Megoldatlan (elemi) matematikai problémák Diszkrét geometriai problémák

Átírás

1 Megoldatlan (elemi) matematikai problémák Diszkrét geometriai problémák Csikós Balázs ELTE TTK Matematikai Intézet Országos Diákkutatói Program, Csikós B. (ELTE TTK Matematikai Intézet) Diszkrét geometriai problémák Országos Diákkutatói Program, / 9

2 Megoldatlan (elemi) matematikai problémák A Megoldatlan elemi matematikai problémák programban három témakörben ajánlunk fel kutatási problémákat: Csikós Balázs: Diszkrét geometriai problémák Szőnyi Tamás: Zarankiewicz problémája Bessenyei Ádám: Közepek és sorozatok A jelen rövid előadások csak ízelítőül szolgálnak. A problémák hátteréről, az ismert részeredményekről az első két alkalommal beszélünk részletesen. További problémákat is fel fogunk vetni. Csikós B. (ELTE TTK Matematikai Intézet) Diszkrét geometriai problémák Országos Diákkutatói Program, / 9

3 Egy pakolási probléma A diszkrét geometria egyik alapfeladata geometriai alakzatok valamilyen szempont szerinti optimális elrendezéseinek a leírása. Példa: Egy 1 sugarú körbe szeretnénk k darab r sugarú kört átfedés nélkül belepakolni. Melyik a legnagyobb r k sugár, melyre ez lehetséges, és milyen elrendezéssel? Kevés körre a válaszok ismertek: Csikós B. (ELTE TTK Matematikai Intézet) Diszkrét geometriai problémák Országos Diákkutatói Program, / 9

4 k=5,6,... Ha egy körbe 6 egyenlő sugarú kör belefér, akkor 7 is. 8 és 9 körre a piros körök lötyögnek, az optimális elrendezés nem egyértelmű. 11 és 12 körre az optimális elrendezés már csak tengelyesen szimmetrikus. Csikós B. (ELTE TTK Matematikai Intézet) Diszkrét geometriai problémák Országos Diákkutatói Program, / 9

5 A duális fedési probléma Egy 1 sugarú kört szeretnénk k darab R sugarú körrel lefedni. Melyik a legkisebb R k sugár, melyre ez lehetséges, és milyen elrendezéssel? Az optimális fedések k 8 körre: k = 5 és k = 6 esetén csak tengelyes szimmetria! Csikós B. (ELTE TTK Matematikai Intézet) Diszkrét geometriai problémák Országos Diákkutatói Program, / 9

6 Egy közbülső probléma: Adott egy ρ sugár. Hogyan lehet k darab ρ sugarú körrel a lehető legnagyobb területű részt lefedni egy 1 sugarú körből? k = 5 esetén melyik ρ sugárnál vész el az optimális elrendezés forgásszimmetriája és hogyan? Egy segédprobléma: Adott egy D tartomány. Hogyan kell elhelyezni egy adott sugarú kört ahhoz, hogy D-ből a lehető legnagyobb területű részt fedje le? Mi a megoldás egyszerű tartományok, például egy háromszög esetén? Csikós B. (ELTE TTK Matematikai Intézet) Diszkrét geometriai problémák Országos Diákkutatói Program, / 9

7 A Fermat-Torricelli probléma Pierre de Fermat ( ) Evangelista Torricelli( ) Fermat egy Torricellihez írt levelében vetette fel az alábbi problémát: Hol helyezkedik el a síkon az a pont, melynek egy háromszög csúcsaitól mért távolságainak összege minimális? Csikós B. (ELTE TTK Matematikai Intézet) Diszkrét geometriai problémák Országos Diákkutatói Program, / 9

8 Az izogonális pont A problémára Torricelli több megoldást is adott. A megoldás a háromszög izogonális pontja, ha létezik, egyébként a háromszög tompaszögű csúcsa. Egy háromszög izogonális pontja az az I pont a háromszög belsejében, melyből az oldalak egyenlő, 120 -os szög alatt látszanak. Pontosan akkor létezik ilyen pont, ha a háromszög szögei 120 -nál kisebbek. Csikós B. (ELTE TTK Matematikai Intézet) Diszkrét geometriai problémák Országos Diákkutatói Program, / 9

9 A Fermat-Torricelli probléma általánosításai Hol helyezkedik el a térben az a pont, melynek adott n térbeli ponttól mért távolságainak összege minimális? (Ezt a kérdést többen vizsgálták már.) Adott néhány szakasz a térben. Hol helyezkednek el azok a P pontok, melyekre a szakaszok és a P pont által meghatározott háromszögek területösszege minimális? Speciális esetek, amikor explicit válasz várható: A szakaszok száma kicsi. A szakaszok egy tetraéder élei. A szakaszok egysíkúak. Az általános kérdésre nem várható explicit válasz, az inkább egy algoritmikus probléma: Hogyan lehet egy olyan eljárást találni, mely egy optimális ponthoz fog közelíteni lehetőleg gyorsan, vagy minél gyorsabban talál egy optimális pontot? Csikós B. (ELTE TTK Matematikai Intézet) Diszkrét geometriai problémák Országos Diákkutatói Program, / 9