A matematikai feladatok és megoldások konvenciói

Átírás

1 A évi VT napokon tartott előadás kibővített, angolul megjelent anyaga A matematikai feladatok és megoldások konvenciói Dr. Kántor Sándor (Debrecen) Absztrakt A matematikai feladatok és a megoldások helyes értelmezéséhez nélkülözhetetlen konvenciók összegyüjtése és elemzése az eredményes oktatást és a reális értékelést szolgálja. Az összegyüjtés és elemzés során nagyon sok szakmai és szakdidaktikai kérdés tisztázására is szükség volt, ezért a konvenciókban tömören megjelenő anyag a matematika tanításának elméletét és gyakorlatát gazdagítja. Azt senki sem vitatja, hogy a matematikai feladatoknál a kitűző és a megoldó konvenciókat használ, hiszen nem lehet mindent részletesen és pontosan leírni. A konvenciók teszik lehetővé a szakszöveg helyes értelmezését, így a szakzsargon részének is tekinthetők. Ezek a konvenciók a szűkebb körben éveken át együtt dolgozó tanár és diák között természetesen kialakulnak, a leírásukra nincs is szükségük. A tágabb körben együtt dolgozó diákok és tanárok körében is fontos szerepük van a konvencióknak, például az érettséginél, vagy a tanulmányi versenyeken. Ekkor azonban nem alakulnak ki automatikusan olyan mértékben, hogy ne lenne szükség tudatosan is segíteni a kialakulásukat. Nem könnyű megtalálni és elfogadtatni az egységes konvenciókat, pedig azért is szükség lenne rájuk, mert sokszor nagy a tét, és nagy jelentősége van a részleteknek is. A magyarországi matematika írásbeli érettségi feladatainak és megoldásainak a konvencióival foglalkozunk, mert a feladataik és a hivatalos megoldásaik hozzáférhetők, részletesek és egységesek. Elsősorban az utóbbi hat évben alkalmazott kétszintű érettségi feladatait elemeztük, de vizsgáltuk a korábbi évekből való érettségi feladatokat is. A magyarországi anyag ismertetése hasznos lehet a határokon átnyúló, nemzetközi szervezésű tanulmányi versenyek és felmérések értékelésénél is. Jó lenne a tantervek vagy a tankönyvek esetében is vizsgálódni, de a tantervek nem elég részletesek, a tankönyvek nem egységesek. Az itt közölt konvenciók összegyüjtése a teljesség igénye nélkül készült. A régebbi témakörök közül a sok problémát jelentő egyenletmegoldások 1

2 és a látványos geometria kapott nagyobb hangsúlyt, az új témakörök közül a függvények és a számolások témaköre. Példával illusztrálni fogjuk, hogy a valószínűségszámítás az a témakör, amelynél a legnagyobb szükség lenne a konvenciók összegyüjtésére és elfogadtatására. Ez munka elkezdődött, de eredményt csak később várhatunk belőle. Fontos megjegyezni, hogy az itt közölt anyag nem csak a mi elképzeléseinket tartalmazza, hanem jónéhány középiskolában és főiskolán tanító szakemberét is kikértük és felhasználtuk. Ők többségükben ennek során a munkatársaik véleményét is felhasználták. Sajnos, az érettségi feladatokat és a hivatalos megoldásokat készítők képviseletében kérésünk ellenére sem nyílvánított véleményt senki. Az itt közölt konvenciók első csoportja azokat tartalmazza, amelyekkel mindenki egyetértett, illetve a végrehajtott pontosítás után bizonyára egyetért. A második csoportban a vitatott, így esetleg módosítanó olyan konvenciók vannak, amelyek valamilyen formájára azonban feltétlenül szükség lenne. Mindkét csoportban a konvenciókat jellegük alapján három alcsoportra bontottuk. Ezek az általános jellegű, a konkrét témakörhöz kapcsolódó, illetve a jogi vonatkozású konvenciókat tartalmazzák. A jogi vonatkozású konvenció elnevezés talán szokatlannak tünik, de látni fogjuk, hogy ezek is konkrét matematikai tartalomra vonatkoznak. I. csoport: érvényesnek tekinthető konvenciók Általános jellegű konvenciók A 1. A feladat megoldása során mindig bizonyítani kell a leírt állításokat. 1. megjegyzés. Ezt a konvenciót azért kell hangsúlyozni, mert a feladat szövege sokszor más cselekvést kér, pl.,,mennyi,,,hol van,,,írja fel stb. van a szövegben. Ekkor is bizonyítani kell a leírt állításokat (átalakításokat, számításokat). 2. megjegyzés. Természetesen kivétel e konvenció alól, ha a feladat formája (bármilyen teszt), vagy konkrét szövege (leírja, hogy nem kell bizonyítást végezni) alapján ez nyilvánvaló. Ehhez a konvencióhoz tartozik néhány, témakörtől független, konkrét bizonyításra vonatkozó konvenció: A 1.1. A lehetséges esetek végigpróbálása is teljes értékű bizonyítás. A 1.2. A feladatmegoldáshoz készített ábra nem bizonyít. 2

3 Megjegyzés. A geometriában (leginkább a térgeometriában, például síkmetszetek készítésénél) sokszor elfogadható a szemléletre való hivatkozás, de nem az ábrára való hivatkozás. A 1.3. A szimmetriára való hivatkozást (pl. egyenletrendszernél vagy geometriai alakzatnál) részletezni kell. A 1.4. Egy halmaz egy tetszőleges elemére végzett bizonyítás a halmaz minden elemére érvényes, de ezt jelezni kell. A 1.5. A fejben könnyen elvégezhető számításokat (átalakításokat) nem kell leírni. A 1.6. A középiskolás anyagba nem tartozó, a felsőbb matematikából ismert tételre lehet hivatkozni a bizonyításának elvégzése, vagy a megtalálási helyének ismertetése nélkül is. (A tételt természetesen le kell írni.) A 2. A feladat szövegében a kért adatoknál az egyes szám vagy a többes szám szerepeltetése nem jelent információt az adatok számára vonatkozóan. 1. megjegyzés. Ez nagyon fontos, a tanárok körében elfogadott konvenció, és tudatosítani kell a diákok körében is. Példa erre: az,,adja meg azt a pontot feladatszöveg nem helytelen akkor sem, ha több pont van, vagy egy sincs. Az ilyen esetekben a megoldónak mindet meg kell adni, ill. bizonyítani, hogy nincs olyan pont. 2. megjegyzés. Kivétel az olyan eset, amelynél egy adatot kér a feladat, de közismert, hogy végtelen sok olyan adat van. Egy ilyen esetre mutatunk példát. Egy konkrét, egyértelműen meghatározott egyenes egyenletét kéri a feladat. Ekkor nyilván a megoldó kiválasztathat tetszése szerint a konkrét egyenes végtelen sok egyenlete közül egyet, és csak azt adja meg. A 3. A közelítő értéket valamilyen módon (pl. hullámvonal, kettős hullámvonal, kb. kiírásával) meg kell különböztetni a tényleges értéktől. Megjegyzés. A kalkulátor segítségével végezhető, a közelítő értékekkel való számolás alapfogalmait, módszereit és lehetőségeit mindenkinek ismerni kell. E nélkül a számolós gyakorlati feladatok kitűzésének nincs értelme. A gondolkodásra nevelés megcsúfolása, hogy az utóbbi időben sok olyan feladattal találkozunk, amelynél sem a feladatkitűző, sem a feladatmegoldó nem tudja (vagy nem közli), hogy mi van kiszámolva. Például nem a keresett mennyiség kerekített értékét (amit a feladat kért) számolták ki, hanem valami mást, jó esetben egy közelítő értéket, 3

4 a közelítés mértékének ismertetése nélkül. A 4. A megoldásban csak olyan jelölést szabad használni, amit vagy a feladatszöveg már használt, vagy a megoldásban magyarázva (definiálva) van. Geometriai feladat megoldásánál ábra megadásával is lehet jelölést definiálni, de leírva, hogy az ábra jelöléseit használjuk. Megjegyzés. A hivatalos megoldás mindig ilyen, ezért egyhangú helyeslés hiányában is bevettem ide. A 5. A feladatban feltett kérdésre a megoldásban válaszolni kell. Megjegyzés. A válasz nem fogadható el, ha belőle csak valamilyen következtetéssel lehet a feltett kérdésre adott pontos választ megkapni. A 6. A feladat formálisan (jelöléssel) megkülönböztetett részeiben a feltételeket mindenütt ki kell írni ahhoz, hogy mindenütt érvényesek legyenek (automatikusan nem érvényesek minden részre). Konkrét témakörökhöz kapcsolódó konvenciók K 1.,,Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán feladatszöveg azt jelenti, hogy adjuk meg az egyenletet kielégítő valós számok halmazát, megjelölve a többszörös gyököket multiplicitással együtt. Megjegyzés. Természetesen az A 1. konvenció alapján bizonyítani is kell, hogy pontosan ezek a gyökök. Viszont az értelmezési tartományt abban az esetben nem kell megadni a megoldásban, amennyiben a gyökök meghatározásához nem volt rá szükség. Ha a feladat kitűzője az értelmezési tartomány megadását is a megoldás részének tekinti, akkor ezt a követelményt fel kell tüntetnie a feladat szövegében. K 2. Ha az egyenlet megoldásánál az egymás alá írt egyenleteket a megoldó nem következmény egyenleteknek tekinti, akkor le kell írnia, hogy milyennek tekinti. 1. megjegyzés. A megoldásban az egymás alá írt egyenletek közé írt ún. töltelékszavak (pl.,,átalakítással kapjuk,,,rendezéssel kapjuk, négyzetre emelve ) alapján nem lehet tudni, hogy milyen kapcsolatra gondolt a megoldó, ezért ezek nem oldják fel a K 2. érvényességét. 2. megjegyzés. Ebben a kérdésben mindenképpen rögzíteni szeretnénk egy konvenciót akkor is, ha nincs teljes egyetértés. A leírt változat igazodik legjobban a gyakorlathoz, és [1]-ben részletesen elemezve van, hogy ez a legkönnyebben kezelhető változat. K 3. A példaszövegből nyert egyenletnél (szöveges egyenletnél) a szöveg és az egyenlet kapcsolatára ugyanaz érvényes, mint az egymás 4

5 alá írt egyenletekre: ha a megoldó nem a szöveg következmény egyenletének tekinti a felírt egyenletet, akkor le kell írnia, hogy milyennek tekinti. K 4. Egyenletek vagy egyenlőtlenségek összeadása a megfelelő oldalakon álló kifejezések összeadását jelenti. K 5. Valós együtthatós másodfokú egyenletnek nincs egy valós gyöke. Vagy nincs valós gyöke, vagy két valós gyöke van, amelyek esetleg egybeesnek. Megjegyzés. Magasabb fokú egyenletekre ennek értelemszerű általánosítása a konvenció. K 6. Ha a feladat szövege végeredményként valaminek a pontos értékét kéri, akkor ez biztosan egy racionális szám. Megjegyzés. A tanítás során szokás egy függvénynek adott valós számra vett értékét is pontos értéknek nevezni, de ha a feladat valaminek a pontos értékét kéri, akkor a válaszban nem lehet sem függvényjel, sem műveleti jel. Sok feladatszövegben éppen valamilyen függvényérték pontos értékét kérdezik. Még nem találkoztunk olyan feladattal, ahol a kérdezett pontos érték nem racionális szám lett volna. K 7.,,Szerkessze meg feladatszöveg esetén le kell írni a szerkesztés lépéseit, és bebizonyítani, hogy a leírt eljárás valóban a keresett alakzatot adja. A tényleges szerkesztést nem kell elvégezni. Megjegyzés. Sokan úgy vélik, hogy a megoldhatóság feltételének megadása és annak bizonyítása is hozzátartozik a feladathoz. Tapasztalatunk szerint a nehezen bizonyítható diszkussziót nem szokták a feladat részének tekinteni, ezért nincs itt állásfoglalás a kérdésben. K 8. Geometriai ábráknál a betűzési sorrend körüljárási sorrendet is jelent. K 9. A feladatban csak olyan függvény grafikonjának elkészítését lehet kérni, amely egy korlátos halmazon van értelmezve. Megjegyzés. Mivel csak ilyen függvény grafikonjának elkészítése lehetséges, nem látunk más lehetőséget arra, hogy a feladat megoldható legyen. Például a minden valós számra az f(x) = x képlettel értelmezett függvényt nem lehet ábrázolni, hanem ennek csak egy véges halmazra való leszűkítését. K 10. A halmazokat (pl. egy egyenlet megoldáshalmazát) részletesen és egyértelműen meg kell adni. Megjegyzés. Például a trigonometrikus függvény periódicitásánál nem lehet arra hivatkozni, hogy k egész szám szokott lenni, hanem ezt 5

6 ki is kell írni. 6

7 Jogi vonatkozású konvenciók J 1. A diáknak joga van a feladat szövege és a hozzá kapcsolható, megtanított (a tananyagban is szereplő) konvenciók alapján pontosan tudni, hogy mi a teendője a megoldás során (mire kapja meg a maximális pontszámot). J 2. A diáknak joga van ismerni azt, hogy milyen elvek szerint javítják a dolgozatát. Például a számolási hibának mi a következménye. II. csoport: vitatható konvenciók, de valamilyen kellene Általános jellegű konvenciók VA 1. A bizonyítást jelentő, egymás után következő állítások közül annyit kell feltétlenül leírni, amennyiből egy jó diák szemével nézve a következtetési lépések átláthatók. Megjegyzés. A bizonyítás leírásának részletessége mindig vitatéma. A tanári gyakorlat szubjektív. Szinte mindenki másképp képzeli, és lehetetlen egyezségre jutni. A tanárok nagy része azt tanácsolja a diákoknak, hogy részletesen írják le a bizonyítást, de a diákok nagy része ezt nem teszi meg. Az érettségi feladatok javítási útmutatója szerinte a diák olyan bizonyítását is el lehet fogadni, ami a hívatalos megoldásnál kevésbé részletezett. Ebbe minden belefér, tehát használhatatlan. Mi azt tanácsoljuk a diákoknak, hogy bizonyítás túlzott részletezése helyett alkalmazzanak utalásokat arra vonatkozóan, hogy látják a bizonyítás lehetőségét, és könnyen meg is tudnák csinálni azt. Ilyen utalás pl. a,,nyilvánvaló,,,természetesen,,,könnyen belátható szavak beszúrása, amit jogfenntartó szövegnek nevezünk. Ugyanis ezekre hivatkozva lehet reklamálni, ha a bizonyítás hiányossága miatt pontot vonnának le a diáktól. VA 2. A bizonyítás lépéseinél az elfajuló esetek tárgyalása, ha nyilvánvaló, akkor elhagyható. Megjegyzés. Nem a tétel elfajuló eseteiről, hanem a bizonyítás során fellépő elfajuló esetekről van szó. VA 3. Ha mértékegység van a feladatban, akkor ugyanannak (ugyanolyan jellegűnek) kell szerepelni a megoldásban is. Konkrét témakörökhöz kapcsolódó konvenciók VK 1. Ha egy egyenletmegoldás csak eszköz egy feladat meg- 7

8 oldásában, akkor nem kell olyan mértékben részletezni ezt az egyenletmegoldást, mint abban az esetben, amikor egyenletmegoldás a feladat. VK 2. A feladatszöveg alapján felállított egyenletben sem a betűnek (ismeretlennek), sem a számnak nincs mértékegysége. Ott csak matematikai objektumok (számok, vektorok, függvények, stb.) lehetnek. Megjegyzés. A mértékegység hibás használata dupla hiba: az elméletnek is és a gyakorlatnak is hibája! VK 3. Egy olyan függvény grafikonjának elkészítését kérve, amely grafikon nem egyenes szakaszokból áll, meg kell adni azokat az abszcissza értékeket is, amelyeket mindenképpen használni kell a grafikon elkészítésénél. 1. megjegyzés. Ellenkező esetben a grafikonról hibás leolvasások lehetségesek, pedig a diák az ábrázolásnál nem hibázott, mert pl. a monotonitás, a konvexitás teljesül. 2. megjegyzés. Nem csak a függvénygrafikon, hanem mindenféle ábrakészítés módja és értékelése tisztázatlan. Vagy ne legyen ábrakészítés, vagy a konvencióit sürgősen ki kell dolgozni és tanítani kell! VK 4. A függvény jelölésére a régebben szokásosakat is lehet alkalmazni a feladatban és a megoldásban egyaránt. 1. megjegyzés. A jelölésekre vonatkozó megszorításokkal szerintünk óvatosan kell bánni. Általános szabály, hogy a feladat és a megoldás összhangban legyen szóhasználat, jelölés, stb. vonatkozásában. A feladatban nem szabadna olyan jeleket használni, amit a megoldó nem tud (vagy nehezen tud) alkalmazni, pl. vastag betű, vagy a függvénynél határeset a talpas nyíl. 2. megjegyzés. A jelölésekre alig van konvenció, pedig a gépi felhasználás is egyre inkább megkívánná. Ezt támasztja alá a következő konvenció is. VK 5. A gyakran használt elemi függvényeknél (trigonometriai, logaritmus) az argumentum zárójelezésére kellene konvenció, például az, hogy ha nem egy jel (betű vagy szám) az argumentum, akkor mindig zárójelbe kell tenni. VK 6. A geometriai fogalmakra használt szavak sokszor többértelműek, pl. kör (körvonal vagy körlap), szakasz (a szalasz vagy a szakasz hossza). Legkisebb mértékű félreérthetőség esetén is pontos fogalmazást kell adni. VK 7. A mértani hely (adott tulajdonságú pontok halmaza) fogalmát ismerni kell. 8

9 VK 8. A valószínűségszámítási feladatokban a dobókocka mindig olyan, hogy mindegyik szám dobásának ugyanannyi a valószínűsége. 1. megjegyzés. Nagyon zavaró, hogy egyszer az szerepel a feladatban, hogy a dobókocka szabályos, máskor ezt nem írják ki. A megoldó nem tudja, hogy mit tételezhet fel a kockáról? Ugyanilyen jellegű probléma van a golyók húzásánál. 2. megjegyzés. A valószínűségszámítás a legzavarosabb, de más területeken is rendet kellene tenni. Például az újaknál a statisztika, a gráfelmélet, az analízis; a régieknél a térgeometria ilyen rendezésre váró terület. Jogi vonatkozású konvenciók VJ 1. Ha a feladat szószerinti értelmezéssel vagy konvenciók alkalmazásával (pl. az A 2. konvenció alkalmazásával) nem oldható meg (vagy olyan nehéz a megoldása, hogy az nem várható el), akkor emiatt nem érheti hátrány a diákot. Megjegyzés. Hátrány az is, hogy másik diák módosítja a feladatot, azt megoldja, és pontokat kap érte. VJ 2. Ha a feladat szószerinti értelmezéssel nem egyértelmű (többféleképpen érthető), akkor bármelyik értelmezéshez tartozó megoldás teljes értékű. Megjegyzés. Elismerjük, hogy a VJ 1. és a VJ 2. megállapodások azért is vitathatók, mert ilyen feladatoknak nem szabadna lenni. Ilyen feladatok adhatók a tanulás folyamata közben, de számonkérésnél nem, illetve csak akkor, ha erre jól fel vannak készítve a diákok. Jelenleg úgy készítik fel a diákokat, hogy minden feladat megoldható, és a megoldás egyértelmű. A tapasztalat viszont az, hogy az utolsó öt évben az érettségi feladatok közel tíz százaléka(!!) megoldhatatlan vagy többértelmű volt. Valahogy kezelni kell ezt a helyzetet. Irodalom [1] Kántor Sándor, Módszerek és elvárások, Studium Kiadó 2001 Debrecen [2] Kántor Sándor, Konvenciók, A Matematika Tanítása, VII