Tóth Georgina Nóra 1-2. gyakorlat OPERÁCIÓKUTATÁS

Átírás

1 Tóth Georgina Nóra -2. gyakorlat OPERÁCIÓKUTATÁS

2 TÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉS Ipari forradalom hatása a vállalatokra II. világháború Katonai hadműveletek (operációk) Kutatók alkalmazása Lendületes fejlődés Számítástechnika robbanásszerű fejlődése

3 OPERÁCIÓKUTATÁS CÉLJA, JELENTŐSÉGE Forráselosztás Bonyolultsági és szakosodási problémák megoldása Optimalizálási problémák

4 OPERÁCIÓKUTATÁS JELLEGZETESSÉGEI Operációkra (műveletekre) vonatkozó kutatás Vállalaton belüli tevékenységek/műveletek összehangolására alkalmazzák Tudományos megközelítés Vállalattól függetlenül alkalmazható Folyamat modell kialakítása lényeges vonások alapján Optimális megoldás keresése

5 MÓDSZEREK, SZABVÁNYOS ESZKÖZÖK Lineáris programozás Szimple módszer (George Dantzig 947) Dinamikus programozás Sorbanállás elmélete Raktározási problémák elmélete

6 OPERÁCIÓKUTATÁS DEFINICIÓJA A döntéshozás olyan tudományos megközelítéseként írhatjuk le, amely szervezeti rendszerek működésével áll kapcsolatban. operációkra vonatkozó kutatás

7 OPERÁCIÓKUTATÁS DEFINICIÓJA 2. Az operációkutatás a valóságos életből eredő determinisztikus és sztochasztikus rendszerek modellezésével és ezekre vonatkozó döntések meghozatalával foglalkozik.

8 PROBLÉMA MEGFOGALMAZÁSA Gyakorlati életben zavaros problémák Fontos tanulmányozni a rendszert Célok meghatározása Kényszerfeltételek Vizsgálandó és egyéb területek közötti kapcsolatok megadása Lehetséges cselekvéssorok Időkorlátok Cél: a probléma egy jól definiált megfogalmazása!

9 MATEMATIKAI MODELL FELÉPÍTÉSE Probléma átfogalmazása, hogy elemzésre alkalmas legyen Idealizált reprezentációk n összefüggő döntés -> döntési változók, 2,. n A hatékonyságot a döntési változók függvényeként fejezzük ki. CÉLFÜGGVÉNY

10 MATEMATIKAI MODELL FELÉPÍTÉSE Döntési változókra vonatkozó megszorítások KÉNYSZERFELTÉTELEK CÉLFÜGGVÉNY + KÉNYSZERFELTÉTELEK ÁLLANDÓI BEMENETI vagy MODELLPARAMÉTEREK

11 FELADATTÍPUSOK Termékek olyan keverékének meghatározása, amely maimalizálja a hasznot A földterület különböző termények vetésére vonatkozó olyan szétosztása, amely maimalizálja a nettó visszatérülést Szennyeződés kiküszöbölésére irányuló módszerek olyan kombinációja, amelynek segítségével a levegő minőségére vonatkozó szabvány a lehető legkisebb költséggel érhető el

12 A MODELL MEGOLDÁSÁNAK LEVEZETÉSE Cél: a modellből levezetni a probléma egy megoldását Szabványos algoritmusok Programcsomagok Idealizált modell Nem biztos, hogy a megoldás a valós problémánál optimális

13 A MODELL MEGOLDÁSÁNAK LEVEZETÉSE Optimális megoldás -> (Matematikai modell) kielégítő megoldás (VALÓSÁG)

14 A MODELL ÉS A BELŐLE SZÁRMAZÓ MEGOLDÁS KIPRÓBÁLÁSA Modell helyességének ellenőrzése (helytelen interpretáció, rossz bemenő paraméter értékek) Paraméter értékek megváltoztatása a hatás figyelemmel kísérése mellett Visszatekintő ellenőrzés (történeti adatok+rekonstrukció) Jelentős-e a javulás? Hátránya: a múlt hűen reprezentálja a jövőt?

15 A MEGOLDÁSRA VONATKOZÓ ELLENŐRZÉSEK LÉTREHOZÁSA CÉL: A valóság változásainak követése Rendszeres eljárások létrehozása Kritikus paraméterek azonosítása (érzékenység vizsgálat) Paraméterek statisztikailag szignifikáns változásának nyomon követése (folyamat ellenőrzési táblázatok, szabályozó kártyák) Cselekvéssor kiigazítása

16 A MEGOLDÁS MEGVALÓSÍTÁSA ( ÜZEMBE HELYEZÉS ) Kritikus fázis A siker függ a felső vezetés támogatásának mértékétől Támogatás mellett a részvétel is fontos

17 A MEGOLDÁS MEGVALÓSÍTÁSÁNAK LÉPÉSEI ( ÜZEMBE HELYEZÉS ) Bevezetendő megoldás, változtatás ismertetése Felelősség megosztása a bevezetést illetően Érintett munkavállalók oktatása (operatív vezetés) Változtatások elvégzése Szükség esetén módosítás Sikeres megoldás esetén periodikus alkalmazás

18 LINEÁRIS PROGRAMOZÁS

19 LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI MODELL Célfüggvény Korlátozó feltételek LINEÁRIS A modellben szereplő összes függvény lineáris!

20 LINEÁRIS PROGRAMOZÁS LEGGYAKORIBB ALKALMAZÁSA Korlátozottan rendelkezésre álló források optimális elosztása egymással konkuráló célokat szolgáló tevékenységek között Pl.: termelőerők elosztása, nemzeti kincsek elosztása, kötvénycsomagok (portfolio) kiválasztása, logisztikai feladatok, szállítmányozás megszervezése, egészségügy (besugárzási terápia)

21 SZIMPLEX MÓDSZER Hatékony eljárás Lehetővé teszi óriási méretű lineáris programozási feladat megoldását

22 . PÉLDA WYNDOR ÜVEGGYÁRTÓ TÁRSASÁG Gyártott termékek: Üvegajtó Ablak 3 üzemben történik a gyártás:. üzem Alumínium keretek, szerelvények 2. üzem Fakeretek 3. üzem Üveg alkatrészek

23 . PÉLDA WYNDOR ÜVEGGYÁRTÓ TÁRSASÁG Veszteség miatt több termék gyártását beszűntetik Felszabadult kapacitás 2 új termék gyártására fordítják. termék 2m magas alumínium keretes ajtó 2. termék Fakeretes dupla ablak (,5m) Mindkét termék gyártása leköti a 3. sz. üzem bizonyos kapacitását.

24 . PÉLDA WYNDOR ÜVEGGYÁRTÓ TÁRSASÁG Milyen arányban keveredjék ennek a két terméknek a gyártása a legnagyobb profit elérése érdekében?

25 . PÉLDA WYNDOR ÜVEGGYÁRTÓ TÁRSASÁG Operációkutató csoport meghatározta:. Mindkét új termékre nézve a rendelkezésre álló százalékos kapacitást mind a három üzemben 2. Mindkét új termék esetében az egységnyi termék/perc termeléshez szükséges százalékos arányt 3. Egységnyi profitot mindkét termék esetén

26 . PÉLDA WYNDOR ÜVEGGYÁRTÓ TÁRSASÁG Üzem Termék Szabad. termék 2. termék kapacitás Profit/egység 3 5 -

27 . PÉLDA WYNDOR ÜVEGGYÁRTÓ TÁRSASÁG (MATEMATIKAI MODELL MEGFOGALMAZÁSA) Jelölések:, 2. ill. a 2. termék percenként termelt egységeinek száma / döntési változók Z percenkénti profithozzájárulás Célfüggvény: Z= ma Üzem Termék Szabad kapacitá s. termék 2. termék Profit/ egység 3 5 -

28 . PÉLDA WYNDOR ÜVEGGYÁRTÓ TÁRSASÁG (MATEMATIKAI MODELL MEGFOGALMAZÁSA) Megszorítások: Az termék minden percenként megtermelt egysége az,. Üzem % kapacitását venné el a rendelkezésre álló 4-ből Hasonlóan a 2. üzemre: Üzem Termék Szabad kapacitá s. termék 2. termék Profit/ egység 3 5 -

29 . PÉLDA WYNDOR ÜVEGGYÁRTÓ TÁRSASÁG (MATEMATIKAI MODELL MEGFOGALMAZÁSA) Hasonlóan a 3. üzemre: A termelés nem lehet negatív, tehát: Üzem Termék Szabad kapacitá s. termék 2. termék Profit/ egység 3 5 -

30 MATEMATIKAI MODELL MEGFOGALMAZÁSA Feltéve, hogy Z= ma Üzem Termék Szabad. termék 2. termék kapacitá s Profit/ egység 3 5 -

31 MEGOLDÁSOK KERESÉSE Célfüggvény Z= Lehetséges megoldások halmaza 4 6

32 LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI MODELL ÁLTALÁNOSAN Jelölések: m db korlátozott forrás (, 2,,m) n db egymással konkuráló tevékenység (,2,,n) Döntési változó j (j=,2, n) Z együttes eredményesség megválasztott mértéke C j Z azon növekedése, amely j egységnyi növelése okozna (j=,2, n) b i i. forrásból rendelkezésre álló mennyiség (i=,2, n) a ij - i-ik forrásnak az egységnyi j-ik tevékenység által felhasznált mennyisége(i=,2, m)(j=,2, n)

33 LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI MODELL ADATAI Forrás Tevékenység Szabad forráskapacitás 2.. n a a 2.. a n b 2 a 2 a 22. a 2n b m a m a m 2 a mn b m ΔZ/egységnyi tevékenység Tevékenység szintje c c 2. c n 2 n

34 A MODELL EGY STANDARD ALAKJA 0, 0,..., 0, és b a... a a b a... a a b a... a a feltéve,hogy ma c... c c Z n 2 m n mn 2 m2 m 2 n 2n n n 2 2 n n 2 2 Célfüggvény Megszorításo k/ funkcionális feltételek Nemnegatívitási feltételek

35 SZIMPLEX MÓDSZER Kezdő lépés Iteratív lépés Optimalitási vizsgálat Nem Elértük a kívánt eredményt? Igen STOP

36 SZIMPLEX MÓDSZER Lehetséges csúcspontmegoldások tulajdonságai: a) ha pontosan egy optimális megoldás létezik, akkor az szükségszerűen egy lehetséges csúcspontmegoldás b) ha egyszerre több optimális megoldás létezik, akkor kell lennie közöttük legalább két szomszédos lehetséges csúcspontmegoldásnak A lehetséges csúcspontmegoldások véges sokan vannak. Ha egy csúcspontmegoldás legalább olyan jó Z szempontjából mint a szomszédos lehetséges csúcspontmegoldások, akkor legalább olyan jó vagy jobb, mint az összes többi lehetséges csúcspontmegoldás, azaz optimális megoldás.

37 MEGOLDÁSOK KERESÉSE 2 Üzem Termék Szabad kapacitá s. termék 2. termék Profit/ egység Célfüggvény Z= Lehetséges megoldások halmaza 4 6

38 LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ELŐFELTÉTELEI Arányosság Külön-külön minden egyes tevékenységre N db tevékenységből válasszunk egyet (k.) j =0, minden j=,2,..,n esetén és (j k) () Z kifejezhető c k k módon (2) i-ik forrás felhasználása a ik k Mindkét mennyiség arányos a k. tevékenység szintjével (minden k=,2,.,n esetén)

39 LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ELŐFELTÉTELEI Additivitás Összes tevékenységre együtt vizsgáljuk Lehetséges kölcsönhatások vizsgálata Követelmény: Bármely, 2,., n ) tevékenységi szintek mellett mind a hatékonyság mértéke (Z), mind a források teljes felhasználása a megfelelő mennyiségek összegeként legyen kifejezhető (ne legyenek kevert tagok!)

40 LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ELŐFELTÉTELEI Oszthatóság Valóságban a döntési változók értéke bizonyos esetekben csak egész értéket vehetnek fel. Sokszor az optimális eredményhez kapott számok nem egész értékek. Oszthatósági szabály: a tevékenységek egységei bármilyen arányban oszthatók, a döntési változók pedig tört értékeket is felvehetnek.

41 LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ELŐFELTÉTELEI Bizonyosság Az összes paraméter (a ij, b i, c j ) mind ismert konstansok. Valós problémák esetében ritka Érzékenységi vizsgálat

42 TOVÁBBI PÉLDA LÉGSZENNYEZÉS- SZABÁLYOZÁS Nori&Leets Társaság Steeltown Légszennyezési probléma megoldása Legjelentősebb légszennyező anyagok Szennyező Éves kibocsájtás előírt csökkentése (millió pound) Por 60 Kéndioidok 50 Szénhidrogének 25

43 LÉGSZENNYEZÉS-SZABÁLYOZÁS (PÉLDA) 2 okozója a légszennyezésnek:. Olvasztókemencék 2. Nyílt-tüzelésű kohók Légszennyezés csökkentéséhez lehetőségek: () Kémények magasságának megnövelése (kétséges) (2) Szűrő (gázcsapdák) a kéményekben (3) Különböző hatásfokú tisztító anyagok keverése a kohók üzemanyagaihoz

44 LÉGSZENNYEZÉS-SZABÁLYOZÁS (PÉLDA) Magasabb kémények Nyílttüzelésű kohó Szűrők Nyílttüzelésű kohó Jobb tüzelőanyagok Olvasztókemence Olvasztókemence Olvasztókemence Nyílttüzelésű kohó Por Kéndioid Szénhidrogé n táblázat Az egyes módszerek korlátai A fenti megoldások az előző táblázatba foglalt határig bármilyen kapacitással alkalmazhatók. Együttes alkalmazása lehetséges.

45 LÉGSZENNYEZÉS-SZABÁLYOZÁS (PÉLDA) Módszer Olvasztókemence Nyílt-tüzelésű kohó Magasabb kémények 8 0 Szűrők 7 6 Jobb tüzelőanyagok 9 3. táblázat Az egyes módszerek éves költségei teljes kihasználtság mellett (millió $)

46 LÉGSZENNYEZÉS-SZABÁLYOZÁS (PÉLDA) Mikor az adatokat megvizsgálták, világossá vált, önmagában egyik módszer sem elegendő. Mindhárom módszer teljes kapacitásának bevetése, több mint elfogadható eredménnyel járna. (Nagyon magas költségek mellett.) Kombinációkat kell vizsgálni.

47 LÉGSZENNYEZÉS-SZABÁLYOZÁS (PÉLDA) Módszer Olvasztókemence Nyílt-tüzelésű kohó Magasabb kémény 2 Szűrő 3 4 Jobb tüzelőanyag 5 6 Döntési változók

48 LÉGSZENNYEZÉS-SZABÁLYOZÁS (PÉLDA) Hat döntési változó: j (j=,2,,6) Matematikai modell: Min Z= Szennyezés csökkentése:

49 LÉGSZENNYEZÉS-SZABÁLYOZÁS (PÉLDA) 2. Technológia: j minden (j=,2,,6) esetén 3. Nemnegatívitás: j 0 minden (j=,2,,6) esetén

50 LÉGSZENNYEZÉS-SZABÁLYOZÁS (PÉLDA) Módszer Olvasztókemence Nyílt-tüzelésű kohó Magasabb kémény 2 Szűrő 3 4 Jobb tüzelőanyag 5 6 Döntési változók Megoldás: (, 2, 3, 4, 5, 6 )= (, 0.623, 0.343,, 0.048, ) Érzékenységi vizsgálatot végeztek, majd a programot megvalósították.

51 SZÁLLÍTÁSI FELADAT Speciális lineáris programozási feladat Gyakori valós problémák Nagyszámú feltétel Sok döntési változó Sok 0 van a változók között (a ij többsége) Speciális szerkezet

52 SZÁLLÍTÁSI FELADAT Feltételek és együttható táblázata/mátria A= mn m m n n a a a a a a a a a

53 SZÁLLÍTÁSI FELADAT Nem nulla együtthatók kitűntetett helyen szerepelnek Számítási megtakarítás

54 SZÁLLÍTÁSI FELADAT MINTAPÉLDA Borsókonzerv A termelés 3 konzervgyárban folyik szállítás tehervonattal 4 értékesítő helyre Fő kiadás a szállítási költség Cél: szállítási költség csökkentése

55 SZÁLLÍTÁSI FELADAT MINTAPÉLDA Megbecsülték: A következő szezonra várható termelést Kihelyezés mennyiségét az adott árukból Egy tehervagonra eső szállítási költségét

56 Konzervgyár A P&T TÁRSASÁG SZÁLLÍTÁSI ADATAI Áruház Terme -lés Kihelyezés

57 SZÁLLÍTÁSI FELADAT MINTAPÉLDA Z a teljes szállítási költség X ij (i=,2,3 ; j=,2,3,4 ) az i-ik konzervgyárból a j-ik áruházba szállítandó Célfüggvény: Z Z min

58 SZÁLLÍTÁSI FELADAT MINTAPÉLDA Feltételek: Konzervgyár feltételei = = = = = =70 =85 Az áruház feltételei

59 SZÁLLÍTÁSI FELADAT MINTAPÉLDA Feltételek: ij 0, (i=,2,3; j=,2,3,4)

60 SZÁLLÍTÁSI FELADAT MINTAPÉLDA A

61 SZÁLLÍTÁSI FELADAT MINTAPÉLDA A feladat optimális megoldása: 0, 20, 0, , 45, 0, , 0, 70,

62 SZÁLLÍTÁSI FELADAT MODELLJE TERMINOLÓGIA Mintapélda Egy vagon borsókonzerv Három konzervgyár Négy áruház Az i-ik konzervgyár termelése A j-ik áruháznak történő juttatás Vagononkénti szállítási költség az i-ik konzervgyárból a j-ik áruházba Általános feladat Egységnyi áru m tárolóhely n felvevőhely s i, az i-ik tárolóhely készlete d j, a j-ik felvevőhely kereslete c ij, egységnyi áru szállítási költsége az i-ik tárolóhelyről a j-ik felvevőhelyre

63 SZÁLLÍTÁSI FELADAT MODELLJE Z-a teljes szállítási költség ij az i-ik tárolóhelyről a j-ik felvevőhelyre szállítandó egységek mennyisége Z m n i j c ij ij, feltéve, hogy n j ij s i, i,2,... m, m i ij d j, j,2,... n, és ij 0 minden i - re és j- re

64 Tárolóhely SZÁLLÍTÁSI FELADAT MODELLJE Felvevőhely 2 n Készle t c c 2 c n S 2.. m.. c m c m2 c mn s m.. Kereslet d d 2 d n

65 SZÁLLÍTÁSI FELADAT MODELLJE mn m m m n n A

66 SZÁLLÍTÁSI FELADAT MODELLJE Csak akkor létezik megengedett megoldása a modellnek ha m i s i n j d j A feltételek megkövetelik, hogy m i s i és n j d j egyenlő m n i j ij

67 OPERÁCIÓKUTATÁS OPTIMALIZÁLÁSI FELADATOK A matematikai (számoló) modell elkészítése Paraméterek elhelyezése Feltételezett megoldás(ok) elhelyezése Számoló cellák elkészítése (Kívánt értékek elhelyezése) Solver Megoldáskereső használata Paraméterek megadása Célcella megadása Ma, Min, vagy konkrét érték Változó cellák megadása Korlátozó feltételek Az eredmény, - ha van, - értékelése, magyarázata

68 A SOLVER HASZNÁLATA a megoldás menete, a modellek kialakítása és leképzése lineáris egyenletrendszerek megoldása egyszerű optimalizálási probléma megoldása