Információ- és kódelmélet

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Információ- és kódelmélet"

Átírás

1 Információ- és kódelmélet Györfi László Győri Sándor Vajda István november 29.

2 Tartalomjegyzék Előszó 7. Változó szóhosszúságú forráskódolás 9.. Egyértelmű dekódolhatóság, prefix kódok Átlagos kódszóhossz, entrópia Optimális kódok, bináris Huffman-kód Aritmetikai kódolás Az entrópia néhány tulajdonsága Információforrások változó szóhosszúságú kódolása Markov-forrás és entrópiája Univerzális forráskódolás Feladatok Forráskódolás hűségkritériummal Forráskódolás előírt hibavalószínűséggel Kvantálás Lineáris szűrés Mintavételezés Transzformációs kódolás Prediktív kódolás (DPCM) Lineáris becslés Beszédtömörítés Hangtömörítés Kép- és videotömörítés Forráskódolás betűnkénti hűségkritériummal Feladatok Csatornakódolás Bayes-döntés

3 6 TARTALOMJEGYZÉK 3.2. Optimális detektálás analóg csatorna kimenetén Csatorna, csatornakapacitás Csatornakódolási tétel Feladatok Hibajavító kódolás Kódolási alapfogalmak Bináris lineáris kódok, bináris Hamming-kód Véges test Lineáris kódok, nembináris Hamming-kód Véges test feletti polinomok Reed Solomon-kód Aritmetika GF(p m )-ben Ciklikus kódok BCH-kód Kódkombinációk Kódmódosítások Reed Solomon-kódok dekódolása Reed Solomon-kódok spektrális tulajdonságai A konvolúciós kódolás alapfogalmai A konvolúciós kódok Viterbi-dekódolása A Viterbi-dekódolás bithibaaránya DMC-n Rekurzív konvolúciós kódolás Turbó kódok CDMA Feladatok Kriptográfia Alapfogalmak A konvencionális titkosítók analízise Nyilvános kulcsú titkosítás RSA-algoritmus Kriptográfiai protokollok Feladatok Irodalomjegyzék 365 Tárgymutató 369

4 Előszó Az információelmélet a hírközlés matematikai elmélete. Születését lényegében Claude Shannon [43] művének 948-as megjelenéséhez köthetjük. Ez a munka volt az első, amely matematikai alapossággal tárgyalta az adattömörítés, a biztonságos adatátvitel és a titkosítás problémáit. Shannon adott először kezelhető és hasznos matematikai modelleket az információs folyamatok leírására, mégpedig úgy, hogy az egyes problémák esetén tisztázta az elvi határokat, és többségében meg is konstruálta azokat a módszereket, amelyek ezeket az elvi határokat aszimptotikusan elérik. Ugyanakkor napjainkban tömegesen terjedtek el az egyes adattömörítő és hibakorlátozó eljárások, tehát indokolt, hogy ezek alapvető elveit is áttekintsük. Az. fejezetben ismertetjük a veszteségmentes adattömörítést, míg a 2. fejezetben a veszteséget (torzítást) megengedő adattömörítő (forráskódoló) eljárásokat tárgyaljuk. A 3. fejezet témája a csatornakódolás. A forráskódolás elméletével ellentétben a csatornakódolás eredményei nem konstruktívak, tehát ma még nem ismertek olyan kódolási dekódolási eljárások, amelyek tetszőleges csatorna esetén a csatornakapacitást megközelítenék. Ugyanakkor ismertek olyan algebrai hibavédő kódok, amelyek számos gyakorlati probléma megoldását segítik. A 80-as évektől alkalmazzák polgári célokra is a hibavédő kódokat, napjainkban a CD-ben használt Reed Solomon-kód szinte minden háztartásban megtalálható. A 4. fejezet összefoglalja a hibajavító kódok alapjait. Az 5. fejezet témája a nyilvános kulcsú titkosítás, tehát az a probléma, hogy nyilvános hálózaton hogyan biztosítható az adat- illetve hozzáférésvédelem. Ez a tankönyv a Linder Lugosi [25] és a Györfi Vajda [22] jegyzet uniójának a kiegészítése azon tapasztalatok felhasználásával, amelyeket a BME műszaki informatikusoknak tartott Információelmélet és Kódelmélet tárgyak oktatása során szereztünk az elmúlt 0 évben.

5 8 ELŐSZÓ A mű elkészítésében nyújtott segítségükért szeretnénk köszönetet mondani György Andrásnak, Laczay Bálintnak, Linder Tamásnak, Lois Lászlónak, Lugosi Gábornak, Pataricza Andrásnak és Pintér Mártának. Budapest, augusztus 22. Györfi László Győri Sándor Vajda István

6 . fejezet Változó szóhosszúságú forráskódolás Ebben a fejezetben bevezetjük a veszteségmentes adattömörítés fogalmát. Ennek célja az, hogy egy üzenetet, amely egy véges halmaz (forrásábécé) elemeiből álló véges sorozat, egy másik véges halmaz (kódábécé) elemeiből álló sorozattal reprezentáljunk úgy, hogy ez a reprezentálás a lehető legrövidebb (és belőle az üzenet visszaállítható) legyen. Ennek megfelelően azt vizsgáljuk, hogy az adattömörítésnek melyek az elvi határai, és ezeket a határokat hogyan közelíthetjük meg. A legismertebb példa erre az, amikor a kódábécé a0halmaz, és egy üzenetet (pl. írott szöveg, fájl) bináris sorozatok formájában kódolunk tárolás, illetve átvitel céljából. Az üzenetet kibocsátó objektum az információforrás modellezésével és vizsgálatával az.6. szakasz foglalkozik (mivel valószínűségi modelleket használunk, ezért az üzenetek betűi valószínűségi változók lesznek). Célunk az, hogy az ehhez szükséges matematikai apparátust bevezessük. Megismerkedünk az üzenetek egy természetesen adódó kritérium szerinti kódolásával az egyértelműen dekódolható kódolással, mely később vizsgálataink középpontjában áll majd. Bevezetjük a diszkrét valószínűségi változó entrópiáját, és megmutatjuk, hogy az entrópia milyen alapvető szerepet játszik a kódolással kapcsolatban. Az elkövetkezőkben mindig azt tartjuk szem előtt, hogy az üzenetek kódja minél rövidebb legyen, ezért a kódok általunk vizsgált fő tulajdonsága a átlagos kódszóhossz lesz. A fejezetet az univerzális forráskódolással és annak gyakorlati alkalmazásaival zárjuk. A hírközlési rendszerek működését egzakt matematikai eszközökkel fogjuk vizsgálni. Persze sokféle matematikai modellt állíthatunk hírközlési feladatokra, de kezdetben az egyik legegyszerűbbet választva jól kifejezhetjük a probléma lényegét. A hírközlés alapfeladata az, hogy valamely jelsorozatot ( információt )

7 0. VÁLTOZÓ SZÓHOSSZÚSÁGÚ FORRÁSKÓDOLÁS forrás ¹kódoló ¹csatorna ¹dekódoló ¹nyelő ¹kódoló ¹dekódoló ¹.. ¹ ábra. Hírközlési rendszer blokkdiagramja. ¹ ¹forráskódoló ¹titkosító ¹csatornakódoló ¹ ¹ ¹ ¹csatornadekódolfejtő vissza- forrásdekódoló.2. ábra. A kódoló és a dekódoló felépítése. el kell juttatni egyik helyről a másikra. A távolságot (vagy időt) áthidaló hírközlési eszköz a csatorna azonban csak meghatározott típusú jeleket képes átvinni. Az információforrás által produkált jelfolyamot kódolással meg kell feleltetni egy, a csatorna által használt jelekből álló jelfolyamnak. A felhasználó (nyelő) a csatorna kimenetén pontosan, vagy megközelítőleg visszaállítja, dekódolja az üzenetet. Egy ilyen rendszer blokkdiagrammja látható az.. ábrán. A kódoló általános esetben három részből áll. Az első a forráskódoló, amely a forrás üzeneteit gazdaságosan, tömören reprezentálja. Ezzel foglalkozik az első két fejezet. A második rész a titkosító (5. fejezet), és a harmadik a csatornakódoló (3. és 4. fejezet). Ennek megfelelően a dekódoló is három részből áll: csatornadekódoló, visszafejtő és forrásdekódoló (.2. ábra)... Egyértelmű dekódolhatóság, prefix kódok Jelöljön X egy diszkrét valószínűségi változót, amely azx x 2x nvéges halmazból veszi értékeit. Azhalmazt a továbbiakban forrásábécének, elemeit pedig betűknek nevezzük. jelöljön egy s eleműy y 2y shalmazt. Ezt kódábécének nevezzük. jelölje azelemeiből álló véges sorozatok halmazát. elemeit kódszavaknak nevezzük. Egy f : függvényt, amely megfeleltetést létesít a forrásábécé és a kódszavak között, kódnak nevezünk. Azelemeiből alkotott véges sorozatok az üzenetek vagy közlemények (értékeiket az halmazból veszik). Amennyiben az f kód értékkészlete különböző hosszú kódszavakból áll, úgy változó szóhosszúságú kódolásról beszélünk.

8 .. EGYÉRTELMŰ DEKÓDOLHATÓSÁG, PREFIX KÓDOK u¾.. definíció. Az f : kód egyértelműen dekódolható, ha minden véges kódbetűsorozat legfeljebb egy közlemény kódolásával állhat elő, azaz ha kµ v¾, uu u 2u kvv v 2v muv, akkor f u µf u 2µf u f v µf v 2µf v mµ. (Itt az f uµf u¼µakét kódszó egymás után írását [konkatenáció] jelenti.) MEGJEGYZÉS: a) Az egyértelmű dekódolhatóság több, mint az invertálhatóság. Ugyanis legyenabc0és f aµ0f bµf cµ0. Ekkor az f : leképezés invertálható, viszont a 0 kódszót dekódolhatjuk f aµf bµ0 szerint ab-nek, vagy f cµ0 szerint c-nek is. b) Az előbbi definícióban szereplő kódolási eljárást, amikor egy közlemény kódját az egyes forrásbetűkhöz rendelt kódszavak sorrendben egymás után írásával kapjuk, betűnkénti kódolásnak nevezzük. Természetesen a kódolást teljesen általánosan egy g : függvénnyel is definiálhatnánk, de később látni fogjuk, hogy a betűnkénti kódolás és annak természetes kiterjesztése, a blokk-kódolás elegendő számunkra..2. definíció. Az f kód prefix, ha a lehetséges kódszavak közül egyik sem folytatása a másiknak, vagyis bármely kódszó végéből bármekkora szegmenst levágva nem kapunk egy másik kódszót. Egy prefix kód egyben egyértelműen dekódolható is. f aµ0f bµ Az eddig bevezetett fogalmak illusztrálására nézzük a következő példákat:.. példa.abc;0akód legyen a következő: 0f cµ0könnyen ellenőrizhető, hogy a kód prefix. Ha az abccab üzenetet kódoljuk, akkor a kódbetűsorozatot kapjuk. A kódból az üzenet visszafejtése nagyon egyszerű a prefix tulajdonság miatt; többek között ez a gyors dekódolási lehetőség teszi vonzóvá a prefix kódokat..2. példa.abcd;0; f aµ0f bµ0f cµ0f dµ 0Jól látható, hogy a kód nem prefix, de egyértelműen dekódolható, hiszen a 0 karakter egy új kódszó kezdetét jelzi... lemma (McMillan). Minden egyértelműen iµ dekódolható f : kódra n s f x (.) i ahol s a kódábécé elemszáma, ésf x iµjelöli az f x iµkódszóhosszát.

9 2. VÁLTOZÓ SZÓHOSSZÚSÁGÚ FORRÁSKÓDOLÁS BIZONYÍTÁS: Tekintsük az (.) összeg N-edik hatványát: n s i iµn n f x i n s f x i N iµ f x inµµn Lmax l A l s l ahol L maxmax inf x iµés A l jelöli az összes l hosszúságú, N darab kódszó egymás után írásával keletkező kódbetűsorozatok l számát. Mivel feltevésünk szerint f egyértelműen dekódolható, az összes ilyen l hosszú sorozat különböző, tehát A ls Ebből azt kapjuk, hogy n s i max f x iµnn L vagyis n i s max f x iµnôn NÔL (.2) Mivel N tetszőleges, és tudjuk, hogy NÔNNÔL max, ha N, ezért (.2) csak úgy állhat fenn minden N-re, ha (.) igaz. A következő lemma bizonyos értelemben az előző megfordítása..2. lemma (Kraft). Ha az l l 2l n pozitív i egész számokra n l s (.3) i akkor létezik olyan f prefix kód, hogy i in f x iµl BIZONYÍTÁS: Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy az l i számok nagyság szerint növekvő sorrendben vannak: l l 2 l n. A bizonyítás technikája megkívánja, hogy a kódábécéy y 2y selemeit a0s számokkal helyettesítsük (például a következő megfeleltetés szerint: y ii is). Definiáljuk a w j számokat 0 a következőképpen: i j2n w w jj s l j l i

10 .2. ÁTLAGOS KÓDSZÓHOSSZ, ENTRÓPIA 3 (.3) mindkét oldalát s l n -nel szorozva, majd mindkét oldalból -et levonva kapjuk, hogy w nn s l n l is l n i Hasonlóképp eljárva azt kapjuk minden j-re, hogy w jsl j. Ezek után definiáljuk f x jµ-t mint a w j szám s alapú számrendszerben felírt alakját, amelynek elejére annyi 0-t írunk, hogy a hossza l j legyen. A kódszavak nyilván különbözők lesznek mivel w jw k, ha jk. Most belátjuk, hogy az így kapott kód prefix. Tegyük fel ugyanis ennek az ellenkezőjét, vagyis azt, hogy valamilyen jk esetén f x jµvégéhez l k l j darab számjegyet hozzáadva megkapjuk f x kµ-t. Ekkor w jw k s l k l jkövetkezne. (Azxjelölés az x valós szám alsó egész részét jelöli). Viszont j w k s l k l jk s l j l iw j k s l j l iw ij i és így ellentmondásra jutottunk... következmény. Az.. és.2. lemmákat összevetve levonhatjuk azt a fontos következtetést, hogy minden egyértelműen dekódolható kódhoz létezik vele ekvivalens (azonos kódszóhosszú) prefix kód, tehát nem vesztünk semmit, ha az egyértelmű dekódolhatóság helyett a speciálisabb, és ezért könnyebben kezelhető prefix tulajdonságot követeljük meg..2. Átlagos kódszóhossz, entrópia Legyen X egyértékű valószínűségi p xµpxx változó, amit x¾ kódolni akarunk. Vezessük be a következő p :0 függvényt: A p xµfüggvény tehát az x forrásbetűhöz annak valószínűségét rendeli. H XµE p Xµµ.3. definíció. Az X valószínűségi változó entrópiáját, H Xµ-et, a n log összeggel definiáljuk. i p x iµlog p x iµ

11 4. VÁLTOZÓ SZÓHOSSZÚSÁGÚ FORRÁSKÓDOLÁS MEGJEGYZÉS: a) A log z jelölés a z pozitív szám kettes alapú logaritmusát jelenti. Mivel az.3. definíció megkívánja, a logaritmusfüggvénnyel kapcsolatban b a következő számolási szabályokat vezetjük be (a0b0): 0log a0log 0 a blog 00; 0 ; b blog 0 (E szabályok az adott pontban nem értelmezett függvények folytonos kiterjesztései.) A definícióból közvetlenül látszik, hogy az entrópia nemnegatív. Vegyük észre, hogy az entrópia értéke valójában nem függ az X valószínűségi változó értékeitől, csak az eloszlásától. b) Az entrópia intuitív fogalmával kapcsolatban lásd az.6. tétel utáni megjegyzést..4. definíció. Egy f kód átlagos kódszóhosszán az iµ Ef Xµn p x iµf x i várható értéket értjük..3. példa. H Xµ Az.. példa kódja esetén legyen p aµ05p bµ03p cµ02, ekkor az entrópia 05 log05 03 log03 02 log02485 Ef Xµ az átlagos kódszóhossz pedig Ahhoz, hogy az egyértelműen dekódolható kódok átlagos kódszóhossza és entrópiája közti alapvető összefüggést bebizonyítsuk (ami tulajdonképpen e fejezet fő állítása), szükségünk van két segédtételre:.. tétel (Jensen-egyenlőtlenség). Legyen h egy valós, konvex függvény azab zárt intervallumon, azaz minden xy¾ab és 0λ esetén h λx λµyµλh xµ λµh yµ (.4) és legyen Z egy valószínűségi változó, amely értékeit azab intervallumban veszi fel. Ekkor he Zµ Eh Zµ (.5)

12 .2. ÁTLAGOS KÓDSZÓHOSSZ, ENTRÓPIA 5 Továbbá, ha h az E Zµpontban szigorúan konvex, vagyis az (.4)-ben λx λµye Zµesetén határozott PZE Zµ egyenlőtlenség teljesülxy-ra, akkor (.5)- ben egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha vagyis ha Z -valószínűséggel konstans. BIZONYÍTÁS: Mivel h konvex, ezért az abµnyílt intervallum minden pontjában létezik a jobb és a bal oldali deriváltja és a bal oldali derivált legfeljebb akkora mint a jobb oldali. Továbbá az is igaz, hogy ezekkel a deriváltakkal mint meredekségekkel húzott félérintők a függvénygörbe alatt fekszenekab -ben. Jelölje c a jobb oldali deriváltat az E Zµpontban, és írjuk fel itt a jobb oldali félérintő egyenletét: g xµcx E Zµ he Zµ Ekkor az előbbiek szerint h xµg xµbármely x¾ab pontra, vagyis Tehát írhatjuk,hogy E Zµ he Zµ h xµcx E Zµ he Zµ (.6) h ZµcZ ahol mindkét oldal várható értékét véve megkapjuk az első állítást. Mivel szigorúan konvex esetben (.6)-ban egyenlőség csak xe Zµesetben teljesül, a második állítás triviálisan adódik..2. következmény. a) Ha p i0q i0i2n valós n p i i akkor i n p i log p i számokra i n és q n i i p i logq i (.7) és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha p iq i minden i-re. b) Ha a i0b i0i2n valós számokra ib n n a ia és b i i

13 6. VÁLTOZÓ SZÓHOSSZÚSÁGÚ FORRÁSKÓDOLÁS a akkor n a i log b i b a ia log i és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha b i a ikonstans minden i-re. BIZONYÍTÁS: a) (.7) ekvivalens azzal, hogy h xµ Mivel a logx függvény szigorúan konvex az értelmezési tartományán (a második deriváltja pozitív), így felhasználhatjuk a Jensen-egyenlőtlenséget a következőképpen: Legyen Y egy olyan valószínűségi változó, i in hogy p Ekkor a Jensen-egyenlőtlenség szerint ie n p i log q i i p PYq i p i logyµ i0 n p i log q i i p loge Yµ log n i p i q i p i0 és egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha q i p ikonstans minden i-re, de ekkor az összegekre vonatkozó feltételek miatt p iq i minden i-re. b) Ha a0, akkora i0, s ekkor az állítás számolási szabályaink felhasználásával minden b0-ra teljesül. Ha a0, akkor az a) ia0 pont szerint a log b ib a an i a i log b i a i n ia i log b a tehát a zárójelben levő kifejezésre n i n a i i a0 a i log b n i a i a i log b i Szintén az a) pont szerint az egyenlőség feltétele az a i a bkonstans minden i-re. ab i i b, vagyis az a i b

14 .2. ÁTLAGOS KÓDSZÓHOSSZ, ENTRÓPIA 7 Most kimondjuk a fejezet egyik főtételét..2. tétel. Tetszőleges egyértelműen dekódolható iµh Xµ f : kódra (.8) logs H Xµ MEGJEGYZÉS: Ha az entrópia definíciójában kettes alapú logaritmus helyett s- alapú logaritmust használnánk, akkor ezt az entrópiát H s Xµ-szel jelölve logs H s Xµmiatt (.8) a következő alakú lenne: s Xµ Ef XµH H Xµ BIZONYÍTÁS: Az (.8) állítás ekvivalens a következővel: iµ n p x iµlogs f x i A Jensen-egyenlőtlenség iµ.2. a) következményét i iµ jµ alkalmazva a s f x p ip x q in; n s f x j H Xµ szereposztásban megkapjuk az állítást: n iµ jµ p x s f x iµlog i f x n n n Ef Xµn p x iµf x i i p x iµlog p x iµ p x iµlogs i i p x iµlogs n s j f x iµ logn is f x iµ iµ f x ahol az utolsó egyenlőtlenségnél az.. lemmát, a McMillan-egyenlőtlenséget használtuk fel. H Xµ Miután láttuk, hogy egy X valószínűségi változó egyértelműen dekódolható kódjának átlagos kódszóhosszára a logs mennyiség alsó korlátot ad, most megmutatjuk, hogy prefix kóddal ezt a korlátot jól meg lehet közelíteni.

15 8. VÁLTOZÓ SZÓHOSSZÚSÁGÚ FORRÁSKÓDOLÁS Ef XµH Xµ.3. tétel. Létezik olyan f : prefix kód, amelyre logs 2µ. BIZONYÍTÁS: (Shannon Fano-kód) Feltehetjük, hogy p x µp x p x n µp x nµ0, mert különben azelemeinek átindexelésével elérhetjük ezt. A bizonyítás technikája miatt ismét felhasználjuk az y ii is megfeleltetést. Legyenek 0 a w i számok a következők: i2n w w lµ ii p x l Kezdjük a w i számokat felírni s-alapú számrendszerbeli tört alakban. A w j -hez tartozó törtet olyan pontosságig írjuk le, ahol az először különbözik az összes többi w i, ij szám hasonló alakbeli felírásától. Miután ily módon n darab véges hosszú törtet kapunk, az f x jµlegyen a w j -hez tartozó tört az egészeket reprezentáló nulla nélkül. Könnyedén belátható, hogy az így kapott kód prefix. A konstrukció jµ miatt x j -hez létezik olyan x k, hogy w j és w k végtelen tört alakjában az elsőf x számjegy azonos. Nyilvánvaló, hogy vagy w j vagy w j tört alakja ilyen lesz, mivel ezek a w j -hez legközelebbi számok. jµ Az első esetben f x (.9) a második esetben jµ p x j µw j w j s f x de ekkor p x jµp x j µmiatt (.9) megint jµ következik. Tehát mindkét esetben log p x µlogs jµ f x amiből mindkét oldalt p x jµ-vel szorozva és minden j-re összegezve p x jµw j w js n j p x jµlog p x jµ n jµ p x jµf x logs j következik, így a tételt bebizonyítottuk. 2. BIZONYÍTÁS: Legyenek az i l i pozitív egész iµ számok olyanok, hogy log s p x iµl log s p x in (.0)

16 .2. ÁTLAGOS KÓDSZÓHOSSZ, ENTRÓPIA 9 ahol log s az s-alapú logaritmust jelöli. Az l i számokat nyilván egyértelműen meg lehet így választani. A bal oldali egyenlőtlenségből következik, hogy n l in iµn is is log s p x p x iµ i tehát az l i számok kielégítik az.2. lemma feltételét, és így létezik f prefix kód l i hosszú kódszavakkal f x iµl iµ. Ha a jobb oldali egyenlőtlenséget (.0)-ben p x iµ-vel megszorozzuk i és minden i-re összegezzük, akkor iµh Xµ azt kapjuk, hogy n p x logs n i p x iµ l iµ n p x iµlog s p x i i Az.. definíció utáni megjegyzés b) pontjában említettük, hogy a betűnkénti kódolásnak van egy természetes általánosítása, a blokk-kódolás. Ezt formálisan egy f :m leképezéssel definiálhatjuk, ahol tehát a forrásábécé betűiből alkotott rendezett m-eseket tekintjük forrásszimbólumoknak és ezeknek feleltetünk meg kódszavakat. A helyzet tulajdonképpen nem változik a betűnkénti kódolás esetéhez képest, hiszen egy újforrásábécét definiálhatunk azm jelöléssel, és az eddig elmondottak mind érvényben maradnak. Az egyértelmű dekódolhatóság definíciója ugyanaz marad, mint a betűnkénti kódolás esetében, az előbbieket szem előtt tartva. Legyen X X X mµegy valószínűségi vektorváltozó, melynek koordinátái az-ből veszik értékeiket. Az entrópia.3. definíciójából jól látszik, hogy az csakis az eloszlástól függ. Mivel X is csak véges sok különböző értéket vehet fel, az.3. definíciót közvetlenül alkalmazhatjuk. Az X entrópiája tehát a m m¾ mx x x p xµp x H Xµ x mµpx x X ¾ x¾m m¾p x x x p xµ jelölést bevezetve a következő: p xµlog mµ x mµlog p x x Az X X X mµentrópiájára a H Xµjelölés mellett, ahol ez a célszerűbb, gyakran a H X X mµjelölést fogjuk használni. Ha az X X 2X m valószínűségi változók függetlenek, p xµ akkor H Xµa koordináta valószínűségi változók entrópiáinak összege: p xµlog H Xµ x¾m

17 x ¾ 20. VÁLTOZÓ SZÓHOSSZÚSÁGÚ FORRÁSKÓDOLÁS mµ m¾p x µ p m x mµlog p x µ p m x x µ mµ ¾p x µlog p x m¾p m x mµlog p m x x x m (.) ih X iµ ix ahol p i xµpx im. Ha az X X m valószínűségi változók nemcsak függetlenek, hanem azonos eloszlásúak is, akkor (.)-ből (.2) µ H X X mµmh X következik. A betűnkénti átlagos kódszóhossz definíciója értelemszerűen módosul a blokkkódolás esetében: a kódszóhossz várható értékét el kell osztani az egy blokkot alkotó forrásbetűk számával, vagyis a betűnkénti átlagos kódszóhosszon a következő mennyiséget p xµf xµ értjük: Ef Xµ m m x¾m Ef XµH Xµ Értelemszerűen az.2. tétel állítása blokk-kódolás esetén is igaz: logs hiszen a tétel bizonyítása közvetlenül itt is alkalmazható. Az.3. tétel következményeként megmutatjuk, hogy blokk-kódolás segítségével a betűnkénti átlagos kódszóhossz alsó korlátja tetszőlegesen közelíthető..3. következmény. Ha X X m Ef XµH Xµ független, X-szel azonos eloszlású valószínűségi változók, akkor létezik olyan f :m prefix m kód, hogy m logs tehát a betűnkénti átlagos kódszóhossz az m blokkhossz növelésével tetszőlegesen alsó korlátot. közelíti a H Xµ logs

18 .3. OPTIMÁLIS KÓDOK, BINÁRIS HUFFMAN-KÓD 2 p xµf xµh Xµ BIZONYÍTÁS: Az.3. tételt felhasználva létezik olyan f :m prefix kód, hogy logs x¾m Ebből (.2) miatt következik x¾m ahol mindkét oldalt m-mel osztva megkapjuk az állítást. p xµf xµmh Xµ logs.3. Optimális kódok, bináris Huffman-kód Az.2. tétel alsó korlátot ad az egyértelműen dekódolható kódok átlagos kódszóhosszára, az.3. tétel pedig mutat egy olyan kódkonstrukciót, ahol ezt a korlátot jól megközelíthetjük. A jó kód konstrukciójának problémáját persze ennél általánosabban is felvethetjük: konstruáljuk meg az optimális, azaz legkisebb átlagos kódszóhosszú kódot, ha adott az H Xµ X valószínűségi változó eloszlása. Először is gondoljuk át, hogy optimális kód valóban létezik. Ugyan véges kódábécé esetén is az egyértelműen dekódolható vagy prefix kódok halmaza végtelen, de a bizonyos átlagos kódszóhossznál (pl. logs ) jobb kódok halmaza véges. Másodszor, vegyük észre, hogy az optimális kód nem feltétlenül egyértelmű; egyenlő valószínűségekhez tartozó kódszavakat felcserélhetünk, csakúgy, mint az egyenlő hosszú kódszavakat, anélkül, hogy az átlagos kódszóhosszat ezzel megváltoztatnánk. Egy optimális kód konstruálását az.. következmény értelmében egy optimális prefix kód konstruálására lehet visszavezetni. Ezért a következőkben kimondjuk az optimális prefix kódok néhány tulajdonságát. A továbbiakban az egyszerűség kedvéért a bináris, s2 esettel foglalkozunk; feltesszük, hogy 0. Az általános, s2 eset bonyolultabb, és a dolog lényege így is jól látható..4. tétel. Ha az f :0 prefix kód optimális, éselemei úgy vannak indexelve, hogy p x µp x 2µ p x n µp x nµ0, akkor feltehető, hogy f -re a következő három tulajdonság teljesül: a)f x µf x 2µ f x n µf x nµ, vagyis nagyobb valószínűségekhez kisebb kódszóhosszak tartoznak. b)f x n µf x nµ, vagyis a két legkisebb valószínűségű forrásbetűhöz tartozó kódszó egyenlő hosszú.

19 22. VÁLTOZÓ SZÓHOSSZÚSÁGÚ FORRÁSKÓDOLÁS c) Az f x n µés az f x nµkódszavak csak az utolsó bitben különböznek. BIZONYÍTÁS: a) Tegyük fel, hogy p x kµp x jµésf x kµf x jµ. Ekkor x j és x k kódját felcserélve egy új iµ f kódot vezethetünk iµ be, amelyre n p x iµf x i p x kµf x kµ p x kµ jµ jµ kµ jµf x p x kµf x p x jµf x p x kµ f x kµ jµµ f x kµ kµ jµµ p x jµ f x jµµ0 f x p x p x jµµ f x f x tehát f nem lehet optimális. nµ b) Az állítás egyszerűen belátható, ha arra gondolunk, hogyf x n µf x esetén azf x nµutolsó bitjét levágva az optimálisnál kisebb átlagos kódszóhosszú kódot kapnánk, ami még mindig prefix tulajdonságú. Valóban, mivel az eredeti kódszó minden más kódszónál legalább eggyel hosszabb volt, a csonkítással kapott új kódszó az eredeti kód prefix tulajdonsága miatt nem azonos semelyik másikkal, és ugyanezen okok miatt nem is folytatása semmilyen más kódszónak. n i p x iµf x c) Az előző gondolatmenetből világos, hogy ha létezik olyan f x iµkódszó, hogy f x iµés f x nµcsak az utolsó bitben különböznek, akkor az a) és b) miattf x iµf x n µf x nµ. Így ha in, akkor x i és x n kódját felcserélve c) teljesül, és a kód optimális marad..5. tétel. Tegyük most fel, hogy az.4. tétel feltételei teljesülnek, és hogy a p x µp x 2µp x n µ p x nµvalószínűségeloszláshoz ismerünk egy g optimális bináris prefix kódot. (Az x n és x n forrásbetűket összevonjuk egy 2µ x n szimbólumba; p x n µp x nµ). Ekkor az eredetip x µp x p x n µp x nµeloszlás egy optimális f prefix kódját kapjuk, ha a g x n µkódszót egy nullával, illetve egy egyessel kiegészítjük (a többi kódszót pedig változatlanul hagyjuk). n µ p x BIZONYÍTÁS: kapjuk, hogy A g és az f átlagos kódszóhosszát nµ L g -vel és L f -fel jelölve azt L fl g p x n µ p x

20 .3. OPTIMÁLIS KÓDOK, BINÁRIS HUFFMAN-KÓD 23 Ha f nem lenne optimális, akkor a nála kisebb L f átlagos kódszóhosszú f kódról az.4. tétel c) pontja szerint feltehetnénk, hogy f x n µés f x nµnem rövidebbek semelyik más kódszónál, és csak az utolsó bitben különböznek egymástól. Ezt az utolsó bitet elhagyva ap x µp x 2µp x n µ p x nµeloszlásra egy g kódot kapnánk, amire f µ µ L g L p x n p x nµl f p x n p x teljesülne, tehát az optimális g-nél jobb kódot kapnánk, ami lehetetlen. nµl g Az előző tétel alapján már megadhatjuk az optimális prefix kód Huffman-féle konstrukcióját: A két legkisebb valószínűség összevonásával addig redukáljuk a problémát, amíg az triviális nem lesz, vagyis amíg összesen két valószínűségünk marad. Ezt n 2 lépésben érhetjük el. Ezután az összevonások megfordításával, mindig a megfelelő kódszó kétféle kiegészítésével újabb n 2 lépésben felépítjük az optimális kódot, a Huffman-kódot. A következő példában nyomon követhetjük az algoritmus egyes lépéseit. 4µ.4. példa. Legyen n5 és p x µ04p x 2µ03p x 3µ05, p x 0p x 5µ005, és keressük meg az ehhez tartozó Huffman-kódot: Az egyes lépéseket az oszlopok számozása jelzi balról-jobbra, az összevonásokat a nyilak mentén lehet nyomon követni ± ± ± A 04 és 06 valószínűségek optimális prefix kódja nyilván a 0 és az (vagy fordítva). Az összevonások megfordításával elvégezhetjük a Huffman-kód felépítését. A valószínűségek mellett szögletes zárójelben az egyes lépésekben kapott kódszavak állnak. 0 ² ² ² Tehát f x µ0f x 2µ0f x 3µ0f x 4µ0f x 5µ

21 24. VÁLTOZÓ SZÓHOSSZÚSÁGÚ FORRÁSKÓDOLÁS n n Az előzőekben feltételeztük, hogy ismerjük a bemenet eloszlását. Ez azonban nincs mindig így, ekkor az eloszlást a relatív gyakoriságokkal kell becsülnünk. A gyakorlati problémák során általában adott a Z Z N bemeneti sorozat iµ (szöveg, fájl), amelyet szeretnénk optimálisan kódolni. Feladatunk a if Z N minimalizálása, vagyis az optimális f kódolófüggvény megválasztása. Ez egyenértékű a kódszóhosszak átlagának, N N iµ-nek a minimalizálásával. if Z Belátjuk, hogy N N if Z iµe Nf Zµ, ha a várható értéket az empirikus eloszlás szerint vesszük, Nf Zµ tehát a forrásbetűk valószínűségét a relatív gyakoriságuk- N IZ ix j, ahol Iaz indikátor függvény. Nyilván i jµ E kal definiáljuk: p N x jµ N N N j p N x jµf x j N N IZ ix jf x i N n IZ ix jf x i j iµ N if Z jµ jµ (A gyakorlatban magát a kódoló függvényt is le kell írni, át kell vinni a dekódolóhoz, és ez a fejléc így a fentinél nagyobb átlagos kódszóhosszat eredményez. Az aszimptotikus vizsgálat során azonban ettől a konstans költségtől eltekinthetünk.) A Huffman-kódolás fenti algoritmusát csak két lépésben tudjuk végrehajtani. Először meghatározzuk a forrásbetűk relatív gyakoriságát, ami az előzőek értelmében megegyezik a valószínűségekkel, majd ennek felhasználásával elvégezzük a tényleges kódolást. Nem mindig engedhető meg azonban olyan nagy mértékű késleltetés, hogy csak az összes bemeneti adat megérkezése után kezdünk hozzá a kimenet előállításához, másrészt a kétmenetes beolvasás akkor is lassítja az algoritmust (bár kétségkívül optimális kódot eredményez), ha a bemenet már rendelkezésre áll. A gyakorlatban ezért sokszor érdemes egymenetes algoritmust használni. Így az optimalitás rovására időt takaríthatunk meg. Egy forrásbetűt az előző forrásbetűk előfordulásai alapján kódolunk, s ezzel együtt lépésenként változik maga a kód is. Tehát az aktuális forrásbetű kódolását egy, az előzőleg

22 .3. OPTIMÁLIS KÓDOK, BINÁRIS HUFFMAN-KÓD 25 feldolgozott forrásbetűkre optimális kóddal hajtjuk végre. Ezt az eljárást adaptív Huffman-kódolásnak nevezzük. A Huffman-kódot bináris faként is ábrázolhatjuk. A leveleket a forrásszimbólumokkal címkézzük, az éleken pedig a kódábécé 0µelemei szerepelnek. A csúcsokban a relatív gyakoriságok állnak. Egy forrásszimbólumhoz tartozó kódszót úgy kapunk meg, hogy a fa gyökerétől a megfelelő levélig húzódó út élein szereplő kódbetűket sorban összeolvassuk (konkatenáljuk). A Huffman-kódolás szemléletesen úgy történik, hogy kiindulásként felvesszük a forrásszimbólumokhoz tartozó leveleket, a csúcsokba a forrásszimbólumok relatív gyakoriságait írjuk, majd lépésenként mindig a két legkisebb értéket tartalmazó csúcs fölé teszünk egy új csúcsot (szülőt), s ebbe a két régi érték összegét írjuk. Az eljárás végén kialakul az összefüggő fa, melynek a legutolsó lépésben megkapott csúcsa lesz a gyökér. A bináris Huffman-fában a relatív gyakoriságok szerepelnek. Adaptív Huffman-kódolás esetén ezek helyett a gyakoriságokat használhatjuk (hiszen utóbbiakat a bemenet hosszával elosztva megkapjuk a relatív gyakoriságokat, és számunkra csak az értékek egymáshoz való aránya érdekes). Két összevont betű szülőjének súlyát a szokásos módon, a két gyakoriság összegeként kapjuk. Amennyiben a fa testvér (vagyis közös szülővel rendelkező) pontpárjait a gyökértől a levelek felé haladva fel tudjuk sorolni súlyuk szerint nemnövekvő sorrendben, a fa rendelkezik a testvérpár tulajdonsággal (sibling pair property). Bebizonyítható, hogy egy Huffman-fa akkor és csak akkor optimális, ha rendelkezik a testvérpár tulajdonsággal..5. példa. 288µ; 53µ; 7µ; 76µ; 65µ; 43µ; 32µ; 22µ; 2µ Az.3. ábrán látható fára teljesül a testvérpár tulajdonság. A párok a következők: Ezek nemnövekvő rendezése: µ Az.4. ábra kódfájának párjai: 3µ; 2µ; Ezeket nem tudjuk megfelelően sorba rendezni, így nem teljesül a fára a testvérpár tulajdonság.

Az Informatika Elméleti Alapjai

Az Informatika Elméleti Alapjai Az Informatika Elméleti Alapjai dr. Kutor László Minimális redundanciájú kódok Statisztika alapú tömörítő algoritmusok http://mobil.nik.bmf.hu/tantargyak/iea.html Felhasználónév: iea Jelszó: IEA07 BMF

Részletesebben

Informatikai Rendszerek Alapjai

Informatikai Rendszerek Alapjai Informatikai Rendszerek Alapjai Dr. Kutor László A redundancia fogalma és mérése Minimális redundanciájú kódok 1. http://uni-obuda.hu/users/kutor/ IRA 2014 könyvtár Óbudai Egyetem, NIK Dr. Kutor László

Részletesebben

2013.11.25. H=0 H=1. Legyen m pozitív egészre {a 1, a 2,, a m } különböző üzenetek halmaza. Ha az a i üzenetet k i -szer fordul elő az adásban,

2013.11.25. H=0 H=1. Legyen m pozitív egészre {a 1, a 2,, a m } különböző üzenetek halmaza. Ha az a i üzenetet k i -szer fordul elő az adásban, Legyen m pozitív egészre {a 1, a 2,, a m } különböző üzenetek halmaza. Ha az a i üzenetet k i -szer fordul elő az adásban, akkor a i (gyakorisága) = k i a i relatív gyakorisága: A jel információtartalma:

Részletesebben

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz

Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz Zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása 2003. õsz 1. Feladat 1. Milyen egységeket rendelhetünk az egyedi információhoz? Mekkora az átváltás közöttük? Ha 10-es alapú logaritmussal számolunk, a mértékegység

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

KÓDOLÁSTECHNIKA PZH. 2006. december 18.

KÓDOLÁSTECHNIKA PZH. 2006. december 18. KÓDOLÁSTECHNIKA PZH 2006. december 18. 1. Hibajavító kódolást tekintünk. Egy lineáris bináris blokk kód generátormátrixa G 10110 01101 a.) Adja meg a kód kódszavait és paramétereit (n, k,d). (3 p) b.)

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Az Informatika Elméleti Alapjai

Az Informatika Elméleti Alapjai Az Informatika Elméleti Alapjai Dr. Kutor László Az üzenet információ-tartalma és redundanciája Minimális redundanciájú kódok Statisztika alapú tömörítő algoritmusok http://mobil.nik.bmf.hu/tantargyak/iea.html

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Az Informatika Elméleti Alapjai

Az Informatika Elméleti Alapjai Az Informatika Elméleti Alapjai dr. Kutor László Az üzenet információ-tartalma, redundanciája Minimális redundanciájú kódok http://mobil.nik.bmf.hu/tantárgyak/iea.html Felhasználónév: iea Jelszó: IEA07

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott

Részletesebben

Mohó algoritmusok. Példa:

Mohó algoritmusok. Példa: Mohó algoritmusok Optimalizálási probléma megoldására szolgáló algoritmus sokszor olyan lépések sorozatából áll, ahol minden lépésben adott halmazból választhatunk. Ezt gyakran dinamikus programozás alapján

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI 19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI Ebben a fejezetben aszimptotikus (nagyságrendi) alsó korlátot adunk az összehasonlításokat használó rendező eljárások lépésszámára. Pontosabban,

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

12. előadás - Markov-láncok I.

12. előadás - Markov-láncok I. 12. előadás - Markov-láncok I. 2016. november 21. 12. előadás 1 / 15 Markov-lánc - definíció Az X n, n N valószínűségi változók sorozatát diszkrét idejű sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Legyen S R

Részletesebben

dolás, felbontható kód Prefix kód Blokk kódk Kódfa

dolás, felbontható kód Prefix kód Blokk kódk Kódfa Kódelméletlet dolás dolás o Kódolás o Betőnk nkénti nti kódolk dolás, felbontható kód Prefix kód Blokk kódk Kódfa o A kódok k hosszának alsó korlátja McMillan-egyenlıtlens tlenség Kraft-tételetele o Optimális

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

1.1. Alapfeladatok. hogy F 1 = 1, F 2 = 1 és általában F n+2 = F n+1 + F n (mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb van, mint a baloldali).

1.1. Alapfeladatok. hogy F 1 = 1, F 2 = 1 és általában F n+2 = F n+1 + F n (mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb van, mint a baloldali). 1.1. Alapfeladatok 1.1.1. Megoldás. Jelöljük F n -el az n-ed rendű nagyapák számát. Az ábra alapján látható, hogy F 1 = 1, F = 1 és általában F n+ = F n+1 + F n mert a jobboldali ág egy szinttel lennebb

Részletesebben

Amortizációs költségelemzés

Amortizációs költségelemzés Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük

Részletesebben

Általános algoritmustervezési módszerek

Általános algoritmustervezési módszerek Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

A szimplex algoritmus

A szimplex algoritmus A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás

Részletesebben

Híradástechikai jelfeldolgozás

Híradástechikai jelfeldolgozás Híradástechikai jelfeldolgozás 13. Előadás 015. 04. 4. Jeldigitalizálás és rekonstrukció 015. április 7. Budapest Dr. Gaál József docens BME Hálózati Rendszerek és SzolgáltatásokTanszék gaal@hit.bme.hu

Részletesebben

Hibajavító kódok május 31. Hibajavító kódok 1. 1

Hibajavító kódok május 31. Hibajavító kódok 1. 1 Hibajavító kódok 2007. május 31. Hibajavító kódok 1. 1 Témavázlat Hibajavító kódolás Blokk-kódok o Hamming-távolság, Hamming-súly o csoportkód o S n -beli u középpontú t sugarú gömb o hibajelzı képesség

Részletesebben

Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0, 1, 2,..., N}, {0, 1, 2,... }.

Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0, 1, 2,..., N}, {0, 1, 2,... }. . Markov-láncok. Definíció és alapvető tulajdonságok Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0,,,..., N}, {0,,,... }.. definíció. S értékű valószínűségi

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

13. Egy x és egy y hosszúságú sorozat konvolúciójának hossza a. x-y-1 b. x-y c. x+y d. x+y+1 e. egyik sem

13. Egy x és egy y hosszúságú sorozat konvolúciójának hossza a. x-y-1 b. x-y c. x+y d. x+y+1 e. egyik sem 1. A Huffman-kód prefix és forráskiterjesztéssel optimálissá tehető, ezért nem szükséges hozzá a forrás valószínűség-eloszlásának ismerete. 2. Lehet-e tökéletes kriptorendszert készíteni? Miért? a. Lehet,

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó A növekedés nagyságrendje, számosság Logika és számításelmélet, 6. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 1 / 1 Nagyordó, Omega,

Részletesebben

1. ábra ábra

1. ábra ábra A kifejtési tétel A kifejtési tétel kimondásához először meg kell ismerkedni az előjeles aldetermináns fogalmával. Ha az n n-es A mátrix i-edik sorának és j-edik oszlopának kereszteződésében az elem áll,

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Programozási módszertan. Mohó algoritmusok

Programozási módszertan. Mohó algoritmusok PM-08 p. 1/17 Programozási módszertan Mohó algoritmusok Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu PM-08 p. 2/17 Bevezetés Dinamikus programozás

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

Programkonstrukciók A programkonstrukciók programfüggvényei Levezetési szabályok. 6. előadás. Programozás-elmélet. Programozás-elmélet 6.

Programkonstrukciók A programkonstrukciók programfüggvényei Levezetési szabályok. 6. előadás. Programozás-elmélet. Programozás-elmélet 6. Programkonstrukciók Definíció Legyen π feltétel és S program A-n. A DO A A relációt az S-ből a π feltétellel képezett ciklusnak nevezzük, és (π, S)-sel jelöljük, ha 1. a / [π] : DO (a) = { a }, 2. a [π]

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Algoritmuselmélet 18. előadás

Algoritmuselmélet 18. előadás Algoritmuselmélet 18. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Május 7. ALGORITMUSELMÉLET 18. ELŐADÁS 1 Közelítő algoritmusok

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha

ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha ALAPFOGALMAK 1 Á l l a p o t t é r Legyen I egy véges halmaz és legyenek A i, i I tetszőleges véges vagy megszámlálható, nem üres halmazok Ekkor az A= A i halmazt állapottérnek, az A i halmazokat pedig

Részletesebben

Felvételi tematika INFORMATIKA

Felvételi tematika INFORMATIKA Felvételi tematika INFORMATIKA 2016 FEJEZETEK 1. Természetes számok feldolgozása számjegyenként. 2. Számsorozatok feldolgozása elemenként. Egydimenziós tömbök. 3. Mátrixok feldolgozása elemenként/soronként/oszloponként.

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Megoldott feladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA

Megoldott feladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA Megoldott eladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA. Az : R R üggvény teljesíti az ( + y) = ( a y) + ( y) ( a ) összeüggést bármely,y R esetén (a egy rögzített valós szám). Bizonyítsd

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

megtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye:

megtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye: Az RSA módszer Az RSA módszer titkossága a prímtényezős felbontás nehézségén, a prímtényezők megtalálásának hihetetlen nehéz voltán alapszik. Az eljárás matematikai alapja a kis FERMAT-tétel egy következménye:

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA

26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA 26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA Az előző két fejezetben tárgyalt feladat általánosításaként a gráfban található összes csúcspárra szeretnénk meghatározni a legkisebb költségű utat. A probléma

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Shannon és Huffman kód konstrukció tetszőleges. véges test felett

Shannon és Huffman kód konstrukció tetszőleges. véges test felett 1 Shannon és Huffman kód konstrukció tetszőleges véges test felett Mire is jók ezek a kódolások? A szabványos karakterkódolások (pl. UTF-8, ISO-8859 ) általában 8 biten tárolnak egy-egy karaktert. Ha tudjuk,

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

Informatikai Rendszerek Alapjai

Informatikai Rendszerek Alapjai Informatikai Rendszerek Alapjai Dr. Kutor László Minimális redundanciájú kódok (2) Szótár alapú tömörítő algoritmusok 2014. ősz Óbudai Egyetem, NIK Dr. Kutor László IRA 8/25/1 Az információ redundanciája

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben