A térfogathányad meghatározásának gyakorlati módjai

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A térfogathányad meghatározásának gyakorlati módjai"

Átírás

1 MISKOCI EGYETEM GYAKORATI ÚTMUTATÓ ANYAG- ÉS KOHÓMÉRNÖKI KAR HARE HU FÉMTANI TANSZÉK ÖSSZEÁÍTOTTA: KOVÁCS JENŐ EKTORÁTA: DR. GÁCSI ZOTÁN A térfogathányad meghatározásának gyakorlati módjai. A gyakorlat célja A térfogathányad meghatározása pont- és vonalhányad mérésével, a gyakorlatban alkalmazott módszerek megismerése, begyakorlása, a mérési pontosság értelmezése.. Ajánlás A gyakorlat harmadéves Anyagmérnök Szakos hallgatók tantervében szerepel a Szerkezetvizsgálat c. tantárgy keretein belül. A gyakorlat elvégzéséhez a fénymikroszkóp működésének, valamint az alapvető sztereológiai összefüggéseknek az ismerete szükséges.. Elméleti alapok Az alapanyagban elhelyezkedő második fázis térfogathányadának meghatározására többféle módszer ismert. A problémát az okozza, hogy a darab egészére értelmezett, háromdimenziós térfogathányadot csak egy síkbeli, kétdimenziós kép segítségével tudjuk meghatározni. A térfogathányad mérésére a pontszámlálásos és vonalelemzéses mérést alkalmazzák. Az alkalmazott módszerek elméleti háttere a következő. A kvantitatív sztereológiában a térfogatarány (V V egyike a legfontosabb paramétereknek. Véletlenszerű síkmetszeteken különböző módon mérhetjük meg a V V értékét. Az egyik lehetséges mód a kérdéses fázis (pl. α által elfoglalt terület meghatározása, a másik az α - fázisba eső vonalhosszúságok mérése és végül a harmadik az α - fázisba eső pontok megszámolása. Ezeket a módszereket területelemzésnek, vonalelemzésnek és pontszámlálásnak hívjuk. A térfogatarány egyaránt származtatható a területarány, vonalarány vagy pontarány alapján. Ezek a mennyiségek egymással teljesen egyenértékűek. Ezt mutatja a Rosiwal (898 által készített rajz (. ábra is, ahol véletlenszerűen elrendezett négyzetek láthatók, amelyek által elfoglalt területarány, vonalarány és pontarány egyaránt %.

2 . ábra. A területarány, a vonalarány és a pontarány egyenértékűsége Területelemzés Delesse (848 francia geológus volt az, aki bizonyította, hogy a térfogatarány és a területarány elvileg azonosak. Azóta sokan és sokféleképpen igazolták ezt az összefüggést. A gondolatmenet lényege a következő. Vegyünk szemügyre egy él hosszúságú kockát (. ábra, amelynek belsejében V α [mm ] térfogatú második fázis található, ekkor a térfogatarány (V V : V Vα VV = α = VT Metsszük el a kockát az x-y síkkal párhuzamosan, a z távolságot válasszuk ki véletlenszerűen, valahol a és az között. Ekkor az adott síkból a második fázis által kimetszett összes terület: A ( z = A + A + A +A 4 [mm ]. ábra. Kocka alakú térfogatrész, benne V α térfogatú második fázissal és egy z magasságban lévő metszősíkkal

3 Ennek a területnek a nagysága (A(z a metszősík helyzetével változik (. ábra, ezért meg kell határozni a teljes térfogatra jellemző értéket: = A A( z dz [mm ] Az átlagos területarányt az α - fázis átlagos területének és a vizsgált keresztmetszetnek a hányadosa adja: A A A = = A( z dz Vegyük észre, hogy A(z dz = dv α (lásd 4. ábra, vagyis: Vα Vα A A = dv z = = = V α ( V Az így nyert összefüggés azt jelenti, hogy az átlagos területarány és a térfogatarány elvileg azonos. Az egyenlet ebben a formájában akkor ad használható eredményt, ha a térbeli alakzatoknak nincs kitüntetett orientációja, vagyis elhelyezkedésük véletlenszerű. Ezt Saltykov (958 úgy fejezte ki, hogy a szerkezet statisztikailag egyenletes. T V. ábra. A mért terület (A(z nagyságának változása a metszősík helyzetével 4. ábra. Térfogatelem, benne a második fázissal

4 Vonalelemzés Rosiwal (898 német geológus írt érdemben először arról, hogy a térfogatarányt egyszerű vonalarány méréssel is meglehet határozni. A vonalarány és a térfogatarány azonosságának matematikai bizonyítása többféle módon lehetséges. Az egyik megoldást ismertetjük az alábbiakban. Egy él hosszúságú kockában, az egyik éllel (például a z tengellyel párhuzamosan szelőt helyezünk el. A szelő által a második fázisból kimetszett hosszúság (5. ábra ekkor: l ( x, y = l + l + l [mm ] 5. ábra. Kocka alakú térfogatrész, benne V α térfogatú második fázissal és egy x,y helyzetben lévő szelővel A szelő helyzetét az x,y pontok jellemzik. Mivel a kimetszett vonalhosszúság függ a szelő helyzetétől (x,y, ezért a vizsgált térfogatra vonatkoztatott átlagértéket kell meghatároznunk: = l x y dx dy (, [mm ] Ebben az esetben: l(x,ydx dy = dv α, vagyis Vα Vα = dv x y = = = V V α (, V A levezetett összefüggésből következik, hogy az átlagos vonalarány és a térfogatarány között nincsen elvi különbség. Statisztikai szempontból az torzítatlan becslése a térfogataránynak. Ha a szelőt a kétdimenziós metszősíkban alkalmazzuk, ekkor: = A A T 4

5 ontszámlálás Amennyiben a V T térfogatú kockában V α térfogatú második fázis található, és véletlenszerűen pontokat helyezünk el a teljes térfogatban, annak a geometriai valószínűsége *, hogy az α - fázisba pont essen: V = α V T Ha az alkalmazott pontháló összes pontjainak száma T, akkor ebből T esik a kérdéses fázisba, vagyis: α = T Így adódik, hogy: α Vα = = = VV T VT Amennyiben a pontok véletlenszerűen oszlanak el A T területen: Vagyis (lásd 6. ábra: = A α A T A = A α α = = T AT Ezen összefüggés Thomson (9 nevéhez fűződik. Természetesen vonalelemzés esetén is érvényes az összefüggés: α α = = = T T A 6. ábra. A területarány és a pontarány azonossága A pontszámlálás és a vonalelemzés hibaszámítása ontszámlálás A kvantitatív mikroszkópiában a pontelemzés (vagy pontszámlálás egyike a legegyszerűbb és a legszellemesebb műveleteknek. A mérés kivitelezéséhez először is egy szisztematikus ponthálóra van szükségünk. A pontháló elemei lehetnek: párhuzamos vonalakból álló rácsos alakzatok metszéspontjai, rövid vonalszakaszok * Az A esemény geometriai valószínűsége: az A esemény bekövetkezését előidéző geometriai alakzat adata (hosszúsága, területe, térfogata, osztva a teljes hosszúsággal illetve területtel, térfogattal. 5

6 végpontja, illetve körívek esetleg cikloisok végpontjai. Ez a módszer nagyon hatékony diszperz második fázist (kisméretű részecskéket tartalmazó szerkezet esetén. A gyakrabban használt szisztematikus ponthálók típusait a 7. ábra szemlélteti. ontszámláláskor a vizsgálandó területbe (például α- fázisba eső pontok mennyiségét határozzuk meg. Azután a ponthálót elmozdítjuk véletlenszerűen egy másik területre, vagy szisztematikusan elcsúsztatjuk a vizsgálni kívánt irányba. Az α- fázisba eső pontok számlálását mindaddig folytatjuk, amíg statisztikailag értékelhető mennyiségű mérést nem végeztünk. Hilliard (968 javaslata alapján, a szemcsehatárra eső pontokat csak ½ értékkel vesszük figyelembe. Ha az α- fázis belsejében lévő pontok száma α, a mérés során felhasznált összes rácspont száma pedig T, a pontarányt a = α / T összefüggés definiálja. A mérés kivitelezését megkönnyíti, ha előre meg tudjuk becsülni, hogy az adott pontosságú méréshez összesen mennyi rácspontra van szükség ( T. Ehhez nyújt segítséget a Gladman és Woodhead (96 által javasolt összefüggés: T ( = σ ( a Összes pontszám, T = Vonalhosszúság, T = T d = d Terület, A T = T d = d b Összes pontszám, T = 4 Vonalhosszúság, T = T d = 84 d Terület, A T = T d = 4 d c Összes pontszám, T = 6 Vonalhosszúság, T = d d Összes pontszám, T = 6 Vonalhosszúság, T = d 7. ábra. A leggyakrabban használt szisztematikus ponthálók 6

7 Ha a értékét néhány mérésből előre megbecsüljük, és a mérési eredmények eltervezett relatív szórását (σ( / megadjuk, akkor az összes pontszám az egyenlet alapján meghatározható. A pontarány (, az összes pontok száma ( T, valamint a relatív szórás (σ( / közötti összefüggést mutatja a 8. ábra. átható, hogy amennyiben % területarányt % relatív hibával akarunk meghatározni, összesen 4 pontra van szükségünk, ami százas ponthálót feltételezve 4 látótér vizsgálatát jelenti! A megengedett szórás növelésével a szükséges pontok száma erősen csökken, hiszen % relatív hibánál már 4 látótér vizsgálata is elegendő. 8. ábra. Adott relatív szórású méréshez tartozó összes pontszám Vonalelemzés A vonalelemzés során vonalhálózatot helyezünk a síkmetszetre, majd megmérjük a második fázis részecskéi által kimetszett szakaszok hosszát, azután ezeket összeadjuk (α és a teljes vonalhosszúsághoz ( viszonyítjuk, így nyerjük az értékét (α /. Hilliard (968 nyomán a vonalarány relatív szórása: σ ( σ ( σ ( l lα β = ( VV + N lα lβ Itt l α és l β az α- illetve β- fázisból kimetszett szakaszok hossza illetve σ(l α és σ(l β a szakaszok szórása, míg N az elmetszett részecskék száma. Az összefüggés alapján megbecsülhetjük a szórás felső határértékét: σ ( ( VV N Ha a második fázis várható térfogataránya % és a tényleges értéket vonalelemzéssel mintegy 5 % relatív hibával akarjuk megbecsülni, akkor legalább 4 részecskét kell elmetszenünk! 7

8 A vonalelemzés gyakorlati végrehajtása A vizsgált minta fénymikroszkóp ernyőjére kivetített képére egy vonalhálót helyeznek el (ahol a vonalháló sorainak száma: n. A háló sorainak hossza: i. A n mérés során megmérik az összes vonalhosszt ( i, illetve a keresett i= i térfogathányadú fázisba eső egyes vonalszakaszok számát (N és hosszát ( α. A térfogathányad így a következő képlettel számolható: N i α α i= = = n i i= ahol: i α - a keresett térfogathányadú fázisba eső egyes vonalszakaszok hossza, mm n i - az összes vonalhossz, mm i= N - a keresett térfogathányadú fázisba eső vonalszakaszok száma, n - a vonalháló sorainak száma. Minél sűrűbb az alkalmazott vonalháló és minél több látótérben végezzük el a mérést, a kapott eredmény annál pontosabban közelíti meg a vizsgált fázis valós térfogathányadát. A vonalelemzés relatív szórásának felső határértéke számítható: σ ( ( V V N ahol: V V - a második fázis térfogathányada, N - a második fázisba eső vonalszakaszok száma. A pontszámlálásos módszer gyakorlati alkalmazása A térfogathányad pontszámlálással történő meghatározása nagyon hasonló a vonalelemzéshez. Itt azonban a kivetített képre helyezett vonalháló metszéspontjainak a keresett térfogathányadú fázisba eső számát határozzák meg. Ekkor a térfogathányad a következő képlettel számolható: α = T 8

9 ahol: α - a keresett térfogathányadú fázisba eső pontok száma, T - a pontháló összes pontjainak száma. A háló metszéspontjainak sűrítésével és a mérés minél több látótérben történő elvégzésével a mérés pontossága természetesen itt is növelhető. A pontelemzéses eljárás relatív szórása: ahol: σ ( = - a második fázis térfogathányada, T - a pontháló összes pontjainak száma. T 4. Feladatok. A kiadott mintán mérje meg látótérben a(z.. térfogathányadát vonalelemzés segítségével! A mérést fénymikroszkóp ernyőjére kivetített képen, alkalmasan megválasztott vonalhálóval végezze!. Határozza meg a vonalelemzés relatív szórását!. Hány darab vonalszakasz (N alkalmazására van szükség ahhoz, hogy a relatív szórás értéke..% legyen? 4. Mérje meg az előző mintán látótérben a(z. térfogathányadát pontszámlálással! 5. Határozza meg a pontszámlálás relatív szórást! 6. Mennyi összes pontra van szükség ahhoz, hogy a mérés relatív szórása % legyen? 7. Hasonlítsa össze a vonalelemzés és pontszámlálás alapján mért térfogathányad értékeket! 5. Jegyzőkönyv A feladatok elvégzése után jegyzőkönyvben rögzítse a vizsgált minta anyagát, az elemzett objektumok megnevezését, a fénymikroszkópos mérésnél alkalmazott paramétereket (objektív, nagyítás, a mért adatokat, a számítás menetét és a kapott eredményeket! 9

10 6. Irodalom Сальтыков С. A.: Стереометрическая металлография, Mеталлypгиздат, Mocквa, 958. DeHoff Robert T., Rhines Frederick N.: Quantitative Microscopy, McGraw-Hill Book Company, New York, 968. Delesse A.: our déterminer la composition des roches, Ann. Des Mines (848, fourth series 4, Exner Hans Eckart, Hougardy Hans aul: Einführung in die Quantitative Gefügeanalyse, DGM Verlag, Germany, 986., pp. 5-. Gladman T., Woodhead J. H.: The accuracy of oint Counting in Metallographic Investigations, J. Iron ans Steel Inst., 94 ( Hilliard J. E.: Measurement of Volume in Volume, Quantitative Microscopy, edited by DeHoff R. T. and Rhines F. N., New York, McGraw-Hill 968. Rosiwal A.: Über geometrische Gesteinsanalysen, usw., Verhandl. Der K.-K. geologischen Reichanstalt 5/6 (898 4 Saltykov S. A.: Stereometrische Metallographie, VEB Verlag, eipzig, 974. Underwood Ervin E.: Quantitative Stereology, Addison-Wesley ublishing Company, ondon, 97. Gácsi Z., Sárközi G., Réti T., Kovács J., Csepeli Zs., Mertinger V.: Szerkezetvizsgálat és képelemzés, Tankönyv, Miskolc,, megjelenés alatt Szerkezetvizsgálat (on line gyakorlati útmutató, Internetes hozzáférés Ellenőrző kérdések. Bizonyítsa be, hogy az átlagos területarány a térfogataránnyal azonos!. Mutassa meg, hogy az átlagos vonalarány a térfogataránnyal egyezik meg!. Ismertesse a térfogatarány mérésének elvi alapját! 4. Részletezze a pontszámlálásos módszer egyes lépéseit! 5. Egyszerű vázlatrajz segítségével mutassa be vonalelemzést! 6. Adja meg a vonalelemzés relatív szórásának kiszámításához szükséges összefüggést! Definiálja a képletben szereplő mennyiségeket! 7. Adja meg a pontelemzés relatív szórásának meghatározásához szükséges összefüggést! Definiálja a képletben szereplő mennyiségeket! 8. Hogyan határozza meg adott pontarány mérése esetén, hogy mennyi összes pontra van szükség a mérés egy meghatározott relatív szórással történő végrehajtásához? Definiálja a képletben szereplő mennyiségeket! 9. Hogyan határozza meg adott vonalarány mérése esetén, hogy mennyi darab vonalszakaszra van szükség a mérés egy meghatározott relatív szórással történő végrehajtásához? Definiálja a képletben szereplő mennyiségeket!

11 Jegyzőkönyv Név: Tankör: Dátum:.. A vizsgált próba jele:..az alkalmazott objektív, nagyítás:... Az elemzett fázis megnevezése:... A vonalelemzés során meghatározott mennyiségek: A háló sorainak száma, n A háló egy sorának hossza, mm A háló sorainak összes hossza egy n látótérben, i, mm i = átóterek száma Átlag A második fázisba eső vonalszakaszok hossza, N i α, mm i = A második fázisba eső vonalszakaszok száma, N A térfogathányad értéke,

12 A térfogathányad értéke vonalelemzéssel (a látótér átlaga: N i α = α = i=, =. n i i= A vonalelemzés relatív szórása: σ( (% = ( N =. % Hány darab vonalszakasz (N alkalmazására van szükség ahhoz, hogy a relatív szórás értéke...% legyen? N = [ ( ] σ ( = A pontszámlálásos mérés során meghatározott mennyiségek: A pontháló összes pontjainak száma: T =.. átóterek száma Átlag A második fázisba eső pontok száma, α A térfogathányad értéke,

13 A térfogathányad értéke pontszámlálással (a látótér átlaga: = α, =.. T A pontszámlálás relatív szórása: σ( (% = T = % Mennyi összes pontra van szükség ahhoz, hogy a mérés relatív szórása % legyen? T = = σ( Hasonlítsa össze a vonalelemzés és pontszámlálás alapján mért térfogathányad értékeket! Röviden indokolja a kapott eredményeket!

A fajlagos felület és a szemcsenagyság jellemzése

A fajlagos felület és a szemcsenagyság jellemzése MISKOCI EGYETEM GYAKORATI ÚTMUTATÓ ANYAG- ÉS KOHÓMÉRNÖKI KAR PHARE HU 9705-001-0006 FÉMTANI TANSZÉK ÖSSZEÁÍTOTTA: KOVÁCS JENŐ EKTORÁTA: DR. GÁCSI ZOTÁN A fajlagos felület és a szemcsenagyság jellemzése

Részletesebben

Szerkezetvizsgálat ANYAGMÉRNÖK ALAPKÉPZÉS (BSc)

Szerkezetvizsgálat ANYAGMÉRNÖK ALAPKÉPZÉS (BSc) Szerkezetvizsgálat ANYAGMÉRNÖK ALAPKÉPZÉS (BSc) TANTÁRGYI KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ MISKOLCI EGYETEM MŰSZAKI ANYAGTUDOMÁNYI KAR ANYAGTUDOMÁNYI INTÉZET Miskolc, 2008. 1. Tantárgyleírás Szerkezetvizsgálat kommunikációs

Részletesebben

Számítógépes képelemzés

Számítógépes képelemzés Számítógépes képelemzés ANYAGMÉRNÖKI MESTERKÉPZÉS (MSc) Anyag- és szerkezetdiagnosztikai Anyaginformatikai Anyagvizsgálati kiegészítő szakirány TANTÁRGYI KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ MISKOLCI EGYETEM MŰSZAKI

Részletesebben

Szerkezetvizsgálat II. c. gyakorlat

Szerkezetvizsgálat II. c. gyakorlat Szerkezetvizsgálat II. c. gyakorlat Miskolci Egyetem, Műszaki Anyagtudományi Kar 2011. szeptember 14. Dr. Gergely Gréta gergelygreta@freemail.hu BEVEZETÉS-SZÖVETSZERKEZET, MORFOLÓGIA Anyagtudomány: az

Részletesebben

SZERKEZETVIZSGÁLAT. ANYAGMÉRNÖK BSc KÉPZÉS (nappali munkarendben) TANTÁRGYI KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ

SZERKEZETVIZSGÁLAT. ANYAGMÉRNÖK BSc KÉPZÉS (nappali munkarendben) TANTÁRGYI KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ SZERKEZETVIZSGÁLAT ANYAGMÉRNÖK BSc KÉPZÉS (nappali munkarendben) TANTÁRGYI KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ MISKOLCI EGYETEM MŰSZAKI ANYAGTUDOMÁNYI KAR FÉMTANI, KÉPLÉKENYALAKÍTÁSI ÉS NANOTECHNOLÓGIAI INTÉZET Miskolc,

Részletesebben

Kvalitatív fázisanalízis

Kvalitatív fázisanalízis MISKOLCI EGYETEM ANYAG ÉS KOHÓMÉRNÖKI KAR FÉMTANI TANSZÉK GYAKORLATI ÚTMUTATÓ PHARE HU 9705000006 ÖSSZEÁLLÍTOTTA: NAGY ERZSÉBET LEKTORÁLTA: DR. MERTINGER VALÉRIA Kvalitatív fázisanalízis. A gyakorlat célja

Részletesebben

A Quantimet 570C képelemző működése

A Quantimet 570C képelemző működése MISKOLCI EGYETEM GYAKORLATI ÚTMUTATÓ ANYAG- ÉS KOHÓMÉRNÖKI KAR PHARE HU 9705-0201-0006 FÉMTANI TANSZÉK ÖSSZEÁLLÍTOTTA: KOVÁCS JENŐ LEKTORÁLTA: DR. GÁCSI ZOLTÁN A Quantimet 570C képelemző működése 1. A

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 3. Hibaszámítás, lineáris regresszió Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Hibaszámítás Hibák fajtái, definíciók Abszolút, relatív, öröklött

Részletesebben

BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011.

BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011. BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011. 1 Mérési hibák súlya és szerepe a mérési eredményben A mérési hibák csoportosítása A hiba rendűsége Mérési bizonytalanság Standard és kiterjesztett

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program Regresszió számítás GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program DigiKom Kft. 2006-2010 Tartalomjegyzék: Egyenes x változik Egyenes y változik Egyenes y és x változik Kör Sík z változik Sík y, x és z

Részletesebben

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása

Al-Mg-Si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása l--si háromalkotós egyensúlyi fázisdiagram közelítő számítása evezetés Farkas János 1, Dr. Roósz ndrás 1 doktorandusz, tanszékvezető egyetemi tanár Miskolci Egyetem nyag- és Kohómérnöki Kar Fémtani Tanszék

Részletesebben

SZERKEZETVIZSGÁLAT. ANYAGMÉRNÖK BSc KÉPZÉS (nappali munkarendben) TANTÁRGYI KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ

SZERKEZETVIZSGÁLAT. ANYAGMÉRNÖK BSc KÉPZÉS (nappali munkarendben) TANTÁRGYI KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ SZERKEZETVIZSGÁLAT ANYAGMÉRNÖK BSc KÉPZÉS (nappali munkarendben) TANTÁRGYI KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ MISKOLCI EGYETEM MŰSZAKI ANYAGTUDOMÁNYI KAR FÉMTANI, KÉPLÉKENYALAKÍTÁSI ÉS NANOTECHNOLÓGIAI INTÉZET Miskolc,

Részletesebben

Rugalmas állandók mérése (2-es számú mérés) mérési jegyzõkönyv

Rugalmas állandók mérése (2-es számú mérés) mérési jegyzõkönyv (-es számú mérés) mérési jegyzõkönyv Készítette:,... Beadás ideje:.. 9. /9 A mérés leírása: A mérés során különbözõ alakú és anyagú rudak Young-moduluszát, valamint egy torziós szál torziómoduluszát akarjuk

Részletesebben

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes

Részletesebben

2. Rugalmas állandók mérése

2. Rugalmas állandók mérése 2. Rugalmas állandók mérése Klasszikus fizika laboratórium Mérési jegyzőkönyv Mérést végezte: Vitkóczi Fanni Jegyzőkönyv leadásának időpontja: 2012. 12. 15. I. A mérés célja: Két anyag Young-modulusának

Részletesebben

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12.

6. Előadás. Vereb György, DE OEC BSI, október 12. 6. Előadás Visszatekintés: a normális eloszlás Becslés, mintavételezés Reprezentatív minta A statisztika, mint változó Paraméter és Statisztika Torzítatlan becslés A mintaközép eloszlása - centrális határeloszlás

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015

A mérés problémája a pedagógiában. Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés problémája a pedagógiában Dr. Nyéki Lajos 2015 A mérés fogalma Mérésen olyan tevékenységet értünk, amelynek eredményeként a vizsgált jelenség számszerűen jellemezhetővé, más hasonló jelenségekkel

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Matematikai geodéziai számítások 10.

Matematikai geodéziai számítások 10. Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

Mérés: Millikan olajcsepp-kísérlete

Mérés: Millikan olajcsepp-kísérlete Mérés: Millikan olajcsepp-kísérlete Mérés célja: 1909-ben ezt a mérést Robert Millikan végezte el először. Mérése során meg tudta határozni az elemi részecskék töltését. Ezért a felfedezéséért Nobel-díjat

Részletesebben

Kompetenciaalapú mérés 2008/2009. M A T E M A T I K A 9. é v f o l y a m Javítókulcs A változat

Kompetenciaalapú mérés 2008/2009. M A T E M A T I K A 9. é v f o l y a m Javítókulcs A változat Mérei Ferenc Fővárosi Pedagógiai és Pályaválasztási Tanácsadó Intézet 1088 Budapest, Vas utca 8-10. Kompetenciaalapú mérés 008/009. M A T E M A T I K A 9. é v f o l y a m Javítókulcs A változat Minden

Részletesebben

ÖVEGES JÓZSEF ORSZÁGOS FIZIKAVERSENY II. fordulója feladatainak javítókulcsa április 5.

ÖVEGES JÓZSEF ORSZÁGOS FIZIKAVERSENY II. fordulója feladatainak javítókulcsa április 5. ÖVEGES JÓZSEF ORSZÁGOS FIZIKAVERSENY II. fordulója feladatainak javítókulcsa 2005. április 5. Számítási feladatok Valamennyi számítási feladat javítására érvényes: ha a versenyző számítási hibát vét, de

Részletesebben

A Cassini - görbékről

A Cassini - görbékről A Cassini - görbékről Giovanni Domenico Cassini, a 17-18 században élt olasz származású francia csillagász neve egyebek mellett a róla elnevezett görbékről is ismert lehet; ilyeneket mutat az 1 ábra is

Részletesebben

törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2 pont

törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2 pont 1. Egyszerűsítse az 3 2 a + a a + 1 törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2. Milyen számjegy állhat az X helyén, ha a négyjegyű 361 X szám 6-tal osztható? X = 3. Minden szekrény barna. Válassza ki az

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak

Részletesebben

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? 1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

2. Rugalmas állandók mérése jegyzőkönyv javított. Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: Leadás dátuma:

2. Rugalmas állandók mérése jegyzőkönyv javított. Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: Leadás dátuma: 2. Rugalmas állandók mérése jegyzőkönyv javított Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: 2008. 09. 17. Leadás dátuma: 2008. 10. 08. 1 1. Mérések ismertetése Az első részben egy téglalap keresztmetszetű

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2008 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT : 2008. június 5 (reggel) A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) MEGENGEDETT ESZKÖZÖK: Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus számológép

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Méréselmélet és mérőrendszerek 2. ELŐADÁS (1. RÉSZ)

Méréselmélet és mérőrendszerek 2. ELŐADÁS (1. RÉSZ) Méréselmélet és mérőrendszerek 2. ELŐADÁS (1. RÉSZ) KÉSZÍTETTE: DR. FÜVESI VIKTOR 2016. 10. Mai témáink o A hiba fogalma o Méréshatár és mérési tartomány M é r é s i h i b a o A hiba megadása o A hiba

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

Mintavétel fogalmai STATISZTIKA, BIOMETRIA. Mintavételi hiba. Statisztikai adatgyűjtés. Nem véletlenen alapuló kiválasztás

Mintavétel fogalmai STATISZTIKA, BIOMETRIA. Mintavételi hiba. Statisztikai adatgyűjtés. Nem véletlenen alapuló kiválasztás STATISZTIKA, BIOMETRIA. Előadás Mintavétel, mintavételi technikák, adatbázis Mintavétel fogalmai A mintavételt meg kell tervezni A sokaság elemei: X, X X N, lehet véges és végtelen Mintaelemek: x, x x

Részletesebben

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei

Részletesebben

A mágneses szuszceptibilitás vizsgálata

A mágneses szuszceptibilitás vizsgálata Bán Marcell ETR atonosító BAMTACT.ELTE Beadási határidő: 2012.12.13 A mágneses szuszceptibilitás vizsgálata 1.1 Mérés elve Anyagokat mágneses térbe helyezve, a tér hatására az anygban mágneses dipólusmomentum

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1 Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

Függőleges koncentrált erőkkel csuklóin terhelt csuklós rúdlánc számításához

Függőleges koncentrált erőkkel csuklóin terhelt csuklós rúdlánc számításához 1 Függőleges koncentrált erőkkel csuklóin terhelt csuklós rúdlánc számításához Az interneten való nézelődés során találkoztunk az [ 1 ] művel, melyben egy érdekes és fontos feladat pontos(abb) megoldásához

Részletesebben

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül

Részletesebben

Rugalmas állandók mérése

Rugalmas állandók mérése KLASSZIKUS FIZIKA LABORATÓRIUM 2. MÉRÉS Rugalmas állandók mérése Mérést végezte: Enyingi Vera Atala ENVSAAT.ELTE Mérés időpontja: 2011. november 16. Szerda délelőtti csoport 1. A mérés rövid leírása Mérésem

Részletesebben

Trigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Trigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Trigonometria Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben 1. Az ABC hegyesszög háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög nagysága

Részletesebben

A mérések általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói. Mérések, mérési eredmények, mérési bizonytalanság. mérés. mérési elv

A mérések általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói. Mérések, mérési eredmények, mérési bizonytalanság. mérés. mérési elv Mérések, mérési eredmények, mérési bizonytalanság A mérések általános és alapvető metrológiai fogalmai és definíciói mérés Műveletek összessége, amelyek célja egy mennyiség értékének meghatározása. mérési

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Mikroszkóp vizsgálata Lencse görbületi sugarának mérése Folyadék törésmutatójának mérése

Mikroszkóp vizsgálata Lencse görbületi sugarának mérése Folyadék törésmutatójának mérése Mikroszkóp vizsgálata Lencse görbületi sugarának mérése Folyadék törésmutatójának mérése (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2007. március 19. (hétfő délelőtti csoport) 1. Mikroszkóp vizsgálata 1.1. A mérés

Részletesebben

Mikroszkóp vizsgálata és folyadék törésmutatójának mérése (8-as számú mérés) mérési jegyzõkönyv

Mikroszkóp vizsgálata és folyadék törésmutatójának mérése (8-as számú mérés) mérési jegyzõkönyv (-as számú mérés) mérési jegyzõkönyv Készítette:, II. éves fizikus... Beadás ideje:... / A mérés leírása: A mérés során egy mikroszkóp különbözõ nagyítású objektívjeinek nagyítását, ezek fókusztávolságát

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

Kompetencia Alapú Levelező Matematika Verseny

Kompetencia Alapú Levelező Matematika Verseny Név: Iskola: Kompetencia Alapú Levelező Matematika Verseny 2012. december 10. 2. forduló Pótlapok száma: db. 1. Egy telek területe 2000 m 2. Adja meg az érdeklődő angol vevőnek, hány négyzetlábbal egyenlő

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0611 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria Bódis Emőke 2016. 04. 25. J J 9 Korrelációanalízis Regresszióanalízis: hogyan változik egy vizsgált változó értéke egy másik változó változásának függvényében. Korrelációs

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

V átlag = (V 1 + V 2 +V 3 )/3. A szórás V = ((V átlag -V 1 ) 2 + ((V átlag -V 2 ) 2 ((V átlag -V 3 ) 2 ) 0,5 / 3

V átlag = (V 1 + V 2 +V 3 )/3. A szórás V = ((V átlag -V 1 ) 2 + ((V átlag -V 2 ) 2 ((V átlag -V 3 ) 2 ) 0,5 / 3 5. gyakorlat. Tömegmérés, térfogatmérés, pipettázás gyakorlása tömegméréssel kombinálva. A mérési eredmények megadása. Sóoldat sőrőségének meghatározása, koncentrációjának megadása a mért sőrőség alapján.

Részletesebben

Rugalmas láncgörbe alapvető összefüggések és tudnivalók I. rész

Rugalmas láncgörbe alapvető összefüggések és tudnivalók I. rész Rugalmas láncgörbe alapvető összefüggések és tudnivalók I rész evezetés rugalmas láncgörbe magyar nyelvű szakirodalma nem túl gazdag Egy viszonylag rövid ismertetés található [ 1 ] - ben közönséges ( azaz

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás

3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás 3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás 15. Digitális Alakzatrekonstrukció Méréstechnológia, Ponthalmazok regisztrációja http://cg.iit.bme.hu/portal/node/312 https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/viiiav54

Részletesebben

Vérsejtszámlálás. Bürker kamra

Vérsejtszámlálás. Bürker kamra 1. Vérsejtszámlálás Eszközök ujjbegy fertőtlenítéshez spray steril, egyszer használatos injekciós tű/ ujjbegyszúró gumikesztyű vatta (vér törlése ujjbegyről) keverőpipetta (piros 1:100 és fehér golyós

Részletesebben

Statisztika I. 12. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

Statisztika I. 12. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre Statisztika I. 1. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Regresszió analízis A korrelációs együttható megmutatja a kapcsolat irányát és szorosságát. A kapcsolat vizsgálata során a gyakorlatban ennél messzebb

Részletesebben

A leíró statisztikák

A leíró statisztikák A leíró statisztikák A leíró statisztikák fogalma, haszna Gyakori igény az, hogy egy adathalmazt elemei egyenkénti felsorolása helyett néhány jellemző tulajdonságának megadásával jellemezzünk. Ezeket az

Részletesebben

Tanmenetjavaslat. Téma Óraszám Tananyag Fogalmak Összefüggések Eszközök Kitekintés. Helyi érték, alaki érték. Számegyenes.

Tanmenetjavaslat. Téma Óraszám Tananyag Fogalmak Összefüggések Eszközök Kitekintés. Helyi érték, alaki érték. Számegyenes. Heti 4 óra esetén, 37 tanítási hétre összesen 148 óra áll rendelkezésre. A tanmenet 132 óra beosztását tartalmazza. Heti 5 óra esetén összesen 37-tel több órában dolgozhatunk. Ez összesen 185 óra. Itt

Részletesebben

Próba érettségi feladatsor április 09. I. RÉSZ. 1. Hány fokos az a konkáv szög, amelyiknek koszinusza: 2

Próba érettségi feladatsor április 09. I. RÉSZ. 1. Hány fokos az a konkáv szög, amelyiknek koszinusza: 2 Név: osztály: Próba érettségi feladatsor 010 április 09 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti fehér hátterű

Részletesebben

A tűzfalakkal lezárt nyeregtető feladatához

A tűzfalakkal lezárt nyeregtető feladatához 1 A tűzfalakkal lezárt nyeregtető feladatához Bevezetés Ehhez először tekintsük az 1. ábrát! 1 Itt azt szemlélhetjük, hogy hogyan lehet el - kerülni egy épület tűzfalának eláztatását. A felső ábrarészen

Részletesebben

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatikai Kar. Villamos Energetika Tanszék. Világítástechnika (BME VIVEM 355)

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatikai Kar. Villamos Energetika Tanszék. Világítástechnika (BME VIVEM 355) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatikai Kar Villamos Energetika Tanszék Világítástechnika (BME VIVEM 355) Beltéri mérés Világítástechnikai felülvizsgálati jegyzőkönyv

Részletesebben

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 9. Előadás Binomiális eloszlás Egyenletes eloszlás Háromszög eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell 2/62 Matematikai statisztika

Részletesebben

Matematika. 1. osztály. 2. osztály

Matematika. 1. osztály. 2. osztály Matematika 1. osztály - képes halmazokat összehasonlítani az elemek száma szerint, halmazt alkotni; - képes állítások igazságtartalmának eldöntésére, állításokat megfogalmazni; - halmazok elemeit összehasonlítja,

Részletesebben

(Solid modeling, Geometric modeling) Testmodell: egy létező vagy elképzelt objektum digitális reprezentációja.

(Solid modeling, Geometric modeling) Testmodell: egy létező vagy elképzelt objektum digitális reprezentációja. Testmodellezés Testmodellezés (Solid modeling, Geometric modeling) Testmodell: egy létező vagy elképzelt objektum digitális reprezentációja. A tervezés (modellezés) során megadjuk a objektum geometria

Részletesebben

(Independence, dependence, random variables)

(Independence, dependence, random variables) Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,

Részletesebben

41. ábra A NaCl rács elemi cellája

41. ábra A NaCl rács elemi cellája 41. ábra A NaCl rács elemi cellája Mindkét rácsra jellemző, hogy egy tetszés szerint kiválasztott pozitív vagy negatív töltésű iont ellentétes töltésű ionok vesznek körül. Különbség a közvetlen szomszédok

Részletesebben

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása

Részletesebben

Peltier-elemek vizsgálata

Peltier-elemek vizsgálata Peltier-elemek vizsgálata Mérés helyszíne: Vegyész labor Mérés időpontja: 2012.02.20. 17:00-20:00 Mérés végrehatói: Budai Csaba Sánta Botond I. Seebeck együttható közvetlen kimérése Az adott P-N átmenetre

Részletesebben

Mikroszkóp vizsgálata Folyadék törésmutatójának mérése

Mikroszkóp vizsgálata Folyadék törésmutatójának mérése KLASSZIKUS FIZIKA LABORATÓRIUM 8. MÉRÉS Mikroszkóp vizsgálata Folyadék törésmutatójának mérése Mérést végezte: Enyingi Vera Atala ENVSAAT.ELTE Mérés időpontja: 2011. október 12. Szerda délelőtti csoport

Részletesebben

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása

1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat

Részletesebben

Mérési jegyzőkönyv. M1 számú mérés. Testek ellenállástényezőjének mérése

Mérési jegyzőkönyv. M1 számú mérés. Testek ellenállástényezőjének mérése Tanév, félév 2010-11 I. félév Tantárgy Áramlástan GEÁTAG01 Képzés főiskola (BSc) Mérés A Nap Hét A mérés dátuma 2010 Dátum Pontszám Megjegyzés Mérési jegyzőkönyv M1 számú mérés Testek ellenállástényezőjének

Részletesebben

Mély és magasépítési feladatok geodéziai munkái

Mély és magasépítési feladatok geodéziai munkái Mély és magasépítési feladatok geodéziai munkái Alapozások kitűzése Pillérek kitűzése és beállítása Kis alapterületű, magas építmények kitűzése és építés közbeni ellenőrző mérése Földön szerelt Végleges

Részletesebben

A fejlesztés várt eredményei a 1. évfolyam végén

A fejlesztés várt eredményei a 1. évfolyam végén A tanuló legyen képes: A fejlesztés várt eredményei a 1. évfolyam végén - Halmazalkotásra, összehasonlításra az elemek száma szerint; - Állítások igazságtartalmának eldöntésére, állítások megfogalmazására;

Részletesebben

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata KLASSZIKUS FIZIKA LABORATÓRIUM 3. MÉRÉS Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata Mérést végezte: Enyingi Vera Atala ENVSAAT.ELTE Mérés időpontja: 2011. november 23. Szerda délelőtti csoport 1. A

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny 007. április 16. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak 9. osztályosoknak 1. feladat a) Vegyük észre, hogy 7 + 5 felírható 1 + 3 + 6 + alakban, így

Részletesebben

Méréselmélet és mérőrendszerek

Méréselmélet és mérőrendszerek Méréselmélet és mérőrendszerek 6. ELŐADÁS KÉSZÍTETTE: DR. FÜVESI VIKTOR 2016. 10. Mai témáink o A hiba fogalma o Méréshatár és mérési tartomány M é r é s i h i b a o A hiba megadása o A hiba eredete o

Részletesebben

tápvezetékre jellemző, hogy csak a vezeték végén van terhelés, ahogy az 1. ábra mutatja.

tápvezetékre jellemző, hogy csak a vezeték végén van terhelés, ahogy az 1. ábra mutatja. Tápvezeték A fogyasztókat a tápponttal közvetlen összekötő vezetékeket tápvezetéknek nevezzük. A tápvezetékre jellemző, hogy csak a vezeték végén van terhelés, ahogy az 1. ábra mutatja. U T l 1. ábra.

Részletesebben

Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) 1. ábra

Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) 1. ábra Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) Egy korábbi dolgozatunkban címe: Két egyenes körhenger a merőlegesen metsződő tengelyű körhengerek áthatási feladatával foglalkoztunk. Most

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. EMELT SZINT 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x x 4 log 9 10 sin x x 6 I. (11 pont) sin 1 lg1 0 log 9 9 x x 4 Így az 10 10 egyenletet kell megoldani,

Részletesebben

1. Gauss-eloszlás, természetes szórás

1. Gauss-eloszlás, természetes szórás 1. Gauss-eloszlás, természetes szórás A Gauss-eloszlásnak megfelelő függvény: amely egy σ szélességű, µ középpontú, 1-re normált (azaz a teljes görbe alatti terület 1) görbét ír le. A természetben a centrális

Részletesebben