A MATEMATIKAI FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK KONVENCIÓI Kántor Sándor (Debrecen)
|
|
- Péter Lukács
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A MATEMATIKAI FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK KONVENCIÓI Kántor Sándor (Debrecen) Egy matematikai feladat megszövegezésénél, a megoldás leírásánál és a megoldás helyességének elbírálásánál nagyon sokszor szükség van a feladatszöveg és a megoldásszöveg olyan értelmezésére, ami eltér köznapi nyelvben használatos értelmezéstől, és speciálisan a matematikai szöveg értelmezésére való. Az ilyen szövegértemezés a matematika tanítása és tanulása során általában kialakul, de nem mindenütt alakul ki, és nem mindig azonosra alakul. Márpedig a tanár és a diák, a feladatkitűző és a megoldó, valamint a megoldás helyességét ellenörző (a dolgozatjavító) kell, hogy azonosan értelmezze a vizsgált szöveget. Az azonos értelmezést megállapodások (konvenciók) segítik, illetve teszik lehetővé, hiszen nem lehet mindig mindent részletesen leírni. Ezek a konvenciók zárt körben alakulnak ki, például akkor, ha évek során együtt dolgozik a tanár és a diák. De sok az eltérő értelmezés akkor, ha csak egyszeri a munkakapcsolat, pl. az írásbeli érettséginél, vagy a tanulmányi versenyeken. Jónéhány konvenciót sem a tankönyvek, sem a korábbi érettségi (felvételi) feladatsorok alapján nem lehetett rögzíteni. Példa erre az,,oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán feladatszöveg értelmezése, amiről 30 év anyagának vizsgálatával kiderült, hogy nemcsak a különböző évek példasoraiban, de egy példasoron belül is(!!) pontszámeltérést eredményező értelmezési különbségek voltak. Ezzel az írással, amelyet vitaanyagnak tekintek, a konvenciók tisztázását és rögzítését szeretném elérni. Általában határozott véleményem van arról, hogy mi legyen a konvenció, de néhányszor csak azt hangsúlyozom, hogy kell valamilyen konvenció, és azt szerintem több különböző változat közül lehet kiválasztani. A hozzászólásokkal, a vitákkal kialakított konvenciókat hivatalosan elfogadottnak tekinthetjük, hiszen a budapesti, szegedi és debreceni egyetem matematikai szakmódszertannal foglalkozó tanszékei kifejezetten vállalták az anyag véleményezését. Természetesen várjuk a vizsgaközpontok, a versenyszervaző intézmények, és minden érdeklődő bekapcsolódását ebbe a munkába. A konvenciók kidolgozásával el lehet érni egyrészt azt, hogy a diákok felkészítése során ne kelljen ezután azt mondani nekik, amit most mondunk: biztonság kedvéért ezt is, azt is célszerű leírni, mert egyszer így, máskor úgy kívánták meg. Másrészt így azt is elérjük, hogy a reklamációnál hivatkozni lehet az illetékes szakemberek véleményére.
2 Általános jellegű megállapodások. A 1. A feladat megoldása során - két kivétellel - mindig bizonyítani kell. Akkor is, ha a feladat szövege ezt nem tartalmazza. Az egyik kivétel a teszt. A másik kivétel az olyan feladat, amelynél tételesen ki van írva, hogy bizonyítást nem kell végezni. Megjegyzés. Ha a feladat szövegében mennyi, hol van, írja fel stb. kérdés szerepel, és nincs kiírva, hogy bizonyítani kell, akkor is be kell bizonyítani, hogy a kérdésre adott válaszunk helyes. A bizonyítás formája és részletei nagyon eltérőek lehetnek. A 2. A lehetséges esetek végigpróbálása is teljes értékű bizonyítás. A 3. A bizonyítást jelentő, egymás után következő állítások közül annyit kell feltétlenül leírni, amennyiből egy jó diák szemével nézve a következtetési lépések átláthatók. Megjegyzés. Döntő a lényeg világos kiemelése, a trivialitásokat nem kell leírni. A feladatmegoldás nem szőrszálhasogatás. Ha valamiből valami következik, és egy jó diáktól elvárható, hogy lássa azt, hogy hogyan következik, akkor csak azt kell leírni, hogy miből és mi következik, a hogyant már nem. Például: 3 f(n) és 8 f(n) -ből következik 24 f(n), tehát nem kell leírni, hogy,,mert 3 és 8 relatív prímek. Vagy 2 f(x) = 2 g(x) -ból következik f(x) = g(x), tehát nem kell leírni, hogy,,mert a 2 alapú exponenciális függvény szigorúan monoton. A 4. A bizonyítás során az elfajuló esetek tárgyalása nyilvánvaló esetben elhagyható. Megjegyzés. Egy példa: a bizonyítás során háromszöget mondhatunk akkor is, ha az bizonyos esetekben az szakasszá fajul el, de arra az esetre triviálisan igaz az állításunk. A 5. A feladatmegoldáshoz készített ábra nem bizonyít. Megjegyzés. A geometriában (leginkább a térgeometriában) sokszor elfogadható indokolás a szemléletre való hivatkozás, de nem az ábrára való hivatkozás. A 6. A szimmetriára való hivatkozást (például egyenletrendszernél vagy geometriai alakzatnál) részletezni kell. A 7. Egy halmaz egy tetszőleges elemére végzett bizonyítás a hamaz minden elemére érvényes, de ezt jelezni kell. Megjegyzés: Geometriai feladatoknál szokásos probléma ez. A 8. A fejben könnyen elvégezhető számításokat nem kell leírni. A 9. Ha a feladat számszerű végeredményét műveleti jelekkel és függvényjelekkel adjuk meg, akkor a nyilvánvaló egyszerűsítéseket el kell rajta végezni. Ha kalkulátor használata megengedett, akkor a közelítő értékét is meg kell adni. Megjegyzés. A közelítő értékeknél az értékes számjegyek számát vagy a tizedesjegyek számát szokták előírni. Ha a feladatszöveg ezt nem írja elő, akkor konvencióban kellene rögzíteni, hogy a részletszámolások során és a végeredménynél minimálisan milyen közelítéssel számoljon a feladatmegoldó. Itt nem arról a problémáról van szó, hogy a feladat egy mennyiség kiszámítását előírt pontossággal kéri. Abban az esetben a feladatban elejétől végéig figyelni kell 2
3 a közelítő értéknek a részletszámításoksorán bekövetkező torzító hatására. Ennek a ráfigyelésnek az elmaradása durva szakmai hiba. A 10. Közelítő érték megadásánál kettős hullámvonalat kell használni (ennél az egyenlőség használata durva szakmai hiba). A 11. Ha a feladat nyitott (többféle jó válasz van, és ezek különböző értékelést kapnak), akkor a feladatszövegben, vagy kiegészítésben jelezni kell a teljes értékű válasz kritériumát. Megjegyzés. Tipikusan nyitott feladatra jellemző szövegrészletek: hozzuk egyszerűbb alakra, mit mondhatunk róla. Szerintem a nyitott feladat az oktatás folyamatában nagyon hasznos, de tétre menő számonkérésnél nem szabadna adni. A 12. A feladat kérdésére a megoldásban mindig válaszolni kell. A 13. A helytelen szóhasználat, ha nem értelemzavaró, akkor következmény nélkül marad, tanárnál és diáknál egyaránt. Megjegyzés. Felvételi feladatban is sokszor előfordult már ilyen, pl. a CD szakasz felezi a γ szöget, egységoldalú kocka. Egy helytelen szóhasználat nem értelemzavaró, ha a kontaktusból (a környező szövegből) kiderül a szó jelentése. Ez a probléma gyakori a többértelmű matematikai fogalmaknál. Például a kör lehet körlemez vagy körív, de nyilván egy kör területéről beszélve mindenki tudja, hogy körlemezről van szó. A 14. A középiskolás anyagba nem tartozó, a felsőbb matematikából ismert tételre lehet hivatkozni a bizonyítás elvégzése, vagy a megtalálási hely megjelölése nélkül is. A 15. Az egyesszám és a többesszám szerepeltetése a feladat szövegében lényegtelen a megoldás szempontjából. Megjegyzés. Ez nagyon fontos konvenció, sokszor hangoztatni kell, mert nagyon is ellentétes a helyes szövegértéssel. Matematikában nem járatos, de értelmes felnőtt butaságnak véli ezt a konvenciót. Olyanféle szövegről van szó, hogy adja meg azt a C pontot, és történetesen két ilyen van, vagy mely számok elégítik ki, és történetesen egy sincs, ami kielégítené. Sokszor a diák is ideges, hogy hol rontotta el?! Viccnek is jó, pedig megtörtént eset írok le. Egy bölcsész egyetemi tanár középiskolás unokája matematikai házi feladatában bizonyos adatok alapján kiszámolva egy templom magasságát, két értéket kapott, és a megoldását az iskolában elfogadták. A nagyapa szerint buták a matematikatanárok, mert szerintük egy templomnak két magassága van! A 16. Ha feladat szószerinti értelmezéssel vagy konvenciók alkalmazásával (pl. az előző konvenció alkalmazásával) nem oldható meg (vagy a megoldás olyan nehéz, hogy nem várható el a megoldása), akkor emiatt a diákot nem érheti hátrány. Az ilyen helyzeteket, korábbi példákat tudatosítani kellene a tanárok és diákok előtt. Megjegyzés. Hátrány lenne az is, ha ő nem adván megoldást, nem kap pontot, egy másik diák pedig a feladatot módosítja, és annak megoldásáért pontot kap. A 17. Ha feladat szószerinti értelmezéséhez tartozó megoldás szokatlan vagy nehézkes, és emiatt valószínűleg nem ezt az értelmezést gondolta a feladatkitűző, 3
4 akkor a diák kötelessége megadni a szószerinti értelmezéséhez tartozó megoldást. Ezt a megoldást el kell fogadni teljes értékű megoldásnak. A 18. Ha a feladat többféleképpen érthető, akkor a diák választhat a lehetséges értelmezések közül. Azt a változatot is el kell fogadni, amihez triviális megoldás tartozik. Ekkor sem érheti hátrány a diákot. Megjegyzés. Erre az esetre tipikus példa a következő érettségi-felvételi feladat: Fejezze ki lg2 és lg5 értékét p segítségével, ha p = lg2 lg5. A hivatalos megoldás az, hogy a fenti egyenlet a 10 = lg2 + lg5 egyenlettel együtt olyan egyenletrendszer, amiből lg2 és lg5 értéke p segítségével kifejezhető. A feladat szövege alapján viszont az is jó megoldás, hogy lg2 = p és lg5 = p lg5 lg2. A 19. A megoldásban csak olyan betűt (jelölést) szabad használni, amit vagy a feladatszöveg már használt, vagy a megoldásban magyarázva (definiálva) van. Geometriai feladat megoldásánál ábra megadásával is lehet a jelöléseket definiálni, de ki kell írni, hogy az ábra jelöléseit használjuk. Konkrét témakörökhöz kapcsolódó konvenciók. K 1. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán feladatszöveg azt jelenti, hogy adjuk meg az egyenletet kielégítő számok halmazát (a gyököket), a többszörös gyököket multiplicitással együtt, és bizonyítsuk be, hogy pontosan ezek a gyökök. Megjegyzés. Sokan úgy vélik, hogy a megoldáshoz hozzátartozik a feltételek megadása (az egyenlet két oldalán levő függvények közös értelmezési tartományának megadása) abban az esetben is, ha ez a megadás nem része a feladatszöveg fenti értelmezése alapján készített megoldásnak. A konvenció szerint, ha ezt is elvárja a feladat kitűzője a megoldótól, akkor azt szerepeltetni kell a feladat szövegében. K 2. A megoldásban az egymás alá írt egyenletek (ettől eltérő kapcsolatot jelentő szöveg nélkül) következményesek a megoldó szerint. Másképpen: Ha a megoldó az egymás alá írt egyenleteket következményeseknek tartja, akkor azt nem kell kiírnia, de ha nem tartja következményeseknek, akkor ki kell írnia, hogy milyennek tekinti. K 3. A megoldásban az egymás alá írt egyenletek közé írt ún. töltelékszavak, mint pl.,,átalakítással kapjuk,,,rendezéssel kapjuk,,,négyzetre emelve, stb. nem oldják fel a K 2. konvenció érvényességét. K 4. Szövegből nyert egyenlet (szöveges egyenlet) felállítását az ekvivalencia bizonyításának hiányában úgy kell értelmezni, hogy,,..ha van a szövegnek megfelelő x érték, akkor erre fennáll, hogy.... Megjegyzés. Ez nyilván azt jelenti, hogy a szöveg és a felállított egyenlet külön vizsgálat nélkül következményes. Meg kell győződni, hogy a kapott értékek kielégítik-e a szövegben leírtakat. K 5. Ha egy egyenlet megoldása a feladatmegoldás során csak eszköz (nem ez volt a feladat), akkor el lehet tekinteni annak bizonyításától, hogy a megtalált érték valóban gyök, de ki kell mondani. Megjegyzés. Ezt a konvenciót nagyon óvatosan kell kezelni. Bizonyára pontosítani 4
5 kell. Különösen vigyázni kell a szöveges egyenletekre, ahol természetesen ugyanolyan részletesen kell a megoldás logikáját vágigvinni, mint a felállított egyenletnél. K 6. Egyenletek vagy egyenlőtlenségek összeadása, valamivel szorzása annyira pontatlan hogy hibának minősíthető. Megjegyzés. Tudom, hogy nehezen lehet elfogadtatni ezt a konvenciót. K 7. Grafikus egyenletmegoldás definiálatlan fogalom, nem adható tétremenő értékelésnél. K 8. Valós együtthatós másodfokú egyenletnek nincs egy valós gyöke, két egybeeső valós gyöke lehet. K 9. Szerkessze meg feladatszöveg esetén le kell írni a szerkesztés lépéseit, és bebizonyítani, hogy az adott eljárás valóban a keresett alakzatot adja. Megjegyzés. Sokan úgy vélik, hogy a megoldhatóság feltételének megadását és annak bizonyítását is le kell írni. De ha nehéz a diszkusszió, akkor mégse tartozik bele. Szerintem, ha diszkussziót kérünk, akkor az szerepeljen a feladat szövegében. K 10. Hol helyezkednek el azok a pontok azt jelenti, hogy adja meg azoknak a pontoknak a halmazát. K 11. Fejezze ki azt jelenti, hogy a középiskolában használt matematikai jelölésekkel adja meg az illető mennyiséget. Megjegyzés. Szerintem legjobb lenne, ha ez a szöveg nem is szerepelne feladatban! K 12. Pontos érték racionális számot jelent. Megjegyzés. Szerintem legjobb lenne, ha ez a szöveg nem is szerepelne feladatban! K 13. Geometriai alakzatok megadásánál a betűzési sorrend körüljárási sorrendet is jelent. Megjegyzés. Például az ABCD paralelogramma esetén A és C átellenes csúcsok. K 14. Egy függvény grafikonjának elkészítését kérő feladatban meg kell adni azt a halmazt (intervallumot), amelyen az ábrázolást végezni kell. Ha a függvény értelmezési tartománya véges intervallum, és ezen kell ábrázolni is, akkor nem szükséges külön is megadni ezt az intervallumot. K 15. Egy olyan függvény grafikonjának elkészítését kérve, amely grafikon nem egyenes, vagy nem áll véges sok egyenes szakaszból, akkor meg kell adni azokat a abszcissza értékeket is, amelyeket mindenképpen használni kell az ábra elkészítésénél. K 16. A mértani sor összegképletének felírásánál a q 1-et ki kell írni. K 17. A függvény jelölésére többféle módot (a régebben szokásosakat is) lehet használni (a feladatban és a megoldásban egyaránt). Megjegyzés. Például elfogadható így is: f(x) = x K 18. A halmazokat (különösen az egyenlet megoldáshalmazát) egyértelműen és pontosan kell megadni. Megjegyzés. Például x 0 = π 4 + 2kπ esetében nem lehet arra hivatkozni, hogy a k egész szám szokott lenni, hanem k Z-t is ki kell írni. 5
6 Végül két kiegészítést fűzök a konvenció-javaslataimhoz, mert ezek megtárgyalását is szeretném elérni. Tudom, hogy sokan nem értenek velem egyet az alábbi témákban, de szeretném megismerni az ellenérveket is. Az egyik téma a részpontok adása. Én a jó diák pártján állok, és az ő szempontjait javaslom érvényesíteni. Ezt úgy lehetne összefoglalni, hogy az értékelés teljesítménycentrikus, és ne tudáscentrikus legyen. Egy jó diák nem ad be tisztázatként próbálkozásokat. Ha a megoldás közben rájön, hogy nem tudja folytatni, vagy hibázott, rosszul okoskodott, akkor nem ad be semmit, nem nevezi megoldásrészletnek addigi munkáját. Véleményem alátámasztására megemlítem, hogy tragikusnak tartom, hogy a diákot arra kell biztatni, hogy írja le mindazt (tételeket, lehetséges átalakításokat stb.), ami a feladattal kapcsolatban eszébe jut, amivel a megoldás során próbálkozott, hátha részpontot kap érte! Másrészt a tanár számára sokszor megoldhatatlan probléma annak eldöntése, hogy mit tekinthet befejezhető megoldás részé -nek. Indok lehet az is, hogy a tesztrendszerű értékelésnél sincs részpont. Azt javasolnám, hogy részpont csak akkor legyen, ha a diák jónak véli a megoldását, de téved. Négyféle pontlevonást javasolok: kis vagy nagy logikai hiba, kis vagy nagy számolási hiba esetére. Például 10 pontos feladatnál kis logikai hiba 4 pont, nagy logikai hiba 8 pont, kis számolási hiba 2 pont, nagy számolási hiba 4 pont levonásal járna, de nyilván legfeljebb 10 pont a levonás. A hiba mértékére a hivatalos megoldás példát mutathatna, de a javító tanár feladata a konkrét esetben a döntés. Ugyanakkor nagyon fontos, hogy a diák a dolgozatírás előtt megtudja az értékelés szempontjait (többletmegoldás jutalma, számolási hiba büntetése stb.). Jól szemlélteti ezt az alábbi történet. Még a közös érettségi-felvételi idejében az egyik egyetem javítója nem adott részpontot az elszámolás miatt hibás eredményt közlő feladatra, és a témáról szóló országos ankéton szóban meg is indokolta cselekedetét azzal, hogy a durván rossz végeredményt a diáknak fel kellett volna ismerni. Sajnos, nem volt alkalmam figyelmeztetni, hogy a diák nagy valószínűséggel felismerte, hogy a végeredmény rossz, de nyilván arra számított, hogy pl. számolási hibát vétett, így részpontot kap, ezért nem húzta át az egészet. A hiba keresésével pedig azért nem foglalkozott, mert más, még hátralevő feladat megoldásából több pontot remélt, mint a hiba megtalálásával szerezhető pontok. A másik téma a mértékegységek használata. Tényként kellene elfogadni az alábbiakat: 1.) A geometriában a mérték szám. A legtöbb középiskolás tankönyv is úgy definiálja a területet, hogy az bizonyos tulajdonságoknak eleget tevő szám. 2.) Fizikai mértékegység a fizikában és a köznapi életben van, a matematikában nincs. A téglalap alakú asztallap egyik oldalának hossza lehet 50 cm, de a téglalap oldalának hossza ) A felsőbb matematika szakaszkalkulusában van egység, (amint a csoportalgebrában is van egységelem,) de az nem szakaszhossz, hanem maga a szakasz.) 4.) Minden fizikai mennyiségnek (mértéknek) van mértékegysége, a matematikában 6
7 egyiknek sincs. Egy háromszög területe éppúgy 2 és nem 2 területegység, mint ahogy egy függvény differenciálhányadosa egy pontban 2 és nem 2 differenciálhányadosegység. A mértékegységek matematikában való használatának lelkes híveit még az sem győzi meg, hogy a jelenlegi helyzet tarthatatlan, aminek egyik bizonyítéka, hogy a hivatalos megoldásban néha másképp használják a mértékegységet, mint a feladatban volt. Pedig legalább ennyit szeretnék elérni. 7
A matematikai feladatok és megoldások konvenciói
A matematikai feladatok és megoldások konvenciói Kozárné Fazekas Anna Kántor Sándor Matematika és Informatika Didaktikai Konferencia - Szatmárnémeti 2011. január 28-30. Konvenciók Mindenki által elfogadott
RészletesebbenA matematikai feladatok és megoldások konvenciói
A 2009. évi VT napokon tartott előadás kibővített, angolul megjelent anyaga A matematikai feladatok és megoldások konvenciói Dr. Kántor Sándor (Debrecen) Absztrakt A matematikai feladatok és a megoldások
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?
Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenKövetelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával
RészletesebbenKövetelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Elemek halmazba rendezése több szempont alapján. Halmazok ábrázolása. A nyelv logikai elemeinek helyes használata.
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenNémeth László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny 007. április 16. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak 9. osztályosoknak 1. feladat a) Vegyük észre, hogy 7 + 5 felírható 1 + 3 + 6 + alakban, így
Részletesebbena) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenMatematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:
Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: 7. Függvények: - függvények fogalma, megadása, ábrázolás koordináta- rendszerben - az elsőfokú függvény, lineáris függvény - a másodfokú függvény
Részletesebbenb) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
Részletesebbenegyenlőtlenségnek kell teljesülnie.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA
RészletesebbenKövetelmény a 8. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 8. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazokkal kapcsolatos alapfogalmak ismerete, halmazok szemléltetése, halmazműveletek ismerete, eszköz jellegű
RészletesebbenJAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók
RészletesebbenJAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 0513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot
RészletesebbenJAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ
JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:
Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével
RészletesebbenP R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a
Részletesebben4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont
I. 1. A páros számokat tartalmazó részhalmazok: 6 ; 8 ; 6 ; 8. { } { } { }. 5 ( a ) 17 Összesen: t = = a a Összesen: ot kaphat a vizsgázó, ha csak két helyes részhalmazt ír fel. Szintén jár, ha a helyes
RészletesebbenMatematika. Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója
Matematika Emelt szintű feladatsor pontozási útmutatója Kérjük, hogy a dolgozatok javítását a javítási útmutató alapján végezze, a következők figyelembevételével. Formai kérések: Kérjük, hogy piros tollal
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA
RészletesebbenOsztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenMatematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.
Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
RészletesebbenOsztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
RészletesebbenJAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ
JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI 1. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak
RészletesebbenP ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP
J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.
RészletesebbenMATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005
2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus
RészletesebbenALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK
ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával
Részletesebben1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
RészletesebbenAbszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások
Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása
RészletesebbenJAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Fizika középszint ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. november 5. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM A dolgozatokat az útmutató utasításai szerint, jól követhetően
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:
RészletesebbenTANMENET 2015/16. Készítette: KOVÁCS ILONA, Felhasználja: Juhász Orsolya
Tantárgy: Matematika Osztály: 10. B Készítette: KOVÁCS ILONA, Felhasználja: Juhász Orsolya Vetési Albert Gimnázium, Veszprém Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 108 Tankönyv: Hajdu Sándor Czeglédy István Hajdu
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy
RészletesebbenDr`avni izpitni center MATEMATIKA
Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak
RészletesebbenA kompetencia alapú matematika oktatás. tanmenete a 9. osztályban. Készítette Maitz Csaba
A kompetencia alapú matematika oktatás tanmenete a 9. osztályban Készítette Maitz Csaba Szerkesztési feladatok 1. Síkgeometriai alapfogalmak 2. Egyszerűbb rajzok, szerkesztések körző, vonalzó használata
RészletesebbenPRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA
PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2018. február 10. STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2018. február 10. I. Az írásbeli próbavizsga időtartama: 45 perc Kérjük, nyomtatott
RészletesebbenKövetelmény az 5. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény az 5. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Néhány elem kiválasztása adott szempont szerint. Néhány elem sorba rendezése, az összes lehetséges sorrend felsorolása.
Részletesebben1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint
A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül
Részletesebben1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK
MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:
RészletesebbenAz egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?
1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen
RészletesebbenMatematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra
Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 10. Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: É rettségi feladatgyűjtemény matematikából
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
Részletesebben1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen
10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős
RészletesebbenSZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM
SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM A vizsga szerkezete: A vizsga írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. 1.) Írásbeli vizsga Időtartama: 45 perc Elérhető pontszám: 65 pont Feladattípusok:
RészletesebbenJAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 051 É RETTSÉGI VIZSGA 005. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 131 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. október 15. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
RészletesebbenMatematika 11. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 08-09-07 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető ki.
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenMatematika 6. osztály Osztályozó vizsga
Matematika 6. osztály Osztályozó vizsga 1. Számok és műveletek 1. A tízes számrendszer Számok írása, olvasása, ábrázolása Az egymilliónál nagyobb természetes számok írása, olvasása. Számok tizedestört
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA
RészletesebbenTANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez
TANMENETJAVASLAT Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA tankönyv ötödikeseknek címû tankönyvéhez A heti 3 óra, évi 111 óra B heti 4 óra, évi 148 óra Javaslat témazáró dolgozatra: Dr. Korányi Erzsébet: Matematika
Részletesebben7. 17 éves 2 pont Összesen: 2 pont
1. { 3;4;5} { 3; 4;5;6;7;8;9;10} A B = B C = A \ B = {1; }. 14 Nem bontható. I. 3. A) igaz B) hamis C) igaz jó válasz esetén, 1 jó válasz esetén 0 pont jár. 4. [ ; ] Más helyes jelölés is elfogadható.
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 063 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek Műveletek vektorokkal Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal Determinánsok és alkalmazásaik
1. Bevezetés A félév anyaga. Komplex számok Műveletek Kapcsolat a geometriával Gyökvonás Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad-
RészletesebbenMatematika pótvizsga témakörök 9. V
Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!
RészletesebbenTANMENET. a matematika tantárgy tanításához a 12. E osztályok számára
Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához a 12. E osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján
RészletesebbenNémeth László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál
RészletesebbenM. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!
Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet
RészletesebbenMatematika kisérettségi
Matematika kisérettségi 2010. május 11. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az idő elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetszőleges. 3.
RészletesebbenMatematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,
RészletesebbenMATEK-INFO UBB verseny április 6.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATEK-INFO UBB verseny 219. április 6. Írásbeli próba matematikából FONTOS MEGJEGYZÉS: 1) Az A. részben megjelenő feleletválasztós
RészletesebbenPRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc
PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok
RészletesebbenHódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt
RészletesebbenMATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA
MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 0611 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. KÖZÉPSZINT ) Egyszerűsítse a következő törtet! (a; b valós szám, ab 0)! a b ab ab ab ( a ) a ab I. Összesen: pont ) Egy mértani sorozat második eleme 3, hatodik eleme.
RészletesebbenPróba érettségi feladatsor április 09. I. RÉSZ. 1. Hány fokos az a konkáv szög, amelyiknek koszinusza: 2
Név: osztály: Próba érettségi feladatsor 010 április 09 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti fehér hátterű
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenFényi Gyula Jezsuita Gimnázium és Kollégium Miskolc, Fényi Gyula tér Tel.: (+36-46) , , , Fax: (+36-46)
Fényi Gyula Jezsuita Gimnázium és Kollégium 529 Miskolc, Fényi Gyula tér 2-12. Tel.: (+6-46) 560-458, 560-459, 560-58, Fax: (+6-46) 560-582 E-mail: fenyi@jezsuita.hu Honlap: www.jezsu.hu A JECSE Jesuit
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 0631 É RETTSÉGI VIZSGA 006. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
Részletesebben