statikai nyomatéka valamely síkra (tengelyre) egyenlő részeinek ugyanazon síkra (tengelyre) vett statikai nyomatékainak összegével (összegzési tétel). Valamely test síkra (tengelyre) vonatkozó statikai nyomatéka egyenlő egy alkalmasan kiegészített test és a kiegészítés ugyanazon síkra (tengelyre) vett statikai nyomatékának különbségével (kiegészítési tétel). Ha a test egyes részeit a vonatkoztatási síkkal (tengellyel) párhuzamosan eltoljuk, a statikai nyomaték változatlan marad.

14 14. Elsőrendű (stakikai) nyomaték, Pappus-Guldin tételek Az olyan mennyiségeket, amelyek egy test valamely pontjának elemi környezetére jellemző mennyiségének és a pontnak egy adott síktól mért távolságának a szorzatával és az így kapott szorzatoknak az egész testen való összegzésével nyerünk, elsőrendű (mert a távolság az első hatványon van) vagy statikai nyomatékoknak nevezzük. A jellemző mennyiség elvileg bármi lehet, legfontosabbak azonban a súlypont számításánál alkalmazott mennyiségek. Lényegében a forgatónyomaték, az erő nyomatéka is statikai nyomaték. Valamely test síkra (tengelyre) vett sztatikai nyomatéka egyenlő az egész testjellemzőjének és a test súlypontjának a síktól (tengelytől) mért távolságának szorzatával. Súlyponton átmenő síkra (tengelyre) a test sztatikai nyomatéka nulla. Valamely test statikai nyomatéka valamely síkra (tengelyre) egyenlő részeinek ugyanazon síkra (tengelyre) vett statikai nyomatékainak összegével (összegzési tétel). Valamely test síkra (tengelyre) vonatkozó statikai nyomatéka egyenlő egy alkalmasan kiegészített test és a kiegészítés ugyanazon síkra (tengelyre) vett statikai nyomatékának különbségével (kiegészítési tétel). Ha a test egyes részeit a vonatkoztatási síkkal (tengellyel) párhuzamosan eltoljuk, a statikai nyomaték változatlan marad. más megfogalmazás: Azt a mennyiséget, amelyet a síkidom területének és a súlypont tengelytől való távolságának szorzatával kapunk, statikai nyomatéknak nevezzük. Mivel a távolság a felírt képletben első hatványon szerepel, ezért a statikai nyomatékot elsőrendű nyomatéknak hívjuk. Pappus-Guldin tételek: Bizonyítás nélkül ismertetünk két, a műszaki gyakorlatban is gyakran alkalmazható tételt: I. Ha egy forgásfelület, illetve felületdarab - meridiángörbéjének ívhossza l, - a meridiángörbe súlypontjának a felülettengelyétől mért távolsága R l, - a meridiángörbe síkja által leírt szög φ 2π - a forgástengely nem metszi át a meridiángörbét, akkor a meridiángörbe φ szögű elforgatása során leírt felületdarab felszíne: F=lφR l Szavakban: a felület felszíne a meridiángörbe súlypontja által megtett út és a meridiángörbe ívhosszának szorzata. II. Ha egy forgástest - meridiánmetszetének területe A, - a meridiánmetszet súlypontjának a forgástengelytől mért távolsága R A, - a meridiánmetszet síkja által leírt szög φ 2π - a forgástengely nem metszi át a forgatott síkidomot, akkor a meridiánmetsztet φ szögű elforgatása során sepert térrész térfogata: V=AφR A A tételek elsősorban a forgástestek felszínének és térfogatának számítására alkalmas (ismert súlypontadatok birtokában), de súlypont meghatározásra is alkalmasak (ismert felszín- vagy térfogat adatok ismeretében).

15 15. A belső erők és az igénybevételek Az átmetszési elv szerint, ha az eredeti test egyensúlyban volt, akkor részei is egyensúlyban vannak. Ebből rögtön következik, hogy az átvágás után az egyes részekre még valamilyen erőnek, erőknek működniük kell. Kézenfekvő az a feltevés, hogy ezek az erők éppen az átvágási felületen hatnak. Úgy képzelhetjük el, hogy az átvágási felület síkjának minden kis elemi felületdarabján az átvágás előtt a felület jobb és bal oldalán kicsi B j és B b erők hatnak az ún. belső erők, melyeket éppen az átmetszéssel tettünk láthatóvá, formailag külsővé. Az átvágás után tehát mindkét részre egy felületen megoszló erőrendszer működik. A jobb oldali testrészre ható belső erők dinámja a bal oldali testrészen működő külső erők dinámjával egyenlő, vagy a bal oldali testrészre ható belső erők dinámja a jobb oldali testrészen működő külső erők dinámjával egyenlő. A jobb és bal oldalról számított belső erők dinámjai egymásnak ellentettjei. Ha az igénybevételek számításánál a belső erők dinámját nem kívánjuk meghatározni, az igénybevételeket a fentiek alapján a következőképpen is definiálhatjuk. Tegyük fel, hogy a jobboldali testrészen működő igénybevételeket kívánjuk meghatározni, akkor - a normáligénybevétel a keresztmetszet síkjától balra eső külső erők keresztmetszet síkjára merőleges komponenseinek algebrai összege, - a nyíróigénybevétel a keresztmetszet síkjától balra eső külső erők keresztmetszet síkjával párhuzamos komponenseinek algebrai összege, - a csavaróigénybevétel a keresztmetszet síkjától balra eső külső erők keresztmetszet súlypontjára számított nyomatékának a keresztmetszet síkjára merőleges összetevője, - a hajlítóigénybevétel a keresztmetszet síkjától balra eső külső erők keresztmetszet súlypontjára számított nyomatékának a keresztmetszet síkjával párhuzamos összetevője. Amennyiben a bal oldali testrészen ható igénybevételeket kívánjuk meghatározni, akkor a fenti definíciókon csak annyit kell változtatni, hogy a bal oldalon levő külső erők helyett, a jobb oldalon működő külső erőket vesszük számításba. A kölcsönhatás törvénye miatt a belső erők dinámjának összetevői balról és jobbról számítva egymásnak éppen ellentettjei. Az igénybevétel azonban a keresztmetszetre jellemző mennyiség, nem függhet attól, hogy melyik oldalról számítjuk. Ennek az ellentmondásnak a kiküszöbölésére a balról és a jobbról számított igénybevételek előjelét különbözőképpen (éppen ellentétesen) kell definiálni. más megfogalmazás: A tartók keresztmetszeteiben a külső erők és hatások következtében belső erők, hatások keletkeznek, melyeket összefoglaló néven igénybevételeknek nevezünk. Húzó-nyomó igénybevétel (normálerő): A tartó tengelyével párhuzamosan, a keresztmetszetre merőlegesen működő belső erőt normálerőnek nevezzük. A normálerő úgynevezett normális igénybevételt okoz a keresztmetszetben, melyet N K -val jelölünk. A normálerő akkor pozitív, ha a keresztmetszettől kifele mutat, azaz húzóerő, és akkor negatív, ha a keresztmetszet felé mutat, azaz nyomóerő. Nyíró igénybevétel (nyíróerő): A tartó tengelyére merőlegesen, a keresztmetszettel párhuzamosan működő erőt nyíróerőnek nevezzük. Ez az erő nyíró igénybevételt okoz a keresztmetszetben, amelyet T K -val jelölünk. Hajlító igénybevétel (hajlító nyomaték): A tartó adott keresztmetszetének súlypontjára ható, a tartó síkjában működő erőpárt hajlítónyomatéknak nevezzük. jele: M

16 16. Az igénybevételek és a külső terhelés kapcsolata A testre általános esetben koncentrált nyomaték, koncentrált erő és vonal menti megoszló terhelés hathat Mivel a koncentrált nyomaték erőpárral helyettesíthető, a koncentrált erő pedig rövid szakaszon ható, nagy intenzitású megoszló teherként fogható fel, a test terhelése elvileg egy, a súlyvonalon megoszló erőrendszerként vehető számításba. Ezt a megoszló terhelést felbonthatjuk a súlyvonal valamely s ivkoordinátával jellemzett helyén egy a tartótengelyre merıleges q(s) és egy a tartótengellyel párhuzamos p(s) teherkomponensre. A terhelés a valóságban általában nem a súlyvonalon, hanem a test felszínén támad. Ennek elhanyagolása az igénybevételek meghatározásánál különösen elnyúlt, rúd alakú testek esetén nem okoz jelentős hibát. Az igénybevételek és a külső terhelés közötti kapcsolat meghatározásához vágjuk ki a test egy s hosszúságú, elemi darabját és működtessük rajta a lehetséges belső erőket az előjelkonvenciónak megfelelő pozitív értelemmel. Ezek formailag külső erőkké válnak és a tényleges külső erőkkel egyensúlyi erőrendszert kell alkotniuk. A s szakaszon - s kicsisége miatt a q(s) és p(s) teherintenzitást állandónak tekinthetjük. Az elemi tartódarab két végkeresztmetszete által bezárt szöget φ-vel, a súlyvonal s ivkoordinátához tartozó görbületi sugarát pedig R-rel. Az egyensúlyi feltételek felírásához szükséges koordinátarendszert úgy vegyük fel, hogy az y-z sík legyen a test súlyvonalának síkja és az y tengely felezze a φ szöget. Tétel: A normál- és nyíróigénybevétel, valamint külső terhelés tartótengellyel párhuzamos komponense között a dn(s)/ds T(s)/R= -p(s) kapcsolat áll fenn. Tétel: Egyenes tengelyű rudaknál a normális igénybevétel hely (ívkoordináta) szerinti deriváltja egyenlő a megoszló terhelés tartótengellyel párhuzamos komponensének ellentettjével. Tétel: A normál- és nyíróigénybevétel, valamint a külső terhelés tartótengelyre merőleges komponense között a dt(s)/sd + N(s)/R= -q(s) kapcsolat áll fenn. Tétel: Egyenes tengelyű rudaknál a nyíróigénybevétel hely szerinti deriváltja egyenlő a megoszló terhelés tartótengelyre merőleges komponensének ellentettjével. Tétel: T(s)A hajlítóigénybevétel hely szerinti deriváltja egyenlő a nyíróerővel. Tétel: Egyenes tengelyű rúd esetén a hajlítóigénybevétel hely szerinti második deriváltja egyenlő a megoszló terhelés tartótengelyre merőleges komponensének ellentettjével. Az igénybevételek és a külső terhelés kapcsolatát kifejező összefüggések a s = R φ kifejezést figyelembe véve az alábbi formát öltik: dn(φ)/dφ T(φ)= - Rp(φ) dt(φ)/dφ + N(φ)= - Rq(φ) dm(φ)/dφ= RT(φ)

17 17. Egyenes tengelyű, kéttámaszú tartók igénybevételeinek meghatározása Egyenes tengelyű vagy gerendatartónak nevezzük, azt a teherviselésre alkalmas szerkezetet, amelynek elemei (tagjai) egyenes tengelyű rudak, azaz olyan merev testek, melyek hosszmérete lényegesen nagyobb a hossztengelyre merőleges méreteiknél és amelyek statikailag határozott vagy határozatlan módon a nyugvó környezethez vannak kapcsolva. A statikában a hossztengelyre merőleges síkmetszet, a keresztmetszet geometriai alakjának nincs különösebb jelentősége, ezért az egyenes tengelyű tartó ábrázolásakor megelégszünk a keresztmetszetek geometriai középpontját összekötő egyenesek, az ún. középvonalnak a feltüntetésével. A reakciókomponensek száma mindig három. Ezeket számítással az egyensúlyi egyenletekből (vagy tetszőlegesen választott három, egymástól lineárisan független egyensúlyi egyenletből), szerkesztéssel a vektor- és kötélsokszög rajzolással (merőleges kiegyensúlyozás) határozzuk meg. Egy keresztmetszet igénybevételei mindig meghatározhatók egy másik keresztmetszet igénybevételeinek a kérdéses keresztmetszetre számított hatásainak és a két keresztmetszet közötti szakaszon ható külső erőkből származó igénybevételeknek algebrai összegeként.

18 18. Egyenes tengelyű, befogott tartók igénybevételeinek meghatározása

19 19. Az igénybevételek szélsőértékeinek számítása A tartószerkezetek méretezése szempontjából az egyik legfontosabb feladat az igénybevételek szélső értékeinek meghatározása. Elméletileg egy függvény szélső értékeit, ill. szélsőértékhelyeit a függvény hely szerinti differenciálásával kapjuk. A hajlítónyomaték lokális szélsőértékeinek helyeit a következő kifejezésből számíthatjuk: dm(z)/dz = T(z) = 0 A nyomaték szélső értékei tehát azokon a helyeken lépnek fel, ahol a nyíróerő nulla. A normális erő és nyíróerő szélső értékeinek meghatározásához is hasonló összefüggéseket írhatunk fel, de ezekre a függvények egyszerűsége miatt nincs is szükség. Éppen az igénybevételek szélső értékeinek meghatározásánál láthatjuk be leginkább a felvázolt igénybevételi ábrák rendkívüli jelentőségét. Segítségükkel rögtön megtaláljuk a szélső értékek helyeit. Ezekre a keresztmetszetekre alkalmazva az igénybevételek definícióit a szélsőértéket számíthatjuk vagy a szerkesztett ábrákról levehetjük. Méretezés-technikai okokból szükség van a normális- és hajlító-igénybevételek maximumára és minimumára is, melyeket az alábbi módon jelölünk: N + max ; N min =N - max ; M + max ; M min =M - max A nyíróigénybevételnél elegendő annak abszolút maximumát megadni, nem kell különbséget tenni a pozitív és negatív nyíróigénybevétel között.

20 20. A szilárdságtan felosztása, a szerkezeti anyagok alaptulajdonságai A merev test fogalma helyett az alakítható test fogalmát kell bevezetnünk. - szilárd testek, melyek mind az alak-, mind a térfogatváltoztatással szemben nagy ellenállást tanúsítanak, de sohasem tökéletesen merevek, - folyadékok, amelyek csak a térfogatváltozással szemben ellenállóak, alakjuk kis erőhatásra is könnyen és jelentős mértékben változik, - gázok, amelyek alakjukat és térfogatukat már viszonylag kis erőhatásra is jelentősen megváltoztatják. A szilárdságtanban feladjuk a testek merevségére vonatkozó feltevést s a szerkezeti anyagokról a következő tulajdonságokat tételezzük fel: Kontinuitás: az anyag kellően kisméretű darabja, az általa elfoglalt teret teljesen kitölti, benne likacsok, üregek nincsenek. Homogenitás: az anyag fizikai tulajdonságai nem függvényei a helynek, a vizsgált anyag bármely pontjában azonos tulajdonságokat mérhetünk. Izotrópia: az anyag fizikai tulajdonságai egy-egy pontban függetlenek az iránytól. Tehát például a szilárdsági tulajdonságok különböző irányokban mérve ugyanazon értékekkel jellemezhetők. Rugalmasság: a test deformációi, alak és méretváltozásai, a testre ható erők eltávolítását követően eltűnnek. A fenti anyagtulajdonságok többé-kevésbé jellemzőek (jelentékeny eltéréseket találunk a fánál) a szilárd testekre, melyeket a jövőben csak test -ként említünk. Más megfogalmazás: A szilárd testek mechanikai viselkedésének pontos leírása is igen nehéz feladat, ezért a valóságos tulajdonságokat az egyszerűbb matematikai kezelhetőség érdekében ideálisakkal közelítjük. A szerkezeti elemként használt anyagot mindenekelőtt folytonos tömegeloszlásúnak, azaz kontinuumnak tekintjük. Homogénnek nevezzük az anyagot, ha mechanikai tulajdonságai minden pontjában azonosak, inhomogénnek, ha eltérőek. Izotrop anyagról beszélünk, ha valamely pontban a felvehető összes irányban azonosak a mechanikai jellemzői. Ha a tulajdonságok függenek az iránytól, anizotrop anyagról van szó. Az egyik legfontosabb absztrakció azonban az anyagra ható terhelés és az általa létrehozott alakváltozás, illetve az alakváltozási folyamat idealizálása. A legegyszerűbb, ugyanakkor igen jól használható anyagmodell az ún. rugalmas test, melynek az a jellemzője, hogy a terhelés által létrehozott alakváltozás az erőhatás megszűnésével szintén eltűnik. Ilyen testekből felépített szerkezetekkel és szerkezeti elemekkel foglalkozik a rugalmasságtan. Vannak azonban olyan anyagok is, amelyeknek nincs vagy nagyon kicsi a rugalmas alakváltozása, és a terhelés hatására maradandó - röviden - maradó alakváltozást szenvednek. Ezeket képlékeny anyagoknak hívjuk s velük a képlékenységtan foglalkozik. Hangsúlyozzuk, hogy a fenti ideális tulajdonságok a gyakorlatban tisztán szinte sohasem fordulnak elő. A szerkezeti anyagok többsége kis részecskékből, kristályokból, rostokból áll, melyek önmagukban anizotropok. Makroszkopikus méretekben azonban a részecskék tulajdonságainak átlagértéke mutatkozik, s ilyen értelemben - különösen fémeknél és bizonyos műanyagoknál - indokolt a homogén és izotrop feltételezés.

21 21. A feszültség fogalma, a feszültségi állapot A feszültség: Vágjunk ketté egy egyensúlyi erőrendszerrel terhelt testet valamely belső P pontján át egy síkkal. A merev testek statikájában beláttuk, hogy az így felszabadított sík felületén általában egy megoszló, ún. belső erőrendszernek kell ébrednie a két rész egyensúlyának biztosítására. Ezt a belső erőrendszert a folytonos anyageloszlás feltételezése miatt folytonosnak tekinthetjük és eredőjét statikai eszközökkel is számíthatjuk, anélkül, hogy ismernénk tényleges felületi megoszlását. A B erő, ami a bal oldali testrészen ható, felületen megoszló belső erőrendszer eredője a jobb oldali testrészen ható külső erők eredőjével egyenlő. A rugalmasságtan egyik feladata éppen az, hogy meghatározzuk ennek a belső erőrendszernek a jellegét, minőségét és tényleges megoszlását. Ez a feladat statikailag határozatlan, hiszen végtelen sokféleképpen lehetne olyan erőrendszert felvenni, melynek eredője éppen B. A valóságnak megfelelő erőmegoszlást, mint minden statikailag határozatlan feladatnál, csak az alakváltozás figyelembevételével lehet egyértelműen meghatározni. Jelöljünk ki a síkmetszet P pontja körül egy elemi, A nagyságú felületet és tegyük fel, hogy az ezen ható felületi erőrendszer eredője az elemi nagyságú B erő. A P pont körüli felület nagyságának csökkentésével B is változik. Az A felület minden határon túli csökkentésével a B / A hányados egy, a P pontban értelmezett határérték felé tart: lim A 0 B/ A = db/da = σ n melyet a P pont n jelű síkmetszetéhez tartozó feszültségvektorának nevezünk. A feszültség kötött vektor, támadáspontja a vizsgált P pont. A feszültségvektor általában a metszősík minden pontjában más és más lesz. A feszültség nem tévesztendő össze az igénybevétellel. Ez utóbbi egy metszetre, a feszültség pedig a metszet egy pontjára vonatkozik. Tétel: Adott pontban az ellentett irányítású síkokhoz tartozó feszültségvektorok egymásnak ellentettjei. A P-beli feszültségállapot ismerete azt jelenti, hogy tetszőleges, P-ből induló n normálvektorhoz meg tudjuk határozni a hozzátartozó ρ n -t.

22 22. Alakváltozás, relatív szögváltás Alakváltozási jellemzők: Vegyünk fel a szilárd test valamely P pontjának szűk környezetében egy tetszőleges helyzetű A pontot, melynek helyét az elemi hosszúságú r helyvektorral adjuk meg. A deformáció után az A pont a P ponthoz képest a r helyvektorú A' pontba kerül. Ha a r helyvektor hosszát elég kicsinek vesszük úgy is fogalmazhatunk, hogy az alakváltozás során a r vektor a r vektorrá transzformálódik. A δ= r - r vektor nyilvánvalóan jellemző a P pont környezetének alakváltozására, ezért torzulásvektornak nevezzük. A torzulásvektor és r hányadosának r 0 átmenettel képzett határértéke a deformáció vagy alakváltozási vektor A r r vektor nyilvánvalóan jellemző a P pont környezetének alakváltozására, ezért torzulásvektornak nevezzük. A torzulásvektor és r hányadosának r 0 átmenettel képzett határértéke a deformáció vagy alakváltozási vektor: A deformációvektor a nagyon kicsi, de egységnyi hosszúságú irányvektorhoz tartozó torzulásvektor. Egy adott n irányhoz a szilárd test minden pontjához rendelhető egy deformációvektor, amelyet az n n vektor-vektor-függvénnyel adhatunk meg. Az alakváltozási vektort - hasonlóan a feszültségvektorhoz - felbonthatjuk egy n irányú és egy arra mer_leges összetevőre: n nn n nmm ij tenzorát - mivel a komponensek alakváltozási jellemezük - alakváltozási (deformációs) tenzornak nevezzük Az n deformációvektor általában egy n irány nn és egy erre merőleges m irányú nm komponensre bontható. Ha n és m egységvektorok, akkor Adott pont bármely alakváltozási állapota esetén mindig található három, egymásra merőleges irány, amelyekre az a jellemző, hogy a hozzájuk tartozó deformációvektoroknak csak normális irányú összetevője van.

23 23. Alakváltozási állapot jellemzése, deformációvektor Vegyünk fel a szilárdtest valamely P pontjának szűkkörnyezetében egy tetszőleges helyzetű A pontot, melynek helyét az elemi hosszúságú r helyvektorral adjuk meg. A deformáció után az A pont a P ponthoz képest a r, helyvektorú A' pontba kerül. Ha a r helyvektor hosszát elég kicsinek vesszük úgy is fogalmazhatunk, hogy az alakváltozás során a r vektor a r, vektorrá transzformálódik Az alakváltozási állapotokat a főalakváltozások segítségével osztályoz-hatjuk. Térbelinek nevezzük az alakváltozási állapotot, ha mindhárom főalak-változás különbözik nullától, síkbelinek, ha csak egy főalakváltozási komponens nulla és lineárisnak (egytengelyűnek), ha két főalakváltozási komponens nulla. Síkbeli alakváltozási állapotban tetszőleges irányhoz tartozó deformációvektor benne van az alakváltozási fősíkban. Lineáris alakváltozási állapotban tetszőleges irányvektorhoz tartozó deformáció-vektor az alakváltozási főtengelybe esik. A test egy pontjának kis környezetében felvett egység sugarú gömb a deformáció során ellipszoidba megy át. Térbeli alakváltozási állapot esetén az alakváltozási fősíkokba eső irányvektorokhoz tartozó deformációvektorok végpontja a megfelelő fősíkok Mohr-féle főkörén helyezkedik el.