Információ- és kódelmélet

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Információ- és kódelmélet"

Átírás

1 Információ- és kódelmélet Györfi László Győri Sándor Vajda István november 29.

2 Tartalomjegyzék Előszó 7. Változó szóhosszúságú forráskódolás 9.. Egyértelmű dekódolhatóság, prefix kódok Átlagos kódszóhossz, entrópia Optimális kódok, bináris Huffman-kód Aritmetikai kódolás Az entrópia néhány tulajdonsága Információforrások változó szóhosszúságú kódolása Markov-forrás és entrópiája Univerzális forráskódolás Feladatok Forráskódolás hűségkritériummal Forráskódolás előírt hibavalószínűséggel Kvantálás Lineáris szűrés Mintavételezés Transzformációs kódolás Prediktív kódolás (DPCM) Lineáris becslés Beszédtömörítés Hangtömörítés Kép- és videotömörítés Forráskódolás betűnkénti hűségkritériummal Feladatok Csatornakódolás Bayes-döntés

3 6 TARTALOMJEGYZÉK 3.2. Optimális detektálás analóg csatorna kimenetén Csatorna, csatornakapacitás Csatornakódolási tétel Feladatok Hibajavító kódolás Kódolási alapfogalmak Bináris lineáris kódok, bináris Hamming-kód Véges test Lineáris kódok, nembináris Hamming-kód Véges test feletti polinomok Reed Solomon-kód Aritmetika GF(p m )-ben Ciklikus kódok BCH-kód Kódkombinációk Kódmódosítások Reed Solomon-kódok dekódolása Reed Solomon-kódok spektrális tulajdonságai A konvolúciós kódolás alapfogalmai A konvolúciós kódok Viterbi-dekódolása A Viterbi-dekódolás bithibaaránya DMC-n Rekurzív konvolúciós kódolás Turbó kódok CDMA Feladatok Kriptográfia Alapfogalmak A konvencionális titkosítók analízise Nyilvános kulcsú titkosítás RSA-algoritmus Kriptográfiai protokollok Feladatok Irodalomjegyzék 365 Tárgymutató 369

4 Előszó Az információelmélet a hírközlés matematikai elmélete. Születését lényegében Claude Shannon [43] művének 948-as megjelenéséhez köthetjük. Ez a munka volt az első, amely matematikai alapossággal tárgyalta az adattömörítés, a biztonságos adatátvitel és a titkosítás problémáit. Shannon adott először kezelhető és hasznos matematikai modelleket az információs folyamatok leírására, mégpedig úgy, hogy az egyes problémák esetén tisztázta az elvi határokat, és többségében meg is konstruálta azokat a módszereket, amelyek ezeket az elvi határokat aszimptotikusan elérik. Ugyanakkor napjainkban tömegesen terjedtek el az egyes adattömörítő és hibakorlátozó eljárások, tehát indokolt, hogy ezek alapvető elveit is áttekintsük. Az. fejezetben ismertetjük a veszteségmentes adattömörítést, míg a 2. fejezetben a veszteséget (torzítást) megengedő adattömörítő (forráskódoló) eljárásokat tárgyaljuk. A 3. fejezet témája a csatornakódolás. A forráskódolás elméletével ellentétben a csatornakódolás eredményei nem konstruktívak, tehát ma még nem ismertek olyan kódolási dekódolási eljárások, amelyek tetszőleges csatorna esetén a csatornakapacitást megközelítenék. Ugyanakkor ismertek olyan algebrai hibavédő kódok, amelyek számos gyakorlati probléma megoldását segítik. A 80-as évektől alkalmazzák polgári célokra is a hibavédő kódokat, napjainkban a CD-ben használt Reed Solomon-kód szinte minden háztartásban megtalálható. A 4. fejezet összefoglalja a hibajavító kódok alapjait. Az 5. fejezet témája a nyilvános kulcsú titkosítás, tehát az a probléma, hogy nyilvános hálózaton hogyan biztosítható az adat- illetve hozzáférésvédelem. Ez a tankönyv a Linder Lugosi [25] és a Györfi Vajda [22] jegyzet uniójának a kiegészítése azon tapasztalatok felhasználásával, amelyeket a BME műszaki informatikusoknak tartott Információelmélet és Kódelmélet tárgyak oktatása során szereztünk az elmúlt 0 évben.

5 8 ELŐSZÓ A mű elkészítésében nyújtott segítségükért szeretnénk köszönetet mondani György Andrásnak, Laczay Bálintnak, Linder Tamásnak, Lois Lászlónak, Lugosi Gábornak, Pataricza Andrásnak és Pintér Mártának. Budapest, augusztus 22. Györfi László Győri Sándor Vajda István

6 . fejezet Változó szóhosszúságú forráskódolás Ebben a fejezetben bevezetjük a veszteségmentes adattömörítés fogalmát. Ennek célja az, hogy egy üzenetet, amely egy véges halmaz (forrásábécé) elemeiből álló véges sorozat, egy másik véges halmaz (kódábécé) elemeiből álló sorozattal reprezentáljunk úgy, hogy ez a reprezentálás a lehető legrövidebb (és belőle az üzenet visszaállítható) legyen. Ennek megfelelően azt vizsgáljuk, hogy az adattömörítésnek melyek az elvi határai, és ezeket a határokat hogyan közelíthetjük meg. A legismertebb példa erre az, amikor a kódábécé a0halmaz, és egy üzenetet (pl. írott szöveg, fájl) bináris sorozatok formájában kódolunk tárolás, illetve átvitel céljából. Az üzenetet kibocsátó objektum az információforrás modellezésével és vizsgálatával az.6. szakasz foglalkozik (mivel valószínűségi modelleket használunk, ezért az üzenetek betűi valószínűségi változók lesznek). Célunk az, hogy az ehhez szükséges matematikai apparátust bevezessük. Megismerkedünk az üzenetek egy természetesen adódó kritérium szerinti kódolásával az egyértelműen dekódolható kódolással, mely később vizsgálataink középpontjában áll majd. Bevezetjük a diszkrét valószínűségi változó entrópiáját, és megmutatjuk, hogy az entrópia milyen alapvető szerepet játszik a kódolással kapcsolatban. Az elkövetkezőkben mindig azt tartjuk szem előtt, hogy az üzenetek kódja minél rövidebb legyen, ezért a kódok általunk vizsgált fő tulajdonsága a átlagos kódszóhossz lesz. A fejezetet az univerzális forráskódolással és annak gyakorlati alkalmazásaival zárjuk. A hírközlési rendszerek működését egzakt matematikai eszközökkel fogjuk vizsgálni. Persze sokféle matematikai modellt állíthatunk hírközlési feladatokra, de kezdetben az egyik legegyszerűbbet választva jól kifejezhetjük a probléma lényegét. A hírközlés alapfeladata az, hogy valamely jelsorozatot ( információt )

7 0. VÁLTOZÓ SZÓHOSSZÚSÁGÚ FORRÁSKÓDOLÁS forrás ¹kódoló ¹csatorna ¹dekódoló ¹nyelő ¹kódoló ¹dekódoló ¹.. ¹ ábra. Hírközlési rendszer blokkdiagramja. ¹ ¹forráskódoló ¹titkosító ¹csatornakódoló ¹ ¹ ¹ ¹csatornadekódolfejtő vissza- forrásdekódoló.2. ábra. A kódoló és a dekódoló felépítése. el kell juttatni egyik helyről a másikra. A távolságot (vagy időt) áthidaló hírközlési eszköz a csatorna azonban csak meghatározott típusú jeleket képes átvinni. Az információforrás által produkált jelfolyamot kódolással meg kell feleltetni egy, a csatorna által használt jelekből álló jelfolyamnak. A felhasználó (nyelő) a csatorna kimenetén pontosan, vagy megközelítőleg visszaállítja, dekódolja az üzenetet. Egy ilyen rendszer blokkdiagrammja látható az.. ábrán. A kódoló általános esetben három részből áll. Az első a forráskódoló, amely a forrás üzeneteit gazdaságosan, tömören reprezentálja. Ezzel foglalkozik az első két fejezet. A második rész a titkosító (5. fejezet), és a harmadik a csatornakódoló (3. és 4. fejezet). Ennek megfelelően a dekódoló is három részből áll: csatornadekódoló, visszafejtő és forrásdekódoló (.2. ábra)... Egyértelmű dekódolhatóság, prefix kódok Jelöljön X egy diszkrét valószínűségi változót, amely azx x 2x nvéges halmazból veszi értékeit. Azhalmazt a továbbiakban forrásábécének, elemeit pedig betűknek nevezzük. jelöljön egy s eleműy y 2y shalmazt. Ezt kódábécének nevezzük. jelölje azelemeiből álló véges sorozatok halmazát. elemeit kódszavaknak nevezzük. Egy f : függvényt, amely megfeleltetést létesít a forrásábécé és a kódszavak között, kódnak nevezünk. Azelemeiből alkotott véges sorozatok az üzenetek vagy közlemények (értékeiket az halmazból veszik). Amennyiben az f kód értékkészlete különböző hosszú kódszavakból áll, úgy változó szóhosszúságú kódolásról beszélünk.

8 .. EGYÉRTELMŰ DEKÓDOLHATÓSÁG, PREFIX KÓDOK u¾.. definíció. Az f : kód egyértelműen dekódolható, ha minden véges kódbetűsorozat legfeljebb egy közlemény kódolásával állhat elő, azaz ha kµ v¾, uu u 2u kvv v 2v muv, akkor f u µf u 2µf u f v µf v 2µf v mµ. (Itt az f uµf u¼µakét kódszó egymás után írását [konkatenáció] jelenti.) MEGJEGYZÉS: a) Az egyértelmű dekódolhatóság több, mint az invertálhatóság. Ugyanis legyenabc0és f aµ0f bµf cµ0. Ekkor az f : leképezés invertálható, viszont a 0 kódszót dekódolhatjuk f aµf bµ0 szerint ab-nek, vagy f cµ0 szerint c-nek is. b) Az előbbi definícióban szereplő kódolási eljárást, amikor egy közlemény kódját az egyes forrásbetűkhöz rendelt kódszavak sorrendben egymás után írásával kapjuk, betűnkénti kódolásnak nevezzük. Természetesen a kódolást teljesen általánosan egy g : függvénnyel is definiálhatnánk, de később látni fogjuk, hogy a betűnkénti kódolás és annak természetes kiterjesztése, a blokk-kódolás elegendő számunkra..2. definíció. Az f kód prefix, ha a lehetséges kódszavak közül egyik sem folytatása a másiknak, vagyis bármely kódszó végéből bármekkora szegmenst levágva nem kapunk egy másik kódszót. Egy prefix kód egyben egyértelműen dekódolható is. f aµ0f bµ Az eddig bevezetett fogalmak illusztrálására nézzük a következő példákat:.. példa.abc;0akód legyen a következő: 0f cµ0könnyen ellenőrizhető, hogy a kód prefix. Ha az abccab üzenetet kódoljuk, akkor a kódbetűsorozatot kapjuk. A kódból az üzenet visszafejtése nagyon egyszerű a prefix tulajdonság miatt; többek között ez a gyors dekódolási lehetőség teszi vonzóvá a prefix kódokat..2. példa.abcd;0; f aµ0f bµ0f cµ0f dµ 0Jól látható, hogy a kód nem prefix, de egyértelműen dekódolható, hiszen a 0 karakter egy új kódszó kezdetét jelzi... lemma (McMillan). Minden egyértelműen iµ dekódolható f : kódra n s f x (.) i ahol s a kódábécé elemszáma, ésf x iµjelöli az f x iµkódszóhosszát.

9 2. VÁLTOZÓ SZÓHOSSZÚSÁGÚ FORRÁSKÓDOLÁS BIZONYÍTÁS: Tekintsük az (.) összeg N-edik hatványát: n s i iµn n f x i n s f x i N iµ f x inµµn Lmax l A l s l ahol L maxmax inf x iµés A l jelöli az összes l hosszúságú, N darab kódszó egymás után írásával keletkező kódbetűsorozatok l számát. Mivel feltevésünk szerint f egyértelműen dekódolható, az összes ilyen l hosszú sorozat különböző, tehát A ls Ebből azt kapjuk, hogy n s i max f x iµnn L vagyis n i s max f x iµnôn NÔL (.2) Mivel N tetszőleges, és tudjuk, hogy NÔNNÔL max, ha N, ezért (.2) csak úgy állhat fenn minden N-re, ha (.) igaz. A következő lemma bizonyos értelemben az előző megfordítása..2. lemma (Kraft). Ha az l l 2l n pozitív i egész számokra n l s (.3) i akkor létezik olyan f prefix kód, hogy i in f x iµl BIZONYÍTÁS: Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy az l i számok nagyság szerint növekvő sorrendben vannak: l l 2 l n. A bizonyítás technikája megkívánja, hogy a kódábécéy y 2y selemeit a0s számokkal helyettesítsük (például a következő megfeleltetés szerint: y ii is). Definiáljuk a w j számokat 0 a következőképpen: i j2n w w jj s l j l i

10 .2. ÁTLAGOS KÓDSZÓHOSSZ, ENTRÓPIA 3 (.3) mindkét oldalát s l n -nel szorozva, majd mindkét oldalból -et levonva kapjuk, hogy w nn s l n l is l n i Hasonlóképp eljárva azt kapjuk minden j-re, hogy w jsl j. Ezek után definiáljuk f x jµ-t mint a w j szám s alapú számrendszerben felírt alakját, amelynek elejére annyi 0-t írunk, hogy a hossza l j legyen. A kódszavak nyilván különbözők lesznek mivel w jw k, ha jk. Most belátjuk, hogy az így kapott kód prefix. Tegyük fel ugyanis ennek az ellenkezőjét, vagyis azt, hogy valamilyen jk esetén f x jµvégéhez l k l j darab számjegyet hozzáadva megkapjuk f x kµ-t. Ekkor w jw k s l k l jkövetkezne. (Azxjelölés az x valós szám alsó egész részét jelöli). Viszont j w k s l k l jk s l j l iw j k s l j l iw ij i és így ellentmondásra jutottunk... következmény. Az.. és.2. lemmákat összevetve levonhatjuk azt a fontos következtetést, hogy minden egyértelműen dekódolható kódhoz létezik vele ekvivalens (azonos kódszóhosszú) prefix kód, tehát nem vesztünk semmit, ha az egyértelmű dekódolhatóság helyett a speciálisabb, és ezért könnyebben kezelhető prefix tulajdonságot követeljük meg..2. Átlagos kódszóhossz, entrópia Legyen X egyértékű valószínűségi p xµpxx változó, amit x¾ kódolni akarunk. Vezessük be a következő p :0 függvényt: A p xµfüggvény tehát az x forrásbetűhöz annak valószínűségét rendeli. H XµE p Xµµ.3. definíció. Az X valószínűségi változó entrópiáját, H Xµ-et, a n log összeggel definiáljuk. i p x iµlog p x iµ

11 4. VÁLTOZÓ SZÓHOSSZÚSÁGÚ FORRÁSKÓDOLÁS MEGJEGYZÉS: a) A log z jelölés a z pozitív szám kettes alapú logaritmusát jelenti. Mivel az.3. definíció megkívánja, a logaritmusfüggvénnyel kapcsolatban b a következő számolási szabályokat vezetjük be (a0b0): 0log a0log 0 a blog 00; 0 ; b blog 0 (E szabályok az adott pontban nem értelmezett függvények folytonos kiterjesztései.) A definícióból közvetlenül látszik, hogy az entrópia nemnegatív. Vegyük észre, hogy az entrópia értéke valójában nem függ az X valószínűségi változó értékeitől, csak az eloszlásától. b) Az entrópia intuitív fogalmával kapcsolatban lásd az.6. tétel utáni megjegyzést..4. definíció. Egy f kód átlagos kódszóhosszán az iµ Ef Xµn p x iµf x i várható értéket értjük..3. példa. H Xµ Az.. példa kódja esetén legyen p aµ05p bµ03p cµ02, ekkor az entrópia 05 log05 03 log03 02 log02485 Ef Xµ az átlagos kódszóhossz pedig Ahhoz, hogy az egyértelműen dekódolható kódok átlagos kódszóhossza és entrópiája közti alapvető összefüggést bebizonyítsuk (ami tulajdonképpen e fejezet fő állítása), szükségünk van két segédtételre:.. tétel (Jensen-egyenlőtlenség). Legyen h egy valós, konvex függvény azab zárt intervallumon, azaz minden xy¾ab és 0λ esetén h λx λµyµλh xµ λµh yµ (.4) és legyen Z egy valószínűségi változó, amely értékeit azab intervallumban veszi fel. Ekkor he Zµ Eh Zµ (.5)

12 .2. ÁTLAGOS KÓDSZÓHOSSZ, ENTRÓPIA 5 Továbbá, ha h az E Zµpontban szigorúan konvex, vagyis az (.4)-ben λx λµye Zµesetén határozott PZE Zµ egyenlőtlenség teljesülxy-ra, akkor (.5)- ben egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha vagyis ha Z -valószínűséggel konstans. BIZONYÍTÁS: Mivel h konvex, ezért az abµnyílt intervallum minden pontjában létezik a jobb és a bal oldali deriváltja és a bal oldali derivált legfeljebb akkora mint a jobb oldali. Továbbá az is igaz, hogy ezekkel a deriváltakkal mint meredekségekkel húzott félérintők a függvénygörbe alatt fekszenekab -ben. Jelölje c a jobb oldali deriváltat az E Zµpontban, és írjuk fel itt a jobb oldali félérintő egyenletét: g xµcx E Zµ he Zµ Ekkor az előbbiek szerint h xµg xµbármely x¾ab pontra, vagyis Tehát írhatjuk,hogy E Zµ he Zµ h xµcx E Zµ he Zµ (.6) h ZµcZ ahol mindkét oldal várható értékét véve megkapjuk az első állítást. Mivel szigorúan konvex esetben (.6)-ban egyenlőség csak xe Zµesetben teljesül, a második állítás triviálisan adódik..2. következmény. a) Ha p i0q i0i2n valós n p i i akkor i n p i log p i számokra i n és q n i i p i logq i (.7) és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha p iq i minden i-re. b) Ha a i0b i0i2n valós számokra ib n n a ia és b i i

13 6. VÁLTOZÓ SZÓHOSSZÚSÁGÚ FORRÁSKÓDOLÁS a akkor n a i log b i b a ia log i és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha b i a ikonstans minden i-re. BIZONYÍTÁS: a) (.7) ekvivalens azzal, hogy h xµ Mivel a logx függvény szigorúan konvex az értelmezési tartományán (a második deriváltja pozitív), így felhasználhatjuk a Jensen-egyenlőtlenséget a következőképpen: Legyen Y egy olyan valószínűségi változó, i in hogy p Ekkor a Jensen-egyenlőtlenség szerint ie n p i log q i i p PYq i p i logyµ i0 n p i log q i i p loge Yµ log n i p i q i p i0 és egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha q i p ikonstans minden i-re, de ekkor az összegekre vonatkozó feltételek miatt p iq i minden i-re. b) Ha a0, akkora i0, s ekkor az állítás számolási szabályaink felhasználásával minden b0-ra teljesül. Ha a0, akkor az a) ia0 pont szerint a log b ib a an i a i log b i a i n ia i log b a tehát a zárójelben levő kifejezésre n i n a i i a0 a i log b n i a i a i log b i Szintén az a) pont szerint az egyenlőség feltétele az a i a bkonstans minden i-re. ab i i b, vagyis az a i b

14 .2. ÁTLAGOS KÓDSZÓHOSSZ, ENTRÓPIA 7 Most kimondjuk a fejezet egyik főtételét..2. tétel. Tetszőleges egyértelműen dekódolható iµh Xµ f : kódra (.8) logs H Xµ MEGJEGYZÉS: Ha az entrópia definíciójában kettes alapú logaritmus helyett s- alapú logaritmust használnánk, akkor ezt az entrópiát H s Xµ-szel jelölve logs H s Xµmiatt (.8) a következő alakú lenne: s Xµ Ef XµH H Xµ BIZONYÍTÁS: Az (.8) állítás ekvivalens a következővel: iµ n p x iµlogs f x i A Jensen-egyenlőtlenség iµ.2. a) következményét i iµ jµ alkalmazva a s f x p ip x q in; n s f x j H Xµ szereposztásban megkapjuk az állítást: n iµ jµ p x s f x iµlog i f x n n n Ef Xµn p x iµf x i i p x iµlog p x iµ p x iµlogs i i p x iµlogs n s j f x iµ logn is f x iµ iµ f x ahol az utolsó egyenlőtlenségnél az.. lemmát, a McMillan-egyenlőtlenséget használtuk fel. H Xµ Miután láttuk, hogy egy X valószínűségi változó egyértelműen dekódolható kódjának átlagos kódszóhosszára a logs mennyiség alsó korlátot ad, most megmutatjuk, hogy prefix kóddal ezt a korlátot jól meg lehet közelíteni.

15 8. VÁLTOZÓ SZÓHOSSZÚSÁGÚ FORRÁSKÓDOLÁS Ef XµH Xµ.3. tétel. Létezik olyan f : prefix kód, amelyre logs 2µ. BIZONYÍTÁS: (Shannon Fano-kód) Feltehetjük, hogy p x µp x p x n µp x nµ0, mert különben azelemeinek átindexelésével elérhetjük ezt. A bizonyítás technikája miatt ismét felhasználjuk az y ii is megfeleltetést. Legyenek 0 a w i számok a következők: i2n w w lµ ii p x l Kezdjük a w i számokat felírni s-alapú számrendszerbeli tört alakban. A w j -hez tartozó törtet olyan pontosságig írjuk le, ahol az először különbözik az összes többi w i, ij szám hasonló alakbeli felírásától. Miután ily módon n darab véges hosszú törtet kapunk, az f x jµlegyen a w j -hez tartozó tört az egészeket reprezentáló nulla nélkül. Könnyedén belátható, hogy az így kapott kód prefix. A konstrukció jµ miatt x j -hez létezik olyan x k, hogy w j és w k végtelen tört alakjában az elsőf x számjegy azonos. Nyilvánvaló, hogy vagy w j vagy w j tört alakja ilyen lesz, mivel ezek a w j -hez legközelebbi számok. jµ Az első esetben f x (.9) a második esetben jµ p x j µw j w j s f x de ekkor p x jµp x j µmiatt (.9) megint jµ következik. Tehát mindkét esetben log p x µlogs jµ f x amiből mindkét oldalt p x jµ-vel szorozva és minden j-re összegezve p x jµw j w js n j p x jµlog p x jµ n jµ p x jµf x logs j következik, így a tételt bebizonyítottuk. 2. BIZONYÍTÁS: Legyenek az i l i pozitív egész iµ számok olyanok, hogy log s p x iµl log s p x in (.0)

16 .2. ÁTLAGOS KÓDSZÓHOSSZ, ENTRÓPIA 9 ahol log s az s-alapú logaritmust jelöli. Az l i számokat nyilván egyértelműen meg lehet így választani. A bal oldali egyenlőtlenségből következik, hogy n l in iµn is is log s p x p x iµ i tehát az l i számok kielégítik az.2. lemma feltételét, és így létezik f prefix kód l i hosszú kódszavakkal f x iµl iµ. Ha a jobb oldali egyenlőtlenséget (.0)-ben p x iµ-vel megszorozzuk i és minden i-re összegezzük, akkor iµh Xµ azt kapjuk, hogy n p x logs n i p x iµ l iµ n p x iµlog s p x i i Az.. definíció utáni megjegyzés b) pontjában említettük, hogy a betűnkénti kódolásnak van egy természetes általánosítása, a blokk-kódolás. Ezt formálisan egy f :m leképezéssel definiálhatjuk, ahol tehát a forrásábécé betűiből alkotott rendezett m-eseket tekintjük forrásszimbólumoknak és ezeknek feleltetünk meg kódszavakat. A helyzet tulajdonképpen nem változik a betűnkénti kódolás esetéhez képest, hiszen egy újforrásábécét definiálhatunk azm jelöléssel, és az eddig elmondottak mind érvényben maradnak. Az egyértelmű dekódolhatóság definíciója ugyanaz marad, mint a betűnkénti kódolás esetében, az előbbieket szem előtt tartva. Legyen X X X mµegy valószínűségi vektorváltozó, melynek koordinátái az-ből veszik értékeiket. Az entrópia.3. definíciójából jól látszik, hogy az csakis az eloszlástól függ. Mivel X is csak véges sok különböző értéket vehet fel, az.3. definíciót közvetlenül alkalmazhatjuk. Az X entrópiája tehát a m m¾ mx x x p xµp x H Xµ x mµpx x X ¾ x¾m m¾p x x x p xµ jelölést bevezetve a következő: p xµlog mµ x mµlog p x x Az X X X mµentrópiájára a H Xµjelölés mellett, ahol ez a célszerűbb, gyakran a H X X mµjelölést fogjuk használni. Ha az X X 2X m valószínűségi változók függetlenek, p xµ akkor H Xµa koordináta valószínűségi változók entrópiáinak összege: p xµlog H Xµ x¾m

17 x ¾ 20. VÁLTOZÓ SZÓHOSSZÚSÁGÚ FORRÁSKÓDOLÁS mµ m¾p x µ p m x mµlog p x µ p m x x µ mµ ¾p x µlog p x m¾p m x mµlog p m x x x m (.) ih X iµ ix ahol p i xµpx im. Ha az X X m valószínűségi változók nemcsak függetlenek, hanem azonos eloszlásúak is, akkor (.)-ből (.2) µ H X X mµmh X következik. A betűnkénti átlagos kódszóhossz definíciója értelemszerűen módosul a blokkkódolás esetében: a kódszóhossz várható értékét el kell osztani az egy blokkot alkotó forrásbetűk számával, vagyis a betűnkénti átlagos kódszóhosszon a következő mennyiséget p xµf xµ értjük: Ef Xµ m m x¾m Ef XµH Xµ Értelemszerűen az.2. tétel állítása blokk-kódolás esetén is igaz: logs hiszen a tétel bizonyítása közvetlenül itt is alkalmazható. Az.3. tétel következményeként megmutatjuk, hogy blokk-kódolás segítségével a betűnkénti átlagos kódszóhossz alsó korlátja tetszőlegesen közelíthető..3. következmény. Ha X X m Ef XµH Xµ független, X-szel azonos eloszlású valószínűségi változók, akkor létezik olyan f :m prefix m kód, hogy m logs tehát a betűnkénti átlagos kódszóhossz az m blokkhossz növelésével tetszőlegesen alsó korlátot. közelíti a H Xµ logs

18 .3. OPTIMÁLIS KÓDOK, BINÁRIS HUFFMAN-KÓD 2 p xµf xµh Xµ BIZONYÍTÁS: Az.3. tételt felhasználva létezik olyan f :m prefix kód, hogy logs x¾m Ebből (.2) miatt következik x¾m ahol mindkét oldalt m-mel osztva megkapjuk az állítást. p xµf xµmh Xµ logs.3. Optimális kódok, bináris Huffman-kód Az.2. tétel alsó korlátot ad az egyértelműen dekódolható kódok átlagos kódszóhosszára, az.3. tétel pedig mutat egy olyan kódkonstrukciót, ahol ezt a korlátot jól megközelíthetjük. A jó kód konstrukciójának problémáját persze ennél általánosabban is felvethetjük: konstruáljuk meg az optimális, azaz legkisebb átlagos kódszóhosszú kódot, ha adott az H Xµ X valószínűségi változó eloszlása. Először is gondoljuk át, hogy optimális kód valóban létezik. Ugyan véges kódábécé esetén is az egyértelműen dekódolható vagy prefix kódok halmaza végtelen, de a bizonyos átlagos kódszóhossznál (pl. logs ) jobb kódok halmaza véges. Másodszor, vegyük észre, hogy az optimális kód nem feltétlenül egyértelmű; egyenlő valószínűségekhez tartozó kódszavakat felcserélhetünk, csakúgy, mint az egyenlő hosszú kódszavakat, anélkül, hogy az átlagos kódszóhosszat ezzel megváltoztatnánk. Egy optimális kód konstruálását az.. következmény értelmében egy optimális prefix kód konstruálására lehet visszavezetni. Ezért a következőkben kimondjuk az optimális prefix kódok néhány tulajdonságát. A továbbiakban az egyszerűség kedvéért a bináris, s2 esettel foglalkozunk; feltesszük, hogy 0. Az általános, s2 eset bonyolultabb, és a dolog lényege így is jól látható..4. tétel. Ha az f :0 prefix kód optimális, éselemei úgy vannak indexelve, hogy p x µp x 2µ p x n µp x nµ0, akkor feltehető, hogy f -re a következő három tulajdonság teljesül: a)f x µf x 2µ f x n µf x nµ, vagyis nagyobb valószínűségekhez kisebb kódszóhosszak tartoznak. b)f x n µf x nµ, vagyis a két legkisebb valószínűségű forrásbetűhöz tartozó kódszó egyenlő hosszú.

19 22. VÁLTOZÓ SZÓHOSSZÚSÁGÚ FORRÁSKÓDOLÁS c) Az f x n µés az f x nµkódszavak csak az utolsó bitben különböznek. BIZONYÍTÁS: a) Tegyük fel, hogy p x kµp x jµésf x kµf x jµ. Ekkor x j és x k kódját felcserélve egy új iµ f kódot vezethetünk iµ be, amelyre n p x iµf x i p x kµf x kµ p x kµ jµ jµ kµ jµf x p x kµf x p x jµf x p x kµ f x kµ jµµ f x kµ kµ jµµ p x jµ f x jµµ0 f x p x p x jµµ f x f x tehát f nem lehet optimális. nµ b) Az állítás egyszerűen belátható, ha arra gondolunk, hogyf x n µf x esetén azf x nµutolsó bitjét levágva az optimálisnál kisebb átlagos kódszóhosszú kódot kapnánk, ami még mindig prefix tulajdonságú. Valóban, mivel az eredeti kódszó minden más kódszónál legalább eggyel hosszabb volt, a csonkítással kapott új kódszó az eredeti kód prefix tulajdonsága miatt nem azonos semelyik másikkal, és ugyanezen okok miatt nem is folytatása semmilyen más kódszónak. n i p x iµf x c) Az előző gondolatmenetből világos, hogy ha létezik olyan f x iµkódszó, hogy f x iµés f x nµcsak az utolsó bitben különböznek, akkor az a) és b) miattf x iµf x n µf x nµ. Így ha in, akkor x i és x n kódját felcserélve c) teljesül, és a kód optimális marad..5. tétel. Tegyük most fel, hogy az.4. tétel feltételei teljesülnek, és hogy a p x µp x 2µp x n µ p x nµvalószínűségeloszláshoz ismerünk egy g optimális bináris prefix kódot. (Az x n és x n forrásbetűket összevonjuk egy 2µ x n szimbólumba; p x n µp x nµ). Ekkor az eredetip x µp x p x n µp x nµeloszlás egy optimális f prefix kódját kapjuk, ha a g x n µkódszót egy nullával, illetve egy egyessel kiegészítjük (a többi kódszót pedig változatlanul hagyjuk). n µ p x BIZONYÍTÁS: kapjuk, hogy A g és az f átlagos kódszóhosszát nµ L g -vel és L f -fel jelölve azt L fl g p x n µ p x

20 .3. OPTIMÁLIS KÓDOK, BINÁRIS HUFFMAN-KÓD 23 Ha f nem lenne optimális, akkor a nála kisebb L f átlagos kódszóhosszú f kódról az.4. tétel c) pontja szerint feltehetnénk, hogy f x n µés f x nµnem rövidebbek semelyik más kódszónál, és csak az utolsó bitben különböznek egymástól. Ezt az utolsó bitet elhagyva ap x µp x 2µp x n µ p x nµeloszlásra egy g kódot kapnánk, amire f µ µ L g L p x n p x nµl f p x n p x teljesülne, tehát az optimális g-nél jobb kódot kapnánk, ami lehetetlen. nµl g Az előző tétel alapján már megadhatjuk az optimális prefix kód Huffman-féle konstrukcióját: A két legkisebb valószínűség összevonásával addig redukáljuk a problémát, amíg az triviális nem lesz, vagyis amíg összesen két valószínűségünk marad. Ezt n 2 lépésben érhetjük el. Ezután az összevonások megfordításával, mindig a megfelelő kódszó kétféle kiegészítésével újabb n 2 lépésben felépítjük az optimális kódot, a Huffman-kódot. A következő példában nyomon követhetjük az algoritmus egyes lépéseit. 4µ.4. példa. Legyen n5 és p x µ04p x 2µ03p x 3µ05, p x 0p x 5µ005, és keressük meg az ehhez tartozó Huffman-kódot: Az egyes lépéseket az oszlopok számozása jelzi balról-jobbra, az összevonásokat a nyilak mentén lehet nyomon követni ± ± ± A 04 és 06 valószínűségek optimális prefix kódja nyilván a 0 és az (vagy fordítva). Az összevonások megfordításával elvégezhetjük a Huffman-kód felépítését. A valószínűségek mellett szögletes zárójelben az egyes lépésekben kapott kódszavak állnak. 0 ² ² ² Tehát f x µ0f x 2µ0f x 3µ0f x 4µ0f x 5µ

21 24. VÁLTOZÓ SZÓHOSSZÚSÁGÚ FORRÁSKÓDOLÁS n n Az előzőekben feltételeztük, hogy ismerjük a bemenet eloszlását. Ez azonban nincs mindig így, ekkor az eloszlást a relatív gyakoriságokkal kell becsülnünk. A gyakorlati problémák során általában adott a Z Z N bemeneti sorozat iµ (szöveg, fájl), amelyet szeretnénk optimálisan kódolni. Feladatunk a if Z N minimalizálása, vagyis az optimális f kódolófüggvény megválasztása. Ez egyenértékű a kódszóhosszak átlagának, N N iµ-nek a minimalizálásával. if Z Belátjuk, hogy N N if Z iµe Nf Zµ, ha a várható értéket az empirikus eloszlás szerint vesszük, Nf Zµ tehát a forrásbetűk valószínűségét a relatív gyakoriságuk- N IZ ix j, ahol Iaz indikátor függvény. Nyilván i jµ E kal definiáljuk: p N x jµ N N N j p N x jµf x j N N IZ ix jf x i N n IZ ix jf x i j iµ N if Z jµ jµ (A gyakorlatban magát a kódoló függvényt is le kell írni, át kell vinni a dekódolóhoz, és ez a fejléc így a fentinél nagyobb átlagos kódszóhosszat eredményez. Az aszimptotikus vizsgálat során azonban ettől a konstans költségtől eltekinthetünk.) A Huffman-kódolás fenti algoritmusát csak két lépésben tudjuk végrehajtani. Először meghatározzuk a forrásbetűk relatív gyakoriságát, ami az előzőek értelmében megegyezik a valószínűségekkel, majd ennek felhasználásával elvégezzük a tényleges kódolást. Nem mindig engedhető meg azonban olyan nagy mértékű késleltetés, hogy csak az összes bemeneti adat megérkezése után kezdünk hozzá a kimenet előállításához, másrészt a kétmenetes beolvasás akkor is lassítja az algoritmust (bár kétségkívül optimális kódot eredményez), ha a bemenet már rendelkezésre áll. A gyakorlatban ezért sokszor érdemes egymenetes algoritmust használni. Így az optimalitás rovására időt takaríthatunk meg. Egy forrásbetűt az előző forrásbetűk előfordulásai alapján kódolunk, s ezzel együtt lépésenként változik maga a kód is. Tehát az aktuális forrásbetű kódolását egy, az előzőleg

22 .3. OPTIMÁLIS KÓDOK, BINÁRIS HUFFMAN-KÓD 25 feldolgozott forrásbetűkre optimális kóddal hajtjuk végre. Ezt az eljárást adaptív Huffman-kódolásnak nevezzük. A Huffman-kódot bináris faként is ábrázolhatjuk. A leveleket a forrásszimbólumokkal címkézzük, az éleken pedig a kódábécé 0µelemei szerepelnek. A csúcsokban a relatív gyakoriságok állnak. Egy forrásszimbólumhoz tartozó kódszót úgy kapunk meg, hogy a fa gyökerétől a megfelelő levélig húzódó út élein szereplő kódbetűket sorban összeolvassuk (konkatenáljuk). A Huffman-kódolás szemléletesen úgy történik, hogy kiindulásként felvesszük a forrásszimbólumokhoz tartozó leveleket, a csúcsokba a forrásszimbólumok relatív gyakoriságait írjuk, majd lépésenként mindig a két legkisebb értéket tartalmazó csúcs fölé teszünk egy új csúcsot (szülőt), s ebbe a két régi érték összegét írjuk. Az eljárás végén kialakul az összefüggő fa, melynek a legutolsó lépésben megkapott csúcsa lesz a gyökér. A bináris Huffman-fában a relatív gyakoriságok szerepelnek. Adaptív Huffman-kódolás esetén ezek helyett a gyakoriságokat használhatjuk (hiszen utóbbiakat a bemenet hosszával elosztva megkapjuk a relatív gyakoriságokat, és számunkra csak az értékek egymáshoz való aránya érdekes). Két összevont betű szülőjének súlyát a szokásos módon, a két gyakoriság összegeként kapjuk. Amennyiben a fa testvér (vagyis közös szülővel rendelkező) pontpárjait a gyökértől a levelek felé haladva fel tudjuk sorolni súlyuk szerint nemnövekvő sorrendben, a fa rendelkezik a testvérpár tulajdonsággal (sibling pair property). Bebizonyítható, hogy egy Huffman-fa akkor és csak akkor optimális, ha rendelkezik a testvérpár tulajdonsággal..5. példa. 288µ; 53µ; 7µ; 76µ; 65µ; 43µ; 32µ; 22µ; 2µ Az.3. ábrán látható fára teljesül a testvérpár tulajdonság. A párok a következők: Ezek nemnövekvő rendezése: µ Az.4. ábra kódfájának párjai: 3µ; 2µ; Ezeket nem tudjuk megfelelően sorba rendezni, így nem teljesül a fára a testvérpár tulajdonság.

2013.11.25. H=0 H=1. Legyen m pozitív egészre {a 1, a 2,, a m } különböző üzenetek halmaza. Ha az a i üzenetet k i -szer fordul elő az adásban,

2013.11.25. H=0 H=1. Legyen m pozitív egészre {a 1, a 2,, a m } különböző üzenetek halmaza. Ha az a i üzenetet k i -szer fordul elő az adásban, Legyen m pozitív egészre {a 1, a 2,, a m } különböző üzenetek halmaza. Ha az a i üzenetet k i -szer fordul elő az adásban, akkor a i (gyakorisága) = k i a i relatív gyakorisága: A jel információtartalma:

Részletesebben

Az Informatika Elméleti Alapjai

Az Informatika Elméleti Alapjai Az Informatika Elméleti Alapjai dr. Kutor László Minimális redundanciájú kódok Statisztika alapú tömörítő algoritmusok http://mobil.nik.bmf.hu/tantargyak/iea.html Felhasználónév: iea Jelszó: IEA07 BMF

Részletesebben

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz 1. Feladat 1. Milyen egységeket rendelhetünk az egyedi információhoz? Mekkora az átváltás közöttük? Ha 10-es alapú logaritmussal számolunk, a mértékegység

Részletesebben

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

dolás, felbontható kód Prefix kód Blokk kódk Kódfa

dolás, felbontható kód Prefix kód Blokk kódk Kódfa Kódelméletlet dolás dolás o Kódolás o Betőnk nkénti nti kódolk dolás, felbontható kód Prefix kód Blokk kódk Kódfa o A kódok k hosszának alsó korlátja McMillan-egyenlıtlens tlenség Kraft-tételetele o Optimális

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Amortizációs költségelemzés

Amortizációs költségelemzés Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Titkosírás. Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása. Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...

Titkosírás. Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása. Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak... Biztos, hogy titkos? Szabó István előadása Az életben sok helyen használunk titkosítást (mobil, internet, jelszavak...) Története Az ókortól kezdve rengeteg feltört titkosírás létezik. Monoalfabetikus

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

1/50. Teljes indukció 1. Back Close

1/50. Teljes indukció 1. Back Close 1/50 Teljes indukció 1 A teljes indukció talán a legfontosabb bizonyítási módszer a számítástudományban. Teljes indukció elve. Legyen P (n) egy állítás. Tegyük fel, hogy (1) P (0) igaz, (2) minden n N

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Az Informatika Elméleti Alapjai

Az Informatika Elméleti Alapjai Az Informatika Elméleti Alapjai dr. Kutor László Az üzenet információ-tartalma és redundanciája Tömörítő algoritmusok elemzése http://mobil.nik.bmf.hu/tantárgyak/iea.html Felhasználónév: iea Jelszó: IEA07

Részletesebben

Automaták és formális nyelvek

Automaták és formális nyelvek Automaták és formális nyelvek Bevezetés a számítástudomány alapjaiba 1. Formális nyelvek 2006.11.13. 1 Automaták és formális nyelvek - bevezetés Automaták elmélete: információs gépek általános absztrakt

Részletesebben

5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus.

5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus. 5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus. Optimalis feszítőfák Egy összefüggő, irányítatlan

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Egyszerű programozási tételek

Egyszerű programozási tételek Egyszerű programozási tételek 2. előadás Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2011. szeptember 15. Sergyán (OE NIK) AAO 02 2011. szeptember 15.

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

tudjuk biztosítani a majdnem biztos nyerést, de nem érdemes akkor, ha ehhez 100000

tudjuk biztosítani a majdnem biztos nyerést, de nem érdemes akkor, ha ehhez 100000 Az információszámítás néhány fontos fogalma és eredménye. 1. Az entrópia és feltételes entrópia fogalma és tulajdonságai. Annak érdekében, hogy megértsük az entrópia fogalmát és azt, hogy milyen problémák

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Dr. Vassányi István, 2002-2005. vassanyi@irt.vein.hu (Kérem, hogy a jegyzetben talált bármilyen hibát ezen a címen jelezzék!)

Dr. Vassányi István, 2002-2005. vassanyi@irt.vein.hu (Kérem, hogy a jegyzetben talált bármilyen hibát ezen a címen jelezzék!) Információelmélet Kivonatos jegyzet Veszprémi Egyetem, Műszaki Informatika Szak Készítette: Dr. Vassányi István, -5. vassanyi@irt.vein.hu (Kérem, hogy a jegyzetben talált bármilyen hibát ezen a címen jelezzék!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció

2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció 2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

Valószínűség-számítás, statisztika, titkosítási és rendezési algoritmusok szemléltetése számítógép segítségével Kiss Gábor, Őri István

Valószínűség-számítás, statisztika, titkosítási és rendezési algoritmusok szemléltetése számítógép segítségével Kiss Gábor, Őri István Valószínűség-számítás, statisztika, titkosítási és rendezési algoritmusok szemléltetése számítógép segítségével Kiss Gábor, Őri István Budapesti Műszaki Főiskola, NIK, Matematikai és Számítástudományi

Részletesebben

A matematikai modellalkotás folyamatáról

A matematikai modellalkotás folyamatáról Máté László A matematikai modellalkotás folyamatáról 1. A felsőoktatás tömegessé válása olyan problémákat vet fel a matematika oktatásában amelyek a matematikai ismeretszerzés folyamatának az átgondolására

Részletesebben

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE

GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Második rész Cikkünk első részében az elemrend és a körosztási polinomok fogalmára alapozva beláttuk, hogy ha n pozitív egész,

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

Dr. Vassányi István, 2002-2005. vassanyi@irt.vein.hu (Kérem, hogy a jegyzetben talált bármilyen hibát ezen a címen jelezzék!)

Dr. Vassányi István, 2002-2005. vassanyi@irt.vein.hu (Kérem, hogy a jegyzetben talált bármilyen hibát ezen a címen jelezzék!) Információelmélet Kivonatos jegyzet Veszprémi Egyetem, Műszaki Informatika Szak Készítette: Dr. Vassányi István, -5. vassanyi@irt.vein.hu (Kérem, hogy a jegyzetben talált bármilyen hibát ezen a címen jelezzék!

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

Kriptográfia I. Kriptorendszerek

Kriptográfia I. Kriptorendszerek Kriptográfia I Szimmetrikus kulcsú titkosítás Kriptorendszerek Nyíltszöveg üzenettér: M Titkosított üzenettér: C Kulcs tér: K, K Kulcsgeneráló algoritmus: Titkosító algoritmus: Visszafejt algoritmus: Titkosítás

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

Kódolás. A számítógép adatokkal dolgozik. Értelmezzük az adat és az információ fogalmát.

Kódolás. A számítógép adatokkal dolgozik. Értelmezzük az adat és az információ fogalmát. Kódolás A számítógép adatokkal dolgozik. Értelmezzük az adat és az információ fogalmát. Mi az információ? Az információ egy értelmes közlés, amely új ismeretet, új tudást ad. (Úgy is fogalmazhatunk, hogy

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus GRÁFELMÉLET 7. előadás Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus Definíció: egy P utat javító útnak nevezünk egy M párosításra nézve, ha az út páratlan hosszú, kezdő- és végpontjai nem párosítottak,

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

5. foglalkozás. Húsz találgatás Információelmélet

5. foglalkozás. Húsz találgatás Információelmélet 5. foglalkozás Húsz találgatás Információelmélet Röviden Mennyi információ van egy 1000 oldalas könyvben? Egy 1000 oldalas telefonkönyvben vagy 1000 üres lapon vagy Tolkien A Gyűrűk Ura könyvében van több

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Kódoláselméleti alapfogalmak

Kódoláselméleti alapfogalmak Kódoláselméleti alapfogalmak Benesóczky Zoltán 2005 Ez összefoglaló digitális technika tantárgy kódolással foglalkozó anyagrészéhez készült, az informatika szakos hallgatók részére. Több-kevesebb részletességgel

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

Partíció probléma rekurzíómemorizálással

Partíció probléma rekurzíómemorizálással Partíció probléma rekurzíómemorizálással A partíciószám rekurzív algoritmusa Ω(2 n ) műveletet végez, pedig a megoldandó részfeladatatok száma sokkal kisebb O(n 2 ). A probléma, hogy bizonyos már megoldott

Részletesebben

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12.

Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12. Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

IBAN: INTERNATIONAL BANK ACCOUNT NUMBER. I. Az IBAN formái

IBAN: INTERNATIONAL BANK ACCOUNT NUMBER. I. Az IBAN formái IBAN: INTERNATIONAL BANK ACCOUNT NUMBER A EUROPEAN COMMITTEE FOR BANKING STANDARDS (ECBS) által 2001. februárban kiadott, EBS204 V3 jelű szabvány rögzíti a nemzetközi számlaszám formáját, valamint eljárást

Részletesebben

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések

Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 1 Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések A matematikában alapfogalmaknak tekintjük azokat a fogalmakat, amelyeket nem határozunk meg, nem definiálunk más fogalmak segítségével

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

Kvantum-hibajavítás I.

Kvantum-hibajavítás I. LOGO Kvantum-hibajavítás I. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar Ismétléses kódolás Klasszikus hibajavítás Klasszikus modell: BSC (binary symmetric channel) Hibavalószínűség: p p 0.5

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

Geometriai algoritmusok

Geometriai algoritmusok Geometriai algoritmusok Alapfogalmak Pont: (x,y) R R Szakasz: Legyen A,B két pont. Az A és B pontok által meghatározott szakasz: AB = {p = (x,y) : x = aa.x + (1 a)b.x,y = aa.y + (1 a)b.y),a R,0 a 1. Ha

Részletesebben

5.1 Környezet. 5.1.1 Hálózati topológia

5.1 Környezet. 5.1.1 Hálózati topológia 5. Biztonság A rendszer elsodleges célja a hallgatók vizsgáztatása, így nagy hangsúlyt kell fektetni a rendszert érinto biztonsági kérdésekre. Semmiképpen sem szabad arra számítani, hogy a muködo rendszert

Részletesebben

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság

Microsoft Excel 2010. Gyakoriság Microsoft Excel 2010 Gyakoriság Osztályközös gyakorisági tábla Nagy számú mérési adatokat csoportokba (osztályokba) rendezése -> könnyebb áttekintés Osztályokban szereplő adatok száma: osztályokhoz tartozó

Részletesebben

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március. Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat.......................................... Házi Feladatok.....................................

Részletesebben

A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió

A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió Bevezetés Pímszámok A prímszámok eloszlása, avagy az első 50 millió prímszám. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. április 8. Néhány definíció. 1 A klasszikus számelméleti. p N prím, ha a p a = ±1,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

A mintavételezéses mérések alapjai

A mintavételezéses mérések alapjai A mintavételezéses mérések alapjai Sok mérési feladat során egy fizikai mennyiség időbeli változását kell meghatároznunk. Ha a folyamat lassan változik, akkor adott időpillanatokban elvégzett méréssel

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

SZÁMÉRTÉKEK (ÁT)KÓDOLÁSA

SZÁMÉRTÉKEK (ÁT)KÓDOLÁSA 1 ELSŐ GYAKORLAT SZÁMÉRTÉKEK (ÁT)KÓDOLÁSA A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Számrendszerek közti átváltás előjelesen és előjel nélkül. Bináris, decimális, hexadexcimális számrendszer.

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

C programozási nyelv Pointerek, tömbök, pointer aritmetika

C programozási nyelv Pointerek, tömbök, pointer aritmetika C programozási nyelv Pointerek, tömbök, pointer aritmetika Dr. Schuster György 2011. június 16. C programozási nyelv Pointerek, tömbök, pointer aritmetika 2011. június 16. 1 / 15 Pointerek (mutatók) Pointerek

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Dr. Tóth László Hány osztója van egy adott számnak? 2008. április

Dr. Tóth László Hány osztója van egy adott számnak? 2008. április Hány osztója van egy adott számnak? Hány osztója van egy adott számnak? Dr. Tóth László http://www.ttk.pte.hu/matek/ltoth előadásanyag, Pécsi Tudományegyetem, TTK 2008. április. Bevezetés Lehetséges válaszok:

Részletesebben

Ramsey tétele(i) gráfokra

Ramsey tétele(i) gráfokra Ramsey tétele(i) gráfokra A témakör a szociológusok alábbi észrevételének általánosítása: legalább hat tagú társaságban vagy van háromfős klikk, vagy van háromfős antiklikk. Itt klikk olyan emberek halmazát

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben